aoo ngeozzi appunti di W S ad uso degi studenti dei corsi di aurea triennae in rchitettura con esercizi svoti prefazione di ntonea ecchi Edizioni ecnoogos
opright 2008 ecnoogos Editore La riproduzione, anche parziae o ad uso interno o didattico di questa dispensa didattica, con quasiasi mezzo effettuata, non autorizzata è punibie in base ae eggi vigenti L autore è in possesso de autorizzazione aa pubbicazione dee immagini riprodotte ne opera; rimane tuttavia a disposizione di tutti cooro che possono vantare diritti sue immagini I edizione: 2008 ecnoogos, via untebei 22 46040 avriana () e 037682160 a 02700530215 e-mai: edizioni@tecnoogosit wwwtecnoogosnet IS 97-88888697-24-6
Questa raccota di appunti non ha pretese di esaustività nei confronti di una materia, come a meccanica strutturae, compessa ed articoata E un compendio dee nozioni base dea discipina che sono di ausiio ad uno studente che si confronta con a stessa per a prima vota Gi argomenti, sviuppati consequenziamente, cercano di seguire un iter ogico che porti i fruitore ad uno studio ineare de argomento, dae basi ai temi più compessi; daa teoria dei vettori, come modeo meccanico dee azioni, a modeo geometrico di trave e sempici sistemi di travi, a concetto di isostaticità ed iperstaticità, condizioni di equiibrio e congruenza, sino a giungere a concetti eementari dea meccanica dei continui Inotre, sono stati inseriti richiami di matematica e geometria ove necessario, a fine di non asciare dubbi su quanto viene dimostrato di vota in vota nche gi esercizi svoti contengono tavota precisazioni e metodoogie utii, non affrontate in sede teorica Si auspica, quindi, che queste poche pagine possano rendere i mondo dea meccanica strutturae meno ostico per chi o affronta, e forse far nascere passione per a materia Questi appunti, redatti da aoo ngeozzi, contengono traccia dee mie ezioni per i corsi di eccanica Strutturae 1 e eccanica Strutturae 2 e possono rappresentare un vaido strumento per gi studenti che come aoo si avvicinano ae tematiche dea meccanica strutturae E per me motivo di orgogio vedere come impegno e a costanza di aoo hanno permesso di mettere a punto questo vaido supporto a programma che svogo ne corso di Laurea triennae in Scienze de rchitettura ntonea ecchi
SI ELL RVE 1 EORI EI VEORI _Vettori iberi Un vettore è un modeo matematico utiizzabie per a rappresentazione di azioni meccaniche È caratterizzato da: - un moduo - una direzione (retta d appartenenza a vettore) - un verso (da a ) Quindi un vettore è un segmento orientato dotato di moduo, direzione e verso I vettore viene indicato con una ettera minuscoa sottoineata u, o come differenza fra i punti definenti i moduo (es ) u u = - ati due vettori v1 e v2 è possibie procedere a diverse operazioni v1 v2 Vettore somma Si intende ridurre questo sistema di vettori ad un sistema di un unico vettore equivaente, risutante dei due vettori metodo (i paraeogramma) a far coincidere i punti di partenza dei due vettori b tracciare e rette direzionai di v1 e v2 c tracciare e paraee ae rette passanti nei punti finai dei vettori d tracciare, dae partenze dei vettori, un vettore fino a intersezione fra e due nuove rette si ottiene v3, risutante dei due vettori metodo trasare i vettori v1 e v2 nee rispettive terminazioni, trovando a risutante v1 v2 v1 v3 v3 v2 6
EORI EI VEORI Vettore differenza Graficamente, corrisponde aa diagonae minore de paraeogramma v3 = v1 v2 v2 = v3 v1 -v1 v4 v1 v2 v4 v3 v2 v4 -v1 prodotto scaare = vettore forza * vettore spostamento = avoro = un numero k * u = k = 3-2 u vettore spostamento vettore forza = 3i 2j u = 2i * u = 3i*2i 2j*0j = 6 (i versori, essendo unitari, vagono 1) rodotto di un vettore per uno scaare ati i vettore v ed i numero reae, i prodotto v* fra i vettore e o scaare può restituire: - per >0 un vettore con verso concorde a queo di partenza - per <0 un vettore con verso opposto - per 0<<1 un vettore più piccoo di queo di partenza, verso concorde - per >1 un vettore più grande di queo di partenza, verso concorde rodotto scaare (o prodotto interno) Ogni vettore, ideamente posto in un piano cartesiano, possiede una componente orizzontae ed una verticae; per definire si associano agi assi due versori unitari i e j ue versori unitari non dipendenti inearmente sono a base per individuare ogni vettore de piano v = 3 2 v = 2j 3i Rappresentazione trigonometrica: v = v sen 2 v cos 2 j v sen i v v v cos In sostanza i prodotto scaare restituisce entità de vettore, è a componente di un vettore secondo a direzione (espressa in seno e coseno) di un atro vettore e piano: i*i (eggasi i scaare i ) = componente de moduo per coseno di 0 = 1*1 = 1 i*j (eggasi i scaare j ) = componente de moduo per coseno di /2 = 1*0 = 0 i prodotto scaare di vettori ortogonai fra oro è zero -esempio pratico- v1 = i=1 j=2 k=1 v2 = i=3 j=-1 f? = eterminare f in modo che i due vettori siano ortogonai v1 * v2 = 0 1i * 3i 2j * (-1j) 1k * f = 0 3 2 f = 0 f = -1 j i j k i i j k i*i i*j i*k 1*1=1 1*0=0 0 j*i j*j j*k 1*0=0 1*1=1 0 k*i k*j k*k 0 0 1 7
SI ELL RVE rodotto vettoriae (o prodotto esterno) ati due vettori v1 e v2, i prodotto vettoriae v1 v2 restituisce un vettore ortogonae ai due vettori di partenza v1 v1 v2 v2 i j k i j k i i i j i k 0 1 1 j i j j j k 1 0 1 k i k j k k 1 1 0 -esempio pratico (piastro con trave a sbazo)- = _Vettori appicati reazione ee strutture si para di vettori appicati (siano essi forze o spostamenti), i quai non possono essere spostati iberamente neo spazio, ma soamente secondo a oro retta d azione In una struttura, inotre, e forze devono essere in equiibrio, e cioè avere uguae moduo, uguae direzione ma verso opposto 1 2 1 a E evidente che per equiibrare i sistema servono a risutante [R] dee forze in gioco ed i braccio di appicazione dee forze 1 : a = 2 : b 1 2 = a b b 2 = R In questo modo è possibie spostare gi assi di appicazioni dee forze, aggiungendo un momento di trasporto creato dae forze di partenza In questo modo si ottiene un sistema equivaente a queo di partenza, ovverosia un sistema che ha gi stessi effetti di queo iniziae È possibie ottenere a risutante compessiva de sistema (Rt) trasando soamente i vettori ungo a oro retta d azione, operazione ecita con i vettori appicati v1 v3 v2 v1 Ripetendo, quasiasi sistema può essere ricondotto ad un sistema equivaente in un asse paraeo, con aggiunta di un momento di trasporto; ma è necessario prendere a distanza ortogonae aa retta d azione dea forza v2 R 1 v3 v3 R 1 Rt momento = forza [] * unghezza [] coppia di forze uguai in moduo e direzione ma opposte in verso b e forze si misurano in ewton [], ed i momenti in ewton per metri [*m] 8
EORI EI VEORI -esempi pratici- 2 v1 v1 d2 d1 O v1 d2 d1 O v2 R v2 d3 R d4 v3 v3 d riportare, partendo da un punto quasiasi, e paraee ae congiungenti sue rette d azione dei tre vettori E due forze producono un momento appicato ne baricentro = due forze si eidono = e forze producono due momenti opposti che si eidono Rimane a forza appicata come in E differente retta d azione dea forza = uguae retta d azione d1 v1 d2 v2 d3 d4 v3 =d1 d1 v1 v2 d4 =d4 v3 _oigono funicoare etodo grafico per individuazione dea risutante e de asse centrae di vettori appicati ati tre vettori v1, v2 e v3 e proungare d1 e d4, ripetendo a precedente operazione per un paio di vote; si ottengono i punti per cui passa asse centrae de sistema ( ) v1 v2 v3 - ati due vettori paraei concordi, asse centrae è paraeo aa direzione dei vettori e cade fra di essi, più prossimo a vettore possedente maggior moduo - ati due vettori paraei discordi, asse centrae cade a esterno dei due vettori, più prossimo a vettore possedente maggior moduo a trattare i vettori come fossero vettori iberi e trovare a risutante b scegiere un poo arbitrario O c tracciare e congiungenti con i poi dei vettori b ad esempio, v1 è anche uguae a percorso dee sue congiungenti 9
SI ELL RVE 2 VIOLI E EQUILIRIO ravi e piastri sono oggetti monodimensionai, e cioè oggetti con una dimensione predominante e dimensioni dea sezione sono piccoe se confrontate con a unghezza, e quindi approssimabii ad una inea passante per asse baricentrico de oggetto modeo monodimensionae = inea congiungente i baricentri dee diverse sezioni G sezione sse ongitudinae (uogo geometrico dei baricentri dee sezioni) Setti e pannei necessitano invece di un modeo bidimensionae, basato sua superficie media (uogo geometrico dei baricentri deo spessore) Esempio di schematizzazione strutturae: I probema sorge nee giunzioni fra eementi (travi, piastri, suoo) vengono posti dei vincoi a moto rigido de oggetto, determinando movimenti eciti ed ieciti i vincoo espeta dee azioni uguai e contrarie a quee che agiscono sua struttura, neutraizzandoe reazione Le strutture affrontate d ora in poi saranno quindi ferme ed in equiibrio _Gradi di ibertà ne piano neo spazio = 6 (tre trasazioni, tre rotazioni) ne piano = 3 (due trasazioni, una rotazione) u = spostamento paraeo a asse v = spostamento paraeo a asse = rotazione intorno a asse z V azioni verticai H azioni orizzontai azioni di rotazione = OVEZIOE OSIIV v u v (antioraria) u 10
VIOLI E EQUILIRIO _cuni tipi di vincoo - ppoggio o carreo (vincoo sempice biatero) impedisce che oggetto trasi secondo una direzione, vincoando un grado di ibertà cinematica statica u 0 H = 0 v = 0 V 0 0 = 0 incognita L appoggio può espetare una reazione uguae e contraria aa forza agente b quando un oggetto è appoggiato ad un atro non o compenetra ma neanche può staccarsene = vincoo biatero - erniera (vincoo doppio) impedisce due trasazioni, vincoando due gradi di ibertà - iea impedisce o spostamento verticae ed in parte queo orizzontae; non impedisce a rotazione cinematica statica 0 u K H = f(u) v = 0 V 0 0 = 0 - oppio pendoo (due biee vicine in paraeo) impedisce o spostamento verticae ed in parte queo orizzontae; impedisce anche a rotazione cinematica statica 0 u K H = f(u) v = 0 V 0 = 0 0 cinematica statica u = 0 H 0 v = 0 V 0 0 = 0 incognite _ipi di strutture ontroando i rapporto fra gradi di ibertà dea struttura e numero dei vincoi, è possibie individuare tre tipi di struttura: La cerniera espeta due reazioni uguai e contrarie ae forze agenti; non espeta reazioni aa rotazione - Se GdL struttura > nvincoi struttura abie - Se GdL struttura = nvincoi struttura isostatica - Se GdL struttura < nvincoi struttura iperstatica - Incastro (vincoo tripo) vincoa tutti i gradi di ibertà, reagendo con una coppia di forze b a verifica de iperstaticità di una struttura dipende daa posizione dei vincoi e da quai gradi di ibertà impediscono cinematica statica u = 0 H 0 v = 0 V 0 = 0 0 incognite L incastro espeta tre reazioni uguai e contrarie ae forze agenti Struttura abie Vincoi ben disposti (impediscono anche a rotazione) 11
SI ELL RVE I vincoi trattati finora sono detti isci (si prescinde da quasiasi fenomeno di attrito) e biateri (impediscono o spostamento nea direzione dea reazione e nea sua contraria) d esempio, in un oggetto appoggiato non si può verificare né a situazione (compenetrazione di una superficie), né a (distacco daa medesima) _Equiibrio di una struttura Una struttura si dice in equiibrio quando e forze agenti sono bianciate da reazioni uguai e contrarie ae condizione, comunque, è necessaria ma non sufficiente; ad esempio, a seguente struttura è in equiibrio, ma risuta abie _Linee d azione dee reazioni nei vincoi 2 2 e appoggio sono noti i verso e a direzione dea reazione, poiché i medesimo impedisce unicamente gi spostamenti perpendicoari a pattino È possibie procedere a cacoo soo dopo aver appurato isostaticità dea struttura in anaisi (GdL = nvincoi) In sostanza, per far sì che una struttura sia in equiibrio e sommatorie di tutte e forze ed i momenti agenti su di essa devono essere pari a zero i = 0 i = (agenti) (reagenti) i = 0 i = (agenti) (reagenti) La cerniera non espeta reazioni di tipo momento La inea d azione dee reazioni passa sicuramente per i punto di cerniera, ma non se ne conosce a priori i coefficiente angoare a queste equazioni derivano e tre equazioni fondamentai dea statica: Hi = 0 a sommatoria dee azioni orizzontai deve essere pari a zero e incastro a inea d azione dee reazioni non passerà per i vincoo; non è possibie conoscerne a priori punti noti ed incinazione Vi = 0 a sommatoria dee azioni verticai deve essere pari a zero i = 0 a sommatoria dei momenti deve essere pari a zero 12
VIOLI E EQUILIRIO -esempio pratico- _Esercizio n01 H È possibie procedere mediante due sistemi di risouzione: grafico ed anaitico V e sistema grafico si procede, innanzitutto, disegnando un sistema equivaente aa struttura di partenza si ridisegna a struttura, e mediante a inea dee pressioni si trasportano e forze nei vincoi, determinando in seguito e reazioni che i vincoo espeta incognite Hi = 0 H = 0 H = Vi = 0 V = 0 i = 0 * /2 = 0 = /2 /2 /2 /2 /2 /2 \ Linea dee pressioni dove agisce unica forza presente ne sistema (cvd non passante per incastro) H V /2 e sistema anaitico si appicano e tre equazioni fondamentai dea statica aa struttura, sostituendo i vincoo con e reazioni che può espetare H V Hi = 0 H = 0 Vi = 0 V = 0 V = i = 0 * = 0 = b i punto di riferimento per i cacoo de momento è incastro 13
SI ELL RVE _Esercizio n02 45 _Esercizio n03 45 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Vi = 0 V /2 = 0 V= /2 /2 Vi = 0 V /2 V = 0 /2 /2 i = 0 /2* = 0 = /2 /2 (cacoo de momento in ) = 0 /2*/2 V * = 0 = /22 V V = /22 V = /2 /22 V = /22 Lp2 45 Lp1 /2 H V /2 /2 /2 /2 /2 onsiderazioni La inea dee pressioni passa per entrambi i vincoi si hanno due inee dee pressioni er determinare si parte de appoggio, a cui direzione dea reazione è nota, individuando Lp1; intersezione fra Lp 1 e inea d azione dea forza e a cerniera sono i due punti che determinano a Lp2 er e reazioni si costruisce i paraeogramma a inverso, utiizzando e due rette direzionai Lp1 ed Lp2 b incinazione ed i verso di R permette di ipotizzare, senza procedere aa souzione anaitica, i verso di V ed H R /2 /2 R R Lp2 45 /2 /2 /2 /2 /2 R Lp1 H V /2 V /2 /2 14
VIOLI E EQUILIRIO _Esercizio n04 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 45 /2 /2 _Esercizio n05 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 2 Vi = 0 V /2 V = 0 Vi = 0 V /2 = 0 V = /2 = 0 /2*3/2 /2*/2 V *2 = 0 = 2/2 2V V = /2 V = 0 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad /2 /2 Lp2 Lp1 /2 /2 i = 0 /2*2 /2*2 = 0 2 45 2 onsiderazioni La souzione anaitica conferma quanto già appurato mediante i metodo grafico, e cioè che a cerniera espeta soamente una reazione orizzontae R /2 /2 Lp2 Lp1 /2 H V 2 /2 2 /2 /2 R 2 /2 /2 H V /2 /2 /2 /2 iagramma di corpo ibero Si ridisegna a struttura, senza vincoi, mettendo a posto dee incognite e reazioni cacoate /2 /2 2 /2 /2 V 2 /2 /2 15
SI ELL RVE _Esercizio n06 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 45 _Esercizio n07 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 45 Vi = 0 V V /2 = 0 /2 R Vi = 0 V /2 V = 0 /2*3/2 V * = 3/22 V V = 3/22 V = 3/22 /2 V = /22 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R V H Lp2 R Lp1 R /2 /2 /2 = 0 /2* /2*5/2 V *2 = 0 = 7/22 2V V = 7/42 V = 3 /42 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R H V Lp2 /2 R /2 R Lp1 R V /2 /2 /2 V /2 /22 3/22 /2 /2 3/42 /2 /2 /2 7/42 /2 /2 /2 16
VIOLI E EQUILIRIO _Esercizio n08 45 _Esercizio n09 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Hi = 0 H = 0 q /2 Vi = 0 V /2 V = 0 Vi = 0 V q/2 = 0 V = q/2 /2 = 0 /2* V *2 = 0 = /2 2V V = /22 V = /22 /2 R R i = 0 q/2*5/4 = 0 = 5q²/8 5q²/8 q/2 q/2 /2 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R Lp2 45 Lp1 /2 La souzione di questo esercizio può essere addizionata a quea de precedente in caso di motepici forze agenti i sistema può essere scomposto ed anaizzato per parti R H V q/2 /2 /2 /2 5q²/8 /2 /2 /2 H /2 /2 q/2 q/2 /2 /22 V /2 /22 V /2 /2 17
3 RERISIHE I SOLLEIZIOE SI ELL RVE ome viene soecitato ogni punto dea trave? La materia trasmette e forze da un punto a atro fino a fare giungere nei vincoi È necessario quindi anaizzare e caratteristiche di soecitazione interna dea trave ivedendo a trave in n sezioni, ogni sezione dea trave risuterebbe come incoata, soidae aa successiva d esempio, immaginando di sorreggere una pia di ibri, spingendo ai ati rimane unita, ma se a forza viene meno i tutto coassa e anaisi viene ideamente considerato un concio di trave, e cioè una parte di trave compresa fra due sezioni dea stessa, eseguite a distanza fra oro _onvenzione positiva in un concio di trave G sezione sse ongitudinae - Sforzo ormae : due forze uguai in direzione ed opposte in verso; azioni ungo asse dea trave di trazione (positive) e compressione (negative) - agio : tensioni tangenziai, positive se i concio ruota in senso orario - omento ettente : due coppie di forze uguai ed opposte; i momento fettente è positivo se azione tende e fibre inferiori dea trave 18
RERISIHE I SOLLEIZIOE E possibie tradurre in forma anaitica e grafica e caratteristiche di soecitazione interna rendendo ad esempio a seguente struttura: utto ciò funziona fintantoché a sezione non incontra a forza appicata, quindi: 0 /2 = 0 ne sistema non è appicata nessuna forza che produca azioni di trazione o compressione /2 = 0 = /2 2 /2 /2 a decidere un verso di percorrenza de oggetto, per esempio da a 2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 per = /2 = /4 2 b eiminare una parte dea struttura 2 2 d continuare anaisi per a restante parte dea struttura b vanno eseguite tante sezioni quante sono e parti di struttura divise da appicazioni di forze; in questo caso e sezioni significative sono due /2 = 0 2 /2 o c Ovviamente bisogna porre quacosa in sostituzione dea parte di struttura che viene eiminata, in quanto non sussiste più equiibrio; e qui entrano in gioco e caratteristiche di soecitazione interna 2 o /2 = 0 = /2 una forza concentrata fa satare i tagio de entità dea forza stessa o /2*( /2) * = 0 per = 0 = /4 per = = 0 19
SI ELL RVE e riassumere graficamente Scegiendo i verso di percorrenza opposto i risutati non cambiano, ma per iniziare anaisi è necessario girare considerare atro ato de concio 0 /2 = 0 o 2 2 2 /2 = 0 = /2 /2 /2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 per = /2 = /4 =0 =0 _Rotazione de concio di convenzione positiva nee strutture /2 /2 /4 20
RERISIHE I SOLLEIZIOE _Esercizio n10 Hi = 0 H = 0 H = Vi = 0 V = 0 i = 0 * /2 = 0 = /2 /2 /2 /2 sezione 02 0 /2 = 0 = 0 = o /2 o /2 /2 o = 0 = per = 0 = 0 per = /2 = /2 sezione 01 0 = 0 = =0 = 0 o /2 = 0 = /2 =0 onsiderazioni Ricordare sempre di ruotare i concio di convenzione positiva ne modo giusto (vedi schematizzazione sovrastante) /2 /2 21
SI ELL RVE _Esercizio n11 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Vi = 0 V /2 V = 0 45 /2 /2 /2 /2 sezione 02 0 2/2 o /2 /2 /2 45 /2 /2 = 0 /2*3/2 /2*/2 V *2 = 0 = 2/2 2V V = /2 V = 0 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R /2 /2 Lp2 Lp1 /2 /2 = 0 = /2 /2 = 0 = /2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 per = 2/2 = 2/4 /2 /2 /2 /2 /2 o /2 /2 R /2 o 2/2 /2 /2 =0 /2 /2 sezione 01 0 /2 = 0 = /2 = 0 o = 0 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 sezione 03 0 2/2 /2 = 0 = /2 /2 = 0 = /2 o /2*( 2/2) = 0 per = 0 = 2/4 per = 2/2 = 0 =0 /2 2/4 22
RERISIHE I SOLLEIZIOE _Rapporti fra tagio, momento e inee dee pressioni È possibie tracciare intuitivamente i grafico de momento fettente a partire daa inea dee pressioni, sapendo che: a nei punti di intersezione o identità fra inea dee pressioni e struttura i momento è zero b in caso di paraeismo fra struttura e inea dee pressioni, i momento sarà una costante c più è grande a distanza fra a inea dee pressioni e a struttura, più si verificherà momento d se a inea dee pressioni è di compressione, i momento è situato a opposto di essa rispetto a asse dea trave; se di trazione, i momento è situato dao stesso ato dea inea dee pressioni d esempio, ne precedente esercizio: - fra e a Lp2 coincide con a struttura i momento sarà zero ne tratto di coincidenza - in a Lp1 interseca a struttura i momento sarà zero ne punto di intersezione - fra e a Lp2 si aontana daa struttura i momento, partendo da zero, andrà via via aumentando fino a - fra e è vaida a Lp1, e si avvicina aa struttura i momento, partendo da suo massimo in, andrà via via diminuendo fino a zero in - Le inee Lp1 ed Lp2 sono di compressione, quindi i momento sarà disegnato da ato opposto ad esse, con asse a struttura b i tagio è una caratteristica di tipo forza, e quindi sata quando incontra forze appicate; i momento, di conseguenza, sata incontrando una coppia appicata R /2 /2 /2 =0 =0 R /2 Inotre, i diagramma de tagio è a derivata de diagramma de momento a ciò si può dedurre: - se i tagio è zero in un tratto, i momento sarà costante o zero - se i tagio è costante, i momento sarà un incinata; i tagio in questo caso è i coefficiente angoare de momento - se i tagio è un incinata, i momento sarà paraboico; e così via - se i tagio è zero in un punto, i momento avrà un massimo, un minimo od un fesso, come matematica insegna er conferma di quanto detto, vedere esempio precedente /2 /2 Lp2 Lp2 Lp1 /2 Lp1 /2 /2 i tagio non percepisce a coppia i coefficiente angoare ne momento è uguae, come si desume da diagramma di tagio, ma i diagramma di momento sata in corrispondenza dea coppia 23
SI ELL RVE _Esercizio n12 3q²/2 3q²/2 Hi = 0 H = 0 Vi = 0 V q = 0 V = q q q o q q i = 0 q*3/2 = 0 = 3q²/2 3q²/2 q q sezione 02 0 q = 0 = q = 0 /2 /2 =0 q 3q²/2 sezione 01 0 2 o 3q²/2 q q /2 /2 o 3q²/2 q*2 = 0 = q²/2 sezione 03 0 = 0 q o =0 q q =0 q = 0 q = 0 = q o 3q²/2 q* = 0 q = 0 = q per = 0 = 0 per = = q 3q²/2 q²/2 q²/2 per = 0 = 3q²/2 per = 3/2 = 3q²/2 3q²/2 = 0 = 0 o q*/2 = 0 per = 0 = 0 q²/2 per = 2 = 3q²/2 2q² = 0 = q²/2 per = = q²/2 24
RERISIHE I SOLLEIZIOE _Esercizio n13 Hi = 0 H = 0 q _omento, tagio e sforzo normae in termini differenziai d Vi = 0 Va Vb q = 0 = 0 q*/2 Vb* = 0 V = q/2 V = q/2 q/2 /2 q /2 q/2 rendendo una piccoa parte di carico d, si nota che i carico è variabie, ma a porzione considerata è tanto piccoa da essere costante d q q/2 o q q/2 q/2 a a ci si sposta di d, e di conseguenza e azioni non sono uguai; quindi viene appicato un piccoo incremento d d d d d sezione 01 0 = 0 =0 =0 opo aver individuato e risutanti dea piccoa porzione di carico obiquo preso in considerazione, è possibie cacoare equiibrio de concio qv d qh q/2 q = 0 per = 0 = q/2 per = /2 = q/2 q/2 = 0 per = = q/2 q = q/2 q/2 q/2 d qh*d d = 0 qh = (derivata ) d d qv*d ( d) = 0 qv*d d = 0 qh = (derivata ) d d o *d qv*d²/2 d = 0 d = (derivata ) = o q/2* q*/2 = 0 per = 0 = 0 per = /2 = q²/4 q²/8 = q²/8 per = = q²/2 q²/2 = 0 q²/8 b d²/2 è un infinitesimo di ordine superiore, trascurabie rispetto agi atri termini de equazione d o d d d 25
SI ELL RVE _La cerniera interna rattasi di un particoare vincoo che, come a normae cerniera, non può trasmettere momento Ogni trave ha tre gradi di ibertà; a cerniera interna è un vincoo doppio, ed impedisce due gradi di ibertà ue travi posseggono sei gradi di ibertà, e vincoate con tre vincoi cerniera, impedenti ognuno due gradi di ibertà, formano una struttura isostatica (a fianco) h/2 h/2 Hi = 0 H H = 0 Vi = 0 V V = 0 V = V = 0 *h/2 V * = 0 V = h /2 V = h /2 V H V h/2 h/2 H La cerniera interna è comunque mobie e equazioni, come previsto, non sono sufficienti aa risouzione de probema si ricorre a equazione ausiiaria t1 h/2 (cerniera interna) = 0 parte sinistra dea struttura t1 V h/2 È evidente che non si posseggono sufficienti dati noti per a souzione de probema (troppe incognite) è necessario scrivere un equazione ausiiaria di equiibrio de momento, cacoando ne punto di cerniera interna (); tae equazione è reativa a troncone t1 o t2 dea struttura i due tronconi possono essere cacoati separatamente, ponendo che in i momenti dei medesimi sono nui t1 H V t2 H V h/2 h/2 b scegiere ne anaisi sempre a parte di struttura che è utie ai fini de cacoo, e cioè dove si trovano forze appicate note *h/2 H *h = 0 H = /2 H = /2 V b V e V formano una coppia positiva V di vaore h /2* = h /2, controbianciata daa coppia che formano e reazioni H H con a forza pari a *h /2 = h /2, negativa situazione di equiibrio H H H La inea dee pressioni deve passare per e cerniere, poiché è noto a priori che in tai punti non si verifica momento h/2 h/2 a a non sono presenti carichi, quindi a Lp1 deve essere regoata daa reazione di, e passare per a cerniera in e a cerniera interna in racciare a inea d azione di ; proungando da intersezione con a Lp1 in si individua a Lp2 Lp2 R h/2 R Lp1 h/2 /2 h/2 /2 h/2 26
RERISIHE I SOLLEIZIOE sezione 01 0 h/2 o h/2 /2 h/2 h/2 h/2 /2 h/2 /2 sezione 03 0 h h/2 o /2 h/2 = 0 = h/2 h/2 = 0 = h/2 /2 = 0 = /2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 /2 /2 = 0 = /2 o /2* = 0 per = 0 = 0 per = h/2 = h/4 per = h = h/2 o h/2 h/2 o h/2 sezione 02 0 h/2 h/2 /2 h/2 h/2 /2 /2 /2 sezione 04 0 h/2 h/2 /2 h/2 = 0 = h/2 h/2 /2 = 0 = /2 /2 = 0 = /2 o /2*( h/2) * = 0 h/2 = 0 = h/2 o /2*h h/2* = 0 per = 0 = h/4 per = h/2 = h/4 h/4 h/2 = 0 h/4 per = 0 = h/2 per = = h/2 h/2 = 0 27
SI ELL RVE _Esercizio n14 Hi = 0 H H q/2 = 0 Vi = 0 V V = 0 V = V q /2 /2 3q/162 o 9q/162 3q/8 3q/16 3q/16 q/8 q /2 /2 = 0 q/2*3/4 V *2 = 0 q/2 sezione 01 R 0 2 R = 3q²/8 2V V = 3q/16 V = 3q/16 = 0 parte destra dea struttura rispetto a q/2*/4 H * = 0 = q²/8 H H = q/8 H = q/2 q/8 H = 3q/8 R Lp2 Lp1 R q/2 /2 /2 9q/162 = 0 = 9q/162 3q/162 = 0 = 3q/162 o 3q/162* = 0 per = 0 = 0 per = 2 = 3q²/16 9q/162 3q/8 3q/16 q Lp1 vaida da a q/2 Lp2 vaida da q/2 ad V H V H q /2 /2 3q/162 q/8 3q²/16 /2 3q/8 3q/16 3q/16 q/8 q /2 3q²/16 9q²/128 28
RERISIHE I SOLLEIZIOE 3q/8 sezione 02 0 3q/16 o sezione 04 0 /2 o q 3q/16 q/8 /2 3q/8 = 0 = 3q/8 3q/8 = 0 = 3q/8 o 3q/16*( ) 3q/8* = 0 per = 0 = 3q²/16 per = = 3q²/16 3q²/16 3q²/8 = 0 3q/16 = 0 = 3q/16 q/8 q= 0 per = 0 = q/8 per = /2 = 3q/8 per = /8 = 0 sezione 03 0 /2 o 3q/16 q/8 o q/8*(/2 ) q*/2 = 0 per = 0 = q²/16 per = /2 = q²/16 q²/16 q²/8 = 0 per = /8 = q²/16 q²/64 q²/128 = 9q²/128 (massimo) 3q/16 = 0 = 3q/16 q/8 = 0 = q/8 o q/8* = 0 per = 0 = 0 per = /2 = q²/16 29
SI ELL RVE E _Esercizio n15 Hi = 0 q H H H = 0 q H G o q q/87q/8 q q/8 7q/8 E H G q/8 q/8 Vi = 0 V H V = 0 V = V H H = 0 q*/2 V *3 H * = 0 3V = H q/2 V = H /3 q/6 = 0 parte sinistra dea struttura rispetto a q*3/2 H *2 V *2 = 0 q*3/2 H *2 (H /3 q/6)*2 = 0 3q²/2 2H 2H /3 q²/3 = 0 4H /3 7q²/6 = 0 4H /3 = 7q²/6 H = 7q/8 H H = q 7q/8 H H = q/8 V = 7q/24 q/6 V = q/8 V H = q/8 Lp1 vaida da a q Lp2 vaida da q ad R q q R q q V R H q/8 E Lp1 Lp2 R H H V H H G E H G E H G q/8 q/8 sezione 01 0 q/8 = 0 = q/8 7q/8 q = 0 per = 0 = 7q/8 per = = q/8 per = 7/8 = 0 o 7q/8* q*/2 = 0 per = 0 = 0 per = = 7q²/8 q²/2 = 3q²/8 per = 7/8 = 49q²/64 49q²/128 = 49q²/128 (massimo) 3q²/8 =0 q/8 7q/8 q/8 q²/8 q/42 q²/8 q/8 q/8 q/8 =0 =0 q/8 q/8 q²/4 =0 q²/8 q/8 7q/8 49q²/128 30
RERISIHE I SOLLEIZIOE sezione 02 0 2 q/2 q/2 = 0 = 0 q/2 3q/42 = 0 = q/42 o q/2*/2 q/2*/22 q/2*(/22 ) 3q/42*(/2 ) = 0 per = 0 = q²/2 q²/4 q²/4 3q²/8 = 3q²/8 per = 2 = q²/2 q²/4 q²/4 q² 3q²/8 3q²/4 = q²/8 sezione 03 0 7q/8 q = 0 = q/8 q/8 = 0 = q/8 o q/*3/2 7q/8*2 q/8*( ) = 0 per = 0 = 3q²/2 7q²/4 q²/8 = q²/8 per = = 3q²/2 7q²/4 q²/8 q²/8 = 0 /2 sezione 04 q 0 o q/2 q/8 = 0 = q/8 q/2 q/2 3q/42 q/8 = 0 = q/8 q q/8 o 7q/8 o q/8* = 0 per = 0 = 0 per = = q²/8 sezione 05 0 q/8 = 0 = q/8 q/8 = 0 = q/8 o q/8* q/8* = 0 per = 0 = q²/8 per = = q²/4 sezione 06 0 2 q/8 = 0 = q/8 q/8 = 0 = q/8 o q/8* q/8*( ) = 0 per = 0 = q²/4 per = = q²/8 per = 2 = 0 H o q/8 q/8 o H G q/8 q/8 o E H G q/8 q/8 31
SI ELL RVE _Esercizio n16 q q Hi = 0 q H E = 0 H E = q Vi = 0 V V E = 0 V = V E E q/2 o q/2 q/2 E 2q² q = 0 q*/2 V * = 0 V = q/2 V E = q/2 E = 0 E q*/2 V * = 0 E = q*/2 q/2*3 E = 2q² Lp1 vaida da a q Lp2 vaida da q ad E Lp1 2q R R E Lp2 q R E E R E sezione 01 0 = 0 q/2 = 0 = q/2 o q/2* = 0 per = 0 = 0 per = = q²/2 =0 q q/2 q q/2 q/22 q q/2 3q/22 q²/2 V E V E E H E q²/2 q²/2 2q² 32
RERISIHE I SOLLEIZIOE o sezione 02 0 q/2 q sezione 04 0 o q/2 = 0 = q/2 q = 0 = q q/2 q = 0 per = 0 = 0 per = = q q/2 = 0 = q/2 o q* q/2*( ) 2q² = 0 per = 0 = 2q² q² q²/2 = q²/2 E 2q² q o q/2* q*/2 = 0 per = = 2q² q² q²/2 q²/2 = 0 per = 0 = q²/2 per = = q²/2 q²/2 = 0 sezione 03 0 2 o E 2q² 3q/22 q/22 q/22 = 0 = q/22 3q/22 = 0 = 3q/22 o 3q/22* 2q² = 0 per = 0 = 2q² per = 2 = 2q² 3q²/2 = q²/2 33
_Esercizio n17 Hi = 0 H H H = 0 H = H H b graficamente è possibie intuire i vaore di V H a Lp1 ha un incinazione di 45, quindi e componenti di R devono essere di uguae moduo V H = H H Vi = 0 V 2q V H = 0 H = 0 2q*5 V *4 H *2 = 0 2H = 4V 10q H = 2V 5q E = 0 parte sinistra dea struttura rispetto a E 2q*2 H * V * = 0 2q*2 (2V 5q)* V * = 0 4q 2V 5q V = 0 3V = 9q V = 3q V H = 3q 2q V H = q H = 2(3q) 5q H = q H H = q q q 2q 2 2 E R H R Lp2 E R E 2q Lp1 2 2 R H H H G G G 2 2 SI ELL RVE o sezione 01 0 2 q = 0 = q 3q = 0 = 3q o 3q* = 0 = 3q per = 0 = 0 q 3q per = 2 = 6q² q q 3q q 4q² 3q 2 E q 3q q =0 q2 q =0 q2 3q 2q² =0 2 q G 2 q H q q q 4q² Lp1 vaida da H a 2q Lp2 vaida da 2q ad H 2 2q² 2 V 2 V H H H H 6q² 34 4q²
RERISIHE I SOLLEIZIOE sezione 02 0 2 o q 2 q2 q2 o 3q = 0 = 3q q = 0 = q 2 3q q2 2q2 o 3q*2 q* = 0 per = 0 = 6q² sezione 04 0 2 per = 2 = 4q² q2 2q2 = 0 = q2 q2 q2 = 0 = 0 2 q o o q2*/2 2q2*2 q2*(2 ) q2*(/2 ) = 0 per = 0 = q² 4q² 2q² q² = 0 per = 2 = q² 4q² 2q² 2q² q² 2q² = 0 sezione 03 0 2 q = 0 = q 3q q = 0 per = 0 = 3q 2 q 3q sezione 05 0 4 q = 0 = q q = 0 = q per = 2 = 3q 2q = q o q*2 3q*(2 ) q*/2 = 0 per = 0 = 4q per = 2 = 2q² 6q² 6q² 2q² = 0 o q* = 0 per = 0 = 0 per = 4 = 4q² o q H q 35
SI ELL RVE _Verifica mediante equiibrio gobae aa rotazione sezione 06 0 2 q = 0 = q o G È moto utie eseguire anche equiibrio gobae aa rotazione dea struttura, in verifica finae dei cacoi trascritti ne diagramma di corpo ibero 2q q = 0 = q o q*4 q* = 0 per = 0 = 4q² per = 2 = 2q² q q H 2 q 3q E 2 q q G H 2 sezione 07 0 2 = 0 q2 = 0 = q2 o q2*(2 ) = 0 per = 0 = 2q² per = 2 = 0 o 2 q2 G 2 eventuamente, è possibie scomporre forze e reazioni, in modo da ottenere coppie formate da forze di eguae moduo 2q q 2q q E q q G H 2 H 4 i = 0 q*4 q*2 2q* = 0 = 0 a struttura è in equiibrio aa rotazione 36
SRUURE REIOLRI 4 SRUURE REIOLRI Le strutture reticoari sono strutture formate da aste rettiinee, connesse agi estremi attraverso nodi cerniera ai strutture possono essere sia spaziai sia piane I punto di incontro di due o più aste ne quae non viene trasmesso momento è chiamato nodo cerniera nodo cerniera asta rettiinea ssunti di cacoo da adottare per strutture reticoari piane: - reticoare con aste interconnesse da cerniere perfette (metodo che non sarà affrontato; a cerniera perfetta equivae ad una cerniera normae in cui = 0, tenendo conto che in casi particoari e cerniere trasmettono momento) - reticoare con carichi esterni appicati ai nodi cerniera tutte e aste sono soggette soo a sforzo normae, costante ungo tutta a unghezza de asta e aste possono quindi anche essere dette biee = 37
SI ELL RVE _ipi di strutture reticoari _oncetti preiminari per i cacoo a individuare e reazioni vincoari esterne b trovare gi sforzi normai su tutte e aste - Reticoare oonceau si inizia numerando i nodi e e aste (es nodi con numero arabo cerchiato, aste con numero arabo non cerchiato), e successivamente si conteggiano i gradi di vincoo esterno (numero nodi) : 6 5 8 5 9 6 (numero aste) : 9 3 4 5 6 7 - Reticoare Ingese V (numero gradi di vincoo) : 3 due daa cerniera, uno da appoggio 1 1 2 2 3 - Reticoare ohniè e incognite sono o sforzo normae sue aste e e reazioni vincoari ogni nodo fornisce due equazioni di equiibrio; e equazioni compessive sono quindi due vote i numero dei nodi equazioni = 2 incognite = V una struttura reticoare piana è risovibie quando: 2 = V - Reticoare evie o megio, riassumendo in un coefficiente g: g = 2 V g > 0 2 > V struttura abie g = 0 2 = V struttura isostatica g < 0 2 < V struttura iperstatica quindi, a struttura di partenza = 6 = 9 V = 3 12 = 12, g = 0 è una reticoare isostatica 38
SRUURE REIOLRI _etodo di cacoo de equiibrio ai nodi onvenzione: se o sforzo normae su un asta è incognito, esso è sempre uscente da nodo a cacoare e reazioni vincoari b scrivere per ogni nodo due equazioni di equiibrio, una aa trasazione orizzontae ed una aa verticae c e incognite dee suddette equazioni sono gi sforzi normai su tutte e aste b è indispensabie non avere più di due incognite per nodo, e gi equiibri fatti agi utimi due nodi permettono di verificare se i precedenti cacoi sono esatti dee quattro equazioni che vengono scritte, tre sono di controo poiché e reazioni sono già note dagi atri cacoi 5 5 6 -esempio pratico- c scrivere e equazioni di equiibrio, una aa trasazione orizzontae una aa verticae a cacoare e reazioni vincoari EO 6 5/2 = 0 6 = 5/2 6 = Hi = 0 H = 0 5 6 4 7 3 EV 5/2 = 0 5 = 2 Vi = 0 V 1 V 2 = 0 1 = 0 V 2 * * = 0 V 2 = V 1 = 2 5 4 3 1 1 2 2 d ripetere tae operazione per i resto dei nodi onvenzione: se o sforzo normae su di un asta è noto e positivo si indica uscente da nodo, se noto e negativo entrante ne nodo EO 7 = 0 7 = 6 = 4 7 = 6 = 9 V = 3 5 6 4 7 5 4 3 3 2 EV 4 = 0 4 = 0 4 7 = 3 1 1 V 1 = 2 2 V 2 = EO EV 3/2 = 0 3 = 2 2 3/2 = 0 2 = 3 b per i cacoo si parte da un nodo cerniera che comprende due soe aste, per i quae vanno scritte due soe equazioni ne esempio è possibie partire da nodo 2 o da nodo 5 2 39
SI ELL RVE 2 = f come utima operazione, segnaare i risutati ottenuti nea struttura di partenza EO 1 = 0 1 = 0 EV 2 = 0 2 = (prima equazione di verifica) 1 2 puntone tirante asta scarica 5 6 4 7 5 4 3 3 2 1 1 2 3 = 2 4 = 0 3 = 2 2 EO 1 = 0 1 = 0 (seconda equazione di verifica) EV 2 4 = 0 4 = 0 (terza equazione di verifica) 1 1 = 0 2 Riassumendo i percorso eseguito: 5 4 3 2 1 5 6 7 4 2 3 1 verifica verifica verifica _etodo di cacoo dee sezioni di Ritter ae metodo permette di cacoare gi sforzi normai in una struttura reticoare note e reazioni vincoari Si basa su teorema fondamentae dea statica secondo i quae se una struttura è in equiibrio o è ogni sua parte hiamasi sezione di Ritter canonica una sezione che divide in due parti una struttura reticoare, tagiando tre aste non tutte concorrenti neo stesso punto e redigere una tabea riassuntiva dei risutati ottenuti b se un asta ha sforzo normae positivo è detta tirante, se negativo puntone, se zero asta scarica -esempio pratico- 4 5 3 asta vaore tipo asta 1 0 scarica 2 tirante 3 2 puntone 4 0 scarica 5 2 puntone 6 tirante 7 tirante 2 1 1 3 4 2 40
SRUURE REIOLRI a dividere a struttura in due o più tronconi b a sezione deve tagiare né più né meno tre aste, non concorrenti in uno stesso nodo 2 4 5 1 3 1 b mettere in evidenza e forze interne e gi sforzi normai incogniti ungo e aste 5 3 1 4 3 2 d proseguire per gi atri sforzi normai incogniti, cambiando di vota in vota nodo b si prende in considerazione un nodo trovato a intersezione dee rette d azione di 3 ed 5, coincidente con i nodo 4? = 1 4 parte = 0 1* * = 0 1 = ne caso degenere in cui e rette d azione degi sforzi normai siano paraee (cacoo di 3), si sostituisce equazione di equiibrio aa rotazione con una di equiibrio aa trasazione, nea direzione perpendicoare ae due rette paraee 5 3 3 4 1 5 1 3 2 4 5 5 3 5 5 3 2 3 3 4 3 1 1 1 1 1 2 si considera in questo caso soo una componente di 3, quea verticae che rientra ne cacoo? = 3 V 4 parte = 0 3/2 = 0 3 = 2 3/2 5 5 3 3/2 3 4 1 1 2 c a struttura è in equiibrio in ogni suo punto, quindi è possibie redigere e equazioni di equiibrio Viene utiizzata equazione di equiibrio aa rotazione, scegiendo per iniziare un nodo che asci ne equazione una soa incognita b i metodo dee sezioni di Ritter non permette di conoscere tutti gi sforzi normai di una reticoare per gi sforzi restanti bisogna ricorrere a sezioni non canoniche o a metodo de equiibrio ai nodi ne nodo 1, 3, hanno contributo nuo ne cacoo de momento; unica incognita è 5 2 5 5 3? = 5 2 parte = 0 5* = 0 5 = 0 3 3 4 1 1 2 41
L RVE ELSI 1 RVE ILESS La deformabiità di una struttura dipende dai materiai di cui è composta e dai parametri geometrici in gioco ema di studio è oggetto trave, oggetto con una dimensione preponderante rispetto ae due restanti I modeo trave viene identificato come eemento monodimensionae, rappresentato da asse ongitudinae dea stessa (uogo geometrico dei baricentri dee sezioni) G eo stesso modo sono state affrontate e caratteristiche di soecitazione interna (vedi p18) e sezioni trasmettono fra oro e azioni di tagio, momento, sforzo normae In questo capitoo si studieranno e deformazioni indotte da tai soecitazioni _eformazione ongitudinae rendendo un concio di ampiezza dz dz z dz i medesimo reagisce ao sforzo normae appicato, aungandosi di dz dz sarà: - proporzionae ao sforzo normae - inversamente proporzionae a area dea sezione - dipendente daa unghezza dz considerata - dipendente da materiae di cui è composta a struttura moduo eastico E dz = dz E deformazione assiae dz dz E = rigidezza assiae, che ha in sé una caratteristica meccanica (E) ed una geometrica () 44
RVE ILESS eo sforzo normae dz è inversamente proporzionae a area dea sezione perché: se a sezione è grande, e soecitazioni si distribuiscono in piccoe forze su tutta a sezione; discorso anaogo se a sezione è piccoa, ma e forze hanno minore spazio in cui distribuirsi e quindi a soecitazione è maggiore diviene fondamentae conoscere a sezione de oggetto _odeo di Euero-ernouii e imoshenko Si prenda ad esempio una trave incastrata con una forza appicata su estremo ibero, ipotizzando che un soo concio dea struttura sia deformabie dz _eformazione a tagio e tagio i concio si deforma ne modo iustrato a fianco, ovvero e sezioni scorrono reciprocamente e si ingobbano a soecitazione momento fettente si otterrà un effetto di questo tipo d dv dv er sempicità, a vera deformazione viene approssimata, asciando e sezioni isce In ogni caso, a deformazione tagiante sarà per ora trascurata, poiché viene adottato per o studio i modeo di trave di Euero, che trascura tae deformazione (a quae in reatà è estremamente piccoa ne caso di travi sottii) I tagio è di minore entità, ha sempre incisività minore è possibie trascurare e deformazioni date da tagio dv dz _eformazione fessionae più a trave è sottie, più a deformazione tagiante è trascurabie rispetto aa fessione e momento fettente e fibre superiori de concio si comprimono e e inferiori si tendono, secondo un arco di circonferenza a gi spostamenti sono abbastanza piccoi da poter approssimare, confondendo arco di circonferenza con a sua tangente simboogia reatà approssimazione R d I due assi su cui giacciono e due sezioni de concio si incontrano in un punto, formando angoo d ed un raggio di curvatura R travi sottii travi tozze dz d Si nota che nea definizione di rigidezza vista poc anzi area non è sufficiente, poiché a sezione resiste in modo diverso per posizione viene inserito nea formua i momento di inerzia EI = rigidezza fessionae Sono e travi che verranno anaizzate in questa sede, e seguono i modeo di Euero-ernouii, caratterizzato da: - mantenimento dee sezioni; - spostamenti piccoi; - trascurabiità dee azioni tagianti Gi effetti di deformazione a tagio e fessionae sono comparabii; tai travi individuano i modeo di imoshenko 45
L RVE ELSI 2 SOSEI, ROZIOI, URVURE er disegnare a deformata fessionae di una struttura, è necessario conoscere innanzitutto e condizioni di cinematica nei vincoi q z cerniera appoggio u = 0 u 0 v = 0 v = 0 0 0 ea deformata reae i carreo resiste soamente agi spostamenti verticai, e quindi pattina ea pratica si prende in considerazione un approssimazione, secondo a teoria dei piccoi spostamenti appoggio si sposta tamente di poco da essere asciato dov è, ovvero si considera 0 V di (z) è detto inea eastica, e rappresenta a configurazione deformata per effetto dea fessione dea trave 0 configurazione indeformata V(z) configurazione variata o deformata _Reazione fra momento fettente e deformata fessionae V(z) z z V(z) Ingrandendo un pezzo di deformata, tracciare a tangente aa curva trovando angoo, angoo secondo i quae oggetto si deforma b a tangente di una curva in un punto è a derivata dea curva in que punto 46
SOSEI, ROZIOI, URVURE Se angoo è piccoo, a tangente de angoo è confondibie con angoo stesso tg dv dz onvenzione: spostamenti positivi generano rotazioni orarie fra e V si pone i segno Riassumendo: dv dz d = = 1 = dz R EI momento appicato rigidezza fessionae V L angoo d formato da intersezione fra e tangenti è a rotazione reativa fra i punto 0 ed i punto 1 0 b da a 1/R si ha a che fare con passaggi ed equazioni cinematiche (compatibiità e congruenza con i vincoi), mentre da 1/R a /EI si passa da mondo dea cinematica a queo dea statica a tangente che si considera è ovviamente tangente per una famigia di curve, e non per un unica curva scendendo di grado mediante derivazione, a tangente in un punto è una ed una soa R d d _Richiamo agi integrai 0 d b a kz n z = kz n1 n1 b a dz 0 formua generae di integrae definito er i cacoo sono utii gi integrai indefiniti, per i quai basta aggiungere aa suddetta formua una costante, che verrà ricavata daa struttura di partenza d * R = dz d dz = 1 R ds d 1 kz n z = kz n1 n1 formua generae di integrae indefinito d dipende da: - entità de momento fettente - inerzia de momento I - i moduo eastico de materiae E R d ds (vera) dz (approssimata) 47
L RVE ELSI _etodo de integrazione dea inea eastica Hi = 0 H = 0 Vi = 0 V = 0 V = = 0 * = 0 = - EI V (z = ) = 3 /6 1 2 = 0 - EI dv/dz (z = ) = 2 /2 1 = 0 1 = 2 /2 - EI V (z = ) = 3 /6 ( 2 /2)* 2 = 0 2 = 3 /2 3 /6 2 = 3 /3 Sostituendo i tutto: EI * dv/dz = z 2 /2 2 /2 EI * V = z 3 /6 2 /2*z 3 /3 EI V (z = 0) = 3 /3 V = 3 /3EI artendo da, i discorso è i medesimo? = cacoare abbassamento in b partendo da destra a z positiva va da destra a sinistra z = * z a cambiare di segno i momento EI * d 2 V/dz 2 = dz z z = * z per z = 0 = per z = = 0 EI * d 2 V/dz 2 = z EI * dv/dz = z z 2 /2 1 EI * V = z 2 /2 z 3 /6 1 z 2 z z b integrare espressione precedente EI * dv/dz = z 2 /2 1 z per z = 0 V = 0 per z = 0 dv/dz = 0 c integrare nuovamente EI * V = z 3 /6 1 z 2 si ottengono due costanti isogna quindi porre una condizione cinematica che definisca a famigia di curve utie b se i momento è ineare, a rotazione e a inea eastica V saranno curve per z = V = 0 per z = dv/dz = 0 a cinematica enuncia che in rotazione e spostamento sono nui, quindi è possibie eguagiare espressione a zero EI V (z = 0) = 2 = 0 2 = 0 1 = 0 EI V (z = ) = 3 /2 3 /6 = 3 /3 V = 3 /3EI È ora possibie disegnare a deformata dea struttura 3 /3EI 48
SOSEI, ROZIOI, URVURE _etodo de anaogia formae di ohr V Z = inea eastica o abbassamento Z = momento fettente c scrivere e condizioni cinematiche nei vincoi de sistema reae (incastro) : V = 0; = 0 (estremo ibero) : V 0; 0 V Z = Z = rotazione V Z = Z = 1/R = curvatura 1/R = /EI reazione sostitutiva che ega cinematica e statica E evidente che e reazioni statiche fra momento, tagio e carico sono in quache modo formamente anaoghe ae reazioni cinematiche fra abbassamento, rotazione e curvatura ohr individuò appunto questa anaogia, disinteressandosi de fatto che da una parte si trovano eementi statici (, e q) e da atra cinematici (V, e 1/R) inematica e statica vengono quindi raffrontate ipotizzando un mondo fittizio, indicato con asterisco ( * ) q ( * ) (carico fittizio) = 1/R = /EI ( * ) (tagio fittizio) = ( * ) (momento fittizio) = V Z = Z = tagio Z = Z = q = carico d ne sistema fittizio bisogna porre dei vincoi anaoghi che garantiscano: : ( * ) = 0; ( * ) = 0 estremo ibero : ( * ) 0; ( * ) 0 incastro sistema Reae (sr) sistema ittizio (s) V = 0 = 0 V 0 0 e appicare i carico fittizio ne sistema fittizio ( * ) = 0 ( * ) = 0 ( * ) 0 ( * ) 0 a trovare a rotazione reae equivae a trovare i tagio fittizio dea trave a trave viene caricata con i diagramma dee curvature EI sistema Reae (sr) f cacoare tagio fittizio ( * ) e momento fittizio ( * ) de sistema fittizio R ( * ) = /EI * * 1/2 = ²/2EI ( * ) ²/2EI = 0 ( * ) = ²/2EI = ( * ) ²/2EI * 2/3 = 0 ( * ) = ³/3EI = V b è necessario i momento fettente nei suoi vaori ed andamento grafico b q ( * ) è i momento cambiato di segno e diviso per EI si prende i diagramma di momento invertito di segno, e quindi rovesciato ( * ) ( * ) q ( * ) = /EI = /EI EI EI R ( * ) /3 2/3 49
L RVE ELSI g Studiando e caratteristiche di soecitazione dea struttura fittizia, si ottengono e formue generai per risovere tutta a struttura (vedi p48, esempio pratico di integrazione dea inea eastica) b a inea de diagramma di momento de sistema fittizio, trasportata senza cambi di segno ne sistema reae, è a deformata quaitativa di quest utimo ( * ) Z ²/2EI ³/3EI sistema Reae (sr) sistema ittizio (s) 1/R R ( * ) Z = z/ei * z * 1/2 = z²/2ei Z ( * ) Z = ²/2EI z²/2ei ( * ) Z V Z ( * ) Z = z²/2ei * z/3 ²/2EI * z ³/3EI z Riassumendo: a cacoare i momento fettente nea struttura di partenza, e disegnarne i diagramma; b scrivere e condizioni reai degi spostamenti nei vincoi; c porre ne sistema fittizio dei vincoi che soddisfino, con anaogia a tagi e momenti fittizi, e condizioni cinematiche de sistema reae; d caricare i sistema fittizio con i diagramma de momento invertito di segno e diviso per EI, ottenendo i diagramma dee curvature; e cacoare momenti e tagi fittizi ne sistema fittizio, dove sia necessario, ottenendo spostamenti e rotazioni de sistema reae momento sr s caricato deformata sr momento quaitativo s b in ogni caso nea reatà i diagramma dee curvature non corrisponde a diagramma de momento fettente, poiché bisogna tener conto dea rigidezza fessionae: sistema Reae (sr) sistema ittizio (s) /EI I 1 I 2 /EI 1 /EI 2 (sr) I diagramma di momento fettente non cambia, ma non bisogna dimenticare che i sistema fittizio tiene conto anche dea rigidezza fessionae EI se i rapporto EI è piccoo i diagramma si ingrandirà, e viceversa; stesse considerazioni vanno poste se a trave è costituita da due materiai diversi, con E 1 ed E 2 50
SOSEI, ROZIOI, URVURE _Esercizio n18 (s)? = rotazione in e Vi = 0 V V = 0 V = V = 0 V * = 0 V = V = / / b disegnando a deformata quaitativa a monte de esercizio è possibie comprendere anche i verso dee rotazioni sezione 01 0 / o / * = 0 per = 0 = 0 / per = = cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 (sr) vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera b i sistema fittizio è identico a reae /EI q ( * ) = /EI R ( * ) = /EI * * 1/2 = /2EI Vi (s) = 0 ( * ) ( * ) /2EI = 0 ( * ) ( * ) (s) = 0 ( * ) /2EI * 2/3 ( * ) * = 0 ( * ) = ( * ) ²/3EI R ( * ) ( * ) = /3EI = 2/3 /3 ( * ) = /6EI = 51
L RVE ELSI _Esercizio n19? = rotazione in e b i sistema è caricato simmetricamente è possibie studiare a struttura caricata con una soa forza e sovrapporre gi effetti isegnare ne sistema reae a deformata quaitativa è utie per intuire verso e segno dee rotazioni o degi abbassamenti richiesti Vi = 0 V V = 0 = 0 */3 V * = 0 V = /3 V = 2/3 sezione 01 0 /3 o 2/3 * = 0 per = 0 = 0 per = /3 = 2/9 cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera /3 /3 /3 /3 /3 2/3 /3 2/3 2/9 2/9EI 2/3 2/3 (sr) q ( * ) = 2/9EI R1 ( * ) = 2/9EI * /3 * 1/2 = ²/27EI R2 ( * ) = 2/9EI * 2/3 * 1/2 = 2²/27EI Vi (s) = 0 ( * ) ( * ) ²/27EI 2²/27EI = 0 (s) = 0 ( * ) ²/27EI * 2/9 2²/27EI * 5/9 ( * ) * = 0 ( * ) = 2³/243EI 10³/243EI ( * ) ( * ) = 4²/81EI = ( * ) = ²/9EI 4²/81EI = 0 ( * ) = 5²/81EI = È ora possibie appicare a sovrapposizione degi effetti: /3 /3 /3 V = /3 2/3 = V = 2/3 /3 = /3 R1 ( * ) R2 ( * ) ( * ) 2/9 /9 2/9 4/9 5²/81EI 4²/81EI 4²/81EI 5²/81EI = 1 2 = 5²/81EI 4²/81EI = ²/9EI = ( * ) /3 (sr) /3 2/3 52
SOSEI, ROZIOI, URVURE _Esercizio n20? = rotazione in e, abbassamento in /2 Vi = 0 V V q = 0 = 0 q*/2 V * = 0 V = q/2 V = q/2, /2 = q²/8 cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera q ( * ) = q²/8ei R1 ( * ) = R2 ( * ) = q²/8ei * /2 * 2/3 q²/24ei Vi (s) = 0 ( * ) ( * ) q²/24ei q²/24ei = 0 (s) = 0 ( * ) q²/24ei * 5/16 q²/24ei * 11/16 ( * ) * = 0 ( * ) = 5q³/384EI 11q³/384EI ( * ) ( * ) = q²/24ei = ( * ) = q²/24ei = ( * ) /2 q²/24ei * /2 q²/24ei * 3/16 = 0 ( * ) /2 = q³/48ei 3q³/384EI q (sr) q²/8ei q/2 ( * ) V /2 q q/2 q²/8 R1 ( * ) R2 ( * ) ( * ) _Esercizio n21? = rotazione in e Vi = 0 V V q/3 = 0 = 0 q/3*/2 V * = 0 V = q/6 V = q/6 /2 q/6*/2 q/6*/12 = 0 /2 = 5q²/72 /3 = q²/18 cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera q ( * ) = q²/12ei R1 ( * ) = q²/18ei * /3 * 1/2 = q³/108ei R2 ( * ) = q²/18ei * /6 = q³/108ei R3 ( * ) = q²/72ei * /9 = q³/648ei ( * ) = ( * ) = R1 ( * ) R2 ( * ) R3 ( * ) ( * ) = q³/108ei q³/108ei q³/648ei ( * ) = 13q³/648EI = ( * ) = 13q³/648EI = q q/6 (sr) 5q²/72 5q²/72EI /3 /3 /3 q/3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 q/6 R3 ( * ) R2 ( * ) R1 ( * ) q²/18 q²/18ei ( * ) /2 = 5q³/384EI = V /2 5/16 3/16 3/16 5/16 ( * ) ( * ) 53
L RVE ELSI _bbassamenti e rotazioni notevoi er ottenere i risutato vouto, sostituire ae parti in grigio carichi e unghezze in anaisi orze appicate = ²/2EI = 7²/128EI V = ³/3EI V = 5²/128EI /4 3/4 = = 6²/125EI ²/16EI = 4²/125EI /5 4/5 = 5²/81EI = = 4²/81EI 3²/25EI /3 2/3 2/5 /5 2/5 = = 55²/1296EI ²/9EI = 35²/1296EI /3 /3 /3 /6 5/6 54
SOSEI, ROZIOI, URVURE orze appicate (formua generae) arichi distribuiti = b * (² b²) * 1 6EI = a * (² a²) * 1 6EI a b = q³/24ei q = q 13q³/648EI oppie di forze /3 /3 /3 = X/EI X = q V = X²/2EI V 37q³/3000EI 2/5 /5 2/3 = X/6EI X = X/3EI 55
L RVE ELSI 3 SRUURE IERSIHE Una trave può, a massimo, essere tre vote iperstatica (a destra), e cioè con tre gradi di vincoo in più di un sistema isostatico In questo capitoo verranno anaizzate strutture una vota iperstatiche, con un grado di vincoo in più _acoo de incognita iperstatica mediante i metodo dee forze H a I probema prevede a souzione di quattro incognite I mezzi a disposizione sono e tre equazioni fondamentai dea statica, che non permettono di risovere tutte e incognite V V V () b togiere i vincoo in più, rendendo a struttura isostatica, e caricara con i carico reae in questo caso è stato toto appoggio, ma è possibie anche rendere incastro una cerniera Senza appoggio, a struttura si deforma ne modo iustrato a fianco, individuando abbassamento V () X V (X) c i vincoo toto in produceva una reazione incognita; se i vincoo fosse rimasto a suo posto abbassamento sarebbe stato zero i vincoo imponeva una reazione di congruenza in que punto a reazione deve produrre uno spostamento verticae uguae in moduo ma di verso opposto a queo de sistema senza appoggio; si andrà a cacoare proprio tae abbassamento, che prende i nome di incognita iperstatica (X) 56