Quick calculus Capitolo 1 Il problema della tangente Introduzione Ricavare una retta tangente ad una curva di secondo grado come un circonferenza o una parabola, è un problema che si risolve facilmente. d esempio nel caso di circonfenza la retta tangente è perpendicolare al raggio condotto dal punto di tangenza. La retta tangente in questi casi può essere definita come la retta che interseca la curva in un solo punto (o meglio in due punti coincidenti) e può essere trovata di conseguenza. La difficoltà del problema aumenta se consideriamo una curva qualunque. Di seguito vedremo come definire e trovare la retta tangente ad una curva qualunque e come questo problema sia formalmente identico a definire e ricavare la velocità istantanea di un punto materiale, dalla conoscenza della sua legge oraria. Il significato grafico di coefficiente angolare di una retta: Data una retta in forma esplicita: il fattore m si dice coefficiente angolare ed il termine q si dice intercetta della retta (o ordinata di intersezione). Le rette parallele all asse y, cioè rette della forma x=k, non sono dotate di coefficiente angolare dal momento che non è esplicitabile la coordinata y. Consideriamo ora il grafico della retta e consideriamo un qualunque triangolo rettangolo costruito con l ipotenusa sulla retta e cateti paralleli agli assi come in figura1: y=f(x) C x Figura1 Il coefficiente angolare (o pendenza) della retta è dato dal rapporto:. Infatti Nella seguente tabella sono presenti alcuni valori del coefficiente angolare in funzione dell angolo che essa forma con il semiasse positivo delle x. Ricordiamo che in un triangolo rettangolo la tangente di un angolo acuto è data dal rapporto tra il cateto opposto all angolo e quello adiacente: C Quindi possiamo dire che il coefficiente angolare della retta è la tangente dell angolo che essa forma con il semiasse positivo delle x.
ngolo m Valore Pendenza approssimato percentuale 0 0 0 0% 30 0,577 57.7% 45 1 1 100% 60 1,73 173% 90 120-1,73-173% 135-1 -1-100% 150-0,577-57.7% 180 0 0 0% Pendenza di una retta secante il grafico di una funzione Data una funzione y=f(x) consideriamo due suoi punti del suo grafico ( ) e consideriamo la retta che passa per tali punti, come in figura y=f(x) x Figura2 Si osserva che il coefficiente angolare m di tale retta dipende sia da che da quindi lo indicheremo con e può essere calcolato dal seguente rapporto (detto rapporto incrementale) rapporto incrementale Esempio1: Trova il rapporto incrementale della funzione nel punto rispetto all incremento e trova la retta secante Soluzione: ( ) ( ) ( ) Graficamente tale valore è il coefficiente angolare della retta secante il grafico della funzione nei punti (-1,0) e (-1/2,-1/4). Possiamo quindi trovare l equazione della retta secante imponendo il passaggio per il punto
Sostituendo le coordinate di si ottiene. Quindi la retta secante ha equazione: Figura3 Esempio2: Trova il rapporto incrementale della funzione nel punto rispetto all incremento generico Soluzione: ( ) Il risultato dipende da. In figura si notano diverse rette secanti per diversi valori di 2 m Equazione retta 3/2-1 1 1/2-2 Figura4 Esempio3: Trova il rapporto incrementale della funzione nel punto generico rispetto all incremento generico Soluzione: Si può affermare che tale quantità rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i punti e appartenenti al grafico della funzione, con
Figura5 Definizione intuitiva di limite (L..Cauchy) Si dice che una funzione f(x) tende a L per x che tende ad un valore, se avvicinando il valore di si ottiene che f(x) si avvicina a L. Consideriamo la seguente funzione il cui dominio è { }. Proviamo a calcolare i valori di f(x) in corrispondenza di valori di x sempre più vicini al valore come è indicato dalla seguente tabella x f(x) x f(x) 1,1-0,9 0,9-1,1 1,01-0,99 0,99-1,01 1,001-0,999 0,999-1,001 1,0001-0,9999 0,9999-1,0001 1,00001-0,99999 0,99999-1,00001 1,000001-0,999999 0,999999-1,000001 1,0000001-0,9999999 0,9999999-1,0000001 Si osserva dalla tabella che facendo assumere valori di x sempre più vicini a 1, sia da valori più grandi di esso che da valori più piccoli, il valore della funzione tende al valore -1. Il simbolismo utilizzato per rappresentare questo risultato è il seguente: Esempio di calcolo di limiti: Come si può osservare in questi due esempi, per calcolare il limite è sufficiente sostituire a x il valore a cui tende. Questo è lecito per tutte le funzioni continue nel punto nel quale si vuole calcolare il limite.
In questo esempio se si prova a sostituire si ottiene una forma che è detta forma indeterminata. In questo caso per calcolare il limite si deve scomporre e semplificare. Definizione rigorosa di limite (K.Weierstrass) In matematica le locuzioni avvicinarsi a, tendere a o sempre più piccolo non hanno significato se non le si definisce. Infatti i concetti di piccolo e vicino sono relativi non possono essere usati in una definizione. La definizione rigorosa nel caso di x che tende a è la seguente: Il cui significato verrà ampiamente trattato in classe quinta. Coefficiente angolare della retta tangente in un punto Data la funzione f(x) ed un valore di x dato appartenente al dominio della funzione che chiameremo consideriamo la retta secante nei punti ( ) ) Come nella figura 2. Consideriamo ora di prendere degli incrementi sempre più piccoli, ma non nulli. Se infatti ponessimo a priori troveremmo, che è un operazione indeterminata. Inoltre ponendo dal punto di vista geometrico avremo che i punti e coincidono e per un punto passano infinite rette. Il problema risulta indeterminato anche dal punto di vista geometrico. Per superare questo ostacolo si può procedere in questo modo: come si osserva dalla figura il punto si avvicina al punto. Nel linguaggio dei limiti possiamo dire che al tendere a zero di, il punto tende al punto. Si osserva che la retta secante si avvicinerà ad una retta particolare. Tale retta viene detta retta tangente. Il coefficiente angolare della retta secante dipende sia dal punto che dall incremento ma facendo tendere a zero dipenderà solo dal punto Quindi tale valore lo indicheremo con m( e viene detto derivata della funzione f(x) nel punto. Si può dire che m( rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto y=f(x) Retta tangente in Retta con incremento Retta con incremento Retta con incremento x Figura5 Utilizzando il formalismo dei limiti possiamo scrivere che il coefficiente angolare della retta tangente si può calcolare nel modo seguente: Tale valore è detto derivata della funzione f(x) nel suo punto
Osservazione: Il superamento dell ostacolo (Newton e Leibnitz) consiste nel fare tendere a zero la dopo avere scritto il coefficiente angolare della retta secante ed eseguito le semplificazioni algebriche. Il fatto che non possa essere zero non è più un problema perché si usa il formalismo dei limiti. Esempio4: Calcola il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto e successivamente trova la retta tangente. Soluzione: in questo caso diventa Il valore trovato rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x=0. f(x) Retta tangente Per calcolare l equazione della retta tangente imponiamo il passaggio per il punto di ascissa x=0. Si ottiene: Esempio5: Calcola il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto e successivamente trova la retta tangente. in questo caso diventa L equazione della retta tangente sarà in questo caso Il seguente grafico rappresenta la funzione e la sua retta tangente
Retta tangente Funzione coefficiente angolare della tangente Se calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente in un punto generico x si ottiene la funzione derivata, indicata anche con. La notazione di Leibnitz Consideriamo la funzione con il grafico di figura la retta tangente nel punto come in figura y=f(x) x Figura2 Consideriamo ora due nuovi assi con origine nel punto e chiamiamoli dx e dy come in figura y=f(x) dy dx x Figura2 Secondo questi assi l equazione della retta tangente è
Quindi la derivata può essere espressa E osservando che per piccoli incrementi si ha Con questa notazione è possibile calcolare una derivata senza l uso dei limiti. Dopo avere semplificato si pone. Calcolo di derivate di alcune funzioni Derivata della funzione potenza Gli stessi calcoli possono essere eseguiti con la notazione di Leibnitz ricordando la scomposizione della differenza di potenze n-esime: E osservando che il numero dei termini tra parentesi è uguale all esponente n, si ottiene: Scomponendo il numeratore come differenza tra due potenze si ha:
( ) Quindi se allora con che generalizza i risultati precedenti. Tale risultato vale anche per esponenti non interi o negativi? Vediamo con la radice Usando la formula La formula vale anche per esponenti non interi. Vediamo per gli esponenti negativi: Usando la formula Si può dimostrare che la formula vale per qualunque esponente allora con Derivata delle funzioni goniometriche Si può dimostrare che Derivata di una somma di funzioni: La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate Derivata di un prodotto tra un numero e una funzione La derivata di un prodotto tra un numero e una funzione è uguale al numero per la derivata della funzione Derivata di un prodotto tra due funzioni
La derivata di un prodotto tra funzioni è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata, più la derivata della seconda funzione per la prima funzione non derivata Tabelle riassuntive Derivate di alcune funzioni elementari Funzione Derivata Regole di derivazione Funzione Derivata Esempio6: Calcola la derivata delle seguenti funzioni Esempio7: Trova la retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa. Soluzione: Calcoliamo prima il coefficiente angolare della retta tangente usando le regole di derivazione Quindi il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione vale m=4. Possiamo ora trovare la retta impostando il passaggio per il punto ( ) Esempio8: Trova i punti dell afunzione ha una retta tangente di coefficiente angolare Soluzione: calcoliamo la derivata. Tale valore rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente, basterà quindi porlo uguale a 4: da cui. Quindi il punto della curva con tangente di coefficiente anolare 4 è il punto (1,2) Esempio9: Trova i punti della curva retta y=x-1. che abbiano una retta tangente perpendicolare alla Soluzione: Il coefficiente angolare della retta cercata dovrà essere m=-1. Quindi si procede come nell esercizio precedente: da cui e quindi. Quindi i punti saranno (1,2) e (-1,-4).
Esercizio1 Calcola il valore numerico dei rapporti incrementali delle funzioni indicate sotto calcolati nel punto l incremento indicati a fianco, utilizzando eventualmente la calcolatrice: e secondo Esercizio2 Trova il rapporto incrementale delle seguenti funzioni calcolate nel punto indicato a fianco [ ] Esercizio3 Usando il limite calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco [-1] Esercizio3 Usando le regole di derivazione, calcolare la funzione derivata delle seguenti funzioni, nel punto indicato a fianco Esercizio4 Usando le regole di derivazione, calcolare la funzione derivata delle seguenti funzioni. Esercizio5 Trova i punti nei quali la retta tangente alla funzione è parallela all asse x Esercizio6 Trova in quali punti il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di vale [(3,-6)] Esercizio7 Trova la derivata seconda delle seguenti funzioni