2 Integrl curvlne 2. Curve nel pno e nello spzo S I un qulunque ntervllo dell rett rele e s : I R 3 un funzone. Indchmo con (t) = ( x(t), y(t), z(t) ) R 3 l punto mmgne d t I ttrverso. Dcmo che è un funzone contnu su I se le component x, y, z : I R sono funzon contnue. Defnzone 2. Dces curv (nello spzo) un funzone contnu : I R R 3. L mmgne C = (I) R 3 vene dett sostegno dell curv. Se l sostegno dell curv gce su un pno, dremo che l curv è pn. Un cso notevole è dto dlle curve (t) = ( x(t), y(t), ) che gccono nel pno xy e che ndcheremo semplcemente come : I R 2, (t) = ( x(t), y(t) ). Notmo che un curv è un funzone d vrble rele mentre l sostegno d un curv è un nseme nello spzo. Un curv defnsce un modo d prmetrzzre l suo sostegno ssocndo d ogn vlore del prmetro t I uno e un solo punto del sostegno. Tuttv l nseme C può essere l sostegno d curve dverse, ovvero può essere prmetrzzto n mod dvers. Ad esempo l curv pn (t) = (t, t) con t [, ] h come sostegno l segmento d estrem A = (, ) e B = (, ). Tle segmento è nche l sostegno dell curv δ(t) = (t 2, t 2 ), t [, ]; le curve e δ costtuscono due prmetrzzzon del segmento AB. Ad esempo, l punto medo d AB è ndvduto dl prmetro t = 2 nel prmo cso e t = 2 2 nel secondo. L curv s dce semplce se è un pplczone nettv, oss se vlor dvers del prmetro ndvduno punt dvers del sostegno. Se l ntervllo I = [, b] è chuso e lmtto, come negl esemp precedent, l curv s chmerà rco. Un rco s dce chuso se () = (b); ovvmente un rco chuso non è un curv semplce. Tuttv, s prl d rco chuso e semplce (o rco d Jordn) se l punto () = (b) è l unco punto del sostegno d essere mmgne d due vlor dvers del prmetro. Versone 2 dcembre
26 C. Cnuto, A. Tbcco PSfrg replcements X A B CA Fgur 2.. Rppresentzone dell sprle defnt nell Esempo 2.2 ) Esemp 2.2 ) L curv (t) = ( x(t), y(t) ) = ( + cos t, 3 + sn t), t [, 2π] h come sostegno l crconferenz d centro (, 3) e rggo ; nftt ( x(t) ) 2 + ( ) 2 y(t) 3 = cos 2 t+sn 2 t =. S trtt d un rco chuso e semplce e costtusce l modo pù nturle per prmetrzzre tle crconferenz percorrendol n senso ntorro prtre dl punto (2, 3). In generle l rco chuso e semplce (t) = ( x(t), y(t) ) = (x + r cos t, y + r sn t), t [, 2π], h come sostegno l crconferenz centrt n (x, y ) d rggo r. S osserv che se t vr n un ntervllo d tpo [, 2kπ], con k ntero postvo 2, l rco h ncor come sostegno l crconferenz m ess vene percors k volte; dunque l rco non è semplce. Se nvece t vr nell ntervllo [, π], l corrspondente curv è un rco (d crconferenz) semplce m non chuso. ) Smlmente, ssegnt, b >, l rco chuso e semplce (t) = ( x(t), y(t) ) = ( cos t, b sn t), t [, 2π], prmetrzz l ellsse centrto nell orgne e con semss e b. ) L curv (t) = ( x(t), y(t) ) = (t cos t, t sn t), t [, + ], h come sostegno l sprle rppresentt n Fgur 2., che vene percors n senso ntorro prtre dll orgne. Inftt l punto (t) h dstnz dll orgne ugule x 2 (t) + y 2 (t) = t che cresce l crescere d t. L curv è semplce. Versone 2 dcembre
2. Curve nel pno e nello spzo 27 v) Sno P = (x P, y P, z P ) e Q = (x Q, y Q, z Q ) punt dstnt dello spzo. L curv semplce (t) = P + (Q P )t, t R, h come sostegno l rett pssnte per P e Q. Inftt () = P, () = Q e l vettore (t) P h drezone costnte essendo prllelo Q P. Un pù generle prmetrzzzone dell stess rett è dt d (t) = P + (Q P ) t t, t R, (2.) t t con t t ; n tl cso s h (t ) = P, (t ) = Q. v) L curv semplce (t) = ( x(t), y(t), z(t) ) = (cos t, sn t, t), t R, h come sostegno l elc crcolre rppresentt n Fgur 2.2. S not che l sostegno gce sul clndro nfnto d sse concdente con l sse z e rggo. Dremo che un curv : R 3 è dervble se le sue component x, y, z : I R sono funzon dervbl su I (rcordmo che un funzone è dervble su un ntervllo I se è dervble n tutt punt ntern d I ed è dervble unlterlmente negl eventul estrem pprtenent d I). Indchmo con : I R 3 l funzone dervt (t) = ( x (t), y (t), z (t) ). Defnzone 2.3 Un curv : I R 3 dces regolre se è dervble su I con dervt contnu (coè se le component sono funzon d clsse C su I) e se (t) (,, ), per ogn t I. Un curv : I R 3 dces regolre trtt se I è unone d un numero fnto d ntervll su cu è regolre. PSfrg replcements X A B CA Fgur 2.2. Rppresentzone dell elc crcolre defnt nell Esempo 2.2 v) Versone 2 dcembre
28 C. Cnuto, A. Tbcco Se è un curv regolre e se t I, l vettore (t ) dces vettore tngente l sostegno dell curv nel punto P = (t ). Tle defnzone può essere gustfct geometrcmente nel modo seguente. S t + t I tle che l punto P t = (t + t) s dverso d P. Consdermo l rett pssnte per P e P t, che rcordt l (2.) può essere prmetrzzt come S(t) = P + ( )t t P t P = (t ) + (t + t) (t ) (t t ). (2.2) t t Fcendo tendere t, l punto P t tende P (nel senso che ogn componente d P t tende verso l corrspondente componente d P ). Nel contempo, grze ll potes d regolrtà d, l vettore (t + t) (t ) tende (t ). Dunque t l poszone lmte dell rett (2.2) è l rett T (t) = (t ) + (t )(t t ), t R, tngente l sostegno dell curv n P. A rgore, l vettore tngente l sostegno n P è l vettore pplcto ( P, (t ) ) (ved l Prgrfo.2.3), m comunemente lo s ndc semplcemente con (t ). S può verfcre che l rett tngente l sostegno d un curv n un punto è ntrnsec l sostegno, coè non dpende dll prmetrzzzone scelt; nvece l vettore tngente dpende dll prmetrzzzone per qunto rgurd modulo e verso. D un punto d vst cnemtco, un curv rppresent l trettor d un prtcell che l tempo t occup l poszone (t) nello spzo. Se l curv è regolre, l vettore (t) rppresent l veloctà dell prtcell l tempo t. Esemp 2.4 ) È fcle verfcre che tutte le curve consderte negl Esemp 2.2 sono regolr. ) S f : I R un funzone dervble con contnutà sull ntervllo I; l curv (t) = ( t, f(t) ), t I, è un curv regolre vente come sostegno l grfco dell funzone f. S osserv nftt che (t) = (, f (t) ) (, ), per ogn t I. ) L rco : [, 2] R 2 { (t, ), t [, ), (t) = (t, t), t [, 2], è un prmetrzzzone dell polgonle ABC (s ved l Fgur 2.3, snstr); nvece l rco (t, ), t [, ), (t) = (t, t), t [, 2), ( t, 2 2 (t 2)), t [2, 4] è un prmetrzzzone dell polgonle ABCA (s ved l Fgur 2.3, destr). Entrmbe le curve sono regolr trtt. Versone 2 dcembre
PSfrg replcements 2 A B C O A O B 2 PSfrg replcements C 2 A B C O A O 2.2 Integrl curvlne 29 2 Fgur 2.3. Polgonle ABC, snstr e ABCA, destr, defnte nell Esempo 2.4 ) v) Le curve (t) = ( + 2 cos t, 2 sn t ), t [, 2π], (t) = ( + 2 cos 2t, 2 sn 2t ), t [, π], sono due prmetrzzzon (l prm ntorr, l second orr) dell stess crconferenz C, vente centro n (, ) e rggo 2. Esse sono regolr e le loro dervte sono dte d (t) = 2 ( sn t, cos t ), (t) = 2 2 ( sn 2t, cos 2t ). Il punto P = (, ) C è mmgne mednte del vlore t = 3 4 π del prmetro e mednte del vlore t = 5 8 π del prmetro, oss P = (t ) = (t ). Nel prmo cso l vettore tngente è (t ) = (, ) e l rett tngente C n P è dt d T (t) = (, ) (, )(t 3 4 π), t R, mentre nel secondo cso s h ( t ) = (2, 2) e T (t) = (, ) + (2, 2)(t 5 8 π), t R. I vettor tngent n P hnno verso e lunghezz dvers, m l rett tngente è l stess, d equzone crtesn y = + x. 2.2 Integrl curvlne In molte pplczon, è utle ntegrre un funzone rele defnt sul sostegno d un curv. Introducmo qund l concetto d ntegrle curvlneo; esso rppresent l prmo esempo d ntegrzone d un funzone d pù vrbl rel. Versone 2 dcembre B C
3 C. Cnuto, A. Tbcco S : [, b] R d (con d = 2, 3) un rco d curv regolre, e s C = ([, b]) l suo sostegno. S po f : dom f R d R un funzone defnt lmeno su C, coè tle che C dom f. Supponmo che l funzone compost f : [, b] R, defnt come (f )(t) = f((t)), s contnu su [, b]. Defnzone 2.5 L ntegrle curvlneo d f su è l numero b f = f ( (t) ) (t) dt, (2.3) dove (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 è l modulo (coè l norm euclde) del vettore (t). Notmo che l ntegrle secondo membro dell (2.3) è ben defnto n qunto l funzone ntegrnd f ( (t) ) (t) è contnu su [, b]. Inftt è per potes regolre, dunque le dervte prme delle sue component sono funzon contnue, e qund l norm (t) h tle propretà essendo ottenut componendo funzon contnue; noltre f ( (t) ) è contnu per potes. Esemp 2.6 ) S : [, ] R 2 l rco d curv regolre (t) = (t, t 2 ) che prmetrzz l prte dell prbol y = x 2 compres tr punt O = (, ) e A = (, ). S h (t) = (, 2t) e dunque (t) = + 4t 2. S po f : R [, + ) R l funzone defnt d f(x, y) = 3x + y. L funzone compost f vle f ( (t) ) = 3t + t 2 = 4t. Pertnto f = 4t + 4t 2 dt, che s clcol con l sosttuzone s = + 4t 2 ottenendo 5 [ 2 f = 2 s ds = 2 3 s3/2] 5 = 4 3 (5 5 ). ) S : [, 2π] R 2 l prmetrzzzone dell crconferenz d centro (2, ) e rggo 2 dt d (t) = (2 + cos t, + sn t), per l qule s h (t) = 4 sn 2 t + 4 cos 2 t = 2 per ogn t. Dt l funzone f : R 2 R defnt d f(x, y) = (x 2)(y ) +, s h f ( (t) ) = 4 sn t cos t + e dunque f = 2 2π (4 sn t cos t + ) dt = 2 [ 2 sn 2t + t ] 2π = 4π. Se nvece s prmetrzz l stess crconferenz mednte l curv vente le stesse component d m con t vrble n [, 2kπ] (coè s percorre l crconferenz k volte), s h 2kπ f = 2 (4 sn t cos t + ) dt = 4kπ. Versone 2 dcembre
2.2 Integrl curvlne 3 L ultmo esempo consderto mostr che l ntegrle curvlneo d un funzone non dpende solo dl sostegno dell curv, m nche dl modo con cu tle sostegno vene prmetrzzto. Tuttv, prmetrzzzon equvlent od opposte nel senso d seguto precsto dnno luogo llo stesso ntegrle curvlneo. Defnzone 2.7 Sno : I R d e δ : J R d due curve regolr. Esse s dcono equvlent se esste un bezone ϕ : J I, dervble con dervt contnu e strettmente postv, tle che coè δ(τ) = (ϕ(τ)) per ogn τ J. δ = ϕ, Defnzone 2.8 S : I R d un curv regolre. Detto I l ntervllo {t R : t I}, l curv : I R d defnt d ( )(t) = ( t) s chm l oppost d. L oppost d un curv s può ncor scrvere come ( ) = ϕ, dove ϕ : I I è l bezone ϕ(t) = t. Notmo po che se : [, b] R d è un rco d curv regolre, llor è un rco regolre defnto sull ntervllo [ b, ]. È convenente dre che due curve regolr e δ sono congruent se esse sono equvlent oppure se l un è equvlente ll oppost dell ltr. Cò sgnfc che δ = ϕ con ϕ bezone dervble, vente dervt contnu e d segno costnte. È mportnte per l seguto osservre che due curve congruent hnno lo stesso sostegno. Inoltre, tutte le curve congruent un curv semplce sono ncor semplc. S f un funzone defnt sul sostegno d un rco regolre : [, b] R d e tle che f s contnu, d modo che esste l ntegrle curvlneo d f su. Allor le funzon f δ (con δ rco equvlente ) e f ( ) sono contnue, n qunto ottenute componendo un funzone contnu tr due ntervll dell rett rele con l funzone contnu f. Proposzone 2.9 S : [, b] R d un rco d curv regolre, d sostegno C, e s f un funzone defnt su C e tle che f s contnu. Allor s h f = f e f = f, per ogn curv δ equvlente. Dmostrzone. Osservmo che ( ) (t) = ( t) e dunque ( ) (t) = ( t). Pertnto, f = b f ( ( )(t) ) ( ) (t) dt = Con l sosttuzone s = t, d cu ds = dt, s h b Versone 2 dcembre δ f ( ( t) ) ( t) dt.
32 C. Cnuto, A. Tbcco f = b f ( (s) ) (s) ds = b f ( (s) ) (s) ds = Anlogmente, se δ = ϕ, con ϕ : [c, d] [, b], è un rco equvlente, s h δ (τ) = ( ϕ(τ) ) ϕ (τ) con ϕ (τ) >. Dunque δ f = = d c d c f ( δ(τ) ) δ (τ) dτ = d f ( (ϕ(τ)) ) ( ϕ(τ) ) ϕ (τ) dτ. c Versone 2 dcembre f. f ( (ϕ(τ)) ) ( ϕ(τ) ) ϕ (τ) dτ Or esegumo l sosttuzone t = ϕ(τ), d cu dt = ϕ (τ) dτ, ottenendo δ f = b f ( (t) ) (t) dt = In bse ll proposzone precedente, l ntegrle curvlneo d un funzone non cmb se ll curv sosttumo un curv d ess congruente. Notmo che, detto c un qulunque punto n (, b) e posto = [,c] e 2 = [c,b], s h, per l propretà d ddtvtà dell ntegrle defnto rspetto ll ntervllo d ntegrzone, f = f + f. (2.4) 2 Il concetto d ntegrle curvlneo s estende n modo nturle gl rch regolr trtt. Pù precsmente s : [, b] R 3 un rco regolre trtt e sno = < <... < n = b punt d [, b] tl che gl rch d curv = [, ], =,..., n, sno rch regolr. S or f, come prm, un funzone defnt lmeno su C e tle che l funzone compost f s contnu su [, b]. S pone llor per defnzone n f = f. Tle defnzone è coerente con l propretà ddtv (2.4) delle curve regolr. = Osservzone 2. Il clcolo d un ntegrle curvlneo reltvo un rco regolre trtt, può essere reso pù gevole usndo l Proposzone 2.9. Inftt s h f = n = f. δ f (2.5) dove ogn δ è un rco d curv congruent, =,..., n, scelt n modo d semplfcre l clcolo de sngol ntegrl secondo membro.
2.3 Lunghezz d un rco e scss curvlne 33 PSfrg replcements PSfrg replcements O δ δ 2 δ 3 δ 4 4 3 O 2 O 2 3 4 δ 4 O Fgur 2.4. Prmetrzzzone del qudrto untro reltvo ll Esempo 2. Esempo 2. S vogl clcolre x2, dove : [, 4] R 2 è l seguente prmetrzzzone del bordo del qudrto untro [, ] [, ] (t) = (t, ) t <, (t) = 2 (t) = (, t ) t < 2, 3 (t) = (3 t, ) 2 t < 3, 4 (t) = (, 4 t) 3 t 4 (s ved l Fgur 2.4, snstr). Introducmo l prmetrzzzone δ (t) = (t) t, δ =, δ δ(t) = 2 (t) = (, t) t, δ 2 2, δ 3 (t) = (t, ) t, δ 3 3, δ 4 (t) = (, t) t, δ 4 4 (s ved l Fgur 2.4, destr). Allor s h x 2 = t 2 dt + dt + t 2 dt + Versone 2 dcembre 2.3 Lunghezz d un rco e scss curvlne δ 3 δ δ 2 dt = 5 3. S : [, b] R 3 un rco regolre trtt; defnmo lunghezz d l numero l() =. (2.6) Nel cso d rco regolre, l() s esprme come l() = b (t) dt = b (x (t) ) 2 + ( y (t) ) 2 + ( z (t) ) 2 dt. (2.7)
34 C. Cnuto, A. Tbcco Tle defnzone trov l seguente gustfczone geometrc. Introducmo un suddvsone d [, b] mednte punt = t < t <..., t n < t n = b e consdermo punt P = (t ) C, =,..., n. Tl punt ndvduno un polgonle n R 3 (eventulmente degenere) l cu lunghezz è dt d l(t, t,..., t n ) = n dst (P, P ) dove dst (P, P ) = P P è l dstnz euclde d due punt. Osservmo che s h (x(t P P = ) x(t ) 2 ( ) + y(t ) y(t ) 2 ( ) + z(t ) z(t ) 2 ) ( x ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y z = + + t t t t = vendo posto t = t t, ( ) ( ) x x(t ) x(t ) =, t t t e smlmente per le ltre coordnte. S h dunque n ( ) 2 ( x y l(t, t,..., t n ) = + t t = ) 2 Versone 2 dcembre ( z + t ) 2 t ; s not l nlog con l ultmo ntegrle dell (2.7), d cu tle espressone può consderrs un pprossmzone. S dmostr che, se l curv è regolre trtt, l estremo superore dell qunttà l(t, t,..., t n ), l vrre d tutte le possbl suddvson d [, b], è fnto e concde con l(). Osservmo che l lunghezz d un rco, così come defnt dll (2.6), dpende non solo dl sostegno C dell rco, m nche dll prtcolre prmetrzzzone scelt. Ad esempo, se prmetrzzmo l crconferenz d equzone x 2 + y 2 = r 2 mednte (t) = (r cos t, r sn t), t [, 2π], bbmo l( ) = 2π r dt = 2πr, come ben noto dll geometr elementre. Se nvece usmo l prmetrzzzone 2 (t) = (r cos 2t, r sn 2t), t [, 2π] ottenmo l( 2 ) = 2π 2r dt = 4πr. In questo secondo cso, l crconferenz è stt percors due volte. In bse ll Proposzone 2.9, due rch congruent hnno l stess lunghezz. S può dmostrre
2.3 Lunghezz d un rco e scss curvlne 35 che l lunghezz d un rco semplce o d Jordn dpende solo dl suo sostegno C; ess vene dett lunghezz d C e ndct con l(c). Nell esempo precedente, è semplce mentre 2 non lo è; come s è vsto, l lunghezz l(c) dell crconferenz è dt d l( ). S un curv regolre defnt sull ntervllo I. Fssmo un punto rbtrro t I e ntroducmo l funzone s : I R defnt d s(t) = t t (τ) dτ. (2.8) Rcordndo l espressone dell lunghezz d un rco regolre dt dll (2.7), s h l( [t,t]) t > t, s(t) = t = t, l( [t,t]) t < t. L funzone s permette d defnre un curv equvlente che fornsce un nuov prmetrzzzone del sostegno d. Inftt, rcordndo l Teorem fondmentle del clcolo ntegrle e l defnzone d curv regolre, s h s (t) = (t) >, t T ; pertnto l funzone s è strettmente crescente e dunque nvertble su I. Detto J = s(i), l ntervllo mmgne d I ttrverso s, ndchmo con t : J I R l funzone nvers d s. In ltr termn, esprmmo l prmetro t n funzone d un nuovo prmetro s, come t = t(s). L curv : J R d defnt come (s) = (t(s)) è equvlente (n prtcolre h lo stesso sostegno C). Se P = (t ) C vremo nche P = (s ) con t e s legt dll relzone t = t(s ). Il numero s è detto scss curvlne d P. Rcordndo l espressone dell dervt d un funzone nvers, s osserv che d cò segue (s) = d d ( ) dt (s) = t(s) ds dt ds (s) = (t) (t) ; (s) =, s J. Questo sgnfc che usndo l scss curvlne l sostegno dell curv vene percorso con veloctà costnte ugule. Osservzone 2.2 S : [, b] R un rco regolre e s s l scss curvlne defnt dll (2.8) con t = ; llor s() = e s(b) = b (τ) dτ = l(). Usndo tle prmetro per esprmere l ntegrle curvlneo d un funzone f, s h l() f = f = f ( (s) ) l() ds = f ( (t(s)) ) ds. e Versone 2 dcembre
36 C. Cnuto, A. Tbcco L defnzone precedente d scss curvlne può essere estes n modo ovvo lle curve regolr trtt. Esempo 2.3 S : R R 3 l curv (t) = (cos t, sn t, t) l cu sostegno è l elc crcolre (veds l Esempo 2.2 v)). S h (t) = ( sn t, cos t, ) = (sn 2 t + cos 2 t + ) /2 = 2. Pertnto, sceglendo t =, bbmo s(t) = t (τ) dτ = 2 t dτ = 2t. Ne segue che t = t(s) = 2 2 s, con s R e l elc crcolre può essere rprmetrzzt mednte l scss curvlne come ( ) 2 2 2 (s) = cos s, sn 2 2 s, 2 s. 2.4 Integrl d lne S Ω un sottonseme non vuoto n R d, d = 2, 3. Defnzone 2.4 Un funzone F : Ω R d dces cmpo vettorle n Ω. Indchmo con f : Ω R, =,..., d, le component d F, oss scrvmo F = (f,..., f d ). Il concetto d ntegrle curvlneo può essere esteso cmp vettorl dndo orgne l concetto d ntegrle d lne. Precsmente s : [, b] R d un rco regolre tle che l sostegno C = ([, b]) s contenuto n Ω; n tl modo è defnt su [, b] l funzone compost F : t F ( (t) ) vlor n R d (. Supporremo ) che tle funzone s contnu, vle dre che tutte le component f (t), defnte su [, b] vlor n R sno funzon contnue. Per ogn t [, b], ndchmo con τ (t) = (t) (t) l versore tngente l sostegno dell rco nel punto P (t) = (t). L funzone sclre F τ = F τ defnt come F τ (t) = ( F τ ) (t) = F ( (t) ) τ (t) rppresent l componente del cmpo F lungo l versore tngente l sostegno d n P = (t). Defnzone 2.5 L ntegrle d lne d F su è l ntegrle curvlneo su dell funzone F τ. Ponmo dunque F dp = F τ. Versone 2 dcembre
2.4 Integrl d lne 37 S osserv che l ntegrle secondo membro vle b F τ = F τ = F ( (t) ) τ (t) (t) dt = Versone 2 dcembre b F ( (t) ) (t) dt. Pertnto l ntegrle d lne d F su può essere espresso come b F dp = F ( (t) ) (t) dt. (2.9) Il sgnfcto fsco è d prtcolre mportnz. Se F rppresent un cmpo d forze pplcto l sostegno dell curv, l ntegrle d lne rppresent l lvoro computo dll forz F reltvo llo spostmento defnto dll rco. L seguente proposzone è l controprte dell Proposzone 2.9 per gl ntegrl d lne. Proposzone 2.6 S : [, b] R d un rco d curv regolre, d sostegno C, e s F un cmpo vettorle defnto su C e tle che F s contnu. Allor s h F dp = F dp e F dp = F dp, per ogn curv δ equvlente. Esemp 2.7 ) Consdermo l cmpo vettorle pno F : R 2 R 2 defnto d F (x, y) = (y, x). Consdermo po l ellsse x2 9 + y2 4 = che prmetrzzmo mednte l rco : [, 2π] R 2, (t) = (3 cos t, 2 sn t). S h F ( (t) ) = (2 sn t, 3 cos t) e (t) = ( 3 sn t, 2 cos t). Allor 2π F dp = (2 sn t, 3 cos t) ( 3 sn t, 2 cos t) dt essendo = 6 = 2 2π 2π 2π ( sn 2 t + cos 2 t) dt = 6 cos 2 t dt 2π =, 2π cos 2 t dt = 2 (t + sn t cos t) 2π = π. δ (2 cos 2 t ) dt ) S or F : R 3 R 3 l cmpo vettorle defnto d F (x, y, z) = (e x, x+y, y+z) e s : [, ] R 3 l rco (t) = (t, t 2, t 3 ). Abbmo F ( (t) ) = (e t, t+t 2, t 2 +t 3 ) e (t) = (, 2t, 3t 2 ). Pertnto F dp = (e t, t + t 2, t 2 + t 3 ) (, 2t, 3t 2 ) dt = [ e t + 2(t 2 + t 3 ) + 3(t 4 + t 5 ) ] dt = e + 9 5.