Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica Dott. Franco Obersnel Lezione : superficie nello spazio; area e integrali superficiali; teorema della divergenza e teorema di tokes. Esercizio. ellittico i trovi un equazione parametrica per rappresentare la parte limitata del paraboloide y =6 x z delimitato dal piano xz. i scriva l equazione del piano tangente nel generico punto. i tratta della parte del paraboloide ellittico y =6 x z, con y..5 -.5-4 5 6.5.5.5 - -.5 Possiamo rappresentarlo mediante equazioni parametriche come segue: x(u, v =u y(u, v =6 u v, z(u, v =v, dove (u, v T {(u, v T IR : u + v }; (si tratta della regione interna ad un ellisse. - -.5.5 -.5 - -.5 Per scrivere l equazione del piano tangente non è necessario ricorrere alla formula del versore normale mediante le derivate parziali della parametrizzazione. Poiché infatti la superficie considerata è il grafico della funzione f(x, z =6 x z, l equazione del piano tangente nel punto (x,f(x,z,z è y f(x,z = 6x (x x 4z (z z, cioè, 6x x + y +4z z x z 6=.
Esercizio. i consideri la superficie rappresentata dalle seguenti equazioni parametriche x(u, v =uv, y(u, v =ue v, z(u, v =ve u, con (u, v T IR. i dica se la superficie è regolare e si calcoli l equazione del piano tangente nel generico punto della superficie. Le funzioni x(u, v, y(u, v ez(u, v sono di classe C. Calcoliamo le derivate parziali : u = v; u = ev ; u = veu ; La matrice ( v e v ve u u ue v e u v = u; v = uev ; v = eu. ha caratteristica per ogni punto (u, v T diverso dal punto (, T. Dunque la superficie è regolare in ogni punto ad eccezione del punto (,e,e T. Un vettore normale alla superficie nel punto (x(u, v,y(u, v,z(u, v T è e il versore normale è n = (v, e v,ve u T (u, ue v,e u T =(e u+v ( uv,ve u (u,ue v (v T, e (u+v ( uv + v e u (u + u e v (v ( e u+v ( uv,ve u (u,ue v (v T. Il piano tangente la superficie nel punto (x(u, v,y(u, v,z(u, v T è e u+v ( uv(x uv+ve u (u (y ue v +ue v (v (z ve u =. i noti che il piano tangente non è definito nel punto (,e,e che si ottiene per (u, v T =(, T. Esercizio. Un idea intuitiva per definire l area di una superficie può essere quella di approssimare una superficie con tratti di superficie piane triangolari, prendendo poi l estremo superiore di queste aree, in modo simile a quello che si fa per definire la lunghezza di una curva. i provi che questa idea non è praticabile. i consideri ad esempio un cilindro e si mostri che può essere ricoperto internamente con pezzettini di carta triangolari in modo che l estremo superiore dell area della carta necessaria per avvolgerlo sia infinito. Consideriamo la metà di un cilindro (con il taglio passante per l asse verticale di raggio di base e altezza. i può rappresentare il cilindro come segue: C = {(x, y, z T IR : x + y =,x, z }. uddividiamo la superficie di tale oggetto in n striscioline orizzontali ciascuna di altezza n.
Costruiamo n triangoli ciascuno dei quali ha i vertici nei punti (,, i n T,(,, i+ n T,(,, i n T, con i =,,,...,n. La figura seguente mostra due di questi triangoli: Ciascuno di questi triangolini ha base e altezza + n >. Dunque la somma delle aree di tutti i triangolini è >n. i possono aggiungere altri triangolini in modo da ottenere una triangolazione completa della superficie. È chiaro che l area totale della triangolazione sarà maggiore di n. Poiché n si può prendere grande a piacere possiamo concludere che l estremo superiore delle aree delle triangolazioni della superficie considerata è infinito. Esercizio 4. i calcoli l area della parte del paraboloide iperbolico z = y x che è delimitata dai cilindri x +y = e x + y =4. La superficie può essere parametrizzata dalla funzione con (u, v T IR tali che u + v 4. ϕ(u, v =(u, v, v u T ; 4 - -4 - - y x Calcoliamo il vettore normale: u =(,, ut, - - v =(,, vt ; n = u v =(u, v, T. Naturalmente si poteva anche osservare che la superficie considerata è il grafico della funzione f(x, y = y x e usare la formula n = + f. Per calcolare l area A della superficie dobbiamo calcolare l integrale A( = n dudv. Conviene usare coordinate polari; si ottiene allora ( A( = 4ρ +ρdϑ dρ = π 4 7 5 π ( tdt= 6 7 5 ;
dove per integrare rispetto a ρ si è fatta la sostituzione t =4ρ +,dt =8ρdρ. Esercizio 5. i calcoli l integrale dove è la superficie definita dal cilindro di equazione cartesiana x + y =, dal disco D = {(x, y, z T IR : x + y, z=} e dalla porzione di piano π = {(x, y, z T IR : x z +=;x + y }. zdσ, La superficie è l unione di tre superfici regolari, che chiameremo tappo superiore, superficie laterale e tappo inferiore..5.5 - -.5 v.5.5 u - -.5 L integrale sul tappo inferiore D dà contributo nullo, perché su tale superficie la funzione z è identicamente nulla. tudiamo l integrale sul tappo superiore. Questa superficie può essere parametrizzata dalla funzione dunque ϕ(u, v =(u, v, u + T ; u =(,, T, n =(,, T. v =(,, T ; Naturalmente si poteva anche osservare che la superficie considerata è il grafico della funzione f(x, y = x + e usare la formula n = + f. Per calcolare l integrale su questa superficie conviene usare coordinate polari ( ( + ρ cos ϑ ρdϑ dρ =π ρdρ+ ρ dρ cos ϑdϑ= π. Calcoliamo ora l integrale sulla superficie laterale. Questa può essere parametrizzata mediante la funzione ϕ(u, v = (cos u, sin u, v T ; dove u [, π] e v + cos u. i ha u =( sin u, cos u, T, n = (cos u, sin u, T. v =(,, T ; Calcolando l integrale (si osservi che n = si ottiene ( +cos u vdv du = + cos ( u + cos u du = ( + (cos u ++cosu du = π. 4
ommando i contributi all integrale delle tre superfici si ottiene infine ( + zdσ= π. Esercizio 6. i calcoli la carica elettrica contenuta nella calotta sferica {(x, y, z, T IR : x + y + z r,z }; dove il campo elettrico è definito da E(x, y, z =(x, y, z T. La legge di Gauss dice che la carica racchiusa da una superficie è proporzionale al flusso del campo; cioè Q = ε E,n dσ. Possiamo parametrizzare la calotta sferica nel modo usuale: { x = r sin ϕ cos ϑ y = r sin ϕ sin ϑ z = r cos ϕ; con ϕ [, π ]eϑ [, π]..8.6.4. - -.5.5 -.5 -.5 i ha dunque = r cos ϕ cos ϑ; = r sin ϕ sin ϑ; ϑ = r cos ϕ sin ϑ; = r sin ϕ cos ϑ; ϑ = r sin ϕ; ϑ =; n =(r sin ϕ cos ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r sin ϕ cos ϕ T. Calcoliamo il flusso del campo: ( r sin ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ + r sin ϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ +rcos ϕ r sin ϕ cos ϕdϕ dϑ = ( π = r sin ϕ cos ϑ + sin ϕ sin ϑ + cos ϕ sin ϕdϕ dϑ = ( π = r sin ϕ(sin ϕ + cos ϕ dϕ 5 dϑ =πr ( + cos ϕ sin ϕdϕ=
=πr [ cos ϕ ] π cos ϕ = 8 πr. Osserviamo che il flusso attraverso il tappo inferiore della superficie è nullo. Infatti su tale superficie la componente del campo parallelo alla normale (cioè la componente z è nulla, essendo ivi z =. Concludiamo che la carica elettrica contenuta in è 8 Q = ε πr. Esercizio 7. i calcoli il flusso attraverso la superficie del campo dove è la semisfera superiore F (x, y, z =(xz, y +tgz,x z + y T, = {(x, y, z T IR : x + y + z =,z }. i potrebbe calcolare direttamente il flusso attraverso la superficie, ma il conto non sarebbe molto agevole. Osserviamo che la divergenza del campo è una funzione molto semplice, essendo div(f =z + y + x. i può dunque provare ad usare il teorema della divergenza. i noti però che la superficie non è chiusa. Consideriamo allora la superficie chiusa ottenuta dall unione di e del tappo inferiore Per il teorema della divergenza si ha D = {(x, y, z T IR : x + y, z=}. D F, n dσ = B divf dm; dove l integrale triplo al secondo membro è calcolato sulla semisfera solida superiore B = {(x, y, z T IR : x + y + z, z }. L integrale triplo si calcola facilmente in coordinate sferiche: ( ( π ρ ρ sin ϕdϑ dϕ dρ = 5 π. Calcoliamo ora il flusso attraverso il tappo inferiore D. La normale esterna è(,, T, la funzione da integrare nel disco è y ; conviene usare coordinate polari: ( ( ρ sin ϑ ρdϑ dρ = sin ϑdϑ= [ 4 4 ϑ ] π sin ϑ = π 4 4 ; dove, nel calcolo dell integrale sin ϑdϑ si è usata l identità sin ϑ = (cos ϑ +. Il flusso attraverso la superficie sarà perciò ( 5 π π = 4 π. 6
Esercizio 8. i consideri il solido generato da un triangolo equilatero di lato a, ruotato attorno ad uno dei suoi lati. i determinino la superficie e il volume del solido. Useremo i teoremi di Pappo-Guldino. Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle mediane che, per il triangolo equilatero, coincidono con bisettrici e altezze. In un sistema di assi cartesiani yz, con l asse y orizzontale e l asse z verticale, i vertici del triangolo equilatero di lato a, con un lato appoggiato all asse verticale, sono (, a T, (, a T,(a, T. La coordinata y del baricentro èŷ = 6 a. Nella figura seguente si è posto a =:.4...4 x.6.8 -. -.4 L area del triangolo è A = a a. Per il secondo teorema di Pappo-Guldino si calcola facilmente il volume del solido ottenuto ruotando il triangolo intorno all asse z: V =π 6 a a 4 = π 4 a. La coordinata y del baricentro della curva costituita dai due lati del triangolo che non sono adiacenti all asse z è il punto medio dell altezza del triangolo, dunque èŷ = a 4. La lunghezza di tale curva èa. Dunque, per il primo teorema di Pappo-Guldino si ottiene A =π a 4 a = πa. I risultati ottenuti erano prevedibili. Il solido che abbiamo ottenuto è un doppio cono con raggio di base a, altezza a e apotema a. Le formule del volume e dell area della superficie laterale di un cono con raggio di base r, altezza h e apotema a sono rispettivamente V = πr h A = πra. Nel nostro caso, (moltiplicando per due perché il cono è doppio si ottiene V = π 4 a a = π 4 a ; A = π a a = πa. 7