MACCHINE ELETTRICHE TRASFORMATORE MONOFASE
TRASFORMATORE Il trasformatore è una macchina elettrica statica reversibile, basata sul principio dell induzione elettromagnetica. È formato da un nucleo ferromagnetico, costituito da pacchi di lamierini, sul quale sono posti due avvolgimenti distinti: l avvolgimento primario, con N spire, che è alimentato da una sorgente esterna di tensione; l avvolgimento secondario, con N spire, al quale è collegato il carico. I pacchi di lamierini sui quali sono collocati gli avvolgimenti sono detti colonne. I pacchi di lamierini senza avvolgimenti sono detti gioghi.
TRASFORMATORE REALE A VUOTO Consideriamo il trasformatore monofase reale di figura e trascuriamo i flussi dispersi e le perdite nel rame e nel ferro (trasformatore ideale). v =V cos ωt+ψ α M i μα =IμMcosωt+Ψ- H α=hmcosωt+ψ- Ni B=μH α μα m m α = H dl =H l B=B α Mcosωt+Ψ- α= B ds m=bmcosωt+ψ- Sm = Mcosωt+Ψ- lm Nμα i =HMcosωt+Ψ- lm Mcosωt+Ψ- Mcosωt+Ψ- α μs m
PARAMETRI DEL CIRCUITO MAGNETICO DEL TRASFORMATORE REALE Sezione generica del circuito magnetico del trasformatore monofase reale di figura. Lunghezza media del circuito magnetico del trasformatore monofase reale di figura.
CIRCUITO MAGNETICO DEL TRASFORMATORE REALE A VUOTO Rappresentazione del circuito magnetico del trasformatore monofase reale di figura. Forza magneto motrice, riluttanza e legge di Hopkinson (detta legge di ohm magnetica) l N i =H cos ωt+ψ- l cos ωt+ψ- cos ωt+ψ- m μα M m M M α μsm
EQUAZIONI DEL TRASFORMATORE REALE A VUOTO Il principio di funzionamento per un trasformatore ideale può essere analizzato, esaminando il comportamento a vuoto e successivamente quello a carico. Supponiamo che l avvolgimento primario di N spire sia alimentato da una tensione alternata v (t) ed assorba la corrente i (t), quando il secondario di N spire è lasciato aperto. Per la legge di Faraday-Lenz si ha: e m (t)= - N dφ /dt e m (t)= - N dφ /dt Il trasformatore è una macchina che lavora generalmente ad altissimo rendimento, anche oltre il 98%; in prima approssimazione possiamo ritenere il trasformatore reale ideale e quindi trascurare le perdite per effetto Joule negli avvolgimenti, le perdite nel ferroe i flussi dispersi. L'equazione alla maglia del primario risulta: v (t) + e m (t) = 0 La tensione applicata al primario è uguale alla f.e.m. ed è opposta in fase. L'equazione alla maglia del secondario a vuoto risulta: v 0 (t) = e m (t)
TRASFORMATORE IMMAGINARIO A VUOTO Consideriamo il trasformatore monofase immaginario di figura (trasformatore ideale). v =V sen ωt+ψ M i μ =IμMsenωt+Ψ- H β=hmsenωt+ψ- Ni μβ=lmhmsenωt+ψ- B=μH β B=B β Msenωt+Ψ- β= Msenωt+Ψ- Ni = μβ β β e ripetiamo le considerazioni precedenti.
TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO Possiamo considerare la combinazione dei trasformatori monofase e come in figura + j otteniamo così un trasformatore complesso in un sistema di riferimento stazionario. jωt+ψ v = v +jv = V cos ωt+ψ +jsen ωt+ψ = V e αβ α β M M i μαβ = i μα +ji μβ = IμM cosωt+ψ- +jsen ωt+ψ- = IμMe αβ = α +j β = M cosωt+ψ- +jsen ωt+ψ- = Me jωt+ψ- jωt+ψ-
TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO Il trasformatore complesso è costituito da un trasformatore reale ed uno immaginario. Vettori rotanti v = V e αβ M i = I e μαβ αβ μm = e M jωt+ψ j(ωt+ψ- ) j(ωt+ψ- )
CIRCUITO MAGNETICO COMPLESSO DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO Possiamo considerare la combinazione dei circuiti magnetici dei trasformatori monofase e come in figura Legge di Hopkinson complessa : N i μ lm = con = μs m ottenendo così un circuito magnetico complesso per il trasformatore complesso in un sistema di riferimento stazionario.
EQUAZIONI DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO Nel sistema di riferimento possiamo scrivere le equazioni del trasformatore complesso v + e = 0 => v = e dove e m, e m,v,v0 sono vettori rotanti. d Le f.e.m sono: em N dt e d => e e N dt m m m 0 m Le equazioni () e () si possono scrivere anche come: d d Ni μ diμ v = N = N Lm dt dt = dt d d Ni μ diμ v0 N = N M dt dt = dt N NN con Lm induttanza magnetizzante, M= mutua induttanza v e N N m m
M i = I e μ αβ μm φ = e M j t+ψ- j t+ψ- TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO E DERIVATE DEI VETTORI ROTANTI Si può studiare il trasformatore complesso nel sistema utilizzando i vettori rotanti e le derivate dei vettori rotanti (le derivate sono uguali alle derivate degli esponenti per i vettori rotanti). Trasformatore complesso j( t+ψ) v = V e dφαβ e m N jωnφαβ dt diμαβ e L jωl i dt dφαβ e m N jωnφαβ dt diμαβ e M jωmi dt m m m μαβ m μαβ
V M j Ψ V= e I = μ I TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO d,q ROTANTE A VELOCITÀ Si può studiare il trasformatore complesso nel sistema d,q rotante con velocità ossia si può studiare utilizzando la tecnica dei fasori. E j Ψ- μm e j Ψ- = M e jn m E jl I E FASORI m jn m m μ Trasformatore complesso nel sistema di riferimento d,q E m jmi μ
CIRCUITO MAGNETICO DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO d,q ROTANTE A VELOCITÀ Possiamo studiare il circuito magnetico del trasformatore complesso nel sistema d,q rotante con velocità ovvero possiamo studiarlo utilizzando la tecnica dei fasori. FASORI Circuito magnetico complesso nel sistema di riferimento d,q. NI = N μ I jψ- μm e jψ- = M e NI μ lm = μs m
Nel sistema di riferimento d,q rotante con velocità angolare possiamo scrivere le equazioni E + V = 0 => V = -E dove E, E,V,V sono i fasori. m m 0 Le f.e.m sono: E E jωn Φ m jωn Φ m Legge fasoriale di Hopkinson: EQUAZIONI DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO d,q m m m 0 N I μ E =V => m m lm = con = μs L equazione () si può scrivere anche come: NI μ N V jωnφ = jωn = jωlmiμ con Lm induttanza magnetizzante L equazione () si può scrivere anche come: NI μ NN V 0 = Em jωnφ = jωn jωm Iμ con M= mutua induttanza E E N N m
CIRCUITO ELETTRICO DEL TRASFORMATORE COMPLESSO IDEALE A VUOTO Supponiamo N =N e quindi: Em N E m E m Em N I μ = N Il fasore della corrente al primario risulta in fase con quello del flusso e in quadratura in anticipo con i fasori delle f.e.m. E e E. m m I Circuito equivalente di un trasformatore complesso ideale a vuoto (si sono trascurate le resistenze degli avvolgimenti primario e secondario, le perdite per isteresi e correnti parassite e i flussi dispersi).
RILUTTANZA COMPLESSA DEL TRASFORMATORE A VUOTO PORTANDO IN CONTO LE PERDITE NEL FERRO Se consideriamo le perdite nel ferro allora il fasore della corrente al primario risulta la somma di una componente reattiva in fase con il flusso: N I -Em jω N e di una attiva in fase con la f.e.m. -Em V : -Em jn I R fe è il parametro che tiene conto a in cui Rfe Rfe Em delle perdite nel ferro per isteresi e correnti parassite: Pfe. R fe N N NI0 NI +NIa j j R Rfe Rfe N con R j riluttanza complessa. R Circuito elettrico di un trasformatore a vuoto portante in conto le perdite nel ferro, trascurando le resistenze degli avvolgimenti primario e secondario e i flussi dispersi. fe
CIRCUITI MAGNETICO ED ELETTRICO DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A VUOTO PORTANDO IN CONTO LE PERDITE NEL FERRO Confronto tra circuito magnetico ed elettrico prendendo in considerazione le perdite nel ferro. NI NI a N j R fe N NI0 NI +NIa j R R fe I -E m N N I a jω fe -Em jn R R fe
IMPEDENZA A VUOTO DEL TRASFORMATORE COMPLESSO N NI0 R con R j riluttanza complessa R fe E m + V = 0 => V = -E m = jn E =V m 0 Consideriamo l equazione al primario, questa può essere scritta come: V =-E = j N = j N I j L I Z I m 0 m 0 0 0 R N m R N jn 0 m R N Y 0 j R jn fe Rfe con L induttanza di magnetizzazione complessa Z j L j
MUTUA INDUTTANZA COMPLESSA DEL TRASFORMATORE A VUOTO Consideriamo l equazione al secondario, questa può essere scritta come: V 0 = E NN m = -jn = -j I 0 = -jmi 0 R NN con M = mutua induttanza complessa R Quando trascuriamo le perdite nel ferro (ovvero R ) risulta R e quindi le fe autoinduttanze e la mutua induttanza sono numeri reali.
TRASFORMATORE COMPLESSO A CARICO: DETERMINAZIONE DELLA CORRENTE ASSORBITA DAL PRIMARIO A V COSTANTE E QUINDI A FLUSSO COSTANTE Chiudiamo l avvolgimento del secondario sul carico. E + V = 0 => V = -E = jn E =V Z I m m m c Se la tensione di alimentazione non cambia nel passare da vuoto a carico, allora anche il flusso a carico è uguale a quello a vuoto, per cui si può scrivere N I R <=> N I R 0 0 j N NI NI =R <=> NI + NI = R j N => NI+NI =NI => 0 N I=I I con I I V V ' ' 0 N I=I V N I 0 N a vuoto a carico => =>
TRASFORMATORE COMPLESSO A CARICO: UGUAGLIANZA TRA F.M.M. A CARICO E F.M.M. A VUOTO Circuito magnetico a carico. La corrente assorbita dal primario a carico è somma della corrente a vuoto e della N corrente erogata al secondario riportata al primario: ' I I N La f.m.m dovuta alla corrente erogata al secondario riportata al primario è uguale in modulo e opposta in fase alla f.m.m. del secondario. N I = I I con I I ' ' 0 N ' N 0 0 0 N NI =N I I NI N I NI NI
DETERMINAZIONE DELLA CORRENTE ASSORBITA DAL PRIMARIO CONSIDERANDO CHE LA POTENZA EROGATA DAL SECONDARIO È TRASFERITA DAL PRIMARIO AL SECONDARIO Circuito equivalente di un trasformatore a carico, trascurando le resistenze degli avvolgimenti primario e secondario e i flussi dispersi e utilizzando il segno grafico del trasformatore. '* * -Em I = Em I Per il principio di conservazione dell energia la potenza assorbita dal primario a carico è somma di quella assorbita a vuoto e della potenza trasferita al secondario. '* * '* Em * '* -jn * '* N * ' N -E I =E I I =- I I =- I I =- I I =- I E -jn N N m m m
CIRCUITI MAGNETICI DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A CARICO: RIPORTO DELLA CORRENTE SECONDARIA AL PRIMARIO O DELLA CORRENTE PRIMARIA AL SECONDARIO A PARITÀ DI FLUSSO MAGNETICO COMUNE Circuito magnetico a carico, riporto della corrente secondaria al primario e riporto della corrente primaria al secondario. ( ) N I N I R N N I I R N N N I I R N
CIRCUITO ELETTRICO DEL TRASFORMATORE COMPLESSO A CARICO: RIPORTO DELLA CORRENTE SECONDARIA AL PRIMARIO Il circuito equivalente di un trasformatore complesso a carico, può essere disegnato come in figura evidenziando il riporto della corrente secondaria al primario mediante un generatore di corrente. NI +NI = R NI +NI N N V =-E m = jωn = jωn = jω I + I = R R N N N = jωl m I + I Z 0 I + I Z 0 I0 N N
CONFRONTO TRA CIRCUITO MAGNETICO A CARICO E CIRCUITO ELETTRICO A CARICO Confronto tra circuito magnetico a carico e circuito elettrico a carico. ( ) N N(I I ) N N -Em jωn jωn N I I R R N N N N N jω (I I ) jωl (I I ) (I I )= I R N N N m Z 0 Z 0 0
TRASFORMATORE COMPLESSO A CARICO CONSIDERANDO ANCHE I FLUSSI DISPERSI d d flusso disperso mediamente concatenato con una spira del primario. flusso disperso mediamente concatenato con una spira del secondario. flusso comune mediamente concatenato con una spira.
EQUAZIONI DI UN TRASFORMATORE COMPLESSO A CARICO CONSIDERANDO ANCHE I FLUSSI DISPERSI Considerando i flussi dispersi si può scrivere: E jωn Φ+Φ E jωn Φ E E d m d m d E jωn Φ+Φ E jωn Φ E E d m d m d NI = dd NI = dd d, d sono molto elevate rispetto a dato che 0 fe N NIN I =R con R j R fe NI N E jωn Φ jωn jω I jωl I d d d d d N d d con L induttanza di dispersione del primario NI N E jωn Φ jωn jω I jωl I d d d d d N d d con L induttanza di dispersione del secondario
TRASFORMATORE A CARICO Circuito magnetico con i flussi dispersi. NI= d d NI = d d N NIN I =R con R j R fe
E jωn Φ jωn Φ Φ E E TRASFORMATORE A CARICO d m d E jωn Φ jωn Φ Φ E E d m d E + V = 0 => V = -E E =V Z I c Circuito equivalente di un trasformatore acarico, trascurando le resistenze degli avvolgimenti primario e secondario.
TRASFORMATORE A CARICO Considerando le resistenze degli avvolgimenti primario e secondario il circuito equivalente si modifica come in figura. V + E = R I => V = R I E => V = R I E E d m => V =R I jl I E d m E =R I V => E E R I Z I => E jl I R I Z I m d c m d c => EmR I + jld I Z c I => => Circuito equivalente di un trasformatore a carico.
TRASFORMATORE A CARICO E = jωn Φ= R I = jl I = Z I m fe a m 0 0 con Z = 0 jl R m fe V =RI jldiem EmR I + jld I Z c I Circuito equivalente di un trasformatore a carico.
Trasformatore Monofase Consideriamo le equazioni del trasformatore monofase: V =RI jldiem E R I + jl I Z I V R I jl I E m d c d m Possiamo scrivere l equazione al primario come: I I R =RI jldi j I j I =RI jldi jl mi jmi R R = R I j L I j MI con L L L L ; M = R R V =RI jldi j =RI jldi j = d d m Possiamo scrivere l equazione al secondario come: II V RI jld I Em R I jld I jn R RI jldi j I j IRI jldi jl mi jmi = R R = R I jl I jm I con L Ld Ld L m; R
Trasformatore Monofase V =R I jl I E d m V RI jldi Em con N E = jl I jmi jl I I jl I E jl I jmi con m m m m 0 N m m Le equazioni del trasformatore monofase si possono anche scrivere come: V =RI jl I jmi L Ld Ld L m; R con V L Ld Ld L m; M= = RI jl I jmi R R
TRASFORMATORE A CARICO c Z c c è l'angolo di sfasamento tra V e I V jc Ze I
TRASFORMATORE A CARICO c
Riporto al primario d m V =R I jl I E E =R I + jl I V R I + jl I Z I m d d c N N N ' N N ' N N ' Em R I + j Ld I Z c I N N N N N N N N N ' Ricordando che Em Em e I I, risulta N N => => E R ' I ' + jl ' I ' V ' R ' I ' + jl ' I ' Z ' I ' 3 m d d c V dove N R = R ; L N = L ; Z N Z ; V N V ' ' ' ' d d c c N N N N Sostituendo la (3) nella () si ha V =R I jl I +R I + jl I V R I jl I +R I + jl I Z I ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' d d d d c
Riporto al primario V =R I jl I +R I + jl I V R I jl I +R I + jl I Z I ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' d d d d c I=I I ' 0 Circuito equivalente a T riportato al primario.
Riporto al primario In conclusione, per riportare le grandezze del secondario al primario occorre moltiplicare: le tensioni per N /N, le correnti per N /N, le impedenze per N / N. Tale riporto risulta invariante per le potenze. Infatti, considerando ad esempio le perdite nel rame dell avvolgimento secondario, risulta: ' ' N N N N R I = R I R I
d m Riporto al secondario V =R I jl I E m d c E R I + jl I Z I N '' N Moltiplicando la () per e definendo come I la corrente primaria I N N riportata al secondario, la () diventa: N N N N N N V = R I j L I E N N N N N N => dove '' " d m V =R I + jl I e ricordando che E " " " " " d m " N " N " N " N R = R ; Ld L d; V V; I I; N N N N N Em E m. N => V R I jl I R I + jl I Z I => " " " " " d d c " " " " " m d Sostituendo la (3) nella () si ha V R I jl I +R I + jl I Z I " " " " " d d c => E =V R I j L I 3 =>
Riporto al secondario ' I I0 I 4 N Moltiplico la (4) per N N N N ' " " N N " " I I I => I I I => I I + I N N N N N '' N N " " dove I0 I0 I + Ia I + Ia N N con 0 0 0 N N I I ; I I. " " a a N N E = jωnφ= R I = jl I = Z I 5 m fe a m 0 0 N N Moltiplico la (5) per, sostituendo al contempo " I. a Ia N N N N N N " N N " E m = jωn Φ= Rfe I a = j Lm I = N N N N N N N N = Z I => E = jωn Φ = R I = jl I Z I N N " " " " " " " 0 m fe a m 0 0
Riporto al secondario V R I jl I +R I + jl I Z I " " " " " d d c I I + I '' '' 0 E = jωn Φ =R I = jl I Z I " " " " " " m fe a m 0 0 Circuito equivalente a T riportato al secondario.
Riporto al secondario In conclusione, per riportare le grandezze del primario al secondario occorre moltiplicare: le tensioni per N /N, le correnti per N /N, le impedenze per N /N. Tale riporto risulta invariante per le potenze. Infatti, considerando ad esempio le perdite nel rame dell avvolgimento primario, risulta: " " N N N N R I = R I R I
Circuito equivalente a riportato al primario I I Essendo la 0 piccola rispetto alla è possibile spostare il ramo trasversale del circuito del trasformatore al primario a monte delle resistenze e delle reattanze. Il circuito si modifica come in figura. I = I I ' 0 0 I0 I I I
Circuito equivalente a riportato al primario Essendo le resistenze in serie e le reattanze in serie è possibile modificare il circuito come in figura. R =R +R ' ' eq L =L L ' ' eq d d L equazione risulta: V =R I + j L I I ' ' ' ' ' ' eq eq Z c
Circuito equivalente a riportato al secondario '' I 0 '' I Essendo la piccola rispetto alla è possibile spostare il ramo trasversale del circuito del trasformatore al secondario a monte delle resistenze e delle reattanze. Il circuito si modifica come in figura. I = I I '' '' 0 I I '' '' 0 0 '' '' I I
Circuito equivalente a riportato al secondario Essendo le resistenze in serie e le reattanze in serie è possibile modificare il circuito come in figura. " " R eq =R +R L =L L " " eq d d L equazione risulta: V =R I + jl I Z I " " " eq eq c
Variazione di tensione da vuoto a carico Tracciamo il diagramma vettoriale del circuito a riportato al secondario. c c c c O c c c c c Calcoliamo la differenza tra il modulo della tensione in ingresso e quello della tensione in uscita. " N V=V V = VV N
Variazione di tensione da vuoto a carico c c c c O c c c c c La differenza tra il modulo della tensione in ingresso e quello della tensione in uscita V è in figura indicato con il segmento AD, si può accettare la seguente approssimazione: V= AD AC = AB + BC = R I cos ωl I sin " " eq c eq c
Variazione di tensione da vuoto a carico Un altra formula per calcolare la differenza tra il modulo della tensione in ingresso e quello della tensione in uscita è dimostrabile come segue. V= AD = AC +CD = AB + BC +CD = R I cos ωl I sin +CD N ED = EH = = N V sin sin '' '' eq c eq ED N V N ED EC CD = ED cos90 - = ED sin = N N V V N Sostituendo la () nell eq. (), si ottiene: N c ωl " " eqi cos c R eqi sin c '' '' V ReqI cos ωleqi sin + c c N V N
Variazione di tensione da vuoto a carico La variazione di tensione può essere positiva, quando la tensione secondaria a vuoto è maggiore di quella a carico (caduta di tensione), oppure negativa quando si verifica un aumento della tensione secondaria a carico rispetto a quella a vuoto. Il segno della variazione di tensione dipende non solo dal modulo dell impedenza di carico, ma anche dalla sua natura. Per carichi ohmico-induttivi si verifica sempre una caduta di tensione, in quanto l argomento dell impedenza di carico è positivo e le componenti resistiva e reattiva della variazione di tensione sono entrambe positive. Se il carico è di natura ohmico-capacitiva la componente reattiva della variazione di tensione è negativa e quando supera la componente resistiva causa una variazione di tensione negativa. VR I cos ωl I sin R I cos ωl I sin '' '' '' '' eq c eq c eq c eq c L angolo di carico in anticipo ( c < 0) per il quale la variazione di tensione si annulla è tan '' R R eq tan '' X eq '' eq c '' c a Xeq Per valori superiori dell angolo di carico in anticipo, la variazione di tensione è negativa.
Variazione di tensione per diversi cos
Variazione di tensione da vuoto a carico VR I cos ωl I sin '' '' eq c eq '' '' Per ridurre V dobbiamo ridurre il flusso disperso, ovvero dobbiamo ridurre xeq Per fare questo il trasformatore è costruito con gli avvolgimenti disposti in modo concentrico come in figura. c ωl eq NUCLEO AVVOLGIMENTO A M.T./ AVVOLGIMENTO A B.T./
Rendimento Pout Pout Pout P P P P P P in out perdite out fe Cu P V I cos P P P P in n P cos out VI perdite fe Cu V R n fe, n fe ' ' '' Cu eq eq P R I R I potenza in ingresso al primario potenza in uscita al secondario potenza persa perdite per isteresi e correnti parassite nel ferro perdite nel rame dovute all effetto joule negli avvolgimenti percorsi da corrente Essendo il trasformatore una macchina statica non ci sono perdite per attrito e ventilazione e il rendimento di trasformatori di elevata potenza è molto alto.
Rendimento Trascurando la variazione di tensione al secondario al variare delle condizioni di carico e definendo il fattore di carico come rapporto tra l effettiva corrente circolante negli avvolgimenti e la corrispondente corrente nominale, allora risulta: out 0 0 n n In I I I P V I cos V I cos V I cos A cos '' I '' Cu eq eq n Cu, n In P R I R I P n A n A n cos cos Pfe, n P Cu, n Ad ogni fattore di potenza cos corrisponde una curva di rendimento al variare del fattore di carico.
Curve di rendimento per diversi cos cos = cos = 0. cos = 0.4 cos = 0.6 cos = 0.8
Rendimento Il fattore di carico opt a cui corrisponde il rendimento massimo si ottiene quando la funzione a denominatore nell espressione del rendimento assume valore minimo. Tale minimo si ricava derivando la funzione a denominatore rispetto al fattore di carico ed uguagliando a zero: d Pfe, n Pfe, n An cos PCu, n P Cu, n 0 d opt P P fe, n Cu, n Il fattore di carico opt a cui corrisponde il rendimento massimo è indipendente dal fattore di potenza cos del carico.