14. Le tesioi soo lo strumeto della meccaica dei cotiui per rappresetare lo stato di sforo i u puto. Defiiioe della tesioe secodo Cauch. f A V f Cosideriamo u geerico puto. uppoiamo di seioare idealmete il corpo co u piao π passate per co versore della ormale orietata (cosei direttori ). Ciascua delle due parti del corpo viee ad essere sottoposta ad ua parte delle fore estere geeralmete o equilibrata; ma ammettiamo che l equilibrio si ripristii applicado a ciascua faccia della seioe u sistema di fore rappresetativo delle aioi trasmesse dall altra parte del corpo. Cosideriamo i u areola avrà ua risultate apparteete a π. La parte di fore trasmessa attraverso A A R e u mometo risultate M Costruiamo i rapporti: M R ; A A A R M M uppoiamo che : lim A A R ; lim A A Dove il vettore (dimesioe fora/superficie) prede il ome di tesioe i secodo la giacitura. 98
La tesioe ha ua compoete ormale (tesioe ormale) ed ua tageiale τ (tesioe tageiale). NB. La presea di tesioi tageiali distigue i solidi dai liquidi perfetti. oiché el puto si hao ifiite giaciture si hao ache ifiiti vettori (uo per giacitura) il cui complesso costituisce lo stato di tesioe i. oo di particolare iteresse le tesioi sulle 3 giaciture perpedicolari agli assi. Esse soo: { } ; { } ; { } dove per quato cocere le compoeti : Il primo idice caratteria la giacitura il secodo l asse secodo il quale è diretta la compoete. Es. compoete secodo della tesioe agete sulla giacitura perpedicolare a. Le compoeti a idici uguali soo le tesioi ormali sulle tre giaciture. Quelle ad idici diversi ( ) soo le due compoeti delle tesioi tageiali. I versi idicati elle figure soo quelli positivi. tesioe ormale tesioe tageiale 99
IL TEOREMA DI CAUCHY Lo stato di tesioe i u puto è costituito dagli ifiiti vettori-tesioe sulle ifiite giaciture i. er caratteriarlo è fodametale l apporto del grade teorema di Cauch: La cooscea delle tesioi su tre distite giaciture i è sufficiete a determiare la tesioe su ogi altra giacitura i. Assumiamo come tera di giaciture quelle ortogoali agli assi. Le tre tesioi che suppoiamo ote soo allora: { } ; { } ; { } Data ua geerica giacitura di ormale (cosei direttori { } la tesioe su di essa. ) idichiamo co Il teorema di Cauch forisce le segueti formule: Quidi la cooscea dello stato di tesioe i è resa possibile dalla cooscea della matrice (3 3): e quidi dalle ove compoeti (i j 3) che caratteriao u tesore doppio (tesore della tesioe). Dimostraioe del teorema di Cauch. d d d da Cosideriamo u tetraedro ifiitesimo co u vertice el puto tre facce ei piai coordiati e la quarta secodo la giacitura. e da da da 1 da da da soo le aree delle facce risulta: da ; da da ; da da
ia dv il volume del tetraedro. ul tetraedro agiscoo le fore di volume e le tesioi sulla sua superficie. Impoiamo l equilibrio alla traslaioe del tetraedro secodo. Equilibrio secodo : da da da da dv Mettedo i evidea da e teedo presete che essedo ifiitesimo il tetraedro dv/da si ricava al limite: i Aalogamete secodo gli assi. Igradimeto del tetraedro utiliato per dimostrare il teorema di Cauch. A da da da V da NB. ore di volume e tesioi evideiate soo quelle che figurao ell equaioe di equilibrio secodo. 11
EQUAZIONI INDEINITE DI EQUILIBRIO DI CAUCHY Le fore estere ageti sul corpo i equilibrio devoo soddisfare le equaioi cardiali della statica. Esistoo però ulteriori relaioi di equilibrio valide i tutti i puti del corpo che collegao le tesioi co le fore. a) Equaioi di equilibrio alla traslaioe valgoo i tutti i puti iteri al corpo e soo: (1) b) Equaioi di equilibrio alla rotaioe valgoo come le precedeti e soo: ; ; (2) c) Equaioi di equilibrio sul cotoro valgoo ei puti sul cotoro e soo: f f f (3) (NB. cosei direttori della ormale estera sul cotoro) Dimostraioe della prima equaioe (1) i Impoiamo l equilibrio alla traslaioe secodo di u parallelepipedo ifiitesimo co u vertice i e spigoli d d d. 12
13 d d d d d d d d d d d d ddd dd d dd dd d dd dd d dd ddd e quidi: assado al limite l equaioe vale i. Aalogamete per gli assi.
Dimostraioe della prima equaioe (2) d asse d d (proieioe sul piao {} Impoiamo l equilibrio alla rotaioe del parallelepipedo itoro ad u asse parallelo a e passate per il baricetro d d d d dd dd dd dd 2 2 2 2 Osservado che i questa relaioe le differee fra e e fra e dao luogo a ifiitesimi di ordie superiore si ha: assado al limite l equaioe vale i. Aalogamete per le altre relaioi. Quidi la matrice [3 3] della tesioe è simmetrica ovvero il tesore della tesioe è u tesore doppio simmetrico. Le compoeti distite si riducoo da ove a sei: 14
Dimostraioe delle equaioi di equilibrio sul cotoro (3) Dal teorema di Cauch si è ricavato che le compoeti { } della tesioe su ua geerica giacitura di ormale orietata avete come cosei direttori si ottegoo i fuioe delle mediate le relaioi: Ma se il puto è sul cotoro e la giacitura scelta è quella di cotoro per cui è la ormale estera sul cotoro risulta f e le precedeti relaioi divetao: f f f f foredo le (3). Osservaioe: assegate le fore di volume e quelle di superficie le (1) (2) e (3) costituiscoo u sistema di 3 equaioi differeiali lieari (le (1)) e di tre equaioi al cotoro lieari (le (3)) i cui teedo presete le (2) le icogite soo sei. Tali equaioi valgoo a prescidere dalla deformaioe e quidi ache se il corpo è cosiderato rigido. urtroppo il problema è idetermiato. Occorroo quidi altre equaioi e per itrodurle va messa i gioco la deformaioe. 15
EQUAZIONE DI CAUCHY - EEMIO (1) i V (2) f f f i A (3) ; ; arete verticale di base rettagolare soggetta a peso proprio ed appoggiata al suolo h h g b Reaioe totale: ρ ghbs ρgv b s - gh ore di volume: ; ρ g ; ore di superficie diverse da ero sulla base dove valgoo: f ; f ρ gh ; f Verificare che lo stato di tesioe è equilibrato: 1) Le (3) soo verificate. 2) Le (1): ρ g ρg soo verificate. ( 1) ( ρ gh)( 1) ρgh e quidi soo verificate. ( 1) 16 ρg 3) Le (2) hao ovuque tutti i termii ulli trae sulla base { ; 1; } dove: