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1 One door, one key... Foto di SilvrFoX Licenza Creative Commons Attribution Numeri I

2 Sezione 1.7. Numeri Primi Numeri Primi Osserva il seguente schema 18 è multiplo di è divisibile per 6 è sottomultiplo di è divisore di 18 In esso sono descritte alcune caratteristiche del numero 18 e i suoi legami con il numero 6. Definizione Chiamiamo divisore proprio di un numero un suo divisore diverso dal numero stesso e dall unità. Osserva ora il seguente schema 1 è multiplo di è divisibile per... è sottomultiplo di è divisore di 1 Nella casella centrale, al posto dei puntini, puoi inserire soltanto i numeri 1 o 1. Definizione 1.1. Un numero p>1 si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l unità. Un numero naturale maggiore di 1 non primo si dice composto. Per come sono stati definiti i numeri primi e quelli composti si ha 0 non è primo né composto; 1 non è primo né composto; è primo; è primo; è composto; 5 è primo; 6 è composto; 7 è primo; 8 è composto; 9 è composto; 10 è composto; 11 è primo; 1 è composto; 1 è primo.... Esempio 1.8. Per verificare se 1 è primo, calcolo il valore approssimato 1 5,5 e verifico se è divisibile per i numeri primi 5, cioè, e 5. 1 non è divisibile per in quanto è dispari, non è divisibile per poiché la somma delle sue cifre è che non è divisibile per ) e non è divisibile per 5 in quanto non finisce per0o5sezione 1.8). Quindi 1 è primo. Esempio 1.9. Per verificare se 59 è un numero primo calcolo 59 7,6 e verifico se 59 è divisibile per un numero primo 7, cioè per,, 5e7.Eseguendo le divisioni si vede che 59 non è divisibile per nessuno di questi numeri, quindi è primo. Osservazione Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primo compreso tra elaradice quadrata del numero stesso. Esercizi proposti 1.15, Criteri di divisibilità Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare i seguenti criteri di divisibilità.

3 16 Capitolo 1. Numeri naturali Divisibilità per Un numero è divisibile per se e solo se la sua ultima cifra, quella delle unità, è un numero pari, cioè è 0,,, 6, finisce per 6 quindi è divisibile per ; finisce per 0 quindi è divisibile per ; 10 9 finisce per quindi non è divisibile per. Divisibilità per Un numero è divisibile per se e solo se la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per. è divisibile per, infatti la somma delle sue cifre è + = 6, dato che 6 è divisibile per anche è divisibile per ; 1 6 è divisibile per, infatti la somma delle sue cifre è = 1; 1 è divisibile per dato che la somma delle sue cifre è 1 + =, quindi anche 1 6 è divisibile per ; 1 non è divisibile per, infatti la somma delle sue cifre è + 1 =, dato che non è divisibile per neanche 1 è divisibile per. Divisibilità per 5 Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifraè0o finisce per 0 quindi è divisibile per 5; 59 5 finisce per 5 quindi è divisibile per 5; finisce per quindi non è divisibile per 5; Divisibilità per 7 Un numero maggiore di 10) è divisibile per 7 se la differenza in valore assoluto ) fra il valore ottenuto dal numero stesso togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è7ounmultiplo di 7. 5 è divisibile per 7, infatti 5 = 1 è multiplo di 7; 9 è divisibile per 7, infatti 9 = 1 è multiplo di 7; 887 non è divisibile per 7, infatti 88 7 = 7 non è divisibile per 7. Divisibilità per 11 Un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0, 11 o un multiplo di è divisibile per 11, infatti 5 + ) = 0; 9 8 è divisibile per 11, infatti 9 + 8) + ) = 11; 887 non è divisibile per 11, infatti ) = 7. Esercizi proposti 1.17, Scomposizione in fattori primi Scomporre in fattori o fattorizzare) un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri naturali. il valore assoluto è trattato a pagina.

4 Sezione 1.9. Scomposizione in fattori primi 17 Teorema 1. fondamentale dell aritmetica). Ogni numero naturale n>1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi. Esempio Scomporre in fattori primi il numero è divisibile per perché l ultima cifra è pari; è divisibile per la somma delle sue cifre è 9, divisibile per ); è divisibile per la somma delle sue cifre è 6, divisibile per ); è divisibile per 5 perché l ultima cifra è 5; è un numero primo = 5 7. In generale, un numero può essere scomposto in fattori in più modi. Per esempio, 1 =, ma anche 1 = 6. Il teorema fondamentale dell aritmetica ci assicura che, se si scompone un numero in fattori primi, questa scomposizione è unica, a meno dell ordine con cui si scrivono i fattori. Tornando all esempio precedente 1 = è l unico modo in cui il 1 si può scomporre in fattori primi, a meno che non si scambino di posto i fattori 1 =. I numeri primi sono quindi i mattoni fondamentali dell aritmetica, poiché gli altri numeri naturali possono essere ottenuti, in maniera univoca, come prodotto di primi. Sebbene al crescere dei valori considerati i numeri primi diventino sempre più radi, essi sono comunque infiniti, come affermò Euclide con il seguente teorema che porta il suo nome Teorema 1. di Euclide). I numeri primi sono infiniti. Esercizi proposti 1.19, Numeri primi e crittografia Il problema legato alla scomposizione in fattori primi è di notevole interesse per i matematici, poiché non è ancora stato individuato un meccanismo che permette di stabilire se un numero sia primo o meno 5, se non quello di provare a dividerlo per tutti i numeri minori o uguali alla sua radice quadrata, procedura che diventa sempre più lunga man mano che le cifre che compongono il numero da verificare aumentano. Per questo motivo l utilizzo di valori che siano il prodotto di numeri primi con un numero elevato di cifre è ciò che sta alla base della moderna crittografia, ovvero dei sistemi per la cifratura dei messaggi. Consideriamo un semplice esempio che può chiarire come funziona il meccanismo di base per inviare messaggi segreti. Alice deve inviare la sua password, la parola BACI, a suo fratello Bruno. Alice trasforma la parola in numeri secondo la semplice regola A=1, B=, C=, I=9 assegnando ad ogni lettera il numero cardinale corrispondente alla sua posizione nell alfabeto). Il messaggio diventa così 19. Alice moltiplica questo numero per un numero primo segreto che conosce solo matematico e scienziato della Grecia antica 67 a.c. ca. - 8 a.c.). 5 si tratta della dimostrazione dell ipotesi di Riemann, uno dei 7 Millennium problems elencati il maggio 000, ovvero questioni matematiche ad oggi 01) ancora non dimostrate tranne una). Vista l enorme difficoltà nel riuscire nell intento, il Clay Mathematics Institute ha messo in palio un milione di dollari per la dimostrazione di ognuna di esse v. http//it.wikipedia.org/wiki/problemi_per_il_millennio).

5 18 Capitolo 1. Numeri naturali lei) 6 17 e ottiene = e invia quest ultimo numero a Bruno. Chiunque intercetti questo numero non è in grado di individuare la password in chiaro. Quando Bruno riceve il numero lo moltiplica per un suo numero primo segreto che conosce solo lui) 969 ottenendo = e lo invia nuovamente ad Alice. Quando Alice riceve il numero lo divide per il suo numero primo = e quindi lo rispedisce a Bruno, A questo punto Bruno divide il numero ricevuto per il suo numero primo segreto ottenendo = 19. Conoscendo il meccanismo di codifica relazione tra i numeri e le lettere dell alfabeto =B, 1=A, =C, 9=I) Bruno può dunque ricostruire la password BACI. In realtà, i sistemi per lo scambio di messaggi cifrati oggi utilizzati per mezzo dei computer si basano su meccanismi leggermente differenti che evitano il doppio invio di messaggi tra Alice e Bruno. I meccanismi sono essenzialmente due il primo è detto a chiave simmetrica,in cui sia Alice che Bruno condividono il numero segreto con il quale viene cifrato il messaggio e quindi entrambi possono codificarlo e decodificarlo autonomamente; il secondo, un po più complesso ma che dà le stesse garanzie del doppio invio di messaggi nessuna condivisione del numero segreto tra gli interlocutori), viene chiamato a chiave asimmetrica e si basa sull utilizzo di un numero segreto ed un numero pubblico da condividere con l interlocutore. Va comunque sottolineato il fatto che la robustezza del meccanismo di cifratura sta nella difficoltà intrinseca della fattorizzazione di numeri molto grandi. Ciò non significa che i messaggi rimarranno segreti per sempre prima o poi saranno decifrati visto che la velocità di calcolo dei computer è sempre in aumento. Per cercare di rendere il processo di decifratura più arduo si possono scegliere chiavi di cifratura composte da numeri primi sempre più grandi Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo Definizione 1.1. Il massimo comune divisore di numeri naturali a e b è il più grande tra tutti i divisori comuni ad a e b e viene indicato con MCDa, b). Applicando la definizione, il massimo comune divisore tra 18 e 1 si ottiene prendendo tutti i divisori di 18 e di 1 divisori di 18 18, 9, 6,,, 1; divisori di 1 1, 6,,, 1. I divisori comuni sono 6, e1.ilpiùgrande dei divisori comuni è 6, quindi MCD18, 1) =6. Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente procedura Procedura 1.5. Calcolo del MCD di due o più numeri naturali a ) si scompongono i numeri in fattori primi; b ) si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con il minore esponente.

6 Sezione Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo 19 Esempio Calcolare MCD60, 8, 6). Si scompongono in fattori i singoli numeri 60 = 5, 8 = e6=. I fattori comuni sono e ;il compare con l esponente minimo ed il compare con esponente minimo 1. Pertanto MCD60, 8, 6) = = 1. Esempio 1.1. Calcolare MCD60, 10, 90). Si scompongono in fattori i singoli numeri 60 = 5, 10 = 5e90= 5. I fattori in comune sono, e5.l esponente minino è 1 per tutti. Pertanto MCD60, 10, 90) = 5 = 0. Definizione 1.1. Due numeri a e b si dicono primi tra loro o coprimi se MCDa, b) =1. Esempio 1.1. Numeri primi tra loro 1 e 5 sono primi tra loro. Infatti il MCD1, 5) =1 dato che nelle loro scomposizioni in fattori non si hanno fattori comuni 1 = e5= 5 ; 5 e 16 sono primi tra loro. Infatti 5 = 5 7e16=. I due numeri non hanno divisori comuni, quindi il loro MCD = 1; 11 e 19 sono primi tra loro infatti il MCD11, 19) =1 dato che 11 e 19 sono entrambi numeri primi; 1 e 15 non sono primi tra di loro in quanto hanno come divisore comune. Definizione Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b si indica con mcma, b) ed è il più piccolo tra tutti i multipli comuni di a edib. Per calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 15 applicando la definizione occorre calcolare i primi multipli dei due numeri multipli di 6 6, 1, 18,, 0, 6,, 8, 5, 60,...; multipli di 15 15, 0, 5, 60, 75, 90,... Sono multipli comuni 0, 60, 90,...Ilpiùpiccolo di essi è 0, ovvero mcm6, 15) =0. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente procedura Procedura 1.6. Calcolo del mcm di due o più numeri naturali a ) si scompongono i numeri in fattori primi; b) si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore esponente.

7 0 Capitolo 1. Numeri naturali Esempio 1.1. Calcolare il mcm60, 8, 6). Scomponendo in fattori i numeri si ha 60 = 5, 8 = e6=. Tutti i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l esponente più grande con cui compaiono sono, e5. Quindi il mcm è 5 = 70. Esempio Calcolare il mcm0,, 50). Scomponendo in fattori si ha 0 = 5, = e 50 = 5. Moltiplicando i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente si ha 5 = Esempio Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 15 cm per 5 cm con mattonelle quadrate le più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie? Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 15 sia nel 5, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 15 e di 5. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune = = 5 9 La soluzione del problema è data quindi dal MCD15, 5) = 5 = 15. Le mattonelle devono avere il lato di 15 cm. Ci vogliono 5 15 = 9 mattonelle per ricoprire il lato di 5 cm e = 1 mattonelle per ricoprire il lato da 15 cm. In tutto occorrono 9 1 = 609 mattonelle. Esempio Alla fermata dei pulman l autobus rosso passa ogni 0 minuti, l autobus verde passa ogni 0 minuti e il pulman blu ogni 5 minuti. Se i pulman rosso, verde e blu erano insieme alla fermata delle 800, quando si troveranno di nuovo insieme alla stessa fermata? Gli autobus si incontrano nei minuti che sono i multipli comuni di 0, 0 e 5. quindi alle 1100, alle 100, alle 1700 ecc. La prima volta che si incontrano sarà data dal minimo comune multiplo di 0, 0 e 5, quindi dopo 180 minuti. Esercizi proposti 1.1, 1., 1., 1., 1.5, 1.6

8 Sezione 1.1. Esercizi Esegui le seguenti divisioni con numeri a più cifre, senza usare la calcolatrice. a ) 11 ; b ) 9 7; c ) 51 1; d ) 69 ; e ) 755 5; f ) 89 61; g ) 968 5; h ) 991 1; i ) 1 1; j ) 107; k ) 5 01; l ) 57 96; m ) ; n ) ; o ) ; p ) ; q ) ; r ) 1; s ) ; t ) Proprietà delle operazioni 1.8. Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false indicando la proprietà utilizzata a) 11 = 11 proprietà... V F b ) =108 7) 9 proprietà... V F c) 8 = 8 proprietà... V F d) 5 10 = 10 5 proprietà... V F e) 9 + ) =9 + 9 proprietà... V F f) =0 1 9) proprietà... V F g) 8 7) 7 = proprietà... V F h) 8 1) = 8 proprietà... V F i) )+ = ) proprietà... V F 1.9. Data la seguente operazione tra i numeri naturali a b = a + b, verifica se è a ) commutativa, cioè se a b = b a; b ) associativa, cioè se a b c) =a b) c; c ) 0 è elemento neutro Potenza Inserisci i numeri mancanti a) 1 = =... ; b) = =... ; c) 7) 5 = ; d) 6 5 =6 5)... ; e) 7 5 =7 5 )... ; f) 6) =... =... ; g) 18 6) 9 6) =...)... =... ; h) ) [ 5 ) ] 6 =...= ). Calcola applicando le proprietà delle potenze a) 5 6 ; b) 5 ) { 5 5; [ c) ) ] 5} 8 6) ; [ d) 1 ) ] e) + 5 ) ; [ f) 6 ) ] 1 ; g) + ) ; h) + )

9 6 Capitolo 1. Numeri naturali 1.1. Completa, applicando le proprietà delle potenze a) = 7 5 ; b) =...) 9 ; c) = 55; d)...) = 15 6 ; e) 8 =... ; f) ) =... ; g) = 0... ; h)... ) = 1; 1.1. Il risultato di è A 68 B + 5) 5 C D Il risultato di 7 + 7) è A 00 B C 10 D Numeri Primi Per ognuno dei seguenti numeri indica i divisori propri a ) 15 ha divisori propri...,...,...,...; b ) 19 ha divisori propri...,...,...,...; c ) ha divisori propri...,...,...,...; d ) 0 ha divisori propri...,...,..., Crivello di Eratostene). Nella tabella che segue sono rappresentati i numeri naturali fino a 100. Per trovare i numeri primi, seleziona1e,poicancella tutti i multipli di. Seleziona il e cancella i multipli di. Seleziona il primo dei numeri che non è stato cancellato, il 5, e cancella tutti i multipli di 5. Procedi in questo modo fino alla fine della tabella. Quali sono i numeri primi minori di 100? Criteri di divisibilità Per quali numeri sono divisibili i valori seguenti? Segna i divisori con una crocetta. a ) 1 0 è divisibile per b ) è divisibile per c ) 8 è divisibile per d ) 1 55 è divisibile per e ) 165 è divisibile per f ) 70 è divisibile per g ) 79 è divisibile per h ) 6 è divisibile per

10 Sezione 1.1. Esercizi Determina tutti i divisori di, 18,, Scomposizione in fattori primi 1.19 ). Scomponi i seguenti numeri in fattori primi a ) 16; b ) 18; c ) ; d ) 0; e ) ; f ) 6; g ) 0; h ) ; i ) 8; j ) 5; k ) 60; l ) 7; m ) 81; n ) 105; o ) 10; p ) 15; q ) 180; r ) 5; s ) 55; t ) ). Scomponi i seguenti numeri in fattori primi a ) 675; b ) 715; c ) 1 900; d ) 1 078; e ) 050; f ) 56; g ) 1 150; h ) 15 6; i ) ; j ) ; k ) 000; l ) ; m ) 9 760; n ) ; o ) Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo 1.1 ). Calcola mcm e MCD tra i seguenti gruppi di numeri a ) 6, 15 b ) 1, 50 c ) 1, 6, 10, 1 d ) 15, 5, 10 e ),, 8 f ), 1, g ) 5, 6, 8 h ), 1, 16 i ) 6, 16, 6 j ) 6, 8, 1 k ) 50, 10, 180 l ) 0, 0, 60 m ) 16, 18, n ) 0, 60, 7 o ) 5, 15, 5 1. ). Calcola mcm e MCD tra i seguenti gruppi di numeri a ) 6, 8, 10, 1 b ) 0, 7, 5 c ) 16, 180 d ), 1, 16 e ) 6,, 10 f ) 5,, 10 g ) 1, 1, 15 h ),, 5 i ) 6, 8, 1 j ) 15, 18, 1 k ) 1, 1, 15 l ) 15, 18, m ) 100, 10, 150 n ), 66, 1 o ), 1, 0 1. ). Tre funivie partono contemporaneamente da una stessa stazione sciistica. La prima compie il tragitto di andata e ritorno in 15 minuti, la seconda in 18 minuti, la terza in 0. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme? 1. ). Due aerei partono contemporaneamente dall aeroporto di Milano e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte il primo ogni 15 giorni e il secondo ogni 18 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si troveranno di nuovo insieme a Milano? 1.5 ). Una cometa passa in prossimità della Terra ogni 60 anni, una seconda ogni 0 anni e una terza ogni 750 anni. Se quest anno sono state avvistate tutte e tre, fra quanti anni sarà possibile vederle di nuovo tutte e tre nello stesso anno? 1.6 ). Disponendo di 56 penne, 70 matite e 6 gomme, quante confezioni uguali si possono fare? Come sarà composta ciascuna confezione?

11 8 Capitolo 1. Numeri naturali Espressioni numeriche 1.7 ). Esegui le seguenti operazioni rispettando l ordine. a) ; b) 16 + ; c) 18 8 ; d) 16 ; e) 1 ; f) 10 5 ; g) 0 5; h) 16 ; i) + + ; j) + 1; k) ; l) 1 + ) ; m) ) ; n) + ; o) ; p) Esercizi riepilogativi 1.8 ). Quali delle seguenti scritture rappresentano numeri naturali? a) 5+ 1; b) 6+ 10; c) ; d) 7+ 10; e) 5 5; f) ; g) 1; h) 1 ; i) 11 + ; j) 7 9 ; k) 18 9; l) Calcola il risultato delle seguenti operazioni nei numeri naturali; alcune operazioni non sono possibili, individuale. a) 5 5 =...; b) 5 0 =...; c) 1 5 =...; d) 1 1 =...; e) 10 =...; f) 0 5 =...; g) 5 1 =...; h) 0 0 =...; i) 10 5 =...; j) 1 5 =...; k) 0 5 =...; l) 5 1 =...; m) 0 0 =...; n) 1 0 =...; o) 1 0 =...; p) 1 1 = ). Aggiungi le parentesi in modo che l espressione abbia il risultato indicato. a) = 5 b) = ). Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi e calcola il risultato a ) aggiungi 1 al prodotto tra 6e; b ) sottrai il prodotto tra 1 e alla somma tra 15 e 7; c ) moltiplica la differenza tra 16 e 7 con la somma tra6e8; d ) al doppio di 15 sottrai la somma dei prodotti di con6edicon5; e ) sottrai il prodotto di 6 per al quoziente tra 100 e ; f ) moltiplica la differenza di 15 con 9 per la somma die; g ) sottrai al triplo del prodotto di6eildoppio del quoziente tra 16 e. h ) il quadrato della somma tra il quoziente intero di 5e7eilcubo di ; i ) la somma tra il quadrato del quoziente intero di 5e7eilquadrato del cubo di ; j ) la differenza tra il triplo del cubo di5eildoppio del quadrato di ). Calcola il valore delle seguenti espressioni a) 1 + ) 5 )+1 + ; b) 18 ) 16 ) + ); c) + 6 [1 + )] ; d) {[15 5 )] } ) {[5 ] )}.

12 Sezione.5. Esercizi.0. Completa la seguente tabella. a b a b a b a b) a b).1. Calcola il valore delle seguenti potenze. a) +) =...; b) 1) =...; c) +1) =...; d) ) =...; e) ) =...; f) +) =...; g) ) =...; h) ) =...; i) ) 1 =...; j) +) 1 =...; k) ) =...; l) ) =...; m) ) 0 =...; n) 1) 5 =...; o) ) =..... Applica le proprietà delle potenze. a) ) ) = )... ; b) ) ) 5 = )... ; c) 5) 5) = 5)... ; d) 10) 5) =...) ; e) ) ) = )... ; f) 7) 7) = 7)... ; g) ) ) = )... ; h) 6) +) =...) ; i) [ ) ] = )... ; j) [ 5) ] =+5)... ; k) ) +) =...; l) 8) ) =...; m) [ 7) ] 7) =...; n) [ ) ] ) =..... Completa la seguente tabella. a b 1 5 a b.. Completa la seguente tabella. a b a b).5. Completa la seguente tabella. a a a a)

13 7 Capitolo. Frazioni e numeri razionali Esempio.. Determinare l ordine di grandezza dei numeri 0, e Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica e poi l o.d.g. 0, = 7, L o.d.g. è 10 in quanto il numero 7, è maggiore di =, L o.d.g. è in quanto il numero, 7 è minore di 5. Esercizi proposti.7,.75, Problemi con le frazioni.11.1 Problemi diretti Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza e se ne deve calcolare la parte che corrisponde a una frazione. In questo caso basta moltiplicare la frazione per la grandezza intera. Esempio.5. Una pasticceria produce 568 cornetti alla settimana i / sono alla crema, 1/8 sono al cioccolato e 1/8 alla marmellata. Quanti cornetti di ciascun tipo produce? Per risolvere il problema occorre calcolare la parte che corrisponde a ciascuna frazione cornetti alla crema 568 = 6; cornetti al cioccolato = 71; 8 cornetti alla marmellata come per quelli al cioccolato) Problemi inversi Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una frazione di una certa grandezza e si deve calcolare il valore dell intera grandezza. In questo caso occorre dividere il valore numerico dato per la frazione, si ottiene così l intero. Esempio.6. Mario ha speso e 1 che corrispondono ai /5 della somma che possedeva. Quanto possedeva? In questo problema si sa che e 1 corrispondono ai /5 della somma da cercare. Per trovare la somma posseduta da Mario è sufficiente dividere 1 per la frazione spesa, cioè e 1 /5 = e 1 5/ = e 5. Esempio.7. Giuseppe possiede e 150. Se spende i /5 della somma posseduta e poi i / della somma rimanente, quanto gli rimane? Per risolvere il problema si può procedere in più modi. Calcoliamo prima i /5 die 150, cioè e 150 /5 = e 90. Quindi la prima volta Giuseppe spende e 90, perciò gliene rimangono 60. La seconda volta spende i / die 60, cioè e 60 / = e 0. In tutto ha speso e 90+ e 0 = e 10 e quindi gli rimangono e 150 e 10 = e 0.

14 Sezione.1. Le percentuali 7 Un altro modo per risolvere il problema è tenere conto che, se la prima volta ha speso i /5 della somma che possedeva, significa che gli rimane la frazione 1 /5 = /5. La seconda volta spende i / dei /5 rimanenti, cioè 5 =. In tutto ha speso la frazione = + = gli rimane perciò la frazione = ovvero e 150 /15 = e Esercizi proposti.77,.78,.79,.80.1 Le percentuali Avrai sentito parlare spesso che il prezzo di un oggetto è stato scontato del 10 per cento, oppure che un partito politico ha preso il 5 per cento di voti e altre espressioni simili che coinvolgono le percentuali. Le percentuali sono un altro modo per scrivere le frazioni. Definizione.16. Le percentuali sono frazioni che hanno come denominatore 100 e come numeratore un numero intero o decimale. La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %. 5% = ; 7% = 7 1,5 ; 1,5% = = Quindi, in generale n% = n 100 Per passare quindi dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere il numero che esprime la percentuale per 100, cioè effettuare l operazione di divisione tra il numeratore ed il denominatore 5% = 5 7 1,5 = 0,5; 7% = = 0,07; 1,5% = = 0,15. Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale, invece, occorre moltiplicare numeratore e denominatore per 100 0,0 = 0,0 1 = 0, = %; 0, = = 1,1 = %; 1,1 = = = 11%. Per passare da una frazione alla sua scrittura in percentuale conviene prima scrivere la frazione come numero decimale e poi da questo passare alla percentuale 0,6 = 0,6 = 1 = 66,6 100 = 66,6%. Esercizi proposti.81,.8,.8,.8

15 7 Capitolo. Frazioni e numeri razionali.1.1 Problemi con le percentuali Per calcolare la percentuale di una grandezza è sufficiente moltiplicare il valore della grandezza per la percentuale espressa in frazione. Esempio.8. In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sono stati i promossi? Per rispondere, si moltiplica il numero totale di alunni per la frazione 95/100. Precisamente = 81,15. Poiché il risultato non è un numero intero, la percentuale è stata approssimata. Gli alunni promossi sono stati 81. A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la parte nota rispetto al totale. In questo caso occorre dividere la parte nota per l intera grandezza, moltiplicare il risultato per 100 ed esprimere il numero in percentuale. Esempio.9. Di una scolaresca di 65 alunni ben 16 hanno avuto il debito in matematica. Qual è la percentuale di alunni che hanno avuto il debito in matematica? Per rispondere alla domanda eseguiamo i seguenti calcoli % 0,19 100% = 19%. 65 Si noti che nell ultimo esempio è stato utilizzato il simbolo circa uguale) che indica un approssimazione del calcolo, ovvero che la corrispondenza tra le scritture a sinistra e a destra di tale simbolo non è esatta, ma è approssimata all ultima cifra decimale indicata nella scrittura di destra..1. Problemi con gli sconti Esempio.0. Un pantalone costava e 70 e viene venduto con il 0% di sconto, a quanto viene venduto? Si tratta di calcolare prima lo sconto e poi il prezzo scontato. Lo sconto è dato da 0% e 70 = e 70 = e 1. Il prezzo scontato è e 70 e 1 = e 56. In alternativa si può tenere conto che, se 0% esprime lo sconto, la parte rimanente, quella da pagare, è 100% 0% = 80%. Quindi per calcolare quanto costano i pantaloni scontati si può calcolare 80% e 70 = e 70 = e 56. Esempio.1. Un paio di scarpe da e 10 viene venduto scontato a e 75. Qual è stata la percentuale di sconto praticato? Per rispondere alla domanda, calcolo lo sconto e 10 e 75 = e 5. Calcolo la percentuale che e 5 rappresentano di e 10, 5 100% = 0,75 100% = 7,5%. 10

16 Sezione.1. Proporzioni 75 Esempio.. Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortuna era scontato del 15% e così ha risparmiato e 10. Quanto costa il computer di listino? Poiché e 10 corrispondono al 15% del prezzo di listino, per calcolare il prezzo di listino occorre dividere 10 per la frazione che corrisponde a 15% % = = = e 800. Esercizi proposti.85,.86,.87,.88,.89,.90,.91,.9,.9,.9,.95,.96,.97,.98,.99,.100,.101,.10,.10,.10,.105,.106,.107,.108,.109,.110,.111,.11,.11,.11,.115, Proporzioni Definizione.17. Il rapporto tra due numeri, di cui il secondo è diverso da zero, è il quoziente che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. Il primo numero si dice antecedente, il secondo conseguente. termini A B antecedente conseguente Definizione.18. Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti, del tipo A B = C D che si legge A sta a B come C sta a D, con B e D diversi da zero. A e D sono detti estremi, mentre B e C si dicono medi. estremi medi A B = C D antecedenti conseguenti Esempio.. Determinare se quattro numeri sono in proporzione. = 1 6. Formano una proporzione perché i due quozienti valgono entrambi ; 7 1 = 16. Non formano una proporzione perché il primo rapporto vale 0,5 mentre il secondo rapporto vale.

17 76 Capitolo. Frazioni e numeri razionali Proprietà.9 Fondamentale delle proporzioni). In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, cioè A B = C D A D = B C. Esempio.. Determinare se quattro numeri sono in proporzione. 6 = 6 9 è una proporzione. Il prodotto dei medi è 6 6 = 6 e il prodotto degli estremi è 9 = 6. Quindi è una proporzione. 0 0 = 0 0 non è una proporzione. Il prodotto dei medi è 0 0 = 900 mentre il prodotto degli estremi è 0 0 = 800. Quindi non è una proporzione. Proprietà.10 del permutare). Se in una proporzione scambiamo tra loro i medi otteniamo ancora una proporzione; in modo analogo otteniamo ancora una proporzione se scambiamo tra loro gli estremi, o ancora se scambiamo tra loro sia i medi sia gli estremi, ovvero A B = C D A C = B D D B = C A D C = B A. Esempio.5. Data la proporzione 1 16 = 18 e scambiando tra loro i medi si ottiene la proporzione 1 18 = 16 ; gli estremi si ottiene la proporzione 16 = 18 1; sia i medi che gli estremi si ottiene la proporzione 18 = Proprietà.11 dell invertire). Se in una proporzione scambiamo ogni antecedente con il rispettivo conseguente otteniamo ancora una proporzione, cioè A B = C D B A = D C. Esempio.6. Data la proporzione 15 9 = 5, applicando la proprietà dell invertire otteniamo la proporzione 9 15 = 5. Proprietà.1 del comporre). In una proporzione la somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente, la somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta al quarto termine. In termini matematici A B = C D A + B) A =C + D) C A B = C D A + B) B =C + D) D.

18 Sezione.1. Proporzioni 77 Esempio.7. Data la proporzione = 0 5, applicando la proprietà del comporre si ottengono le proporzioni 6 16 = 65 0 e 6 10 = Analogamente alla proprietà del comporre si ha la seguente Proprietà.1 dello scomporre). In una proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente, la differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al quarto termine. Quindi A B = C D A B) A =C D) C A B = C D A B) B =C D) D. Esempio.8. Data la proporzione = 0 5, applicando la proprietà dello scomporre si ottengono le proporzioni 6 16 = 15 0 e 6 10 = Calcolo di un medio o un estremo incognito Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo per il medio noto a b = x d x = a d b. L estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e dividendo per l estremo noto x b = c d x = b c d. Esempio.9. Calcola il termine incognito di ciascuna proporzione. 5 7 = 0 x x = 70 5 = 8; x = 16 x = 16 = ; 1 = x 5 6 x = 56 1 = = 9. Definizione.19. Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali. Una proporzione continua è del tipo A B = B C, per esempio le seguenti proporzioni sono continue 9 = = = 16 6.

19 78 Capitolo. Frazioni e numeri razionali Calcolo del medio in una proporzione continua In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene moltiplicando gli estremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto, cioè a x = x d x = a d. Esempio.0. Trova il valore di x nella seguente proporzione continua 6 x = x 9. Svolgimento x = 6 9 = 18. Calcolo di un termine incognito per mezzo delle proprietà del comporre e dello scomporre Esempio.1. Calcolare x nella proporzione 11 x) x = Applicando la proprietà del comporre si ottiene la proporzione 11 x + x) x =15 + 5) 5 11 x = 0 5 x = = 11. ) 1 Esempio.. Calcolare x nella proporzione + x 5 8 = x 5. ) 1 Permutando i medi si ha + x x = Applicando la proprietà dello scomporre si ha ) ) x x x = x = x = 1 ) 5 5 = ) = 5 7. Esercizi proposti.117,.118,.119,.10,.11,.1,.1,.1.1. Grandezze direttamente e inversamente proporzionali Il perimetro di un triangolo equilatero varia al variare della lunghezza del suo lato. Se si indica con l la lunghezza del lato del triangolo, allora il perimetro p) è dato dalla relazione p = l. È possibile notare che se si raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se si triplica il lato, allora triplica anche il perimetro, ecc. Lato l) 0,5 1 1,5,,1, Perimetro p) 1,5,5 7, 9, 1, Rapporto p l

20 Sezione.1. Proporzioni 79 y perimetro p lato l x pressione P y volume V x Figura. Proporzionalità diretta. Figura. Proporzionalità inversa. Definizione.0. Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante, cioè y = k, con k 0. x In generale, da quest ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da una formula del tipo y = kx, con k 0. Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che passa per l origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali figura.). Esaminiamo ora un altro esempio. Se quando vai a fare benzina allo scooter chiedi ogni volta e 10 di benzina, noterai che se aumenta il prezzo della benzina diminuirà la quantità di carburante che ricevi e viceversa se diminuisce il prezzo aumenterà la quantità di carburante che ricevi. Ciò che rimane costante è il prodotto tra il prezzo della benzina e la quantità di benzina ricevuta che deve essere sempre e 10. Prezzo benzina al litro p e) 1,16 1,156 1,1 1,8 Benzina ricevuta b l) 8,881 8,650 8,51 8,01 Costo c = p b e) 10,00 10,00 10,00 10,00

21 80 Capitolo. Frazioni e numeri razionali Definizione.1. Due grandezze x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante, cioè x y = k, con k 0. In generale, da quest ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità inversa è espressa da una formula del tipo y = k, con k 0. x Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, da un ramo d iperbole equilatera figura.). Esercizi proposti.15,.16,.17,.18.1 Espressioni con le frazioni Esempio.. Calcola il valore della seguente espressione. { [ ) ) ] + } { [ ) ) ] + } = 9 15 { [ ) ) 15 1 = { [ 1 = ] + } 5 15 { [ 1 = ] + } 5 15 { [ 1 = ] + } 5 15 { [ 1 = ] + } 5 15 { [ ] = 0 + } 5 15 { = } 15 { = 5 + } 15 { 1 = 15 + } 15 = 15 = = ] + } 15

22 Sezione.15. Esercizi Confronto tra numeri razionali.6. Inserisci tra le seguenti coppie di numeri razionali i simboli di maggiore >), minore <) o uguale =). a) ; 1 c) ; e) 1... ; b) ; d) ; f) Riscrivi in ordine crescente dalla più piccola alla più grande) le seguenti frazioni. a),, 5 8, 5, 7 1 ; b),, 5 6, 1, 5 ; c),, 5 6, 1, 1, 5, 0. d),, 6 5, 5, 1, 5, 0 e),, 11 1, 5,, 7,..8. Ordina dal più piccolo al più grande i seguenti valori. a) 10,011, 10,110, 11,001, 11,100; b) 10,01, 11,11, 10,101, 10,001; c) 0,101, 0,011, 0,110, 0,010 1; d) 1,010 1, 1,100 1, 1,001 1, 1, Scrivi una frazione molto vicina a Scrivi una frazione compresa tra a) 5 e 7 10 ; b) 5 e 1 7 ; c) 1 e..1. Quali disuguaglianze sono vere? a) 7 6 < 6 7 ; V F b) 7 6 > +6 7 ; V F c) 7 6 < +6 7 ; V F d) < 6 7 ; V F e) < +6 7 ; V F f) > 6 7. V F.. Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1? A 0,10 B 0,99 C 0,01 D 0,90.. Quale dei seguenti numeri è più vicino alla frazione 1 10? A 0,01 B 0,90 C 1,01 D 0,19

23 106 Capitolo. Frazioni e numeri razionali d) { [ 1 1 ) ]} + 1 [ ) 1 5 ) 1 ]..1 ). Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) b) c) [ ) ] 1 [ 1 ) ] ; ) [ 1 ) 1 ) ] 5 5 ) 1 ; [ ) ] ) 1 ) ; d) e) f) [ ) ) ) ] ) [ 5 1 ) ] ) 5 ) [ 1 [ 1 ) ] ; ) ] ; [ 1 ) ] ).15 ). Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) b) c) d) {[ ) 5 [ 0, 1) 0,01 )] [ ) ] { ) 1 ) + ) ] 5 1 ) ; + 1 ) [ ) [ + 1 ) ) 7 ] ). Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) b) c) d) [ ) ) 1 ] { {[ ) 8 10 ) 8 6 ] [ ) ) ) 5 ) ) 6 5 } ]} ; [ ) ) 8 ]} ) 8 11 ; [ ) 1 ] ; ) ). Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) 1 + ) 5 + ) ) ) ) 1 ) 5 1 ) ; ) ; ] 5 } 1 1 ;

24 Sezione.15. Esercizi 107 b) 8,75 5 0, [ 7 c) 5 1 ) ) 1 d) 6 + 0,1 0,16 1 1,01) 1. ) {[ 1,6 0, + )] 1 ) ) ] ). Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) b) c) {[ ) ) ) )] },5) 1 ) 7 5 ) ; ) 1) ) [ ) + + ) 6 5 [ ) ] ) ). Calcola il valore della seguente espressione. {[ 1 5) ) ] ) } )} 1 ) + 7,5 0,; 7 17 ) )] 11 6 ; {[ 5 ) ) 7 ] [ ) ) ] } ). Calcola il valore delle seguenti espressioni. a) ) [ ) 1 ) ] [ + ) ) 1 ) ] ; b) [ 5 ) )] 16 7 [ c) 1) + d) [ ) ] 1 ) + ) ) + 1 [ 1 ) ] ; 1 ; ) ; ) ) ) ] ). Calcola il valore della seguente espressione. [ ) ) ) 5 {[ ) 5 ) ) ] ) ] }.

25 110 Capitolo. Frazioni e numeri razionali.160 ). Calcola il valore della seguente espressione. [ 5) 1 ) ] ) 1 ) ). Calcola il valore della seguente espressione. [ ) ] 1) ) { + 1 ) + { [ ) ]} ). [ 1 1 ).16 ). Calcola il valore della seguente espressione. 1 1 ) [ + 1 ) 1 + ] [ 5.16 ). Calcola il valore della seguente espressione. [ 0 ) ] )..16. Calcola il valore dell espressione E = A B, dove A = ) 7 ) ) ) ) 1, B = ). L età di Paoloèi5/11 di quella della madre che ha anni. Quanti anni ha Paolo? 1 ) ] 1 5) }. ) 0 ) 7 ] [ + 5) ] 5) 5. 7 ) 6 1 7) 5 ). alunni che frequentano la terza media sono 5, quanti sono tutti gli alunni della scuola?.166 ). L età di Marco è 1/ di quella di Paolo che è 1/ di quella del padre che ha 5 anni. Quanti anni ha Marco?.167 ). I/5 del libro che stiamo leggendo è la parte più noiosa. Le rimanenti 6 pagine sono invece le più avvincenti. Di quantepagine è formato il libro?.168 ). Gli alunni del primo e del secondo anno di una scuola media sono rispettivamente i /7 ei/7 del totale. Sapendo che gli.169 ). Al supermercato ho speso 7/10 della somma di denaro che possedevo; successivamente ho incassato un credito uguale ai 1/0 della somma iniziale e ho speso /15 sempre della somma iniziale per un rifornimento di benzina. Sapendo che sono rimasto con 0,50 euro, quale somma di denaro possedevo inizialmente?.170 ). In una fattoria ci sono vitelli, capre e animali da cortile per un totale di 75 capi. I vitelli sono i /5 di tutti gli animali, mentre