La iffusione molecolare La ispersione avviene principalmente in irezione longituinale rispetto al flusso meio, e le variazioni i velocità non spiegano l aumento l i ampiezza in irezione normale al moto meio che è invece ovuto alla DIFFUSIONE MOLECOLARE. La iffusione molecolare è ovuta ai movimenti aleatori elle molecole el fluio e prouce un flusso aggiuntivo i tracciante a zone i maggiore concentrazione a zone i concentrazione più bassa, e erivanti anch esse alla ispersione el soluto. L effetto microscopico si ripercuote a livello macroscopico, come si può evienziare lasciano tenere a zero la velocità.
La ispersione iroinamica La ispersione ovuta alle variazioni i velocità a livello microscopico, specialmente nella irezione el flusso, si ice DISPERSIONE MECCANICA. Si ice invece DISPERSIONE IDRODINAMICA il fenomeno associato sia alla ispersione meccanica sia alla iffusione molecolare. I ue processi sono infatti inseparabili e la loro ifferenziazione è el tutto artificiale. Oltre a avezione (flusso meio), ispersione meccanica e iffusione molecolare, molti altri fattori possono influenzare la istribuzione ella concentrazione c i un soluto in un mezzo poroso: Interazione con la matrice solia (assorbimento, eposizione, scioglimento s ella matrice solia, scambio ionico, ecc.) Reazioni chimiche Decaimento raioattivo Le variazioni i concentrazione el tracciante provocano variazioni ella ensità e viscosità el liquio, che possono influenzare lo stesso regime i moto (istribuzione ibuzione elle velocità). Quano la concentrazione non influenza la ensità e viscosità el l liquio che lo trasporta si parla i TRACCIANTE PASSIVO.
Flusso i avezione e ispersione Sia V (x, la velocità el fluio e c la sua concentrazione: V ( x, c( x, IL TRASPORTO DEGLI INQUINANTI V ( x, + V '( x, c( x, + c' ( x, con V ( x, c( x, la velocità meia el liquio e V V la sua eviazione rispetto alla meia; la concentrazione meia el liquio e c c la sua eviazione rispetto alla meia. Il trasporto meio sarà: cv cv + c'v ' ovvero il flusso meio ella sostanza consierata è uguale alla somma i ue flussi a livello macroscopico: cv un FLUSSO DI ADVEZIONE, velocità meia, secono la legge i Darcy; c'v' che costituisce il flusso trasportato all acqua acqua alla sua un FLUSSO DI DISPERSIONE, che costituisce il flusso aizionale ovuto alle fluttuazioni ella velocità nell intorno el punto consierato.
Il coefficiente i ispersione Il flusso i ispersione può essere espresso in termini i granezze meie (e misurabili) quali la velocità e la concentrazione meia. L ipotesi i lavoro è che tale flusso possa essere espresso nella forma ella legge i Fick: c' V ' D c' V ' i D ij c x j in cui D è un tensore simmetrico etto COEFFICIENTE DI DISPERSIONE (meccanica). In tale espressione c inica la massa el tracciante per unità i volume acqua, e il termine c'v' rappresenta il flusso per unità i area ell acqua. L equazione inica che il flusso i ispersione è linearmente proporzionale al graiente i concentrazione meia e che tale flusso si realizza a zone i alta concentrazione a zone i bassa concentrazione.
Il coefficiente i ispersione Diversi autori hanno ricavato la seguente espressione per la relazione tra D e la configurazione microscopica ella matrice porosa, la velocità el fluio e la iffusione molecolare: D ij a ijkm V kv V m f ( Pe, δ ) in cui V Pe è la velocità meia, è il numero i Peclet,, efinito come: Pe L V D ove L è una lunghezza caratteristica ei meati, D è il coefficiente i iffusione molecolare el soluto nella fase liquia; δ è il rapporto tra la lunghezza caratteristica ei singoli meati e la lunghezza caratteristica ella loro sezione trasversale; f(pe Pe, δ) è una funzione che introuce l effetto l i trasporto el tracciante per iffusione molecolare tra linee i corrente contigue a livello microscopico. In questo moo la iffusione molecolare influenza la ispersione meccanica. Bear e Bachmat (1967) suggeriscono la relazione f(pe Pe, δ) ) Pe/( /(Pe + 2 + 4 δ 2 ), ma nella maggior parte ei casi si assume f(pe Pe, δ) ) 1.
Il coefficiente i ispersione Il coefficiente a ijkm [L] chiamato ispersività el mezzo poroso è un tensore el quarto orine che esprime la configurazione microscopica ell interfaccia solio-liquio. liquio. Nel caso i mezzo poroso ISOTROPO, le componenti iverse a zero el tensore sono legate a ue parametri: a L [L] ispersività longituinale a T [L] ispersività trasversale - a L misura l eterogeneitl eterogeneità el mezzo poroso a scala microscopica, ovvero ovuta alla presenza ei meati e ella matrice solia. È ell orine i granezza ella imensione meia ei grani. - a T è i un orine i granezza 10 o 20 volte più piccolo i a L. Il coefficiente a ijkm assume la seguente espressione: a ijkm a T al at δ ijδ km + ( δ ikδ jm + δ 2 im δ jk ) in cui δ ij inica il elta i Kronecker (δ ij 0 per i j e δ ij 1 per i j). Utilizzano tale espressione, con f(pe Pe, δ) ) 1, si ottiene il coefficiente i ispersione meccanica nella forma: Dij atvδ ij + ( al at ) VV i j / V (si omette il segno i meia per le velocità)
La iffusione molecolare A livello microscopico, il vettore i flusso J () ovuto alla iffusione molecolare è espresso alla legge i Fick: ( ) J D in cui D è il coefficiente i iffusione molecolare in un mezzo fluio (che e vale circa 10-5 cm 2 /s). J ( ) i D Integrano tale espressione sul REV, con opportune ipotesi semplificative,, Bear e Bachmat (1986) hanno ottenuto la seguente espressione per il flusso macroscopico: o: c x i J ( ) D T * D * in cui D * T*D è il coefficiente i iffusione molecolare in un mezzo poroso e T* è un tensore simmetrico el secono orine che esprime l effetto l ella configurazione ella parte el REV occupata all acqua. acqua. Il coefficiente T*, spesso chiamato tortuosità, è efinito come: con S ww la porzione i confine acqua-acqua el REV v la normale alla superficie 0w il volume el REV occupato all acqua. acqua. U 0w T * ij 1 U 0w S ww ( x j x 0 j ) v S i
Il coefficiente i ispersione iroinamica Sommano i contributi el flusso ispersivo e iffusivo si ottiene: IL TRASPORTO DEGLI INQUINANTI ( ) c' V ' + J ( D + D ) D h in cui il coefficiente D h D + D * è chiamato coefficiente i ispersione iroinamica. Il flusso totale q c,, tot i un inquinante, trasportato per avezione,, ispersione e iffusione può essere unque scritto nella forma: q c, tot θw( cv Dh ) che rappresenta la quantità i inquinante trasportato per unità area i un mezzo poroso. L ipotesi i consierare f(pe Pe, δ) ) 1 equivale a supporre una relazione lineare tra il coefficiente i ispersione meccanica D e la velocità meia V. Tuttavia il termine f(pe Pe, δ) ) introuce un effetto i non linearità con la velocità (al momento che f(pe Pe, δ) ) LV/D ) che sembra essere confermato agli stui sperimentali isponibili. ili. Per tener conto i tali non-linearit linearità,, si utilizzano spesso espressioni el tipo: m D 11 alv ( Pe) 22 1, D a V (Pe) T m 2 con m 1 e m 2 costanti opportune.