Discretizzazione di un filtro analogico

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1 Tesina di controllo digitale Discretizzazione di un filtro analogico Università degli studi di Roma Tre Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica Anno accademico 2005/2006 A cura di: Amir El Saidi, Alessio Di Fazio, Dario Lucia

2 2 Introduzione Assegnato il filtro analogico caratterizzato dalla funzione di trasferimento G(s) = s s s + 1 Ricavare i filtri digitali corrispondenti, ottenuti con i seguenti metodi di discretizzazione: 1. Differenza all indietro; 2. Differenza in avanti; 3. Trasformazione bilineare (o di Tustin); 4. Invarianza della risposta all impulso; 5. Invarianza della risposta al gradino; 6. Corrispondenza poli zeri. Si assumano inoltre le pulsazioni di campionamento, caratterizzate dai seguenti valori: w s = 40 rad/sec w s = 80 rad/sec w s = 200 rad/sec Per ognuno dei filtri corrispondenti calcolati, rappresentare: la risposta armonica (in modulo e fase) sui diagrammi di Bode fino alla pulsazione w s /2; il diagramma orario della risposta impulsiva; il diagramma orario della risposta indiciale. Introduzione AA 2005/2006

3 3 Studio del sistema analogico Prima di procedere con l analisi dei vari metodi di discretizzazione, si è studiato il comportamento del sistema analogico così descritto Risposta armonica G(s) = s s s + 1 Analizzando il grafico della risposta armonica del sistema, la prima cosa che si nota, è un andamento passa-basso tipico. Infatti, osservando il diagramma dei moduli - figura 1 - tale sistema tende a diminuire il guadagno, con l aumentare della frequenza. Il sistema risulta stabile asintoticamente in quanto non sono presenti poli a parte reale positiva. Figura 1: Risposta armonica Risposta impulsiva il filtro si presenta asintoticamente stabile: la curva dopo circa 1.95 secondi rimane sotto il valore di 0.05 (5%). La curva di risposta incontra per la prima volta lo 0 dopo secondi, e raggiunge la massima sovraelongazione negativa dopo 0.48 secondi con un valore pari a Studio del sistema analogico AA 2005/2006

4 4 Figura 2: Risposta impulsiva Risposta indiciale La stabilità asintotica si evidenzia anche nella risposta a un gradino: dopo il tempo di assestamento di circa 1.64 secondi la curva giunge e permane sotto il valore di 1.05, pari al 5% dell ampiezza a regime. L istante di massimo sorpasso si ha in secondi con una sovraelongazione massima pari al 58% dell ampiezza a regime. Il tempo di salita da 0 al 100% dell uscita a regime è pari a 0.07 secondi. Figura 3: Risposta indiciale Studio del sistema analogico AA 2005/2006

5 5 Metodo delle differenze all avanti Questa tecnica rappresenta una approssimazione del calcolo dell integrale, detta anche integrazione di Eulero. Dato un filtro analogico, la discretizzazione viene effettuata utilizzando la trasformazione D(z) = D(s) s= z 1 T Quindi, dopo aver applicato tale trasformazione, otteniamo il filtro discretizzato G(z) così descritto G(z) = zt + T 2 T 0.05z 2 + (0.6T 0.1)z + T 2 0.6T Dove T rappresenta il tempo di campionamento utilizzato Figura 4: Risposta armonica Risposta armonica Diagramma dei moduli Nel diagramma dei moduli possiamo osservare che fino alla frequenza di 1.5 rad/sec le tre approssimazioni si comportano nel medesimo modo della G(s). Osservando la figura 4, per frequenze superiori, si Metodo delle differenze all avanti AA 2005/2006

6 6 nota che le approssimazioni tendono ad accentuare il discostamento dalla funzione originale, soprattutto per approssimazioni che fanno uso di frequenze di campionamento basse (colore rosso). Diagramma delle fasi Nel diagramma delle fasi è possibile notare che per frequenze non maggiori di 0.9 rad/sec le tre approssimazioni seguono fedelmente la G(s). Invece, per frequenze maggiori, si ha un leggero discostamento delle approssimazioni, per poi incrociare nuovamente la G(s) intorno alla frequenza di 4.9 rad/sec. Con l aumentare della pulsazione, le tre funzioni discretizzate tendono ad allontanarsi dalla funzione originale, che asintotocamente tende a 90 poiché si ha una differenza poli - zeri pari a uno. Risposta impulsiva Tale metodo di discretizzazione, come noto dalla teoria, mantiene il sistema discretizzato stabile. Tuttavia, come si puè notare dalla figura 5, funzioni discretizzate con pulsazioni di campionamento basse (colore rosso) presentano andamenti oscillatori nel transitorio. Figura 5: Risposta impulsiva Metodo delle differenze all avanti AA 2005/2006

7 7 Risposta indiciale Dalla figura 6 possiamo notare che per pulsazioni di campionamento basse (colore rosso), nel transitorio la funzione discretizzata non segue la funzione analogica originale, ma è presente un andamento oscillatorio attorno alla G(s) (colore blu). Inoltre, all aumentare del tempo, e quindi a regime, le funzioni discretizzate tendono a migliorare l approssimazione, e quindi a tendere allo stesso valore della funzione originale. Figura 6: Risposta indiciale Metodo delle differenze all avanti AA 2005/2006

8 8 Stabilità Il metodo di discretizzazione delle differenze all avanti nella pratica non viene adottato in quanto, trasformando una funzione stabile nel piano s, è possibile che il filtro digitale ottenuto risulti non stabile nel piano z. Tale problema è dato dalla condizione ( ) z 1 Re(s) = Re(z) < 0 T ossia Re(z) < 1 Tuttavia, come si può osservare dalla figura 7, la stabilità del filtro discretizzato è mantenuta per tutte le tre approssimazioni, poiché i poli e gli zeri sono mappati tutti all interno del cerchio a raggio unitario centrato all origine del piano z. Figura 7: Stabilità Metodo delle differenze all avanti AA 2005/2006

9 9 Metodo delle differenze all indietro Questo metodo è essenzialmente una semplice tecnica di integrazione numerica. Questa relazione esprime la trasformazione da effettuare per discretizzare un filtro analogico con il metodo delle differenze all indietro ossia: D(z) = D(s) s= z 1 Tz Dopo aver applicato la sopracitata trasformazione sulla nostra G(s), otteniamo il seguente filtro discretizzato: G(z) = (T + T 2 )z 3 Tz 2 ( T + T 2 )z 3 + ( T)z z Figura 8: Risposta armonica Risposta armonica Diagramma dei moduli A partire dalla figura 8 per quanto riguarda il diagramma dei moduli possiamo osservare che fino ad una frequenza di 0.995rad/sec le tre approssimazioni si comportano nel medesimo modo della G(s); per frequenze superiori invece all aumentare delle pulsazioni migliora l approssimazione. Diagramma delle fasi Per le fasi può essere fatto un discorso analogo considerando che il punto di svolta è rappresentato da una frequenza pari a 0.555rad/sec. Metodo delle differenze all indietro AA 2005/2006

10 10 Risposta impulsiva Il filtro discretizzato non segue l andamento del filtro analogico. La risposta impulsiva del filtro discretizzato discosta notevolmente dalla risposta impulsiva del filtro analogico. Si può dire comunque che all aumentare delle pulsazioni di campionamento il filtro discretizzato si approssima meglio al fitro analogico. Figura 9: Risposta impulsiva Risposta indiciale Figura 10: Risposta indiciale Metodo delle differenze all indietro AA 2005/2006

11 11 Come si può notare dalla figura 10 questo tipo di discretizzazione approssima abbastanza bene la risposta indiciale della G(s); all aumentare delle pulsazioni di campionamento (il celeste rappresenta le più alte) migliora l approssimazione del filtro. Stabilità Effettuando la discretizzazione il piano s viene mappato nel piano z e viceversa. La regione di stabilità in s (Re(s) < 0) viene trasformata nel piano z come segue: Re( 1 z 1 ) = Re( z 1 T Tz ) Questo significa in particolare che ogni funzione di traferimento D(s) stabile viene trasformata in una D(z) stabile. Inoltre, anche poli instabili in s possono essere trasformati in poli stabili in z. Discretizzando con questo metodo il filtro risulta essere stabile poiché i poli stabili in s (quelli nel semipiano negativo) vengono mappati in poli stabili in z (compresi nella circonferenza di raggio unitario e centrata nell origine),vedi figura 11; in particolare con tale discretizzazione sono mappati all interno della circonferenza di raggio 1 2 e centrata in (1 2, 0). Figura 11: Stabilità Metodo delle differenze all indietro AA 2005/2006

12 12 Metodo della trasformazione bilineare (Tustin) Tale metodo utilizza la seguente trasformazione per discretizzare un filtro analogico D(z) = D(s) s= 2(z 1) T(z+1) Applicando questa trasformazione al filtro in esame otteniamo G(z) = (2T + T 2 )s 2 + 2T 2 s 2T + T 2 ( T + T 2 )s 2 + (2T 2 0.4)s T + T 2 Figura 12: Risposta armonica Risposta armonica Diagramma dei moduli si può subito notare che, adottando questo metodo di discretizzazione, le curve dei diagrammi dei moduli dei filtri discretizzati sono molto vicine ai valori assunti dalla rispettiva curva del filtro analogico. È interessante osservare il fenomeno di compressione alle alte frequenze introdotto da questo tipo di trasformazione, per pulsazioni prossime a w/2 Diagramma delle fasi fino alla pulsazione di 0.6 rad/sec il comportamento dei quattro filtri risulta identico, per poi divergere, seppur lentamente. In particolare, per pulsazioni di campionamento elevate (200 rad/sec) il comportamento in fase del filtro discretizzato è pressoché identico a quello del filtro analogico. Per la pulsazione di campionamento più bassa (40 rad/sec) la curva delle fasi inizia a discostarsi da quella del filtro analogico intorno alla pulsazione di 6 rad/sec. Metodo della trasformazione bilineare (Tustin) AA 2005/2006

13 13 Risposta impulsiva Il diagramma orario della risposta impulsiva conferma ciò che afferma la teoria: la trasformazione di Tustin preserva la stabilità dei sistemi. Si noti come la risposta impulsiva dei filtri discretizzati, per quanto riguarda il transitorio, abbia un significativo scostamento in ampiezza con quella del sistema analogico. Figura 13: Risposta impulsiva Risposta indiciale Figura 14: Risposta indiciale Metodo della trasformazione bilineare (Tustin) AA 2005/2006

14 14 Ulteriore conferma della bontà della trasformazione di Tustin si ricava dal diagramma orario della risposta al gradino dei sistemi discretizzati. Per valori elevati della pulsazione di campionamento, la risposta del filtro discretizzato segue quasi perfettamente la risposta del filtro analogico. Viene inoltre confermata la stabilità asintotica dei sistemi ricavati. Stabilità La trasformazione di Tustin mette in corrispondenza l intero asse immaginario del piano s con la circonferenza di raggio unitario centrata nell origine del piano z. La corrispondenza tra i due piani risulta simile a quella ottenuta mediante la Z T rasf ormata. Ad ennesima conferma della conservazione di stabilità dei sistemi discretizzati per trasformazione bilineare, si osservi come i poli e gli zeri dei filtri ricavati vengano mappati all interno della circonferenza di raggio unitario con centro nell origine del piano z, a cui corrisponde il semipiano reale negativo del piano s. Figura 15: Stabilità Metodo della trasformazione bilineare (Tustin) AA 2005/2006

15 15 Metodo dell invarianza della risposta all impulso Con la seguente discretizzazione si vuole che: D(z) = Z[L 1 [D(s)]] Quindi partendo dalla G(s) attraverso il calcolo dei residui e stato possibile trasformare la G(s) in G(z) ottenendo la seguente funzione di trasferimento: G(z) = 20z2 + (2.5e 10T 22.5e 2T )z z 2 + ( e 10T e 2T )z + e 2T e 10T Figura 16: Risposta armonica Risposta armonica In questo diagramma si nota come i sistemi discretizzati si comportino in maniera totalmente diversa dal filtro analogico. Non ha senso quindi effettuare le solite analisi. La fase del filtro discretizzato segue la abbastanza correttamente il filtro analogico fino ad un frequenza di 2.34rad/sec dopo la quale segue un andamento totalmente diverso. Metodo dell invarianza della risposta all impulso AA 2005/2006

16 16 Risposta all impulso Poichè lo scopo di questo metodo di discretizzazione è quello di approssimare la risposta all impulso del sistema si può subito notare che effettivamente i filtri discretizzati seguono l andamento di quello analogico. All aumentare delle pulsazioni di campionamento migliora l approssimazione del filtro. Figura 17: Risposta impulsiva Risposta indiciale Per quanto riguarda invece le risposte dei filtri con in ingresso un gradino si evince a prima vista il discostamento dalla risposta del filtro analogico. La motivazione deriva dal fatto che tale metodo è stato studiato per approssimare le risposte agli impulsi e quindi risulta ovvio che per ingressi diversi il comportamento non seguirà quello previsto. All aumentare delle pulsazioni di campionamento l andamento della G(z) si discosta sempre di più da quello della G(s). Metodo dell invarianza della risposta all impulso AA 2005/2006

17 17 Figura 18: Risposta indiciale Stabilità Il filtro discretizzato risulta stabile, infatti i poli stabili nel piano s del filtro analogico vengono mappati in poli stabili nel piano z all interno del cerchio di raggio unitario centrato nell origine. Infatti con tale discretizzazione funzioni D(s) stabili sono sempre trasformate in funzioni D(z) stabili. Figura 19: Stabilità Metodo dell invarianza della risposta all impulso AA 2005/2006

18 18 Metodo del ricostruttore di ordine 0 Tale metodo di discretizzazione prevede che il filtro digitale G(z), venga ricavato da quello analogico G(s), effettuando la z-trasformata della funzione analogica in cascata ad un ricostruttore di ordine 0 (Zero Order Hold). Dalla teoria si ha quindi la relazione ossia [ ] D(s) D(z) = (1 z 1 )Z s [ (1 e st ] ) D(z) = Z D(s) s Applicando tale regola al filtro analogico in esame, si ha come risultato la seguente trasformazione G(z) = z(1.25e 2T 2.25e 10T + 1) + (e 12T e 10T 2.25e 2T ) z 2 + z( e 2T e 10T ) + e 12T Figura 20: Risposta armonica Risposta armonica Diagramma dei moduli Il diagramma dei moduli riportato in figura 20, mostra una buona approssimazione delle tre funzioni discretizzate. In particolare i tre filtri digitali seguono fedelmente la G(s) fino alla frequenza di 5.5 rad/sec Metodo del ricostruttore di ordine 0 AA 2005/2006

19 19 Anche in questo caso si può notare che la discretizzazione migliora all aumentare della frequenza di campionamento, perché come noto dalla teoria, si hanno a disposizione più campioni - nell unità di tempo - per riprodurre l andamento della funzione analogica di partenza. Diagramma delle fasi Come per il diagramma dei moduli, anche per quello delle fasi, possono essere fatte le medesime considerazioni. Si noti come all aumentare della frequenza di campionamento, il filtro digitale (colore celeste) risulta approssimare meglio la G(s). Risposta impulsiva Come si può notare dal diagramma orario della risposta impulsiva - figura 21 - tale metodo di discretizzazione mantiene la stabilità del sistema. Nel transitorio è presente un forte discostamento dei filtri discretizzati rispetto alla funzione analogica originale, che sta ad indicare una scarsa bontà di discretizzazione del segnale. Figura 21: Risposta impulsiva Risposta indiciale Dalla figura 22 si può notare come tale metodo di discretizzazione approssimi abbastanza fedelmente la funzione originale G(s). Per frequenze di campionamento basse (colore rosso) l approssimazione risulta meno precisa, che tuttavia tende a migliorare notevolmente dopo il transitorio. Metodo del ricostruttore di ordine 0 AA 2005/2006

20 20 Figura 22: Risposta indiciale Stabilità Analogamente al metodo dell invarianza della risposta all impulso, funzioni continue stabili nel piano s, sono trasformate in funzioni discrete stabili. Inoltre, la presenza del ricostruttore fittizio introduce un effetto di filtraggio, così da attenuare indesiderati effetti di aliasing. Come si può notare - figura 23 - tutti i poli e gli zeri delle funzioni discretizzare (colori rosso, verde e celeste), sono mappati all interno del cerchio a raggio unitario centrato nell origine del piano z; questo conferma la stabilità dei filtri ottenuti. Figura 23: Stabilità Metodo del ricostruttore di ordine 0 AA 2005/2006

21 21 Metodo della corrispondenza poli zeri Con questo metodo, ogni polo e zero in s della G(s) viene trasformato in un polo o zero in z mediante le relazioni: (s + a) (1 e at z 1 ) (s + a ± jb) (1 2e at cos (bt)z 1 + e 2aT z 2 ) Dopo l applicazione di queste relazioni, vengono introdotti nella G(z) tanti zeri in z = 1 quanti sono i poli di G(s) in eccesso rispetto agli zeri. Il filtro calcolato è il seguente: G(z) = 1.25 (1 e 2T ) 2.5(z + 1) (1 e 10T ) z e 2T (z + 1) z e 10T Figura 24: Risposta armonica Risposta armonica Diagramma dei moduli Si può notare che i moduli del filtro discretizzato segueno abbastanza fedelmente il modulo del filtro analogico. Avvicinandosi però alla metà della pulsazione di campionamento adottata per i vari filtri, si nota una attenuazione della pendenza delle curve. Metodo della corrispondenza poli zeri AA 2005/2006

22 22 Diagramma delle fasi All aumentare della frequenza di campionamento la risposta del filtro discretizzato tende ad avvicinarsi a quella del filtro analogico. Risposta impulsiva Il diagramma della risposta impulsiva evidenzia come tale metodo mantenga la stabilità dei sistemi discretizzati. Si evidenzia tuttavia come nel transitorio l approssimazione ottenuta non sia in linea con la risposta impulsiva data dal filtro analogico. Figura 25: Risposta impulsiva Risposta indiciale La risposta al gradino dei sistemi calcolati segue molto fedelmente la risposta del filtro analogico. Inoltre il grafico conferma la stabilità asintotica dei filtri discretizzati. Metodo della corrispondenza poli zeri AA 2005/2006

23 23 Figura 26: Risposta indiciale Stabilità Come ci conferma la teoria, il metodo di discretizzazione per corrispondenza di poli e zeri mappa sistemi stabili in s con sistemi stabili in z. Il semipiano reale negativo in s infatti viene mappato all interno della circonferenza di raggio unitario centrata nell origine in z. Figura 27: Stabilità Metodo della corrispondenza poli zeri AA 2005/2006

24 24 Conclusioni Dall analisi effettuata sui vari metodi di discretizzazione presentati, i più accurati si sono rivelati essere quello della trasformazione bilineare e quello della corrispondenza poli-zeri. In particolare, facendo una analisi comparata dei diagrammi di bode dei due filtri per la pulsazione di campionamento più elevata, si vede che, per ciò che riguarda l andamento del modulo, i due filtri presentano andamento pressoché identico. Riguardo la fase, si nota una migliore, seppur leggerissima, approssimazione per il filtro discretizzato tramite il metodo della trasformazione bilineare. I risultati ottenuti confermano quanto già ampiamente dimostrato in pratica, dal momento che i due metodi sopra analizzati sono di fatto i più utilizzati nel controllo digitale. Conclusioni AA 2005/2006