DISCIPLINA DI MACCHINE E CONVERTITORI DI ENERGIA ELETTRICA PROVA SCRITTA D ESONERO 1 AA APRILE 2010

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1 UERTÀ D ROMA LA AEZA CORO D LAUREA GEGERA EERGETCA DCLA D MACCHE E COERTTOR D EERGA ELETTRCA ROA CRTTA D EOERO AA ARLE 00 Di un trasformatore trifase sono note le seguenti grandezze descrittive: potenza nominale 50 ka, tensione nominale concatenata primaria 0 k, tensione secondaria concatenata a vuoto 400, collegamenti degli avvolgimenti MT/bt triangolo stella neutro DY, frequenza 50 Hz, tensione di corto circuito percentuale v % = 6%, potenza di corto circuito percentuale p % = %, rendimento a pieno ico a cos ϕ unitario 97.5 %. l trasformatore alimenta un ico trifase equilibrato; questo ico, alla tensione concatenata nominale, assorbe una potenza di 6 ka con cos ϕ = 0.7 in ritardo. n parallelo al ico è quindi necessario inserire dei condensatori di rifasamento, con l obiettivo di ottenere, al livello energetico di ico richiesto, un fattore di potenza di valore unitario. Facendo riferimento al circuito equivalente convenzionale del trasformatore, determinare: l rapporto ire del trasformatore ideale [] 4 La resistenza rappresentativa delle perdite nel rame [Ω] 4 3 La reattanza di diersione [Ω] 4 4 La resistenza rappresentativa delle perdite nel ferro [Ω] 4 5 la corrente di ico del trasformatore (lato BT) che ne rende massimo il rendimento [A] 6 La potenza reattiva della batteria di condensatori di rifasamento [Ar] l valore del rendimento del trasformatore per il ico richiesto prima del rifasamento [%] l valore del rendimento del trasformatore (per le stesse condizioni di ico) dopo il rifasamento [%] elle condizioni di ico richieste, la tensione di linea da applie al primario del trasformatore,prima del rifasamento, per avere una tensione di ico pari alla tensione nominale [k] empre nelle stesse condizioni di ico, la tensione di linea da applie al primario del trasformatore, dopo il rifasamento, per avere una tensione di ico pari alla tensione nominale [k] parametri - 4 sono riferiti al circuito equivalente semplificato ad L lato AT 4 0 cognome, nome Mobile autorizzo la trasmissione dei risultati via M autorizzo la trasmissione dei risultati via autorizzo la pubblicazione dei risultati sul sito scritti per autorizzare: barrare la casella per non autorizzare: cancellare la scritta Firma MCEE prova scritta d esonero AA pag. di 7

2 OLUZOE l trasformatore è schematizzabile con tre trasformatori monofase connessi a stella; il circuito equivalente del singolo trasformatore monofase è riportato in Fig.. Fig Circuito equivalente del trasformatore monofase Tale trasformatore monofase avrà tensioni primarie e secondarie pari a = 3 = () 3 La potenza nominale di questo trasformatore sarà pari a: trifase = 3 () Le correnti nominali primarie e secondarie avranno valore: = 3 = (3) 3. l rapporto ire del trasformatore ideale presente nel circuito equivalente del trasformatore monofase vale: k., 3. La tensione di corto circuito lato AT sarà pari a: = (4) = v% (5) La potenza perduta nel rame nella prova di corto circuito, e quindi in condizioni di corrente nominale (nel lato serie), sarà pari a: cu = p% (6) MCEE prova scritta d esonero AA pag. di 7

3 La potenza reattiva nella prova in corto circuito può essere dedotta dalla potenza apparente e dalla potenza attiva: Q ( ) Cu = (7) Dagli ultimi due valori, tenendo conto del valore della corrente nominale, è possibile dedurre il valore della resistenza e della reattanza di corto circuito. cu = R Q = X (8) 4. ella prova a pieno ico a fattore di potenza unitario è conosciuto il rendimento η e la potenza erogata al ico out. n questa prova, quindi, la mahina preleva dalla rete una potenza attiva pari a: in = out /η (9) La differenza tra la potenza in ingresso e quella in uscita è pari alla somma tra le perdite nel ferro a tensione nominale e le perdite nel rame a corrente nominale: in out = cu + fe (0) oiché le perdite nel rame in condizioni nominali sono conosciute, dalla precedente è possibile dedurre le perdite nel ferro in condizioni nominali: fe = out / η out cu () e dalla precedente si calcola la resistenza rappresentativa delle perdite nel ferro: R 0 = () ( fe / 3) 5. l rendimento del trasformatore è massimo quando le perdite nel ferro sono pari a quelle nel rame: fe 3 = R ( η = max) (3) Dalla precedente si calcola il valore di corrente per la quale il rendimento è massimo. l modello matematico del ico l ico, a sua volta, sarà schematizzato da una stella di impedenze resistivo-induttive. Ognuna di queste impedenze può essere rappresentata, ad esempio, come il parallelo tra un resistore ed un induttore (Fig..a) oppure come la serie tra un induttore ed un resistore (Fig..b). È del tutto ovvio che le due schematizzazioni richiedono parametri differenti, ma i vari parametri debbono produrre le stesse relazioni tensione-corrente-potenza (attiva-rattiva-apparente). MCEE prova scritta d esonero AA pag. 3 di 7 3

4 a) b) Fig. - Le possibili modellazioni del ico: a) parallelo, b) serie. e il ico non è rifasato, in condizioni nominali viene prelevata dalla rete una potenza attiva ed una potenza reattiva pari riettivamente a: = (4) cosϕ Q = (5) Come ovvio, le relazioni (4) e (5) si riferiscono al caso trifase; ma il circuito equivalente è riferito al problema monofase e di conseguenza le corriondenti potenze attive e reattiva sono semplicemente un terzo delle precedenti. er ipotesi, la tensione di alimentazione è la tensione nominale secondaria, mentre la corrente ha valore: = (6) Come già detto, il ico può essere modellato serie o parallelo. el caso serie, il ico è equivalente ad una resistenza in serie ad una induttanza; nel caso parallelo, il ico è rappresentato da una resistenza in parallelo ad una induttanza. on sarà inutile ribadire che i parametri serie sono numericamente diversi dai parametri parallelo. el modello serie si hanno i seguenti valori dei parametri: R, = Q X, = (7) el modello parallelo: R, = X, = (8) Q n entrambi i casi (ma è del tutto ovvio) il ico presenta lo stesso assorbimento di potenza attiva e di potenza reattiva. È proprio tale potenza reattiva che, in linea di principio, si vuole fornire con un banco di condensatori. Tale potenza reattiva, però, è quella necessaria a tensione piena per rifasare completamente il ico. er quanto riguarda i due modelli, se il ico è completamente rifasato, MCEE prova scritta d esonero AA pag. 4 di 7 4

5 nel modello parallelo la reattanza equivalente è infinita, nel modello serie la reattanza equivalente è nulla, e le resistenze serie e parallelo sono uguali. È però necessario notare che la potenza reattiva da fornire al ico per rifasarlo per mezzo dei condensatori è proporzionale al quadrato della tensione, proprio per definizione di potenza reattiva erogata da un condensatore: Q c = ωc oiché a ico (anche rifasato) la tensione sul ico sarà minore di quella a vuoto, la potenza attiva prelevata sarà minore, ed anche la potenza reattiva necessario per rifasarlo sarà minore. Di conseguenza, il calcolo della corrente primaria può essere valutato per mezzo del circuito in Fig. 3 nel caso di ico perfettamente rifasato: r = (9) ( R + k R ) + X, mentre nel caso di ico non rifasato (Fig. 4) vale: nr = (0) ( R ) ( ) + kr, + X + k X, (come ovvio, i pedici r ed nr indicano riettivamente rifasato e non rifasato ). Fig. 3- l circuito equivalente per ico perfettamente rifasato Fig. 4- l circuito equivalente per ico non rifasato MCEE prova scritta d esonero AA pag. 5 di 7 5

6 6. La tensione secondaria per ico perfettamente rifasato vale: La potenza erogata sul ico vale in questo caso: r = R r = Rk r () ( k ) ' = 3R r () Ricapitolando: se il ico è perfettamente rifasato, pur avendo una configurazione come quella in Fig. 4, da un punto di vista elettrico si comporta come se fosse costituito da una sola resistenza (Fig. 3). La tensione sui condensatori è pari a, e di conseguenza la potenza reattiva che deve essere fornita dai condensatori vale: ' Q = Q (3) 0 Un ragionamento alternativo, probabilmente più semplice, è il seguente. e il ico è perfettamente rifasato, allora si comporta esternamente come un semplice resistore. n realtà il vero ico è sempre formato da un resistore e da un induttore (da un punto di vista fisico, non è conosciuta la reale connessione del ico, anche ammettendo che il ico sia effettivamente costituito da un resistore e da un induttore: la scelta di considerarlo in serie od in parallelo è di chi utilizza il circuito equivalente e dipende essenzialmente dalla convenienza di calcolo). Al variare della tensione di alimentazione, variano le potenze attive e reattive assorbite dal ico, ma non il suo fattore di potenza, che rimane il dato iniziale. n parallelo con questo ico (e stavolta realmente in parallelo!) è stato connesso un banco di condensatori di valore opportuno. Ora, la corrente esterna nell impedenza di ico (quindi nel complesso del resistore-induttore e del condensatore) ha il valore sopra determinato nella relazione (), corriondente al circuito di Fig. 4. Tale corrente permette di valutare la potenza apparente e la potenza attiva assorbita dal ico; la potenza reattiva assorbita dal ico è sempre nella stessa relazione con la potenza attiva, dipendente dalla tangente dell angolo di ico: Q ' ' = tanϕ (4) Tale potenza reattiva è proprio quella che deve essere fornita dal banco di condensatori trifase. 7., 8 l rendimento della mahina, nella generica condizione di ico, può essere valutato calcolando: 9., 0 er ico rifasato, la tensione secondaria può essere scritta: η = out (5) out + fe + cu MCEE prova scritta d esonero AA pag. 6 di 7 6

7 r = k R (6) ( R + k R ) + X e per ico non rifasato: nr = k R + X (7) ( R + k R ) + ( X + k X ) Conoscendo i valori desiderati per la tensione secondaria, pari a quella nominale, è possibile calcolare direttamente il valore della tensione primaria necessaria. nfatti, secondo la (6) e la (7) la tensione secondaria è semplicemente proporzionale alle tensione primaria. Detta la tensione secondaria effettiva, d la tensione secondaria desiderata, la tensione secondaria nominale, d la tensione primaria che produce la tensione secondaria d, (non sarà inutile ricordare che la d è la quantità numerica richiesta) si ha: Dalla (8) è immediato il calcolo della d. = (8) d d ***** FE DEL REETE DOCUMETO ***** MCEE prova scritta d esonero AA pag. 7 di 7 7