Esame di Teoria dei Circuiti 16 Dicembre 2014 (Soluzione) Esercizio 1 3 3 γv 5 r 1 2 2 4 V 5 3 V 1 β 4 4 1 5 V 2 α 3 4 Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: 1 = 2 = 3 = 3 kω, 4 = 1 kω, 5 = 4 kω, r = 7 kω, α = 1/2, β = 9/7, γ = 3/2, 3 = 4 = 5 ma. Calcolare: la descrizione del doppio bipolo evidenziato in figura tramite matrice delle resistenze ; il circuito equivalente di Thevenin alla porta 1 del doppio bipolo calcolato sopra, quando alla porta 2 vengono collegati il generatore di tensione comandato β 4 e la resistenza 4, come indicato in figura; la potenza P dissipata dal doppio bipolo calcolato in precedenza, quando alla porta 1 vengono collegati 3, 4, γ V 5 e 5, e alla porta 2 vengono collegati β 4 e 4, come indicato in figura. Soluzione Per determinare la descrizione del sottocircuito considerato tramite matrice delle resistenze si supponga di collegare alla porta 1 (di sinistra) il generatore ideale di corrente 1 e alla porta 2 (di destra) il generatore ideale di corrente. Si calcoli quindi la tensione V 1 ai capi di 1 e la tensione V 2 ai capi di. 3 3 (4) 2 2 1 r r2 (3) 1 α 3 V 1 1 V 2 (b) (c) Dalla bilancio delle tensioni alla maglia indicata con si ha : V 2 V 3 r = 0, 2 3 3 r = 0, = 3 r 2 3 Si consideri inoltre il bilancio delle correnti al taglio indicato con : 3 α 3 = 0, (α 1) 3 3 r 2 3 = 0 (r 2 ) 3 = α 1 = 3 (α 1)(r 2 ) 3 r 2 1
16 Dicembre 2014 Esame di Teoria dei Circuiti 3 = (α 1)(r 2 ) 3 Si può notare che la stessa equazione ottenuta dal bilancio delle correnti al taglio 1 poteva essere ottenuta sommando membro a membro i bilanci di corrente ai nodi e (3) : α 3 r 2 = 0 (3): 3 r 2 = 0 (3): α 3 r 2 3 r 2 = 0 Grazie alle espressioni ottenute, dal bilancio delle correnti al nodo (4) è possibile ricavare 1 (4): 1 1 3 = 0 1 = 1 3 (r 2 ) = 1 (r 2 3 ) (α 1)(r 2 ) 3 (α 1)(r 2 ) 3 (α 1)(r 2 ) 3 e dalla maglia (b), da cui si ha V 1 V 1 = 0, la tensione V 1 V 1 = 1 1 = }{{} 1 r 2 3 1 1 (α 1)(r 2 ) 3 11 = 3 kω }{{} 12 = 1 kω Per ottenere la tensione V 2 è invece necessario considerare il bilancio delle tensioni alla maglia (c) (c): V 1 V 2 r V 2 = 0 V 2 = 1 1 (r 2 ) = }{{} 1 1 1(r 2 3 ) 3 (r 2 ) (α 1)(r 2 ) 3 21 = 3 kω }{{} 22 = 5 kω La soluzione cercata è quindi = 3 kω 1 kω 3 kω 5 kω Per il secondo punto dell esercizio, è conveniente sostituire il sottocircuito appena esaminato con la sua rappresentazione tramite matrice, come nel circuito qui rappresentato. Per calcolare il circuito equivalente di Thevenin si è connesso alla porta 1 di un generatore di corrente, e si vuole calcolare la tensione V ai suoi capi. V = 4 4 V 4 V V β 4 ndicando con V e e corrente alla porta 2, si ha V la tensione e la corrente alla porta 1 di, e con V = V e =. Dal bilancio delle correnti al nodo indicato con si ha inoltre : β 4 4 = 0, 4 = β 1 2 e tensione
Esame di Teoria dei Circuiti 16 Dicembre 2014 Dalla maglia si ha V = V 4, per cui : 21 22 4 β 1 = 0, = 21 22 4 β 1 = (β 1) 21 (β 1) 22 4 La tensione V è determinata dalla prima equazione costitutiva di, ovvero con V (eq) = 0. V = V = 11 12 = 11 (β 1) 12 21 (β 1) 22 4 }{{} (eq) = 1 kω Nel terzo ed ultimo punto si chiede di calcolare la potenza dissipata dal doppio bipolo calcolato precedentemente, quando connesso come nel circuito sotto riportato. γv 5 4 V 5 3 β 4 4 5 V V (b) 4 V 4 l metodo più semplice per risolvere il circuito è quello di considerare, per il doppio bipolo ed il circuito collegato alla porta 2, il circuito equivalente di Thevenin calcolato al punto precedente. n questo modo il calcolo della tensione V e della corrente alla porta 1 di risulta estremamente semplificato. γv 5 5 V 5 3 4 5 (eq) V Dal bilancio delle tensioni alla maglia indicata con si ha : V 5 γ V 5 V = 0, 5 = V 5 5 = V = (eq) (1 γ) 5 (1 γ) 5 e considerando il bilancio delle correnti al nodo è possibile calcolare e quindi V. : 5 3 4 = 0, (eq) 3 4 (1 γ) = 0 5 = 4 3 1 (eq) (1 γ) 5 5 ( 4 3 ) = (1 γ) (1 γ) 5 (eq) = 0 A V = (eq) = 0 V 3
16 Dicembre 2014 Esame di Teoria dei Circuiti A questo punto considerando il circuito complessivo, per la prima equazione costitutiva di si ha V = 11 12, = V 11 12 = 0 A 12 e, poiché = = 0 A, segue che la potenza P dissipata dal doppio bipolo vale P = 0 W Allo stesso risultato si poteva arrivare ugualmente considerando, nel circuito completo, il taglio indicato con e il nodo : 5 3 4 = 0, 5 = 4 3 : β 4 4 = 0, 4 = β 1 assieme alle equazione delle maglie indicate con e (b) : V 5 γ V 5 V = 0, (γ 1) 5 5 V = 0 (b): V V 4 = 0, V 4 4 = 0 che formano il sistema ( (γ 1) 5 4 3 ) 11 12 = 0 21 22 4 β 1 = 0 la cui soluzione è la stessa trovata in precedenza con il metodo semplificato. = (γ 1) 5 ((β 1) 22 4 ) ((β 1) 22 4 )((γ 1) 5 11 ) (β 1) 12 21 ( 4 3 ) = 0 A = (γ 1)(β 1) 5 21 ((β 1) 22 4 )((γ 1) 5 11 ) (β 1) 12 21 ( 3 4 ) = 0 A 4
Esame di Teoria dei Circuiti 16 Dicembre 2014 Esercizio 2 2 r 1 1 1 3 α 0 T 1 C V C Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: 1 = 2 kω, 2 = 1 kω, 3 = 4 kω, r = 3 kω, C = 3 µf, α = 2,5, 0 = 1 ma. Per t < t 0 = 0 s l interruttore T 1 è aperto ed il circuito è a regime. All istante t = t 0 l interruttore T 1 si chiude. Determinare l andamento della tensione V C (t) ai capi del condensatore. Soluzione Per t < t 0 = 0 s l interruttore T 1 è aperto e, per via dell ipotesi che il circuito sia a regime, si ha C = 0 A; sia la capacità C che l interruttore T 1 sono assimilabili a circuiti aperti. l circuito da considerare è il seguente 2 V 2 r 1 1 1 3 α 0 V C0 Dal circuito è immediato che 1 = 0, = 1 = 0 La tensione V C0 sulla capacità può essere calcolata dall equazione di bilancio delle tensioni alla maglia : r 1 V 2 V C0 = 0 V C0 = r 1 V 2 = r 1 2 = (r 2 ) 0 = 4 V All istante t = t 0 = 0 s l interruttore T 1 si chiude e comincia il transitorio di carica (o scarica) di C. Per il calcolo di tale transitorio, si ricorra all equivalente di Thevenin del circuito connesso alla capacità. Si supponga quindi di sostituire alla capacità un generatore ideale di corrente e di calcolare la tensione V ai suoi capi. l circuito da considerare è il seguente, dove il generatore di corrente 0 è stato omesso in quanto chiuso in corto circuito dall interruttore T 1, e quindi non influisce su alcuna grandezza elettrica del circuito. 2 V2 r 1 3 α (b) 1 1 V 1 V Dalla maglia indicata con si ha che la tensione cercata V è data da : V 1 V = 0, V = V 1 = 1 1 5
16 Dicembre 2014 Esame di Teoria dei Circuiti e per ricavare la corrente 1 è necessario considerare il bilancio delle correnti al nodo ed il bilancio delle tensioni alla maglia (b). : 1 = 0, = 1 (b): r 1 V 2 V 1 = 0, r 1 2 ( 1 ) 1 1 = 0 2 1 = r 1 2 1 2 V = 1 1 = r 1 2 Segue che V (eq) = 0 V e (eq) 1 2 = = 1 r 1 2 3 kω. La tensione V c (t) è data dalla formula del transitorio del primo ordine V C0 = 4 V, t < t 0 = 0 s V c (t) = ( V V C0 V (eq)) e t τ = 4 e t τ V, t t 0 = 0 s con τ = (eq) C = 1 ms. seguente. L andamento della tensione nel tempo è quello dato dalla figura 4 3 V C [V ] 2 1 τ=1 ms 0-1 0 1 2 3 4 t [ms ] Esercizio 3 1 1 2 3 3 8 8 V 0 7 7 6 6 V 1 out α 1 4 4 out 5 V 2 5 V 3 out Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: 1 = 2 =... = 8 = 3 kω, α = 1/3, V 0 = 4 V. Si supponga inoltre che gli amplificatori operazionali siano ideali e che lavorino sempre nella zona ad alto guadagno. Determinare le tensioni V1 out, V2 out e V3 out di uscita degli amplificatori operazionali. 6
Esame di Teoria dei Circuiti 16 Dicembre 2014 Soluzione Si considerino i versi delle tensioni e delle correnti come indicato in figura. Si consideri inoltre che per tutti gli amplificatori operazionali la corrente agli ingressi sia nulla e che la tensione ai due ingressi sia uguale per via del corto circuito virtuale. Per l operazionale 1, si ha V 1 = V 0, e quindi V 8 = V1 = V 1 = V 0, con La tensione di uscita 1 è data da 7 = 8 = V 8 8 = V 0 8 1 = V 1 7 7 = V 0 7 8 V 0 = 8 V Per via del fatto che gli ingressi dell operazione 2 non assorbono corrente, si ha 6 = α 1. noltre V 2 = 1 1 V 2 = V α 1 = 1 6 6 = 1 α 6 1 La condizione di corto circuito virtuale agli ingressi dell operazionale 2 consente di ricavare il valore di 1 V 2 = V 2, 1 1 = 1 α 6 1, 1 = Ora, osservando che 1 = = 3, è possibile determinare 3 1 1 α 6 = 2 ma 3 = 1 1 2 3 3 = 1 2 3 V1 out = 18 V 1 α 6 Per determinare 2 invece è necessario considerare la condizione di corto circuito virtuale agli ingressi dell operazionale 3 e, osservando che 4 = 5 = V 3, si ha 5 V 3 = V 3 = 1 1 2 = 1 2 V1 out 1 α 6 2 = 4 4 5 5 = ( 4 5 ) V 3 1 2 = ( 4 5 ) 5 5 ( 1 α 6 ) V 1 out = 24 V 7