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Vincenzo Ciancio Armando Ciancio Metodi matematici per le applicazioni finanaziarie
Copyright MMV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 88 548 0220 4 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: settembre 2005
Ad Armando Ciancio padre e nonno nostro Maestro di scienza e di vita.
Indice 1 I regimi finanziari 11 1.1 Grandezze fondamentali........................... 11 1.1.1 Interesse e montante......................... 11 1.1.2 Sconto e valore attuale....................... 12 1.1.3 Equivalenza fra grandezze..................... 13 1.1.4 Interesse anticipato......................... 15 1.2 Interesse e capitalizzazione semplice................... 15 1.2.1 Sconto razionale........................... 16 1.2.2 Capitalizzazione degli interessi.................. 18 1.3 Sconto commerciale e capitalizzazione iperbolica............. 20 1.3.1 Capitalizzazione degli interessi in regime di sconto commerciale. 21 1.3.2 Interesse composto.......................... 22 1.3.3 Sconto e valore attuale in regime di capitalizzazione composta. 23 1.3.4 Tasso nominale di interesse..................... 23 1.3.5 Tasso nominale di sconto...................... 25 1.3.6 Forza di interesse.......................... 26 2 Le rendite 31 2.1 Rendite costanti temporanee........................ 32 2.1.1 Rendita unitaria, annua, posticipata, immediata di durata nanni. 32 2.1.2 Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata di durata n anni e differita di t anni................. 34 2.1.3 Rendita unitaria annua anticipata immediata di durata n-anni. 35 2.1.4 Rendita unitaria annua frazionata in m rate uguali posticipate e di durata n-anni.......................... 36 2.1.5 Rendita unitaria annua frazionata in m rate uguali anticipate e di durata n-anni........................... 37 2.1.6 Valore attuale di n annualitá unitarie differite di t anni e ciascuna frazionata in m rate uguali anticipate (n m rate complessive. 39 2.2 Rendite perpetue costanti.......................... 39 2.2.1 Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua posticipata immediata........................... 39 2.2.2 Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua anticipata immediata............................. 40
2.2.3 Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua posticipata, differita di t anni....................... 40 2.2.4 Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua posticipata, frazionata in m rate uguali posticipate........... 40 2.2.5 Valore attuale di una rendita perpetua unitaria annua, frazionata in m rate uguali anticipate................... 40 2.3 Rendite continue costanti.......................... 41 2.3.1 Rendita continua unitaria annua immediata di durata n anni.. 41 2.3.2 Valore attuale di una rendita continua costante unitaria annua, di durata n anni e differita di t anni................ 42 2.4 Rendite a rata variabile........................... 42 2.4.1 Rendita con rate in progressione aritmetica............ 43 2.4.2 Rendita con rate in progressione geometrica........... 44 3 L ammortamento di un prestito. 45 3.1 Il piano di rimborso............................. 45 3.1.1 Prestito di un capitale rimborsabile a scadenza.......... 46 3.1.2 Ammortamento a rate costanti (francese)............. 46 3.1.3 Ammortamento a quote capitale costanti (uniforme o italiano). 48 3.1.4 Ammortamento con interessi anticipati (tedesco)......... 48 3.1.5 Ammortamento con quote capitale in piani di accumulo (americano)................................. 49 4 Valutazione di operazioni finanzarie. 51 4.1 Criteri di scelta............................... 51 4.2 Risultato Economico Attualizzato (REA)................. 51 4.3 Tasso interno di rendimento (TIR)..................... 53 4.4 Modello dei dividendi di Gordon...................... 54 5 Variabili casuali ed applicazioni alla teoria del portafoglio. 57 5.1 Variabili casuali............................... 57 5.1.1 Valore medio............................ 57 5.1.2 Varianza e scarto quadratico medio o deviazione standard.... 58 5.2 Applicazioni alla finanza.......................... 59 5.3 Variabili casuali doppie o bivariate..................... 59 5.4 Relazioni statistiche............................. 62 5.4.1 Interpolazione lineare........................ 62 5.4.2 Regressione.............................. 63 5.4.3 Coefficiente di correlazione lineare................. 64 5.5 Una applicazione: portafoglio a minimo rischio.............. 66 5.5.1 Caso di due titoli.......................... 66 5.5.1.1 Caso di R AB = 1..................... 67 5.5.1.2 Caso di R AB = 1.................... 67 5.5.1.3 Caso di R AB = 0..................... 68 5.5.2 Caso di n titoli............................ 68
A Elementi di calcolo delle probabilità. 71 A.1 Fenomeni deterministici ed aleatori.................... 71 A.2 Definizione classica di probabilità..................... 71 A.3 Probabilità frequentistica.......................... 72 A.4 Spazio campionaro ed evento........................ 73 A.5 Definizione di probabilità.......................... 75 A.6 Spazio campionario con punti equiprobabili................ 77 A.7 Spazio campionario con punti non equiprobabili............. 78 A.8 Probabilità condizionata e indipendenza.................. 78
Il libro raccoglie, in maniera sistematica, il ciclo di lezioni ed esercitazioni tenuto dagli Autori, in questi ultimi anni accademici, nel corso di laurea triennale in Matematica. La semplicità dell algoritmo usato rende l esposizione degli argomenti abbastanza comprensibili anche per non esperti in tecniche di calcolo matematico. E stata inclusa una appendice dedicata al richiamo di alcuni concetti fondamentali di Calcolo delle Probabilità di importanza, ormai, essenziale nello studio di varie discipline applicative.
Capitolo 1 I regimi finanziari 1.1 Capitolo Grandezze 1fondamentali. Come in ogni modellizzazione matematica di fenomeni fisici, biologici etc. anche nello studio di problematiche relative ad operazioni finanziarie è necessario introdurre alcune grandezze I regimi fondamentali nanziari. che stanno alla base del modello studiato e di stabilire la loro interdipendenza mediante considerazioni di carattere generale. In questa sezione saranno definiti i concetti di montante (M), interesse (I), sconto (S) e valore attuale (V a ) per poi analizzare le leggi particolari che caratterizzano i c1 cosiddetti 1.1 regimi Grandezze finanziari. fondamentali 1.1.1 1.1.1 Interesse Interesse e montante. e c1s1 In una operazione In una operazione di investimento di investimento un soggetto un soggetto rinuncia, rinuncia, al tempo al tempo t 0, tad 0,adun capitale C capitale C per recuperare, in un tempo successivo t per recuperare, in un tempo successivo t 1, una somma 1, una somma M (montante M (montante di C nel periodo di C nel periodo t 0 t 1 ). La dierenza t 0, t 1 ). La differenza I = M ; C (1.1.1) (1.1.1) eq1.1 è detta e interesse detta interesse prodotto prodotto dall investimento. dall'investimento. I!C M Figura 1.1: Capitale (C), interesse (I) emontante (M ) Figura 1.1: Capitale (C), interesse (I) e montante (M). Il rapporto Il rapporto i = I C i = I C 9 prende il nome di tasso di interesse mentre r = M C fig1.1 (1.1.2) eq1.2 (1.1.2) (1.1.3) 11
12 Capitolo 1 si chiama fattore di capitalizzazione. Dalle (1.1.2) e (1.1.3) segue I = Ci (1.1.4) M = Cr (1.1.5) ossia, l interesse I ed il montante M sono entrambi proporzionali al capitale C l uno secondo il tasso di interesse e l altro secondo il fattore di capitalizzazione. Dalla (1.1.1), in virtù della (1.1.4) segue: M = I + C = C(1 + i) (1.1.6) Risulta evidente [vedi (1.1.4) e (1.1.5)] che i (tasso di interesse) ed r (fattore di capitalizzazione) sono rispettivamente l interesse ed il montante prodotti da un capitale unitario (C = 1) nell intervallo temporale (t 0, t 1 ). Dal confronto della (1.1.5) con la (1.1.6) si ha: 1.1.2 Sconto e valore attuale r = (1 + i) (1.1.7) Una operazione, che può essere riguardata come simmetrica di quella descritta nel paragrafo 1.1.1, è quella di sconto. Si pensi ad un operatore ha la certezza della disponibiltà, al tempo t 1, di un certo capitale K e desidera realizzare, al tempo t 0 < t 1, questo suo credito anche rinunciando ad una parte del capitale. Questa operazione è detta di sconto o di attualizzazione e rappresenta il costo che l operatore deve pagare per avere immediata disponibilità del suo credito. Indicando con V a la somma realizzata, la differenza S = K V a (1.1.8) è lo sconto subito mentre la somma V a è chiamata valore attuale del capitale K. Capitolo 1 11 S "V a K fig1.2 Figura 1.2: Valore attuale (V a ), sconto (S) e capitale (K) Valore attuale (V a), sconto (S) e capitale (K). Figura 1.2: Il rapporto Il rapporto s = S s = K S prende il nome di tasso di sconto mentre K prende il nome di tasso di sconto mentre = V a K ν = V a si chiama fattore di sconto o di anticipazione. K Ne segue che (1.1.9) eq2.2 (1.1.9) (1.1.10) eq2.3 (1.1.10) S = Ks (1.1.11) eq2.4 V a = K (1.1.12) eq2.5
i = s (1.1.18) eq3.4 Regimi finanziari 13 si chiama fattore di sconto o di anticipazione. Ne segue che e quindi, in virtù della (1.1.8) Questa equazione, confrontata con la (1.1.12) fornisce 1.1.3 Equivalenza fra grandezze S = Ks (1.1.11) V a = Kν (1.1.12) V a = K S = K(1 s) (1.1.13) ν = (1 s) (1.1.14) Le operazioni di capitalizzazione e di sconto, descritte nei paragrafi 1.1.1 e 1.1.2, mettono in relazione somme disponibili in epoche diverse: la capitalizzazione trasforma una somma C (capitale) in una somma M (montante) disponibile dopo un certo tempo mentre l operazione di sconto determina il valore attuale V a di una somma K esigibile nel futuro.. 12 I regimi nanziari. I #C M V a K S fig1.3 Figura 1.3: Equivalenza fra capitalizzazione e sconto. Equivalenza fra capitalizzazione e sconto. Figura 1.3: Confrontando le due operazioni, a parita di somme impiegate e nello stesso intervallo temporale, la capitalizzazione puo essere riguardata come una operazione di sconto in cui il capitale C e ilvalore attuale di M con fattore di sconto dato da: Confrontando le due operazioni, a parità di somme impiegate e nello stesso intervallo temporale, la capitalizzazione può essere riguardata come una operazione di sconto in cui il capitale C è il valore attuale di M con fattore di sconto dato da: e quindi per la (1.1.3) = C M ν = C M (1.1.15) eq3.1 (1.1.15) e quindi per la (1.1.3) = 1 (1.1.16) eq3.2 r ossia, relativamente ad una medesima ν = 1 operazione, il fattore di sconto e (1.1.16) l'inverso del fattore di capitalizzazione r. r ossia, relativamente Utilizzando le ad (1.1.7) unae medesima (1.1.14), la operazione, (1.1.16) fornisce: il fattore di sconto ν è l inverso del fattore di capitalizzazione r. Utilizzando le (1.1.7) e (1.1.14), la (1.1.16) s = i fornisce: (1.1.17) eq3.3 1+i Dalla Fig. 1.4 si evince che per i s!1segue = i s! 1cioe S = K e V a =0: al (1.1.17) crescere di i il valore attuale diminuisce. 1 Questo + i risultato, da un punto di vista pratico, signica che al crescere di i il capitale rende di piu e quindi lo sconto cresce perche piu rende il capitale piu costa il rinunciare ad usarlo. Ovviamente la funzione inversa della (1.1.17) e:
14 Capitolo 1 Capitolo 1 13 $s 1 i fig1.4 Figura 1.4: Tasso di sconto in funzione del tasso di interesse. Figura 1.4: Tasso di sconto in funzione del tasso di interesse. 1.1.4 Interesse anticipato c1s4 Nella operazione di capitalizzazione descritta nella sez.1.1.1 l'interesse viene Dalla calcolato Fig. alla 1.4ne si evince del periodo che per temporale i esegue quindi s si puo 1 cioè parlare S = di Kinteresse e V a = 0 : al crescere posticipato, di i il i p, valore ossia: attuale diminuisce. Questo risultato, da un punto di vista pratico, significa che al crescere di i il capitale i p = I rende di più e quindi lo sconto cresce (1.1.19) eq4.1 perchè più rende il capitale più costa il rinunciare C ad usarlo. Ovviamente Si ha, invece, la funzione l'interesse inversa anticipato, della (1.1.17) i a, quando è: questi viene calcolato sul montante: i i a = = si (1.1.20) eq4.2 M (1.1.18) 1 s Ricordando che I = M ; C, dalle (1.1.19) e (1.1.20) si ha: (vedi grafico Fig. 1.5). 14 i p = M I regimi nanziari. ; 1 (1.1.21) eq4.3 C dalle quali si ricava: %i i a =1; C (1.1.22) eq4.4 M i p = i a (1.1.23) eq4.5 1 ; i a i a = i p (1.1.24) eq4.6 1+i p 1 s -1 fig1.5 Figura 1.5: Tasso di interesse in funzione del tasso di sconto. Figura 1.5: Tasso di interesse in funzione del tasso di sconto. Da notare che le (1.1.23) e (1.1.24) sono, rispettivamente, analoghe alle (1.1.18) e (1.1.17) data l'equivalenza formale di i con i p e s con i a. 1.2 Interesse e capitalizzazione semplice
Regimi finanziari 15 1.1.4 Interesse anticipato Nella operazione di capitalizzazione descritta nel paragrafo 1.1.1 l interesse viene calcolato alla fine del periodo temporale e quindi si può parlare di interesse posticipato, i p, ossia: i p = I (1.1.19) C Si ha, invece, l interesse anticipato, i a, quando questi viene calcolato sul montante: i a = I M (1.1.20) Ricordando che I = M C, dalle (1.1.19) e (1.1.20) si ha: i p = M C 1 (1.1.21) i a = 1 C M (1.1.22) dalle quali si ricava: i a i p = 1 i a (1.1.23) i a = i p 1 + i p (1.1.24) Da notare che le (1.1.23) e (1.1.24) sono, rispettivamente, analoghe alle (1.1.18) e (1.1.17) data l equivalenza formale di i con i p e s con i a. 1.2 Interesse e capitalizzazione semplice Il regime finanziario dell interesse semplice è, per definizione, quello nel quale l interesse prodotto viene considerato proporzionale al capitale C ed alla durata dell operazione, ossia: I(t) = αct (1.2.1) con α costante. Ponendo nella (1.2.1) C = 1 e t = 1 si ottiene I(1) = α (1.2.2) cioè il fattore di proporzionalità α è l interesse prodotto dal capitale unitario nell intervallo unitario di tempo, ossia è un tasso di interesse che, nel seguito, continueremo ad indicare con i e, pertanto, la (1.2.1) diventa: I(t) = ict (1.2.3) Il tasso di interesse è quindi: i(t) = I(t) C = it (1.2.4)