Anals d conegrazone n presenza d cambamen sruural Conegraon Analyss n he Presence of Srucural Breaks Rocco Moscon parmeno d Economa e Produzone, Polecnco d Mlano Pazza L. da Vnc 3, 33 Mlano, rocco.moscon@polm. Absrac: When analysng macro economc daa s ofen of relevance o allow for srucural breaks n he sascal analyss. In parcular conegraon analyss n he presence of srucural breaks could be of neres. A conegraon model wh pecewse lnear rend and known breakpons s proposed. Whn hs model s possble o es conegraon rank: he asympoc dsrbuon of he es s derved and shown o be unaffeced by nusance parameers. The proposed approach s llusraed by analyzng he Uncovered Ineres Pary hypohess beween Ialy and Germany usng quarerly daa from 973 o 996: n hs perod, relevan breaks such as he creaon of he EMS, one ol shock, he unfcaon of Germany and he ex of Ialy from he EMS occurred. Keywords: Tme Seres Analyss, Vecor Auo Regressve Models, Conegraon, Srucural Breaks, Maxmum Lkelhood. Inroduzone Nell anals d sere sorche economche, è spesso necessaro nrodurre varabl dummy per rappresenare cambamen nella poszone o nella pendenza del rend a seguo d even che modfcano la sruura del ssema. Un esempo d cò può essere rappresenao dalla creazone del ssema monearo europeo (SME) nel 979 e dall usca dell Iala dallo SME nel 99: è ragonevole pensare che al even possano avere modfcao l comporameno dnamco d varabl qual asso d cambo, asso d neresse e asso d nflazone, n parcolare per quano rguarda la poszone e la pendenza del loro rend. alra pare, è un rsulao acquso nella leeraura economerca che v sa una fore nerazone ra la presenza d cambameno sruurale nella poszone e nella pendenza del rend e le caraersche d negrazone e conegrazone delle verabl analzzae (s veda, ad esempo Clemens e Hendry, 999). In un coneso unvarao, s può mosrare che una sere sorca sazonara aorno a un rend segmenao può avere un proflo dnamco molo pù smle, da un puno d vsa emprco, a quello d un processo negrao I() che a quello d un processo sazonaro. Perano, quando pù sere vengono modellae congunamene, l non ener cono de cambamen sruural può porare a rfuare l poes d conegrazone anche se le varabl sono conegrae ma l resduo d conegrazone è sazonaro norno a un rend segmenao. Come osservao n Clemens e Hendry (999), n al suazon le prevson oenue ulzzando un modello auoregressvo veorale (VAR) n dfferenze possono essere mglor d quelle d un modello a meccansmo d correzone
dell errore (ECM) che non enga cono del cambameno sruurale. Tuava, modellando appropraamene l cambameno sruurale la performance prevsva del modello ECM orna ad essere superore a quella del VAR n dfferenze. In queso lavoro vene presenao e llusrao con un esempo un modello recenemene proposo n Johansen-Moscon-Nelsen () per l anals d conegrazone n presenza d break sruuralche che avvengono n san no. Essenzalmene s assume che ue le combnazon lnear d un veore p-dmensonale I() Y, sa quelle sazonare sa quelle non sazonare, esbscano lo sesso po d comporameno deermnsco, ovvero quello desco nella Fgura. I pun d cambameno d poszone e d pendenza del rend sono assun no e comun a ue le combnazon lnear d Y. Nauralmene, nulla esclude che per alcune combnazon lnear l comporameno deermnsco non subsca modfcazon n corrspondenza de pun d cambameno d regme. E(γ Y ) T v T T v T T 3 v 3 T T Fgura : Comporameno deermnsco pozzao Come è nuvo, per quano rguarda le combnazon lnear sazonare sarà possble denfcare sa la poszone sa la pendenza de dvers segmen d rend, menre per le combnazon lnear non sazonare le pendenze saranno smabl, ma le poszon non lo saranno, n quano esse sono ndsngubl dalle condzon nzal del processo n ogn sooperodo. La meodologa dscussa n queso lavoro è nella lnea dell approcco d massma verosmglanza all anals d conegrazone llusrao n Johansen (996). a un puno d vsa modellsco non v sono grand varan conceual. La prncpale varane è che la dsrbuzone asnoca de es d conegrazone è dfferene da quella usuale, benchè apparenga alla classe generale de es d po ckey-fuller mulvara. In parcolare, la dsrbuzone dpende dalla collocazone de pun n cu avvengono cambamen sruural, ma non è affea da paramer d dsurbo, e può essere ben approssmaa medane una dsrbuzone Gamma (s veda oornk 998), evando n al modo d dover predsporre nuove avole ad hoc. Queso lavoro è arcolao come segue: la sezone presena l modello proposo; la sezone 3 descrve l'anals sasca del modello, nroduce l es per l rango d conegrazone e la
sua dsrbuzone asnoca; la sezone 4 presena una applcazone del modello allo sudo dell'poes d parà scopera de ass d neresse ra Iala e Germana; la sezone 5 conclude l lavoro.. Il modello proposo Come n Johansen-Moscon-Nelsen (), supponamo d poer dvdere l perodo d anals (,,T) n q sooperod (,,T ), (T +,, T ),, (T q +,,T), e defnamo T e T q T. All'nerno d cascun sooperodo, assumamo che l processo p- dmensonale Y sa d po auoregressvo veorale (VAR) gaussano d ordne k, con una cosane e un rend. Assumamo nolre che u paramer del VAR sano denc ne var sooperod, ad eccezone della cosane e del rend. Il modello d base consderao è qund del po: Y Y k ( Π π ) + µ + Γ Y + ε T, Κ q + k < T () dove Π, π, µ e Γ sono marc d paramer d dmensone p p, p, p e p p rspevamene, ed ε è dencamene e ndpendenemene dsrbuo secondo una normale mulvaraa d valore aeso nullo e marce d varanze e covaranze Ω. S no che, come usuale, l modello è formulao, n ogn sooperodo, condzonaamene alle prme k osservazon, che n praca qund non sono modellae. L poes che l rango d conegrazone sa par a r p può essere scra semplcemene come una resrzone sul rango della marce Π. Tuava, come llusrao n Johansen (996) se l rango della marce Π è mnore d p, l processo descro dalla () presenerà de rend quadrac, a meno che l veore π non sa esprmble come combnazone lneare delle colonne d Π. Inolre, Nelsen-Rahbek () mosrano che lo sesso vncolo su π garansce che la dsrbuzone de es sul rango d conegrazone non sa nfluenzaa da paramer d dsurbo. Perano, defnamo l'poes d conegrazone come segue: H l (): ( Π π π ) α( β γ Κ γ ) α( β γ ) r () Κ q q dove α e β sono marc d dmensone p r, menre γ,, γ q sono veor r. Una mglore comprensone delle propreà dnamche del processo () soo l'poes () s può avere consderando la sua rappresenazone a meda moble, oenble soo l'poes rank k α Γβ p r, con Γ I p Γ e α e β marc d dmensone p (pr) d rango peno al per cu α α β β. Soo ale poes, n base al eorema d rappresenazone d Granger (s veda Johansen, 996, Teorema 4. e Johansen-Moscon- Nelsen,, Teorema.), s dmosra che:
Y ε +, + τc, + τl, T + k + T + k < C X, Κ q T (3) α dove C β α Γβ τ l, è dao da:, X, è un processo sazonaro, l veore d pendenze del rend τ l, ( CΓ I p ) β( β β) γ C µ +, menre l veore d cosan τ c, dpende dalle condzon nzal d ogn sooperodo, n modo ale che solo le combnazon lnear β τ c, sono denfcae, essendo defne da: β τ c, ( α α) α ( Γ I p ) µ + ( α α) α ( ΓCΓ Γ) β( β β) γ γ C. Alla luce della (3), è facle mosrare che, soo l'poes (), le combnazon lnear β Y sono sazonare norno ad un rend segmenao la cu pendenza nel -esmo sooperodo è γ. Ogn alra combnazone lneare a Y l cu veore d pes a non sa esprmble come combnazone lneare delle colonne d β sarà I(), e presenerà un rend lneare segmenao con possbl cambamen d pendenza ne medesm san n cu camba la pendenza delle componen sazonare del processo. Il modello () soo l vncolo () può essere rscro n modo compao, per k+,,t, come segue: con k k q Y Y α ( β γ ) + µ + Γ +,, + ε E Y κ (4) E, per T alrmen, Κ,q, menre E è un veore q-dmensonale l cu -esmo elemeno è dao da: E, T T k +, per T + k + T alrmen. S no che,- ndca la -esma osservazone del -esmo perodo: l ruolo d al varabl nel modello (4) è quello d azzerare resdu corrsponden alle prme k osservazon d ogn perodo, d fao escludendo al osservazon dall'anals. La varable E, ndca nvece ue le osservazon apparenen al -esmo perodo, ad eccezone delle prme k.
3. Inferenza sul rango d conegrazone L anals sasca del modello può essere condoa medane l meodo della massma verosmglanza, n modo formalmene denco a quello llusrao n Johansen (996) per l modell senza cambameno sruurale. Essenzalmene, cò consse n una regressone d rango rdoo d Y su Y e E, correa per E, Y (,,k) e, (,,q;,,k). Il es del rapporo delle verosmglanze per verfcare l'poes che l rango d conegrazone sa mnore o uguale a r conro l'alernava che esso sa p può essere cosruo come segue (Anderson, 95). efnamo R, resdu d una regressone Y su E, Y (,,k) e, (,,q;,,k). efnamo po R, resdu d una regressone d [Y, E ] su medesm regressor. efnamo nfne ˆλ l quadrao della - esma correlazone canonca camponara ra R, e R,, con > ˆ λ > ˆ λ > Κ > ˆ λ p >. Il es sul rango d conegrazone, usualmene defno n leeraura race-es, è dao da: LR p ( r p) T log( ˆ ) r+ λ (5) La dsrbuzone asnoca per T del es (5) può essere dervaa manenendo fss pun d cambameno d regme relav, ovvero valor v T /T (s no che v <v < <v q ). Per dervare la dsrbuzone occorre fare le usual assunzon che escludono la presenza d componen esplosve o I() nel processo Y. Perano, defnendo A k ( z) ( z) I αβ z Γ ( z) z p assumamo che le soluzon dell' equazone A(z) sano eserne al crcolo d raggo unaro nel pano complesso oppure ugual a, e che valga la condzone rank α Γβ p r con α e β e Γ defn nella sezone precedene. Soo al assunzon, e soo l'poes H λ () r, con dmosrazone del uo smle a quella del eorema. n Johansen (996) (s veda Johansen-Moscon-Nelsen,, per deagl) s dmosra che la dsrbuzone asnoca del es (5) è uguale a quella della seguene funzone d mo Brownan: r dwf FF du FdW (6)
dove W è un moo Brownano sandard d dmensone (pr), menre F è un processo (pr+q) dmensonale l cu -esmo elemeno, per v <u<v, è dao da: F ( u) W v v v u sds v v v ( u) W () s ds per p r per p r + alrmen con v v v. Tale dsrbuzone, che ndchamo con F q (pr, v,, v q ) ha re mporan caraersche: la dsrbuzone dpende esclusvamene da (pr) e dalle durae relave v (,,q), e non da paramer del modello (4). Queso consene d fare nferenza sul rango d conegrazone n presenza d cambamen sruural ulzzando un es la cu dsrbuzone asnoca non è affea da paramer d dsurbo. la dsrbuzone dpende dal valore assuno dalle durae relave v, ma non dal loro ordnameno: perano, se ad esempo q, la dsrbuzone è denca se v T /T/4 oppure v T /T3/4 s può dmosrare che lm v F q+ ( p r, v, Κ, v ) F ( p r, v, Κ, v, v, Κ, v ) + χ q+ q dove la F q e la χ sono ndpenden. La componene χ della dsrbuzone pr orgna dal fao che, benchè la duraa del -esmo sooperodo enda a zero, la corrspondene varable ndcarce vene comunque nsera nel ermne E, cu coeffcen sono vncola dalla (), e perano l numero d vncol mpos rmane nvarao. Se la varable ndcarce vensse compleamene esclusa dal modello, la componene χ svanrebbe. pr Il prncpale svanaggo della dsrbuzone F q è che, n generale, è necessaro generare valor crc della dsrbuzone medane smulazone d una approssmazone a empo dscreo della (6) per ogn possble se (v,,v q ). In realà, Johansen-Moscon-Nelsen () mosrano che, n analoga a quano descro n oornk (998) per l modello senza cambamen sruural, la coda desra della dsrbuzone F q (pr, v,, v q ) è pracamene denca a quella d una Gamma con meda e varanza approssmabl, per q 3 e (pr), medane le seguen relazon, cu paramer sono sa oenu medane anals della superfce d rsposa d un gran numero d smulazon: + pr q+ pr
meda exp{3.6 +.456n +.47a +.993b.69n.363na.95nb 4.a.35b +.84n + 6.a 3.33a b +.4b 3.5n.34an +.6bn + 9.35a n + 3.8abn +.b n.8a 3 n 7.5ab n 4.95b 3 n +.68n.88bn 5.53a n + 3.a 3 n +.5b 3 n } (q)n (7) varanza exp{3.97 +.34n +.79a +.56b.898n.688na 4.8a + 4.75a 3 +.4b 3.47n +.6an + 3.3bn 4.5a n.abn 5.87b n + 4.89b 3 n +.874n.865bn } (q)n Nella (7), n(pr), menre a e b rappresenano l pù pccolo e l secondo pù pccolo de re nervall (v, v v, v ), coscchè se q, a e bmn(v, v ), menre se q, ab. La dsrbuzone Gamma con ques paramer fornsce approssmazon del 95% percenle della F q con error nferor al per mlle, assoluamene rascurabl dal puno d vsa praco, soprauo se s consdera che s sa dscuendo della dsrbuzone asnoca del es, che è per sua naura una approssmazone quando la s ulzz n campon fn. 4. Esempo llusravo In quesa sezone, l approcco proposo è llusrao medane un applcazone su da economc rmesral, relava all anals dell'poes d parà scopera de ass d neresse (UIP) ra ala e Germana nel perodo 973-996. L anals è saa condoa ulzzando l sofware MALCOLM.4 (Moscon, 998), che mplemena medane menù d facle ulzzo ue le procedure propose. Le varabl consderae sono le seguen: I I [ p, p, e,, ] Y (8) ovvero, rspevamene, ass d nflazone rmesrale de due paes (dfferenza prma de logarm degl ndc de prezz al consumo), le varazon rmesral logarmche del asso d cambo L/M, e ass d neresse su ol d sao a lunga scadenza de due paes (ass annual dvs per 4). I ass d nflazone sono d fone EUROSTAT, camb sono d fone Banca d'iala, menre ass d neresse sono d fone IMF; da sono dsponbl su rchesa. La Fgura mosra l proflo dnamco delle sere, che sono rmesral, dal 973. al 996. (T9).
.64.56.48.4.3.4.6.8. -.8.6 Inflazone n Iala (raeggao) e n Germana 73 75 77 79 8 83 85 87 89 9 93 95 Tass d neresse n Iala (raeggao) e n Germana.5.4.3...5.5..75.5.5. -.5 -.5 -.75 73 75 77 79 8 83 85 87 89 9 93 95 dfferenza log. del asso d cambo LIT/M 73 75 77 79 8 83 85 87 89 9 93 95 Fgura : I da L'poes d parà scopera de ass d neresse (UIP) con aspeave razonal mplca che la combnazone lneare I ( ) e (9) λ λ sa sazonara con valore aeso nullo per qualche approprao valore d λ. Un evenuale valore aeso ρ dverso da zero può essere nerpreao come un premo per l rscho, ed I ndca che gl nvesor rchedono ( λ λ) > ρ per sposare capale dalla Germana all'iala, requlbrando n al modo l asso d cambo. Il rango d conegrazone aeso è qund almeno, ma ovvamene non c sono mov eorc conrar ad un rango d conegrazone maggore d. Per modellare l veore Y s ulzza l modello (4) con due cambamen sruural. L'ulma osservazone del prmo perodo è l 979:4, menre l'ulma osservazone del secondo perodo è l 99: (T 7, T 77, v.9, v.84, a.6, b.9). Il prmo cambameno sruurale concde con la creazone dello SME, ma dovrebbe coglere anche lo shock perolfero e l cambameno della polca moneara amercana. Il secondo cambameno corrsponde all'usca dell'iala dallo SME, ma dovrebbe coglere anche l'unfcazone della Germana.
La Tabella rpora le usual sasche per la deermnazone del rardo massmo k nel VAR (s veda ad esempo Moscon, 998). I crer d nformazone suggerscono dvers valor d k: n al caso, è praca comune ne VAR non sazonar preferre l crero d Hannan e Qunn. S è scelo qund k, che olreuo è l prmo valore d k che da resdu approssmavamene whe nose veorale, n base al es d Godfrey. k Akake Hannan-Qunn Schwarz Godfrey χ ( 5) -53.8-53.7-5.97.5-54.4-53.6-5.57.44 3-54.44-5.9-5.6.77 4-54.83-5.89-5..95 5-55.3-5.79-49.3.97 Tabella : Anals del rrardo massmo (p-value per l es d Godfrey) La Tabella rpora es d normalà d Jarque-Bera condo su resdu del modello con k, che evdenzano una cera asmmera ne resdu dell'equazone d e e un eccesso d curos ne resdu dell'equazone per, coscchè la normalà è rfuaa a lvello d ssema. Sarebbe opporuno n queso caso nrodurre opporune varabl che consenano d oenere un resduo normale, ma daa la naura llusrava d queso sudo, non s procede n al senso. S no uava che, pochè prm k resdu del secondo e erzo sooperodo sono dencamene ugual a zero a causa dell'nroduzone delle dummy, es d scorrea specfcazone basa su resdu dovrebbero essere adaa: queso porebbe n pare spegare problem d curos. Equazone Asmmera Curos Asmm. e Curos I p.35.58.557 p.49.55.9 e..57.3 I.346.3.4.75..33 Ssema.98.8. Tabella : Tes d normalà d Jarque-Bera (p-value) La Tabella 3 rpora rsula dell'anals del rango d conegrazone, condoa ulzzando l es del rapporo delle verosmglanze n (5). Il p-value è calcolao ulzzando l'approssmazone della dsrbuzone (6) daa da una Gamma con meda e varanza calcolae n base alla (7). L'anals suggersce r3, che è conssene con le aspeave a pror. ar5
Ipoes Tes p-value r 74.73. r 45.37. r 75.64. r 3 8.36.69 r 4 8.8.68 Tabella 3: Tes per l rango d conegrazone (r) Le re relazon d conegrazone sono sae rsmae mponendo seguen vncol d sovradenfcazone (s veda Johansen, 996, per l'denfcazone dello spazo d conegrazone): ( ) 3 B b B B b γ β : H, con B, B e B 3 marc d vncol dare da 3 B B B,, e b e b veor d paramer da smare. Il es del rapporo delle verosmglanze, dsrbuo secondo una χ con 3 grad d lberà, assume valore 4.34, con un p-value d.35: l'poes perano non può essere rfuaa. Tale poes mplca che le seguen re varabl: ( ) I, e z, ( ), p z, ( ) ( ) I I, z 3 sono sazonare, ed esclude la presenza d rend nel prmo e secondo perodo per ue e re le varabl, e anche nel erzo per z 3,. La prma d al varabl ndca la volazone della UIP, la seconda ndca l asso d neresse reale edesco, la erza ndca l dfferenzale de ass d neresse real. L'poes UIP sembra perano acceaa. La Fgura 3 mosra le componen sazonare denfcare z,, z, e z 3,, unamene alle loro componen deermnsche. S noa che nel perodo cenrale (979:, 99:) n cu l'iala apparene allo SME, z, e z 3, hanno approssmavamene meda zero. La meda d z,, ovvero la dsaza dalla UIP, è posva e puoso grande nel prmo perodo, cosa che ndca che l
"premo per l rscho" sull'iala prma dello SME era approssmavamene l 4% su base annua. Nel erzo perodo, z, è n meda ancora posvo, esremamene alo mmedaamene dopo l'usca dell'iala dallo SME, ma ha un rend negavo e s azzera norno al 995..5 STATIONARY COMPONENT #..75.5.5. -.5 -.5 -.75 73 75 77 79 8 83 85 87 89 9 93 95. STATIONARY COMPONENT #.8.5..9.6.3. -.3 73 75 77 79 8 83 85 87 89 9 93 95.5 STATIONARY COMPONENT # 3. -.5 -.5 73 75 77 79 8 83 85 87 89 9 93 95 Fgura 3: Le componen sazonare In esrema snes, l anals mosra una maggore sablà delle relazon d conegrazone nel perodo 979-99 d apparenenza dell Iala allo SME: n ale perodo la pendenza del rend è nulla, come pure l nercea. Al d fuor d ale perodo, le relazon d conegrazone appaono sazonare solo ncludendo nel modello un rend, cosa che ndca che esse non sono sabl. 5. Concluson In queso lavoro vene presenao e llusrao medane un esempo un meodo per condurre anals d conegrazone n presenza d cambamen d regme ulzzando l'approcco d massma verosmglanza d Johansen. Il meodo proposo presena l vanaggo d consenre d fare nferenza sul rango d conegrazone n modo non affeo da paramer d
dsurbo. Il es proposo ha nolre una dsrbuzone asnoca ben approssmable medane una Gamma. L'anals rchede che pun n cu avvene l cambameno d regme sano no a pror, e queso può essere vso come un dfeo. Tuava, pochè un cambameno d regme è un fao macroscopco, non è mplausble che l rcercaore abba effevamene n mol cas delle nformazon, e possa qund svolgere la sua anals condzonaamene ad esse. Esemp d cò sono da nell'applcazone llusrava: le dae d creazone dello SME e d usca dall'iala dal ssema sono ben noe, ed è puoso naurale aspears che un ale eveno abba un effeo sulla dnamca de camb della lra con le alre value europee. verse drezon d rcerca fuura possono aprrs: una prncpale rguarda l'esensone dell'approcco qu presenao a suazon n cu alr paramer, e non solo quell delle componen deermnsche, varano da un sooperodo all'alro. S porebbe pensare ad esempo a varazon nel rango d conegrazone o ne veor d conegrazone. Rfermen bblografc Anderson T.W., 95, Esmang Lnear Resrcons on Regresson Coeffcens for Mulvarae Normal srbuons, Annals of Mahemacal Sascs, 37-35 Clemens M.P., Hendry.F. (999) Forecasng non-saonary economc me seres, MIT press, Cambrdge MA. oornk J.A (998) Approxmaons o he asympoc dsrbuon of conegraon ess, Journal of Economc Surveys,, 573-593. Johansen S. (996) Lkelhood-based nference n conegraed vecor auoregressve models, nd prnng, Oxford Unversy Press. Johansen S., Moscon R., Nelsen B. () Conegraon analyss n he presence of srucural breaks n he deermnsc rend, worng paper Moscon R. (998) MALCOLM: The heory of pracce of conegraon analyss n RATS, Ca' Foscarna, Veneza. Nelsen B., Rahbek A. () Smlary Issues n Conegraon Models, d prossma pubblcazone su Oxford Bullen of Economcs and Sascs.