You do not eally undestand something unless you can explain it to you gandmothe (A.Einstein) IL CALCOLO FINANZIARIARIO 20 settembe 2004 Oganizzazione del modulo 1. Elementi intoduttivi 2. Inteesse semplice 3. Inteesse composto: anticipazione e posticipazione 4. Annualità: limitate e illimitate (cenni) 1. Elementi intoduttivi Il calcolo finanziaio pemette di effettuae confonti di VALORI che cadono in momenti divesi Pe impostae il calcolo isulta sempe utile una appesentazione gafico-tempoale dei Valoi (V) V 0 V 1 V 2 V n-2 V n-1 V n -------------------------- 0 1 2 n-2 n-1 n Anni o peiodi 1
Il ipoto dei valoi monetai nel tempo fa ifeimento al fatto che il denao - capitale indiffeenziato - dà luogo ad inteessi (I) Inteessi pagati da chi iceve denao in pestito Inteessi icavati da chi pesta denao L inteesse appesenta il pezzo d uso (costo) del denao Il saggio inteesse ( o agione o tasso) misua il pezzo del denao ed è genealmente espesso in temini pecentuali. Il saggio di inteesse applicato ad un capitale ne espime il costo annuo dello stesso Cescita di 1.000.000 Euo in 11 anni con =5% e =15% 4500000 0 4000000 3500000 3000000 5% 15% 2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 anni Valoi coenti e valoi eali Peché, in un deteminato lasso di tempo, un bene cambia di pezzo? Ad esempio: un tattoe podotto negli USA venduto sul mecato italiano 2003 = 30.000 Euo 2004 = 33.000 Euo 1. Inflazione: ta il 2003 e il 2004 l Euo ha peso il 2% di potee d acquisto 2. Regime di cambio: il tattoe viene acquistato sul mecato intenazionale e pagato in US$; nell anno il tasso di cambio è passato da 1US$=0,9 Euo a 1 US$=1,1 Euo 3. Regimi taiffai e fiscali: nell anno sono cambiate le tasse all impotazione, l IVA, le tasse di egisto, 2
Le opeazioni di matematica finanziaia esulano da ogni consideazione iguado l inflazione (come pealto nell analisi degli investimenti). Le valutazioni infatti vengono di solito effettuate a potee d acquisto costante della moneta (in temini eali) e non tenendo conto del pocesso inflattivo (valoi coenti, quelli che si ossevano sul mecato). 2003 = 30.000 Euo 2004 = 33.000 Euo Valoi coenti Pe deflazionae i valoi coenti: vd. tavole ISTAT sul potee d acquisto della moneta. Nell esempio, pe tasfeie in valoi eali (ifeiti al 2004) 30.000 Euo si utilizza il coefficiente 1,02: 30.000 * 1,02 = 30.600 l incemento eale di pezzo è stato di 2.400 Euo (+8%) In effetti, ipotizzando nessuna vaiazione nel egime fiscale e doganale, il pezzo all oigine è diminuito: se il tattoe è stato acquistato sul mecato USA in $, data la vaiazione del egime di cambio (da 1US$=0,9 Euo nel 2003 a 1US$=1,1 Euo nel 2004), c è stat una diminuzione del pezzo: negli USA costava 34.000 $ nel 2003, nel 2004 costa 30.000 $ (senza tenee in conto la pedita di potee d acquisto del dollao) 2003 = 30.600 Euo/0,9 = 34.000 $ 2004 = 33.000 Euo/1,1 = 30.000 $ diminuzione del pezzo all oigine di 4.000 $ (pai a -11,7%) 2. Inteesse Semplice Inteesse ifeito ad un anno: I = C 0 Inteesse pe peiodi divesi dell anno: I = C 0 m m = fazioni, o multipli, dell anno: 3/12 o 15/12 oppue 200/365 o 450/365 Fomule invese: I C 0 = = m I C 0 m 3
Montante C n = C 0 + C 0 = C 0 (1 + ) Pe fazioni o multipli dell anno: C n = C 0 + C 0 m= C 0 (1 + m) Fomula invesa: C n C 0 = (1 + m) 3. Inteesse composto Inteesse composto discontinuo annuo ------------------ 0 1 2.. n-2 n-1 n I = C n -C 0 Come si ottiene C n? Esempio = 20% 0,20 Anno Montante = Capitale + Inteesse 0 100 = 100 + 0 1 120 = 100 + 100 x 0,2 2 144 = 120 + 120 x 0,2 3 172,8 = 144 + 144 x 0,2 0 C o = C o 1 C 1 = C o + (C o x ) = C o x (1 + ) 2 C 2 = C 1 + (C 1 x ) = C 1 x (1 + ) = C 0 x (1 + ) x (1 + ) 3 C 3 = C 2 + (C 2 x ) = C 0 x(1 + )x(1 + )x(1 + ) 4
C 1 = C 0 + C 0 = C 0 (1+ ) C 2 = C 1 + C 1 = C 1 (1+ ) = C 0 (1+ ) 2 C 3 = C 2 + C 2 = C 2 (1+ ) = C 0 (1+ ) 3 q = 1 + C n-1 = C n-2 + C n-2 = C n-2 (1+) = C 0 (1+) n-1 C n = C n-1 + C n-1 = C n-1 (1+) 2 = C 0 (1+) n C n = C 0 (1+) n = C 0 q n Pocedua di posticipazione: C n = C o q n Pe esempio, un costo di 3M al 2 anno di un investimento, posticipato al 10 anno al 3% è pai a: 3M x (1+0,03) 8 = 3M x 1,03 8 = 3M x 1,267 = 3,8M L opeazione invesa è quella di sconto (o anticipazione o attualizzazione): ------------------ 0 1 2.. n-2 n-1 n C o = C n 1 q n 5
Pocedua di sconto Ad esempio, supponendo di dove scontae una voce di 1,5 M pevista all'anno 7 con un saggio di sconto del 5%, il valoe attuale isulteà pai a: 1,5 M x 1/(1+0,05) 7 = 1,5 M x 1/(1,05) 7 = 1,5 M x 0,71 = 1,065 M. Effettuando un agionamento inveso, cioè applicando una pocedua di posticipazione, si potebbe affemae che, investendo 1,065 M ad un saggio di inteesse del 5%, il valoe complessivo del capitale e degli inteessi matuati dopo 7 anni isulteebbe pai a 1,5 M. n anni 2% 5% 7% 10% 1 0,98 0,95 0,93 0,91 2 0,96 0,91 0,87 0,83 3 0,94 0,86 0,82 0,75 4 0,92 0,82 0,76 0,68 5 0,91 0,78 0,71 0,62 6 0,89 0,75 0,67 0,56 7 0,87 0,71 0,62 0,51 8 0,85 0,68 0,58 0,47 9 0,84 0,64 0,54 0,42 10 0,82 0,61 0,51 0,39 11 0,80 0,58 0,48 0,35 12 0,79 0,56 0,44 0,32 13 0,77 0,53 0,41 0,29 14 0,76 0,51 0,39 0,26 15 0,74 0,48 0,36 0,24 16 0,73 0,46 0,34 0,22 17 0,71 0,44 0,32 0,20 18 0,70 0,42 0,30 0,18 19 0,69 0,40 0,28 0,16 20 0,67 0,38 0,26 0,15 I coefficienti di sconto 1/q n (tanto più efficaci nel loo potee iduttivo, quanto più alti sono e n) The positive inteest ate is the enemy of long-lived investment pojects (Samuelson, 1976) 1/q n 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 5 10 15 20 n Quale delle 4 cuve è quella che appesenta il 10, 7, 5 e 2%? 6
1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2% 5% 7% 8% 10% Le pocedue pesentate finoa iguadavano valoi che cadono una tantum. Spesso si ha invece a che fae con valoi costanti che cadono secondo fequenze pecise: annualità Esempi di valoi icoenti e costanti: podotto annuo affitto salai e stipendi di lavoatoi fissi quote pagamenti mutui 4. Annualità In pesenza annualità (e anche di peiodicità) si potebbe continuae ad effettuae ipoti ifeiti ai singoli valoi: pocedua coetta ma lunga, da cui l elaboazione di fomule semplificate 1 caso: accumulazione finale di n annualità a a a a a a -------------- 0 1 2 n-2 n-1 n A n = a + a q + a q 2 +.. + a q n-2 + a q n-1 7
A n = a Da cui si può ottenee: 2 caso: accumulazione iniziale di n annualità (a) A 0 = a q n oppue, sostituendo A n con a: 1 A 0 = A n q n q n 1 1 q n 1 = a = a q n q n A 0 A n a a a a a a a a a a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a = A n da a q n a = A 0 a q n 8
Esempio: eintega del valoe di una macchina Valoe a nuovo: 32.000 Euo Valoe di ecupeo: 4.000 Euo duata: 6 anni = 5% Quota di eintega? a = A n a = (32.000-4000) x 0,05 / (1,05 6 1) = = 28.000 x 0,147017 = 4116,49 Esempio: piano ammotamento di un debito debito: 100.000 Euo duata: 10 anni = 5% Quota di ammotamento? q n a = A 0 a = 100.000 x 0,05 x 1,05 10 / (1,05 10 1) = = 100.000 x 0,129505 = 12.950,5 Valoi posticipati o anticipati a 1 a 2 a n-2 a n-1 a n ------------------ 0 1 2 n-2 n-1 n a 1 a 2 a 3 a n-1 a n ----------------- 0 1 2 n-2 n-1 n 9
A n = a q A 0 = a q q n a q A 0= = 0,05? inseisci il saggio di inteesse peiodi (t) = 5 (file Excel che può essee scaicato dal sito) Qual e il valoe finale = 0,05? inseisci il saggio di inteesse di una annualità peiodi (t) = 5 inseisci il numeo di peiodicità? annualità peiodicità accumul. accumul. accumul. accumul. posticipa- ammotamento accumul. finale accumul. iniziale anni sconto finale iniziale eintega iniziale iniziale zione peiod.illimit. peiod.limit. annu.limit. annu.limit. annu.illimit. peiod.illimit. n q n 1/q n ()/ ()/q n /() q n /() 1/ q nt -1/(q t -1) q nt -1/[(q t -1)q nt ] 1/() 0 1 1 0 0 - - 20 0 0-1 1,05 0,95238 1 0,952381 1 1,05 20 1 0,783526166 20 2 1,1025 0,90703 2,05 1,8594104 0,487805 0,537805 20 2,2762816 1,39743942 9,756098 3 1,157625 0,86384 3,1525 2,723248 0,317209 0,367209 20 3,9051762 1,878456518 6,344171 4 1,215506 0,8227 4,310125 3,5459505 0,232012 0,282012 20 5,9841044 2,255346001 4,640237 5 1,276282 0,78353 5,525631 4,3294767 0,180975 0,230975 20 8,6374021 2,550648773 3,619496 6 1,340096 0,74622 6,801913 5,0756921 0,147017 0,197017 20 12,023757 2,782026221 2,940349 7 1,4071 0,71068 8,142008 5,7863734 0,12282 0,17282 20 16,345699 2,963316507 2,456396 8 1,477455 0,67684 9,549109 6,4632128 0,104722 0,154722 20 21,861715 3,105362189 2,094436 9 1,551328 0,64461 11,02656 7,1078217 0,09069 0,14069 20 28,901703 3,216658698 1,813802 10 1,628895 0,61391 12,57789 7,7217349 0,079505 0,129505 20 37,886711 3,303862425 1,590091 11 1,710339 0,58468 14,20679 8,3064142 0,070389 0,120389 20 49,354111 3,372188827 1,407778 12 1,795856 0,55684 15,91713 8,8632516 0,062825 0,112825 20 63,989742 3,425724351 1,256508 13 1,885649 0,53032 17,71298 9,393573 0,056456 0,106456 20 82,668928 3,467670834 1,129115 14 1,979932 0,50507 19,59863 9,8986409 0,051024 0,101024 20 106,50883 3,500537002 1,020479 15 2,078928 0,48102 21,57856 10,379658 0,046342 0,096342 20 136,93525 3,526288504 0,926846 16 2,182875 0,45811 23,65749 10,83777 0,04227 0,09227 20 175,76794 3,54646548 0,845398 17 2,292018 0,4363 25,84037 11,274066 0,038699 0,088699 20 225,32938 3,562274668 0,773983 18 2,406619 0,41552 28,13238 11,689587 0,035546 0,085546 20 288,58373 3,574661581 0,710924 19 2,52695 0,39573 30,539 12,085321 0,032745 0,082745 20 369,3141 3,584367052 0,6549 20 2,653298 0,37689 33,06595 12,46221 0,030243 0,080243 20 472,34878 3,591971542 0,604852 elativa a 6 anni? inseisci il numeo di peiodicità? annualità peiodicità accumul. accumul. accumul. accumul. posticipa- ammotamento peiod.illimit. peiod.limit. accumul. finale accumul. iniziale anni sconto finale iniziale eintega iniziale iniziale zione annu.limit. annu.limit. annu.illimit. peiod.illimit. n q n 1/q n ()/ ()/q n /() q n /() 1/ q nt -1/(q t -1) q nt -1/[(q t -1)q nt ] 1/() 0 1 1 0 0 - - 20 0 0-1 1,05 Qual e 0,95238 il valoe del 1 0,952381 1Qual e 1,05 il valoe iniziale 20 1 0,783526166 20 2 1,1025 montante 0,90703 di un capitale 2,05 1,8594104 0,487805 0,537805 di una annualità 20 2,2762816 1,39743942 9,756098 3 1,157625 investito 0,86384 pe 8 anni? 3,1525 2,723248 0,317209 0,367209 elativa a 5 anni? 20 3,9051762 1,878456518 6,344171 4 1,215506 0,8227 4,310125 3,5459505 0,232012 0,282012 20 5,9841044 2,255346001 4,640237 5 1,276282 0,78353 5,525631 4,3294767 0,180975 0,230975 20 8,6374021 Qual e 2,550648773 il la quota annuale 3,619496 6 1,340096 0,74622 6,801913 5,0756921 0,147017 0,197017 20 12,023757di un 2,782026221 capitale da 2,940349 7 1,4071 0,71068 8,142008 5,7863734 0,12282 0,17282 20 16,345699 ammotizzae 2,963316507 in 8 anni? 2,456396 8 1,477455 0,67684 9,549109 6,4632128 0,104722 0,154722 20 21,861715 3,105362189 2,094436 9 1,551328 0,64461 11,02656 7,1078217 0,09069 0,14069 20 28,901703 3,216658698 1,813802 10 1,628895 0,61391 12,57789 7,7217349 0,079505 0,129505 20 37,886711 3,303862425 1,590091 11 1,710339 0,58468 14,20679 8,3064142 0,070389 0,120389 20 49,354111 3,372188827 1,407778 12 1,795856 0,55684 15,91713 8,8632516 0,062825 0,112825 20 63,989742 3,425724351 1,256508 13 1,885649 0,53032 17,71298 9,393573 0,056456 0,106456 20 82,668928 3,467670834 1,129115 14 1,979932 0,50507 19,59863 9,8986409 0,051024 0,101024 20 106,50883 3,500537002 1,020479 15 2,078928 0,48102 21,57856 10,379658 0,046342 0,096342 20 136,93525 3,526288504 0,926846 Qual e 16 2,182875 il valoe 0,45811 23,65749 10,83777 0,04227 0,09227 20 175,76794 3,54646548 0,845398 17 attuale 2,292018 di un 0,4363 25,84037 11,274066 0,038699 0,088699 20 225,32938 3,562274668 0,773983 capitale 18 2,406619 elativo Qual e il valoe attuale di un capitale 0,41552 28,13238 11,689587 0,035546 0,085546 20 288,58373 3,574661581 0,710924 19 all anno 2,52695 12? deivante da un eddito illimitato con 0,39573 Qual e 30,539 il la quota 12,085321 annuale 0,032745 0,082745 cadenza peiodica 20 369,3141 ogni 10 anni? 3,584367052 0,6549 20 2,653298 0,37689 33,06595 di un capitale 12,46221 da 0,030243 0,080243 20 472,34878 3,591971542 0,604852 eintegae in 10 anni? 10