IDRAULICA APPLICATA INDICE PARTE I MOTO DELLE CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA 2

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1 IDRAULICA APPLICATA INDICE PARTE I MOTO DELLE CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA 2 1. MOTO UNIFORME DEFINIZIONI ALTEZZA CRITICA MOTO UNIFORME RESISTENZA AL MOTO RESISTENZA DI SEZIONE E RESISTENZA DI TRONCO RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI FISSI RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI A FONDO MOBILE RESISTENZA DI ATTRITO RESISTENZA DI FORMA RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI IN GHIAIA RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI VEGETATI RESISTENZA AL MOTO NEI CANALI INERBITI RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI BOSCATI RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI A SEZIONE COMPOSTA MOTO PERMANENTE NEI CANALI EQUAZIONE DEL MOTO PERMANENTE CLASSIFICAZIONE DEI PROFILI DI RIGURGITO RISALTO IDRAULICO MOTO PERMANENTE CON PORTATA VARIABILE LUNGO IL PERCORSO SINGOLARITÀ IDRAULICHE GENERALITÀ PRESA DA UN LAGO RIDUZIONE DI SEZIONE PARATOIA 35 PARTE II TRASPORTO SOLIDO E SISTEMAZIONI FLUVIALI SISTEMAZIONI FLUVIALI MORFOLOGIA FLUVIALE INIZIO DEL MOVIMENTO SFORZO CRITICO SULLE SPONDE PROCESSI EROSIVI EROSIONE IN CURVA EROSIONE ALLE CONFLUENZE DIFESE RADENTI IN SCOGLIERA TRASPORTO SOLIDO TRASPORTO AL FONDO TRASPORTO TORBIDO TRASPORTO TOTALE BIBLIOGRAFIA LISTA DELLE FIGURE LISTA DELLE TABELLE 53

2 PARTE I. MOTO DELLE CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA 1. MOTO UNIFORME 1.1 DEFINIZIONI Nelle correnti a pelo libero, come vediamo in fig. 1.1, un parte della superficie di contorno è a contatto con un ambiente, di solito l atmosfera, a pressione costante. Escludendo casi speciali, la corrente nei corsi d acqua naturali (fiumi e torrenti) e artificiali (canali) viene considerata: - UNIDIREZIONALE, anche se, come si può dimostrare con semplici argomenti, solo l esistenza di correnti trasversali giustifica la posizione del centro di velocità posto al di sotto del pelo libero anche in un canale prismatico e rettilineo; - GRADUALMENTE VARIATA, anche se tale condizione viene verificata solo se il deflusso avviene in un alveo abbastanza regolare con pelo libero poco incurvato sia longitudinalmente che trasversalmente, affinché siano trascurabili le accelerazioni subite dalle particelle in direzione verticale o laterale alla corrente. Per la prima ipotesi, il calcolo fa riferimento alla velocità media U nella sezione trasversale: U = Q A (1.1) definita come rapporto tra la portata e l area della sezione. Per la seconda ipotesi, nella sezione trasversale la distribuzione delle pressioni è idrostatica e il carico totale è costante mentre non è richiesto che il pelo libero sia orizzontale. Il CARICO TOTALE H sulla sezione è definito come: ove compaiono: z h θ g α H = z + h cos θ + α U2 2g quota assoluta del fondo, al solito espressa in (m s.l.m.), tirante idrico, angolo che il profilo di fondo forma con l orizzontale, accelerazione di gravità, coefficiente di ragguaglio della altezza cinetica. (1.2a) Il coefficiente correttivo cos θ tiene conto del fatto che le sezioni trasversali e normali al fondo non sono verticali. Quando la pendenza di fondo è piccola, può porsi: cos θ ~ 1. In questo caso può essere utilizzata la più comoda definizione: H = y + α U2 2g (1.2b) 2

3 ove compare: y quota del pelo libero, al solito espressa in (m s.l.m.). Il coefficiente α, detto coefficiente di Coriolis, è definito quando sia nota la distribuzione della velocità u sulla sezione: 1 α = U 3 A u 3 d A A e viene, al solito, assunto uguale a uno. (1.3a) Quando la equazione in cui compare la espressione del carico totale viene dedotta dalla applicazione della equazione globale dell equilibrio idrodinamico, il coefficiente di ragguaglio della altezza cinetica, indicato col simbolo β, assume la forma detta di Boussinesq: 1 β = U 2 A u 2 d A A Nel seguito il valore del coefficiente di ragguaglio verrà assunto unitario. (1.3b) È talvolta utile far riferimento alla ENERGIA SPECIFICA della corrente rispetto al fondo alveo, che, ponendo cos θ ~ 1 per quanto detto sopra, vale: oppure: E = h + α U2 2g E = h + α Q2 2g A 2 Le relazioni (1.4) legano tra loro le tre grandezze ( E, h, U ) oppure ( E, h, Q ): 1. fissato il valore della portata Q risulta la curva ( h, E ) tracciata in fig. 1.2a; (1.4a) (1.4b) 2. fissato il valore della energia specifica E risulta la curva ( Q, h ) tracciata in fig. 1.2b. Le grandezze E, e rispettivamente Q, non sono funzioni univoche di h. La curva di fig. 1.2a mostra che la portata assegnata attraversa la sezione solo se il carico è maggiore del valore minimo E min come si verifica quando l altezza d acqua assume il valore k detto di ALTEZZA CRITICA. La curva di fig. 1.2b mostra che, data l energia specifica rispetto al fondo, la portata è massima quando il tirante è pari all altezza critica. L altezza critica riveste una importanza fondamentale per la caratterizzazione delle correnti a pelo libero. Nella sezione trasversale è definibile anche la SPINTA TOTALE Σ : Σ = γ h g A + β ρ U Q ove compiano, in aggiunta alle grandezze già definite: γ h g peso specifico del fluido, affondamento del baricentro della sezione bagnata sotto il pelo libero, (1.5a) 3

4 ρ densità del fluido. La relazione (1.5a) che spesso viene posta nella forma: Σ = γ h g A + β ρ Q2 A lega tra loro le tre grandezze: Σ, h, Q. In analogia a quanto si è appena visto: 1. fissato il valore della portata Q risulta la curva ( h, Σ ) tracciata in fig. 1.3a; (1.5b) 2. fissato il valore della spinta totale Σ risulta la curva ( Q, h ) tracciata in fig. 1.3b. Essendo, anche in questo caso, le relazioni non univoche vale quanto detto più sopra a proposito della altezza critica. 1.2 ALTEZZA CRITICA Riprendendo la definizione di altezza critica come valore minimo della energia specifica rispetto al fondo della sezione ovvero della spinta totale e avendo rilevato dalle curve di fig. 1.2a e 1.3a che esiste un solo minimo, possiamo scrivere la condizione di minimo della funzione (1.4b) ove è stato posto α = 1: d E d h = 1 - Q 2 d A g A 3 d h = 0 La condizione di minimo della funzione (1.5b) è: d Σ d h = γ A - ρ Q2 A 2 d A d h = 0 Nelle (1.6) compare la larghezza superficiale B definita in fig. 1.1: d A d h = B (1.6a) (1.6b) Definito il NUMERO DI FROUDE come rapporto tra la velocità media della corrente e la celerità delle onde infinitesime: F = U g A/B si riconosce immediatamente che: Q 2 B g A 3 = F2 e, pertanto, le (1.6) equivalgono alla condizione: (1.7) F = 1 (1.8) Pertanto, una CORRENTE per la quale il numero di Froude sia unitario ( F = 1 ) si dice IN STATO CRITICO; si dice inoltre che: - la CORRENTE per la quale F > 1 è SUPERCRITICA o veloce, - la CORRENTE per la quale F < 1 è SUBCRITICA o lenta. Per sezione rettangolare si ricava facilmente l'espressione dell'altezza critica k: 4

5 k = 3 Q 2 g B 2 (1.9) e si deduce dalla (1.4) che l'energia specifica minima corrispondente allo stato critico vale, per sezione rettangolare: E = 3 2 k 1.3 MOTO UNIFORME Una corrente può muoversi in moto uniforme solo in un alveo cilindrico, ove la sezione trasversale si mantiene costante. Se il moto è uniforme, le particelle costituenti la corrente non accelerano né rallentano: ne deriva che le forze attive applicate a un qualunque volume fluido debbono essere equilibrate dalle forze resistenti. Applicando l equazione globale dell equilibrio idrodinamico al volume di lunghezza unitaria e proiettandola secondo la direzione parallela al fondo, possiamo scrivere che la forza di volume (peso) eguaglia la forza di contorno come in fig Essendo tra loro uguali e contrarie le spinte e le quantità di moto fluenti attraverso le sezioni di estremità, l equazione si riduce a: γ A sin θ = τ 0 P (1.10) ove sono: γ sin θ tan θ = S 0 A P τ 0 Definiti con: R = A / P S f = τ 0 / γ R la (1.6) si riduce alla: il peso specifico del fluido, la pendenza del fondo, l area bagnata, il contorno bagnato, lo sforzo tangenziale unitario alla parete. il raggio idraulico, la cadente, S 0 = S f (1.11) che impone l uguaglianza tra cadente e pendenza di fondo. 1.4 RESISTENZA AL MOTO La corrente incontra una resistenza nel suo movimento poiché le particelle prossime al contorno fisso, che sono ferme, rallentano quelle adiacenti, essendo il fluido viscoso: questo effetto resistente si propaga dal contorno al centro interessando tutta la corrente. 5

6 Per vincere questa resistenza, parte della potenza meccanica che fa muovere la corrente si dissipa in quanto viene trasformata in flusso di calore. Lo sforzo tangenziale, o resistenza unitaria, alla parete τ 0 che compare nella (1.10) ha dimensioni, espresse nel sistema di riferimento ( M,L,V : massa, lunghezza, velocità): [M L - 3 V 2 ]. Dunque, sulla base dei criteri della teoria della similitudine dei fenomeni idrodinamici (ad esempio attraverso il teorema Π di Buckingham), esso può esprimersi come: con: ρ τ 0 = a ρ U 2 [M L -3 V 2 ] (1.12a) densità del fluido o anche, esplicitando in funzione della cadente, come: γ R S f = a ρ U 2 Nelle (1.12) compare il coefficiente adimensionale a = a ( k, Re, Φ ) che dipende da: k = k s / R Re Φ (1.12b) scabrezza relativa del contorno bagnato essendo k s la scabrezza assoluta, numero di Reynolds, funzione di forma della sezione bagnata. La relazione (1.8b) è stata trasformata da vari autori in espressioni più adatte per l impiego pratico. Le espressioni più comuni sono: - la formula proposta da Chézy nel 1768 ma entrata nell uso solo un secolo più tardi: U = C R S f (1.13a) ove C = g/a è il coefficiente di resistenza di Chézy, - la formula di Darcy - Weisbach: S f = f 4 R U 2 2 g ove f = 8 g / C 2 è il fattore, o indice, di resistenza. Le espressioni del coefficiente: (1.13b) ovvero: C = C ( k, Re, Φ ) f = f ( k, Re, Φ ) che variano con il regime di moto del fluido: laminare, turbolento misto entro contorno liscio, turbolento misto entro contorno scabro, turbolento puro, sono state determinate, di norma, sulla scorta dei risultati di esperienze di laboratorio eseguite su correnti in moto uniforme; le più antiche espressioni sono state dedotte da osservazioni sul moto (circa uniforme) dell acqua in canali o corsi d acqua di alveo abbastanza regolare. Di norma, il coefficiente di resistenza, o l indice di resistenza, non viene fatto dipendere esplicitamente dalla funzione Φ in quanto si ritiene che la dipendenza della resistenza dalla forma dell alveo venga rappresentata in maniera accettabile, dal raggio idraulico R come mostra uno studio della American Society of Civil Engineers (1963). 6

7 Nel caso di canali aventi una sezione di forma molto articolata, sezioni composte, debbono essere adottate opportune precauzioni nell applicare le formule di resistenza al moto come vedremo in RESISTENZA DI SEZIONE E RESISTENZA DI TRONCO Le relazioni di resistenza al moto discusse nei paragrafi seguenti valgono, a rigore, solo per situazioni di scarso interesse pratico; nei canali, e ancor più negli alvei naturali, alla resistenza del contorno si aggiungono altre fonti di perdita di energia dovute alla continua variazione di geometria del contorno ( allargamenti, restringimenti, variazioni di forma, ecc.) che non sono singolarmente valutabili. Il loro effetto viene incluso nel calcolo incrementando adeguatamente il coefficiente di resistenza. Per valutare la resistenza al moto in un alveo naturale, Cowan (1956) consiglia di sommare tra loro gli effetti di tutti i fattori che ostacolano la corrente, determinando il coefficiente di scabrezza di Manning con la relazione: n = (n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) m 5 (1.14) ove il significato e il campo di variazione dei valori dei singoli termini è fornito in tab La resistenza al moto dovuta alla sola scabrezza del contorno è espressa con n 0 dato in tab. 1.1 in funzione del materiale costituente l'alveo, se questo è indeformabile. Qualora l alveo, costituito da materiale sciolto, sia a fondo mobile, in luogo di adottare il valore dato in tab. 1.3, il coefficiente n 0 che indica la resistenza dovuta al materiale d alveo e alla configurazione del fondo può calcolarsi con le procedure esposte al 1.7; è ovvio che, per alvei molto irregolari e/o inerbiti, la stima del preciso valore di n 0 risulta poco importante. 1.6 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI FISSI Al solito, nei canali e nei corsi d'acqua naturali la corrente ha numero di Reynolds di attrito (della scabrezza): Re* = ρ u* k s µ > 70 (1.15) e quindi si muove in regime turbolento puro; pertanto il coefficiente di Chézy si definisce in funzione della sola scabrezza relativa. Si richiama che il limite espresso dalla (1.15) non è nettamente definito: in realtà il passaggio tra i regimi di moto turbolento - da misto a puro - avviene per valori di Re* compresi tra 50 e 100. La resistenza al moto può, quindi, essere calcolata con la formula di Prandtl - vedi eq. (6.27) di Fondamenti di Idraulica - ridefinita in termini di coefficiente di Chézy e di raggio idraulico. Nelle correnti a superficie libera è presente una ulteriore forma di dissipazione energetica, causata dalle ondulazioni che si formano sulla superficie della corrente e che crescono di importanza con il crescere del numero di Froude, come si vedrà nel successivo La velocità media U della corrente a superficie libera si può calcolare, in funzione della scabrezza relativa R/ k s e della velocità di attrito u*, con la equazione di Keulegan: 7

8 U u* = A R Log 10 ( R k ) (1.16a) s nella quale compare il coefficiente adimensionale A R che varia in funzione del numero di Froude come è stato mostrato da Iwagaki. Il coefficiente di Iwagaki è dato dalla: A R = Log 10 ( F + 9) Osservando che, per la (1.13a) è: U u* = C g (1.16b) otteniamo dalla (1.16a) l'espressione: C 8g = g [ A R Log 10 ( R k ) ] = 5.75 s 8g Log 10 [ 10 (A / 5.75) R R k ] s Posto A R = 6.25, corrispondente a F = 1.87 per la (1.16b), Keulegan ottiene: C 8g = 2 Log 10 ( 12.2 R k s ) (1.17) L'impiego della relazione di Keulegan (1.17) è abbastanza diffuso. Diversi valori di altezza della scabrezza significativa k s (mm) sono elencati in tab Nelle applicazioni pratiche si preferisce utilizzare in luogo della (1.17) la espressione proposta da Manning (1885) e, prima di lui, da Hagen (1881) e, in forma leggermente diversa, da Gauckler (1867): C = R1/6 n che riduce la espressione (1.13a) alla forma: U = R2/3 n 1/2 Sf (1.18) (1.19) Le esperienze di Williamson (1951) hanno mostrato che la (1.18) interpreta la dipendenza della resistenza al moto dalla scabrezza, soprattutto quando questa è elevata, meglio di altre formule di moto puramente turbolento; pertanto la (1.17) può essere sostituita dalla: C 2 8 g = 8.85 ( R k ) 1/3 (1.20) s che equivale alla (1.18) ove sia posto: 1/6 n = k s (1.21a) I valori del coefficiente di resistenza di Manning sono tabulati in funzione del tipo di superficie costituente le pareti e il fondo del canale in tab Nei casi in cui il rivestimento del canale sia deteriorato e la scabrezza relativa sia importante < k < il coefficiente della (1.21a) non può essere ritenuto costante. In tal caso, Flintham e Carling (1992) consigliano l'uso di una relazione analoga alla (1.18) che, dopo semplici trasformazioni, assume la forma: 8

9 con: n = a R 1/6 a = [17.98 Log 10 (13.04 / k )] 1 (1.22a) (1.22b) 1.7 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI A FONDO MOBILE Gli alvei fluviali scavati in depositi di materiali alluvionali non coesivi, sono modellati dalla corrente che in essi scorre e la scabrezza del contorno è determinata in larga misura da questa azione di modellamento. Tra i processi di modellazione fluviale dobbiamo distinguere quelli: - a larga scala - morfologia fluviale -, che determinano la morfologia del corso d acqua: assetto planimetrico (fiume rettilineo, multicursale o a treccia, meandriforme), profilo longitudinale di fondo, sezione trasversale. La influenza della morfologia del fiume sulla resistenza al moto, che ancora oggi non è ben quantificabile, può essere valutata in modo semplificato con il criterio illustrato in a scala locale - forme di fondo -, ai quali si deve ascrivere la configurazione del fondo. L effetto che la configurazione (insieme delle forme) del fondo ha sul coefficiente di resistenza al moto della corrente che vi scorre sopra è in molti casi estremamente rilevante. Alla perdita di energia procurata dalla sola scabrezza del fondo, supposto piatto e privo di forme, si deve aggiungere la perdita dovuta al fenomeno di separazione della corrente che si verifica nel brusco allargamento a valle delle dune o delle altre forme di fondo. Si stima che la perdita dovuta alle forme di fondo sia almeno 5 10 volte più grande di quella provocata dalla scabrezza del contorno: Znamenskaya (1967) ha valutato che le perdite di energia che si hanno sulla faccia di valle delle forme di fondo sono di un ordine di grandezza maggiori di quelle sulla faccia di monte. Vari studi sperimentali citano casi di diminuzione del fattore di attrito dell ordine di 10 volte con l aumento della portata al passaggio di una piena. Questa diminuzione di resistenza non è giustificata dalla diminuzione del valore della scabrezza relativa nella (1.19) ma deve ascriversi al fatto che le forme di fondo vengono spianate quando la velocità della corrente aumenta e il profilo di distribuzione di velocità sulla sezione trasversale viene alterato in senso favorevole al moto quando aumenta l intensità del trasporto solido. In ragione dei diversi stati del fiume, il letto fluviale può assumere configurazioni differenti a causa dei fenomeni locali di erosione e di deposito che scavano o accumulano il materiale di fondo fino a raggiungere una situazione di equilibrio. Il letto costituito da materiale granulare incoerente può atteggiarsi variamente in rapporto alla portata della corrente che vi scorre sopra (fig. 1.5): 1. INCRESPATURE (ripples), che hanno la forma di piccole dune, a profilo triangolare con faccia di monte dolcemente acclive e superficie leggermente convessa, faccia di valle ripida, lunghezza di non più di cm e altezza di qualche cm. Le increspature, disposte in ranghi ad occupare la larghezza del letto, si formano in sedimenti più fini di 0.6 mm e si spostano verso valle con una celerità molto più bassa della velocità della corrente; 2. BARRE, che hanno profilo simile alle increspature ma lunghezza di cresta paragonabile alla larghezza del letto e altezza simile al tirante d acqua medio. Si distinguono 4 tipi di barre: locali (point bar), alternate, trasversali, di confluenza; 9

10 3. DUNE, che hanno dimensioni intermedie tra le increspature e le barre e si spostano verso valle in maniera simile alle increspature; 4. FORME DI TRANSIZIONE, che consistono in un insieme non ordinato di increspature, dune e zone a fondo piatto; 5. FONDO PIATTO, che si verifica ove la corrente ha la capacità di spianare il letto, 6. ANTIDUNE, che hanno un profilo sinusoidale e dimensioni determinate dalla velocità della corrente. Le antidune interagiscono fortemente con le onde alla superficie libera e possono muoversi verso monte, verso valle o rimanere ferme. Le diverse forme di fondo sono raggruppate nelle generali categorie di: - regime inferiore (lower regime): increspature, dune; - regime di transizione (transitional regime): forme di transizione, fondo piatto; - regime superiore (upper regime): antidune. È opportuno ricordare che la resistenza dovuta alle forme di fondo interessa solo il letto del fiume, sul quale, appunto, si muove il materiale e si sviluppano le forme di fondo. Invece, non interessa le sponde, troppo pendenti per consentire l'accumulo del materiale mobilitato e, quindi, la formazione di forme di fondo, o le golene, ricoperte da vegetazione. Il fondo fluviale incoerente viene dilavato dal passaggio della corrente, che rimuove e trasporta con sé i granuli più piccoli, lasciando sulla superficie del letto uno strato - corazza - formato dagli elementi di maggiore dimensione: il fenomeno è detto di corazzamento (armouring) del letto. Al passaggio delle portate minori la corrente scorre sulla corazza la cui scabrezza significativa k s è maggiore di quella degli strati sottostanti - sottofondo - che contengono anche elementi più minuti. Al passaggio di una piena, con l'aumento della portata e della azione di trascinamento della corrente, la corazza viene distrutta e il sottofondo esce allo scoperto: di conseguenza diminuisce la k s del fondo. La valutazione dell'effetto della formazione e della distruzione della corazza sulla variabilità del coefficiente di resistenza al moto, esula dalla materia qui trattata. Nel seguito si farà sempre implicito riferimento alla distribuzione granulometrica del materiale costituente il sottofondo RESISTENZA DI ATTRITO La resistenza di attrito dovuta alla scabrezza dei granuli che costituiscono il letto fluviale è calcolabile con le formule proposte da vari autori i quali però non concordano sul modo di definire la scabrezza assoluta k s del letto in funzione delle dimensioni dei granuli di materiale incoerente da cui è formato: questi granuli non hanno dimensioni uniformi ma hanno dimensioni eterogenee disposte secondo una distribuzione granulometrica - le classi granulometriche sono individuate in tabella 1.4 -, che è caratteristica del tratto di fiume esaminato. In generale le formule di resistenza per scabrezza dei granuli modificano la (1.21a) cambiando il valore del coefficiente moltiplicativo e ponendo la scabrezza assoluta k s (m) pari a un diametro significativo d s (m), rappresentativo della distribuzione granulometrica. 10

11 Strickler pone d s pari al diametro mediano dei granuli d 50 che formano l alveo, Einstein e Barbarossa propongono k s = d 65, diametro passante al 65% ovvero diametro per cui il 65% in peso del materiale costituente il letto è più piccolo, Simons e Richardson usano k s = d 85, Engelund e Hansen adottano nella loro procedura, di cui si dirà qui di seguito, k s = 2. d 65, altre formule impiegano k s = s g, scarto quadratico medio geometrico dei diametri dei granuli: s g = 1 2 ( d 84 d 50 + d 50 d 16 ) (1.23) Tra le molte formule fornite dai vari Autori, ricordiamo: la formula di Strickler (1923): n = d 50 1/6 la formula di Keulegan (1938): n = d 50 1/6 le formule di Irmay (1949): n = d 65 1/6 n = d 90 1/6 la formula di Lane e Carlson (1953): n = d 75 1/6 la formula di Raudkivi (1967): n = d 65 1/6 le formule di Bray (1979) che correggono leggermente l'esponente: n = d 50 1/5.586 n = d 65 1/5.586 la formula di Einstein e Barbarossa (1952): n = d 65 1/6 la formula di Meyer-Peter e Müller (1948): n = d 90 1/6 (1.21b) (1.21c) (1.21d) (1.21e) (1.21f) (1.21g) (1.21h) (1.21i) (1.21l) (1.21m) In generale, come si osserva confrontando la (1.21b) con la (1.21a), queste formule tengono parziale conto, in modo non esplicito, anche della resistenza di forma. Gli autori (1.21l) e (1.21m) propongono l uso delle loro formule per valutare la resistenza delle forme di fondo all interno di procedure di calcolo del trasporto di fondo e quindi queste formule non sono consigliate per il calcolo della sola resistenza dei granuli. Simons e Richardson (1966) ritengono che in un alveo mobile con fondo piatto (transitional regime) sia: C g = 7.4 Log h 10 d (1.24) RESISTENZA DI FORMA 11

12 A datare dagli studi di Einstein e Barbarossa (1952) molti autori hanno cercato di caratterizzare la complessiva resistenza al moto - costituita da resistenza di scabrezza più resistenza di forma - per i corsi d acqua a fondo mobile. Tra le varie soluzioni proposte citiamo qui i due criteri di impiego più diffuso. Il METODO DI BROWNLIE (1983), interpretando i risultati sperimentali con i metodi della analisi dimensionale, esprime il coefficiente di resistenza di Manning con il prodotto: n = C F n S (1.25a) tra il coefficiente di resistenza di attrito, definito come si è visto al paragrafo precedente: n S = d 50 1/6 (1.25b) e il coefficiente che amplifica la resistenza di attrito per includere l effetto delle forme di fondo. Il coefficiente C F è espresso: - per alveo in condizioni di lower regime, da: C F = ( R d 50 ) S s g per alveo in condizioni di upper regime, da: (1.25c) C F = ( R d 50 ) S s g (1.25d) La transizione da lower regime a upper regime si determina confrontando il valore del NUMERO DI FROUDE DEL GRANULO: U F g = (1.25e) (s - 1) g d 50 ove compare il peso specifico relativo, rispetto all'acqua, del materiale costituente i granuli: s = γ s γ con il valore discriminante: F g ' = 1.74 S 0 1/3 Il deflusso è in lower regime se: F g F g '. Il deflusso è in upper regime se: F g > F g ' oppure se S 0 > (1.25f) La scala di deflusso ottenuta applicando il metodo di Brownlie non è continua, così come mostrano le misure di portata eseguite in alvei naturali (fig. 1.6). Il METODO DI ENGELUND (1966) si sviluppa a partire da considerazioni teoriche estesamente confermate dalle verifiche sperimentali. a) Considera che la resistenza al moto, ossia lo sforzo di trascinamento sul contorno della corrente, definito in 6.2 di Fondamenti di Idraulica, τ 0 sia esprimibile come somma dello sforzo per resistenza di attrito τ 0 ' e per resistenza di forma τ 0 '', ossia che: τ 0 = τ 0 ' + τ 0 '' (1.26) 12

13 Ciascuno dei termini della (1.22) può essere reso adimensionale facendo comparire lo sforzo tangenziale adimensionale o RESISTENZA UNITARIA DEL GRANULO: τ 0 τ * = (1.27) γ (s -1) d s ove è adottato il diametro significativo: d s = d 65. Introducendo la (1.27) nella (1.26) otteniamo: τ * = τ * ' + τ * '' (1.28) b) Ipotizza che la resistenza di forma sia addebitabile alla brusca espansione della corrente al passaggio sopra le dune di fondo e quindi sia esprimibile con la formula di Borda: Η'' = κ (U 1 - U 2 ) 2 2g (1.29a) nella quale compaiono: il coefficiente di perdita κ e le velocità medie, in m/s, sulla cresta U 1 e nel cavo tra le due dune successive U 2. Presa una striscia di larghezza unitaria di letto fluviale e introdotte: la portata per unità di larghezza q (m 2 /s), h (m) tirante idrico sul fondo medio, (m) altezza della duna, la (1.25a) si scrive: Η'' = κ 2g ( q h - /2 - q h + /2 )2 ~ κ 2g (q h )2 ( h ) 2 = κ U2 2g ( h )2 (1.29b) Distribuendo le perdite di carico localizzate, che si ripetono ritmicamente a intervallo λ (m) lunghezza della duna -, si scrive la cadente per resistenza di forma: S f '' = Η'' λ = κ 2 2 λ h F2 (1.29c) Ricordando il legame tra lo sforzo sul contorno e la cadente e introducendo le definizione (1.27) si ottiene: τ * '' = κ 2 2 (s - 1) λ d s F 2 (1.29d) c) Per ricavare l espressione dello sforzo sul contorno dovuto alla resistenza di attrito, ricordando che (vedi 6.2 di Fondamenti di Idraulica): (u* ' ) 2 = τ 0 ' / ρ u* ' = g R S f ' U u* ' = C' g = R1/6 n' g 1/2 Engelund esprime la resistenza di attrito con una relazione simile a quella di Keulegan (1.17): U u* ' = ln ( R ' 2.5 d ) (1.30a) s nella quale compare un valore ridotto R ' del raggio idraulico, al quale Engelund fa risalire la resistenza per attrito, osservando che: u* ' = g R S f ' = g R ' S f 13

14 ed è più comodo nelle applicazioni fare riferimento a R ' piuttosto che a S f ', poiché il significato di ciascuna delle due grandezze è puramente convenzionale e nessuna di esse è direttamente misurabile. d) Infine, interpretando i risultati di esperimenti di laboratorio, lega la resistenza al moto complessiva τ * a quella di attrito τ * ' con le relazioni illustrate in fig Per lower regime, che si verifica quando τ * '< 0.55, Engelund e Hansen (1967) propongono: τ * = (τ * ' 0.06) 1/2 (1.30b) valida solo se τ * ' > Per upper regime, che si verifica quando τ * ' > 0.55, Engelund e Hansen propongono una relazione che vale per 0.55 < τ * ' < 1.0: τ * = τ * ' (1.30c) che è stata estesa da Brownlie (1983) nella regione superiore dell'upper regime con la relazione valida per 1.0 < τ * ' < 1.75: τ * = [ (τ * ' ) ] 1/1.8 (1.30d) La soluzione della procedura di Engelund viene trovata per tentativi e consente, noti la cadente S f (o la pendenza di fondo S 0 ) e il diametro significativo d s, di determinare: (1) il tirante d'acqua h a partire dalla portata Q, oppure (2) la portata Q a partire dal tirante d'acqua h. Nel caso (1) la procedura risolutiva è la seguente: a) scelto un valore di tentativo del raggio idraulico ridotto R' si calcolano: τ * ' con la definizione (1.27); la velocità media U con la formula (1.30a); b) con la appropriata relazione (1.30b) o (1.30c) oppure (1.30d) si calcola τ * ; c) noto τ * dalla (1.23) si ricava a ritroso il raggio idraulico: R = τ * (s -1) d s S f (1.31) d) Dalla velocità media U calcolata al punto (a) e dall'area A = A(R) si calcola la portata ^ Q. Se la portata ^ Q così trovata non è uguale al valore di partenza Q, si sceglie un nuovo valore R' di tentativo e si procede fino a convergenza. Dalle grandezze caratteristiche della corrente, così ricavate, si può calcolare il coefficiente di resistenza di Manning. Anche nel caso della procedura di Engelund, notiamo che, per le relazioni (1.30), la resistenza di forma non è una funzione univoca della resistenza del granulo in quanto, nella realtà, un alveo a fondo mobile può assumere differenti configurazioni di fondo in corrispondenza ai medesimi stati idrici. 14

15 1.7.3 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI IN GHIAIA I letti in ghiaia si trovano generalmente in regime di transizione e non presentano forme di fondo ben sviluppate: quindi la scabrezza complessiva dell alveo può essere calcolata in funzione della scabrezza del granulo. La letteratura tecnica propone parecchie formule che consentono di calcolare la resistenza opposta al moto dagli alvei ghiaiosi. La Federal Highway Administration degli Stati Uniti impiega dal 1975 una formula del tipo visto in 1.6.1: 1/6 n = d 50 (1.21n) Hey (1979) ha tarato sulle misure eseguite in numerosi piccoli torrenti della Gran Bretagna, con portata fino a 500 m 3 /s, nella quale compare, insieme con il diametro significativo, anche la dimensione delle pietre più grandi presenti nel letto: d max. Questa formula può scriversi esplicitando il coefficiente di Manning come: n = R 1/6 [ Log 10 ( a R 3.5 d 84 ) ] -1 (1.32) Il coefficiente a aumenta da 11.1 a al diminuire dal rapporto: larghezza d alveo / tirante. Analoga alla precedente è la formula di Bray (1979) che, riscritta esplicitando il coefficiente di Manning, porge: n = R 1/6 ( d 50 R )0.281 (1.33) Per letti in sabbia grossa e ciottoli < d 84 < 250 (mm) - diffuso impiego è la formula di Limerinos (1970): n = R 1/6 [ Log 10 ( R -1 d ) ] 84 (1.34a) Successivamente è stato provato sperimentalmente che la formula di Limerinos può essere utilizzata anche per letti sabbiosi con fondo piatto e che il suo campo di validità è: 600 < R d 84 < 10 4 (1.34b) 1.8 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI VEGETATI Sono alvei vegetati: - i canali inerbiti, con fondo e sponde ricoperte di erba, che generalmente è piuttosto corta e non occupa tutta la sezione e non emerge sopra il pelo libero. Anche la vegetazione acquatica, che cresce sul fondo dei canali sempre pieni d'acqua, non si stacca molto dal fondo, pur avendo steli molto lunghi, in quanto è molto flessibile; - le golene e le sponde dei corsi d'acqua naturali, sulle quali vegetano cespugli, arbusti e alberi a medio e alto fusto la cui flessibilità è molto scarsa. Tra l'altro, le golene sono spesso coltivate, a seminativo o a pioppeto. Al variare della portata questi elementi vegetali sono variamente sommersi: può essere in acqua solo il tronco ovvero può essere immersa anche la chioma, fino alla completa sommersione. È evidente che la loro resistenza al moto della corrente sarà estremamente variabile. 15

16 1.8.1 RESISTENZA AL MOTO NEI CANALI INERBITI Nella sezione di un canale con fondo e sponde ricoperte di erba, il profilo di velocità non ha l'andamento logaritmico delle correnti in regime turbolento, descritto in di Fondamenti di Idraulica, ma presenta un flesso appena sopra la sommità degli steli come è illustrato in fig Il coefficiente di Manning può essere stimato in prima approssimazione, consultando la tabella 1.2a. Con maggiore precisione, il valore del coefficiente di resistenza è dato dalle curve dell'abaco sperimentale del U.S. Soil Conservation Service (Ree e Palmer 1947) in funzione del tipo di vegetazione e del prodotto - U R - tra velocità media della corrente e il raggio idraulico (fig. 1.9): per la scelta della curva di riferimento per il calcolo della resistenza è utile la consultazione della tabella 1.5. Recentemente, nel 2001, queste curve sono state approssimativamente interpretate con la formula: n = 1.22 R 1/6 C Log 10 (5.275 R 1.4 S ) (1.35) nella quale compare il coefficiente di ritardo C il cui valore è dato, in funzione del tipo di vegetazione, in tabella 1.6. Kouwen (1981) ha studiato il comportamento degli steli d'erba immersi nella corrente per calcolarne la resistenza da questi opposta alla corrente. Il coefficiente di resistenza di Manning viene espresso con una relazione logaritmica analoga a quella di Keulegan, ripresa anche da Limerinos: n = R 1/6 [ a + b Log 10 ( R k ) ] -1 (1.36a) nella quale compare k, altezza dell'erba flessa dalla forza della corrente, τ 0 (N m -2 ); la freccia di inflessione dipende dalle caratteristiche meccaniche della vegetazione che sono rappresentate dal prodotto M E I (N m -2 ) di: M numero di steli per m 2, E modulo di elasticità medio del singolo stelo (Pa), I momento d'inerzia della sezione trasversale dello stelo (m 4 ). Uno stelo di altezza h v (m), flettendosi, si riduce alla altezza: k = 0.14 h v [ ( MEI τ 0 ) 0.25 ( 1 h v )] 1.59 (1.36b) Kouwen definisce con relazioni empiriche la resistenza flessionale dell'erba, da introdurre nella (1.36b): - per erba verde, in piena fase vegetativa: 3. 3 M E I = 319 h v - per erba morta o dormiente: M E I = 25.4 h v (1.36c) (1.36d) 16

17 I coefficienti a e b che compaiono nella (1.36a) sono dati in tabella 1.6, in funzione del rapporto tra la velocità di attrito della corrente u* e il valore di velocità di attrito in prossimità del quale l'erba si piega u* crit, che è stato determinato sperimentalmente per vari tipi di steli; a favore di sicurezza si sceglie: u* crit = min [ ( M E I ) 2 ; 0.23 ( M E I ) ] (1.36e) RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI BOSCATI La vegetazione che cresce sulle piarde e sulle golene dei fiumi rallenta fortemente il deflusso; il coefficiente di resistenza della vegetazione può essere stimato in prima approssimazione consultando la tabella 1.2b o la tabella 1.3. Per una valutazione più circostanziata della resistenza opposta da un bosco si può ricorrere al METODO DELLA DENSITÀ DI VEGETAZIONE. Consideriamo dapprima un bosco (fitto, ossia privo di sottobosco) di alberi le cui chiome escano dalla superficie libera. Applicando l equazione globale dell equilibrio idrodinamico al tronco fluviale boscato, lungo L (m), nel quale la corrente si muove in moto uniforme con velocità media U (m/s) e sezione bagnata A (m 2 ), Petryk e Bosmajian (1975) osservano che la resistenza al contorno e la resistenza opposta dai tronchi degli alberi equilibrano il peso dell acqua: F v + T = G Proiettata nella direzione della corrente e ricordato che: (1.37a) - la resistenza al moto, per formazione di scia turbolenta alle spalle di un corpo immerso nella corrente: F = ½ ρ C d U 2 a T ove C d è il coefficiente (adimensionale) di resistenza idrodinamica del corpo immerso nella corrente, a T è l area della sezione del corpo, perpendicolare alla direzione della corrente incidente e ρ è la densità dell acqua; - la proiezione del peso dell acqua lungo l asse della corrente è: G 0 = γ A L S 0 la (1.34a) si scrive come: ½ ρ C d U 2 A v + τ 0 C L = γ A L S 0 ove: A v (m 2 ) è l area complessiva delle sezioni di impatto dei tronchi contro la corrente; gli altri simboli hanno il significato noto. Sostituita a τ 0 la sua espressione ricavata dalla formula di Manning: τ 0 = γ U 2 n 0 2 R -1/3 ove n 0 (m -1/3 s) è il coefficiente di resistenza di Manning relativo al suolo spoglio, senza alberi, si ricava: ( C d 2g A v R 4/3 2 A L n + 1) n 2 0 R -4/3 U 2 = S 0 0 (1.37b) 17

18 Sostituita alla velocità media la sua espressione data dalla formula di Manning, nella quale si fa comparire il coefficiente di resistenza complessiva n (m -1/3 s), quest ultimo è dato dalla formula: n = n C d 2 g D R4/3 vt 2 n 0 (1.37c) Petryk e Bosmajian assumono che il coefficiente di resistenza dei fusti degli alberi sia uguale a quello di un cilindro immerso in una corrente ad elevato numero di Reynolds: C d = 1.0 La densità degli alberi D vt (m -1 ) è: M D vt = A Σ i d i v A L = 1 B L (1.37e) ove d i (m) sono i diametri dei singoli tronchi degli M alberi che crescono sulla striscia di golena lunga L (m) e larga B (m) sulla quale è stata eseguita la conta. Il metodo richiede, dunque, che si eseguano dei sopralluoghi per contare e misurare le circonferenze degli alberi. In prima approssimazione si possono utilizzare i valori di D vt elencati in tabella 1.8. Nel caso in cui, agli alberi di alto fusto si accompagnano arbusti e cespugli, che risultano parzialmente o, anche, totalmente sommersi dalla corrente, Fischenich (1996) osserva che il contributo alla resistenza al moto offerto dal suolo e dal sottobosco è inscindibile da quello degli alberi e perciò la (1.37c) si riduce alla formula: n = R 2/3 C d (D v + D d ) 2g (1.38a) nella quale è stata esplicitata la densità D d (1/m) dei detriti vegetali tronchi e rami secchi, cumuli di foglie - definita dal rapporto tra le aree frontali degli M detriti presenti in golena e l'area della sezione bagnata moltiplicata per la lunghezza del tronco di golena, sul quale sono stati censiti i detriti: D d = M Σ i A d i 1 A L (m -1 ) (1.38b) La (1.38a) è stata calibrata, con esperimenti condotti alla scala reale, da ricercatori del US Army Corps of Engineers che hanno aggiornato gli originari coefficienti della formula di Fischenich. La densità di vegetazione D v che compare nella (1.38a) si ottiene sommando le densità della vegetazione bassa e dell erba D ve e la densità dei tronchi D vt con diametro maggiore di 2.5 cm: D v = D ve + D vt Come riferimento, ricordiamo che, nel corso degli esperimenti, sono stati misurati i valori di densità: D vt = (m -1 ) D ve = (m -1 ) D d = 0.88 (m -1 ) 18

19 Il coefficiente di resistenza idrodinamica della vegetazione C d è definito in relazione alla stagione: - nella stagione invernale, con alberi spogli e suolo ingombro di detriti, e viscosità cinematica di acqua fredda (13 C) - ν = (m 2 /s) - risulta: C d = Re (1.38c) - nella stagione calda (25 C), con alberi con foglie e suolo sgombro di detriti, e ν = (m 2 /s): C d = Re (1.38d) Evidentemente, le (1.38c) e (1.38d) tengono conto, in maniera implicita, del fatto che la importanza della vegetazione bassa e pieghevole diminuisce al crescere del tirante idrico e della velocità della corrente e varia con la stagione. Inoltre, gli sperimentatori hanno osservato che la corrente, quando investe la chioma degli alberi, trascina con sé le foglie, che si dispongono secondo un profilo idrodinamico; in questo modo la resistenza al moto si riduce con l'aumento della velocità della corrente. Il fogliame dirige le linee di flusso della corrente verso il terreno, facilitando l'erosione del suolo. Le misure sperimentali sono state condotte su correnti in moto turbolento, con Re ~ La RESISTENZA DI ARBUSTI E CESPUGLI è stata misurata recentemente (2000) da ricercatori US Army Corps of Engineers, i quali hanno ricavato formule empiriche valide per diverse condizioni. A causa della sua flessibilità, la vegetazione viene completamente immersa quando il tirante d acqua h (m) raggiunge l 80% dell altezza della pianta a v (m). Pertanto, se: h 0.8 a v il coefficiente di resistenza del suolo vegetato risulta: E n = ( s A s 2 ) a v 243 ( ρ A i u * h )0. ( M A i ) ( ν u * R ) R 2/3 1/2 S 0 u * Invece, la vegetazione è parzialmente sommersa se: (1.39a) h < 0.8 a v il coefficiente di resistenza del suolo vegetato risulta: n = E ( s A s 2 ) ( M A * ρ A i u i ) ( ν * u * R ) R 2/3 1/2 S 0 u * Nelle (1.39a) e (1.39b) compaiono le grandezze: - E s modulo di rigidezza flessionale della pianta (N/m 2 ) (1.39b) - A s area complessiva delle sezioni trasversali dei rami o tronchi dell arbusto o cespuglio, misurata alla altezza h/4 (m 2 ) ρ densità dell acqua (kg/m 3 ) - A i sezione trasversale della pianta, considerata con la chioma completamente immersa (m 2 ) - A i * sezione trasversale bagnata della pianta, considerata con la chioma parzialmente immersa con tirante h (m 2 ) 19

20 - u * velocità d attrito (m/s) - a v altezza della pianta (m) - h tirante idrico (m) - M densità di vegetazione: numero di piante per unità di area (m -2 ) ν R densità cinematica dell acqua (m 2 /s) raggio idraulico (m) - S 0 pendenza di fondo La rigidezza flessionale della pianta E s, se non può essere misurata, può essere stimata in funzione del rapporto: r = h d s (1.39c) con una formula ricavata dalla analisi statistica delle misure: E s = r r r 3 (1.39d) Nella (1.36c) compare il diametro d s (m) del tronco della pianta misurato alla altezza h/4 dal suolo. 1.9 RESISTENZA AL MOTO NEGLI ALVEI A SEZIONE COMPOSTA Qualora la sezione del tronco fluviale non sia sufficientemente regolare ovvero la scabrezza vari significativamente sul contorno bagnato non è consentita la ipotesi semplificata α β 1. In tal caso è ancora possibile procedere all analisi del moto della corrente secondo lo schema interpretativo monodimensionale ricorrendo alla ipotesi proposta da Lotter (1933) di carico totale uniforme su ogni sezione trasversale. Da questa ipotesi deriva che la cadente S f risulta univocamente definita lungo la corrente: nella gran parte dei casi pratici l ipotesi di Lotter può essere considerata accettabile. Operativamente la sezione d alveo irregolare viene suddivisa in più parti contigue ciascuna delle quali possa ritenersi regolare, per forma e ripartizione della scabrezza sul contorno (fig. 1.10): la sezione viene così a dirsi composta. Suddivisa la sezione in N parti, sono definiti per i = 1,,N: - i coefficienti di ragguaglio, α i β i 1, - le aree bagnate, A = N Σ i 1 A i - i contorni bagnati, che non includono il segmento di separazione tra le parti contigue indicato con linea tratteggiata in fig. 1.10, C = N Σ i 1 C i 20

21 Questa ultima condizione la quale sottintende che le separazioni siano tracciate perpendicolarmente alle linee isotachiche, viene usualmente approssimata adottando segmenti di separazione verticali, individuati in figura da linee a tratto e punto. Ovviamente la estensione di criteri interpretativi monodimensionali al moto di una corrente con evidenti aspetti di tridimensionalità richiede prudenza. Il pelo libero non si mantiene orizzontale sulla sezione. La quota media del pelo libero è definita dalla media pesata: N _ y = Σ i 1 ( y i A i A ) Per il calcolo della resistenza al moto della sezione composta, alla relazione di Manning (1.14) viene data una forma più generale. Per le ipotesi di carico totale uniforme sulla sezione, possiamo scrivere che: S 1/2 f = Q 1 K 1 = = Q N K N ove è stata introdotta la CONVETTANZA della singola porzione di sezione: A R2/3 i i K i = n i Poiché deve essere: (1.40a) Q = N Σ i Q i = 1 N Σ i 1 K i S 1/2 la formula di Manning per la sezione composta risulta: Q = K S 1/2 f ove compare la convettanza complessiva della sezione: K = N Σ i 1 K i. f (1.40b) Qualora il contorno di una sezione di forma semplice sia costituito da parti aventi differente scabrezza, come, ad esempio, in un canale di sezione trapezia con sponde realizzate in materiale diverso da quello del fondo, la formula di Lotter cade in difetto. In questo caso il valore del coefficiente di resistenza della sezione - coefficiente di resistenza efficace, n e - è calcolabile come media pesata dei coefficienti di resistenza assegnati alle singole porzioni di contorno bagnato secondo la formula di Horton. Horton (1933) e, successivamente, da Einstein e Banks (1950), dalle ipotesi di: (a) carico totale uniforme sulla sezione, (b) velocità media in ogni porzione di area pari alla velocità media nella sezione, ricavano dalla formula di Manning: Poiché: A i = ( A = U S 0 1/2 ) 3/2 ni 3/2 C i N Σ i 1 A i 21

22 ricaviamo immediatamente: N Σ i C i n 1.5 i 1 n e = [ C ] 2/3 (1.41a) Introdotte le aree parziali, nelle quali l'area bagnata risulta scomposta dalle bisettrici degli angoli alla base delle sponde (fig. 1.11), la formula di Colebatch (1941) introduce queste aree parziali nella media pesata: N Σ i A i n 1.5 i 1 n e = [ A ] 2/3 (1.41b) La formula di Colebatch si è dimostrata più precisa della formula di Horton ma la sua applicazione è più onerosa. 22

23 2. MOTO PERMANENTE NEI CANALI 2.1 EQUAZIONE DEL MOTO PERMANENTE Posto che: - la corrente sia a portata costante, - l alveo abbia piccola pendenza, - la sezione trasversale abbia forma sufficientemente regolare e la scabrezza sia uniformemente distribuita sul contorno affinché sia α β 1, - l alveo si sviluppi in modo abbastanza regolare affinché la spinta sul contorno abbia componente trascurabile secondo la direzione del moto, la applicazione al volume di riferimento (fig. 2.1) dell equazione globale dell equilibrio idrodinamico proiettata in direzione parallela al fondo fornisce la equazione di Bernoulli generalizzata, ricavata per altra via in 5.1 di Fondamenti di Idraulica: ove sono: x H Essendo: d H d x = - S f S f la coordinata corrente lungo l alveo, il carico totale nella sezione la cadente. d H d x = d E d x + d z d x d z d x = - S 0 la (2.1a) risulta equivalente alla: d E d x = S 0 - S f Dalla definizione (1.2b), posto α = β = 1, risulta: d H d x = d y d x ( 1 - Q 2 d A g A 3 d y ) ove, entro parentesi, compaiono i termini: d A d y = B (2.1a) (2.1b) Q 2 B g A 3 = F2 con: B larghezza al pelo libero, F numero di Froude, La (2.1a) si trasforma nella equazione della corrente a pelo libero la cui soluzione fornisce il PROFILO DI CORRENTE o DI RIGURGITO o DI PELO LIBERO. 23

24 d y d x = - S f 1 - F 2 (2.2a) Analogamente, differenziando la (1.4b) e sostituendola nella (2.1b), questa si trasforma nella: d h d x = S 0 - S f 1 - F 2 (2.2b) Le (2.2) indicano che una corrente critica - per la quale è F = 1 - è intrinsecamente instabile: ogni piccola perturbazione del pelo libero tende ad amplificarsi diventando teoricamente infinita. Esperimenti condotti dal USAED di Los Angeles (1949) su un canale a sezione rettangolare mostrarono che il campo di instabilità è praticamente compreso tra i limiti del numero di Froude: 0.86 < F < CLASSIFICAZIONE DEI PROFILI DI RIGURGITO La soluzione della equazione del moto permanente posta in una qualunque delle forme (2.2) definisce il profilo di pelo libero della corrente. La classificazione di tutte le possibili forme di profilo si ricava facilmente dalla analisi della equazione (2.2b) applicata al semplice caso di alveo rettangolare molto largo, nel quale R ~ h, e di cadente definita dalla formula di Chézy con valore di C costante. In queste condizioni risulta, avendo definito la portata per unità di larghezza q = Q/B: e quindi: F 2 = 1 = q 2 g h 3 q 2 g k 3 Inoltre, dalla (1.9a), ove si è posto h = R, si ricavano le relazioni valide: - per la generica condizione di moto permanente, nella quale S f S 0 : S f = q 2 C 2 h 3 - per la condizione di moto uniforme, nella quale S f = S 0 : S 0 = q 2 C 2 h 0 3 Sostituendo queste quattro relazioni nella (2.2b) si ottiene l equazione: (2.3a) (2.3b) (2.3c) 1 - ( h 0 d h d x = S h ) ( k (2.4a) h )3 che rende evidente come la forma della soluzione dipenda da S 0 e dai rapporti tra h, k, h 0. La discussione della (2.4a) consente di definire, con validità del tutto generale, i caratteri analitici di tutte le possibili soluzioni della equazione differenziale del profilo di pelo libero, tra le quali scegliere, in funzione delle condizioni al contorno, la soluzione particolare del problema. 24

25 I risultati dell'analisi condotta sulla (2.4a) sono riassunti nelle tabelle seguenti. Consideriamo dapprima il caso di ALVEO A DEBOLE PENDENZA con h 0 > k. SIGLA INTERVALLO NUMER. DENOM. d h d x D1 h > h > 0 D2 h 0 > h k + < 0 D3 k h > 0 MONTE d h d x x =- = 0 d h d x x =- = 0 d h d x h=0 = S 0 ( h 0 k )3 VALLE d h d x x =+ = S 0 d h d x h=k = d h d x h=k = Osserviamo che i profili D1 e D2 sono di corrente subcritica, si sviluppano a partire dalle condizioni al contorno di valle e tendono asintoticamente al moto uniforme verso monte, mentre il profilo D3 di corrente supercritica si sviluppa a partire dalla condizione di monte e tende vero valle alla altezza di stato critico che raggiunge con tangente verticale. Consideriamo quindi il caso di ALVEO A FORTE PENDENZA con k > h 0. SIGLA INTERVALLO NUMER. DENOM. d h d x F1 h k + + > 0 F2 k h > h 0 + < 0 F3 h 0 h > 0 MONTE d h d x h=k = d h d x h=k = d h d x h=0 = S 0 ( h 0 k )3 VALLE d h d x x =+ = S 0 d h d x x =+ = 0 d h d x x =+ = 0 Il profilo F1 è di corrente subcritica, si sviluppa a partire dalle condizioni al contorno di valle e tende verso monte alla altezza di stato critico, mentre i profili F2 e F3 sono di corrente supercritica, si sviluppa a partire dalla condizione di monte e tendono asintoticamente al moto uniforme verso valle. Il caso di ALVEO A PENDENZA CRITICA con k = h 0 è un caso degenere di passaggio tra le condizioni a forte e a debole pendenza. L'equazione semplificata (2.4a) individua un unico profilo di corrente con tirante crescente in modo da mantenere orizzontale la superficie libera; invece, l'equazione generale (2.2b) produce due profili crescenti e convessi, uno di corrente subcritica e uno di corrente supercritica e un profilo, intermedio, di moto uniforme. Dal confronto tra (2.3a) e (2.3c) risulta che h 0 = k quando S 0 = g / C 2 : questo valore di pendenza si dice critico S 0C. Se il fondo è orizzontale, avendo posto: 25