Soluzioni della prova matematica dell'esame di stato 2018

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1 Soluzioni della prova matematica dell'esame di stato 8 Problema n Se consideriamo la funzione f), ovvero la retta parallela alla bisettrice del II-IV quadrante passante per ; ) e ; ), essa soddisfa le condizioni a), b) e c) La curva chiusa Λ è rappresentata dall'equazione y Infatti se analizziamo i quattro quadranti abbiamo y se y I quadrante); y + y se < y II quadrante); y + y se < y < III quadrante); y y se y < IV quadrante) Consideriamo una generica funzione polinomiale di secondo grado f) a + b + c La condizione f), implica che a + b + c ; La condizione f), implica che c, quindi a + b + Dato che f ) a + b, anché f ) dobbiamo imporre b, da cui a Dato che l'area della parte colorata deve costituire il % dell'area totale che è unitaria), dobbiamo vericare se f) d è pari a, Svolgendo l'integrale otteniamo però + ) d 3 + 3, Consideriamo ora una generica funzione polinomiale di terzo grado f) a 3 +b +c+d La condizione f), implica che a + b + c + d ; La condizione f), implica che d, quindi a + b + c + Dato che f ) 3a + b + c, anché f ) dobbiamo imporre c, da cui a + b + Imponiamo ora che l'area della parte colorata deve costituire il % dell'area totale: a 3 + b + ) d a 4 + b 3 + Abbiamo dunque il sistema { a + b + a 4 + b 3 + a 7 ; b

2 La funzione ottenuta si scrive f) Per tracciare un graco ragionevole di f) studiamo la derivata prima f ) 4 Essa si annulla per e 8 7, è positiva negli intervalli esterni e negativa in quello interno Quindi nell'intervallo [; ], f) è sempre decrescente La derivata seconda f ) 4 4 si annulla in /, è negativa per < / e positiva per > / Quindi la f) ha la concavità rivolta verso il basso nell'intervallo [; /], presenta un esso in ; 7 4), 7;, 48), ha la concavità rivolta verso l'alto nell'intervallo [/; ] Il graco di f) nell'intervallo [; ] è riportato nella gura seguente 8 f) Consideriamo la famiglia di funzioni a n ) n a n ), a n ) Abbiamo che a n) n n < Questo vuol di dire che la funzione è decrescente, cioè a n ) < a n ) a n ) < Inoltre si ha lim An) n + lim n + n ) d lim ) n + n + In questo caso l'area della parte colorata è data dalla dierenza tra l'unità e l'area sottesa alla curva n che diminuisce sempre al crescere di n Quindi man mano che n cresce la parte colorata andrà ad occupare tutta la mattonella come mostrato nel pannello di sinistra della prossima gura Consideriamo ora la famiglia di funzioni b n ) ) n b n ) n, b n ) n Abbiamo che b n) n ) n < Questo vuol di dire che la funzione è decrescente, cioè b n ) < b n ) b n ) < Inoltre si ha lim Bn) n + lim n + ) ) n d lim n + n + Immaginiamo di scegliere un valore di nell'intervallo : ) Al crescere di n il valore di ) n decresce dato che si tratta di un'esponenziale con base minore di Questo vuol dire che la funzione b n ) è sempre più schiacciata sull'asse delle ascisse e quindi l'area del sottograco tende a zero, come appare evidente dal pannello di destra della prossima gura

3 8 n4 n3 n n 8 n n n3 n4 6 6 a n ) 4 b n ) Consideriamo la mattonella il cui disegno è dato dalla funzione a ) La probabilità che una goccia caduta a caso lungo la digonale cada nella parte non colorata è data dal rapporto tra il segmento staccato sulla diagonale dalla parte non colorata e la lunghezza totale della diagonale cioè I punti di intersezione possono essere individuati risolvendo il sistema { y y A ; ) B + ; + ) A noi interessa solamente il punto B in quanto il punto A giace nella parte di diagonale appartenente al III quadrante Dunque la parte di diagonale che giace nella regiona bianca della mattonella va dal punto B vedi la gura sottostante) al punto ; ) e misura + ) 3 Il rapporto tra tale porzione di diagonale e la lunghezza intera della diagonale vale 3 3, 38 Quindi la probabilità P che una goccia di vernice cada nella parte non colorata è data dal prodotto tra il rapporto appena calcolato e la probabilità che una goccia cada eettivamente cioè, Otteniamo P, 76 che moltiplicato per mattonelle dà circa 38 mattonelle macchiate 8 6 B Consideriamo ora la mattonella con il disegno dato da b ) I punti di intersezione tra tale funzione e la diagonale sono dati da: { y 3 y ) A ; 3 ) B 3 + ; 3 + ) A noi interessa solamente il punto A in quanto il punto B giace nella parte di diagonale fuori dall'intervallo che ci interessa Di nuovo la parte di diagonale che giace nella regione ) bianca va dal punto A vedi la gura sottostante) al punto ; ) e misura 3 3

4 Il rapporto questo tratto di diagonale e la lunghezza intera della diagonale vale, 68 La probabilità P che una goccia di vernice cada nella parte non colorata è P, 68,, 4 che moltiplicata per mattonelle dà circa 68 mattonelle macchiate A Verosimilmente saranno macchiate all'incirca mattonelle su Problema n Il punto di ascissa di Γ k è ; 9), mentre quello di ascissa è ; k + 8) Dato che f k ) 3 +k, la retta r k tangente nel primo punto ha equazione y 9 f k ) y k+9, mentre la retta s k tangente del secondo punto ha equazione y k 8 f k ) ) y k 3) k k + 8 y k 3) + Risolvendo il seguente sistema si trova il punto di intersezione: { y k + 9 y k 3) + M 3, y M k Quindi l'ascissa del punto di intersezione non dipende dal parametro k y M < k + 7 < 3 k < 3 Se consideriamo il più grande numero intero di k per cui y M < dobbiamo considerare k, cioè il numero intero immediatamente precedente a 3/ Dobbiamo studiare la funzione f ) Cerchiamo gli zeri di questa funzione in maniera graca, studiando il punto di intersezione tra la cubica y 3 e la retta y + 9, i cui graci sono riportati nel pannello di sinistra della gura seguente - - y 3 y y 3 y Dal pannello di destra della gura che mostra un ingrandimento del punto di intersezione 4

5 tra cubica e retta) si deduce che l'unica radice di f ) è sicuramente compresa nell'intervallo, ;, ) Per < la cubica sta sotto la retta quindi f ) > ; per > la cubica sta sopra la retta quindi f ) < Per la funzione interseca l'asse Calcolando la derivata prima otteniamo f ) 3 + Tale funzione si annulla per ± 3 3 ed è positiva nell'intervallo interno negativa nei due intervalli esterni) quindi la funzione è decrescente per < 3 3 > 3 3, crescente per 3 3 < < 3 3 Presenta ) 3 ) un mimino relativo in 3 3 ; 8 3 9, un massimo relativo in 3 ; La derivata seconda è data da f ) 6, funzione positiva per <, nulla per e negativa per > La funzione presenta dunque un esso in ; 9), ha la concavità rivolta verso l'alto per <, verso il basso per > La gura seguente mostra il graco della funzione f ) Le rette r e s hanno rispettivamente equazione y + 9 e y + Inoltre intersecano l'asse rispettivamente in A 9; ) e B ; ) Il triangolo T richiesto è quello individuato dai punti A, B, C nella gura seguente La probabilità che preso un punto a caso all'interno di di T, esso si trovi al di sopra di Γ, è dato dal rapporto tra l'area rossa della gura che contiene tutti i punti con ordinata maggiore di quelli appartenenti al graco Γ ) e l'area totale del triangolo ABC Per calcolare l'area rossa della gura calcoliamo prima l'area blu dato che il calcolo è un po' più breve) e poi sottraiamola all'area totale del triangolo L'area della regione blu è data dall'area del triangolo blu AOD nel secondo quadrante vedi gura), sommata all'aria sottesa al graco Γ nel primo quadrante: Area AOD ) d A y D ] + [ Dato che y C k+7 3, che per k vale y C 9 3, possiamo calcolare l'area del triangolo ABC come Area ABC AB y C + 9) , 8

6 L'area della regione rossa vale approssimando a, ) La probabilità richiesta è data da P 3,, 88 7, 8 8 D C Γ r s 6 4 A O B Un generico polinomio di grado n può essere scritto P n ) a n + b n +, mentre la sua derivata P n) na n + n )b n + La retta tangente a P n ) nel suo punto di ascissa ha la seguente equazione y P n ) P n ) ), mentre la retta perpendicolare a P n ) nello stesso punto ha equazione y P n ) P n ) ) y P n ) + P n ) + P n ) Anché questa retta passi per l'origine, il suo termine noto deve essere nullo quindi imporre P n ) + P n ) da cui Si deve + P n ) P n ) + na n + n )b n + ) a n + b n + ), dove le quantità n, a, b, sono tutte costanti Dato che il polinomio in che costituisce il membro di sinistra di questa equazione ha come termine di grado massimo na n )+n na n, il numero massimo di soluzioni dell'equazione quindi il numero massimo di punti nei quali la retta normale passa per l'origine) è n Nella situazione descritta nel problema la funzione polinomiale che fornisce il graco Γ ha grado 3 In generale il numero massimo di punti nei quali la retta perpendicolare passa 6

7 per l'origine, per un polinomio di terzo grado, è 3 Infatti, se indichiamo con t l'ascissa del punto N, abbiamo + P n ) P n ) t + 3t + ) t 3 + t + 9) t + 3t 3t 3 7t t 3 + t + 9 3t 4t 3 7t + t + 9, che è un polinomio di quinto grado Un polinomio di questo tipo ammette in via generale cinque soluzioni Tuttavia nel caso in questione si può mostrare facilmente attraverso il metodo graco) che le soluzioni sono tre 7

8 Quesito n La gura a lato rappresenta il prolo del cilindro inscritto nel cono Dobbiamo calcolare il volume del cilindro inscritto, ovvero V cil πr h e stusiare il suo valore massimo Il triangolo rettangolo verde in gura è simile a quello con il bordo rosso Questo implica che il rapporto tra i cateti corrispondenti è lo stesso: per cui R r R h H HR r) h, R V cil πr h πr HR r) R πr H πr3 H R Calcoliamoci ora il valore di r che rende massimo il volume del cilindro: V cil 3πHr r) πhr R πr H 3Hr ) R Tale espressione si annulla quando r e quando H 3Hr R, cioè per r 3R; assume valori positivi per valori di r esterni alle due radici, e valori negativi per valori di r interni Dunque r che corrisponde ad un cilindro con diametro di base nullo) corrisponde, chiaramente, al volume minimo del cilindro, mentre r 3R corrisponde al valore massimo del cilindro Calcoliamo allora tale volume: ) Vcil ma π 3 R H π 3 R) 3 H 4πR H 8πR H 4πR H, 48πR H R Tale volume è minore della metà del volume del cono, infatti V cono ) 3 πr H 6 πr H, 67πR H Quesito n Indichiamo le quattro facce del dado con,, 3, 4 e con P ), P ), P 3), P 4) le rispettive probabilità di uscita Abbiamo che P ) P ) P ) P ) P 3) P 4) 8P 4) P ) P 3) P ) P 3) P 4) 4P 4) P 3) P 4) P 3) P 4) Dato che la somma delle probabilità di uscita delle quattro facce deve dare un valore unitario essendo l'evento certo) otteniamo P ) + P ) + P 3) + P 4) 8P 4) + 4P 4) + P 4) + P 4) P 4) P 4), 8

9 da cui P ) 8, P ) 4, P 3) Dato che i due lanci di dado sono due eventi indipendenti, la probabilità che esca due volte la faccia è P, ) P ) P ), quella che esca due volte la faccia è P, ) P ) P ), e lo stesso vale per la faccia 3 e 4 Dunque otteniamo la probabilità che lanciando due dadi esca la stessa faccia, dalla seguente somma: Quesito n3 P, ) + P, ) + P 3, 3) + P 4, 4) P ) P ) + P ) P ) + P 3) P 3) + P 4) P 4) , , 8% Se indichiamo con f) la funzione che esprime la retta di equazione y 4 + k e g) la funzione che esprime la curva di equazione y 3 4 +, anché siano tangenti dovrà esistere almeno un valore di in cui le derivate di f) e di g) sono uguali Dobbiamo dunque imporre g ) 4, ovvero g ) , 4 ± 6 3, 3 In questi due punti le due funzioni devono essere tangenti, si devono cioè toccare, quindi { f) g) 8 + k k ; f 3) g 3 ) k k In conclusione i valoridi kcercati sono e 67 7 Quesito n4 Studiamo prima il limite di f) per + : il termine 3 +, il termine e sin oscilla tra due valori limitati e ed e), il termine e, e inne cos oscilla tra e Quindi lim + 3 e sin + e + cos in quanto il numeratore tende a + mentre il denominatore assume valori compresi in un intervallo limitato Analizziamo ora il limite di f) per : il termine 3, il termine e sin oscilla ancora tra due valori limitati, il termine e +, e inne cos oscilla ancora tra e Dunque lim 3 e sin + e cos lim 3 e Infatti se sostituiamo la variabile con t, abbiamo che lim 3 3t lim e t + e t, per la gerarchia degli inniti 9

10 Quesito n Se indichiamo con la metà della base del rettangolo che coincide con il raggio della circonferenza superiore) e con h la sua altezza, il perimetro p dell'intera gura è dato da p + h + π Dato che conosciamo il valore numerico del perimetro, cioè m, possiamo esprimere h in termini del perimetro e di, ovvero h p π π + π ) Quindi l'area totale della gura è data dalla seguente funzione di : A) A rettangolo + A semicirconferenza h + π [ + π ) + π) + π + π π ) + π ) ] + π Per trovare il valore dei lati che rendomo massima l'area della gura ricaviamo il valore di per cui la detivata prima di A) si annulla: A ) + π ) + π 4 + π Tale valore di rappresenta un massimo dell'area in quando la derivata prima ha segno positivo per < 4+π e segno negativo per > 4+π Possiamo ora ricavarci i valori della base b e dell'altezza h del rettangolo relativi al valore di trovato: b π ; h + π ) Quesito n6 + π ) 4 + π 4 + π π 4 + π 4 + π π 4 + π 4 + π Sappiamo che il piano π individua un vettore normale n 3; ; ) le cui componenti sono dati dai coecienti dell'equazione del piano Indichiamo con s la retta passante per il punto T con direzione n Tale retta passa per il centro C ed ha la seguente equazione parametrica: T + n t 4 + 3t s : y y T + n y t y t z z T + n z t z t Il punto in comune tra la retta r e la retta s è chiaramente il centro C della sfera Ricaviamo tale punto dall'intersezione tra le due rette

11 Dall'equazione parametrica di r notiamo che y z Questo vuol dire che il punto C deve avere tutte e tre le coordinate identiche Imponendo tale condizione anche sulla retta s otteniamo Tale uguaglianza equivale al sistema 4 + 3t t 4t t t t t t t 4 + 3t t t Risulta dunque t da ciascuna delle tre uguaglianze Sostituendo tale valore di t nell'equazione parametrica di s otteniamo le coordinate del centro C, ovvero y z Il raggio della sfera è dato dalla lunghezza del segmento CT, cioè CT 4 + ) + y + ) + z + ) 4 Ricaviamo l'equazione della sfera imponendo che un generico punto, y, z) appartenente ad essa abbia distanza dal centro C pari a 4: + ) + y + ) + z + ) 4 Quesito n7 Imponiamo che l'integrale valga : a ) d 3 + 3) a+ a + ) 3 + 3a + ) a 3 3a a a a a + 3a + 3a + 3 a 3 3a 3a + 3a 6 a + a a + )a ), le cui soluzioni sono a e a Quesito n8 Per vincere con un numero di partite n può accadere un giocatore vince a partite su ); un giocatore vince a partite su ); un giocatore vince a partite su ) Le probabilità associate ai tre situazioni può essere ricavata utilizzando la distribuzione binomiale Ad esempio la probabilità P X ) di vincere partite su è data dal numero di modi

12 in cui si può vericare tale situazione, cioè )!!!, moltiplicato per la probabilità di vincere elevata alla e per la probabilità di perdere elevata alla Quindi ) ) ) P X ) Per calcolare la probabilità di vincere partite su dobbiamo di nuovo calcolare il numero di modi in cui si può vericare tale situazione ma dobbiamo togliere il caso unico) in cui le vittorie avvengono tutte nelle prime partite, cioè vittorie consecutive seguite da una scontta Per cui P X ) [ ) ] ) )!!! ) ) ) ) Calcoliamo inne la probabilità di vincere partite su Dobbiamo togliere dal numero di modi in cui si può vericare tale situazione, i casi in cui la vittoria avviene nelle prime partite che sono ) ) Quindi [ ) ] ) ) ) )! ) P X )!! 66 ) Va considerato che ognuna di queste probabilità deve essere moltiplicata per, dato che ciascuno dei casi analizzati può avvenire in due modi: ad esempio il punteggio di a può avvenire sia nel caso in cui il primo giocatore vince tutte le partite, sia nel caso in cui è il secondo giocatore a vincerne tutte La probabilità complessiva pertanto è: ) P tot , 386 3, 86% Quesito n9 I tre punti che individuano il triangolo sono A 3,, ), B 3,, ), C,, ) Per vericare che si tratta di un triangolo equilatero calcoliamo le distanze reciproche tra i punti: AB 3 3) + + ) + ) + ) 8 ; BC 3 ) + ) + ) + ) 8 ; AC 3 ) + ) + ) + ) 8 I tre lati sono uguali e dunque il triangolo è equilatero Mostriamo ora che i punti A, B, C appartengono al piano α vericando che le loro coordinate soddisfano l'equazione del piano + y + z 4 : A vericata); B vericata); C vericata) Per determinare i punti P per cui ABCP è un tetraedro regolare, consideriamo un generico punto P di coordinate, y, z) Anché il tetraedro sia regolare la distanza di P da ciascuno degli altri punti deve essere la stessa e più precisamente pari a Imponiamo dunque che CP BP AP : CP ) + y) + z) 8; ) BP 3 ) + y) + z) 8; ) AP 3 ) + y) + z) 8 3)

13 Sottraendo l'eq3) dall'eq) otteniamo 3 ) 3 ) + + y + y y + y z 4z z 4y 4z + 4 y z 4 4) Allo stesso modo sottraendo l'eq3) dall'eq) si ha y) y) z 4z z 4 4z 4 z + ) Sostiuiamo ora le eq4) e ) nell'eq3): 3 z ) + z + ) + z z 4z z 4z + z 8 3z 8z z3z 8), le cui soluzioni sono z e z 8 3 Sostiuiamo i valori di z trovati nelle eq4) e ): per z + ; y P ; ; ) per z ; y P 3 ; 3 ; 8 ) 3 Quesito n Data la funzione y) e k+, imponiamo che essa soddis l'equazione dierenziale y y 3y Calcoliamo dunque la derivata prima e la derivata seconda y ) ke k+ y ) k e k+ e sostituiamole nell'equazione: k e k+ 4ke k+ 6e k+ e k+ k 4k 6) Dato che il fattore esponenziale e k+ non si annulla mai, le uniche soluzioni di questa equazione sono date dalla radici del polinomio di secondo grado k 4k 6 k k 3 k, ± + 3 { k k 3 3