Dr. Marco Vicentini Anno Accademico Rev 30/03/2011

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1 Università degli Studi di Padova Facoltà di Psicologia, L4, Psicometria, Modulo B Dr. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Anno Accademico Rev 30/03/2011

2 Statistica descrittiva e inferenziale Costruzione di una tabella di frequenza Per variabili categoriali Per variabili ordinali Per variabili cardinali Rappresentazione grafica Per variabili categoriali Per variabili ordinali Per variabili cardinali 3-2

3 Statistica descrittiva Statistica inferenziale 4-3

4 Statistica descrittiva: riassumere e presentare graficamente i grandi masse di dati ( semplificazione ). Statistica inferenziale: fare inferenze su una popolazione sulla base delle informazioni contenute in un campione e fornire una misura della bontà delle inferenze ( interpretazione ). 4-4

5 Statistica monovariata: risponde a domande relative ad una singola variabile. Statistica multivariata: considera la relazione fra due variabili (nel qual caso si parla di statistica bivariata) o più. 4-5

6 4-6

7 Nella matrice caso per variabile (C V) ogni vettore colonna, ossia ogni variabile, contiene la distribuzione unitaria del collettivo su una determinata proprietà (Leti, 1983), ovvero l insieme delle coppie caso modalità assunta dalla variabile. 4-7

8 L informazione contenuta in ciascuna colonna della matrice C V è molto analitica e quindi di difficile lettura. Per ottenere una sintesi di questi dati, dunque, si passa dalla distribuzione unitaria alla distribuzione semplice di frequenze. 4-8

9 La distribuzione semplice di frequenze è un modo di organizzazione dei dati che affianca ad ogni modalità della variabile la frequenza con cui essa si è manifestata nel collettivo. In questo modo operiamo una compressione dei dati. Da un insieme N di valori, in cui N è l ampiezza del collettivo, passiamo ad un insieme K di valori, dove K è il numero delle modalità. 4-9

10 In altri termini, la distribuzione di frequenze è una funzione che, a ogni classe di equivalenza ([x]), associa il numero che rappresenta la cardinalità della classe (ξ), ossia il numero degli elementi contenuti nella classe: [x] ξ = f([x]) 4-10

11 A seconda del tipo di variabile la distribuzione di frequenze assume nomi diversi: Serie sconnessa di frequenze variabile categoriale Serie ordinata di frequenze variabile ordinale Seriazione di frequenze variabile cardinale 4-11

12 Le tabelle possono essere dei seguenti tipi: Tabella semplice: i dati sono classificati secondo le modalità di una sola variabile. Tabelle a doppia entrata (tabelle di contingenza): i dati sono classificati contemporaneamente secondo le modalità di due variabili. Tabelle ad entrata plurima: i dati sono classificati secondo le modalità di più di due variabili. 4-12

13 Le tabelle di frequenze assolute riportano la frequenza assoluta con cui ogni modalità si presenta nel collettivo. La somma delle frequenze assolute delle modalità è uguale alla numerosità del collettivo: 4-13

14 K! k=1 n k = N dove k rappresenta una generica modalità, K indica il numero delle modalità della variabile e N è l ampiezza del collettivo 4-14

15 Per confrontare due variabili dobbiamo eliminare l effetto dell ampiezza del collettivo, senza alterare il peso relativo di ciascuna modalità nelle due distribuzioni. A tal fine utilizziamo le tabelle di frequenze relative, o rapporti di composizione, laddove le frequenze relative si calcolano dividendo ciascuna frequenza assoluta per il numero complessivo dei casi. 4-15

16 Le frequenze relative, o proporzioni, sono date dal rapporto tra le frequenze assolute di ciascuna modalità e la numerosità del collettivo: f k = n k N 4-16

17 Per le frequenze relative vale la seguente proprietà: K f k = 1 k =

18 In alternativa, le frequenze percentuali, o semplicemente percentuali, vengono ottenute moltiplicando per 100 le frequenze relative: q = 100 f k k 4-18

19 4-19

20 La frequenza assoluta di una modalità è il numero naturale di unità statistiche che presentano tale modalità. La generica frequenza assoluta associata alla modalità i si indica con il simbolo f i Ad esempio: f 2 = 5 significa che 5 unità statistiche presentano la seconda modalità della variabile considerata. 4-20

21 Si definisce come frequenza cumulata assoluta di una modalità la somma delle frequenze assolute delle modalità precedenti alla modalità data più la frequenza assoluta della modalità data. La generica frequenza assoluta cumulata associata alla modalità i si indica con il simbolo F i Ad esempio: F 2 = 7 significa che 7 unità statistiche presentano una modalità inferiore o uguale alla seconda modalità delle variabile considerata. 4-21

22 La frequenza relativa di una modalità è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di tale modalità e il numero totale di unità statistiche osservate. La generica frequenza relativa associata alla modalità i si indica con il simbolo p i. Essa può assumere (solo) valori compresi tra 0 e 1. Ad esempio: p 2 = 0.25 significa che un quarto delle unità statistiche presentano la seconda modalità della variabile considerata o equivalentemente che il 25% delle unità statistiche possiedono tale modalità. 4-22

23 La frequenza cumulata relativa di una modalità è data dalla somma delle frequenze relative delle modalità precedenti alla modalità data più la frequenza relativa della modalità data. La generica frequenza cumulate relativa associata alla modalità i si indica con il simbolo P i. Essa può assumere valori compresi tra 0 e 1. Ad esempio: P 2 = 0.75 significa che tre quarti delle unità statistiche presentano una modalità inferiore o uguale alla seconda modalità della variabile considerata. Si può anche dire che il 75% delle unità statistiche presenta una modalità inferiore o uguale alla modalità data. 4-23

24 Si supponga di aver rilevato i valori relativi alla variabile X su una popolazione di n unità statistiche. Si supponga inoltre che la variabile X sia costituita da k modalità ordinate. 4-24

25 Relativamente alla generica modalità i, per i che varia tra 1 e k, avremo che: f i = numero di unità statistiche che presentano la modalità i F i = " j!i f j p i = f i n P i = " j!i p j 4-25

26 Naturalmente avremo che: La frequenza cumulata assoluta associata alla modalità maggiore è pari al numero totale delle unità statistiche: F = f = f + f f = n k j 1 2 k j k 4-26

27 La frequenza cumulata relativa associata alla modalità maggiore è pari a 1. P = p = p + p p = k j 1 2 k j k f f f f + f +... f n n n n n = = 1 n 1 2 k 1 2 k = = = 4-27

28 Supponiamo di aver rilevato il peso (X) di 20 studenti universitari: X = { 80, 82, 75, 60, 75, 75, 90, 92, 100, 74, 68, 77, 80, 82, 60, 90, 90, 100, 62, 100} Rappresentare i dati raccolti in forma aggregata evidenziando le frequenze assolute e relative semplici e le frequenze assolute e relative cumulate. 4-28

29 X i peso in Kg f i frequenze assolute F i frequenze cumulate assolute p i frequenze relative P i frequenze cumulate relative

30 X i peso in Kg f i frequenze assolute F i frequenze cumulate assolute p i frequenze relative P i frequenze cumulate relative

31 È possibile creare delle classi di dimensioni omogenee per disporre di una tabella con un numero inferiore di elementi: X i peso in Kg [intervallo] f i frequenze assolute F i frequenze cumulate assolute p i frequenze relative P i frequenze cumulate relative

32 4-32

33 Variabile categoriale Serie sconnessa di frequenze 4-33

34 Consideriamo la variabile affiliazione politica per un campione di N = 1000 elettori americani. Modalità della variabile Repubblicani Indipendenti Democratici Numero dei casi

35 Consideriamo la variabile disturbi dell umore secondo il DSM-IV per un campione di N = 55 pazienti, ciascuno dei quali viene classificato in una sola casella della tabella semplice (frequenze assolute): 4-35

36 Modalità della variabile Frequenza Disturbi Depressivi ("depressione unipolare") 220 Disturbi Bipolari 130 Dovuto ad una Condizione Medica Generale 40 Disturbo dell'umore Indotto da Sostanze. 160 Totale

37 Gli stessi dati della tabella precedente vengono ora classificati in una tabella di contingenza disturbo dell umore sesso (frequenze assolute): Modalità della variabile M F Totale Disturbi Depressivi ("depressione unipolare") Disturbi Bipolari Dovuto ad una Condizione Medica Generale Disturbo dell'umore Indotto da Sostanze Totali Per approfondimenti vedere Descrittive bivariate In particolar modo la sezione relativa alla indipendenza tra due variabili. 4-37

38 Gli stessi dati della tabella precedente vengono ora classificati in una tabella di contingenza disturbo dell umore sesso (frequenze relative). Modalità della variabile M F Totale Disturbi Depressivi ("depressione unipolare") Disturbi Bipolari Dovuto ad una Condizione Medica Generale Disturbo dell'umore Indotto da Sostanze Totali % Tale tabella si ottiene dividendo ciascun valore presente nella tabella precedente per N. 4-38

39 Variabile ordinale Serie ordinata di frequenze 4-39

40 Quando le variabili sono ordinali la distribuzione di frequenze viene detta serie ordinata. Se a fianco di ogni modalità riportiamo il numero di casi che rientrano nella modalità stessa o in quelle inferiori, otteniamo le frequenze cumulate. La risultante distribuzione si chiamerà distribuzione cumulativa di frequenze. 4-40

41 Le frequenze assolute cumulate (n k ), le frequenze relative cumulate (f k ) e le frequenze percentuali cumulate (q k ) saranno date da: n k = n n k f k = f f k q k = q q k 4-41

42 Supponiamo che 310 pazienti siano stati classificati in base alla gravità dei disturbi d ansia esibiti. Nella tabella sono riportate le frequenze assolute (n), relative (f) e percentuali (q) con le rispettive frequenze cumulate. 4-42

43 Disturbi n n' f f' q q' d'ansia Non ,516 0,516 51,6 51,6 presente Lieve ,258 0, ,8 077,4 Moderato ,097 0,871 9,7 87,1 Grave ,129 1,000 12,9 100,0 Totale 310 1, ,0 4-43

44 Variabile cardinale Seriazione di frequenze 4-44

45 Il termine seriazione indica la distribuzione di frequenze di variabili cardinali. In questo caso è necessario raggruppare i dati in classi. Ogni classe è individuata dal valore minimo e massimo in essa inclusi, ossia attraverso i suoi limiti. 4-45

46 Si distingue tra i limiti reali e i limiti espressi. Se leggiamo sulla tabella gli intervalli e 20 30, per esempio, ci possiamo chiedere dove viene collocata l osservazione uguale a 20. Per rispondere a questa domanda dobbiamo distinguere tra limiti espressi e limiti reali. 4-46

47 I limiti riportati sulla tabella sono detti limiti espressi. Per raggruppare i dati non si usano i limiti espressi ma bensì i limiti reali. I limiti reali si calcolano aggiungendo una costante (ad esempio 0,5) al limite tabulato superiore e sottraendo la medesima costante al limite tabulato inferiore. Limiti reali: [x i - 0,5, x i+1 + 0,5] 4-47

48 Nel caso precedente avremo: Limiti espressi Limiti reali ,5 20, ,5 30,5 il caso 20 si colloca dunque nella prima classe. 4-48

49 Se le osservazioni sono codificate con la precisione di un decimale, il valore usato per calcolare i limiti reali delle classi sarà 0,05: Limiti espressi Limiti reali ,95 20, ,05 29,

50 I limiti reali delle classi devono avere un livello di precisione superiore a quello dei dati, in modo tale da evitare l ambiguità per cui un osservazione assume esattamente il valore che specifica il limite reale di una classe. La scelta dei limiti delle classi non è un operazione neutra in quanto determina l andamento che assumerà la seriazione. Le seriazioni cambiano notevolmente a seconda del numero di classi considerate e del modo in cui vengono individuati i limiti delle classi. 4-50

51 statistica descrittiva/inferenziale statistica monovariata/multivariata distribuzione di una variabile distribuzione semplice di frequenze serie sconnessa di frequenze serie ordinata di frequenze seriazione di frequenze 4-51

52 tabella semplice tabella a doppia entrata tabelle ad entrata plurima frequenze assolute/relative/percentuali serie ordinata frequenze cumulate distribuzione cumulativa di frequenze limiti reali / limiti espressi 4-52

53 Si trovi il valore dell altezza di 20 studenti. Si costruisca una tabella che riporta la distribuzione di queste altezze (utilizzando 4 classi di eguale ampiezza). Si riportino le frequenze assolute, relative e percentuali, insieme alle rispettive frequenze cumulate. Si indichi, inoltre, quali sono i limiti reali e i limiti espressi delle classi. 4-53

54 Con i dati dell esercizio precedente, si costruisca una tabella di frequenze relative utilizzando due criteri di classificazione: altezza sesso. 4-54

55 4-55

56 Per sintetizzare e cogliere meglio l informazione contenuta in una distribuzione di frequenze si possono utilizzare delle rappresentazioni grafiche. Per ogni tipo di variabile esistono diversi formati grafici. 4-56

57 Diagramma a barre Diagramma a torta 4-57

58 Per le serie sconnesse di frequenze i grafici più utilizzati sono il diagramma a barre e il diagramma a torta. Nei grafici possono essere riportate le frequenze assolute, quelle relative o quelle percentuali. 4-58

59 Nel diagramma a barre le modalità della variabile sono rappresentate da rettangoli aventi tutti la stessa base e una altezza proporzionale alla frequenza con cui la modalità si è manifestata nel collettivo. 4-59

60 Nel diagramma a torta vengono riportati tanti settori quante sono le modalità e l area di ciascun settore è proporzionale alla frequenza della modalità corrispondente. Il diagramma a torta ha il vantaggio di non indurre il lettore ad intravedere tra le modalità un ordine da destra a sinistra. 4-60

61 Diagramma a barre Disturbi depressivi Disturbi bipolari Dovuto ad una condiziome medica Disturbo dell'umore indotto da sostanze 4-61

62 Diagramma a torta Disturbi 10% 9% Disturbi depressivi Disturbi bipolari 23% 58% Dovuto ad una condiziome medica Disturbo dell'umore indotto da sostanze 4-62

63 n Istogramma n Spezzata a gradini 4-63

64 La rappresentazione grafica di una serie ordinata di frequenze avviene solitamente attraverso un istogramma. Un istogramma differisce da un diagramma a barre per il fatto che in esso i rettangoli sono accostati uno all altro, senza spazi intermedi, per sottolineare la contiguità fra le categorie, cosa che ha senso solo quando queste presentano un ordine. 4-64

65 Attraverso l istogramma possiamo rappresentare frequenze assolute, relative o percentuali. La rappresentazione grafica delle frequenze cumulate viene chiamata spezzata a gradini. Nella spezzata a gradini sull asse delle ascisse vengono riportate le diverse modalità della variabile, sull asse delle ordinate le frequenze cumulate (assolute, relative o percentuali). 4-65

66 Grado di istruzione della popolazione italiana nel Titolo di studio q q' Nessun titolo, elementare 37,8 37,8 Media inferiore 35,2 73,0 Media superiore 20,9 93,9 Laurea 6,1 100,0 Totale 100,0 4-66

67 Elementari Medie Superiori Laurea 5 0 Titolo di studio 4-67

68 Titolo di studio Elementari Medie Superiori Laurea 4-68

69 n Istogramma n Poligonale di frequenze 4-69

70 La rappresentazione grafica di una seriazione di frequenze avviene anch essa attraverso un istogramma, in questo caso però (i) la base dei rettangoli è proporzionale all ampiezza della classe, (ii) l altezza non rappresenta le frequenze, bensì le densità di frequenza. 4-70

71 La densità di frequenza (d k ) di una generica modalità è data dal seguente rapporto: d = k n a k k dove a k rappresenta l ampiezza della k-esima classe. 4-71

72 Per calcolare l ampiezza di una classe (a k ) è sufficiente fare la differenza tra il limite superiore e il limite inferiore e aggiungervi un unità. Per esempio, l ampiezza della classe è: =

73 Quello che viene rappresentato sull asse delle ordinate è la densità di frequenza (ovvero, il numero di osservazioni per ogni sottoclasse di ampiezza unitaria), mentre la frequenza della classe è rappresentata dall area del rettangolo. 4-73

74 Classi di età per una regione nel Seriazione in tre classi. Classi d'età n a d , , ,29 Totale

75 anni 4-75

76 Talvolta all istogramma si preferisce la poligonale di frequenze che si ottiene, a partire dall istogramma, congiungendo con una spezzata i valori centrali delle basi superiori di ciascuna classe. 4-76

77 Quando il collettivo è molto ampio e le classi hanno un ampiezza molto piccola la poligonale tende ad assumere l aspetto di una curva continua. In questi casi, le funzioni (teoriche) di probabilità (rappresentabili mediante curve continue) vengono utilizzate come modelli teorici per descrivere le distribuzioni empiriche. 4-77

78 Una funzione teorica molto usata a questi fini è la curva normale, o gaussiana. dnorm(x) z 4-78

79 Anche nel caso delle variabili cardinali è possibile dare una rappresentazione delle frequenze cumulative mediante una poligonale, che in questo caso prende il nome di ogiva. Uno dei modelli teorici di riferimento in questo caso è la funzione cumulativa della curva normale. 4-79

80 pnorm(x) z 4-80

81 diagramma a barre / a torta istogramma spezzata a gradini densità di frequenza poligonale di frequenze ogiva 4-81

82 Esercizio 4.3 Utilizzando le quattro classi d altezza individuate per i dati dell esercizio 4.1, si crei una tabella che riporta l ampiezza delle classi e la densità di frequenza. Utilizzando queste informazioni, si disegni una poligonale di frequenze e un ogiva. 4-82