5) Il numero èugualea: (A) 18 58, (B) , (C) 6 112, (D) 3 56, (E) (A) 5m 2, (B) 5, 5m 2, (C) 6m 2, (D) 7m 2, (E) 7, 5m 2.

Transcript

1 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN MINISTERO ELL PULI ISTRUZIONE SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-GaraTriennio 1 novembre 007 1) La prova consiste di 5 problemi; ogni domanda è seguita da cinquerisposteindicate con le lettere,,,, E. ) Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. 3) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammessecancellatureo correzioni sulla griglia. Non è consentito l uso di alcun tipo di calcolatrice. 4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova èun oraemezza. uon lavoro e buon divertimento. Nome ognome lasse ) Un calciatore riceve un compenso annuale di Euro per il 007. La durata di tempo in cui egli guadagna 1000 Euro è: () minore di mezz ora, () compresa tra mezz ora e un ora, () compresa tra un ora e due ore, () compresa tra due ore e quattro ore, (E) maggiore di quattro ore. ) Un triangolo equilatero e un quadrato hanno lo stesso perimetro. Quanto vale il rapporto tra la lunghezza di un lato del quadrato e quella di un latodeltriangolo? () 1, () 3, () 3 4, () 1, (E) ) Un giornale costa 0,90 Euro; a chi lo acquista viene offerto un supplemento facoltativo del costo di 1,50 Euro. fine giornata sono state vendute 333 copie del giornale e l incasso complessivo della vendita del giornale edeirelativisupplementi è stato di 539,70 Euro. Quanti supplementi sono stati? acqui () Non più di 66, () più di 67 e meno di 13, () più di 133 e meno di 00, () più di 01 e meno di 66, (E) più di di 66. 4) Se a e b sono due numeri tali che a + b>0ea b<0, quale delle affermazioni seguenti è certamente vera? () a>0eb<0, () a<0eb<0, () a>0eb>0, () a e b hanno segno diverso e tra i due quello positivo ha valore assoluto maggiore, (E) a e b hanno segno diverso e tra i due quello negativo ha valore assoluto maggiore. 5) Il numero èugualea: () 18 58, () , () 6 11, () 3 56, (E) ) Il quadrato disegnato a fianco ha il lato lungo 3 m. Il segmento EF è lungo 1 medèparalleload. Quanto vale l area dell esagono F E? () 5m, () 5, 5m, () 6m, () 7m, (E) 7, 5m. 7) Una corsa in montagna di 13 km è stata vinta da un podista che ha impiegato51 minuti per concludere la prova. Paolo, 57 classificato, ha impiegato 1 ora e 18 minuti. mmettendo che Paolo abbia corso con velocità costante, a quale distanza dall arrivo si trovava mentre il vincitore tagliava il traguardo? () 3750 m, () 4000 m, () 450 m, () 4500 m, (E) 4750 m. 8) Il numero è u g u a l e a : () 7 5, () 13, () 13 3, () 15, (E) ) Sul pianeta Uru le settimane durano 8 giorni, i mesi (tutti indistintamente) durano 34 giorni e in un anno ci sono 14 mesi. Quando il primo giorno dell anno cade di domenica (ultimo giorno della settimana) si celebra la Festa del Pianeta. Sapendo che oggi su Uru è la Festa del Pianeta, tra quanti giorni sarà laprossima? () 38, () 476, () 95, () 148, (E) ) In un triangolo scegliamo un punto su eunpuntoe su in modo che la lunghezza di sia un terzo di quella di elalunghezzadie sia un terzo di quella di. Sapendo che l area del triangolo E è 5 m,determinare l area del quadrilatero E. () 10 m, () 0 m, () 5 m, () 30 m, (E) 40 m. 11) In un paese abitano solo briganti, che mentono sempre, e cavalieri, che dicono sempre la verità. Un giornalista intervista quattro abitanti: rturo, ernardo, arlo e ario, che fanno le seguenti dichiarazioni. rturo: ernardo è un brigante ; ernardo: Io sono l unico cavaliere tra noi quattro ; arlo: lmeno uno tra rturo e ario è un brigante ; ario: Siamo 4 cavalieri. Quanti tra i quattro sono cavalieri? () Nessuno, () uno, () due, () tre, (E) quattro. 1) Un produttore di dentifricio riduce di 0 grammi il contenuto di ciascun tubetto di dentifricio e ne lascia invariato il prezzo. Egli calcola che in questo modo il prezzo di un chilo di dentifricio aumenterà del 5%. Quanto dentifricio conteneva ciascun tubetto prima della riduzione? () 100 g, () 10 g, () 15 g, () 150 g, (E) 160 g. E F

2 13) Quanto vale il resto della divisione di 10(007) 4 8(007) 3 +1(007) +71per 669? () 0, () 5, () 104, () 3, (E) ) Nella figura a fianco il raggio del cerchio più grande misura 0 cm. Quanto misura il raggio dei cerchi colorati in grigio? () 5cm, () 6cm, () 8cm, () 9cm, (E) 10 cm. 15) Il professor Victor tiene un corso a 10 studenti e all inizio di ogni lezione compila il foglio del presenze scrivendo presente oppure assente a fianco del nome di ciascuno studente. Quanti sono i possibili fogli delle presenze distinti? () 10, () , () 10 3, () 10, (E) ) ndrea percorre una strada rettilinea alla velocità costante di 6 km/h; Marco percorre a velocità costante una strada parallela a quella di ndrea, distante da essa 1 m, in direzione opposta. Tra le due strade si trova un palo che dista 3 m dalla strada su cui è ndrea. Sapendo che in ogni istante il palo è allineato con le posizioni di ndrea e Marco, a che velocità si sta muovendo Marco? () km/h, () 3km/h, () 1 km/h, () 18 km/h, (E) 0 km/h. 17) Quanti tra i numeri, 3, 5, 7 e 11 dividono ? () uno, () due, () tre, () quattro, (E) cinque. 18) isponendo quattro triangoli rettangoli identici come nella figura di sinistra l area del quadrato bianco è 17 m. isponendoli invece come nella figura di destra, l area del rombo bianco è 8 m. Quanto vale l area del quadrato? () 19 m, () 4 m, () 5 m, () 3 m, (E) 36 m. 19) laudio e Filippo hanno ciascuno una scacchiera con R righe e colonne e hanno P pedine ciascuno. laudio dispone tutte le sue pedine sulla propria scacchiera (ciascuna in una casella) in modo che 8 righe restino completamente vuote e ciascuna delle altre righe abbia esattamente 9 caselle vuote. Filippo dispone tutte le sue pedine sulla propria scacchiera (ciascuna in una casella) in modo che 1 righe restino completamente vuote e ciascuna delle altre righe abbia esattamente 6 caselle vuote. Quanto vale R? 0) lberto deve apparecchiare una tavola rotonda per sei persone e ha sei piatti bianchi eseipiattineriadisposizione. Perognipersonadevemettere uno e un solo piatto e può sceglierlo, arbitrariamente, di colore bianco oppure nero. Quanti modi distinti ha lberto di apparecchiare la tavola? (ue tavole apparecchiate che differiscono solo per una rotazione non sono da considerarsi distinte). () 1, () 13, () 14, () 16, (E) 18. 1) Qual è la sesta cifra decimale dopo la virgola del numero ? () 0, () 3, () 6, () 7, (E) 8. ) opo la scuola Francesco invita i suoi amici a casa sua per studiare e fare merenda edice: Sesaremoinpochistudieremobene;sesaremointantimangeremopoco. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vera secondo Francesco? () Se si è in pochi si mangia molto, () per studiare bene è necessario essere in pochi, () se si studia male non si è in pochi, () se si mangia poco si è necessariamente in tanti, (E) se si è in tanti si studia male. 3) ue triangoli equilateri hanno il baricentro in comune e l uno si ottiene dall altro con una rotazione di 30 gradi. L area della loro intersezione rappresentaunapercentuale dell area di uno dei triangoli che è: () compresa tra il 50% e il 60%, () compresa tra il 60% e il 70%, () compresa tra il 70% e l 80%, () compresa tra l 80% e il 90%, (E) compresa tra il 90% e il 100%. 4),, e sono quattro dei vertici di un cubo, come in figura, e il punto P è i l c e n t r o della faccia che ha come vertici, e. Il piano passante per, P e divide il cubo in due parti. Qual è il rapporto tra il volume della parte che contiene e quello della parte che contiene? () 1/, () 1, () 3/, (), (E) 3. 5) In una classe ci sono 9 alunni e uno di loro, ntonio, esce ogni giorno con un gruppo diverso di compagni di classe e ogni volta che esce ciascuno dei componenti del gruppo con cui si trova gli dà un Euro. Quanti Euro avrà guadagnato ntonio al termine di tutte le possibili scelte distinte di gruppi con cuiuscire? () 7 7, () 3 5 3, () 10, () 11, (E) 8 3. P () 3 4, () 1, () 4 3, () 5, (E). 4

3 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN MINISTERO ELL PULI ISTRUZIONE SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede--Soluzionitriennio 1 novembre 007 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E E Problema Risposta corretta Risoluzione dei problemi 1. La risposta è (). alcoliamo quante migliaia di Euro guadagna il calciatore in un ora: = = = Questo numero è strettamente maggiore di 1 estrettamenteminoredi1. Quindiinun orail guadagno del calciatore è strettamente maggiore di 500 Euro estrettamenteminoredi1000 Euro. Per guadagnare 1000 Euro occorre quindi un tempo compreso tra una e due ore.. La risposta è (). Indichiamo con p il valore comune del perimetro. I lati l 3 ed l 4 del triangolo equilatero e del quadrato valgono rispettivamente p/3 ep/4. i conseguenza, l 4 = p/4 l 3 p/3 = La risposta è (). Sia x il numero dei supplementi venduti. L incasso dovuto alla vendita dei supplementi è dato da 1, 50 x Euro mentre quello dovuto alla vendita dei giornali è di 333 0, 90 Euro = 99, 70 Euro. i conseguenza, 1, 50 x +99, 70 = 539, 70, da cui x =160. Ilnumerodisupplementi venduti è compreso tra 133 e 199 copie. 1

4 4. La risposta è (). Il prodotto di a e b è n e g a t i v o e d i c o n s e g u e n z aa e b hanno segno opposto; per semplicità supponiamo che a sia positivo e b negativo. a a + b>0segue a = a> b = b quindi il numero positivo ha valore assoluto (che concide con il numero stesso) maggiore del valore assoluto del numero negativo. lla stessa conclusione si arriva supponendo che a sia negativo e b sia positivo. 5. La risposta è (E) = = 3 ( ) = La risposta è (). L area dell esagono in questione si può ottenere per differenza tra l area del quadrato equelladeitriangolie e F. E F Siano EH e FK le altezze dei triangoli E e F uscenti dai vertici E ed F.Siha: F E = E F = 1 (EH + FK)= = 1 ( EF)=9m 3m =6m. Si osservi inoltre che il valore dell area dell esagono non cambia traslando orizzontalmente la posizione del segmento EF. Traslando in modo che il punto F si trovi sul lato icalcoli risultano semplificati. 7. La risposta è (). Paolo ha percorso 13 chilometri in 78 minuti, dinque la sua velocità (costante) è di metri 78 al minuto. La strada che ha percorso in 51 minuti è: m = m= m=8500m. i conseguenza, quando il vincitore ha tagliato il traguardo Paolo si trovava a ( ) m = 4500 m dal traguardo. 8. La risposta è (). Raccogliendo a fattor comune e semplificando: = 93 ( 8 +1) 78 ( 8 +1) =93 78 = La risposta è (). Sul pianeta Uru un anno è composto da = 476 giorni. La prossima Festa del Pianeta cadrà quando saranno trascorse un numero intero di settimane da oggi e sarà ancora il primo giorno dell anno. Ovvero quando sarà trascorso un numero di giornimultiplosiadi476(durata di un anno) che di 8 (durata di una settimana). Il più piccolo numero di giorni per cui questo è v e r o è i l m i n i m o c o m u n e m u l t i p l o t r a e 8, c i o è 9 5.

5 10. La risposta è (E). Il triangolo E è simile al triangolo. IlrapportotralelunghezzedeilatidiE edei lati corrispondenti di è 1 /3 quindi =9 E. Segue E = E = 8 E =40m 11. La risposta è (). Se ario fosse un cavaliere per quanto egli afferma anche ernardo sarebbe un cavaliere, ma l affermazione di ernardo non è compatibile con quella di ario. unque ario è un brigante. L affermazione di arlo allora è vera, quindi arlo è un cavaliere. L affermazione di ernardo non è compatibile con quella di arlo quindi ernardo è un brigante. Infine rturo afferma il vero e quindi è un cavaliere. Tra i quattro ci sono esattamente due cavalieri. 1. La risposta è (). Siano x il peso in grammi di un tubetto di dentifricio e p il prezzo del dentifricio al grammo prima della riduzione. Il prezzo di un tubetto prima della riduzione è dato da xp edopola riduzione è dato da (x 0)(1 + 0, 5)p. Sihaquindi:xp =(x 0)(1 + 0, 5)p, dacuix =100 grammi. 13. La risposta è (). Il numero 10 (007) 4 8(007) 3 +1(007) +71èpositivo, infatti10(007) 4 è c e r t a m e n t e maggiore di 8 (007) 3. Inoltre 007 = e quindi ciascuno dei primi tre addendi è un multiplo di 669. Il resto della divisione è dunque uguale al resto della divisione di 71 per 669, ovvero vale La risposta è (). Indichiamo con R il raggio da determinare e con r il raggio dei quattro cerchi allineati lungo il diametro del cerchio grande. Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo O si ha: O + O =,cioèr +(4r R) =(R+r),dacuisiricavaR = 8 5 r. Infine, poiché r è u n q u a r t o d e l r a g g i o d e l c e r c h i o g r a n d e r, =5 c i o è cm, si deduce che R è 8 c m. O 15. La risposta è (). Immaginiamo che il professor Victor compili il foglio delle presenze scrivendo nella casella di ciascuno studente 1 in caso di presenza e 0 in caso di assenza. Questo mostra che il problema è equivalente a contare tutte le possibili sequenze ordinate (distinte) di dieci elementi, formate da 0 e 1. Il numero di queste sequenze è dato dal prodotto del numero dei possibili valori del primo elemento per il numero dei possibili valori del secondo elemento e così via fino al numero dei possibili valori del decimo elemento, ovvero da moltiplicatopersestesso10 volte, ovvero da 10. lternativamente, per chi ha familiarità con la rappresentazione binaria dei numeri, questo equivale a contare i numeri naturali distinti che si possono rappresentare con 10 cifre in base due. Sono rappresentabili tutti i numeri da 0 a = 10 1, ovvero 10 numeri. 3

6 16. La risposta è (). Indichiamo con e con M le posizioni in cui si trovano ndrea e Marco in un dato istante. Sia O la posizione del palo. Nel tempo in cui ndrea percorre il tratto H Marco percorre il tratto MK. I triangoli OH e MOK sono simili e OK =3OH. QuindiMK =3H. Quindinello stesso intervallo di tempo Marco percorre una distanza tripla di quella percorsa da ndrea; la sua velocità sarà quindi il triplo di quelladi ndrea ovvero sarà di 18 km/h. H O K M 17. La risposta è (). Utilizziamo i prodotti notevoli per scomporre : =( )( )(371 41) = ( )( ) 330. Si vede facilmente che 330 = quindi almeno quattro dei numeri proposti sono divisori di Restadaverificareseanche7 è u n d i v i s o r e d i Osserviamoche371=53 7quindisia( )che(371+41) sono divisibili per 7 se e solo se 41 è divisibile per 7, il che non è vero. Quindi soltanto quattro dei numeri proposti dividono La risposta è (). L area del rombo bianco è quattro volte l area del triangolo rettangolo. L areadelquadrato è uguale all area del quadrato bianco più quattro area volte del triagolo l rettangolo, cioè è uguale alla somma dell area del quadrato bianco e del rombobiancoequindivale17+8= 5 m. 19. La risposta è (). Secondo la disposizione di laudio la zona occupata dalle pedine è equivalente a un rettangolo di R 8righeper 9colonne;perequivalente intendiamo a meno di traslazioni orizontali (cioè sulla stessa riga) delle pedine. Secondo la disposizione di Filippo, lo stesso numero P di pedine è equivalente a un rettangolo di R 1 righe per 6colonne.Quindi R R! 8 8! 9 9 R R! 1 1! 6 6 P =(R 8)( 9) = (R 1)( 6) laudio Filippo da cui 3R =4 e /R =3/4. 0. La risposta è (). lassifichiamo le possibili configurazioni in base al numero di piatti neri che ne fanno parte: 0piattineri: ipiattisonotuttibianchiquindièpossibileunasolaconfigurazione. 1piattonero: ci sono 6 posizioni possibili per il piatto nero ma danno luogo asituazioni equivalenti a meno di una rotazione. nche in questo caso contiamo soltanto una configurazione possibile. piattineri: l unico elemento distintivo tra due configurazioni con piatti neri è la posizione reciproca dei due piatti. i sono infatti 3 possibilità: possono essere adiacenti oppure avere uno oduepiattibianchitradiloro. Noncisonoaltreconfigurazioni possibili; infatti se tra il primo ed il secondo piatto nero troviamo 3 (o 4) piatti bianchi, proseguendo ancora ritroveremo il primo piatto nero dopo soltanto 1 (o 0) piatti bianchi, ovvero ricadiamo in situazioni già considerate. on piatti neri si contano quindi tre configurazioni distinte. 4

7 3 piatti neri: itrepiattineripossonooccupare3posizioniconsecutiveoppure possono essere alternati a piatti bianchi. Va prestata attenzione al casoincuipiattineri(manon 3) occupano posizioni consecutive: per il terzo piatto esistono infatti possibilità che portano asituazionispecularimanonidentificabilimedianterotazioni. on 3 piatti neri si hanno in tutto quattro configurazioni distinte. 4, 5 o 6 piatti neri: sono situazioni rispettivamente equivalenti a quelle già esaminate nel caso di, 1 o nessun piatto nero. Infatti si possono ottenere da queste semplicemente scambiando il colore dei piatti. anno luogo rispettivamente a 3, 1, 1 configurazioni distinte. omplessivamente si sono contate = 14 configurazioni non equivalenti. 1. La risposta è () è i n t e r o q u i n d i 7 / ha soltanto 5 cifre decimali diverse da zero. La sesta cifra decimale della frazione coincide quindi con la sesta cifra decimale di 3/10 5,ovveroconlaprimacifra decimale di 3=1, 73...,cioè7.. La risposta è (). In base alla prima affermazione di Francesco se si è in pochi si studianecessariamentebenee quindi le due cose: studiare male e essere in pochi sono incompatibili. llora se la prima di queste due cose risulta verificata, non può esserlo la seconda. Esaminiamo le altre affermazioni: e non sono necessariamente vere perché la seconda affermazione di Francesco non esclude che si mangi poco in ogni caso. ed E non sono necessariamente vere: la prima affermazione di Francesco non esclude che si possa studiare bene in ogni caso. 3. La risposta è (). Iduetriangoliinquestionesonoinscrittiinunastessacirconferenza. Indichiamo con r il raggio e con O il centro di tale circonferenza. L area della loro intersezione è pari all area del triangolo meno tre volte l area di LK. Quest ultima è d a t a d a 1 3 K KL = K dato che il triangolo LK è simile a H. Poiché è inscritto in una circonferenza di raggio r, H = 3r, OH = HK = r, H = 3 r, = H H = r,dacuik = H HK =( F 3 1) r. Quindi LK =( 3 1) 3 8 r e O H K E L 3 LK = r ( 3 1) 3 = ( 3 1) 3 4 r = 3. i conseguenza l area dell intersezione è il 100(1 ( 3))%, ovvero il 100( 3 1)%, dell area 5

8 del triangolo. Poiché 3 1ècompresotra0, 7e0, 8, l area considerata è compresa tra il 70 % e l 80 % dell area del triangolo. 4. La risposta è (). F P E Il piano in questione contiene il segmento P,diconseguenzacontieneancheilsuoprolungamento E, ovverocoindiceconilpianochecontieneiltriangoloe, ovverocontieneil quadrilatero EF e quindi divide il cubo in due parti uguali. 5. La risposta è (). Rappresentiamo ogni possibile gruppo di alunni con cui esce ntonio con una sequenza ordinata di otto caratteri ciascuno scelto tra 0 e 1, utilizzando 1 se l alunno fa parte del gruppo, 0 se non ne fa parte. d esempio, con indicheremo ilgruppoformatodantonio edaglialunni1,,4.igruppipossibilisono 8 entonioguadagnerà1europerognicarattere 1 presente in ciascuna delle 8 possibili rappresentazioni. I caratteri 1 si possono contare facilmente nel modo seguente: scriviamo la lista delle possibili sequenze ordinandole in senso crescente. Questo vuol dire vedere una sequenza come un numero (ad esempio è il numero 1, mentre è il numero 101) e scrivere le sequenze dalla più piccola, che è alla più grande fianco riportiamo di nuovo la stessa lista in ordine inverso: Si nota che in ciascuna riga ci sono esattamente 8 1. Il numero totale di 1 che abbiamo scritto è dunque 8 volte il numero di righe: 8 8 = 11 ed è esattamente il doppio del valore cercato, dato che abbiamo scritto volte la lista. ntonio guadagnerà quindi 10 euro. 6