Calcolo II AlpT (@freaket.org) May 3, 008 i
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Cotets Itegrali idefiiti. Derivate otevoli............................. Itegrali idefiiti immediati.................. Itegrali idefiiti vari..................... Itegrazioe per decomposizioe...................3 Itegrazioe per sostituzioe.................... 3.4 Itegrali razioali........................... 4.5 Itegrali irrazioali.......................... 7.6 Itegrali vari............................. 9 Serie umeriche 0. Assoluta covergeza......................... 0. Serie armoica.............................3 Serie di Megoli.............................4 Serie geometrica............................5 Serie armoica geeralizzata..................... 3.6 Serie resto............................... 4.7 Criteri di covergeza........................ 5.8 Serie somma.............................. 6.9 Serie a termii o egativi..................... 6.0 Criterio del cofroto........................ 7. Criterio del rapporto......................... 7. Criterio della radice......................... 9.3 Criterio di Raabe........................... 0.4 Criterio di Abel.............................5 Criterio del rapporto migliorato....................6 Criterio del cofroto del limite....................7 Criterio dell itegrale..........................8 Serie commutativa...........................9 Serie associativa........................... 3.0 Serie a segi alteri.......................... 4. Costate di Eulero-Mascheroi................... 8. Serie prodotto............................. 9.3 Serie telescopica........................... 3.4 Taylor e Mac-Lauri......................... 3.5 Irrazioalita di e........................... 34.6 Formulario.............................. 36 3 Spazi metrici 37 iii
Itegrali idefiiti. Derivate otevoli D[f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) D[kf(x)] = kf (x) Dx α = αx α D[f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) [ ] f(x) D = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) [g(x)] Da x = a x log e a D log a x = x log a e D l x = x D x = D x = x x D si x = cos x D cos x = si x si x = si x, si x = cos x, si (4) x = si x D sih x = cosh x D cosh x = sih x D ta x = cos x = + ta x D cot x = si x = ( + cot x) D [arcsi y] = D [arccos y] = y y D [arcta y] = + y D [arccot y] = + y D [arcsih y] = y + D [arccosh y] = y D [tah y] = cosh y D [arctah y] = y.. Itegrali idefiiti immediati (*) x α dx = xα+ α+ + c, α, x > 0, α R (0) x dx = x dx = log x + c, x 0 () [f(x)] α f (x)dx = [f(x)]α+ α+ + c () f (x) f(x) dx = log f(x) + c (*) e x dx = e x + c (*) 0dx = c (*) e f(x) f (x) dx = e f(x) + c (*) si xdx = cos x + c (*) cos xdx = si x + c (3) cos x dx = ta x + c (4) dx = cota x + c si x (0) x e cotiua i ], 0[ ]0, + [ e quidi ammette primitiva. La sua primitiva i ], 0[ e log x, ivece i ]0, + [ e log x, quidi i defiitiva ua sua primitiva e sempre log x () co α, f derivabile el suo itervallo di defiizioe e f(x) > 0 () co f derivabile el suo itervallo di defiizioe e f(x) 0 (3) stiamo cosiderado le primitive i ogi (a, b) R \ { π + kπ, k Z} (4) stiamo cosiderado le primitive i ogi (a, b) R \ {πk, k Z}
.. Itegrali idefiiti vari arcsi (x) dx = x arcsi (x) + x ta (x) dx = log(cos(x)) x = log + x x si x cos x = si x l (x) dx = x l (x) x arccos (x) dx = x arccos (x) x arcta (x) dx = x arcta (x) log ( + x ). Itegrazioe per decomposizioe. + cos x cos xdx = dx [formula di bisez.] = dx + cos xdx = dx + cos xdx = {x + c } + { } si x + c = x + 4 si x + c = x + ( si x cos x) + c 4 = x + si x cos x + c = (x + si x cos x) + c. si xdx = ( cos x)dx = { } cos x = {x + c } (x + si x cos x) + c = x x si x cos x = (x si x cos x) + c 3. log x dx = log x = x log x f(x) dx g (x) xdx = x(log x ) + c x [0, ] x 4. arcsi x dx = arcsi }{{ x } f(x) dx g (x) f(x) e defiita i [, ] ed e li cotiua (e quidi dotata di primitiva)
o e pero derivabile i,, quidi calcoleremo le primitive i ], [: arcsi x dx = x arcsi x x dx x = x arcsi x x dx x = x arcsi x + x( x ) dx [f(x)] α f (x)dx = [f(x)]α+ + c f(x) > 0, α α + = x arcsi x + ( x ) + c = x arcsi x + x + c Si verifica (usado la defiizioe di derivata) che D[x arcsi x+ x ] = arcsi x ache i,, quidi i defiitiva: arcsi x dx = x arcsi x + x + c x [, ] 5. 6. arccos x dx = x arccos x x + c x [, ] arcta x dx = arcta x dx = x arcta x + x x dx = x arcta x x + x dx = x arcta x x + x dx f (x) dx = log f(x) + c f(x) = x arcta x log + x + c = x arcta x log( + x ) + c.3 Itegrazioe per sostituzioe. Calcoliamo Sappiamo che ovvero: si x dx :], + [\{kπ, k Z} R si x si x : k Z ]kπ, (k + )π[ R 3
Ioltre si x e ache cotiua i ogi itervallo del tipo ]kπ, (k + )π[, e quidi, sempre i questi itervalli, ammette primitiva. Limitiamoci allora a ]0, π[: si x = ta x + ta x si x = + ta x ta x f[ϕ(x)] = ta x si x dx = = [ ta x ( + x ] ta ), ϕ (x) = ( + x ta ), ϕ(x) = ta x :]0, π[ R, f(y) = y [ ] f[ϕ(x)]ϕ (x) = f(y)dy y=ϕ(x) = [log y + c] y=ϕ(x) = log ϕ(x) + c = log ta x + c = log ta x + c [il val. ass. lo togliamo perche siamo i ]0, π[. Calcoliamo x. Scegliamo f(x) = x, ϕ(t) = si t e ψ(x) = arcsi x. f(x) e cotiua i [, ] e quidi ivi dotata di primitiva, ϕ(t) : [ π, π ] e ivi ivertibile e derivabile, co codϕ(t) [, ]. Possiamo quidi applicare la secoda formula di sostituzioe: [ ] [ x dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt = si t cos t dt] t=ψ(x) t=ψ(x) si t = cos t = cos t = cos t [stiamo lavorado i [ π, π ] quidi cos t > 0 ] [ ] [ ] = cos t dt = (t + si t cos t) + c [per la formula di cos t dt che cooscevamo gia ] t=ψ(x) = (arcsi x + x cos arcsi x) + c = (arcsi x + x si arcsi x) + c = (arcsi x + x x ) + c 3. ta (x) dx = l(cos(x)) = si (x) ta (x) dx = cos (x) dx = (cos (x)) dx cos (x) u = cos (x), dx = d du arccos (u) = u (cos (x)) dx = cos (x) u du = u du = l (cos (x)).4 Itegrali razioali Prima di tutto troviamo ua formula per calcolare questo itegrale: I = (x + a ) dx 4
Comiciamo co I : I = (x + a ) dx = a ( x a + ) dx = a a ( x a + ) dx = a arcta x a + c Calcoliamo adesso I : I = (x + a dx ) = (x + a ) dx g (x) f(x) D[(x + a ) ] = ( )(x + a ) x = x(x + a ) ( )(x + a ) xx dx = x(x + a ) + ( ) (x + a ) x dx = x(x + a ) x + ( ) (x + a ) dx = x(x + a ) + ( ) = x(x + a ) + ( ) x + a (x + a ) a (x + a ) dx (x + a ) a (x + a ) dx = x(x + a ) + ( )I ( )a I I = x(x + a ) + ( )I ( )a I x I (3 ) (x + a ) = ( )a I x I (3 ) + (x + a ) = ( )a I [ ] x I = a ( ) (x + a ) + ( 3)I Adesso arriviamo al sodo: vogliamo cercare di calcolare questo itegrale: A(x) B(x) dx, A(x), B(x) R[x], deg A(x) = m, deg B(x) = suppoiamo che B(x) sia moomico e < m, applichiamo allora la divisioe tra poliomi: A(x) B(x) dx = Q(x) + R(x) dx, deg R(x) < B(x) Q(x) dx lo sappiamo calcolare dato che e u semplice poliomio. R(x) B(x) dx rietra ivece el caso i cui il umeratore ha grado iferiore al deomiatore. 5
Suppoiamo che α, α,..., α r siao le radici reali di B(x) rispettivamete di molteplicita suppoiamo ioltre che λ, λ,..., λ r β + iγ, β + iγ,..., β s + iγ s siao meta delle radici complesse di B(x) (le altre soo coiugate poiche stiamo lavorado i R[x]) rispettivamete di molteplicita µ, µ,..., µ s quidi abbiamo r i= λ i + i= µ i =. Possiamo scrivere Si puo dimostrare che: R(x) B(x) = (β j + iγ j )(β j + iγ j ) = x + p j x + q j λ r j j= h= a jh s (x α j ) h + µ i i= k= A ik x + B ik (x + p i x + q i ) k dove x + px + q = (β j + iγ j )(β j + iγ j ) e u poliomio irriducibile i R[x] e quidi co < 0, e a jh, A ik, B ik soo delle costati. Impoedo l uguagliaza tra il poliomio del umeratore del primo membro e quello del umeratore del secodo membro, si risolve u sistema, otteedo cosi tutte le costati a jh, A ik, B ik. Giuti a questo puto bastera itegrare ogi pezzo del secodo membro. Aal- 6
izziamo i suoi sigoli pezzi: a dx = a log x α + c (x α) a (x α) k dx = a (x α) k (x α) k dx = a + c k Ax + B (x + px + q) dx = A x (x + px + q) dx + B (x + px + q) dx = A x + p Ap (x dx + (B + px + q) ) (x + px + q) dx = A log x + px + q + (B Ap ) (x + px + q) dx = A log x + px + q + (B Ap ) dx (x + p ) + q p 4 t = x + p a = q p 4q p 4 = = > 0 perche x + px + q ha < 0 4 = A ( log(x + px + q) + B Ap ) [ ] t + a dt t=x+ p togliamo il val. ass. dato che x + px + q > 0 x R t dt sappiamo calcolarlo co la formula che abbiamo visto prima + a Ax + B (x + px + q) k dx = A x (x + px + q) k dx + B = A (x + p)(x + px + q) k dx + (B Ap ) ( (x + px + q) k dx (x + p ) + q p 4 ) k dx t = x + p a = q p 4q p 4 = = > 0 perche x + px + q ha < 0 4 = A (x + px + q) k ( + B Ap ) [ ] k (t + a ) k dt t=x+ p (t + a dt sappiamo calcolarlo co la formula che abbiamo visto prima ) k.5 Itegrali irrazioali R(x, ax + bx + c) dx dove R e ua fuzioe razioale. I parole povere: quello che si cerca di fare e ricodurre ax + bx + c a ua somma/differeza di due quadrati del tipo (x+α) ±k. Dopodiche si sostituisce x+α co si(t) oppure sih(t) oppure cosh(t), i modo tale da ricodursi a ua idetita fodametale trigoometrica. Piu i dettaglio: distiguiamo 3 casi. 7
Case: a < 0 Poiche il radicale deve avere seso, impoiamo che ax + bx + c 0, si ha che { ax + bx + c 0 > 0 a < 0 Scriviamo ax + bx + ( c i modo opportuo: ax + bx + c = a x + b a x + c ) = a (x ba b + x + a 4a + c ) a b 4a = = a ( ( x + b ) + a y = x + b a, k = ) 4ac b 4a = a a ( ( x + b ) a 4a ota k e > 0 = a(y k ) = a(k y ) Passiamo a calcolare l itegrale e applichiamo la sostituzioe co y = x + b R(x, [ ( ax + bx + c) dx = R y b a, a ) ] k y dy y=x+ b a Adesso applichiamo ua uova sostituzioe co y = k si t, y = k cos t, t = arcsi y k abbiamo: [ ( = R k si t b a, ) ] a k k si t k cos t dt = t=arcsi y k k k si t = k si t = k cos t [ ( = R k si t b a, ) ] ak cos t k cos t dt t=arcsi y k Case: a > 0, > 0 Si procede aalogamete: y = x + b a, k = a ax + bx + c = a(y k ) R(x, [ ax + bx + c) dx = ( R y b a, a ) ] y k dy y=x+ b a Adesso per dar seso a y k dobbiamo distiguire due casi. Case: y [k, + [ Per la secoda sostituzioe poiamo y = k cosh t, y = k sih t, t = arcosh y k cosi abbiamo: [ ) k cosh t k ( = R k cosh t b a, a k cosh t k = k cosh t = k sih t [ ( = R k cosh t b a, ) ] ak sih t k sih t dt Case: y ], k] ) = ] k sih t dt t=arcosh y k t=arcosh y k = a : 8
Per la secoda sostituzioe poiamo y = k cosh t, y = k sih t, t = arcosh y k cosi abbiamo: [ ( = R k cosh t b a, ) ] ak sih t k sih t dt Case: a > 0, < 0 Procededo come abbiamo fatto fi ora: y = x + b a, k = ( a ( ax + bx + c = a x + b ) ) + a 4a = a(y + k ) R(x, [ ( ax + bx + c) dx = R y b a, a ) y + k Per la secoda sostituzioe poiamo y = k sih t, y = k cosh t, t = arsih y k cosi abbiamo: [ = R ( k sih t b a, ) ] a k sih t + k k cosh t dt k sih t + k = k [ = R ( k sih t b a, ak cosh t sih t + = k cosh t ) ] k cosh t dt t=arsih y k t=arcosh y k ] dy y=x+ b a t=arsih y k =.6 Itegrali vari x m (a + bx ) p dx, m,, p Q Case: p Z Si effettua la sostituzioe: x = t r, r = mcm(m, ) m+ Case: Z, p / Z Si effettua la sostituzioe: a + bx = t s, dove s e il deomiatore di p. Case: p + m+ Z a Si effettua la sostituzioe: x + b = t s Si effettua la sostituzioe co: R ( ) ax + b x, cx + d dx t = ax + b cx + d x = b dt ct a x (ad bc)t = (ct a) 9
e si ottiee: [ = ( ) ] b dt (ad bc)t R ct a, t (ct a) dt q t= ax+b cx+d Serie umeriche a = a + a + + a +..., a R N viee chiamata serie umerica. La somma parziale di posto e defiita come: s = a + a + + a Il carattere della serie dipede equivalea al carattere della successioe {s } che puo essere covergete a u limite S R, chiamato somma della serie divergete a ± oscillate. Assoluta covergeza La serie si dice assolutamete covergete quado la serie dei suoi valori assoluti e covergete: ass. cov. a covergete Theorem.. a assolutamete cov. cov. Usiamo il criterio di Cauchy (vedi thm [.3,pg.5]), per dimostrare la tesi, ovvero mostriamo che: ε > 0 v N : a + + a + + + a +k < ε > v k N Fissiamo ε > 0, per Hp: a covergete per Cauchy v N : a + + a + + + a +k < ε > v k N a + + a + + + a +k a + + a + + + a +k < ε > v Quidi la tesi e dimostrata co v = v Example.. di serie cov. ma o ass. cov. ( ) () e covergete per quato visto ell esempio [.3,pg.6], ma o e ass. cov. poiche la serie dei valori assoluti e la serie armoica. 0
Example.. Esempio di serie di fuzioi o ass. cov. ma uif. cov.: ( ) x dove ogi fuzioe e defiita i [, ] R. No e ass. cov., ifatti fissato u x 0 ( ) x = x = + Proviamo che e uif. cov. usado il criterio di cauchy, ovvero ε > 0 v = v(ε) : ( ) Poiche x [, ] si ha ( ) x + ( )+ x ( ) ( ) x+( )+ x+ + ( )+p x < ε > v p N x [, ] x + + ( )+p x < ε + ( )+ + ( )+ + + ( )+p < ε + + ( )+p < ε ( ) Abbiamo dimostrato ell exp [.3,pg.6] che coverge, quidi per il criterio di Cauchy di covergeza delle serie umeriche (vedi [.3,pg.5]) abbiamo ε > 0 v N : ( ) quidi la tesi e acquisita. Serie armoica + ( )+ si chiama serie armoica. Si ha che + + ( )+p < ε > v p N = + + 3 +... +. Dimostrazioe Osserviamo che s = + + + < + + + + + = s + La serie {s } e crescete, e quidi o oscillate.. Dim. che l estratta s m + 3. Dimostriamo che s m > m+
Per iduzioe. Base m = : Hp: s m > m+ e vera Ts: s m+ = + + + m } {{ } > m+ s = + = 3 > = m + + m + + + }{{ m+ } m+ + m+ + + }{{ m+ } m volte > Poiche m+, ache s m. Poiche {s m} e u estratta di {s }, si ha s.. Dimostrazioe Osservado che ( + abbiamo ( + ) < e log allora maggioriamo s : ) < ( + + ( + ) < log ) + < e N > m + ( + ) = log( + ) log < + m (m + ) + = m+ s = + + + > (log log )+(log 3 log )+ +(log(+) log ) = log(+) log = log(+) ovvero s > log( + ). Poiche log( + ), si ha che s.3 Serie di Megoli Osserviamo che ( + ) = ( + ) = = ( + ) ( + ) + allora s = + 3 + + ( + ) = + 3 + + + =.4 Serie geometrica Serie geometrica di ragioe x R: Case: x = lim s = lim + = x = + x + x + + x +... + = + Case: x x = + + + + = +
s = + x + x + + x ( x)s = ( x)( + x + x + + x ) ( x)s = x + s = x+ x x = lim s = x < x < + x > (e oscillate) x Case: x < La serie o e assolutamete covergete: s = x x lim s = + x x = x x.5 Serie armoica geeralizzata x, fissato x R si ha che: x { coverge x ], + [ diverge a + x ], ] x lim = + x Case: x = Questa e la serie armoica semplice, quidi diverge a + Case: x = 0 + +...,, quidi diverge a + Case: x < 0 lim = lim x = +, quidi per il thm [.,pg.5], la serie o coverge. x Poiche e a termii positivi, divergera a +. x Case: 0 < x < x < x x x = + criterio del cofroto Quidi, come prima, la serie diverge a +. Case: x = Cosideriamo la serie resto di posto : ( + ) x = + useremo varie volte il criterio del cofroto (vedi [.0,pg.7]) e il criterio di Raabe (vedi [.7,pg.]) 3
e il suo termie geerale (+), si ha ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) e la serie di megoli, che coverge ( + ) Case: x > coverge per il criterio del cofroto ( + ) x, come abbiamo visto prima, coverge, quidi per il criterio del cofroto, ache coverge. x Case: < x < Usiamo il cor del criterio ( di Raabe: ) lim x = lim ( + )x x (+) x x + = ( + ) = lim ( + )x x x x = lim + )x ( + )x = lim = x e il lim. otevole Poiche x >, per il cor del criterio di Raabe, la serie coverge..6 Serie resto Sia k N, =k+ a = a k+ + a k+ +... () e chiamata serie resto di posto k, poiche e i sostaza la serie a priva dei primi k. Queste due serie hao lo stesso carattere, ioltre a = S R =k+ a = S s k dove S = lim s. Co t idichiamo le somme parziali di =k+ a. Basta otare che t = s k+ s k Quidi se s coverge, per il thm delle successioi estratte, ache s k+ coverge, e quidi pure t. Se t coverge, s k+ coverge. Poiche s k+ e u estratta del tipo s c+, co 4
c costate, ache s coverge. Ifie t = s k+ s k lim t = lim s k+ s k = lim s k+ lim s k = S s k Data la serie per quato detto prima b : v N : > v b = a =v+ b = S s v dove S = a e s v e la somma parziale di posto v. Quidi, la serie A e la serie B defiitivamete uguale a A, hao lo stesso carattere..7 Criteri di covergeza Theorem... Dim Per Hp s S a coverge. Dim 0 ma = lim a = 0 a + = s + s s + S, s S a + 0 Theorem.3. Criterio di covergeza di Cauchy per le serie umeriche. coverge ε > 0 v N : a + +a + + +a +k < ε > v k N. Dim coverge {s } coverge {s } soddisfa la cod. di Cauchy per succ: ε > 0 v N : p, q > v s p s q < ε Fissiamo > v, q =, p = + k co u qualsiasi k libero, allora a + + a + + + a +k = s +k s = s p s q < ε. Dim Dobbiamo dimostrare che {s } coverge, ovvero che soddisfa la codizioe di Cauchy per succ.: ε > 0 v N : p, q > v s p s q < ε Per Hp: ε > 0 v N : a + + a + + + a +k < ε > v k N () Allora, poedo v = v, 5
Case: p = q Case: p > q s p s q = 0 < ε s p s q = a q+ + + a p < ε per la (), dove = q, k = p Case: p < q s p s q = s q s p = a p+ + + a q < ε per la (), dove = p, k = q.8 Serie somma Sommiamo due serie: a + b = (a + b ) Come primo risultato abbiamo che: a coverge ad A ( a = ± b coverge a B (a +b ) coverge a A+C ) ( ) b = ± a = b = ± (a +b ) = ± Nota. Per il caso i cui ua diverge a + e l altra, o si puo dire ulla a priori. Ifie, dato λ R, abbiamo: λ = 0 λa = 0 λ > 0 a = ± λ < 0 a = ± λa = ± λa =.9 Serie a termii o egativi si dice a termii o egativi N a 0 co idichiamo lo XOR a 6
Theorem.4. Ua serie a termii o egativi (coverge) (diverge a + ). Basta osservare che s + = s + a + 0 ovvero {s } e o decrescete. s + s.0 Criterio del cofroto Date due serie a termii o egativi a, co 0 a b N, coverge a T b a = + b = a b = + a =. Dimostriamo il primo caso. b coverge a S, co S T s = a + + a b + + b = t coverge t sup{t } N = T R b N a 0 s e o decr 0 s T S T R 0 S T. Criterio del rapporto Data ua serie a termii positivi: a N a > 0 si ha 0 h < : a + a a + a N h N a a diverge a + coverge 7
. Dim. il puto a + a h, a > 0 a + ha a ha ha h a a + ha h a (). Dim per iduzioe che a + h a : a (+)+. Q.E.D. per la () h a = a ha + h + a a + h + a per la Hp iduttiva h, 0 h < a serie geom. Allora, da a + a h, per il criterio del cofroto, deduciamo che la serie a coverge.. Dim. il puto a + h coverge, a > 0 a + a > 0 lim a a 0 + e quidi diverge a +. Corollary.5. Avedo la serie a termii positivi si ha: a + lim = a a, a > 0 N l < la serie coverge l > l = + la serie diverge a + l = caso dubbio: puo covergere o divergere. Dim il caso l < l < h R : l < h < Per la permaeza del sego: v N : > v a + Allora, per il criterio del rapporto, la serie resto =v+ a coverge. Per il thm sulle serie resto, la serie coverge pure. a a < h 8
. Dim il caso l > l = + Sempre per la permaeza del sego 3 : v N : > v a + > a quidi per il criterio del rapporto, la serie resto =v+ diverge a +. Per il thm sulle serie resto, la serie diverge a + pure. 3. Dimostriamo che si ha u caso dubbio i l = La serie diverge, coverge, ma lim + a a = = lim (+). Criterio della radice Data ua serie a termii o egativi: si ha. Puto 0 h < : a N a 0 a N a h N a a h a h a coverge diverge a + h e il termie geerale della serie geometrica di ragioe h. h [0, [ h coverge Per il criterio del cofroto, coverge pure la serie a.. Puto e quidi diverge a +. a a N Corollary.6. Avedo la serie a termii o egativi a, a 0 N lim a 0 + 3 el caso l = +, abbiamo che k > 0 v N : > v a + a > k, allora fissiamo k = 9
si ha: lim a = l < la serie coverge l > l = + la serie diverge a + l = caso dubbio: puo covergere o divergere La dimostrazioe e aaloga a quella del cor [.5,pg.8]..3 Criterio di Raabe Data ua serie a termii positivi: si ha a N a > 0 ( ) a h > : h N a + ( ) a N a + a a coverge diverge a +. Puto ( ) a h (a a + ) ha + a a + a + ha + a + a + a ( + )a + (h )a + a + a ( + )a + h. Dim che a (+)a + h coverge t = a a h + a 3a 3 h + + a ( + )a + h ( ) = a ( + )a + h = a h ( + )a + a h h Quidi {t } e ua successioe limitata da a h. Per Hp, e ache a termii positivi, quidi coverge.. Q.E.D. Per il criterio del cofroto, da a + a ( + )a + h deduciamo che la serie a coverge.. Puto 0
( ) a (a a + ) a + a ( + )a + a + ( + )a + a ( )a a a + a + a + = a = + e la serie armoica + a + = + [crit. del cofroto] Corollary.7. Data ua serie a termii positivi: si ha ( ) lim a = a + a N a > 0 l < l = la serie diverge a + l > l = + la serie coverge l = caso dubbio: puo covergere o divergere La dimostrazioe e aaloga a quella del cor [.5,pg.8]..4 Criterio di Abel Se a e covergete, e se la successioe umerica {b } e pure covergete, allora a b e covergete..5 Criterio del rapporto migliorato Data due serie a termii positivi: tali che allora a N a > 0 b N b > 0 v N : > v a + a b + b. b coverge a coverge. a diverge b diverge
.6 Criterio del cofroto del limite Date due serie a termii o egativi, a N a 0 () si ha lim + b N b 0 () a b = c, 0 < c < + () e () covergoo () e () divergoo Suppoiamo che b coverga, e suppoiamo per assurdo che a o coverga. Allora, per il thm [.,pg.5], si ha a lim = + assurdo + b lim b = 0, lim a = k 0 + + Suppoiamo che b diverga, e suppoiamo per assurdo che a o diverga (e quidi coverge essedo ua serie a termii o egativi). Allora, per il thm [.,pg.5], si ha lim b = k 0, + lim a = 0 + a lim = 0 assurdo + b.7 Criterio dell itegrale Se f(x) : [a, + [ R e ua fuzioe positiva o crescete, allora f() e + f(x) dx hao lo stesso carattere. a.8 Serie commutativa Sia r : N N ua permutazioe (ua mappa biuivoca), le due serie a, a 0 N, b, b = a r(), N hao lo stesso carattere, e se covergoo, hao la stessa somma. a r(i) s r(i) = a r(i) + a r(i) + + a { a r(i) + a r(i) + + a r(j) + + a a r(i) + a r(j) s max{r(i),r(j)} = a r(j) + a r(j) + + a r(i) + + a... Let: m = max{r(),..., r()} t = b + + b = a r() + + a r() a + + a m = s m s e crescete lim s = sup{s } = S s S N t s m S N t N r(i) > r(j) r(j) > r(i) e limitata t (essedo a termii o eg) coverge
Per il viceversa, basta riapplicare il procedimeto di prima, cosiderado che a = b r(), dove r e l iversa di r. Ioltre, t S N T S s T N S T T = S Theorem.8. Per ua qualuque serie vale il seguete fatto: a e ass. cov. vale la prop. commutativa per serie Ovvero, se a e ass. cov, allora ua sua qualsiasi permutazioe di idici, da ua serie co lo stesso carattere e somma..9 Serie associativa A partire dalla serie () a + a + + a +... associamo i suoi termii, otteedo ua uova serie () (a + +a k )+(a k++ +a k )+(a k++ +a k3 )+ +(a k ++ +a k )+ = b +b +b 3 + +b +. ovvero b = a k + + + a k co {k } successioe di umeri aturali. Theorem.9. a = S b = S Le somme parziali di () soo t = b + + b = (a + + a k ) + + (a k + + + a k ) = s k quidi la successioe {t } = {s k } e e u estratta di {s }. Poiche le estratte hao lo stesso limite delle loro successioi, si ha la tesi.. No vale il viceversa Prediamo ad esempio {k } = {} e come prima serie ( ) l associata diveta: ( + ) + ( + ) + ( + ) + = 0 + 0 + 0 +... Quidi quest ultima coverge, ma la prima o. 3
.0 Serie a segi alteri La serie () a, a + 0, a 0 N si chiama serie alterate. Theorem.0. Sia la a ua serie alterate co almeo u termie o ullo, allora { a } o decrescete a oscillate Poiche { a } e a termii o eg, sup N { a } > 0, ioltre poiche e o decr. lim = sup{ a } > 0 + N lim 0 + lim 0 + la () o coverge. Suppoiamo per assurdo che () diverga a + Cosideriamo l estratta {s }, s + = s + a + + a + = s + a + a + s 0 perche a + e di posto dispari 0 0 la serie { a } e o decr. {s } e o cresc. lim s = if N s < + lim s < + Assurdo, perche per Hp lim s = +.. Suppoiamo per assurdo che () diverga a Cosideriamo l estratta {s }, s + = s + a 0 + a + 0 = s + a + a + s 0 {s + } e o decr. lim s + = sup s + > N lim s + > Assurdo, perche per Hp lim s =. Theorem.. Criterio di Leibiz Let: () a ua serie alterate co almeo u termie o ullo { a } o crescete allora lim a = 0 la () coverge e, + lim a 0 la () e oscillate + a = S, S s a + N 4
Come ella precedete dimostrazioe: s + = s + a + + a + = s + a + a + s 0 0 0 la serie { a } e o cres. {s } e o decresc. s + = s + a 0 + a + 0 {s + } e o cresc.. Dimostriamo che {s }, {s } soo separati Ovvero, dimostriamo che p, q N s p s q Case: p = q = s + a + a + s 0 Case: p > q s p = s p + a p s p = s q 0 {s + } o cresc. s q s p s p + a p = s p 0 s p s q Case: p < q p < q p q = t {s } o decresc. s p s t s t + a t+ = s t+ = s (q )+ = s q 0 s p s q Ricapitolado i due isiemi soo separati, ovvero S := sup{s p } if {s q } =: T N N e ache s S T s N ( ). Dimostriamo che o diverge, suppoedo per assurdo che diverga a + e poi suppoedo per assurdo che diverga a Se diverge a +, allora lim s = + + lim s = + = S T per la (*) + Questo e assurdo, perche T, che e l if, o puo essere di +. Se diverge a, allora lim s = + lim s = = T S per la (*) + Questo e assurdo, perche S, che e il sup, o puo essere di. 3. Dimostriamo che per lim + a = 0 la () coverge e che Case: N, pari 5
s S T s + S s + S s }{{ s } + s 0 0 S s s + s = a + lim a = 0 + lim a + = 0 + S s + s + s 0 lim s + s = 0 + 0 S s s + s lim + S s = 0 [thm del cofroto] lim s = S + Case: N, dispari s + S T s S s S s + 0 s s + 0 S s + s s + = s + s = a + lim a = 0 + lim a + = 0 + S s + + s s + 0 lim s s + = 0 + 0 S s + s s + lim + S s + = 0 [thm del cofroto] lim s + = S + lim s = S + Quidi, i etrambi i casi s S Example.3. Per la serie si ha che x = x, x R () ass. covergete < x < covergete x = div a + x x < Ovviamete per x = 0 coverge a 0 Vediamo se e ass. cov per x 0, utilizzado il criterio del rapp.: x + lim + x = lim + allora distiguiamo i vari casi: x + x = lim + x + = x Case: x < < x < la serie dei valori assoluti coverge, quidi la () e ass. cov., e quidi ache covergete. Case: x > 6
Criterio del rapporto sulla (): lim + x + x = x > quidi la () diverge a + Case: x = Si ha la serie armoica, e quidi la () diverge a + Case: x = e a segi alteri, e per il criterio di Leibiz: lim + ( ) + = lim + + = 0 quidi e covergete. Case: x < e sempre a segi alteri. Determiiamo la mootoia di { x } { } x = per poi applicare il thm [.0,pg.4] x x <> + x <> ( + ) x x <> + + lim = < lim x = x = x [per Hp x < ] + + v N : > v + < x [perm del sego] x > + x + > x ovvero la serie e o decrescete. Per il thm [.0,pg.4], la serie () e oscillate. Example.4. Cosideriamo a =, a = log + N a = log + log 3 + 3 log + log +. Dim che lim + a = 0 lim a = lim + + = 0 lim a = lim log + = 0 + + lim a = 0 +. Dim che { a } e o crescete Sia ϕ(x) = log x : [, + ] N 7
per il teorema di lagrage c [, + ] : f f( + ) f() (c) = + c + c + + log + = log + = f (c) = c a (+) a a a + a a N 0 cio implica che ogi termie e del precedete. 3. Q.E.D. Abbiamo visto che lim + a = 0 e che { a } e o cresc., allora per il criterio di Leibiz, la serie coverge. La somma di questa serie viee chiamata costate di Eulero-Mascheroi.. Costate di Eulero-Mascheroi γ = ( + + + ) log lim +. Dimostriamo che γ R Cosideriamo la serie dell esempio [.4,pg.7], si ha: s = log + log 3 + 3 log + = + + 3 + + ( log + log 3 ) + + log = + + 3 + + (log + log 3 log + log 4 log 3 + + log log( )) = + + 3 + + log La serie dell esempio coverge, e quidi γ R: a = ( + + + ) log = Γ R lim + Example.5. U applicazioe: lim + lim + lim + log + + + = log ( + + + ) + ( + + + ) + + + = γ {}}{ ( + + + ) log + + + = + 0 8
. Serie prodotto Abbiamo due serie da queste defiiamo dove c = () a () (3) c a h b h+ = a b + a b + + a b h= La (3) e chiamata serie prodotto secodo Cauchy. Theorem.. di Mertes. Se la (), () covergoo rispettivamete co somma A, B e almeo ua delle due e assolutamete covergete, allora la (3) coverge co somma C = AB.. Portiamo u esempio che mostra che seza l ipotesi di ass. cov. di almeo ua delle serie iiziali, il teorema o vale Cosideriamo ( ) ( ). La ( ) coverge Usiamo il criterio di Leibiz: la successioe { a } = { } e decrescete, e lim a = lim = 0 + + quidi, per Leibiz, la ( ) coverge. Cosideriamo adesso la serie prodotto della ( ) per se stessa ( ) c = c a h a h+ = h= ( ) h= h= h h + ( ) h h b ( ) h+ h + =. Studiamo i puti di miimo e massimo assoluti della fuzioe f(x) = x x + : [, ] R 9
Usiamo la tecica dei tre isiemi 4 : X = {, } gli estremi della fuzioe X = {x [, ] f (x)} = poiche f (x) x [, ] X 3 = {x [, ] f (x) = 0} [ ] x + D [f(x)] = D x x + x = (x x + x) f (x) = 0 x + = 0 x = + X 3 = { + } f() =, f() = ( ) +, f = + ( ) + f() = f() f + + + 4 4 + + 0 + + + Quidi, soo puti di miimo e + e u puto di massimo 3. Q.E.D. Da cio che abbiamo visto f(x) + c = ( ) c = h= x [, ] f(x) h= + h h + = ( ) f(h) + h= f(h) + lim c lim + + + = lim c 0 + quidi per il criterio di Leibiz la serie ( ) e oscillate, percio o coverge. Theorem.3. Ua versioe piu forte del thm di Mertes: se la () e () soo ass. cov. allora la (3) e ass. covergete: Per Hp a = A R, b = B R 4 questa tecica cosiste el cofrotare i umeri dell isieme {f(x) x X X X 3 } 30
dobbiamo provare che c = C R; studiamo la sua somma parziale: i t = c i = a h b i h+ = i= i= h= a b + a b + a b + + a b + a b + + a b a b + a b + a b + + a b + a b + + a b = i = a h b i h+ = i= h= = a ( b + + b ) + a ( b + + b ) + + a b B( a + + a ) AB B B B A t AB Quidi, la successioe {t } e limitata, ed essedo a termii o egativi, coverge..3 Serie telescopica La successioe {a } e la serie (a + a ) hao lo stesso carattere. Questo deriva semplicemete, dal fatto che s = e ua serie telescopica, cioe (a + a ) i= s = (a + a ) = (a a ) + (a 3 a ) + + (a + a ) = a + a i=.4 Taylor e Mac-Lauri Example.6. Studiamo la sviluppabilita i serie di taylor di cetro x 0 = 0 f(x) = log( + x) :], +] R 3
f C (] : + [) f (x) = + x f (x) = ( + x) f (x) = ( + x) ( + x) 4 = ( + x) 3 D 4 [f(x)] = ( + x)4 4( + x) 3 ( + x) 6( + x)4 ( + x) 8 = ( + x) 8 = 6 ( + x) 4 D 5 4 [f(x)] = (x + ) 5 D 6 [f(x)] = 0 (x + ) 6. D [f(x)] = ( ) ( )! ( + x) Ovvero, vogliamo provare che x ], ]: f(x) = f(0) + f (0)! x + f (0)! x + + D [f(0)] x +...! f(x) = 0 + x x! + x3 + + ( ) ( )!x + = 3!! = x x + x3 3 + + ( ) x + = = ( ) x x ], ] Osserviamo che fissato u < x < + x = ( x) serie geom di ragioe ( x) che, liberado x i ], ] si puo itedere come ua serie di poteze di cetro 0: + x = ( ) x () applichiamo allora il corollario di Cauchy-Hadamad: a + lim = lim + a = =: l + quidi, il raggio di covergeza e l =. Co questa iformazioe possiamo dire che i ], [ la () coverge assolutamete, azi e tot. cov i ogi itervallo [a, b] ], [. Possiamo applicare l itegrazioe di serie all itervallo 3
[0, b] e [a, 0]: [0,b] + x = ( ) x [0,b] ( ) log( + b) = b b [0, ] + x = ( ) x [a,0] log( + a) = [a,0] ( ) a a [, 0] quidi log( + x) = ( ) x x ], [ () La () e ua serie di poteze, cerchiamo allora di applicare il teorema di Abel: prima di tutto vediamo se la () coverge o meo egli estremi. L H di () e : H = {h 0 ( ) h coverge} Utilizzado il criterio del rapporto, si vede che sup H = r =. Nota 5. Quidi, la () coverge i ], [ e o coverge i R \ [, ]. Per quato riguarda gli estremi, la () si comporta cosi : x = ( ) coverge (visto i exp [.,pg.0]) x = ( ) ( ) = = A questo puto, per il thm di Abel, possiamo dire che la () e uiformemete covergete i ogi itervallo del tipo [a, ] co < a <. Quidi, i questi itervalli, possiamo applicare il thm sulla cotiuita della fuzioe limite: sia S(x) la somma della serie, abbiamo fi ora visto che { log( + x) x ], [ S(x) = S() x = 5 Potevamo calcolare l r riutilizzado il corollario di Cauchy-Hadamad: lim ( ) = lim + + ( ) + = r = 33
per il thm sulla cotiuita della fuzioe limite, S(x) e cotiua, quidi I defiitiva, abbiamo che lim S(x) = S() x lim S(x) = lim log( + x) = log() x x S() = log() = log( + ) log( + x) =.5 Irrazioalita di e ( ) x x ], ] Abbiamo visto i aalisiii.pdf che percio e x = k= x k (k )! e = k= (k )! ( ) Dimostriamo l irrazioalita di e.. Fissato u N, proviamo le segueti disuguagliaze: + 0 < e () (k )!. Partiamo dalla () La serie k= + e (k )! <! k= k= ( + k)! e la serie resto di posto + della ( ). Per quato visto i [.6,pg.4], e poiche la ( ) coverge, ache la (3) coverge e ioltre S = somma della ( ) = e s = somma parziale della (*) (3) () + T = somma della (3) = S s + = e (k )! k= + (3) a termii positivi T > 0 0 < e (k )! (). Dimostriamo l uguagliaza () k= 34
Cosideriamo la seguete serie: ( + )!( + ) k = ( ) k (4) ( + )! + k= Se escludiamo il fattore (+)!, la (4) diveta ua serie geometrica di ragioe + <, quidi coverge a. + Moltiplicado per il fattore otteiamo: ( ) k = ( ) = ( + )! + k= ( + )!! + 3. Cofrotiamo la (3) co la (4): k= si dimostra per iduzioe che: ( + k)! k N ( + )!( + ) k ifatti, k = : supp. vera per k. k + : ( + )! ( + )! per Hp iduttiva si ha: ( + k)! ( + )!( + ) k < ( + )!( + ) k + k ( + )!( + ) k + ( + k)! < k ( + ( + )!( + ) k + ) ( + k)! < + ( ( + )!( + ) k + + k + ) ( + k)! < ( + )!( + ) + k + ( k + ) dividedo per + k + ( + k + )( + k)! < ( + )!( + ) k ( + ) ( + k + )! < ( + )!( + ) k Quidi, per il teorema del cofroto, la somma della (3) e di quella della (4), ovvero + e (k )!! k= Quidi la disuguagliaza () e dimostrata.. Q.E.D. Suppoiamo per assurdo che e = p q, p, q N, p q, q >. Per la () e (), 35
fissado = q, si ha: 0 < p q+ q (k )! < q!q k= moltiplichiamo ambo i membri per q!: 0 < p q+ q q! q! (k )! < q k= q+ 0 < p(q )! k= q! (k )! } {{ } M q+ k= < q (0 ) q! (k )! = q! + q!! + q!! + + q! q! = q! + q! + q(q )... 3 + + N ( ) q >, q N, p N p(q )! N ( ) q+ 0 < p(q )! k= ( ), ( ), (3 ) M N q+ q! (k )! p(q )! > k= q! (k )! (3 ) (0 ) M < q < assurdo cotro M N.6 Formulario Fattoriale { =!! =! ( )!! Ad esempio, 8!! = 8 6 4 9!! = 9 7 5 3! =!!( )!! ()!! =! ( + )!! = (+)! ()!! Limiti e serie di taylor: lim x! = 0 x R lim! = 0 = (+)!! e x = + x! + + x ( )! +..., 36
log( + x) = ( ) x x ], ] si(x) = x! x3 3! + x5 5! x7 7! + + ( )+ x ( )! +..., cos(x) = x! + x4 4! x6 6! + + ( )+ x ( )! +..., arcta x = ( ) x x [, ] 3 Spazi metrici Defiitio 3.. distaza tra due isiemi X, Y di (S, d): d(x, Y ) := if {d(x, y) x X, y Y } X, Y soo asitotici X Y =, d(x, Y ) = 0 Theorem 3.. X sequezialmete compatto, Y chiuso, d(x, Y ) = 0 X Y d(x, Y ) = 0 ε = > 0 x X, y Y : II prop. if {x } X, X seq. comp. {x k } : x k x X () y k x ifatti, 0 d(y k, x ) d(y k, x k ) + d(x k, x ) < d(y k, x ) 0 y k x y k x x Y = Y Y e chiuso x X Y () k 0 d(x, y ) < + d(x k, x ) 0 () () Corollary 3.. Xchiuso, d({y}, X) = 0 y X {y} e seq. compatto, X e chiuso, d(x, Y ) = 0 {y} X y X thm prec. Example 3.. Cosideriamo A = { (x, y) R y = x} = { (x, x ) x R}, ovvero l iperbole equilatera. B = {(x, 0) x R}, ovvero l asse x. A, B soo asitotici, ifatti, A B = 0, d((, ), (, 0)) = ( ) + = 0 37
Propositio 3.3. Disuguagliaza triagolare per distaza puto-isieme Dato lo spazio metrico (S, d), X S, x, y S, si ha dove co d(x, S) si itede d([x], S). Proof. d(x, S) d(x, y) + d(y, S) d(y, S) = if {d(y, s) s S} ε > 0 s ε S : d(y, s ε ) ε < d(y, S) () d(x, S) = if {d(x, s) s S} d(x, s ε ) d(x, y) + d(y, s ε ) < d(x, y) + d(y, S) + ε disug. triag. () d(x, S) < d(x, y) + d(y, S) + ε ε > 0 e prededo i limiti per ε 0, si ha: d(x, S) d(x, y) + d(y, S) 38
Idex assoluta covergeza, 0 costate di Eulero-Mascheroi, 8 criterio di Leibiz, 5 serie a segi alteri, 4 armoica, prodotto, 9 taylor, 3 teorema di Mertes, 9 39