OPERAZIONI CON I LIMITI Teorea della soa. Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X R, e x0d(x). Supponiao che allora, sotto queste ipotesi, Diostrazione Per diostrare che basterà far vedere che J J(l+) I I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: ( f(x)+g(x) )J Supponiao che l, R l+r ( e quindi l+ esiste) Fissato un J J(l+) a>0 ] l+-a; l++a [J In corrispondenza di tale a, consideriao gli intervalli aperti: A = ] l -a/ ; l + a/ [ (intorno di l ) B = ] - a/ ; + a/ [ (intorno di ) ed applichiao la definizione di liite, in corrispondenza di A e B, a: f : AJ(l) HI(x 0 ) tale che xhx-{x 0 }: f(x)a l - a/<f(x)< l + a/ g: BJ() KI(x 0 ) tale che xkx-{x 0 }: g(x)b -a/<g(x)<+a/ Conseguenteente, posto I = HK, xix-{x 0 }: l - a/ < f(x) < l + a/ -a/ < g(x) < +a/ ovvero, soando ebro a ebro, l+-a < f(x) + g(x) < l++a il che equivale a dire che (f(x)+g(x)) J www.arioat.altervista.org Pagina
In definitiva, fissato JJ(l+) II(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: (f(x)+g(x)) J o, che è lo stesso, Osserviao che il teorea richiede l'esistenza di l + ( l - ): esclude perciò le seguenti situazioni: (+) + (-), (-) + (+), (+) - (-), (-) - (+) che sono fore di indecisione o fore di indeterinazione. Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al liite della soa ( differenza) di due funzioni: per x che tende ad x 0 R ~. li f(x) li g(x) li( f(x) g(x) ) lr R l lr + + lr - - + + + - - - www.arioat.altervista.org Pagina
Teorea del prodotto Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X R, e x0d(x). Supponiao che allora, sotto queste ipotesi, Supponiao che l, R l R ( Cioè esiste il nuero l ) Per provare che ( f ( x ) g ( x ) ) = l basta far vedere che: x x0 J J(l ) I I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: ( f(x)g(x) )J Fissato J J(l ) a>0 tale che ] l - a ; l + a [ J, ovvero l - a < f(x)g(x) < l + a f(x)g(x) - l < a (*) Consideriao gli intervalli A = ] l - b ; l + b [ e B = ] - b ; + b [ con b > 0 da deterinare in odo che valga la (*). A tale scopo, applichiao la definizione di liite, relativaente ad A e B, alle funzioni: f: A J(l) H I(x 0 ) tale che xhx-{x 0 }: f(x) A f(x) - l < b g: B J() K I(x 0 ) tale che xkx-{x 0 }: g(x) B g(x) - < b Conseguenteente I=H K I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: f(x) - l < b e g(x) - < b xix-{x 0 }, consideriao: f(x)g(x)-l = f(x)g(x)-f(x)+f(x)-l f(x)g(x)-f(x) + f(x)- l = f(x)(g(x) - ) + ( f(x) - l) = f(x) g(x) - + f(x) - l < www.arioat.altervista.org Pagina 3
< f(x) b + b= f(x) - l + l b + b ( f(x) - l + l ) b + b < ( b + l ) b + b = b + l b + b In definitiva: f(x)g(x) - l < b + l b + b con b + l b + b che non dipende da x. Conseguenteente per provare che f(x)g(x) - l < a basterà provare che b + l b + b a ovvero che b + ( l + ) b - a 0 () La predetta disequazione è una disequazione di secondo grado in b che, per avere = ( l + ) + 4a > 0, il coefficiente di b uguale ad ed il segno del trinoio, è soddisfatta da tutti i valori interni, estrei copresi, alle radici dell'equazione associata alla () che sono: b / = ( l + ) ( l + ) 4a Tenuto però conto che b deve essere positivo, i valori di b che soddisfano la () sono: 0 < b - ( l + ) + ( l + ) 4a In conclusione, i valori di b ora deterinati sono quelli che individuano gli intervalli A e B, che a loro volta individuano gli intorni H e K di x 0 e quindi la loro intersezione I tale che: xix-{x 0 }: ( f(x)g(x) )J ed il teorea resta diostrato. Osserviao che il teorea richiede l'esistenza di l : esclude perciò le seguenti situazioni: 0 (+ ); (+ ) 0, 0 (+ ) (- ) 0 che sono fore di indecisione o fore di indeterinazione. www.arioat.altervista.org Pagina 4
Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al liite del prodotto di due funzioni: per x che tende ad x 0 R ~. li f(x) li g(x) li( f(x) g(x) ) lr R l lr (l>0) + + lr (l<0) + - lr (l>0) - - lr (l<0) - + + + + + - - - + - - - + www.arioat.altervista.org Pagina 5
Teorea del rapporto Siano f e g due funzioni definite da X in R, con X R, e x0d(x). Supponiao che allora, sotto queste ipotesi, Diostrazione Supponiao che l, R con 0 l/ R. L'essere 0 assicura l'esistenza di un intorno del punto x 0 dove g(x) 0. Infatti, per il teorea della peranenza del segno se > 0 H I(x 0 ) tale che xhx-{x 0 } : g(x) > 0 se < 0 H I(x 0 ) tale che xhx-{x 0 } : g(x) < 0 Allora in questo intorno ha significato considerare la funzione f ( x ) g( x) essendo g(x) 0. Ora, per diostrare che li sopra considerato, la funzione scrivere: f ( x) f ( x) g( x) g ( x ) f (x) l x x 0 g(x) f (x) li li f ( x) li f ( x) li l x x 0 g(x) x x 0 g ( x ) x x 0 x x 0 g ( x ) vera solo dopo che avreo diostrato che li xx0 g ( x ) Per provare che li xx basterà far vedere che: 0 g ( x ) possiao considerare, nell'intorno ed applicare il teorea del prodotto, cioè l. e tale conclusione sarà www.arioat.altervista.org Pagina 6
JJ( ) I I(x 0) tale che xix-{x 0 }: g( x) J Fissato JJ( ) a>0 tale che ] -a ; +a [ J ovvero - a < g( x) < + a o ancora - g( x) < a Per ipotesi li g(x) =. Considerato perciò l'intervallo A = ] -b; +b [ x x 0 con b>0 assegnato, applichiao la definizione di liite alla funzione g: A K I(x 0 ) tale che xix-{x 0 }: g(x) A o, equivalenteente, g(x) - < b. Consideriao ora g(x) = g(x) - + (*) - g(x) - > - b ( avendo scelto b in odo che - b ovvero b ) Valutiao: - g( x) = b con - g(x) g(x) Quindi perchèsia che non dipendeda x - g( x) - g(x) g(x) ed il teorea resta diostrato. - g(x) = g(x) b b < a, basteràsceglierea in odo che < a Verifichiao la ( ) g( x) g( x) g( x) g( x) ( g( x) ) g( x) g( x) g( x) g( x) g( x) quindi: g( x) g( x) g( x) g( x) g(x) - + g( x) Osserviao che il teorea richiede l'esistenza di l/ : esclude perciò le + - - 0 seguenti situazioni: che sono fore di indecisione o - + + 0 fore di indeterinazione. www.arioat.altervista.org Pagina 7
Nella tabella che segue sono riportati i casi relativi al liite del rapporto di due funzioni: per x che tende ad x 0 R ~. li f(x) li g(x) li( f(x)/g(x) ) lr R-{0} l/ lr + 0 lr - 0 + lr (l>0) + + lr (l<0) - - lr (l>0) - - lr (l<0) + www.arioat.altervista.org Pagina 8