FI.CO. 2 ( Fisica Compensibile pe geologi) Pogamma di Fisica 2 - (v 5.0-2002)...sempe più fico! A.J. 2000 Adiano Nadi La fisica dovebbe essee una scienza esatta. Questo papio non può gaantie la totale infallibilità peché NON E STATO SCRITTO DA UN FISICO, tuttavia, popio pe questo motivo, isulteà pobabilmente più chiao e abbodabile dei testi ufficiali. L autoe comunque non ispondeà di eventuali danni moali, mateiali o ceebali dovuti all uso popio o impopio di questi appunti.
01 - CAMPO ELETTRICO Il campo elettico non è adatto all agicoltua, fose peché vi cesceebbeo soltanto spine... Tutte le leggi che iguadano il campo elettico tovano facile analogia con quelle che govenano il campo gavitazionale, già studiato in Fisica 1. E utile quindi fae sempe un confonto dietto. L unica eccezione è che se la massa è una gandezza sempe positiva, nel caso del campo elettico la caica può essee anche negativa, ne consegue che la foza gavitazionale è solo attattiva mente quella elettica può essee anche epulsiva. + Confonto con il campo gavitazionale CAMPO ELETTRICO CAMPO GRAVITAZIONALE Paticella di CARICA ± q paticella di MASSA m LEGGE DI COULOMB (foza elettica): LEGGE DI NEWTON (foza gavitazionale): q q 0 F = k dove: k = 1/4πε 0 F = G 2 (ε 0 = costante dielettica del vuoto) m m 0 2 CAMPO ELETTRICO: CAMPO GRAVITAZIONALE: F q F m E = = k (F = m 0 g ) g = = G q 0 2 Una paticella di caica q genea nello spazio cicostante un campo elettico E ilevabile gazie alla sua influenza su una seconda caica di pova q 0. Il campo elettico è definito come una foza pe unità di caica, ovveo la foza esecitata da q su q 0 divisa pe il valoe di q 0. (q 0 peò deve avee un valoe tascuabile ispetto a q pe non geneae a sua volta su q un campo elettico significativo). Il vettoe E (il campo è vettoiale) punta sempe nella diezione di F. Il concetto di campo è un po astatto: intono alla caica q in ealtà non c è popio nulla! Il campo elettico è soltanto una egione di spazio che ciconda la caica q. La caatteistica di questo spazio è che in ogni suo punto è potenzialmente possibile isentie dell effetto di q in misua dipendente da q 0, cioè solo quando ci si metteà una caica di pova q 0, in quel punto si isentià di una foza a causa di q. Si icodi che questa foza potà essee attattiva o epulsiva. Essendo il appoto ta foza e caica, il campo elettico si misua in Newton al Coulomb: N/C. m 0 2 CARICA ELETTRICA: la più piccola paticella caica negativamente è l elettone; la più piccola positiva è il potone. La loo caica ha ugual valoe ma segno opposto. Nel Sistema Intenazionale la caica elettica si misua in Coulomb (C). La caica dell elettone o del potone misua 1,60219 10-19 C, quindi: 1C equivale a 6,3 10 18 elettoni. 2
Un copo si dice caico quando ha un eccesso di caiche, positive o negative. Poiché il potone è legato al eticolo cistallino mente l elettone è dotato di una ceta mobilità, un copo è caico negativamente quando ha un eccesso di elettoni e positivamente quando isulta un difetto di elettoni. INTERAZIONE TRA LE CARICHE: copi caichi di segno opposto si attaggono copi caichi dello stesso segno si espingono - + + DISPOSIZIONE DELLE CARICHE NEI CORPI TRIDIMENSIONALI: pemesso che pe il momento si pala di eletticità statica, cioè non di una coente di caiche, la disposizione delle caiche su di un copo voluminoso dipende dalla natua del copo, cioè conduttoe o isolante. Isolante significa che non pemette la conduzione delle caiche, vicevesa il copo conduttoe ha una situazione atomica tale da pemettee lo scambio di caiche attaveso i suoi atomi. nei copi isolanti le caiche possono essee distibuite in tutto il volume; nei copi conduttoi le caiche sono distibuite unifomemente sulla supeficie estena. Questo implica che il campo elettico all inteno di un conduttoe caico - in condizioni statiche - è nullo. Su questo punto, molto impotante, toneemo a discutee in seguito. LINEE DI FORZA: si usano pe appesentae gaficamente il campo elettico. Le linee escono dagli oggetti caichi positivamente ed entano in quelli caichi negativamente. La diezione di patenza e di aivo è sempe pependicolae alla supeficie dell oggetto. Le linee di foza non si possono incociae. Il numeo di linee di foza che cicondano un oggetto è popozionale al valoe della sua caica. Il vettoe campo elettico E è, in qualsiasi punto, tangente alla linea di foza passante in quel punto. + - + - + + + + + + + + - DIPOLO ELETTRICO: due caiche uguali ed opposte costituiscono un dipolo elettico. Dicesi momento del dipolo il vettoe che unisce le caiche avente veso che va dalla negativa alla positiva e modulo equivale alla distanza ta di esse moltiplicata pe il valoe assoluto di q. Anche se la definizione è un po astatta, questa cosa ha la sua bella utilità. Ecco quale: in un campo elettico unifome poniamo due caiche puntifomi +q e -q, distanti ta loo 2a. Se il dipolo foma un angolo θ con le linee di foza del campo, le due paticelle subianno ispettivamente due foze uguali e contaie che 2a - p + 3
tendeanno a fa uotae il dipolo fino a falo allineae con le linee di foza. Il momento esecitato su ciascuna paticella ispetto ad un polo equidistante O è τ = Fa senθ, quindi il momento totale sul dipolo saà: E O + θ F τ = 2 Fa senθ Momento totale sul dipolo ispetto ad O Sostituendo F = qe e successivamente p = 2a q si otteà: F -q τ = 2a qe senθ = pe senθ...che equivale ad un podotto vettoiale e quindi: τ = p E Momento esecitato da un campo elettico su un dipolo elettico Essendo un podotto vettoiale, il momento esecitato sul dipolo è appesentato da un vettoe che segue la egola della mano desta o della vite e che quindi (nel caso illustato) è entante nel piano del foglio e pependicolae ad esso. Flusso del campo elettico FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO (Φ): è una misua del numeo di linee di foza che attavesano una data supeficie. dove: E = campo elettico Φ E = E A Flusso di E A = supeficie alle linee del campo Il flusso si calcola su una supeficie pependicolae allo scoimento. Se la supeficie A in esame non è alle linee del campo, la sua poiezione A sul piano appesenta la supeficie equivalente attaveso cui passa il flusso, ovveo, poiché A = A cos θ Φ E = E A cos θ Flusso attaveso sup. inclinata θ A Notae che quando A è paallela alle linee di foza si ha cosθ = cos90 =0 Φ = 0 il flusso è nullo (figue sotto). Se invece A è pependicolae alle linee del campo, alloa cosθ = cos0 = 1 Φ = EA = valoe massimo. A θ A Ma E A cos θ ha tutto l aspetto di un podotto scalae, alloa saà utile consideae i seguenti vettoi: A E A = vettoe campo elettico con modulo pai ad E=kq/ 2 con diezione e veso delle linee di campo = vettoe convenzionale con modulo pai ad A e diezione pependicolae alle linee di campo Φ = EA Φ = 0 4
insomma (ultima figua) il flusso del campo elettico esta una gandezza scalae ma deiva oa da un podotto vettoiale: θ A E Φ E = E A = E A cosθ Flusso del campo elettico Il flusso del campo elettico è una gandezza scalae e si misua in Newton al metoquado pe Coulomb: (N m 2 )/C FLUSSO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CHIUSA: pe una supeficie chiusa il flusso totale è dato dalla somma dei flussi calcolati attaveso supefici A tanto piccole da isultae piane: Φ E = lim ( A 0) E A = E da supef. Flusso totale attaveso una supeficie chiusa Stabilito ciò va fatta una distinzione: se la sogente del campo è intena o estena alla supeficie chiusa. Nel caso di una sogente estena il flusso saà sempe nullo. Un esempio semplice si può fae usando un cubo: il flusso attaveso le supefici paallele alle linee di foza è nullo (popio peché //), il flusso entante ha segno negativo, quello uscente positivo (questo pe convenzione). A 1 A 2 Φ E = -EA 1 + EA 2 = 0 infatti: il flusso totale attaveso una supeficie chiusa è popozionale al numeo netto di linee di foza che attavesano il volume, ovveo al numeo di linee uscenti meno il numeo di quelle entanti. Nel caso del cubo (supefici simmetiche) il bilancio è zeo. Ma se invece la sogente fosse stata all inteno della supeficie chiusa? Questo poblema è isolto dalla Legge di Gauss. LEGGE DI GAUSS: stabilisce che il flusso totale attaveso una supeficie gaussiana ovveo una supeficie chiusa è pai alla caica in essa contenuta divisa pe la costante dielettica, cioè: Φ c = q/ε 0 (questo vale, appunto, quando la sogente del campo è intena alla supeficie). Pe dimostae questa legge univesale basta isolvee il caso più semplice possibile: calcolae il flusso totale, attaveso una supeficie sfeica, del campo elettico podotto da una caica puntifome posta al suo cento. Φ c = E da Flusso attaveso una supeficie chiusa...che possiamo scivee: Φ c = E da E = kq/ 2 da = 4π 2 peché E è costante, essendo tutti i punti della sfea equidistanti dalla caica. Infatti, in questo caso così semplice, sappiamo già che:...dove è lo stesso pe tutti i punti della sfea, le alte sono costanti;...cioè la supeficie di una sfea. Quindi svolgendo: 5
Φ c = ( kq / 2 ) 4 π 2 = kq 4π...ma k = 1/4πε 0 che sostituito dà: Φ c = kq 4π = ( q / 4π ε 0 ) 4π = q/ε 0 ovveo, in definitiva: Φ c = q / ε 0 Legge di Gauss Notae che in questa fomula non vi è alcun elemento che fa ifeimento alla foma della supeficie e quindi, anche se calcolata su una sfea, è valida pe qualsivoglia supeficie gaussiana. Abbiamo usato una sfea peché ci ha pemesso di svolgee facilmente l integale. Il flusso elettico dipende dunque dalla caica q che genea il campo (dalla sua entità dipende infatti il numeo di linee di foza che cicondano la paticella) e isente dell influenza del mezzo (in questo caso il vuoto) espessa dalla costante dielettica. Questa legge veà usata ogni volta che si vuole calcolae il campo elettico. Calcolo del campo elettico GENERALITA : fino ad oa abbiamo consideato sogenti puntifomi. Il calcolo del campo elettico podotto da una sogente di qualsiasi foma si basa sul pincipio di sovapposizione secondo il quale il campo elettico podotto da più caiche equivale alla somma vettoiale dei campi elettici podotti dalle singole caiche. Questo vale sia pe più caiche puntifomi che pe una distibuzione continua di caiche, cioè pe un oggetto caico esteso. Quest ultimo infatti può essee visto come una sommatoia di oggetti la cui estensione tende a zeo, ovveo un integale di linea, di supeficie, di volume: E tot = E 1 + E 2 + E 3 + E n E = de Campo totale pe CARICHE PUNTIFORMI dove: E n = k q n / 2 n Campo totale pe un OGGETTO ESTESO dove: de = k dq/ 2 Inolte spesso è utile stabilie una oppotuna supeficie gaussiana (sfeica, cilindica, o comunque a R costante pe avee un campo costante) e icoee alla legge di Gauss peché ci fonisce sempe un valoe noto pe il flusso del campo elettico e quindi una elazione utile pe estae il valoe del campo: Φ c = E da = Q/ε 0 infatti scegliendo una gaussiana simmetica E saà costante e quindi: E da = Q/ε 0 E tot = Q / (ε 0 A) (Relazione fondamentale) Campo totale calcolato mediante la Legge di Gauss dove si dovà valutae la supeficie A attaveso cui si è calcolato il flusso del campo elettico e la caica Q che lo ha podotto. 6
Se non si conosce la caica Q, saà utile icoee alle densità di caica: λ = Q/L Q = λl σ = Q/A Q = σa ρ = Q/V Q = ρv caica in funzione della densità lineae caica in funzione della densità pe unità di supeficie caica in funzione della densità pe unità di volume Se invece non si conosce la supeficie, questa potà essee calcolata gazie alle classiche fomule: A = π 2 A = 4π 2 A = 2π h aea della ciconfeenza aea della sfea aea lateale del cilindo Notae che il valoe di A intoduce la costante π che può essee usata insieme alla ε 0 pe semplificae l espessione, icodando che k = 1/4πε 0. Es: se A = 4π 2 E tot = Q / (ε 0 A) = Q / 4πε 0 2 = k Q/ 2 (sfea) (campo esteno ad una sfea caica. Vedee esempi) ESEMPI: ecco alcune applicazioni su oggetti caichi di fome elementai. Questi casi sono molto istuttivi e olte a fissae la teoia sono la base di qualsiasi esecizio d esame. caica puntifome; dipolo elettico; anello; disco; sfea; guscio sfeico; filo o cilindo infinito; piano infinito; conduttoe iegolae. 7
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME: conosciamo già il isultato ma oa, mediante il teoema di Gauss, dimosteemo anche la legge di Coulomb! Data una caica puntifome q, consideiamo una supeficie sfeica di aggio e cento in q. Applichiamo il teoema di Gauss su una pozione infinitesima di supeficie da (infinitesima così che possa isultae E A). A questo punto sappiamo che: q + A E Φ = E da Flusso del campo elettico Φ = q/ε 0 Legge di Gauss ne segue che: E da = q/ε 0 pe simmetia E deve essee costante e si può estae dall integale... E da = q/ε 0 da è la somma delle supefici infinitesime, ovveo la sfea di S=4π 2 E (4π 2 ) = q/ε 0 quindi, in conclusione: E = q / 4π 2 ε 0 ma poiché 1/4πε 0 = k, sostituendo otteniamo: E = kq/ 2 Campo elettico geneato da una caica puntifome Notae che se applichiamo una caica di pova q 0 su un punto qualsiasi della supeficie della sfea vaanno le seguenti elazioni: E = F/q 0 (definizione di campo elettico) E = kq/ 2 (campo elettico di una caica puntifome, come appena visto) Uguagliando le due ed esplicitando F si avà: F = k qq 0 / 2...ovveo la Legge di Coulomb! 8
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIPOLO: pe dipolo elettico qui si intende due paticelle puntifomi di segno opposto (+q ; -q). Calcoleemo il campo in un punto P posto a distanza y dal punto O, cento dell asse (di lunghezza 2a) che unisce le due paticelle. In O centeemo un ifeimento catesiano (vedee figua). Si considei y >> a. I vettoi campo elettico podotti in P dalle due paticelle puntano in diezioni divese, il veso dipende dal segno della caica, ma hanno lo stesso modulo peché P dista da entambe le paticelle. Poiché 2 = y 2 + a 2 abbiamo: P y θ θ E 1 E tot E 1 = E 2 = kq/ 2 = kq / (y 2 +a 2 ) Notiamo oa che le componenti Y di E 1 ed E 2 si annullano a vicenda, mente le componenti X si sommano. E tot (somma dei due vettoi) equivale dunque alla somma delle loo componenti oizzontali: y E 2 (E 1 ) x = E 1 cos θ E tot = 2 E 1 cos θ ma il cosθ = a/ = a/(y 2 +a 2 ) 1/2 quindi... kq a qa E tot = 2 = 2k y 2 +a 2 (y 2 +a 2 ) 1/2 (y 2 +a 2 ) 3/2 θ a a θ + O -q 2a x Abbiamo pesupposto peò che il punto P sia molto lontano dalle paticelle e che quindi y>>a. Questo ci pemette di tascuae al denominatoe a 2 ispetto a y 2 e di ottenee in definitiva: E tot = k 2qa y 3 Campo elettico geneato in P da due caiche opposte Notae che il campo qui diminuisce con il cubo della distanza y dal baicento del dipolo, cioè più apidamente di quanto avebbe fatto con ciascuna singola caica, caso in cui si iduce con il quadato di. 9
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN OGGETTO ESTESO IN LUNGHEZZA: calcoliamo oa il campo elettico geneato da una bacchetta oizzontale unifomemente caica di spessoe tascuabile ispetto alla lunghezza L. Misuiamo il campo nel punto P posto ad una distanza d lungo l asse della bacchetta (vedee figua). Poniamo in P l oigine dell asse X. La bacchetta può essee consideata come la somma di piccoli tatti x. La caica di ciascun x è q. La densità lineae di caica dell oggetto è λ = q/x da cui otteniamo caica e campo del segmento: E P O d x L q x q = λ x Caica del tatto x E = k q/x 2 = kλ x/x 2 Campo del tatto x Il campo elettico totale in P saà dato dalla sommatoia dei contibuti podotti dalle pozioni q elative a degli intevalli x di lunghezza infinitesima. Il limite pe x 0 ci pota dalla sommatoia (intevalli disceti) all integale di linea (che espime una continuità lungo tutto il tatto L): E tot = lim (x 0) E = (linea) E...ovveo, nel nosto caso paticolae: d+l E tot = kλ dx/x 2 = kλ dx/x 2 = kλ [-1/x] = kλ (1/d - 1/d+L) = k λ L / d(d+l) d d+l d Ma λl = Q cioè la caica di ciascun intevallo infinitesimo pe la lunghezza totale equivale alla caica totale della bacchetta. Questo ci pemette di fomulae il isultato definitivo: d+l d E tot = kq / d (d+l) Campo elettico geneato in P da una bacchetta di lunghezza L 10
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN ANELLO UNIFORMEMENTE CARICO: dato un anello di aggio a che giace sul piano oizzontale, si vuole misuae il campo elettico in un punto P posto alla distanza y l ungo l asse Y al piano ed avente oigine al cento dell anello (vedee fig.1). E ancoa il caso di un oggetto esteso in lunghezza (lo spessoe è tascuabile) ma la foma cicolae ed il punto P peso al di fuoi del piano spostano il poblema in te dimensioni. Peso un tatto di anello, il contibuto del suo q al campo elettico in P è dato da: E = k q / 2 Modulo del campo elettico geneato da un tatto di anello con caica q la diezione è // alla congiungente mente il veso si oppone a q (assunta questa gandezza come positiva). Consideiamo oa le componenti di E lungo gli assi X e Y. Taslando la pozione q l ungo un aco dell anello (fig.2) si nota come le componenti E y imangono sempe paallele e coincidenti, mente le componenti E x uotano su un piano oizzontale e quindi, sommate algebicamente lungo tutto il pecoso cicolae, si annulleanno vicendevolmente. E y y E y E y E y E E P E x E x P θ Fig.1 Fig.2 Fig.3 y q a O q Q La conclusione (fig.3) è che E cioè la isultante dei vai E podotti dai vai q lungo tutto l anello (un cono di vettoi) equivale alla somma delle sole componenti E y e giace sull asse Y con diezione opposta all oigine. Stabilito ciò il poblema è isolto; oa basta solo buttae giù un po di numei: E y = E cosθ Componente Y del campo podotto da un qualsiasi q 11
Consideando che cosθ = y/, facciamo le oppotune sostituzioni... E y = ( k q / 2 ) (y / ) = ky q / 3 Non conosciamo ma solo a ed y, peò osseviamo che 2 = y 2 +a 2! Possiamo alloa espimee = (y 2 +a 2 ) 1/2 e sostituie nella pecedente: E y = ky q / (y 2 +a 2 ) 3/2 Avevamo detto che E tot è dato dalla somma delle componenti E y, quindi dalla sommatoia: E tot = E y = q ky / (y 2 +a 2 ) 3/2 Ma è chiao che la somma dei q è la caica totale dell anello, ovveo: q = Q, quindi: E = Q ky / (y 2 +a 2 ) 3/2 Campo elettico geneato in P dall anello di caica Q Nel caso in cui non si conoscesse la caica totale Q ma venisse fonita la densità di caica λ, occoeà sostituie q = λ x = λ L = λ2πa e quindi ottenee come isultato: E = λ2πa ky / (y 2 +a 2 ) 3/2 Campo elettico geneato da un anello con densità di caica λ Notae inolte che pe y=0, cioè quando il punto P è al cento dell anello, isulteà sempe E=0. Ciò non è stano se si pensa che in quella posizione non esistono le famose componenti E y! 12
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DISCO UNIFORMEMENTE CARICO: dato un disco di aggio R che giace sul piano oizzontale, si vuole misuae il campo elettico in un punto P posto alla distanza y l ungo l asse Y al piano ed avente oigine al cento del disco (vedee figua). Questa volta si tatta di un oggetto esteso aealmente ma se consideiamo la supeficie del disco come un insieme di infiniti cechi concentici, possiamo isolvee il poblema iutilizzando il isultato pecedente. Consideiamo una pozione cicolae del disco (fig.1). Questa avà una caica q che contibuià al campo totale con un E che (es. pecedente) abbiamo visto essee pai a: E = q ky / (y 2 + 2 ) 3/2 Contibuto della pozione cicolae di caica q y y E E= de P P Fig.1 Fig.2 q y Q O R O d La caica q chiaamente non potà essee la stessa pe ciascun anello ma dipendeà di volta in volta dall estensione dell anello stesso. Una misua di q si può ottenee moltiplicando la densità supeficiale di caica pe la supeficie del geneico anello di aggio e spessoe infinitesimo d. Pendendo un anello di dimensioni infinitesime peò anche la sua caica e quindi il contibuto al campo totale saanno infinitesimi: σ = Q/A da = 2π d dq = σ 2π d Densità supeficiale di caica dell oggetto Aea dell anello di aggio e spessoe infinitesimo d Caica dell anello geneico di aggio e spessoe infinitesimo d Dunque, sostituendo dq nella pima espessione, il contibuto di ogni anello saà dato da: de = (σ2π d) ky / (y 2 + 2 ) 3/2 Campo geneato da ciascun anello di spessoe infinitesimo 13
Il campo elettico totale (fig.2) saà dato dalla somma di tutti gli infiniti anelli, dal più piccolo di aggio 0 al più gande di aggio R, cioè dall integale dei de ta =0 ed =R. R E = de = kyπσ [2 / (y 2 + 2 ) 3/2 ] d = kyπσ (y 2 + 2 ) -3/2 d 2 0 R 0 R 0 = kyπσ [(y 2 + 2 ) -1/2 / (- ½)] R 0 y y E = 2kyπσ ( - ) Campo elettico alla distanza y sull asse centale y (y 2 +R 2 ) 1/2 di un disco unifomemente caico Analogamente a quanto visto pe il disco, questo calcolo vale pe distanze molto gandi (y>>r). Osseviamo infatti cosa succede in un punto molto vicino al cento del disco, cioè ad una distanza y 0, icodando che k = 1/4πε 0: E = 2kyπσ = σ/2ε 0 Campo in possimità del cento del disco Notae che lo stesso valoe si ottiene anche pe un punto qualsiasi quando peò R, cioè pe un disco infinitamente esteso. NB: questo isultato è da tenee bene a mente peché ta poco lo itoveemo in un alta salsa! 14
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA SFERA CARICA ISOLANTE: qui abbiamo un oggetto decisamente tidimensionale, la pima cosa da pensae dunque è che va usato il teoema di Gauss. Come si è già accennato, il poblema di un copo tidimensionale è quello di stabilie in patenza se è conduttoe o isolante, ma anche se è pieno o cavo. Pe cominciae esaminiamo una sfea di caica Q, aggio R, in mateiale isolante e quindi con la caica distibuita unifomemente in tutto il suo volume. Il poblema si divide in due: calcolo del campo all inteno e all esteno della sfea (vedee figua). CAMPO AL DI FUORI DELLA SFERA: cioè misuato in un punto P posto, ispetto al cento della sfea, ad una distanza >R. Immaginiamo questo punto localizzato su una supeficie gaussiana sfeica concentica alla sfea caica e dunque di aggio (fig.1). Applichiamo la legge di Gauss in modo analogo al caso della caica puntifome: E da = Q/ε 0 Legge di Gauss Le sfee sono concentiche, quindi in ogni punto della gaussiana E avà lo stesso valoe... E da = Q/ε 0 dove da è la supeficie della sfea: S = 4π 2 E (4π 2 ) = Q/ε 0 quindi, in conclusione: E = Q / 4π 2 ε 0 dove, sostituendo 4πε 0 = k otteniamo: E = kq/ 2 Campo elettico alla distanza >R (esteno sfea) Notae che il isultato è identico al caso della caica puntifome. In patica è come se l intea caica Q fosse concentata al cento della sfea! Il paagone con il campo gavitazionale e il cento di massa è sbaloditivo... CAMPO ALL INTERNO DELLA SFERA: cioè misuato in un punto P posto, ispetto al cento della sfea, ad una distanza <R. Immaginiamo anche questo punto localizzato su una supeficie gaussiana sfeica concentica alla sfea caica e dunque di aggio (fig.2). Applichiamo ancoa la legge di Gauss: E da = Q / ε 0!!! Legge di Gauss Ma... un momento! La quantità di caica acchiusa all inteno della gaussiana questa volta è minoe dell intea caica Q (fig.2). 15
E P Supeficie gaussiana P E Supeficie gaussiana R Q R q Fig. 2 Fig. 1 La caica paziale q si può calcolae conoscendo la densità di caica pe unità di volume (ρ) dell oggetto ed il volume (v) acchiuso dalla gaussiana. Infatti: q = ρ v = ρ (4/3 π 3 ) Caica acchiusa nella supeficie gaussiana Oa che abbiamo q poseguiamo con Gauss: E da = q/ε 0 = ρ (4/3 π 2 ) / ε 0 dove E è una costante... E da = ρ (4/3 π 2 ) / ε 0 da è l intea supeficie della sfea = 4π 2... E (4π 2 ) = ρ (4/3 π 2 ) / ε 0 esplicitando E ed eliminando tutto il supefluo... E = ρ/3ε 0 Campo alla distanza <R in funzione della densità di caica ρ E già un bel isultato, ma icodando che ρ = Q/V = Q / (4/3 π R 3 ), dove questa volta volume e caica sono ifeiti all inteo oggetto, possiamo espimee tutto in funzione di Q: E = Q / (4/3 π R 3 ) 3ε 0 = Q / 4πε 0 R 3...dove natualmente 1/4πε 0 = k, quindi finalmente: E = kq/r 3 Campo alla distanza <R in funzione della caica totale Q 16
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA SFERA CAVA (GUSCIO SFERICO): dopo la sfea isolante ci si aspetteebbe oa di vedee il caso di una sfea in mateiale conduttoe. In ealtà il caso geneico che pendiamo in esame isolve te situazioni distinte. In un guscio sfeico molto sottile infatti, che sia isolante o no, la caica saà comunque distibuita sulla supeficie di una sfea. In una sfea piena in mateiale conduttoe invece, la caica totale non si distibuisce unifomemente nel volume (come con gli isolanti) ma si addensa sulla supeficie, poducendo così lo stesso effetto di una sfea cava. Ecco alloa che esamineemo soltanto una sfea cava. Anche qui il discoso di divide in due casi, inteno ed esteno, con analogo pocedimento ma una paticolaità... CAMPO AL DI FUORI DELLA SFERA: applicando la legge di Gauss esattamente come è stato fatto nel poblema pecedente, si dimosta (identica dimostazione) che dato un guscio sfeico di aggio R e caica Q, il campo misuato in un punto esteno P posto su una gaussiana sfeica concentica alla sfea e di aggio >R equivale (identico isultato) a: E = kq/ 2 Campo elettico alla distanza >R (esteno sfea) CAMPO ALL INTERNO DELLA SFERA: poiché non vi sono caica all inteno del guscio sfeico, pu applicando la legge di Gauss campo elettico isulteà nullo pe qualsiasi supeficie gaussiana di aggio <R : E = 0 Campo elettico alla distanza <R (inteno sfea) P E Supeficie gaussiana P Supeficie gaussiana R Q R q=0 Q Fig. 1 Fig. 2 Tiando le somme abbiamo te casi che iguadano le sfee: pe una sfea piena o un guscio sfeico, di qualsiasi natua essi siano, il campo esteno è il medesimo ed equivale a quello di una paticella di analoga caica posta nel cento. E diminuisce con il quadato di ; pe una sfea conduttice o un guscio sfeico (quest ultimo di qualsiasi natua) il campo inteno è nullo; pe la sola sfea isolante il campo inteno dipende dalla pozione di caica intena al aggio consideato. E aumenta lineamente con. 17
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN FILO UNIFORMEMENTE CARICO: ma è anche il caso di un oggetto a simmetia cilindica (estensione assiale indefinita). Infatti pendendo in esame soltanto il campo esteno, analogamente alla sfea, non impota se l oggetto è pieno o cavo, isolante o conduttoe e di fatto il cilindo caico avà lo stesso effetto di filo caico che pecoe l asse centale (fig.1). Dato un filo unifomemente caico di lunghezza infinita calcoliamo il valoe del campo elettico in un punto P posto a distanza. Assumendo la caica come positiva, la simmetia adiale implica che il vettoe E in ogni punto sia dietto pependicolamente al filo e dietto nel veso opposto (fig.2). Applicando la legge di Gauss consideiamo la supeficie gaussiana cilindica di lunghezza L su cui giace P, concentica al filo e quindi di aggio (fig.3). E E Supeficie gaussiana E P P A + + + + + + + + + + + Fig. 1 Fig. 2 L Fig. 3 E saà costante su tutta la supeficie lateale e nullo attaveso le basi del cilindo gaussiano, essendo queste pependicolai al filo, ovveo paallele alle linee di foza. Applichiamo quindi la legge di Gauss alla sola supeficie lateale: Φ = E da Φ = q/ε 0 E da = q/ε 0 (flusso del campo elettico) (legge di Gauss) icodando che E è una costante e che q = λl, otteniamo: E da = λl/ε 0 E 2πL = λl/ε 0 da cui, esplicitando E : dove l aea della supeficie cilindica è A = 2π L, quindi: E = λ / 2πε 0 E = 2k λ/ ma si noti che se k = 1/4πε 0 alloa 2k = 1/2πε 0, quindi sostituendo: Campo geneato da un filo caico di lunghezza infinita e densità lineae di caica λ Lo stesso isultato vale pe un cilindo caico di lunghezza infinita e aggio R< (fig.1). 18
CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA LASTRA PIANA: il caso di un piano unifomemente caico è un esempio fondamentale e veà iutilizzato in seguito nella teoia del condensatoe. Data una piasta unifomemente caica di estensione infinita e densità supeficiale di caica σ, consideiamo una supeficie gaussiana cilindica con asse pependicolae alla piasta (figua). E A Supeficie gaussiana E + + + Le linee di foza del campo elettico sono pependicolai alla piasta e quindi paallele alla supeficie lateale del cilindo gaussiano. Su tale supeficie dunque il flusso saà nullo. Il flusso totale sulla gaussiana saà dato alloa dalla somma dei flussi elativi alle basi del cilindo. Fissato il valoe A pe la supeficie del cilindo, il flusso totale saà Φ = 2EA. Applichiamo la solita legge di Gauss: Φ = 2EA = q/ε 0 flusso totale sulla supeficie gaussiana Ma la caica che agisce sulle basi del cilindo (cioè quella contenuta nella pozione di piasta di aea A) isulteà essee q = σa. Pocediamo quindi a sostituie q : 2EA = σa/ε 0...esplicitando E ed eliminando A si ottiene infine: E = σ / 2ε 0 Campo elettico geneato da una lasta piana unifomemente caica Notae pe pima cosa che nella fomula non compae la distanza dal piano dell ipotetico punto P in cui solitamente eseguiamo la misua del campo. Questo isultato dunque è valido pe qualsiasi punto a qualsiasi distanza dalla piasta. In alte paole il campo elettico della piasta è unifome, cosa deducibile anche a pioi ossevando che la caica è unifome e le linee di foza sono paallele. 19
CAMPO GENERATO DA UN CONDUTTORE DI FORMA IRREGOLARE: questo esempio, molto geneico, in un ceto senso compende tutti i pecedenti e veà usato come conclusione-chiaimento del discoso sul campo elettico. Alla luce di quanto visto fino ad oa, ifomuliamo la definizione di equilibio elettostatico e le caatteistiche di un conduttoe caico: E buon conduttoe un mateiale la cui stuttua consente alle caiche elettiche negative (cioè agli elettoni) di spostasi libeamente da un atomo all alto. Se questo movimento non è oientato ma caotico, cioè se non isulta un movimento netto in una paticolae diezione, il conduttoe è in Equilibio Elettostatico. Popietà di un conduttoe in equilibio elettostatico: il campo elettico all inteno del conduttoe è nullo in qualunque punto; un eventuale eccesso di caica (conduttoe caico) va a localizzasi unicamente sulla sua supeficie e (caso di un conduttoe di foma iegolae) si addensa nei punti in cui la cuvatua è più accentuata (si concenta sulle punte); il vettoe campo elettico immediatamente al di fuoi del conduttoe è pependicolae alla supeficie ed ha intensità E = σ/ε 0. Dunque un conduttoe di foma iegolae non saà unifomemente caico come consideavamo in pecedenza. Il calcolo del il campo elettico potà essee effettuato nelle immediate vicinanze della supeficie tenendo conto della densità supeficiale di caica σ : Campo all inteno: il campo elettico all inteno è nullo. Campo misuato immediatamente all esteno della supeficie: consideiamo una supeficie gaussiana cilindica penetante nel conduttoe. Tale cilindo dovà avee una base di aea A (molto piccola) e l asse pependicolae alla supeficie del conduttoe. Applichiamo la Legge di Gauss al flusso elettico che attavesa il cilindo ma notiamo pima che il flusso attaveso la base intena è nullo, non esistendo campo elettico all inteno. Inolte il flusso attaveso la supeficie lateale è anch esso nullo, essendo questa pependicolae alle linee di foza. Q Dunque il flusso totale si iduce al flusso che attavesa la sola base estena del q A E cilindo gaussiano: φ = E da = q/ε 0 E da = q/ε 0 dove l aea è A... EA = q/ε 0 dove q = σa... + + + + Supeficie Gaussiana E = σ/ε 0 Campo elettico immediatamente all esteno di un conduttoe di foma iegolae 20
02 - POTENZIALE ELETTRICO Che ci si ceda o no, la pesenza da qualche pate di una caica puntifome è in gado di sconvolgee l univeso inteo, costingendo la gente, ovunque essa sia, a compiee lavoo. Qualche incosciente deve ave lasciato in gio un bel mucchio di caiche... + + Il concetto di potenziale elettico offe una nuova analogia ta campo elettico e campo gavitazionale. Infatti la foza elettostatica (F=q 0 E) è consevativa, quindi il campo elettico, come quello gavitazionale, è un campo consevativo. E alloa possibile definie una funzione enegia potenziale ed una gandezza scalae chiamata potenziale elettico. Ricodiamo infatti che l enegia potenziale ha senso solo in un campo consevativo, ovveo in assenza di foze dissipative (attiti, vedee FICO1) Dal lavoo al potenziale elettico DIFFERENZA DI POTENZIALE ( V) - definizione matematica: data una caica di pova q 0 in un campo elettico E, si definisce diffeenza di potenziale ta due punti A e B la vaiazione di enegia potenziale misuata in questi punti divisa pe la caica q 0. Poniamo la caica di pova q 0 nel punto A in un campo elettico E. A causa del campo essa subià una foza elettostatica F=q 0 E e quindi uno spostamento nella diezione di F. Consideiamo oa lo spostamento di q 0 lungo un tatto abitaio AB. Il lavoo eseguito è definito come foza pe spostamento, ma il lavoo di una foza consevativa equivale anche alla vaiazione di enegia potenziale U cambiata di segno (pe queste definizioni vedee FICO1). Abbiamo dunque due elazioni: dw = F ds = q 0 E ds dw = -du (lavoo come foza pe spostamento) (lavoo come vaiazione di enegia potenziale) uguagliando le due espessioni otteniamo la funzione vaiazione di enegia potenziale du = -q 0 E ds Vaiazione di enegia potenziale in un tatto ds che, pe un tatto definito A B, diviene: U = U B -U A = -q 0 E ds B A Vaiazione di enegia potenziale nel tatto AB L integale lungo la taiettoia AB è detto integale di linea e non dipende dal cammino eseguito pe congiungee i due punti peché la foza ea consevativa. Oa, applicando la definizione, possiamo ottenee la diffeenza di potenziale dividendo la vaiazione di enegia potenziale pe q 0 : V = U/q 0 B V B -V A = - E ds A Definizione di diffeenza di potenziale Diffeenza di potenziale ta A e B 21
DIFFERENZA DI POTENZIALE ( V) - definizione fisica: ossevando il legame ta la vaiazione di enegia potenziale e il lavoo eseguito, possiamo idefinie il potenziale elettico come il lavoo pe unità di caica che un agente esteno (F) deve compiee pe spostae una caica di pova (q 0 ) da A a B senza vaiazione di enegia cinetica. POTENZIALE ELETTRICO (V): il valoe del potenziale elettico in un punto qualsiasi equivale al lavoo necessaio pe spostae dall infinito a quel punto una caica di pova unitaia. Pe il momento potevamo calcolae soltanto la diffeenza di potenziale ta due punti ma è possibile ottenee un valoe assoluto del potenziale elettico in un punto assumendo che il potenziale isulti nullo ad una distanza infinita da questo punto. Pendiamo l esempio pecedente e poniamo A all infinito con valoe 0 : B V B -V A = - E ds Diffeenza di potenziale ta A e B...con A = e V A = 0 avemo: A B V B = - E ds Potenziale Elettico in B In ealtà il potenziale in un punto è ancoa una diffeenza di potenziale: la diffeenza ta quel punto e l infinito. UNITA DI MISURA DEL POTENZIALE ELETTRICO: il potenziale elettico è una gandezza scalae (deiva dall enegia potenziale che è uno scalae) ed è pe definizione un enegia pe unità di caica. L unità di misua è quindi il Joule su Coulomb, detto Volt (V). 1 V = 1 J/C TRE IMPORTANTISSIME OSSERVAZIONI: Pendiamo un campo elettico unifome (linnee di foza equidistanti e paallele) e poniamo nel punto A una caica di pova q 0. Tacciamo una etta pependicolae alle linee di foza e fissiamo su di essa due punti C e B. Vediamo oa cosa accade se spostiamo la caica ta i punti AB (distanza d 1 ) o AC (distanza d 2 ). Ricodiamo che il lavoo è: A E d 2 C α d 1 B dw = (F ds) cosθ W 1 = (q 0 E d 1 ) cos 0 W 2 = (q 0 E d 2 ) cos α (lavoo compiuto da F nel tatto ds con angolo θ ta F ed S )...dove peò d 2 cos α = d 1, quindi: Supeficie equipotenziale W 1 = W 2 = q 0 E d 1 Si compie il medesimo lavoo spostando q 0 ta AB o AC Passiamo alloa all enegia potenziale: U = - W U 1 = U 2 = - q 0 E d 1 (enegia potenziale) C e B hanno la stessa enegia potenziale ispetto ad A 22
Esaminiamo infine il potenziale: V = U/q 0 V 1 = V 2 = - E d 1 (potenziale elettico) C e B hanno lo stesso potenziale In base a queste te ossevazioni possiamo tae ispettivamente le seguenti conclusioni: il lavoo è indipendente dal cammino seguito, quindi: un campo elettico unifome e statico (cioè costante nel tempo) è un campo consevativo; l enegia potenziale isulta negativa se la caica è positiva e vicevesa, se ne deduce che: quando si muove paallelamente alle linee di foza del campo elettico e nella stessa diezione, una caica positiva pede enegia potenziale mente una caica negativa acquista enegia potenziale; i punti C e B hanno lo stesso potenziale e dunque: la etta pependicolae alle linee di foza è una linea equipotenziale. SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE: supeficie costituita da punti che hanno il medesimo potenziale. Hanno questa caatteistica le supefici pependicolai alle linee di foza. + + + + + Supefici equipotenziali POTENZIALE IN UN CONDUTTORE IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO: la supeficie di qualsiasi conduttoe caico in equilibio è una supeficie equipotenziale. Il potenziale all inteno del conduttoe è costante in ogni punto ed uguale al potenziale in supeficie. La dimostazione di queste affemazioni è appesentata dalla soluzione dell ultimo dei poblemi poposti (potenziale di un conduttoe sfeico). CAMPO ELETTRICO IN FUNZIONE DEL POTENZIALE: il campo elettico in una data diezione dello spazio equivale alla deivata, cambiata di segno, del potenziale elettico ispetto alla stessa diezione. Invetendo l equazione del potenziale è possibile infatti calcolae il campo elettico in un punto, dato il potenziale del punto medesimo. Si pate dunque dall equazione: B V B -V A = - E ds A Diffeenza di potenziale ta due punti distanti ds Deivando ambo i membi si avà dv = - E ds da cui, esplicitando E, si ottiene: E = -dv/ds. Si badi bene che questo isultato vale solo pe un campo la cui unica componente sia in diezione di R.. In geneale, pe le te componenti spaziali si avà: 23
E x = - V/ x E y = - V/ y E z = - V/ z Componenti del campo elettico in un punto di coodinate x ; y ; z in funzione del potenziale elettico nel punto medesimo. Mente pe un campo adiale (unica diezione centipeta o centifuga) saà: E R = - dv/dr Campo elettico in un punto distante R dal cento del copo caico in funzione del potenziale del punto stesso. Calcolo del potenziale elettico GENERALITA : un copo caico Q induce nello spazio cicostante un campo elettico E a causa del quale saà possibile misuae un valoe V di potenziale elettico in qualsiasi punto P dello spazio. Tale valoe saà minimo (V=0) all infinito e massimo in possimità del copo. In alte paole l esistenza di quel copo caico ha lettealmente sconvolto l univeso peché, a causa del suo campo elettico, spostae una caica di pova q 0 dall infinito ad un punto qualsiasi dello spazio o ta due punti qualsiasi dello spazio (non equidistanti da Q) implicheà una vaiazione di enegia potenziale e costeà lavoo con modalità consevative (lavoo che non dipende dal pecoso eseguito ma solo dai punti iniziali e finali; lavoo nullo pe un pecoso chiuso). Nel capitolo pecedente il campo elettico appaiva come un entità eteea e sostanzialmente inete. Dopo questa consideazione fose si avvetià un leggeo bivido nel die ancoa Dato un copo caico! Il calcolo del potenziale in un punto posto alla distanza R da un copo caico di qualsivoglia foma geometica si basa su una delle seguenti elazioni fondamentali: Rp V P = - E d Rb V B -V A = - E d Ra Potenziale Elettico in P Diffeenza di potenziale ta A e B dove E va sostituito con l equazione del campo elettico elativa alla foma del copo in oggetto (fomule già viste). La soluzione si pesenta dunque abbastanza semplice e, di caso in caso, la tecnica saà analoga a quella coispondente pe il campo elettico (integazione di elementi infinitesimi, ecc.). Anche nel caso potenziale elettico e dell enegia potenziale vale infatti il pincipio di sovapposizione (isultante = somma dei componenti). ESEMPI: seguono alcuni esempi di calcolo applicato a copi caichi di vaie fome in analogia a quanti visto iguado il campo elettico. 24
POTENZIALE ELETTRICO DOVUTO A CARICA PINTIFORME: abbiamo già visto che una caica puntifome q poduce un campo elettico di intensità E = kq/ 2. Oa ci poponiamo di misuae il potenziale elettico in un punto P posto a distanza dalla caica (fig.1). P V P = - E ds E = kq/ 2 Potenziale Elettico Campo elettico di una sogente puntifome Sostituendo la seconda nella pima e isolvendo l integale... P V P = - kq/ 2 ds = - kq d/ 2 = kq [1/] V P = k q/ Potenziale elettico dovuto a una caica puntifome LAVORO ED ENERGIA POTENZIALE PER UNA COPPIA DI CARICHE: poniamo oa in P una seconda caica q 2 tascinata fin lì da una distanza infinita (fig.2). Quanto lavoo si è dovuto compiee? Qual è l enegia potenziale del sistema? V = U/q U = - W (definizione di potenziale) (lavoo in condizioni consevative) V = - W/q W = -q 2 V W = - k (q 1 q 2 )/ Lavoo necessaio pe potae q 2 dall infinito a P Pe quanto iguada l enegia potenziale, dalla stessa elazione si ottiene: U = q 2 V U = k (q 1 q 2 )/ Enegia potenziale del sistema q 1 -q 2 25
POTENZIALE DOVUTO AD UNA COPPIA DI CARICHE: pe più caiche vale il pincipio di sovapposizione, ovveo la sommatoia dei singoli potenziali calcolati nello stesso punto. Fissato dunque un punto P 2 (fig.3) distante ispettivamente 1 ed 2 dalle due caiche q 1 e q 2, il potenziale in quel punto saà: V P2 = V i = k (q 1 / 1 + q 2 / 2 ) Potenziale dovuto ad una coppia di caiche ENERGIA POTENZIALE DI UN SISTEMA MULTIPLO: poniamo oa una teza caica q 3 nel punto P 3 (fig.4). Quale saà l enegia potenziale del sistema? Anche pe l enegia potenziale vale il pincipio di sovapposizione, quindi pe un sistema di te caiche si avà la somma: U = U i = k (q 1 q 2 / 12 + q 1 q 3 / 13 + q 2 q 3 / 23 +... ) Enegia potenziale di un sistema multiplo...e quindi, nel nosto caso: U = k (q 1 q 2 / + q 1 q 3 / 3 + q 2 q 3 / 2 ) Enegia potenziale del sistema q 1 -q 2 -q 3 Fig.1 q 1 p Fig.2 q 1 q 2 p q 2 Fig.3 q 1 q 2 Fig.4 q 1 q 2 1 2 1 2 p 2 q 3 26
POTENZIALE DOVUTO AD UNA BACCHETTA CARICA: data una bacchetta di lunghezza finita L, unifomemente caica con densità lineae λ, disposta sull asse X, si vuole calcolae il potenziale elettico in un punto P posto sull asse Y alla distanza y dall oigine degli assi. dv = k dq/ (potenziale elettico) Y Consideiamo una paticella dx posta alla distanza x dall oigine. La sua caica saà dq = λ dx e la distanza da P isulteà = x 2 +y 2. Il potenziale dell elemento dx saà alloa: P y dx dq dv = k (λ dx) / x 2 +y 2 integando dv da 0 ad L si ha: potenziale dell elemento dx O x L X L V = kλ dx / x 2 +y 2 0 Potenziale dovuto all intea bacchetta La soluzione dell integale è: V = kλ ln [(L+ L 2 +y 2 )/ L] Potenziale dovuto ad una bacchetta lunga L di densità λ Ricodando poi che λ = Q/L si ha anche: V = (kq/l) ln [(L+ L 2 +y 2 )/ L] Potenziale dovuto ad una bacchetta lunga L di caica Q 27
POTENZIALE DOVUTO AD ANELLO CARICO: dato un anello unifomemente caico di aggio a, fissiamo un punto P lungo l asse centale ad una distanza y dal cento dell anello. Se la caica dell anello è Q, qual è il potenziale in P? Consideiamo una pozione di anello di caica dq. Il potenziale dovuto a questa caica (puntifome) è: dv = k dq/ potenziale dovuto a caica puntifome dq V = k dq/ potenziale totale. è lo stesso pe tutti i dq... V = (k/) dq dove dq = Q ed = y 2 +a 2, quindi sostituendo... V = kq / y 2 +a 2 Potenziale dovuto ad anello caico di aggio a Notae che se P si fosse tovato al cento del disco (distanza minima) si avebbe avuto = a e quindi V = k Q/a Massimo valoe di V Come è noto invece il valoe minimo V = 0 si ha alla distanza massima = y y P P Fig.1 Fig.3 y y dq a O Q a a 28
POTENZIALE DOVUTO A UN DISCO CARICO: situazione analoga alla pecedente ma con un disco unifomemente caico al posto dell anello. Noti il diameto A del disco e la densità supeficiale di caica σ, si isolve facilmente consideando il disco come la somma di infiniti anelli di laghezza infinitesima da. dv = k dq / y 2 +a 2 dq = σa = σ 2πa A V = k (σ2πa / y 2 +a 2 ) da 0 V = k 2πσ a (y 2 +a 2 ) -1/2 da V = k 2πσ [(y 2 +a 2 ) -1/2 -y] A 0 potenziale dovuto alla pozione anulae dq caica della pozione anulae Potenziale dovuto al disco (somma delle pozioni dq) isolvendo l integale: Potenziale dovuto ad un disco con densità di caica σ P y P y Fig.1 Fig.2 y 2 +a 2 y y a O A q da Q 29
POTENZIALE DOVUTO A SFERA ISOLANTE UNIFORMEMENTE CARICA: come nel caso del campo elettico, anche qui il poblema ha due aspetti divesi se ci toviamo all inteno (fig.2) o all esteno (fig.1) della sfea. Pendiamo dunque una sfea isolante di aggio R e caica Q unifomemente distibuita nel suo volume. Calcoliamo il potenziale in un punto P fissato alla distanza dal cento della sfea. POTENZIALE AL DI FUORI DELLA SFERA (>R): applichiamo l espessione del potenziale elettico e quella (già vista) del campo elettico all esteno di una sfea isolante: V = - E d Potenziale Elettico E = k Q/ 2 Campo Elettico...sostituendo la seconda nella pima: V = - k Q/ 2 d = -kq d/ 2...la cui soluzione è: V = k Q/ Potenziale elettico al di fuoi di una sfea isolante POTENZIALE ALL INTERNO DELLA SFERA (<R): ecupeiamo l espessione del campo elettico all inteno di una sfea isolante ma questa volta la sostituzione va fatta nell espessione della diffeenza di potenziale. La diffeenza va calcolata con la supeficie della sfea: V -V R = - E d Diffeenza di potenziale ta ed R...da cui, esplicitando V : R V = V R - E d potenziale all inteno della sfea...dove: R E = k Q/R 3 V R = k Q/R Campo Elettico inteno sfea potenziale alla distanza R (supeficie sfea) Sostituendo queste nella pecedente... V = k Q/R - k Q/R 3 d = kq/r - kq/r 3 d = kq/r - kq/r 3 (R 2-2 )/2 R R V = kq/2r (3-2 /R 2 ) Potenziale all inteno della sfea alla distanza dal cento P R R P R P Fig. 1 Fig. 2 30
POTENZIALE DOVUTO A CONDUTTORE SFERICO (o guscio sfeico): abbiamo una sfea conduttice di caica Q (poniamo sia positiva) e aggio R ed un punto P distante dal cento della sfea.. La soluzione si basa sul caso del campo di un guscio sfeico ma... attenzione all inteno! POTENZIALE AL DI FUORI DELLA SFERA (>R): applichiamo l espessione del potenziale elettico e sostituiamo all inteno il valoe del campo elettico all esteno di un conduttoe sfeico (caso del guscio sfeico): V = - E d E = kq/ 2 V = - kq/ 2 d = -kq d/ 2 Potenziale Elettico Campo elettico alla distanza >R (esteno sfea) (sostituzione della seconda nella pima) V = kq/ Potenziale all esteno di un conduttoe sfeico POTENZIALE ALL INTERNO DELLA SFERA (<R): in questo caso il campo elettico all inteno della sfea è nullo. Il potenziale di conseguenza non può che essee costante in tutti i punti. Anche i punti che si tovano sulla supeficie hanno tutti lo stesso potenziale e se esistesse una diffeenza di potenziale ta l inteno e la supeficie, questa, in un conduttoe, si taduebbe in un tasfeimento di caiche fino ad eliminae lo squilibio. In conclusione, in un conduttoe sfeico in equilibio elettostatico, il potenziale è costante in ogni punto dal cento fino alla supeficie. Tale valoe è quello calcolabile in supeficie mediante la fomula pecedente, ovveo ponendo = R : V = kq/r Potenziale all inteno di un conduttoe sfeico Stesso isultato si avà all inteno di un guscio sfeico dove, non esistendo caiche, non isulteà campo elettico. Rovesciando il discoso (i fisici sono maesti in questi giochetti) è possibile dimostae che all inteno di un ambiente cicondato da paeti caiche non esiste alcun campo elettico e non potanno penetae campi esteni. Infatti, data la fomula della diffeenza di potenziale: se la diffeenza di potenziale ta A e B è sempe nulla, alloa ancheil B campo elettico isulteà sempe nullo. Su tale pincipio si basanole V B -V A = - E ds gabbie di Faaday : scatole metalliche o eti di conduttoi collegati a tea, A impiegate nei cicuiti elettonici pe schemae le intefeenze elettomagnetiche e negli edifici pe poteggeli dai fulmini. 31
DA UN CONDUTTORE CARICO DI FORMA IRREGOLARE AL CASO DI DUE SFERE COLLEGATE: sappiamo già che in un conduttoe in equilibio elettostatico l eccesso di caica si distibuisce sulla supeficie. Abbiamo visto inolte che in un copo ad altissima simmetia come la sfea, la distibuzione delle caiche in supeficie è unifome mente in un copo iegolae le caiche si addensano nelle zone convesse di maggioe cuvatua o si accumulano sulle punte. Il potenziale tuttavia è lo stesso su tutta la supeficie ed è popio quella disomogeneità nella distibuzione delle caiche ispetto al diameto locale a pemettee che ciò accada. Un caso egolae di foma iegolae è quello di due sfee di diveso diameto 1 e 2 collegate ta loo da un sottile filo conduttoe di gande lunghezza. In questo caso la disomogeneità del campo complessivo è iconducibile all effetto di due campi di divesa intensità ma ispettivamente unifomi. Ci saà possibile calcolae l intensità di questi campi gazie popio all unifomità del potenziale. Infatti il filo conduttoe ende il copo unico pemettendo il passaggio e la distibuzione delle caiche. La caica totale Q saà alloa libea di ipatisi in due pozioni q 1 e q 2. Il potenziale ne isulteà alloa unifome e pai a: + + + + + + + + + + 1 2 q 1 q 2 V = k q 1 / 1 = k q 2 / 2 potenziale in supeficie Facendo il appoto ta le caiche vediamo infatti che la caica è legata al diameto locale: q 1 /q 2 = 1 / 2 Rappoto ta le caiche Abbiamo peso pe ipotesi un filo molto ma molto lungo. Questo ci consente di die che il campo elettico podotto da ciascuna sfea è unifome (altimenti, poiché le linee di foza non possono mai incociasi, i due campi centifughi si saebbeo defomati a vicenda dal lato collegato). A questo punto utilizzando la fomula, del campo elettico in un conduttoe sfeico, possiamo calcolae entambi i campi: E 1 = k q 1 / 1 2 E 2 = k q 2 / 2 2 Facendo oa il appoto ta i campi e sostituendovi il valoe del appoto ta le caiche... E 1 /E 2 = q 1 /q 2 2 2 / 1 2 = 1 / 2 2 2 / 1 2 E 1 /E 2 = 2 / 1 Rappoto ta i campi elettici In conclusione isulta che il campo più intenso è podotto dalla sfea più piccola, pesso la quale si è accumulata la maggio quantità di caiche. 32
03 - CAPACITA ELETTRICA Pe capacità elettica non si deve intendee il talento dell eletticista ma la popietà di immagazzinae caiche elettiche. Capacità come capienza dunque: la capienza di un secchio in gado di immagazzinae caiche e, una volta pieno, ivesale fino a vuotasi completamente. Questo secchio magico si chiama condensatoe elettico ed è un componente elettonico di lago uso in ogni appaecchiatua: compute, impianti Hi-Fi, adio, TV. Popietà del condensatoe CONDENSATORE ELETTRICO: si tatta semplicemente di due conduttoi paalleli (amatue) sepaati da un isolante (dielettico). Sebbene questo impianto ichieda una tecnologia da età del bonzo, gode della miacolosa popietà di immagazzinae caiche elettiche. Tale popietà pende il nome di capacità e dipende sia dalla geometia delle amatue che dalle caatteistiche del dielettico. CAPACITA (C): è la misua dell attitudine ad accumulae caiche ed enegia potenziale. Pendiamo due piaste conduttici paallele poste l una di fonte all alta senza toccasi. Caichiamo entambe le amatue con una stessa quantità di caica Q ma di segno opposto. Possiamo fae ciò applicando alle piaste una diffeenza di potenziale V pe mezzo di una batteia. Amatue +Q - -Q + + + + - - - + - V Dielettico (aia) La capacità è espessa dal appoto ta il valoe assoluto della caica sulle amatue e il valoe assoluto della diffeenza di potenziale ta di esse: C = Q/V Capacità elettica L unità di misua è chiaamente Coulomb su Volt, e pende il nome di Faad (da Faaday): 1 F = 1 C/V (SI) Attenzione a non confondee mai la CAPACITA con il COULOMB, insomma la C con la C La pima è una gandezza, la seconda un unità di misua... e nemmeno delle stesse cose! Saebbe come die lunghezza e kg. Non bisogna neppue confondee il condensatoe con una batteia: semmai vediamolo come una pila icaicabile con un autonomia mooolto limitata... meno di un secondo! Infine notiamo che il Faad è un unità di misua infelice peché espime una quantità davveo esageata. Nella patica si useanno vai sottomultipli: MICROfaad, NANOfaad e addiittua PICOfaad. milli mico nano pico 1, 0 0 0, 0 0 0, 0 0 0, 0 0 0 10-3 10-6 10-9 10-12 33