Esercizi su serie umeriche - svolgimeti Osserviamo che vale la doppia diseguagliaza + si, e quidi la serie è a termii positivi Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a + Ioltre valgoo le diseguagliaze = + 5 = + + si 5 = + 5 Applicado due volte il criterio del cofroto si ottiee che il carattere della serie i questioe è lo stesso della serie + 5 = A sua volta, applicado il criterio del cofroto asitotico, possiamo sostituire a + + semplicemete ovviamete =, otteedo così la serie = = 5 / Questa serie è ua serie armoica geeralizzata di parametro, e diverge perchè < La serie o è a termii di sego defiito, quidi o si possoo applicare i relativi criteri Possiamo cercare di applicare il teorema della covergeza assoluta Si ha Alla serie + cos = = = + cos + cos, ora a termii positivi, possiamo applicare il criterio del cofroto, ricordado che cos e quidi + cos + = 65 =
Per il criterio del cofroto asitotico quest ultima serie ha lo stesso carattere della serie = = = 4/, che è ua serie armoica geeralizzata di parametro, ed è covergete poichè 4 > Duque la serie di parteza è assolutamete covergete, e quidi coverge Osserviamo che vale la diseguagliaza 0 + sie, per ogi e quidi la serie è a termii positivi uguale a + Notado che si ha Duque la somma della serie esiste fiita o + sie =, si ha, per il criterio del cofroto asitotico, che la ostra serie ha lo stesso carattere della serie = = = Applichiamo il criterio della radice -ima asitotico Ricordado che = e log = x + e x log x = e 0 =, otteiamo L = = = < ; quidi la serie è covergete Propoiamo uo svolgimeto alterativo Possiamo cofrotare questa serie co ua serie geometrica di ragioe α co > α >, per esempio α = 4 Si ha /4 9 / = 8 = +, quidi per il criterio del cofroto asitotico, la ostra serie coverge, covergedo la serie geometrica di ragioe 4 66
4 Ricordiamo che vale il ite quidi cos x x 0+ x =, + cos = Si può quidi applicare il criterio del cofroto asitotico tra le due successioi cos e, otteedo che la serie i esame ha lo stesso carattere della serie armoica, ovvero è divergete = 5 Come ell esercizio 4, otteiamo cos = + 4 Ora si può applicare il criterio del cofroto asitotico tra le due successioi cos e otteedo che la serie i esame ha lo stesso carattere della serie armoica geeralizzata di parametro, ovvero è covergete = 6 La serie è evidetemete a termii positivi, per cui o coverge o diverge positivamete Applichiamo il criterio del cofroto asitotico co la serie relativa alla successioe 5 6 = 9/ Si ha ifatti 9 6 + 5 + =, 9 6 + 5 + 5 = + 5 + = Quidi il carattere della serie i questioe è lo stesso della serie, 9/ che è covergete poichè 9 > = + + 5 = 6
Aalogamete all esercizio precedete, applicado il criterio del cofroto asitotico, si vede che la serie ha lo stesso carattere della serie, che diverge positivamete = 8 La serie è a termii positivi Possiamo applicare il criterio del cofroto asitotico, otado che cos cos x = x 0+ x = Duque cos 4 4, e il carattere della ostra serie è uguale a quello della serie, e quidi positivamete divergete 9 Esamiiamo il sego del termie -imo della serie Si ha metre, dato che +! >, si 5 5 0 per ogi, log +! > 0 per ogi, quidi la serie è a termii egativi e duque o coverge o diverge egativamete Applichiamo il criterio del cofroto Dato che si ha e log +! log si 5 5 = log +!/ log = = log + log +!/ log = log + log +!/ log =, il carattere della serie i questioe è uguale a quello della serie 5 4 log = 0 log = Possiamo applicare il teorema del cofroto Dato che 0 < possiamo fare il cofroto co ua serie armoica geeralizzata divergete del tipo α, co 0 < α <, per esempio α = 4 Si ha 4 0 log = = e quidi la ostra serie diverge egativamete 0 log = +, 68
0 Procededo come ell esercizio precedete si vede che la serie è a termii positivi, e che, per il criterio del cofroto asitotico, ha lo stesso carattere della serie e quidi diverge positivamete = log, Dobbiamo calcolare la somma della serie Teedo presete che si ha +! = =0 a! = ea per ogi a R cerchiamo di trasformare la ostra serie i questa forma Per prima cosa scriviamo + = = 9 6, per cui + = Sommado e sottraedo la quatità! = 9 = 6! 9 = 9 6 0 0!, si ottiee 9 = 6! = 9 =0 6! 9 = 9 6! = 9 e6 =0 Dobbiamo calcolare la somma della serie =! + Come ell esercizio precedete cerchiamo di modificare la serie i modo da ritrovare ua somma del tipo a! = ea =0 69
Riscriviamo per cui = Sommado e sottraedo la quatità 6 + =,! + = 6 0 +! = = + = 5 si ottiee e duque! =! 5 = e 5, = =! + = 6 =0 =! = 6 e 5 La serie è evidetemete a termii positivi Dal ite otevole abbiamo il ite si x x 0 x = + si = Fissato ε > 0, esiste m umero aturale tale che si ha ε per ogi m Si ha allora per ogi m La serie log +ε = si + ε log log +ε = si = ε log +ε log +ε diverge se +ε, ovvero ε, quidi prededo per esempio ε = 4 dalla prima delle diseguagliaze sopra e dal teorema del cofroto si ha che la serie i esame diverge 0
4 La serie è evidetemete a termii positivi Si ha, come ell esercizio precedete, 9 si = 9 Cofrotiamo la serie co quella relativa alla successioe 9 4 = log 8 9 log 9 Il ite del rapporto tra le due successioi vale + 4 log 9 si 9 = exp + 9 si log 9 4 log Il ite dell espoete si calcola facilmete, per esempio ricordado lo sviluppo del seo si = 4 + o, otteedo 9 si log 9 4 log 4 = log 4 = 0 log Duque il rapporto tra le due successioi tede a e 0 =, e per il criterio del cofroto il carattere della serie i esame è uguale a quello della serie 8 9 log 9 = Questa serie diverge, per cofroto co ua serie armoica geeralizzata di ragioe α co 8 9 < α < 5 Si deve calcolare la somma della serie + log 0! =0 Basta riscrivere ricordado + log 0! =0 = log 0 =0! = e log 0 = e log/0 = 0 6 Lo svolgimeto è aalogo all esercizio precedete Si ottiee come risultato
Dobbiamo calcolare la somma della serie + +! = Cerchiamo di otteere u espoeziale Prima di tutto cambiamo variabile poedo k =, per cui + + k+! = k+ k! = k= = k k k! k= k = ; k! k= quidi sommado e sottraedo = 0 si ottiee k = k! k = k! =0 = e, e ifie + +! = e = 8 Lo svolgimeto è uguale a quello dell esercizio precedete, otteedo come risultato e 9 La serie è a termii positivi Notiamo che per cui log + log = log, log = log + log log, log + log log Dato che si si x = =, x 0+ x si ha per sufficietemete grade si, e quidi ache si si log + log log log Duque per il criterio del cofroto applicato per sufficietemete grade co la serie la ostra serie coverge
0 Come ell esercizio precedete si ha log + log log Ioltre si =, per cui, per sufficietemete grade Si ha quidi log + log si si log si log Duque per il criterio del cofroto applicato per sufficietemete grade co la serie armoica, la ostra serie diverge positivamete La serie è a termii positivi Applichiamo il criterio del cofroto asitotico, ricordado che log log + = 0, =, log e quidi il carattere della serie i questioe è lo stesso del carattere della serie = α log = = α log Questa serie è covergete se α > per cofroto co la serie α/, metre diverge per α per cofroto co la serie Duque si log ha e sup E = 4 E = {α R : α = } =], 4], Come ell esercizio precedete si deve studiare il carattere della serie equivalete alla serie data, per il criterio del cofroto asitotico Procededo come sopra si ha = α 5 log e if E = E = {α R : α 5 > } =], + [,
Possiamo riscrivere la serie come = + x! = 4 = x! x = 4! = = 4 =0 quidi dobbiamo risolvere l equazioe x! = 4expx, 4expx =, ovvero expx = 4, da cui x = log 4, e ifie x = log = log 4 4 Si procede come ell esercizio precedete, otteedo l equazioe 4expx =, ovvero x = log 5 4 4