7. Il piano cartesiano

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1 7. Il piano cartesiano Come è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra un punto appartenente a una retta e un numero reale, è possibile stabilirla tra un punto del piano e una coppia ordinata di numeri (; ), dette coordinate del punto. Per far questo, si possono considerare due rette orientate perpendicolari tra loro; la retta orizzontale è detta asse delle ascisse, e si indica solitamente con la, mentre quella verticale è l asse delle ordinate, o asse. L intersezione tra le due rette è detta origine degli assi, che si indica con la lettera O. bbiamo fissato così un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, o, più semplicemente, un piano cartesiano. Esso è suddiviso in quattro quadranti, come descritto nella figura seguente. Nel primo quadrante sia ascissa che ordinata sono positive (punto ); nel secondo l ascissa è negativa e l ordinata positiva (B); nel terzo sono entrambe negative (C); nel quarto l ascissa è positiva mentre l ordinata è negativa (D). Il punto E dell esempio ha ordinata nulla (=), e pertanto è sull asse delle ascisse; il punto F, invece, è sull asse delle ordinate, in quanto ha ascissa nulla (=). Secondo quadrante B(-;3) 3 Primo quadrante (3;) -3 - O 3 E(;) C(-3;-) Terzo quadrante - - F(;-3) D(;-) Quarto quadrante L unità di misura dei due assi può essere la stessa o diversa, a seconda dell applicazione; uno o entrambi gli assi possono anche avere una scala non lineare, come una scala logaritmica, come avviene ad esempio nell equalizzatore di un apparecchio riproduttore musicale hi-fi. Ogni schermo di smartphone o del televisore, inoltre, funziona grazie al piano cartesiano, in quanto ogni punto luminoso è individuato dal software mediante una coppia ordinata di numeri. Un applicazione interessante della geometria analitica è proprio la realizzazione di programmi di grafica al computer. 7. Distanza tra due punti Se due punti e B hanno stessa ascissa, la distanza fra essi si calcola come la differenza tra le loro ordinate in valore assoluto: d B Dall esempio della figura al lato possiamo scrivere: d 3 ( ) B B Se due punti e B hanno stessa ordinata, la distanza fra essi si calcola come la differenza tra le B (-3;3) C(-;) -3 - B(-3;-) 3 O D(3;) 3

2 loro ascisse in valore assoluto: d CD C D Dall esempio di figura scriviamo: d 3 CD C D In generale, se ascisse e ordinate sono diverse, per calcolare la distanza tra due punti e B si può considerare il triangolo rettangolo BC rappresentato nella figura seguente. L ascissa del punto C è la stessa del punto, mentre C e B hanno stessa ordinata. Sappiamo quindi calcolare la lunghezza dei cateti C e BC: C BC C C B B Per il teorema di Pitagora, l ipotenusa B è lunga B C BC In questo caso si avrà B B B ( 3) B B B(-3;3) 3 C(-3;) (;) O 3 7. Punto medio di un segmento Le coordinate del punto medio di un segmento sono uguali alla media aritmetica tra le coordinate estremi. Sia M( M, M ) il punto medio del segmento B; allora M B e M B. Disegna nel piano cartesiano i punti (3;), B(-;-), C(;), D(-;-3), E(;-), F(;3), G(-;6). Calcola la lunghezza dei segmenti aventi come estremi le seguenti coppie di punti: (3;) e B(3;-); C(;) e D(;3); E(;) e F(-;); G(;) e H(-;-). Calcola inoltre le coordinate dei punti medi di quei segmenti. 3. Verifica se il triangolo di vertici (-;), B(-;-3), C(;-) è isoscele.. Verifica se il triangolo di vertici (-;-), B(-;), C(;) è scaleno. 7. Verifica se il triangolo di vertici (;), B ;3, 3 33 C ; è rettangolo. 3

3 7.3 La retta passante per l origine Disegniamo nel piano cartesiano una retta passante per l origine degli assi. Notiamo che in ogni punto il rapporto tra ordinata e ascissa è costante, ovvero ascissa e ordinata sono proporzionali tra loro. Una equazione che corrisponde alla retta è quindi m Il coefficiente di proporzionalità m è detto coefficiente 3 P(;) angolare, poiché dal suo valore dipende la pendenza della retta, e quindi l angolo compreso tra la retta e l asse delle ascisse. Nella figura al lato, in ogni punto l ordinata è metà O - 3 dell ascissa (ad esempio per il punto P); l equazione della retta è allora m=- m= m=- Il coefficiente angolare vale pertanto m. m= 3 Consideriamo ora l equazione. In questo caso il coefficiente angolare è unitario; in ogni punto ascissa e ordinata assumono gli stessi valori. La retta m=-/ è quindi la bisettrice di primo e terzo quadrante. Nell equazione il coefficiente angolare è pari a -; in ogni punto ascissa e ordinata assumono valori opposti. La retta è la bisettrice di secondo e quarto quadrante, ed è quindi decrescente. In generale, una retta crescente ha coefficiente angolare positivo, mentre una decrescente negativo. Per determinare l equazione della retta coincidente con l asse delle ascisse, basta notare che tutti i punti su quell asse hanno ordinata nulla; l equazione è quindi O m= asse Il coefficiente angolare è nullo; tutte le rette orizzontali, come vedremo, hanno m=. Nell equazione dell asse delle ordinate non esiste coefficiente angolare; l equazione è infatti asse poiché tutti i punti dell asse hanno ascissa nulla, mentre la può assumere un valore qualunque. La retta di equazione è crescente e ha una pendenza maggiore della bisettrice del primo e terzo quadrante; all aumentare di m aumenta la pendenza e può diventare grande a piacere. Se m tende a infinito, la posizione della retta tende a essere verticale. Nella figura in alto sono rappresentate diverse rette con i valori del coefficiente angolare m.. Disegna nel piano cartesiano le rette di equazioni a), b), c).. Scrivi l equazione della retta passante per l origine e per il punto P(;-). [ ] 3. Determina i coefficienti angolari delle rette di equazioni a), b), c) 3 (Suggerimento: per a) e c) modifica le equazioni per portarle nella forma m ) 3 [Risultati: ; -; ] m=/

4 7. La retta in posizione generica L equazione generale della retta in posizione generica è la seguente: 3 m q Il parametro q è detto ordinata all origine, ovvero è l ordinata del punto appartenente alla retta in corrispondenza di un ascissa nulla. Consideriamo ad esempio l equazione della retta O - 3 Per disegnarla sul piano cartesiano (figura al lato), è sufficiente trovare le coordinate di due punti, poiché per due punti passa una sola retta ssegniamo quindi due valori a piacere all ascissa (scegliamo e ), e calcoliamo mediante l equazione scritta sopra il valore dell ordinata. Se =, allora =; se =, allora =3. Per comodità si può scrivere questo anche in una tabella: 3 bbiamo così due punti, di coordinate (;) e (;3), che possiamo segnare e unire per tracciare la retta. Notiamo che per una ascissa nulla, ovvero in corrispondenza dell origine, l ordinata della retta è proprio, che è appunto l ordinata all origine. Si può anche dire che la retta interseca l asse delle ordinate nel punto di ordinata. 7. Rette orizzontali e rette verticali Le rette orizzontali, come sappiamo, hanno coefficiente angolare nullo; l equazione generica, quindi, di una retta orizzontale è k dove k, numero reale, è l ordinata comune a tutti i punti della retta. Per le rette verticali, invece, non è definito il coefficiente angolare; tutti i loro punti hanno la stessa ascissa k, e l equazione generica è k. Disegna sul piano cartesiano le rette di equazioni: a) 3 ; b) ; c) 3 ; d) ; e) 3; f). Determina, quando esistono, coefficiente angolare e ordinata all origine delle rette di equazioni: a) ; b) ; c) 7 ; d) ; e) 3 [Soluzioni: a) m=, q=; b) m e q non esistono; c) m=7, q=-; d) m=, q=; e) m=-3, q=] 7. Rette parallele e perpendicolari Due rette sono parallele se hanno stesso coefficiente angolare. Due rette sono perpendicolari tra loro se il prodotto tra i coefficienti angolari è pari a -: m r ms Si può anche dire che un coefficiente angolare è l antireciproco dell altro: mr m s

5 7.6 ppartenenza di un punto a una retta Un punto appartiene a una retta se soddisfa la sua equazione; le sue coordinate, quindi, sostituite al posto di e nell equazione, devono produrre una identità. d esempio, per verificare che il punto P(3;) appartenga alla retta r di equazione, sostituiamo in essa le sue coordinate: 3 da cui si ricava, che è falso; il punto P, pertanto, non appartiene alla retta r. Il punto Q(;3), invece, appartiene ad essa; infatti, sostituendo le sue coordinate, si ricava 3, ovvero 3 3. Esempi.. Scrivi l equazione di una retta s a piacere perpendicolare alla retta r di equazione. Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare pari all antireciproco di, ovvero m s. Scegliamo a piacere il valore della q e scriviamo:. (Disegna per esercizio le due rette sul piano cartesiano). Scrivi l equazione di una retta s passante per l origine e perpendicolare alla retta r di equazione 3 7. Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare m s. L equazione ha q ed è:. 3 3 (Disegna per esercizio le due rette sul piano cartesiano) 3. Scrivi l equazione della retta r parallela alla retta s:, e passante per il punto P (;3 ) Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare m s. La retta r avrà stesso coefficiente angolare: m r. Possiamo scrivere l equazione in forma esplicita di r, ma non conosciamo ancora l ordinata all origine q: r: q Per determinare q, è sufficiente imporre che la retta r passi per il punto P; sostituiamo quindi le coordinate di P nell equazione di r: 3 ( ) q. Otteniamo una equazione di primo grado nell incognita q; risolvendo si ottiene q 3. La retta r ha pertanto equazione r: (Disegna per esercizio le due rette e il punto P sul piano cartesiano) 6

6 . Scrivi l equazione della retta r perpendicolare alla retta s:, e passante per il punto P (;). Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare m. La retta r avrà coefficiente angolare pari all antireciproco di quello di s, ovvero m r. Possiamo scrivere l equazione in forma ms esplicita di r, ma non conosciamo ancora l ordinata all origine q: r: q Per determinare q, è sufficiente imporre che la retta r passi per il punto P; sostituiamo quindi le coordinate di P nell equazione di r: q. 9 Otteniamo una equazione di primo grado nell incognita q; risolvendo si ottiene q. La retta r ha pertanto equazione 9 r:. Scrivi l equazione di una retta s passante per l origine e parallela alla retta r di equazione. Risultato :. Scrivi l equazione della retta r parallela alla retta s:, e passante per il punto P ( ; 3). Risultato : 3. Scrivi l equazione di una retta s passante per l origine e perpendicolare alla retta r di equazione 3. 3 Risultato :. Scrivi l equazione della retta r perpendicolare alla retta s:, e passante per il punto P (;3). Risultato : 3. Stabilisci quali dei seguenti punti appartengono alla retta r di equazione : 3 7 (;); B(;); O(;); C ; ; D 3;. [appartengono B e C] 3 (Per stabilire se un punto appartiene o no a una retta, basta sostituire le sue coordinate al posto di e nell equazione della retta; se l equazione diventa una identità, il punto appartiene) s 7

7 7.6 Coefficiente angolare della retta passante per due punti Se conosciamo le coordinate di due punti del piano ; e B B ; B, possiamo calcolare il coefficiente angolare della retta passante per essi come il rapporto tra differenza delle ordinate dei punti e differenza delle ascisse: B m B Si noti che se i due punti hanno stessa ascissa, il coefficiente angolare non è definito (avremmo uno zero al denominatore, che non ha senso), mentre nel caso in cui abbiano stessa ordinata, esso è nullo. Esempi. Determina il coefficiente angolare della retta passante per i punti ; e B 7;6 dopo averli disegnati sul piano cartesiano (vedi figura a destra). Soluzione. Disegniamo i due punti sul piano cartesiano. Ci aspettiamo un coefficiente angolare positivo, poiché la retta che passa per quei due punti è crescente; esso vale B 6 m B 7 Nota che avremmo avuto lo stesso risultato scambiando fra loro le coordinate di con quelle di B: B 6 m B Questa retta ha la stessa pendenza della bisettrice di I e III quadrante.. Determina l equazione della retta passante per i punti 3; e ; B (disegna punti e retta per esercizio). Soluzione. L equazione della retta incognita è, come sappiamo, m q. Sappiamo determinare il coefficiente angolare: B 9 m B ( 3) 9 L equazione è per ora q. Dobbiamo determinare la q. Dal momento che entrambi i punti e B appartengono alla retta, le loro coordinate devono soddisfare l equazione della retta stessa (vedi il par. 7.6). Scegliamo quindi uno dei due punti a piacere (ad es. ) e sostituiamo nell equazione della retta le due coordinate 3 e : 9 3 q Risolvendo questa equazione di primo grado in una incognita, otteniamo il valore di q: q q. 9 7 L equazione della retta è quindi... Determina il coefficiente angolare della retta passante per i punti ; e B 7;6 dopo averli disegnati sul piano cartesiano. Risultato : m 6 O B

8 . Una retta ha coefficiente angolare pari a 3 e passa per il punto ; e per un punto B di ascissa 7. Determina l ordinata del punto B. Risultato : B Determina l ordinata all origine della retta passante per i punti ; 3 e ;. Determina l equazione della retta passante per i punti C ;3 e 3;. Determina l equazione della retta passante per i punti ; 3 D hanno stessa ascissa, pertanto ) B. 7 Risultato : q Risultato : 3. (ttenzione: i due punti D. e ; 7.7 Equazione della retta passante per due punti Nell esempio n. del paragrafo precedente abbiamo calcolato la retta passante per due punti, calcolando prima il coefficiente angolare; esiste una formula per calcolarla direttamente. Conoscendo le coordinate dei due punti e B, l equazione della retta passante per essi è data da Esempio B B. Determina l equazione della retta passante per i punti 3; e ; Soluzione. Sostituiamo le coordinate di e B nell equazione ( 3) ( 3) e con i seguenti passaggi l equazione della retta in forma esplicita: B B. B, ottenendo 9 7 bbiamo ottenuto lo stesso risultato dell esempio n. del paragrafo Determina l equazione della retta passante per i punti ; e ;9. Determina l equazione della retta passante per i punti 7; 3 e 6; B. [Risultato: ] B. Risultato : 3 3 9

9 7. Equazione della retta in forma implicita L equazione m q è detta equazione della retta in forma esplicita, poiché sono in evidenza i parametri m e q che ci danno informazioni sull andamento grafico della retta. Come sappiamo, esistono infinite equazioni equivalenti a una data; un altra forma importante dell equazione della retta in posizione generica è quella implicita: a b c Possiamo ricavare la relazione tra coefficiente angolare, ordinata all origine e i valori di a, b e c. Trasformiamo l equazione in forma implicita: a c b a c, da cui, se b,. b b a c Le relazioni cercate sono quindi m e q. Per disegnare la retta nel piano cartesiano, b b comunque, è conveniente avere l equazione in forma esplicita. Esempi.. Metti in forma esplicita le seguenti equazioni di rette: a) b). Non è possibile metterla in forma esplicita, poiché manca la ; l andamento grafico della retta è più comprensibile se la si scrive così:, cioè ; è quindi una retta verticale, i cui punti hanno tutti ascissa pari a.. Calcola coefficiente angolare e ordinata all origine delle rette aventi le seguenti equazioni in forma implicita: a) b) c) 3.. Metti, se possibile, in forma esplicita le seguenti equazioni di rette: a) ; b) 7 ; c) ; d) ; e) 3.. Calcola coefficiente angolare e ordinata all origine delle rette aventi le seguenti equazioni in forma implicita: a) b) c) 3.

10 7.9 Distanza da un punto a una retta Dati un punto P ( P, P) e una retta r di equazione a b c, la distanza dal punto alla retta è data dalla seguente formula: ap bp c d( P, r) a b Si noti che in questa formula è usata la forma implicita dell equazione della retta. Esempi.. Calcola la distanza dal punto P (;6) alla retta di equazione 3 Soluzione. La distanza sarà ap bp c 36 d( P, r) a b Calcola la distanza dal punto P ( 3; ) alla retta di equazione 3 Soluzione. Poniamo l equazione della retta in forma implicita: 3 La distanza sarà ap bp c 3 ( )( ) d( P, r) a b 3 ( ) Calcola la distanza dalla retta di equazione 3 all origine degli assi. Risultato :d. Calcola la distanza dalla retta di equazione 7 all origine degli assi. Risultato :d 3. Calcola la distanza dalla retta di equazione al punto P ( ; ). Risultato :d. Calcola l area del triangolo di vertici (;3 ), B (; ) e C (7;). (Suggerimento: calcola la lunghezza B, l equazione della retta per B e la distanza dal vertice C alla.) Risultato : 6. Calcola la lunghezza della mediana relativa al lato B nel triangolo di vertici (; ), B (;) e (6;3) Risultato : CM 36,3 C e disegna triangolo e mediana.

11 7. Un applicazione della retta: come trasformare un intervallo in un altro Un insegnante ha corretto dei compiti assegnando a ogni esercizio un certo punteggio; il totale, nel caso tutto sia perfetto, è, ma nella correzione ottenuto voti compresi tra il 3 e il 6. Per riportare in decimi il cosiddetto punteggio grezzo relativo a ogni compito, espresso in ottantesimi, deve usare una formula. Come fare? Supponiamo che il prof. decida di assegnare il voto / al punteggio 3 e il voto ½ al punteggio 6. Egli disegna, quindi, il grafico a destra: sull asse delle ascisse ha riportato il v, B punteggio grezzo p, compreso tra 3 e 6, mentre su quello delle ordinate il voto in decimi v, compreso tra e,. Ha unito i due punti mediante un segmento, perché vuole riportare il punteggio grezzo al voto in maniera lineare. La formula che permette di trasformare qualsiasi punteggio grezzo in voto corrisponde all equazione della retta passante per e B (vedi par. 7.7), in cui non usiamo e, bensì p e v: p p v v pb p vb v da cui si ricava O 3 6 p p 3 p 3 v, p 3 v, p 3, v 6 3,,, 76, v, p 76, v p v p, 7 chi ha totalizzato punti nel punteggio grezzo, pertanto, dà un voto in decimi pari a v,7 6,7, arrotondato a 6½. Negli esempi di programmazione in Basic, abbiamo visto la funzione RND (random), che genera numeri casuali tra e. Nell animazione che stavamo creando, ci serviva un numero a compreso tra -3 e 3, da cui dipendeva l angolo col quale la pallina animata partiva dalla parte superiore dello schermo. Per determinare la formula che trasformasse un numero compreso tra e in un numero compreso tra -3 e 3, abbiamo disegnato il grafico a destra. La formula che ci serve corrisponde all equazione della retta passante per e B; questa, a 3 O B RND come è evidente dal grafico, ha l ordinata all origine pari a 3, mentre il coefficiente angolare vale (vedi par. 7.6) a a B 3 3 m 6 RND RND B -3 L equazione della retta è quindi a 6 RND 3 (potevamo anche usare l equazione della retta passante per due punti, come nell esempio precedente). L espressione 6 RND 3, quindi genererà numeri casuali compresi tra -3 e 3.

12 7. Fascio proprio di rette Il fascio proprio di rette è l insieme costituito dalle rette che hanno in comune un punto. destra è rappresentato il fascio proprio di centro di coordinate (;). L equazione di tale insieme è la seguente: m l variare del coefficiente angolare, essa rappresenta infinite rette passanti per P ( ; ). È utile per determinare l equazione di una retta conoscendo il suo coefficiente angolare e le coordinate di un suo punto. Esempi.. Determina l equazione della retta passante per il punto P (;6) e avente coefficiente angolare pari a. Soluzione. L equazione richiesta è 6, che in forma esplicita diventa.. Determina l equazione della retta r passante per il punto P (;3 ) e perpendicolare alla retta s di equazione 3. Soluzione. Il coefficiente angolare della retta s è m s ; di conseguenza il coefficiente angolare 3 3 della retta r è m r. ms L equazione della retta s è data quindi da 3, cioè Calcola l equazione della retta parallela alla retta di equazione e passante per il punto P (;), utilizzando l equazione del fascio proprio di rette. Risultato :. Calcola l equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione e passante per il punto ( 3; 7) Risultato : P, utilizzando l equazione del fascio proprio di rette. 7. Posizione reciproca tra rette Due rette possono essere incidenti, parallele o coincidenti tra loro. Se scriviamo il sistema costituito dalle due equazioni di rette, esso sarà 3

13 - determinato se le due rette sono incidenti, e il punto di intersezione è proprio la soluzione del sistema; - impossibile, se le due rette sono parallele e non hanno, quindi, alcun punto in comune; - indeterminato, se le due rette sono coincidenti, e hanno infiniti punti in comune. Esempi.. Determina la distanza dal punto di intersezione delle rette r, di equazione, ed s, di equazione, dall origine. Soluzione. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette, la soluzione rappresenterà il punto di intersezione: 6 Il punto di intersezione è P (;6). La distanza PO vale ( ) (6 ) Stabilisci la posizione reciproca fra le due rette di equazioni 3 e Soluzione. Scriviamo il sistema formato dalle equazioni delle due rette in forma normale: Se scriviamo i rapporti tra coefficienti e tra termini noti, notiamo che il sistema è impossibile, pertanto le rette sono parallele: Stabilisci la posizione reciproca fra le due rette di equazioni 7 e.. Stabilisci la posizione reciproca fra le due rette di equazioni 3 e Determina la distanza dal punto di intersezione delle rette r, di equazione, ed s, di equazione, dall origine. Ris. : ; 3. Determina la distanza dal punto di intersezione delle rette r, di equazione 3, ed s, di equazione, dal punto (;6) P. Ris. : 6

14 . La parabola. Definizioni, equazione e proprietà Si definisce parabola il luogo dei punti equidistanti da una retta, detta direttrice, e da un punto detto fuoco. Nella figura al lato è mostrata una parabola con direttrice parallela all asse e fuoco sull asse ; sono evidenziati tre punti sulla parabola e le relative distanze, uguali tra loro, dal fuoco F e dalla retta d. Sia la direttrice la retta di equazione p e il fuoco il punto F (, p). Determiniamo l equazione della parabola } dist. } dist. p corrispondente, applicando la definizione data prima. Un punto generico della parabola P (, ) deve avere la stessa distanza dalla direttrice e dal fuoco; pertanto si può scrivere PQ=FP, ovvero p ( ) ( p) poiché, come è evidente dal disegno, la distanza da P alla retta è la somma tra l ordinata della retta in valore assoluto p e l ordinata di P (nel disegno le due lunghezze sono evidenziate per P 3 dalle parentesi graffe); il membro di destra è la distanza punto-punto FP. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene p p e quindi p p p p p p p e finalmente p L equazione della parabola, avente fuoco sull asse, direttrice parallela all asse, e con fuoco e direttrice aventi stessa distanza p dall origine degli assi, si può scrivere quindi come a, dove a p. Per disegnare una parabola, è possibile usare la tabella come per la retta, assegnando valori a piacere alla (non ne bastano due, è bene darne almeno cinque o sei) e calcolando la corrispondente. Se proviamo a disegnare parabole con diverso valore di a (figura a destra), magari utilizzando un software come Geogebra, notiamo che all aumentare di a la parabola diventa più stretta; pertanto a è detto coefficiente di apertura. Se il parametro a è positivo, la parabola volge la concavità verso l alto, altrimenti, se è negativo, verso il basso. L asse di simmetria di questa parabola coincide con l asse delle ordinate. Si definisce vertice della parabola il punto di intersezione tra asse di simmetria e la parabola stessa; in questo caso coincide con l origine degli assi. L equazione di una parabola con asse di simmetria coincidente con l asse è analoga a quella vista prima; è sufficiente scambiare tra loro la e la : a

15 dove il parametro a assume lo stesso significato; il fuoco avrà coordinate ; e la retta direttrice equazione. a a La parabola ha una importante proprietà, che la rende utile in illuminotecnica e nelle telecomunicazioni. Se un fascio parallelo di onde elettromagnetiche colpisce il paraboloide (superficie generata dalla rotazione della parabola intorno al suo asse di simmetria), tali onde si riflettono e convergono sul fuoco della parabola (vedi fig. a destra); si pensi all antenna parabolica, in cui le onde elettromagnetiche relative a trasmissioni radiotelevisive provenienti da un satellite geostazionario si sommano tra loro producendo un onda più intensa grazie a questa riflessione; la lunghezza del percorso descritto da ciascuna onda elettromagnetica dal satellite al fuoco, inoltre, è sempre la stessa, proprio perché nella parabola la distanza dal fuoco è uguale a quella dalla retta direttrice; cioè fa sì che le onde arrivino nel fuoco in fase, potendosi così sommare tra loro. nalogamente, un proiettore ha una lampada nel fuoco del paraboloide e genera raggi luminosi pressoché paralleli, per concentrare la luce in una certa direzione. Una simpatica illusione ottica, ottenibile per mezzo di due specchi concavi parabolici, è Mirage, un dispositivo che permette di osservare immagini reali tridimensionali: sembra che ci sia davvero un oggetto ma c è solo luce; leggi di più al seguente link Costruzione di una parabola con Geogebra È interessante costruire la parabola applicando la sua definizione, non usando quindi per ora lo strumento parabola di Geogebra. Ecco i passi da seguire: ) disegna un punto, il fuoco, e una retta d (se preferisci, orizzontale); ) scegli un punto qualsiasi Q sulla retta d; 3) disegna la retta perpendicolare a d passante per Q (ricorda infatti che la distanza da un punto a una retta si misura tracciando una retta perpendicolare); ) costruisci l asse del segmento FQ (ricorda infatti che l asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dai suoi estremi), utilizzando lo strumento sse (puoi anche non disegnare il segmento FQ); ) disegna il punto P di intersezione tra le due ultime rette costruite (strumento Intersezione); 6) seleziona lo strumento Muovi e trascina il punto Q e osserva come si muovo il punto P; 7) per disegnare la parabola, seleziona lo strumento Luogo, seleziona quindi il punto P e il punto Q. È possibile utilizzare lo strumento Parabola per disegnarne una senza la costruzione vista sopra fornendo il fuoco e la retta direttrice. Per disegnarla si può inoltre scrivere la sua equazione nella barra di inserimento in basso, come si fa per disegnare retta, circonferenza e via dicendo. Esempi.. Determina l equazione della parabola avente vertice nell origine degli assi e fuoco sull asse delle di ordinata. 6

16 Soluzione. Questa parabola ha equazione del tipo a. Il coefficiente a è dato da a, dove p p coincide con l ordinata del fuoco; l equazione, pertanto, è.. Determina le coordinate del fuoco e l equazione della direttrice della parabola di equazione. Soluzione. L ascissa del fuoco è nulla, mentre la sua ordinata è p. L equazione della a direttrice è... Determina l equazione della parabola avente vertice nell origine degli assi e fuoco di coordinate (;). Risultato : 3. Determina le coordinate del fuoco e l equazione della direttrice della parabola di equazione. Risultato : F(;6), Disegna, nello stesso piano cartesiano, scegliendo a piacere le ascisse di cinque o sei punti e calcolando le ordinate corrispondenti, le parabole di equazioni,,. Come cambia il disegno al variare del parametro a?.3 Parabola con asse di simmetria parallelo all asse in posizione generica L equazione generica della parabola avente asse di simmetria parallelo all asse è la seguente (se ne omette la dimostrazione): a b c Si può dimostrare che le coordinate del vertice sono b V ;, a a dove è il discriminante relativo al polinomio di secondo grado presente nell equazione. Conoscendo queste coordinate, si possono ricavare quelle del fuoco e l equazione dell asse di simmetria e della direttrice. Le coordinate del fuoco, infatti, sono b F ;, a a poiché esso ha stessa ascissa del vertice, e l ordinata è pari a quella del vertice incrementata di, a proprio come accade nel primo caso studiato. La retta direttrice, invece, ha ordinata pari a quella del vertice diminuita di, e pertanto è a. a L equazione dell asse, che è in questo caso l insieme dei punti aventi la stessa ascissa del vertice, è 7

17 b. a Esempi.. Determina le coordinate del fuoco e l equazione della direttrice della parabola di equazione 3 7. Soluzione. Calcoliamo il discriminante relativo al polinomio: b ac b Le coordinate del fuoco sono F ;, ovvero F ; F ; a a 3 F ; L equazione della direttrice è. a. Determina l equazione della parabola avente vertice ; V e passante per un punto dell asse delle ordinate di ordinata 3. Soluzione. La parabola passa dal punto di coordinate (;3). Sostituendo tali coordinate nell equazione generica a b c si ottiene 3 a b c, e quindi c 3. Restano da determinare i coefficienti a e b. Per far questo scriviamo il sistema, utilizzando b le coordinate del vertice e le equazioni studiate: V ;. a a b b a a b ac a a Sostituendo il valore di c calcolato prima: b a b a a a a a a a b a a a Dalla seconda equazione si ricavano le soluzioni a, a ; la soluzione nulla non è accettabile, poiché l equazione diventerebbe di primo grado e non rappresenterebbe una parabola. Per sostituzione calcoliamo b ; l equazione della parabola è quindi 3 3. Determina l equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all asse e passante per i punti ;, B ;3 e C ;6. Soluzione. Poiché i tre punti devono appartenere alla parabola, le loro coordinate devono tutte soddisfare la sua equazione a b c ; sostituiamo quindi tali coordinate al posto di e, ottenendo un sistema di tre equazioni in tre incognite:

18 a b c c 3 a b c 3 a b c 6 a b c 6 a b c Sostituiamo il valore di c nella seconda e terza equazione: c c c 3 a b a b a b 6 a b a b a b Sottraendo membro a membro, elimino l incognita a, ricavando b b ; quindi a. L equazione della parabola è, quindi,.. Determina le coordinate del fuoco e del vertice e l equazione della direttrice della parabola di 3 37 equazione 7. Risultati : V ;9, F;,. Determina le coordinate del fuoco e del vertice e l equazione della direttrice della parabola di 3 equazione 3. Risultati : V ;, F;, 3. Determina l equazione della parabola avente vertice V ; e fuoco F ; ; prima di determinare l equazione, sai dire come ti aspetti la concavità di questa parabola? Risultato : 3 3. Determina l equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all asse e passante per i ; 3; ; Risultato : punti, B e C.. Interpretazione grafica di equazioni e disequazioni di secondo grado Risolvere una equazione di secondo grado equivale a determinare le ascisse dei punti di intersezione tra una parabola con asse verticale e l asse delle ascisse; mettiamo a sistema, infatti, l equazione di una parabola generica e l equazione dell asse : a b c Sostituendo il valore nullo di nella prima equazione, si ottiene a b c, ovvero a b c che rappresenta una equazione di secondo grado nella forma generica che conosciamo. d esempio, se risolviamo l equazione 6 otteniamo le due soluzioni e 3. Esse sono proprio le ascisse delle due intersezioni tra la parabola di equazione 6 e l asse delle ascisse, come mostrato nella figura.. Se il discriminante dell equazione è negativo, l equazione, come sappiamo, è impossibile; questo implica che non ci sono intersezioni tra parabola e l asse delle ascisse, e quindi la parabola è tutta sopra l asse (se la concavità è verso l alto, ovvero a>), oppure tutta sotto l asse (se la concavità è verso il basso, cioè a<). d esempio nell equazione 3 9 il discriminante vale 3; la parabola ha la concavità verso il basso e non interseca l asse, come vediamo nella figura.. 9

19 Figura.. Rappresentazione grafica della equazione Figura.. Rappresentazione grafica della equazione Questa interpretazione grafica è molto utile nella risoluzione delle disequazioni di secondo grado. Nella disequazione 6 dobbiamo stabilire i valori di che rendono positivo il polinomio di secondo grado; dal disegno della parabola notiamo che tale polinomio è positivo se >3 o se <, quindi per valori esterni alle soluzioni dell equazione associata (figura.3). Nella disequazione 6, le soluzioni sono interne a e (figura.). Figura.3. Rappresentazione grafica della disequazione Figura.. Rappresentazione grafica della disequazione Se il discriminante dell equazione associata è negativo, la parabola, come abbiamo detto, è tutta sopra o tutta sotto l asse delle ascisse; di conseguenza, la disequazione è sempre verificata,, oppure mai,. d esempio, nella disequazione 3 9, il discriminante della equazione associata è negativo, quindi la parabola, come abbiamo visto, è tutta sotto l asse ; il segno della parabola è sempre negativo, quindi la disequazione è verificata.. Risolvi graficamente le seguenti disequazioni di secondo grado: a) 3 ; b) 6 ; c) 6 ; d) ; e) Risultati : a) 3 ; b) ; c) 3; d) ; e) 3

20 . Posizioni reciproche tra parabola e retta Consideriamo una parabola e una retta nel piano. Come per due rette, la posizione reciproca fra retta e parabola può essere studiata risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni. La retta, rispetto alla parabola, può essere - tangente, se il sistema ha due soluzioni coincidenti; - secante in due punti, se il sistema ha due soluzioni distinte; il segmento B è detto corda staccata dalla parabola sulla retta; - esterna, se il sistema è impossibile - secante in un sol punto, se la retta è parallela all asse di simmetria della parabola; in quel caso, il sistema diventa di primo grado. Figura.. Posizioni reciproche fra parabola e retta: esterna, tangente, secante in due punti, secante in un sol punto Esempi.. Determina la posizione reciproca, ed eventualmente i punti di intersezione, tra le seguenti coppie di rette e parabole: a) Soluzione: Risolviamo il sistema di secondo grado 3 L equazione di secondo grado ottenuta è impossibile, in quanto il discriminante è negativo; la retta, pertanto, è esterna alla parabola (figura a destra). b) Soluzione: Risolviamo il sistema di secondo grado 6 La retta è parallela all asse della parabola e la interseca un solo punto di coordinate (;-) (figura a destra). c) 6 3 Soluzione: Risolviamo il sistema di secondo grado L equazione di secondo grado ottenuta ha due soluzione reali e coincidenti, pertanto la retta è tangente alla parabola; calcoliamo le coordinate del punto di tangenza: ; sostituendo nell equazione della retta, 3 Il punto ha coordinate (;). 3

21 . Determina l equazione della retta tangente alla parabola di equazione condotta dal punto P(;-). Soluzione: Scriviamo l equazione del fascio di centro proprio in P: m( ) m. Poniamo a sistema il fascio con la parabola, per determinare il coefficiente angolare della retta tangente, imponendo che il sistema di secondo grado abbia due soluzione reali e coincidenti: m m m Il discriminante dell equazione di secondo grado è m. Per imporre che ci siano due soluzione reali e coincidenti, è sufficiente imporre che il discriminante sia nullo: m m Vi sono, pertanto, due rette tangenti, come mostrato nel disegno realizzato con Geogebra: e.. Determina la posizione reciproca, ed eventualmente i punti di intersezione, tra le seguenti coppie di rette e parabole: a) 3 3 Ris.:( ; 6), tangenza b) 3 Ris.:(;), ; 3 c) Ris.:( ;), ;. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione nel punto Ris. : ; (;). 3. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione nel punto Ris. : ; (;). 3

22 9. La circonferenza 9. Circonferenza di centro nell origine degli assi La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro. Se il centro coincide con l origine degli assi, la distanza PO da un punto generico della circonferenza P(,) al centro O può essere scritta, applicando il teorema di Pitagora al ; ponendola ugua- triangolo OP, come le al raggio r, si può scrivere r che, elevando al quadrato ambo i membri, diventa r Questa è l equazione della circonferenza di raggio r, con centro in O. d esempio, la circonferenza di raggio 7 con centro in O è rappresentata dall equazione 9. O r (;) P(;) Esempi. Scrivi in forma normale l equazione della circonferenza 3 3 e determina il suo raggio. Soluzione. Dividendo per 3 entrambi i membri, otteniamo l equazione 36 ; portando a destra il termine noto otteniamo l equazione in forma normale: 36 ; da essa si evince che il raggio è pari a r Determina le ordinate dei punti di ascissa appartenenti alla circonferenza di equazione. Soluzione. Dal momento che questa circonferenza ha raggio maggiore di, ci aspettiamo che ci siano due punti sulla circonferenza di ascissa ; per determinare le loro ordinate è sufficiente sostituire al posto di nella sua equazione, ottenendo una equazione di secondo grado:. /. Disegna col compasso nel piano cartesiano la circonferenza di equazione 9.. Scrivi in forma normale l equazione della circonferenza 36 e determina il suo raggio. Risultato : r 6 3. Scrivi l equazione di una circonferenza di centro in O e raggio pari a.. Stabilisci quali dei seguenti punti appartengono alla circonferenza di equazione : (;) ; B ( ; ) ; C (3; ) ; D ( ;). (Perché un punto appartenga a una circonferenza, le sue coordinate devono soddisfare ) Risultato : BeD. Determina le ascisse dei punti di ordinata 3 appartenenti alla circonferenza di equazione. Risultato : 3 6. Determina le coordinate dei quattro punti di intersezione tra assi coordinati e la circonferenza di equazione 6 ( ;), B(;), C( ;), D(; ). 33

23 3 9. Circonferenza di centro qualunque Ricordando la formula della distanza tra punti, poiché la circonferenza è il luogo dei punti equidistanti dal centro ), ( C, la sua equazione, in forma esplicita, è ) ( ) ( r Calcolando i quadrati di binomio, si ottiene: r Ordinando, r Possiamo scrivere questa equazione nel modo seguente, la cosiddetta forma implicita: c b a Confrontando le ultime due equazioni, utilizzando il principio di identità di due polinomi, si ottengono i valori delle coordinate del centro e della lunghezza del raggio in funzione dei parametri a, b e c: a a b b c r c r c r c b a r L ultima relazione ha significato se il radicando è positivo o nullo, quindi se c b a. Nel caso in cui sia proprio nullo, anche il raggio è nullo; si dice che la circonferenza degenera in un punto. Se il radicando è negativo, l equazione non rappresenta una circonferenza. Esempi. Scrivi l equazione della circonferenza di raggio pari a e centro in (;-). Soluzione. Sostituendo i dati forniti dalla traccia nell equazione in forma esplicita della circonferenza, otteniamo ) ( ) (.. Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza di equazione ) (. Soluzione. Le coordinate del centro sono (-;) e il raggio è 9 r. 3. Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza di equazione 39 6, dopo aver verificato che si tratti effettivamente di una circonferenza. Soluzione. Verifichiamo che l equazione rappresenti una circonferenza, controllando che il radicando nell espressione usata per calcolare il raggio, sia positivo: c b a È positivo, quindi si tratta di una circonferenza. Le coordinate del centro sono 3 6 a e b. O C( ; ) r

24 a b 6 Il raggio vale r c Determina l equazione della circonferenza di centro C(;3) e passante per il punto P(7;-). Soluzione. Possiamo scrivere la sua equazione, non conoscendo il raggio: ( ) ( 3) r Imponiamo il passaggio dal punto P, sostituendo le sue coordinate nell equazione: ( 7 ) ( 3) r r 6 L equazione è quindi ( ) ( 3) 6.. Scrivi l equazione della circonferenza di raggio pari a e centro in (;-).. Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza di equazione ( 7) ( ) Ris.: C( 7;), r. 3. Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza di equazione Ris.: C(;3), r 3.. Determina le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza di equazione. Ris.: C( ; ), r. Determina l equazione della circonferenza di centro C(-;) e passante per il punto P(-;). Ris. : 9 6. Determina l equazione della circonferenza di centro C(;-) e passante per l origine degli assi. Ris. : 7. Determina le equazioni delle circonferenze i cui centri hanno ascissa, i cui raggi misurano e passano per il punto P(;). Ris.: 3 ; 3. Una circonferenza di raggio passa per l origine degli assi e ha centro nel primo quadrante sulla retta di equazione Ris. :( ) ( ) ; determina la sua equazione. 3

25 9.3 Posizioni reciproche fra circonferenze e rette Consideriamo una circonferenza e una retta nel piano. La retta è. esterna alla circonferenza se la distanza dalla retta al centro è maggiore del raggio (fig. );. tangente alla circonferenza se la distanza è pari al raggio (fig. ) 3. secante la circonferenza se la distanza dal centro è minore del raggio (fig. 3). Figura. Retta esterna Figura. Retta tangente Figura 3. Retta secante Come per due rette, la posizione reciproca fra retta e circonferenza può essere studiata risolvendo il sistema, in questo caso di secondo grado, formato dalle loro equazioni. La retta, rispetto alla circonferenza, può essere - tangente, se il sistema ha due soluzioni coincidenti, ovvero se l equazione risolvente il sistema ha discriminante nullo; - secante in due punti, se il sistema ha due soluzioni distinte, ovvero se l equazione risolvente il sistema ha discriminante positivo; - esterna se il sistema è impossibile, ovvero se l equazione risolvente il sistema ha discriminante negativo. Esempi.. Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione 3 e gli assi cartesiani. Soluzione. Per determinare i punti di intersezione tra la circonferenza e l asse delle ascisse, che ha equazione, risolviamo il sistema seguente di secondo grado con il metodo di sostituzione: /, I punti di intersezione con l asse delle ascisse sono pertanto (; ) e B (;). Determiniamo ora quelli con l asse delle ordinate: 3 / I punti di intersezione con l asse delle ascisse sono pertanto C (, ) e D (, ). 36

26 37. Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione e la retta di equazione. ) ( ) ( / I due punti di intersezione sono quindi 3 7 ; 3 e 3 7 ; 3 B. 3. Determina la posizione reciproca tra la circonferenza 6 7 e la retta 7. Soluzione. Per determinare la posizione reciproca, determiniamo il discriminante della equazione risolutiva del sistema ) 7( 7) ( Poiché il discriminante è nullo, la retta è tangente.. Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione e gli assi cartesiani. (;) (;), :. O Ris. Determina i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta. ; ), ; :(. Ris 3. Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione e la retta di equazione 3. tangenza ;), puntodi :(. Ris. Determina i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione 3 e la retta di equazione. ) ;),(; :(. Ris

27 9. Circonferenza passante per tre punti Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza. Illustriamo due metodi per determinare l equazione della circonferenza conoscendo le coordinate dei tre punti Metodo geometrico-analitico Possiamo calcolare le coordinate del centro come intersezione degli assi di due dei lati del triangolo BC. e il raggio, e ottenere quindi l equazione della circonferenza. Metodo algebrico-analitico 3

28 L ellisse. Definizioni, relazioni ed equazione relative all ellisse Si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante. Nella figura a destra è mostrata l ellisse, i due fuochi e due punti generici P e Q appartenenti ad essa: la somma delle distanze PF +PF è uguale alla somma delle distanze QF e QF. Consideriamo l ellisse con i fuochi disposti sull asse delle ascisse simmetricamente rispetto all origine. Sia c la distanza dei fuochi dall origine. La distanza tra i fuochi F F è detta asse focale, e misura nel nostro caso c. I punti di intersezione tra l ellisse e gli assi cartesiani sono detti vertici dell ellisse; sia a la distanza dei vertici disposti sull asse delle ascisse dall origine, mentre b la distanza dei vertici disposti sull asse delle ordinate dall origine. Il segmento, che giace sull asse coordinato contenente i fuochi, è detto asse maggiore, mentre il segmento B B è detto asse minore. La somma delle distanze da un punto generico dell ellisse rispetto ai due fuochi vale a; se consideriamo, infatti, il punto, appartenente all ellisse, la somma delle distanze tra i fuochi è F F, che, poiché F F, diventa F F, cioè la lunghezza dell asse maggiore, a. Se consideriamo il vertice B, e tracciamo le distanze da esso ai fuochi, costruiamo il triangolo isoscele F F B ; poiché la somma di tali distanze è a, ciascun lato del triangolo isoscele ha lunghezza pari ad a; considerando il triangolo rettangolo OB F, possiamo determinare la relazione tra le lunghezze a, b e c, applicando il teorema di Pitagora: a b c, ovvero c a b. Le coordinate dei fuochi sono pertanto ; F a b e F ; a b L equazione canonica (o normale) dell ellisse riferita al centro e agli assi con i fuochi sull asse è la seguente:, con a b. b a Se i fuochi sono disposti sull asse delle ordinate (figura a destra), l equazione canonica resta la stessa, ma a sarà la lunghezza del semiasse minore e b quella del semiasse maggiore:, con a b. b a La relazione tra a, b e c, inoltre, sarà la seguente: c b a 39

29 Esempi. Determina le lunghezze degli assi e la distanza focale dell ellisse di equazione Soluzione. Confrontando l equazione data con quella canonica, si ricava che a 36 e b 6, da cui a 6 e b. Gli assi, quindi, sono lunghi a e B B b. Poiché c F F c. a b, c a b La distanza focale è pertanto. Determina le lunghezze degli assi e la distanza focale dell ellisse di equazione 6. Soluzione. Portiamo l equazione data nella forma canonica, dividendo tutti i termini per 6: 6 6. Si ricava che a e b, da cui a e b. Gli assi, quindi, sono lunghi a e B B b. La distanza focale è F F c a b. 3. Determina l equazione e la lunghezza dell asse maggiore dell ellisse avente fuochi sull asse delle ordinate e asse minore e distanza focale entrambi pari a. Soluzione. Poiché i fuochi sono sull asse delle ordinate, nella simbologia che abbiamo usato vale la relazione c b a ; conosciamo c (metà della distanza focale) e a (metà della lunghezza dell asse minore) da cui possiamo calcolare b a c ; l asse maggiore è lungo pertanto B B b. L equazione dell ellisse è, poiché a e b. Portiamo l equazione data nella forma canonica, dividendo tutti i termini per 6: 6 6. Si ricava che a e b, da cui a e b. Gli assi, quindi, sono lunghi a e B B b. La distanza focale è F F c a b.. Determina le lunghezze degli assi e la distanza focale dell ellisse di equazione. Risultati 3,,. Determina le lunghezze degli assi e le coordinate dei fuochi dell ellisse di equazione Risultati 6,, ; 3. Determina l equazione e la lunghezza dell asse minore dell ellisse avente fuochi sull asse delle ordinate, asse maggiore pari a e distanza focale pari a 3. Risultati ; 9

30 . Eccentricità dell ellisse Si definisce eccentricità dell ellisse il rapporto tra distanza focale e asse maggiore. Se i fuochi sono c sull asse delle ascisse, si calcola con la seguente formula: e ; se essi sono su quello delle a c ordinate, con la formula e. b L eccentricità è compresa tra e. Se essa vale, si è in un caso limite: i fuochi coincidono con l origine degli assi e l ellisse è una circonferenza. Se essa vale, i fuochi coincidono con i vertici sull asse maggiore e l ellisse degenera nell asse maggiore. Esempi. Determina l eccentricità dell ellisse di equazione 9. Soluzione. Per determinare a e b riportiamo l equazione alla forma canonica, dividendo tutti i termini per : 9 9 Confrontando l equazione data con quella canonica, si ricava che a e b 9, da cui a e c b 3. Quindi c a b 9 6. L eccentricità si calcola con la formula e, a poiché i fuochi sono sull asse delle ascisse: e.. Una ellisse con i fuochi sull asse delle ordinate ha eccentricità pari a, e distanza focale pari a ; determina l equazione dell ellisse. c Soluzione. Sappiamo che e,. Conosciamo anche la distanza focale, la cui metà è il valore b di c: c. c Ricaviamo quindi b e a b c e,. L equazione dell ellisse è quindi.. Determina l eccentricità dell ellisse avente asse maggiore pari a 6 e asse minore pari a. Risultato e 6. Una ellisse con i fuochi sull asse delle ascisse ha eccentricità pari a, e distanza focale pari a ; determina l equazione dell ellisse. Risultato 6

31 .3 Posizioni reciproche fra retta ed ellisse nalogamente a quanto detto per la parabola, una retta può essere esterna, tangente o secante l ellisse. L equazione risolvente il sistema delle due equazioni avrà discriminante rispettivamente negativo, nullo o positivo. Per determinare le equazioni delle rette tangenti condotte per un punto P esterno all ellisse, è possibile procedere come già visto nel caso della parabola, mediante cioè il sistema tra l equazione dell ellisse e quella del fascio proprio di rette di centro P e imponendo che il discriminante sia nullo. Se invece il punto P è appartenente all ellisse, l equazione della retta tangente in P è data dalla formula di sdoppiamento, per cui si effettuano le seguenti sostituzioni all equazione dell ellisse: P P Conoscendo quindi l equazione dell ellisse e le coordinate del P appartenente ad essa, l equazione della retta tangente all ellisse nel punto P è P P b a Esempi. Determina i punti di intersezione tra l ellisse di equazione 3 e la retta di equazione Soluzione. Risolviamo il sistema. 3 6 Sostituiamo l espressione di dell equazione di I grado in quella di II grado: 3 (3 6) Dividendo tutti i termini della prima equazione per si ottiene Risolviamo l equazione di II grado: 9. Il delta è positivo e pertanto la retta è secante. 3 /,. Sostituendo nell equazione della retta, si ottengono i corrispondenti valori di : e 3. I punti di intersezione pertanto sono ( ;),(; 3), come è mostrato nel disegno in alto.

32 . Determina la retta tangente all ellisse di equazione 6 nel punto P(;) appartenente ad essa. Soluzione. Utilizziamo la formula dello sdoppiamento. L equazione della retta tangente è P P b a 6. In forma implicita è 6. L equazione della retta ricavata corrisponde a quella disegnata al lato? Perché?. Determina i punti di intersezione tra l ellisse di equazione e la retta di equazione Risultati ; e ;. Determina gli eventuali punti di intersezione tra l ellisse di equazione 7 7 e la retta di equazione Risultato: retta tangente in ; 3. Determina i punti di intersezione tra l ellisse di equazione e la retta di equazione e disegnale entrambe. 6 Risultati ;e ;. Determina la retta tangente all ellisse di equazione 3 3 nel punto P(;3) appartenente ad essa. Risultato 3

33 L iperbole. Definizioni, relazioni ed equazione relative all iperbole Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per cui il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante. Nella figura a destra è mostrata l iperbole in rosso, i due fuochi F e F e due punti generici P e Q appartenenti ad essa. In azzurro sono tracciati i segmenti CF e DF, le cui lunghezze sono rispettivamente pari alle differenze PF -PF e QF -QF ; tali segmenti, per definizione, sono congruenti tra loro. Questo disegno è stato realizzato con Geogebra; puoi scaricare il file modificabile al link L equazione canonica dell iperbole è la seguente: b a I punti e sono detti vertici dell iperbole, e le loro coordinate sono (-a;) e (a;). I punti B e B sono vertici immaginari, poiché non appartengono all iperbole; le loro coordinate sono B (;-b) e B (;b). Le coordinate dei fuochi sono F (-c;) e F (c;); la relazione tra a, b e c è c a b. Nel disegno al lato, la striscia di piano centrale è tratteggiata perché per ai valori di compresi tra i vertici e non corrisponde nessun punto dell iperbole.. Gli asintoti dell iperbole Una retta asintotica è una retta nel piano alla quale una curva si avvicina sempre di più senza mai arrivare a toccarla. Per asintoto si intende sia una retta sia una curva che gode di tale proprietà. Nell iperbole vi sono due rette asintotiche, come mostrato nella figura al lato, le cui equazioni sono b b e. a a Esse passano per l origine e per i vertici del rettangolo DEGH, ottenuto tracciando le parallele agli assi passanti per i quattro vertici. Vediamo così un significato grafico dei due vertici immaginari B e B..3 Iperbole con i fuochi sull asse delle ordinate Se i fuochi appartengono all asse, si può dimostrare che l equazione dell iperbole è la seguente: b a I vertici immaginari sono in questo caso e, mentre B e B appartengono all iperbole.