1 Grandezze Fisiche. Dimensioni. Unità di Misura 2.

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE - Corso di Laurea in Matematica Appunti per il corso di Laboratorio di Fisica 1 - A.A , estratti dagli appunti del Prof. Roberto Falciani e del Prof. Andrea Stefanini 1, con varie riduzioni e poche modifiche e aggiunte di Paolo Maurenzig (ed.16-2, corr ). 1 Grandezze Fisiche. Dimensioni. Unità di Misura 2. Per poter misurare una grandezza fisica occorre definire il metodo di misura e la relativa unità di misura, e poiché le grandezze che entrano in gioco nella Fisica sono un numero molto grande, si potrebbe presentare la necessità di definire e di avere a disposizione un numero molto grande di unità di misura. Questo naturalmente non è né comodo né facile; basti pensare che bisognerebbe creare un adeguato numero di campioni per le varie grandezze, che dovrebbero essere universalmente accettati. E possibile invece definire Figura 1: alcune grandezze (fondamentali) dalle quali poi poter dedurre tutte le altre. Avendo già definito come unità di misura delle lunghezze il metro [...] e volendo misurare l area di una superficie S (v. Fig. 1), al momento di scegliere l unità di misura più adatta bisognerà scegliere un materiale malleabile, in modo da poterlo ridurre a forma bidimensionale e poterlo così facilmente ed in modo riproducibile sovrapporre alla superficie da misurare. Per non introdurre complicazioni basta assumere come unità di misura l area di un quadrato Q avente per lato l unità di lunghezza. In questo modo l unità di misura per le aree è univocamente determinata, non solo, ma è definita in funzione dell unità di misura delle lunghezze; basta quindi fissare quest ultima perché anche l unità per le aree resti definita. In questo caso la grandezza fondamentale è la lunghezza e quella derivata è la superficie. Notiamo che con questa definizione per l unità di misura per la superficie, l area A di un quadrato di lato l si esprime attraverso la formula A = l 2. Un ragionamento analogo può essere fatto per il volume; si arriva allora a definire come unità di misura il volume di un cubo avente per spigolo l unità di lunghezza. Il volume quindi è un altra grandezza derivata dalla lunghezza. Si può procedere in maniera analoga per tutte le altre grandezze fisiche: alla fine si vede (e lo controlleremo durante il nostro studio per tutte le grandezze fisiche che incontreremo) che tutte le misure delle grandezze fisiche della meccanica si possono esprimere come combinazione di misure di tre sole grandezze fondamentali: lunghezza, massa, intervallo di tempo (o semplicemente tempo). Ciò significa che ogni grandezza fisica della meccanica può essere espressa tramite queste tre grandezze fondamentali, o, per meglio dire, da una 1 (Le dispense sono divise in 5 fascicoli, indicati con Ap1-5 nel seguito. Il segno [...]indica argomenti trattati piú ampiamente in Ap1-5) 2 da Ap1: Misure in Fisica, equazioni dimensionali e sistemi di unità di misura: 1.4 e 1.6 1

2 relazione nella quale compaiono solamente le grandezze fondamentali. [...] Nel caso della superficie abbiamo visto che la misura si ottiene come prodotto di due misure di lunghezza, cioè in formule [ S ] = [ l l ] = [ l 2 ] (1) che si legge: la superficie ha le dimensioni del quadrato di una lunghezza. Nella (1) si è adottata la convenzione per cui porre una grandezza fra parentesi quadra significa scriverne le dimensioni relativamente alle grandezze fondamentali. Espressioni come la (1) si chiamano equazioni dimensionali e la (1) è l equazione dimensionale della superficie. Nella (1) non compaiono la massa ed il tempo; ciò significa che la superficie è una grandezza fisica indipendente dalla massa e dal tempo. Infatti nell operazione di misura di una superficie non intervengono misure di tempo e di massa. Volendo mettere in evidenza l indipendenza di una grandezza fisica da una grandezza fondamentale, si pone nell equazione dimensionale la grandezza fondamentale, da cui la grandezza fisica che si sta considerando non dipende, elevata ad esponente zero; nel caso della superficie Per il volume avremo evidentemente [ S ] = [ l 2 m 0 t 0 ] [ V ] = [ l 3 ] = [ l 3 m 0 t 0 ] (2) Vediamo adesso quali sono le dimensioni della velocità [...]. In questo contesto a noi basta definire come velocità media il rapporto fra lo spazio s percorso da un corpo sulla propria traiettoria ed il tempo t impiegato a percorrere questo spazio, in formule Le dimensioni della velocità saranno v m = s t [ v ] = [ s ] / [ t ] = [ l t 1 ] (3) cioè una lunghezza diviso un tempo, indipendentemente dalla massa. L accelerazione media di un corpo mobile [...] può essere definita come il rapporto fra la variazione di velocità ( v) del corpo e il tempo ( t) durante il quale avviene questa variazione a m = v t [ a ] = [ v ] / [ t ] = [ l t 1 t 1 ] = [ l t 2 ] (4) Dalla (4) si ha che le dimensioni dell accelerazione sono una lunghezza diviso un tempo al quadrato, indipendentemente dalla massa. 2

3 L aver assunto quali grandezze fondamentali indipendenti la lunghezza, la massa ed il tempo, comporta la definizione di tre unità di misura fondamentali. La scelta pratica di queste tre unità di misura fondamentali definisce il sistema di unità di misura nel quale decidiamo di operare. Il SISTEMA INTERNAZIONALE rappresenta la razionalizzazione e l aggiornamento tecnologico del sistema MKS, deciso nelle periodiche Conferenze Generali di Pesi e Misure (CGPM) e adottato da quasi tutte le nazioni. Le grandezze fondamentali assunte, per quanto ci interessa, sono: la massa(chilogrammo), il tempo(secondo), la lunghezza(metro), l intensità di corrente elettrica(ampere), la temperatura termodinamica assoluta(kelvin). 2 Misura di una grandezza fisica 3 (media, varianza, deviazione standard) Supponiamo di ripetere N volte la misura di una grandezza x. La prima cosa di cui ci dobbiamo rendere conto é che, di norma, non troveremo sempre lo stesso valore. Allora dobbiamo trovare dei metodi adeguati per registrare un gran numero di valori misurati e per metterne in evidenza le caratteristiche. Supponiamo ad es. di aver realizzato 10 misure della lunghezza di una sbarretta metallica, utilizzando un calibro decimale (v. App.E1), e di aver ottenuto i seguenti valori x i (in cm): 11.35, 11.33, 11.34, 11.35, 11.36, 11.34, 11.34, 11.36, 11.37, Il modo migliore e più significativo per rappresentare la grandezza misurata è quasi certamente la media aritmetica x dei valori misurati, data da Ni=1 x 10 i x = = i=1 x i = cm (5) N 10 Per meglio trattare i nostri dati potremmo riordinarli in ordine crescente ed associare ad ogni valore misurato il numero delle volte in cui lo si è ottenuto. Indichiamo con x k i diversi valori misurati e con n k il numero delle volte che il valore x k è stato ottenuto. Potremo quindi costruire la tabella sotto riportata. k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 x k (cm) n k La media può anche essere espressa nella forma 5k=1 x k n k x = N dove la sommatoria è estesa ai diversi valori di x misurati. La sommatoria 5 k=1 x k n k viene anche detta somma pesata in quanto ciascun valore x k viene pesato tramite il numero di volte di occorrenza n k. Notiamo che la frazione F k = n k N 3 da Ap5: Analisi statistica degli errori accidentali: 1 3

4 rappresenta la frequenza con cui si è ottenuto il risultato x k nelle nostre N misure. Potremo ora scrivere 5 x = x k F k k=1 e quindi la media è proprio la media pesata di tutti i diversi valori x k misurati. Notiamo inoltre che 5 F k = 1 k=1 ovvero gli F k costituiscono un insieme normalizzato e la relazione precedente viene detta condizione di normalizzazione. La distribuzione delle nostre misure può essere evidenziata graficamente in un istogramma a barre, ovvero in un grafico in cui in ascissa sono riportati i diversi valori x k misurati ed in ordinata le corrispondenti frazioni F k (vedi Fig.2a); in tale rappresentazione la distribuzione dei risultati è manifestata dall andamento dell altezza delle barre verticali. La sola media x non è sufficiente a caratterizzare la distribuzione delle nostre misure. Infatti una distribuzione del tipo di quella mostrata in Fig.2b è caratterizzata dalla stessa media di quella di Fig.2a ma è chiaro che le due distribuzioni sono alquanto diverse tra Figura 2: loro. Dovremo quindi introdurre un nuovo parametro che permetta di caratterizzare come le misure x i si distribuiscono intorno al valor medio, cioè di stimare la loro incertezza media. Consideriamo innanzitutto la differenza x i x = d i, detta deviazione della singola misura. Tanto minori in valore assoluto saranno le deviazioni quanto più vicine tra loro saranno le misure. Le deviazioni assumeranno valori positivi o negativi, come conseguenza della nostra definizione di x, e potremo pensare di stimare l incertezza nelle nostre misure facendo una media delle deviazioni, ottenendo d = N i=1 (x i x) N = N i=1 x N i N x N = x x N N = 0 cm i=1 Tale risultato è conseguenza diretta della definizione di media aritmetica ed è indipendente dai valori delle x i. La deviazione media non può quindi dare nessuna informazione 4

5 sulla distribuzione delle nostre misure. Potremo allora prendere in considerazione i quadrati delle deviazioni, che sono sempre positivi, e mediare su tali valori. Si ha allora σ 2 x = Ni=1 (x i x) 2 N = x 2 x 2 (6) La grandezza σx 2 si chiama varianza del campione e, se prendiamo la sua radice quadrata, otteniamo una grandezza avente le stesse dimensioni di x che viene chiamata deviazione standard del campione ed è indicata da σ x Ni=1 d 2 i σ x = = N Ni=1 (x i x) 2 Per le due distribuzioni di Fig.2 la deviazione standard è N (7) caso a) σ x = cm, caso b) σ x = cm Si vede quindi che la distribuzione del caso b), in cui le misure sono più concentrate nell intorno del valore medio, è caratterizzata da una σ x minore. Una trattazione più rigorosa (come fatta nella statistica matematica) suggerisce di sostituire N con N 1 nell espressione della varianza ottenendo così Ni=1 σx c (x i x) = 2 (8) N 1 Questa sostituzione è essenzialmente dovuta al fatto che degli N gradi di libertà contenuti nelle N misure indipendenti di x uno è stato utilizzato per determinare il valor medio x; ne restano quindi N 1 a disposizione per la stima della varianza. D altra parte la sostituzione ci permette di superare un incongruenza della (7). Infatti supponiamo di aver eseguito una sola misura di x e di aver ottenuto il valore x 1 ; evidentemente sarà x = x 1. Se calcoliamo la deviazione standard con la (7) otteniamo σ x = 0 ovvero un risultato assurdo. Valutando invece la deviazione standard con la (8) otteniamo un risultato indeterminato, in quanto rapporto tra due valori nulli, che è coerente con il fatto che avendo a disposizione una sola misura è impossibile determinare due parametri indipendenti tra loro, quali la media e la deviazione standard. Discuteremo successivamente in maniera più rigorosa il significato della scelta della deviazione standard come parametro che caratterizza la precisione delle nostre misure. Le misure delle grandezze fisiche sono in generale caratterizzate da uno spettro continuo di valori possibili. Quindi se avessimo realizzato le precedenti misure utilizzando un calibro con una sensibilità di cm anziché 0.01 cm le nostre 10 misure si sarebbero distribuite nell intervallo tra 11.3 e 11.4 cm dando luogo ad un istogramma a barre del tipo di quello riportato in Fig.3, dove l altezza delle barre non è più sufficiente a caratterizzare la distribuzione. In questo caso risulta più utile dividere la regione su cui si 5

6 distribuiscono i valori misurati in intervalli o classi e contare quanti valori cadono in ciascun intervallo. I risultati così ottenuti possono essere riportati in grafico (vedi Fig.4) ottenendo il cosidetto istogramma ad intervalli, in cui la frazione di misure che cadono in ciascun intervallo è data dall area del rettangolo disegnato su ogni intervallo, ovvero f k k = frazione delle misure nell intervallo k esimo In via di principio i k potrebbero essere anche diversi tra loro, in quanto la caratteristica Figura 3: Figura 4: importante della distribuzione dei dati è l area di ogni rettangolo, ma risulta più semplice sceglierli uguali per una migliore interpretazione a prima vista. All aumentare del numero delle misure l istogramma ad intervalli assume via via una forma più regolare e potremo anche ridurre la larghezza degli intervalli in modo da ridurre le irregolarità dell istogramma stesso. La statistica matematica studia le proprietà dei processi casuali e fornisce risultati che possiamo applicare alla distribuzione delle nostre misure. In particolare il concetto di distribuzione limite, p(x), (mostrata in Fig.5) rappresenta la distribuzione nel caso di un numero infinito di eventi. In essa la probabilità che un evento si presenti in un intervallo di valori compreso tra x 0 e x 0 +dx è data dall area p(x 0 ) dx della striscia ombreggiata in figura. E per tale motivo che la curva limite p(x) viene anche detta densità di probabilità ( probability density function PDF). Possiamo a questo punto considerare il nostro istogramma come la miglior stima sperimentale della distribuzione limite per cui p(x i ) dx è la probabilità che una singola misura di Figura 5: x dia un risultato compreso tra x i e x i + dx. Se si vuole la probabilità che una singola misura cada nell intervallo (x a,x b ) basta determinare l integrale definito x b x a p(x) dx. Dalla definizione della funzione limite segue inoltre 6

7 che + p(x) dx = 1 ovvero la funzione limite è normalizzata. Qualche volta si usa anche calcolare la probabilitá di trovare un risultato compreso tra il limite inferiore della PDF (ad es. o 0) e un certo valore assegnato x: F(x) = x p(u) du (9) La F(x) viene chiamata Cumulative distribution function (CDF). Nel caso che, nella misura di x, siano presenti molte piccole cause di errore (indipendenti, errori casuali), la distribuzione limite, che si ottiene per un numero molto grande di misure, assume una forma simmetrica a campana, che -in assenza di errori sistematici (v.par.4)- è centrata sul valore vero di x, che indicheremo con X. La funzione matematica che descrive tale curva è chiamata distribuzione normale o funzione di Gauss e la forma di tale funzione è data da p(x) = 1 e (x X)2 2σ 2 2πσ ove σ è il cosidetto parametro di larghezza. In Appendice A sono riportate le principali caratteristiche della distribuzione normale. Senza entrare in aspetti formali che saranno trattati nei corsi specifici (ad. es. Calcolo delle Probabilità) vale forse la pena di notare che da molti punti di vista, il risultato x i di una singola misura di una grandezza fisica è una variabile aleatoria con una certa distribuzione di probabilità. É utile anche ricordare qui il Teorema del limite centrale(central Limit Theorem) 4 : Se si considera la somma X di N variabili indipendenti x i, ognuna presa da una distribuzione con media µ i e varianza σ 2 i, la distribuzione per X: a) ha un valore medio (di aspettazione) µ i b) ha una varianza σ 2 i c) diventa gaussiana per N 3 Metodi di misura delle grandezze fisiche 5 Possiamo raggruppare i metodi di misura in tre tipi fondamentali: 1. la misura diretta, che consiste nel confrontare direttamente una grandezza fisica con un campione ad essa omogeneo, preso come unità di misura. Citiamo, come esempi, la misura di massa eseguita con una bilancia, le misure relative di densità, di forza, carica elettrica, ecc.; 2. la misura diretta ma mediante l uso di apparecchi tarati, che viene effettuata con uno strumento appositamente costruito, il quale fornisce, tramite un opportuno indicatore, il valore della misura in questione, senza aver bisogno di campioni (di uso 4 R.J.Barlow, Statistics,Wiley 2002, par da Ap1: 1.7 7

8 delicato, difficili a costruire e spesso anche costosi), nè di dover operare nelle condizioni ideali e schematiche previste dalle misure indirette. Praticamente quasi tutti gli apparecchi che si incontrano in un laboratorio sono apparecchi tarati (calibri, termometri, barometri, tachimetri, voltmetri, bilance, multimetri, ecc.). 3. la misura indiretta, che viene effettuata quando la grandezza da misurare g è una funzione di altre grandezze fisiche ad essa non omogenee, e cioè, se g = f(x,y,z,...), misurando separatamente le grandezze x, y, z,... tramite la relazione funzionale f si può risalire al valore di g, quindi si può misurare g. Ad esempio, se noi pensiamo di effettuare una misura di velocità media v m di un punto materiale P in un determinato tratto x della sua traiettoria dovremo misurare la lunghezza x, il tempo t necessario a P per percorrere x e poi, dalla definizione di v m, eseguendo il rapporto x/ t si otterrà il valore di v m desiderato. Altri esempi di misure indirette sono le misure di superficie (ricondotte a due misure separate di lunghezza), di volume (tre misure separate di lunghezze), la misura del accelerazione di gravità mediante un pendolo semplice, misurando direttamente il periodo T e la lunghezza L [...] 4 Errori sistematici ed errori casuali in una misura diretta Prendiamo da J.R.Taylor 6 la seguente definizione Le incertezze sperimentali che vengono osservate ripetendo le misure sono chiamate errori casuali; quelle che non vengono messe in evidenza in questo modo sono chiamte errori sistematici. Nelle esperienze di laboratorio che saranno svolte non è facile mettere in evidenza il contributo degli errori casuali e degli errori sistematici. Questi costituiscono comunque un problema serio e importante. Una descrizione semplice e chiara si trova nei paragrafi 4.1 e 4.6 del Taylor e anche Barlow par.4.4, a cui si rimanda il lettore interessato. L argomento viene trattato anche in Ap1:12 e Ap3:2,4. Da qui si riprendono poche notizie essenziali. Gli errori casuali(random) sono quelli che si presentano di volta in volta in maniera aleatoria, e non solo non siamo in grado di controllarli, ma nemmeno di prevedere di quanto e in quale senso altereranno il risultato della misura. Le origini degi errori casuali possono essere moltissime ed indipendenti. Il loro effetto viene messo in evidenza ripetendo accuratamente piú volte la misura e studiando la distribuzione dei risultati(v.par.2). Per errori sistematici intendiamo quel tipo di errori che si ripercuotono nella misura sempre nella stessa maniera, alterando quindi il risultato nello stesso senso. Esempi di errori sistematici [...] sono: in una bilancia a bracci uguali: la diversa lunghezza dei bracci, la diversa massa dei piattelli, una non corretta valutazione della spinta d Archimede offerta dall aria ai due piattelli (uno con la massa di riferimento ed uno con la massa da misurare), ecc; in un pendolo: l attrito offerto dall aria, una scorretta determinazione della lunghezza equivalente del pendolo, i momenti di flessione lungo il pendolo, un momento frenante sull asse di sospensione dovuto ad attriti non ben eliminati, ecc.; 6 Taylor, Introduzione all analisi degli errori, Zanichelli 2000, par.4.1 8

9 in un generatore di tensione (reale!): la caduta di tensione [...] sulla resistenza interna dovuta all intensità di corrente elettrica. errori nella tracciatura delle divisioni di strumenti con scale graduata; eccentricità non nulla in scale circolari graduate; la traccia che il coltello di una bilancia a piattelli si può scavare nella sede del giogo, che può provocare anche situazioni di pseudo-equilibrio del sistema; un metro metallico allungato per effetto di un aumento della temperatura; una livella di un teodolite non in bolla ; Esistono poi gli errori sistematici personali, dovuti cioè ad apprezzamenti di scale, spostamenti ed indici da parte dello sperimentatore. [...] È difficile accorgersi della presenza di errori sistematici in una serie di misure, perchè alterano tutti i risultati nella stessa maniera. Solo l abilità, l esperienza, spesso la pazienza dello sperimentatore e il confronto con i risultati ottenuti con altri metodi permettono di ridurre o eliminare gli errori sistematici. Questi errori, una volta fissate le condizioni di misura, modificano il risultato della misura in un solo verso (per eccesso o per difetto). Succede talvolta di non poter eliminare tali errori sistematici pur avendoli individuati: è questo il caso delle misure con strumenti tarati, per i quali il costruttore fornisce una incertezza nella taratura (accuratezza dello strumento) che si ripercuote in una incertezza x sist sul valore della grandezza misurata. Per eliminare tale contributo dovremmo essere in condizione di verificare la taratura dello strumento considerato; se ciò non è possibile dovremmo tenere conto di tale fonte di errore nella stima dell incertezza di misura, introducendo un termine ± x sist in tale valutazione. È ormai gergo generalmente accettato (soprattutto nei paesi di lingua inglese) parlare di accuratezza quando si analizzano gli errori sistematici, mentre si parla di precisione quando si trattano gli errori casuali. In altre parole, effettuando una determinazione dell accelerazione di gravità con un pendolo semplice di cui abbiamo valutato erroneamente la lunghezza (errore sistematico), ma di cui abbiamo misurato il periodo delle piccole oscillazione con una deviazione standard molto piccola (errori casuali), possiamo dire di avere effettuato una misura molto precisa ma non accurata. L incertezza di misura potrà essere talvolta data direttamente dall errore s dello strumento con il quale tale misura è eseguita. Ad esempio, se si misura lo spessore l di una sbarretta con un calibro ventesimale, si ha l = 0.05 mm. Consideriamo invece la misura del periodo di oscillazione di un pendolo, eseguita usando un cronometro manuale che ha la sensibilità di 0.01 s. Si esegue la misura facendo partire il cronometro quando il pendolo passa da una determinata posizione e arrestando il cronometro quando il pendolo riassume la stessa posizione dopo n periodi. Se t è il tempo misurato, il periodo T è ovviamente dato da T = t/n. In questo caso sarebbe del tutto erroneo assumere come stima dell errore su t la precisione del cronometro t = 10 2 s perché, così facendo, si trascurerebbe completamente l incertezza insita nelle operazioni manuali consistenti nel 9

10 far partire e nell arrestare il cronometro. Una stima più ragionevole potrebbe essere, in questo caso, t 0.2 s, dovuto essenzialmente al tempo di reazione dello sperimentatore. Bisogna anche ricordare che, dopo aver valutato la media e la deviazione standard dalla serie di misure x i della grandezza x, perché questa abbia senso è necessario che si siano usati strumenti che abbiano una accuratezza migliore, o almeno paragonabile, al valore della deviazione standard ottenuta. Inoltre, molto spesso abbiamo la possibilità di eseguire solo un numero molto limitato di misure (N 10) per cui siamo in condizioni molto lontane dalle ipotesi fondamentali della statistica matematica; pertanto la valutazione dell errore della misura finale non può essere ottenuta calcolando la deviazione standard, ma seguendo criteri di buon senso, come quello, ad esempio, di assumere per l errore lo scarto massimo dalla media, ǫ max, della serie di misure a disposizione. (Ovviamente, possono esistere dei casi in cui tutte le N misure danno lo stesso risultato. In tali casi risulterebbe ǫ max = 0 e la stima dell errore deve di nuovo essere effettuata tenendo conto della accuratezza e della precisione dello strumento utilizzato). 5 Propagazione degli errori nelle misure indirette 7 La maggior parte delle misure fisiche vengono effettuate utilizzando misure indirette e la grandezza fisica g si ottiene dalla misura di altre grandezze fisiche x,y,z..., che vengono misurate indipendentemente le une dalle altre. tramite una relazione funzionale g = f(x,y,z,...). Ognuna delle grandezze x,y,z,... sarà affetta da un incertezza di misura x, y, z,... e dovremo quindi stabilire criteri ragionevoli e quantitativamente ben definiti per dedurre l incertezza g su g. Affrontiamo la situazione che si ha nel caso che la f sia una funzione lineare g = ax + b della sola grandezza fisica x, misurata direttamente con valor medio x e varianza σ 2 x, con a e b costanti note. Si ha allora, ricordando la (6): σ 2 g = (ax + b) 2 (ax + b) 2 = a 2 x 2 +2abx+b 2 a 2 x 2 2abx b 2 = a 2 (x 2 x 2 ) = a 2 σ 2 x (10) Si noti che, se a = 1, σg 2 = σx 2 e la presenza del termine costante b non altera la varianza. Se f è funzione lineare di piu variabili, si ha ancora un risultato simile. Questa volta però è necessario che le variabili x,y.. siano tra loro indipendenti, cioè che la probabilità di trovare un certo valore y j sia la stessa qualunque sia il valore x j. Se le funzioni non sono lineari (o se le variabili non sono indipendenti) la situazione è assai più complicata. Cominciamo a considerare il caso più semplice in cui si abbia solo g = f(x). Si può allora scrivere in un intorno di f(x) (sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine) ( ) df f(x) = f(x) + (x x) +... (11) dx x=x e da qui si ottiene subito: ( ) 2 ( ) 2 df df σg 2 = (f(x) f(x)) 2 = (x x) dx 2 = σx 2 (12) dx x=x x=x 7 da Ap3: Propagazione degli errori nelle misure indirette 10

11 Il calcolo si puo estendere facilmene al caso di più variabili(v. App. B) sviluppando g in serie e arrestandoci al primo ordine. Per variabili indipendenti si arriva a scrivere (con ipotesi abbastanza restrittive e utilizzando la serie di Taylor): σ 2 g = ( ) 2 f σx 2 + x x,y,z ( ) 2 f σy 2 + y x,y,z ( ) 2 f σz (13) z x,y,z dove ( ) f indica il valore della derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile x x,y,z x nel punto considerato. Spesso si preferisce sostituire l equazione (13) con l equazione f f f g = x + y + z +... (14) x x,y,z y x,y,z z x,y,z Una trattazione 8 un poco più dettagliata è presentata in App.B. L espressione 10, generalizzata a più variabili indipendenti, può anche essere utilizzata in generale per ricavare la deviazione standard della media σ x = σx N (v. App. C). Note e commenti aggiuntivi -Si è evitato di parlare di errori/stime a priori, a posteriori. Di fatto, nella pratica di laboratorio che puo essere svolta, non si potrà mai andare a calcolare una σ statistica, cioè fare una vera stima di errori a posteriori. Quello che si fa è una stima della incertezza di una misura, principalmente basata sulla accuratezza degli strumenti e sulla precisione di lettura o misura. -Non si è mai usata l espressione errore di sensibilitá, che viene spesso riferita ad uno strumento. Si è preferito, anche se spesso in modo non molto coerente, parlare di errore di uno strumento, qualche volta precisando che si tratta di un errore di lettura (ad esempio in un calibro, dove spesso l errore di lettura coincide con l accuratezza dello strumento); in altri casi l errore dello strumento è in realtà proprio l accuratezza dello strumento (ad es. per la bilancia), cioè dice quanto è buona la sua taratura. -Si è evitato l uso del differenziale di una funzione, visto che non viene normalmente utilizzato negli attuali corsi di Analisi. Anche per questo motivo, non si è parlato di propagazione degli errori relativi ( g/g), visto che comunque si ricavano facilmente dalla propagazione degli errori assoluti, in modo da rendere anche meno probabile fare sbagli. -Molti paragrafi provengono quasi integralmente, anche se spesso con riduzioni, dalle dispense dei colleghi A. Stefanini e R. Falciani, che ringrazio vivamente per la disponibilitá. I paragrafi con maggiori differenze sono il 4 e 5 e le appendici A2, C, D e H. 8 v.anche Taylor, cit. Cap.9 11

12 APPENDICI A Distribuzione di Gauss degli errori casuali 9 A.1 Caratteristiche della distribuzione normale La funzione di Gauss, o distribuzione normale, può essere rappresentata nella forma p(x) = K e (x X)2 2σ 2 ove K è il fattore di normalizzazione e σ è una grandezza positiva denominata parametro di larghezza. Imponendo la condizione di normalizzazione è possibile ricavare K; infatti + p(x) dx = + e quindi la funzione di Gauss diventa K e (x X)2 2σ 2 dx = 1 K = p(x) = 1 e (x X)2 2σ 2 2π σ 1 2π σ Si vede quindi che la funzione di Gauss dipende essenzialmente da due parametri (X, σ): per evidenziare tale aspetto indicheremo d ora in poi la p(x) con la notazione p X,σ (x). Si può inoltre immediatamente notare che p X,σ (x) 0 per ogni x ed inoltre x ± p X,σ (x) 0 p X,σ (x) = 0 x = X p X,σ(X) = 1 2π σ p X,σ (X) < 0 e quindi la funzione limite ha un massimo in x = X. Per caratterizzare ulteriormente l andamento della curva determiniamo i valori di x per cui essa assume valori pari alla metà del valore massimo; basterà imporre p X,σ (x 1/2 ) = 1 e (x 1/2 X) 2σ 2 = 1 2π σ π σ (x 1/2 X) = ±1.18 σ e quindi la larghezza a mezza altezza della curva è data da 2.36 σ. Ciò giustifica il nome parametro di larghezza dato a σ: maggiore è σ più larga è la distribuzione 10. Il fatto che σ appaia anche nel fattore di normalizzazione al denominatore implica che ad una curva più stretta compete un valore massimo maggiore, come c era da aspettarsi dovendosi mantenere unitario l integrale della curva. Definiremo il valore di aspettazione della grandezza x tramite la relazione x = + x p X,σ (x) dx mentre potremo ricavare la deviazione standard estraendo la radice quadrata della varianza 9 da Ap5: A5 10 Taylor 5.4, App.A 12

13 definita da σ 2 x = + (x X) 2 p X,σ (x) dx Determinando valore di aspettazione e varianza per la funzione di Gauss si ottiene x = X, σ 2 x = σ 2 La probabilità P(X, σ) che una singola misura dia un risultato tra X σ e X + σ è data da P(X, σ) = X+σ X σ p X,σ (x) dx = 1 2π σ X+σ X σ e (x X)2 2σ 2 dx o, passando al caso generale, la probabilità P(X, tσ) tra X tσ e X +tσ, dove t è un parametro positivo variabile, sarà data da P(X, tσ) = X+tσ X tσ p X,σ (x) dx = 1 2π σ X+tσ X tσ e (x X)2 2σ 2 dx Il problema può essere semplificato operando un cambiamento di variabile da x a z = (x X)/σ, che equivale a traslare la funzione di Gauss studiata in modo da centrarla intorno all origine e a prendere σ come unità di misura delle deviazioni rispetto al valore vero X. Si ottiene quindi P(X, tσ) = X+tσ X tσ p X,σ (x) dx = 1 +t e z2 2 dz (15) 2π t Figura 6: 13

14 Questo cambiamento di variabile ci permette quindi di ricondurre il problema dello studio di una qualunque funzione di Gauss al caso di una funzione di Gauss di riferimento (avente X = 0 e σ = 1). L integrale riportato nella (15) è chiamato funzione degli errori ed indicato con erf(t); esso non può essere valutato analiticamente e viene calcolato numericamente. In tabella e in Fig.6 sono riportati i valori di erf(t) (in %) calcolati per vari valori di t. La tabella ci dice ad esempio che la probabilitá che una singola misura dia un risultato compreso entro 2σ dal valore vero é il 95.45% t = (x X)/σ

15 A.2 Miglior stima del valore vero e del parametro di larghezza della funzione di Gauss Scopo della misura di una grandezza fisica è quello di dare una stima dei parametri che caratterizzano la corrispondente funzione limite (X e σ) mediante un numero limitato di misure. In pratica noi misuriamo N volte la grandezza x ottenendo i risultati x 1, x 2, x 3,..., x N Per quanto visto nel par. precedente sulla funzione limite, sappiamo che la probabilità di ottenere una misura compresa tra x 1 e x 1 + x, con x larghezza dell intervallo, è data da: P(x 1, x 1 + x) = Analogamente per quanto riguarda x 2 abbiamo P(x 2, x 2 + x) = 1 e (x 1 X)2 2σ 2 x 1 2π σ σ e (x 1 X)2 2σ 2 1 e (x 2 X)2 2σ 2 x 1 2π σ σ e (x 2 X)2 2σ 2 Poichè le singole misure sono indipendenti, la probabilità di ottenere la serie di misure x 1,..., x N è data, per la regola della probabilità composta, dal prodotto delle singole probabilità, ovvero P(x 1,..., x N ) = P(x 1, x 1 + x) P(x 2, x 2 + x)... P(x N, x N + x) 1 σ N e N i=1 (x i X)2 2σ 2 (16) D altra parte il metodo di massima verosimiglianza (maximum likelihood) afferma che avendo realizzato una serie di N misure della grandezza x ed avendo ottenuto i valori (x 1..., x N ) le miglior stime X, σ dei valori veri 11 X e σ saranno quelle che rendono massima la (16). Per quanto riguarda X, che compare solo nell esponente della (16), la probabilità sarà massima quando Ni=1 (x i X) 2 2σ 2 = minimo Ni=1 (x i X) 2 Ni=1 = 0 X X x i = = x (17) N Si vede quindi che la media è proprio la miglior stima del valore vero della nostra grandezza. Analogamente potremo operare per determinare la miglior stima della larghezza della funzione limite, ottenendo P(x 1,..., x N ) σ = 0 σ = Ni=1 (x i X) 2 Tale valore per σ massimizza la probabilità P(x 1,..., x N ) ma dipende ancora da X che è incognita. Potremo sostituire a X la media x che sappiamo minimizza N i=1 (x i X) 2. Con tale sostituzione sottostimiamo quindi il numeratore della (18) e si può dimostrare 12 che per compensare tale sottostima basta sostituire N con N 1 nella (18). Si ottiene quindi Ni=1 (x i x) 2 N (18) σ = N 1 = σ c x (19) 11 ma sconosciuti 12 v. ad es. R.J.Barlow, cit. p.77 15

16 Sulla base di quanto ora ottenuto e delle proprietà della funzione di Gauss, potremo quindi affermare che nell intervallo [x σ x, x+σ x ] cadono il 68% delle misure, ovvero che avremo una probabilità del 68% che una singola misura cada nell intervallo [x σ x, x + σ x ]. B Covarianza nella propagazione degli errori 13 Supponiamo di misurare indirettamente una grandezza fisica z = z(x, y) misurando direttamente le grandezze x e y. Siano x, y e σ x, σ y le migliori stime del valore vero e dell incertezza di misura ricavate da una serie di N misure (x 1, y 1, x 2, y 2,..., x N, y N ). In corrispondenza delle N coppie x i, y i potremo determinare N valori di z i e successivamente determinarne la media z, che assumiamo come migliore stima del valore vero di z, e la deviazione standard σ z, nostra miglior stima dell incertezza sui valori z i. Nella grande maggioranza dei casi ci si limita ad un intorno di x, y, si trascurano termini di ordine superiore al 1 e si scrive: ( ) ( ) z z z i = z(x i, y i ) = z(x, y) + (x i x) + (y i y) x x,y y x,y Utilizzando tale espressione per determinare la media avremo Ni=1 z i z = = 1 [ N ( ) z z(x,y) + (x i x) + N N x x,y i=1 ( ) z y x,y (y i y) Tale valore medio è la somma di tre termini di cui solo il primo dà un contributo diverso da zero una volta che venga applicata l operazione di sommatoria. Otteniamo quindi z = z(x,y) ] ovvero per determinare z basta valutare z(x, y) per x = x e y = y. Determiniamo ora la varianza di z usando le espressioni precedenti; avremo σ 2 z = 1 = Ni=1 (z i z) 2 = 1 N 1 ( ) 2 z x x,y σ2 x + [ ( ) Ni=1 z N 1 x ( ) z x ( ) 2 z y x,y σ2 y + 2 x,y (x i x) + x,y ) ( z y x,y σ xy dove abbiamo indicato con σ xy, chiamata covarianza, l espressione ( ) z y (y i y) x,y ] 2 = (20) σ xy = 1 N 1 N (x i x)(y i y) i=1 L espressione (20) per σz 2 è stata ottenuta senza richiedere che le grandezze x e y siano indipendenti tra loro e che siano o meno distribuite normalmente. Se le misure di x e y sono indipendenti tra loro avremo che la covarianza σ xy tende a zero al crescere del numero delle misure in quanto ambedue i termini (x i x) e (y i y) possono assumere, con uguale probabilità, sia valori positivi che negativi. In questo caso otterremo 13 da Ap5: 6 σ 2 z = ( z x ) 2 x,y σ 2 x + ( z y ) 2 x,y σ 2 y (21) 16

17 ovvero il risultato già riportato nel par.5. Se le misure non sono indipendenti tra loro la covarianza rimane diversa da zero: in tal caso diremo che le incertezze su x e su y sono correlate e la varianza su z sarà diversa dal valore (21). Potremo cercare un limite superiore per la varianza che sia valido in tutti i casi. Per questo, poiché σ xy σ x σ y (riconducibile alla disuguaglianza di Schwarz), si ha σ 2 z ( ) z 2 x x,y da cui segue σ 2 x + ( ) z 2 y x,y σ 2 y + 2 [ ] 2 z z z x x,y y σ x σ y = x,y x σ x + z x,y y σ y x,y σ z z x σ x + z x,y y σ y x,y Si vede quindi che il massimo valore per la deviazione standard sulla misura di z è quello che si ottiene sommando linearmente, anziché quadraticamente, i valori assoluti dei contributi delle incertezze misurate direttamente (e questa, forse, è la migliore giustificazione della propagazione lineare degli errori)(v.taylor 9.2). C Deviazione standard della media Ricordiamo la definizione di media data nel par. 2: x = x 1 + x x N N e notiamo che ciscuna misura x i è indipendente dalle altre. Se ricordiamo ora la discussione del par. 5, la relazione tra x e i singoli x i è lineare (con a = 1/N e b = 0 e si ha quindi: σ 2 x = 1 N 2 σ N 2 σ2 N (22) Se a questo punto ricordiamo che le variabili x 1, x 2,..., x N sono il risultato delle varie misure di una stessa variabile x, avremo che σ 1 = σ 2 =... = σ N = σ x. Si ricava infine σ x = σ x N (23) dove σ x viene detta deviazione standard della media e rappresenta l incertezza con la quale il valor medio misurato stima statisticamente il valor vero (v.anche Taylor 5.7). Per rendersi conto del risultato ottenuto, supponiamo di aver realizzato una prima serie di N misure di una grandezza x il cui valore vero sia X e di aver ottenuto i valori x 11, x 12,..., x 1N che sono distribuiti normalmente intorno al valore vero X con parametro di larghezza σ 1. La nostra miglior stima del valore vero è data dalla media dei valori misurati, ovvero x 1 = x 11 + x x 1N N Supponiamo poi di realizzare altre serie di N misure della grandezza x in modo da avere un totale di M serie. Per ognuna di esse potremo determinare il corrispondente valore medio x 2 x 3... x M = (x 21 + x x 2N )/N = (x 31 + x x 3N )/N = (x M1 + x M x MN )/N 17

18 I valori medi così ottenuti non sono identici tra loro: sono quindi variabili aleatorie con una loro distribuzione che ha un valor medio e una sua varianza. Nel caso che la distribuzione di x sia una distribuzine normale, si può dimostrare che anche la distribuzione di x è una distribuzione normale con parametro di larghezza σ x il cui significato è quindi il seguente: se realizziamo nuovamente una serie di N misure e determiniamo il nuovo valore medio abbiamo una probabilità del 68% che esso si trovi entro una distanza pari a σ x dal valore vero X. Concludiamo con qualche commento sulla (23). Ricordiamo innanzitutto che la deviazione standard σ x rappresenta l incertezza nelle singole misure x ij e non cambierebbe apprezzabilmente aumentando il numero delle misure. D altra parte la deviazione standard della media σ x diminuisce all aumentare del numero di misure come conseguenza del fatto che riusciamo meglio ad individuare la forma della distribuzione limite ed in particolare il suo massimo. Il fattore N che appare nella (23) ci dice però che per migliorare la precisione di un fattore 10 dovremo aumentare N di un fattore 100! Vogliamo infine mettere in guardia dalla facile considerazione che basta avere pazienza e, aumentando il numero di misure, si riesce sempre ad ottenere la precisione voluta con qualsiasi strumento si operi. Per capire meglio come tale affermazione sia errata, supponiamo di aver misurato 100 volte una lunghezza con un calibro decimale e di aver ottenuto sempre lo stesso valore 1.35 cm. Tenendo conto dell errore di lettura dello strumento (0.01 cm) l unica affermazione che potremo fare è che le 100 misure sono distribuite nell intervallo tra e cm ma non abbiamo nessuna informazione su come le misure sono distribuite all interno dell intervallo. Ci troviamo quindi nella condizione di costruire un istogramma ad intervalli di larghezza pari all errore di lettura in cui si avranno conteggi in un solo intervallo.[...] Vogliamo infine ricordare che una delle ipotesi di partenza di tutta la trattazione statistica è quella di aver ridotto a livello trascurabile (rispetto alla precisione dello strumento usato) il contributo all incertezza dovuto agli errori sistematici. Tale ipotesi non è più verificata quando, aumentando il numero delle misure, si riesca a spingere l incertezza statistica di misura al di sotto della accuratezza dello strumento. In tal caso rischieremo di realizzare una misura estremamente precisa ma affetta da errori sistematici, che non sappiamo valutare, ben più grossi dell incertezza sperimentalmente ottenuta. D Varie caratteristiche di uno strumento 14 Riportiamo brevemente alcune proprietà caratteristiche di uno strumento, la cui conoscenza è necessaria per una corretta esecuzione della misura con quello strumento. In generale uno strumento dà una risposta R per ogni valore della grandezza X che viene presentato al suo ingresso. Per quanto ci interessa, possiamo limitarci a considerare gli strumenti approssimativamente lineari per i quali vale la relazione R = ax + b (24) Si noti che in uno strumento con la scala tarata nelle unitá di X (e in particolare quasi sempre negli strumenti digitali) si ha a 1 e adimensionale e b 0. Negli strumenti analogici [a] = [R]/[X] e il valore dipende da come è fatta la scala. linearità di uno strumento: uno strumento si dice lineare se a in (24) è costante su tutta la scala 14 da Ap1:

19 La sensibilità di uno strumento indica la minima variazione della grandezza da misurare che viene rivelata dallo strumento (a volte viene indicata anche come risoluzione, minima differenza rivelabile, errore di lettura, errore di sensibilità). Spesso a in (24) viene chiamato sensibilità dello strumento. L accuratezza di uno strumento è l errore assoluto di taratura, molto spesso espresso tramite l errore relativo sul fondo scala. Ad esempo si dice che uno strumento è di classe 1 se ha uno scarto massimo dell 1% del fondo scala tra il valore indicato dallo strumento e il valore vero. Di nuovo corrisponde alla accuratezza con cui è calibrato lo strumento, cioé per uno strumento approssiamtivamente lineare all accuratezza con cui sono noti i valori di a e b in (24). La prontezza è data dalla rapidità con cui lo strumento si mette in equilibrio, segnalando così il valore della misura della grandezza. La prontezza viene misurata dal reciproco del tempo caratteristico, t c, dello strumento, che rappresenta il tempo necessario affinché lo strumento si porti in una nuova situazione di equilibrio dopo che la grandezza misurata ψ abbia subito una variazione ψ in un intervallo di tempo t c. Uno strumento sarà tanto più pronto quanto minore sarà il suo t c. Per misurare correttamente variazioni successive ψ i che avvengono in tempi t i, occorre usare uno strumento che possieda un t c t i. Ad esempio, un normale tester analogico ha un t c 0.5 s e non può, quindi, misurare correttamente variazioni di differenza di potenziale o di intensitá di corrente che avvengono in intervalli di tempo inferiori. La portata (massima) è la massima quantità della grandezza che può essere misurata con quello strumento. Ad esempio la portata di una comune bilancia è di qualche chilogrammo, mentre quella di una bascula è di vari quintali. La soglia è la minima quantità della grandezza X che può essere rivelata dallo strumento. L intervallo di funzionamento (o range) di uno strumento è dato dall intervallo sogliaportata. E Scale ed indici. Il nonio 15 Generalmente per eseguire la misura con un apparecchio tarato si legge la posizione di un indice su una scala graduata nelle unità di misura della grandezza da misurare. Gli indici possono essere dotati di movimento traslatorio (es.: scorrevole di un calibro, menisco di Hg di un termometro, o di un barometro, quota di un galleggiante in un serbatoio, ecc.) e le corrispondenti scale saranno segmenti rettilinei graduati (v. Fig.7a), oppure di movimento rotatorio attorno ad un asse fisso (es.: le lancette di un orologio, l indice di un manometro metallico, di un voltmetro, di una bilancia, di un pendolo di torsione, di un galvanometro, ecc.) e le corrispondenti scale saranno archi di cerchio graduati (v. Fig.7b), oppure possono essere non di natura puramente meccanica e allora si può disporre di una varietà piuttosto notevole di indici e scale (ricordiamo solo a titolo di esempio le scale e gli indici elettronici, di natura sia analogica che digitale, che possono fornire automaticamente e con grande rapidità il valore della misura in modo da poter essere anche elaborata immediatamente da un calcolatore elettronico). Le scale di lettura potranno essere lineari (cioè con graduazione regolarmente spaziata) o non lineari in relazione 15 Ap1:

20 Figura 7: Figura 8: alle caratteristiche di linearità o non linearità del fenomeno scelto per condurre le operazioni di misura. Come si può anche dedurre dalla Fig.7, generalmente la misura con un apparecchio tarato si riduce all apprezzamento della coincidenza di due tratti, uno della scala e l altro dell indice. Per ottenere una maggiore facilità di lettura e una superiore precisione si ricorre all aiuto di sistemi ottici, ad esempio oculari, microscopi, ecc. (usati nei teodoliti, catetometri, livelle e così via), opportunamente adattati da artifici, tipo il metodo della leva ottica, che consentono una precisione ancora più elevata (es.: galvanometri, bilance di torsione, ecc.) 16. Un metodo molto semplice per ridurre l errore di lettura di una scala è l uso del nonio. Questo consiste, come illustrato nelle Fig.8a e 8b (alle quali facciamo riferimento per i simboli) nel tracciare sullo scorrevole una graduazione ausiliaria concorde con la principale (nonio), in modo che l indice faccia da zero per il nonio e che la lunghezza pari a n tratti della scale principale venga divisa in n + 1 parti uguali. Nell esempio in Fig.8a, n = 9 parti della graduazione principale sono divise in n + 1 = 10 parti sulla graduazione del nonio. La lettura di Fig.8a è 36 + x; vediamo come si possa determinare x con il nonio. Si guarda quale divisione l del nonio coincide con una divisione della scala principale (nel nostro caso l = 7) e il valore di x sarà dato proprio dalla frazione l/(n + 1) nella minima divisione della scala principale, cioè la nostra misura sarà Un errore che in certi casi può avere notevole importanza è quello di parallasse : se l indice dello strumento si muove su di un piano parallelo a quello della scala, la lettura del valore della grandezza è corretta solo se l operatore si pone in un piano perpendicolare al piano della scala e passante per l indice. Posizioni diverse porterebbero ad una sottostima o sovrastima del valore misurato. Per ridurre al minimo tale errore, gli strumenti a indice sono spesso provvisti di uno specchietto posto nel piano della scala, parallelamente ad essa. L operatore potrà ridurre l errore di parallasse mettendosi in una posizione tale da veder coincidere l indice con la sua immagine riflessa nello specchio. 20

21 Infatti ogni divisione del nonio vale a = a n n + 1 dove a è il valore della divisione sulla scala principale. Il tratto x + l a sul nonio sarà uguale al tratto l a sulla scala principale (delimitato nel nostro caso da una parte dalla divisione 36 e dall altra dalla divisione 43), cioè da cui si ricava l a = x + l a = x + l a x = l a n + 1 n n + 1 ossia x sarà l volte (n+1)-esimi di a. Nel nostro caso n+1 = 10, quindi x = (7/10)a e quindi la misura sarà (36+0.7)a = 36.7a. In definitiva il nonio permette di ricondurre l apprezzamento a occhio di una distanza x (molto discutibile e poco preciso) all apprezzamento della coincidenza di due tratti sottili e ben disegnati (cosa che l occhio sa fare particolarmente bene); la lettura di una scala con nonio si fa leggendo sulla scala principale il valore della divisione che precede immediatamente lo zero del nonio, aggiungendovi poi il valore del tratto x dedotto dal nonio come descritto precedentemente. Se il nonio è ottenuto dividendo 19 intervalli della scala principale in 20 parti, dalla coincidenza dei due tratti (come sopra descritta) si può apprezzare x in ventesimi di a, mentre se è ottenuto dividendo 49 intervalli in 50 parti, x sarà dato in cinquantesimi di a. Molto usato è il nonio sulle scale circolari. Il principio di funzionamento è analogo a quello del nonio lineare. Nell esempio di Fig.8b la lettura sarà /60 di grado, cioè [...] E.1 Calibro e strumenti a vite micrometrica (Compasso di Palmer) [...]Uno degli strumenti più semplici provvisti di scala con nonio è il calibro a cursore, che viene utilizzato per misure di lunghezza ed in particolare di spessore. Esso è costituito da un cursore che può scorrere su un regolo graduato ed è rappresentato schematicamente in Fig.9. A parte possibili difetti di taratura (tra i quali può avere importanza uno spostamento dello zero che conviene controllare prima dell uso), un buon calibro può arrivare ad una risoluzione di 0.01 mm e ad una accuratezza di mm. Come mostrato in Fig.9, il calibro permette la misura sia di spessori esterni (a), sia di spessori interni (b) che di profondità di cavità (c). Per migliorare la sensibilità del calibro si può ricorrere a dispositivi meccanici di amplificazione, che permettono di tradurre un piccolo spostamento della parte a contatto con il corpo da misurare in uno spostamento maggiore dell indice della scala. Vi sono diversi tipi di questi dispositivi a base di leve e di ingranaggi, fra i quali i cosidetti micrometri. Consideriamo qui la vite micrometrica, costituita da una vite, lavorata con la massima cura, che ha un passo assai breve (in genere 0.5 mm) e di cui un estremo è fissato ad un disco o ad un tamburo graduato. Questo ha un diametro piuttosto grande rispetto al passo della vite in modo che ad un piccolo spostamento lungo l asse corrisponda una rotazione ben evidente del tamburo. Una vite micrometrica ha quasi sempre un pò di gioco nella madrevite, gioco che di solito ha importanza solo quando si inverte il senso di avanzamento: per tale motivo è spesso consigliato di arrivare alla misura da effettuare avvicinandosi sempre nello stesso verso (per ridurre tale effetto 21