della curva, tenuto conto delle simmetrie è invece ( ) 2

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1 PROBLEMA Devi programmare il funzionamento di una macchina che viene adoperata nella produzione industriale di mattonelle per pavimenti. Le mattonelle sono di forma quadrata di lato (in un opportuna unità di misura) e le fasi di lavoro sono le seguenti: si sceglie una funzione y = f () definita e continua nell intervallo [; ], che soddisfi le condizioni: a) f () = ; b) f () = ; c) < f () < per < <. La macchina traccia il grafico Γ della funzione y = f () e i grafici simmetrici di Γ rispetto all asse y, all asse e all origine O, ottenendo in questo modo una curva chiusa Λ, passante per i punti (; ), (; ), ( ; ), (; ), simmetrica rispetto agli assi cartesiani e all origine, contenuta nel quadrato Q di vertici (; ), ( ; ), ( ; ), (; ). La macchina costruisce la mattonella colorando di grigio l interno della curva chiusa Λ e lasciando bianca la parte restante del quadrato Q; vengono quindi mostrate sul display alcune mattonelle affiancate, per dare un idea dell aspetto del pavimento. Il manuale d uso riporta un esempio del processo realizzativo di una mattonella semplice: La pavimentazione risultante è riportata di seguito:. Con riferimento all esempio, determina l espressione della funzione y = f () e l equazione della curva Λ, così da poter effettuare una prova e verificare il funzionamento della macchina. Ti viene richiesto di costruire una mattonella con un disegno più elaborato che, oltre a rispettare le condizioni a), b) e c) descritte in precedenza, abbia f '() = e l area della parte colorata pari al 55% dell area dell intera mattonella. A tale scopo, prendi in considerazione funzioni polinomiali di secondo grado e di terzo grado. Una definizione della funzione cercata si ottiene facilmente scrivendo l equazione della retta passante per i punti (; ) e (; ) e ponendo i vincoli richiesti, cioè y =,. L equazione della curva, tenuto conto delle simmetrie è invece Λ : y =,.

2 Per la seconda parte della richiesta cominciamo ad osservare che consideriamo le condizioni f = f ( ) = richieste sono le seguenti quattro, f ' =, quindi per funzioni quadratiche: f() = a + f d =,55 b + c, avremo troppe informazioni. Passiamo perciò direttamente a considerare funzioni cubiche, cioè f() = a + b + c + d, per cui si ha: f () = a + b + c.. Dopo aver verificato che non è possibile realizzare quanto richiesto adoperando una funzione polinomiale di secondo grado, determina i coefficienti a, b, c, d R della funzione f() polinomiale di terzo grado che soddisfa le condizioni poste. Rappresenta infine in un piano cartesiano la mattonella risultante. Continuando il discorso precedente abbiamo il sistema: d = d = d = a b c d a b = + + = a = b c = c = c = a + b + c + d d =, 55 a + b + d =, 55 (( b) + b + ) d =,55 d = 7 d = d = a = a b 5 a b = = a = b c = c = c = b =, quindi la 5 b 4 b b b b 9,55 + c = = + + = = 4 d = 7 funzione cercata è f ( ) = +,, che ha la seguente rappresentazione grafica, in 5 5 cui abbiamo tracciato anche le simmetriche: Vengono proposti a un cliente due tipi diversi di disegno, derivanti rispettivamente dalle funzioni a n () = n, b n () = ( ) n, considerate per [; ], con n intero positivo.. Verifica che al variare di n tutte queste funzioni rispettano le condizioni a), b) e c). Dette A(n) e B(n) le aree delle parti colorate delle mattonelle ottenute a partire da tali funzioni a n e b n, calcola lim A n lim B n ed interpreta i risultati in termini geometrici. n e n

3 Facilmente abbiamo a) a n () =, b) a n () =, c) < < < n < < n < < n < ; a) b n () =, b) b n () =, c) < < < < < < < ( ) n <. Inoltre abbiamo ( ) n+ n+ n n n A( n) = ( ) d = ; B ( n) ( ) d = = = = = n + n + n + n + n + n quindi lim A( n) = lim =, lim B( n) = lim =. In pratica la prima successione è formata n n n + n n n + da mattonelle che aumentano la parte di quadrato da ricoprire e all infinito lo ricoprono tutto, viceversa la seconda famiglia invece è formata da mattonelle che all infinito tendono a non ricoprire per niente il quadrato. Osserviamo che per n = le due coincidono. Nella figura seguente mostriamo il grafico delle due funzioni, e relative simmetriche, rappresentato con Geogebra per n =, la curva viola è la seconda che appunto ricopre meno quadrato, mentre quella arancione è la prima che tende a ricoprire tutto il quadrato. Il cliente decide di ordinare 5. mattonelle con il disegno derivato da a () e 5. con quello derivato da b (). La verniciatura viene effettuata da un braccio meccanico che, dopo aver depositato il colore, torna alla posizione iniziale sorvolando la mattonella lungo la diagonale. A causa di un malfunzionamento, durante la produzione delle. mattonelle si verifica con una probabilità del % che il braccio meccanico lasci cadere una goccia di colore in un punto a caso lungo la diagonale, macchiando così la mattonella appena prodotta. 4. Fornisci una stima motivata del numero di mattonelle che, avendo una macchia nella parte non colorata, risulteranno danneggiate al termine del ciclo di produzione. Le funzioni da considerare sono a () =, b () = ( ), che rispettivamente racchiudono aree pari a / e /. La diagonale fa parte della prima bisettrice, y =, pertanto incontra le due curve rispettivamente nei due punti di coordinate, uguali fra loro, ottenute risolvendo le equazioni 5 seguenti: 5, + = + = = ; = + =, =. Abbiamo considerato ovviamente solo i valori compresi fra e. Pertanto la probabilità che la goccia cada fuori dall area colorata è dato dal rapporto fra la parte di diagonale che è fuori dall area e la diagonale stessa. Nel primo caso quindi avremo + = =,8 e nel secondo: + = =,6. Quindi il 8% circa delle prime mattonelle e il 6% delle seconde, ma ciò succede solo con una probabilità del %, quindi,,8, 5 +,6, 5 =.

4 PROBLEMA Consideriamo la funzione f k : R R così definita: f k () = + k + 9, con k Z.. Detto Γ k il grafico della funzione, verifica che per qualsiasi valore del parametro k la retta r k, tangente a Γ k nel punto di ascissa e la retta s k, tangente a Γ k nel punto di ascissa, si incontrano in un punto M di ascissa /. La generica tangente alla funzione, dato che essa è ovunque derivabile, ha la seguente equazione y f k ( ) = f k ( ) ( ), che nel nostro caso diviene y + k 9 = ( + k) ( ). Pertanto dobbiamo verificare che le rette r k : y = k + 9 e s k : y + k 9 = ( + k) ( ) y = k (k ) ( ), contengono entrambe lo stesso punto di ascissa /. Sostituendo otteniamo in entrambi i casi lo stesso valore, cioè: y = 9 + /k.. Dopo aver verificato che k = è il massimo intero positivo per cui l ordinata del punto M è minore di, studia l andamento della funzione f (), determinandone i punti stazionari e di flesso e tracciandone il grafico. Abbiamo 9 + /k < k < /, poiché a noi interessa il massino intero ovviamente è k =. la funzione da studiare è f k () = + + 9, che è la consueta cubica con due estremi relativi. L intersezione con l asse si trova usando il teorema di esistenza degli zeri e un suyo valore approssimato è,4. Inoltre, dato che si ha: f () = +, che si annulla per = ±, che cresce all interno dell intervallo delimitato da tali valori e decresce all esterno, pertanto l ascissa minore è di minimo e l altra di massimo. Le cui ordinate sono 9 ±. Ovviamente c è un punto 9 di flesso sempre all interno dell intervallo degli estremi ed ha ascissa =, dato che f () = 6. Il grafico pertanto è il seguente:. Detto T il triangolo delimitato dalle rette r, s e dall asse delle ascisse, determina la probabilità che, preso a caso un punto P ( P ; y P ) all interno di T, questo si trovi al di sopra di Γ (cioè si abbia y P > f () per tale punto P). Il quesito purtroppo non è molto chiaro poiché la dicitura si trovi al di sopra di Γ, può dare luogo a diverse interpretazioni e il successivo chiarimento non è di grande aiuto. Il sottoscritto legge y p > f (), nel senso che i punti debbono avere ordinata maggiore di qualsiasi punto di Γ all interno di T, pertanto la zona da considerare dovrebbe essere non quella al di sopra dell arco FA in figura e quella compresa tra l arco AD e il triangolo alla sua destra, poiché in questo caso si ha y P > f ( P ), cioè l ordinata del punto è maggiore di quella del punto sulla curva che ha la sua stessa ascissa.

5 Invece secondo la mia interpretazione sarebbe il triangolo, simile a T, delimitato dalla tangente alla curva nel suo punto di massimo e quindi la probabilità sarebbe il rapporto delle aree dei due triangoli simili che non è altro che il quadrato del rapporto di due loro altezze corrispondenti. In particolare il quadrato del rapporto della differenza fra l ordinata di M e quella del massimo con l ordinata di M, che è 9 + / = 9/ Quindi la probabilità richiesta è =, 85%. 9 5 Interpretandola nell altro modo dobbiamo innanzitutto determinare l ascissa del punto D intersezione della cubica con l asse delle ascisse, che ha un valore irrazionale, circa,4 quindi calcolare la due aree utilizzando gli integrali, cioè dobbiamo togliere dall area del quadrilatero OFMC, il trapezoide determinato dalla curva e dai punti di ascissa e circa,4. Ossia l area del quadrilatero la otteniamo come somma delle aree del trapezio di basi l ordinata di F e quella di M e il triangolo rettangolo a esso adiacente, cioè: / 9 + = 55 9,6, mentre,4 l area del trapezoide è ( + + 9) d 6, 4, quindi l area da considerare sarà circa,. Infine l area del triangolo T sarà invece 4,5 9/ / 7,8. Quindi con questa interpretazione la probabilità sarebbe circa,/7,8 8,8%. 4. Nella figura è evidenziato un punto N Γ e un tratto del grafico Γ. La retta normale a Γ in N (vale a dire la perpendicolare alla retta tangente a Γ in quel punto) passa per l origine degli assi O. Il grafico Γ possiede tre punti con questa proprietà. Dimostra, più in generale, che il grafico di un qualsiasi polinomio di grado n > non può possedere più di n punti nei quali la retta normale al grafico passa per l origine. Abbiamo già visto che la generica tangente alla curva nel punto di ascissa ha equazione y f( ) = f ( ) ( ), il cui termine noto è perciò f( ) f ( ). Quella della normale avrà il

6 coefficiente angolare antireciproco, quindi il suo termine noto sarà f ( ) nostro caso: = f ' +, quindi nel ( ) che perciò si annulla quando si annulla il numeratore che è un polinomio di V grado quindi si annulla (cioè passa per l origine) al massimo in 5 punti. Non verifichiamo, perché non richiesto, che effettivamente si annulla solo per valori reali. Se avessimo in generale f() = a n + a n a n + a n, l equazione della normale avrebbe come termine noto a + a a + a + n n n n n n na + ( n ) a an che facilmente si vede rappresentare un polinomio di grado n, diviso un polinomio di grado n e perciò si annulla al massimo per n valori reali. QUESTIONARIO. Dimostrare che il volume di un cilindro inscritto in un cono è minore della metà del volume del cono. Di cilindri inscrivibili in un cono ve ne sono infiniti, consideriamo quello di volume massimo. Per fare ciò lavoriamo sulla sezione piana, quindi riconduciamo il tutto al rettangolo inscritto in un, triangolo isoscele, come mostrato in figura. Ovviamente il segmento DG ha punto medio coincidente con il punto medio di AC, per questioni di simmetria. DG è il diametro della base del cilindro, AC quello della base del cono. Per confrontare i volumi dobbiamo confrontare raggi e altezze. Dalla ovvia similitudine dei triangoli ABC e EBF, abbiamo la validità AC BH AC BH della seguente proporzione: = =, scriviamo il tutto in termini di raggi e EF BI EF BH IH altezze dei due solidi: R = H, dove con le maiuscole abbiamo indicato le misure delle r H h grandezze del cono, con le minuscole quelle del cilindro. Quindi abbiamo: rh = RH Rh, da cui H ( R r) ricaviamo h =, consideriamo le grandezze del cono come date. Perciò il volume del R H ( R r) H ( Rr r ) cilindro è V ( r) = π r h V ( r) = π r V ( r) = π, determiniamo perciò R R H ( rr r ) il massimo di questa funzione nell incognita r. Si ha: V '( r) = π che si annulla per r R =, ovviamente non accettabile per r = /R. Proprio per tale valore si ha il massimo, come facilmente si vede. Quindi il cilindro di massimo volume inscritto nel cono di volume /πr H, ha

7 volume V ( r) / H R R R 9 7 = π 4 = R 7 π HR, facilmente si vede che 4/7 = 8/54 < 9/54 =. Si dispone di due dadi uguali non bilanciati a forma di tetraedro regolare con le facce numerate da a 4. Lanciando ciascuno dei due dadi, la probabilità che esca è il doppio della probabilità che esca, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 4. Se si lanciano i due dadi contemporaneamente, qual è la probabilità che escano due numeri uguali tra loro? La probabilità richiesta è unione di eventi incompatibili, pertanto è data dalla somma dei 4 singoli eventi ossia: P(-) + P(-) + P(-) + P(4-4), inoltre i singoli eventi sono indipendenti, pertanto la probabilità dell evento P(N-N) = P(N) P(N) = P(N). Dato che abbiamo: P() = P() = 4P() = 8P(4) e poiché, ovviamente P() + P() + P() + P(4) =, avremo 5 P(4) =, cioè P(4) = /5, P() = /5, P() = 4/5, P() = 8/5. Infine, la probabilità richiesta è ( )/5 = 85/5 = 7/45.. Determinare i valori di k tali che la retta di equazione y = 4 + k sia tangente alla curva di equazione y = La retta e la curva sono tangenti in un punto di ascissa se il sistema formato dalle loro equazioni, in pratica l equazione = 4 + k, ha almeno due soluzioni coincidenti. Il problema è che abbiamo a che fare con un equazione di III grado, k =, che non è semplice da risolvere. Allora imponiamo l uguaglianza: k = ( h) ( p), che conduce all uguaglianza di due polinomi: k = (h + p) + (h + hp) h p. a questo punto applichiamo il principio di identità dei polinomi, imponendo l uguaglianza dei h + p = 4 coefficienti delle incognite di uguale grado, ottenendo il sistema h + hp = 4, che, pur essendo di h p = k 5 8 p = p = p = 4 h p = 4 h IV grado è semplice da risolvere: h + 8h 4h = 4h 8h + 4 = h = h =. k 5 h p k 5 h p = + = + 67 k = k = 5 7 Oppure possiamo imporre che il coefficiente angolare della generica tangente alla curva in un suo punto sia uguale a quello della retta. Cioè 8 = 4, che ha soluzioni: / e. Pertanto gli unici due punti in cui le tangenti sono parallele alla retta data hanno le ascisse trovate, quindi sono i punti (/; 95/7) e (; ). Affinché questi punti appartengano anche alla retta data deve essere: k = 4 + y, quindi k = 8/ + 95/7 = 67/7 oppure k = 8 = 5, che ovviamente coincidono con i valori trovati con l altra procedura. 4. Considerata la funzione f ( ) lim +, lim f f sin e =, determinare, se esistono, i valori di 5 + e cos giustificando adeguatamente le risposte fornite.

8 Osserviamo che i limiti delle funzioni goniometriche non esistono, però le dette funzioni sono limitate, pertanto anche e sin() è limitata. Applicando il principio di sostituzione degli infiniti abbiamo quindi che limitato e positivo. Mentre: sin e lim lim = = +, dato che il denominatore è e cos 5 cos + sin e lim = lim =, in questo caso abbiamo una forma 5 e cos + e indeterminata /, in cui però il denominatore è superiore al numeratore. In alternativa potevamo tentare di usare il Teorema di De L Hopital. Il problema è che il Teorema sin sin sin e sin( ) e sin non è applicabile dato che: lim = lim = lim e, ci + e + sin( ) + sin( ) + sin( ) conduce a un limite che non esiste. Invece può applicarsi all altro limite, infatti abbiamo: sin sin sin e sin( ) e sin( ) lim = lim = lim e ( sin( ) e ) =. L ultimo risultato e + sin e dipende dal Teorema che afferma che il prodotto di una funzione infinitesima (e ) per una limitata è una funzione infinitesima. 5. Con una staccionata lunga metri si vuole recintare una superficie avente la forma di un rettangolo sormontato da una semicirconferenza, come in figura: Determinare le dimensioni dei lati del rettangolo che consentono di recintare la superficie di area massima. Chiamiamo b e h le due dimensioni del rettangolo. abbiamo perciò: h + b + πb/ =, dato che il recinto è formato dalla base e da due altezze del rettangolo e da una semicirconferenza di raggio b/. 4 b ( π + ) Perciò possiamo dire che si ha: h =. A questo punto l area da massimizzare misura: 4 bh + π(b/) π + 4 /, ossia sostituendo il valore di h: A( b) = b b, che è una parabola con 8 4 concavità rivolta verso il basso, pertanto il suo massimo è il vertice, la cui ascissa è b MAX = π + 4, da cui si ottiene h MAX =. Ovviamente per determinare il massimo potevamo anche usare le π + 4 derivate. = t 6. Determinare l equazione della superficie sferica S, con centro sulla retta r: y = t, t R z = t tangente al piano π: y z + 4 =, nel punto T ( 4; ; ). Il raggio della sfera ha evidentemente coordinate C (t; t; t), dato che appartiene alla data retta. Ricordiamo che se un piano è tangente a una sfera, la sua distanza dal centro coincide con la misura CT = d π; C, o meglio innalzando tutto al quadrato del raggio, pertanto dobbiamo imporre che sia per eliminare radice e valore assoluto, otteniamo: ( t 4) t ( t ) ( t t t + ) = , che si

9 riconduce all equazione t + t + =, che ha ovviamente l unica soluzione t =. Quindi C ( ; ; ), il raggio misura = 4 e perciò la richiesta equazione è ( + ) + (y + ) + (z + ) = 4, che si semplifica in + y + z + + y + z =. a+ 7. Determinare a in modo che ( + ) d sia uguale a. a a a Abbiamo + + a a + d = + = a + + a + a a =, da cui, semplificando: a + a 6 =, cioè a + a =, le cui soluzioni sono facilmente a =, a =. 8. In un gioco a due giocatori, ogni partita vinta frutta punto e vince chi per primo raggiunge punti. Due giocatori che in ciascuna partita hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano. Qual è la probabilità che uno dei due giocatori vinca in un numero di partite minore o uguale a? Abbiamo a che fare con una distribuzione di tipo bernoulliano. Dire che A vince in al più partire vuol dire che vince in, o partite, cioè l avversario B vince, o partite. Pertanto la probabilità richiesta è data dalla seguente espressione, dove si tiene conto che in ogni caso l ultima la deve vincere A, perché se no avrebbe già vinto in meno di o partite e quindi non si continuerebbe a giocare. Pertanto la partita che B vince su partite è una delle prime, e le che vince su partite sono scelte fra le prime = + + =,9% Sono dati, nello spazio tridimensionale, i punti A (; ; ), B (; ; ), C (; ; ). Dopo aver verificato che ABC è un triangolo equilatero e che è contenuto nel piano α di equazione + y + z 4 =, stabilire quali sono i punti P tali che ABCP sia un tetraedro regolare. Verifichiamo che il triangolo è equilatero: AB = = 8; AC = = 8; BC = = 8 I punti stanno sul piano: + 4 = ; + 4 = ; =. Ovviamente di tetraedri regolari che hanno ABC come una delle loro facce ve ne sono due, il cui quarto vertice, da determinare, è in posizione simmetrica rispetto ad ABC. P appartiene alla perpendicolare ad ABC condotta per il baricentro di ABC. Determiniamo intanto quest ultimo, ricordando che le sue coordinate sono media aritmetica di quelle di ABC: G (7/; /; 4/). La perpendicolare ad ABC per G, la scriviamo in forma parametrica, in modo che i suoi numeri = t + 7 / direttori coincidano con quelli del piano: r : y = t + /. Quindi le coordinate del generico P z = t + 4 / saranno: P (t + 7/; t + /; t + 4/), adesso imponiamo che si abbia per esempio PA = AB, che ci porta all equazione risolvente: (t + 7/ ) + (t + / ) + (t + 4/ ) = 8, che semplificata

10 diventa: 9t 6 =, da cui t = ± e quindi P ; ;, P ( ; ; ). In figura abbiamo la rappresentazione ottenuta con Geogebra.. Determinare quali sono i valori del parametro per cui la funzione y() = e k+ è soluzione dell equazione differenziale y y y =. Basta sostituire. Intanto abbiamo: y () = ke k+ ; y () = k e k+. Quindi è inutile sostituire l esponenziale perché fattore comune che non si annulla. Otteniamo così l equazione di secondo grado: k 4k 6 = k k = k = k =. Commento Il primo problema interessante, senza calcoli laboriosi, meno standard. Il secondo invece classico studio di funzione, anche semplice, una cubica. Il parametro presente non aggiunge nulla di significativo. Da segnalare invece il terzo quesito che non è ben chiaro nella richiesta e ha sicuramente creato parecchie discussioni. Il questionario che continua sempre a presentare quesiti di diverso impegno, che però devono essere valutati allo stesso modo, il che ovviamente conduce lo studente a scegliere quello più semplice e non quello più istruttivo.