ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA

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1 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do. Lo Nevo

2 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo Process sazonar n covaranza Essono fn momen rm e second ed nolre E[ Y ] µ, er ogn Var[ Y ] σ, er ogn funzone d (auo-)covaranza Cov[ Y, Y ] E[( Y µ )( Y µ )] γ ( h) + h + h funzone d (auo-)correlazone Cor[ Y, Y ] + h E[( Y µ )( Y + h µ )] E[( Y µ )( Y + h µ )] γ( h) ρ( h) Var[ Y ] Var[ Y ] Var[ Y ] γ( ) + h Le funzon d covaranza e d correlazone sono smmerche rseo all orgne ρ( h) ρ( h ) γ( h) γ( h ) er cu è suffcene consderare sol valor osv. Inolre ρ( ) er un ualsas rocesso socasco. Esemo: Il rocesso whe nose ε wn(, σ ) ha funzone d auo-correlazone ρ( ) ρ( h ), h > Qu soo sono rora corrsonden momen camonar, che er un rocesso sazonaro ed ergodco sono smaor conssen de momen sazal (o eorc) del rocesso. Per una sere emorale Y,..., d T osservazon: T ˆµ Y T Y Y T

3 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo ˆ σ T T ( Y Y ) ˆ( γ h) T h T h ( Y Y )(( Y + h Y ) ˆρ ( h) T h T ( Y Y )(( Y + h ( Y Y ) Y ) Il grafco della funzone d auocorrelazone è deo correlogramma. Tes sulla funzone d auocorrelazone: ρ( h ) Tes sul sngolo valore d ρ( h ) Barle dmosra che se l rocesso è whe nose le auocorrelazon camonare ˆ ρ ( h) sono er h> arossmavamene delle Normal ndenden d meda nulla e devazone sandard T, dove T ndca l numero oale delle osservazon. Qund l nervallo ] T + T[ ρ( h ). Ad esemo: H H A : ρ(), raresena la regone d acceazone al 95% crca dell oes nulla : ρ() ˆρ smao sul camone aarene all nervallo ] T + T[ Se (), ossamo affermare che l valore eorco della funzone d auocorrelazone ρ () è nullo con un lvello d confdenza d crca l 95%. In ermn euvalen, n ueso caso l oes nulla non uo essere rgeaa er un lvello d sgnfcava del es sasco ar al 5% (l lvello d sgnfcava del es e d solo ndcao con la leera greca alfa: α 5% ). Ovvamene se () ˆρ smao sul camone non aarene all nervallo ] T, + T[ rfuamo l oes nulla er un lvello d sgnfcava del es sasco ar al 5%. 3

4 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo Tes su rm H valor della funzone ρ( h ) S raa d un es er verfcare se la sere è whe nose, nel senso che l oes nulla è la seguene: H : ρ () ρ()... ρ( H ) L oes alernava è che almeno uno de rm H valor della funzone sa dverso da zero. Sasca Q d Box-Perce H Q( H ) T ˆ ρ ( h) χ h H Sasca Q d Lung-Box (usaa n E-vews) che e` da referrs alla rma su ccol camon: H ˆ ρ ( h) Q( H ) T ( T + ) χ H T h h Il es e un es ad una coda e rfuamo l oes nulla er valor eleva (osv) della sasca Q. Andando a calcolare l -value deo anche lvello d sgnfcava osservao del es, rgeamo l oes nulla uando ale valore e nferore o uguale al lvello α d sgnfcava (nomnale). Formalmene l -value concde con la robabla condzonaa rseo all oes nulla dell eveno χ > Q H ( H ), ossa - value rob( χ > H Q( H ) / H) Jarue-Bera es S raa d un es d Normala, ossa l oes nulla e che la sere sorca osservaa rovenga da un rocesso Normale. La sasca JB soo l oes nulla ha dsrbuzone asnoca χ, ossa ch uadro con grad d lbera. Rfuamo la Normala uando l -value e nferore o uguale al lvello α d sgnfcava (nomnale). Formalmene l -value concde 4

5 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo con la robabla soo l oes nulla dell eveno value rob( χ > JB / ). - H χ > JB, ossa Uso del correlogramma come es nformale della sazonareà d una sere emorale: er una sere non sazonara l correlogramma ende a zero molo lenamene e lnearmene. Vceversa, se la sere è sazonara la convergenza verso lo zero è molo ù rada (la convergenza e esonenzale). Essono comunue n leeraura es formal er verfcare la sazonareà della sere de es d radce unara. La rocedura che s segue d solo è d dfferenzare e/o rasformare la sere er raggungere la sazonareà. In ueso coneso l correlogramma alcao alla sere a lvell e alle dfferenze rme (seconde,...) ermee d verfcare se la sere rasformaa uò essere consderaa arossmavamene sazonara. Asseme alla funzone d correlazone arzale vene usao nell arocco Box-Jenkns er selezonare aramer e del rocesso ARMA(,). er ndvduare l evenuale sagonalà della sere emorale (ossa una cclcà dovua a faor, auno sagonal, ved ad esemo l cco delle vende d gocaol nel erodo naalzo). Quando abbamo a che fare con da nfrannual la sagonalà annuale è messa n evdenza da cch cclc u o meno regolar nel correlogramma a rard mull della freuenza nrannuale della sere. Ossa, 4, 36,... er sere mensl e 4, 8,, 6,... er sere rmesral. Queso erchè, ad es. er una sere rmesrale sagonale Y e Y +4 saranno u foremene correla e così ure Y +4 ey +8. Qund Y e Y +8 rsuleranno essere anch ess correla. come es d banchezza de resdu d un modello economerco, ossa er verfcare se l rocesso degl error d un rocesso economerco uo essere consderao essere effevamene un rocesso whe nose. S arla d banchezza de resdu erche whe nose sgnfca rumore banco. 5

6 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo Uso d E-vews er generare rocess ARMA Gaussan Processo..d. Gaussano o Normale S raa d un rocesso socasco cosuo da n.a. socascamene ndenden ed ugualmene dsrbu come Normal d valore aeso µ e varanza σ. In smbol X NIID( µ, σ ) Processo..d. Gaussano o Normale Sandard S raa del rocesso Z NIID(,), ossa cosuo da n.a. che hanno dsrbuzone Normale sandard. Relazone ra l rocesso Z NIID(,) ed l rocesso X NIID( µ, σ ) X µ + σ (rasformazone lneare d Z ) Z Il assaggo nverso, da X a Z, vene dea oerazone d sandardzzazone Z ( X µ) σ S no che un rocesso whe nose cosuo da n.a. aven dsrbuzone Normale concde con un rocesso..d. Gaussano. Per generare col comuer n E-vews una sere emorale d osservazon da un rocesso gaussano sandard usamo comand sml genr z nrnd Oenua ale sere emorale ossamo assare ad una sere emorale generaa da un rocesso..d. Gaussano ualunue, ad es. d valore aeso 3 e varanza 6 con l comando genr x3+4z 6

7 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo MODELLI DI REGRESSIONE LINEARI DINAMICI Consderamo l rocesso bvarao generaore de da (, x ) e assumamo che la varable x sa debolmene esogena er aramer d neresse. Qund ossamo lmarc a secfcare la sola dsrbuzone d / x e omeere la secfcazone della dsrbuzone margnale d x. In ermn arossmav cò sgnfca che la varable è deermnaa all nerno del modello e la varable x uò essere assuna come deermnaa al d fuor del modello. Una classe d modell d regressone lnear dnamc molo ama che rvese un ruolo fondamenale nell economera delle sere emoral è la classe de modell auo-regressv a rard dffer, n nglese Auo-Regressve Dsrbued Lag model, d ordne (,), abbreva n ARDL(,). Tale modello uò essere scro come segue: E [ / I ] c + a + b x oure n ermn euvalen come c + a + b x dove l errore è defno come E[ I ] / ε ed I {,..., x,..., x,...},,...,, ossa l se nformavo I conene valor assa d, l valore correne ed valor assa d x. Nel modello, a è la are auo-regressva menre b x è la are a rard dffer n cu comare anche l valore correne d x. S no che b raresena l mao sul valor medo condzonao d d una varazone unara d x nello sesso erodo, enue cosan le alre varabl. Per ale secfcazone del modello rsula che E [ ε / I ] Queso a sua vola mlca che: ε ) [ ] E ) cov( ε, ετ ) τ 3) cov( ε, ) k > k 4) cov( ε, ) k x k S no che se aggungamo alla condzone E[ / I ] ε, la condzone d regolarà 7

8 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo [ ε ] < E marngala., l rocesso degl error è noo n leeraura col nome d rocesso dfferenza d Possamo nolre assumere er semlcà che gl error sano omoschedasc ossa che 5) Var( ε / I ) Var( ε ) σ ε S no nolre che Var / I ) Var( ε / I ). ( Soo uese oes l rocesso degl error è anche un rocesso d nnovazon olre che un rocesso d rumore banco. Suonamo nfne che l rocesso bvarao generaore de da (, x ) sa sazonaro n covaranza ed ergodco. Se c condzonamo alle rme m max(,) osservazon, soo al oes lo smaore OLS rsula essere conssene, anche se dsoro su ccol camon (oché l modello è dnamco). Roramo u soo l esressone veorale dello smaore OLS e della sua marce d covaranza er l modello ARDL, Xγ, scro n forma veorale: γˆ OLS ( X'X) X' Cov ˆ ( γ OLS / X) σ ε ( X' X) La classe de modell ARDL(,) comrende come cas arcolar mol modell economerc dnamc usa n Economera. Modello a rard dsrbu fn: ARDL(,), ossa a... a Modello d aggusameno arzale: ARDL(,), ossa b, b... b Modello dead-sar: ARDL(,) con b Modello ECM o ECM (con meccansmo d correzone dell errore oure modello a correzone dell eulbro): s raa d una raramerzzazone del modello ARDL(,) er searare la dnamca d breve erodo dalla dnamca d aggusameno verso l eulbro saco d lungo erodo mlcao dal modello. Qu soo scrvamo ale raramerzzazone senza ndcare l modo n cu s è gun a ale rsulao. Ques ase verranno raa n un aragrafo a are ù avan. ) c + α ( βx + φ + δ x Nel modello, lascando da are la cosane, la varazone d è scomosa n due comonen: 8

9 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo - una are è legaa alla dnamca d breve erodo φ + δ x - l alra cosusce l meccansmo d correzone dell eulbro, α ( βx ). C s avvcna al valore d eulbro n modo roorzonale, ar ad α, all enà dello scosameno all nzo del erodo da ale valore d eulbro d lungo erodo, z β x. Modello alle dfferenze rme: c + φ + δ x S oene dal modello ECM nel caso n cu l aramero d aggusameno verso l eulbro sa nullo ( α ). Modello ECM Il modello ECM vene ulzzao sa nel caso d rocess veoral sazonar n covaranza, sa nel caso d rocess conegra, ossa rocess negra e und non sazonar, che erò ammeono delle combnazon lnear che rsulano essere sazonare. Se, come nel caso n esame, consderamo un rocesso bvarao (, x ), dove enrambe le comonen sono rocess I(), ossa rocess le cu dfferenze rme sono sazonare, s dce che l rocesso bvarao (, x ) è conegrao se esse una combnazone lneare con coeffcen non null ϖ ω + ω x che rsula essere sazonara n covaranza. Per l momeno lmamo l anals al modello ECM con varabl sazonare a lvell. Modello ECM con varabl sazonare Per rma cosa voglamo vedere soo ual condzon l modello ARDL rsula essere sable ossa ammee una relazone lneare saca d lungo erodo (asnoca) ra le varabl. S dmosra che se le radc dell euazone caraersca λ a λ.. a assocaa all euazone alle dfferenze fne omogenea d grado a 9

10 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo del modello ARDL(,) ammee radc, anche n camo comlesso, ue d modulo mnore d uno, ossa λ <,...,, allora l ssema è deo sable ed esse una relazone saca mlcaa dal modello che uò essere nerreaa come la relazone asnoca o d lungo erodo ra le varabl. Tale relazone und è la relazone d eulbro, verso la uale l ssema converge. La relazone lneare ra le varabl è l araore del ssema dnamco lneare. Poché soo ale condzone l eulbro è sable, ossamo calcolare la relazone d lungo erodo n modo molo semlce. Ponamo nnanzuo gl shock a zero e o er la sablà dell eulbro ossamo morre la cosanza delle varabl n eulbro. Qund x x x Perano a c + b x da cu c a + b a x a + βx La sessa cosa deve valere nel modello ECM n uano è una semlce raramerzzazone del modello ARDL. Abbamo che Qund c + α ( βx ) +

11 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo c α β + x e allora a c, α α a e αβ b. La relazone saca d lungo erodo mlcaa dal modello ARDL sable è und la rea a + βx. Suonamo d rovarc nel uno (, x ) aarenene a ale rea e che er una ualche ragone s verfch una varazone ermanene nella varable x, coscché la varable assa da x a x. Allora l ssema s muoverà verso l nuovo uno d eulbro dao dalla coa (, x ) dove adesso a + βx. Qund n (-), er un dao valore d x, lo scosameno o errore rseo al valore d eulbro a + β x è ar a a β x. Indchamo con z ale scosameno. Nel modello ECM l avvcnameno al valore d eulbro è graduale e ù secfcaamene è roorzonale all enà dello scosameno. S no che menre u abbamo defno z a βx nel modello ECM secfcao n recedenza abbamo z βx. Le due formulazon non sono n conraddzone. Posso nfa rscrvere l modello ECM anche come segue: c + ( a βx ) α + φ + δ x onendo c c + αa. Resa ancora da charre l modo n cu s assa dal modello ARDL a lvell al modello ECM. Qu d seguo faccamo vedere assagg er l caso ù semlce: l modello ARDL(,), c + a + b x + b x In ueso caso la condzone d sablà s rduce a rchedere che a <. Soraendo a snsra e desra dell uguale oengo: c ( a) + b x + b x Adesso sommo e soraggo a desra dell uguale b x e und oengo: c ( a ) + b x + ( b + b ) x

12 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo Defnsco α a ) e ( ( b + b ) β er cu ( b + b ) αβ ( a ) Qund oengo: c + α ( x βx ) + δ dove δ b. S no che ne due modell ovvamene l mollcaore d mao concde: [ / I ] E[ I ] E / b x x e lo sesso vale er l mollcaore asnoco E lm s [ / I ] E[ / I ] E[ I ] x s / x x β x Modello ECM con varabl negrae Suonamo adesso che I() e x I(). S no che ogn combnazone lneare d rocess I(), ossa sazonar n covaranza, è un rocesso I() e n generale: - una combnazone lneare d rocess I() è un rocesso I(); - la somma d un rocesso I() ed un rocesso I() è un rocesso I(). Queso sgnfca che se regredsco su x n generale l rocesso degl error sarà un rocesso I(): α + β x E sao dmosrao da dvers auor che anche nel caso n cu due rocess sono ra loro socascamene ndenden, rsula delle sme OLS della regressone saca u sora ndcaa mosrano che l f del modello è eccellene (R uadrao rossmo ad uno) ed aramer rsulano sgnfcavamene dvers da zero a consue lvell d sgnfcavà (5%, %). Passando nvece alle dfferenze rme, l modello a + β x + u mosra correamene che non c è correlazone ra due rocess, ossa R uadrao è rossmo a zero ed aramer rsulano non essere sgnfcavamene dvers da zero. Qund la regressone saca a lvell d rocess I() è una regressone sura erchè nduce l rcercaore a credere nell essenza d una relazone ra le varabl anche uando uese sono socascamene ndenden.

13 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo Engle e Granger nel 987 dmosrano che non semre le regresson sache a lvell sono regresson sure. Esse nfa la ossblà che una combnazone lneare d rocess I() rsul essere un rocesso sazonaro, I(). Ess defnscono ale roreà col ermne conegrazone. Se c lmamo al caso d un rocesso bvarao conegrao, s dmosra che esse al massmo una combnazone lneare (normalzzaa) d ale rocesso che rsula essere sazonara n covaranza. Per normalzzazone nendamo che onamo ar ad uno ad esemo l coeffcene della varable. Qund se ϖ ω + ω x è sazonaro n covaranza, la combnazone lneare ω normalzzaa s uò scrvere come βx, onendo β. Sock e Wason dmosrano ω che lo smaore OLS del modello saco α + β x è (suer) conssene: converge n robablà al coeffcene d conegrazone β ù radamene del caso n cu le varabl, anzché essere conegrae, sono I() (Esse erò l roblema non rascurable della dsorsone dello smaore su ccol camon). La relazone d conegrazone è nerreaa come la relazone saca d lungo erodo d eulbro (n uano l errore o scosameno è un rocesso sazonaro) ra varabl non sazonare. In ueso caso und la regressone saca OLS non è sura. In arcolare, n ueso caso l rocesso degl error sarà er defnzone sazonaro n covaranza. Nella regressone sura nvece esso sarà necessaramene I(). Passando al modello ECM abbamo due ossblà: - le varabl sono negrae ma non conegrae - le varabl sono conegrae Nel rmo caso l euazone βx ) c + α ( + φ + δ x non è blancaa erché a desra dell uguale comare una combnazone lneare d varabl negrae, ma non conegrae. Qund, er evare d smare relazon sure a lvell ra le varabl convene orre α e smare l modello alle dfferenze rme, erché ues ulmo non resena al roblem. Nel secondo caso nvece l euazone è blancaa se l ermne ECM è roro l rocesso degl error della relazone d conegrazone, essendo er defnzone sazonaro n covaranza. Effevamene Engle e Granger (987) dmosrano roro ueso: se l rocesso è conegrao allora vale la raresenazone ECM d sora dove z è l errore della relazone d conegrazone. Qund l modello alle dfferenze rme n ueso caso è un modello msecfcao, a meno che l aramero α, che msura la velocà d convergenza verso la relazone d lungo erodo, non sa nullo. Solo se α rsula non sgnfcavamene dverso da zero, è leco 3

14 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo smare l modello alle dfferenze rme. In caso conraro, nfa, erderemmo l nformazone sul comorameno delle varabl a lvell nel lungo erodo. Negl ulm dec ann una grandssma aenzone è saa rvola nell economa emrca alla verfca dell essenza d relazon ra le varabl a lvell. Per lo ù, al anals s basano sull uso d ecnche d conegrazone. Due arocc rncal sono sa adoa: la rocedura a due ass basaa su resdu er esare l oes nulla d nessuna conegrazone (ved Engle and Granger, 987, Phlls e Oulars, 99) e l arocco sulle regresson d rango rdoo basao su sme del ssema mulvarao dovuo a Johansen (99, 995). In ù alre rocedure sono sae rese n consderazone, come l arocco delle varabl aggune d Park (99), la rocedura basaa su resdu er esare l oes d conegrazone roosa da Shn (994) e l arocco (d ssema) basao su rend socasc comun d Sock e Wason (988). Tu ues meod s concenrano su cas n cu le varabl soosan sono negrae d ordne uno. Queso nevablmene nroduce un cero grado d re-esng, nroducendo ercò nell anals un ulerore grado d ncerezza nell anals d relazon a lvell. Nel l gruo d rcerca facene cao al rof. H. Pesaran ha rooso un nuovo arocco er esare l essenza d una relazone ra varabl a lvell che è alcable ndendenemene dal fao che regressor soosan sano uramene I(), uramene I() o muuamene conegra. Il es are dalla sma d un modello ECM condzonale non rsreo. L arocco è basao sul calcolo d lm (bounds) er l valore della sasca es che ualora suera consenono d concludere osvamene er l essenza d una relazone a lvell ra le varabl, ndendenemene dal fao che regressor soosan sano uramene I(), uramene I() o muuamene conegra. In caso conraro l es è nconclusvo, ossa non ossamo affermare che la relazone non esse. Se l es è conclusvo è ossble alcare l arocco basao sul modello ARDL d Pesaran and Shn (999) er smare la relazone a lvell e fare nferenza su d essa. Suonamo che ale relazone essa. Paramo dal seguene modello ARDL(,): + α + a + α b x Come rma c lmamo al caso d un rocesso bvarao, ma generalzzamo l modello nel senso che aggungamo anche un rend deermnsco lneare. Pesaran and Shn (999) usano la seguene raramerzzazone del modello: + α + a + ( b + b b ) x α + δ x + α + a + γx + α δ x S no che δ,,,..., b k k + 4

15 ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA Do.Lo Nevo La varable x è I(), debolmene esogena e ozzamo che segua l rocesso ARIMA(s,,): s x x + u Dove x è un rocesso sable ed nolre assumamo che l rocesso u ed ε non sano correla ra loro [s veda l arcolo er l caso n cu due rocess d errore sono correla]. Soo l oes che l modello ARDL è sable e che esse un unca relazone sable d lungo erodo ra ed x, Pesaran and Shn (999) dmosrano che è ossble smare n modo conssene aramer α, α, a,.., a, γ, δ, δ,..., δ con l meodo OLS e oenue le sme OLS smare n modo (suer) conssene aramer della relazone d lungo erodo κ α / a e β γ / a. Inolre è ossble fare nferenza sa su aramer d breve erodo che su uell d lungo erodo, usando la eora asnoca sandard normale, come nel caso d regressor I(). La regressone d conegrazone d lungo erodo sarà n ueso caso uguale a: µ + κ + βx + v con ν rocesso I(). S no che oché aramer d lungo erodo sono funzon non lnear de aramer d breve erodo l calcolo degl s.e. er aramer d lungo erodo rchede l uso del cosddeo meodo dela a arre dalle sme OLS. Qund meod d sma e d nferenza usa er smare le relazon ra varabl sazonare aorno ad un rend deermnsco (rend saonar) ossono n ueso caso essere usae anche er varabl sazonare alle dfferenze rme (dfference saonar). La scela del numero de rard da nserre nel modello ARDL uò essere faa ulzzando crer nformav Akake Informaon Creron (AIC) o Schwarz Baesan Creron (SC). E referble l uso del crero SC erché è un meodo d selezone ra modell conssene, menre AIC non lo è. 5