Lezione 12. Campioni e Variabili casuali campionarie

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1 Lezione 12 Campioni e Variabili casuali campionarie STATISTICA (L-Z) Dr. Augusto Cerqua. Slides preparate in collaborazione con il Prof. Guido Pellegrini Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione La Sapienza

2 Inferenza statistica L inferenza statistica serve principalmente per: i) La valutazione numerica di un indicatore (media, varianza, proporzione etc.) problema di stima (puntuale o intervallare) ii) La valutazione di una certa affermazione verifica di ipotesi Tutto questo si basa su tre elementi: 1) Campione 2) Universo dei Campioni 3) Stimatore

3 Nota: d ora in poi indicheremo con N il numero di unità della popolazione, mentre con n il numero di unità del campione Rilevazioni Una rilevazione statistica può essere di due tipi: rilevazione totale: considera tutte le unità della popolazione (es. censimento) rilevazione campionaria: considera un sottoinsieme ridotto di unità della popolazione, cioè il campione statistico

4 Popolazione La popolazione da cui viene estratto il campione può essere - finita: è costituita da un numero finito di unità rintracciabili in una lista (il numero di aziende informatiche dell Emilia- Romagna, i cittadini della provincia di Ascoli Piceno, ) - Illimitata/infinita è costituita da tutte le unità potenzialmente osservabili e non necessariamente già esistenti fisicamente (il numero di futuri acquirenti di un certo prodotto, i pezzi difettosi che può produrre una macchina, )

5 Popolazione

6 Modalità di selezione del campione scelta di comodo (convenience sampling) scelta ragionata (judgmental sampling) scelta casuale (random sampling) Per poter fare inferenza induttiva dai campioni, cioè trarre dalle caratteristiche di un campione le proprietà statistiche di un insieme di ordine superiore (popolazione finita o infinita/illimitata), è necessario che il campione sia rappresentativo della popolazione da cui proviene. Si ritiene rappresentativo un campione formato con criterio casuale: l eventuale mancata conformità di tale insieme alla popolazione è quindi effetto del solo errore di campionamento.

7 Rilevazione campionaria vs Rilevazione censuaria Vantaggi della rilevazione campionaria modalità organizzative più flessibili contenimento costi di indagine sul campo maggiore rapidità raccolta ed elaborazione dati possibilità di approfondire l analisi possibilità di garantire una maggiore accuratezza opportunità di concentrare le risorse sul controllo della qualità della rilevazione

8 Rilevazione campionaria vs Rilevazione censuaria Svantaggi della rilevazione campionaria l indagine censuaria restituisce il valore vero dei parametri di interesse (proporzioni, percentuali, medie, totali, ) l indagine campionaria ne fornisce solo una stima

9 Campionamento di comodo La formazione di un campione di comodo prescinde completamente dalla selezione di un sottoinsieme di unità da una lista posta in corrispondenza con la popolazione obiettivo. In genere sono gli intervistatori, se previsti dal piano di rilevazione, a decidere arbitrariamente chi avvicinare tra quanti condividono una medesima condizione, come ad esempio il trovarsi contemporaneamente in un dato luogo pubblico (bar, cinema, )

10 Televoto Rientra tra i campioni di comodo Partecipa chi vuole I dati ottenuti non sono riferibili a tutti gli spettatori, né tanto meno rappresentano l opinione dell intera popolazione Derivano da un processo di autoselezione spontanea e non dall applicazione di un criterio di scelta di natura ragionata o probabilistica

11 Campionamento ragionato L individuazione degli intervistati è demandata completamente a chi predispone il piano di rilevazione dell indagine Il loro apporto è ritenuto imprescindibile per lo svolgimento dell indagine (testimoni privilegiati o opinion leaders) La dimensione del campione viene fissata di norma in base a criteri di pura convenienza Tipo di campionamento molto usato perché la selezione del campione è snella, ha tempi di realizzazione molto rapidi ed è perciò poco costoso

12 Campionamento per quote Particolare campionamento a scelta ragionata, realizzato con modalità organizzative del campionamento di comodo si prescinde completamente dalla disponibilità di una lista di appartenenti alla popolazione obiettivo non vi è dunque alcuna selezione campionaria che imponga ai rilevatori di contattare determinate unità statistiche gli intervistatori decidono chi avvicinare unico vincolo: campione e popolazione devono condividere la medesima composizione relativa rispetto a caratteri quali: sesso ed età zona di residenza livello di istruzione condizione professionale

13 Tipologie di campionamento non probabilistico

14 Campionamento casuale Equivale a un estrazione di palline numerate, di forma e peso uguali, da un urna nel quadro di un piano di campionamento che assegna una probabilità nota a priori a ogni campione appartenente a un certo insieme (UNIVERSO DEI CAMPIONI). Per convenzione, si ritiene rappresentativo un campione formato con criterio casuale: l eventuale mancata conformità di tale insieme alla popolazione è effetto del solo errore di campionamento. Se il campione è scelto casualmente è possibile: calcolare il rischio d errore a cui ci si espone nella stima delle caratteristiche di interesse (errore casuale di campionamento) estendere mediante processi di inferenza induttiva inversa i risultati all intera popolazione

15 Campionamento casuale stratificato Popolazione Finita Nel campionamento casuale stratificato la popolazione viene suddivisa in strati. Da ogni strato vengono poi estratti, tramite un campionamento casuale semplice, le unità da inserire nel campione. Esempio strati: Regioni; età; sesso. Popolazione Variabile di stratificazione p rimo strato s econdo strato t erzo strato estrazione casuale campione

16 Campionamento casuale stratificato Popolazione Finita Nel campionamento casuale stratificato si sfruttano informazioni aggiuntive sulla popolazione per suddividere la popolazione in strati, ognuno dei quali contiene unità fra loro omogenee secondo qualche criterio. Principali vantaggi: Miglioramento delle stime, se gli strati son ben scelti. Possibilità di ottenere, oltre alla stima per l intera popolazione, anche le stime per i singoli strati

17 Campionamento casuale a grappoli e a stadi Popolazione Finita Nel campionamento casuale a grappoli la popolazione viene suddivisa in sottoinsiemi detti grappoli. Si selezionano, con un estrazione casuale senza ripetizione, un certo numero di grappoli e si prendono come unità campionarie tutte le unità appartenenti ai grappoli estratti. Nel campionamento casuale a due stadi la popolazione viene suddivisa in un certo numero di grappoli. Al primo stadio si estrae senza ripetizione un certo numero di grappoli. Da ciascuno di questi si estrae con ripetizione (secondo stadio) un certo numero di unità. primo stadio Unità primarie secondo stadio Unità secondarie

18 Campionamento casuale a grappoli e a stadi Popolazione Finita Popolazione Criterio di raggruppamento grappolo 1 grappolo 2 grappolo 3 grappolo k estrazione casuale dei grappoli unità primarie estrazione casuale delle unità dai grappoli unità secondarie campione di unità elementari

19 Campionamento ragionato o probabilistico? Il campione ragionato ha la pretesa, almeno nell intenzione di chi lo seleziona, di essere rappresentativo Il campione probabilistico è, invece, solo uno fra i tanti campioni possibili, ma si ha la garanzia che l operatore non inserisca elementi di distorsione nel campione selezionato Il campione probabilistico elimina il soggettivismo pericoloso e difficilmente accettabile, tipico del campionamento ragionato Il campione probabilistico consente l uso di un modello matematico che permetta la valutazione dell attendibilità dei risultati Solo se il campione è casuale è possibile valutare il rischio di errore a cui si va incontro nella stima delle caratteristiche oggetto di interesse

20 Aspetti delicati delle ricerche campionarie Cosa è indispensabile conoscere per leggere e interpretare correttamente i risultati di un indagine campionaria? Come se ne possono valutare qualità e limiti? Vanno individuati i punti nodali a cui possa riferirsi chi debba trarne indicazioni per prendere decisioni o anche soltanto consolidare o rimuovere un opinione

21 Fasi di progettazione dell indagine identificazione della popolazione di riferimento dalla quale selezionare il campione definizione degli obiettivi conoscitivi della ricerca individuazione delle informazioni da raccogliere scelta dei criteri di selezione del campione (piano di campionamento) scelta della metodologia di stima dei parametri di interesse della popolazione (se si è selezionato un campione con criterio casuale) determinazione della dimensione del campione da realizzare scelta della procedura di rilevazione messa a punto del questionario valutazione dei costi di progettazione e di esecuzione dell intera ricerca

22 Fasi successive fasi operative di rilevazione memorizzazione su supporto informatico dei dati elaborazione dei dati analisi dei dati

23 Piano di Campionamento Se la regola di selezione del campione è di tipo probabilistico, l estrazione del campione avviene in accordo con qualche specifica distribuzione di probabilità. Per una selezione probabilistica è necessario individuare: lo spazio campionario Ω, formato da tutti i possibili campioni estraibili con una medesima tecnica da una popolazione. la probabilità di ogni campione C in Ω di essere estratto La coppia {Ω, probabilità dei campioni in Ω} è detta piano di campionamento.

24 Universo dei Campioni I campioni possono essere estratti casualmente dalla popolazione: con ripetizione: una volta estratta un unità viene rimessa dentro la popolazione e quindi potrebbe essere nuovamente estratta Campionamento Bernoulliano senza ripetizione: una volta estratta un unità questa viene messa da parte e quindi non può essere estratta più di una volta. UNIVERSO DEI CAMPIONI: insieme di tutti i possibili campioni. L universo dei campioni ha una numerosità finita e determinabile, diversa a seconda del piano di campionamento scelto. Data una popolazione di numerosità N estraendo con ripetizione n unità l Universo dei campioni è costituito da: n N

25 Numero di campioni distinti nel campionamento causale semplice da popolazione finita Estrazione con ripetizione Estrazione senza ripetizione Campioni ordinati N n N! N n! Campioni non ordinati (N + n 1)! n! N 1! N! n! N n! Due campioni non ordinati di uguale numerosità sono diversi tra loro se almeno una unità del primo campione non è contenuta nel secondo

26 Popolazione: N = 7 studenti Esempio Carattere osservato: X = voto di maturità Dai 7 elementi della popolazione quanti campioni di numerosità n = 2 si possono estrarre? Universo bernoulliano (campioni ordinati estratti con ripetizione) di campioni casuali di dimensione 2: N n Aumentando la dimensione campionaria, l universo dei campioni diventa ancora più ampio. Quanti campioni conterrebbe l universo dei campioni se considerassimo campioni non ordinati estratti senza ripetizione?

27 Popolazione finita e campione Si consideri la Popolazione P di dimensione N e un campione C composto da n unità. Indichiamo con X la variabile oggetto dell analisi. Fino a quando non si estrae l unità si può avere uno degli N valori di X, tutti con la stessa probabilità. Esempio: P=Aziende informatiche provincia di Rimini X= fatturato Popolazione ( x1, x2,, xn ) campione (X x1,x 2 x2,,xn 1 n x ) (X,X2,Xn ) 1 n-pla di variabili aleatorie

28 Popolazione infinita e Campione Si consideri la Popolazione P di dimensione infinita e si consideri un campione composto da n unità, e la variabile X oggetto di studio La n-pla di variabili casuali: ( X, X 2,, X 1 n che compongono il campione casuale di dimensione n presenta le seguenti proprietà: X, X, 2, sono variabili casuali indipendenti. 1 X i X n ogni v.c. ha come distribuzione di probabilità la distribuzione della variabile X riferita alla popolazione Esempio: P = pezzi prodotti X = pezzo difettoso )

29 Campioni Ciò che rende aleatoria la variabile è l universo dei campioni, poiché nello spazio campionario la variabile può assumere molteplici valori, ciascuno con una probabilità di avverarsi. Quando viene estratta l unità i-esima X i diventa effettivamente un valore x i Esempio precedente, si consideri l universo bernoulliano dei 49 campioni di dimensione 2. Finché non si estrae il campione si hanno 49 coppie aleatorie: (X 1, X 2 ) dove la variabile aleatoria X i rappresenta la variabile X alla i-esima estrazione. Ogni variabile X i coincide quindi con la variabile X nella popolazione: X 1 = X 2 = X 3 =. = X n = X

30 Esempio Popolazione (N=7): Universo bernoulliano dei campioni casuali di dimensione n=2 ( 7 2 =49 ) (70,70) (74,70) (80,70) (86,70) (91,70) (95,70) (100,70) (70,74) (74,74) (80,74) (86,74) (91,74) (95,74) (100,74) (70,80) (74,80) (80,80) (86,80) (91,80) (95,80) (100,80) (70,86) (74,86) (80,86) (86,86) (91,86) (95,86) (100,86) (70,91) (74,91) (80,91) (86,91) (91,91) (95,91) (100,91) (70,95) (74,95) (80,95) (86,95) (91,95) (95,95) (100,95) (70,100) (74,100) (80,100) (86,100) (91,100) (95,100) (100,100)

31 Esempio Si supponga di estrarre il campione (74, 95). In tal caso la variabile aleatoria X 1 assume valore 74 e X 2 valore 95. (x 1 =74; x 2 = 95) La media nel campione risulta: (74+95)/2=84,5 Scarto quadratico medio e varianza risultano: Varianza=110,25 Scarto=10,5

32 Variabili casuali campionarie Nella popolazione per la variabile X voto di maturità si E(X)=μ=85,14 Var (X)=σ 2 =104,65 Si può avere un valore medio anche per ognuno dei 49 campioni. La media diventa una variabile aleatoria con una distribuzione di probabilità, ciò che rende aleatoria la variabile è l universo dei campioni. La media campionaria può assumere diversi valori e sono più probabili valori vicini alla media di popolazione. Quando si va ad estrarre il campione la variabile media campionaria diventa il valore della media nel campione considerato.

33 Variabile casuale Media aritmetica campionaria

34 Distribuzione della media ottenuta sui 49 campioni possibili Media N campioni Media N campioni , , , , , ,5 2 84,5 2 97, ,5 2

35 Guardiamolo come una Distribuzione della media campionaria % % % Media =85,14 Varianza=52,35 Scarto=7, % % % 100%

36 ES. Numeri da 1 a 7. Distribuzione della media nell universo dei campioni (N=7; n=3) 1,00 1 4, ,33 3 4, ,67 6 5, , , , , , , , ,33 6 3, ,67 3 3, ,00 1 4, E ഥX = 4 V ഥX = 1, 33

37 numero campioni medie campionarie n=3 n=2

38 Media aritmetica campionaria Osservazioni In un universo di campioni figurano campioni con media lontana dalla media della popolazione; essi sono tuttavia più improbabili dei campioni con media più prossima a quella della popolazione La media aritmetica di tutte le possibili medie dei campioni nell Universo è uguale alla media della popolazione. La varianza di tutte le possibili medie dei campioni è l ennesima parte della varianza della popolazione. La dispersione di tutte le possibili medie dei campioni attorno a μ è tanto più ridotta rispetto a quella della popolazione, quanto maggiore è la dimensione del campione. Se il campione è molto grande, la varianza della media intorno al valore vero è molto piccola. Aumentando il campione riduciamo l approssimazione (l errore).

39 Media aritmetica campionaria il valore atteso E(X ) la varianza Var(X ) 2 n Se X ~ N ; 2 allora X ~ N ; n 2 Esempio: Il carattere peso di una bustina di zucchero di canna si distribuisce come una normale di media 25gr. e varianza 81. Se consideriamo un campione di numerosità 100 allora la media aritmetica campionaria si distribuisce come una normale di media 25 e varianza 81/100=0,81

40 Dato che: X 1 = X 2 = X 3 = = X n = X Ne deriva, per ogni i: E X i = E X = μ V X i = V X = nσ 2

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43 La media aritmetica di tutte le possibili medie campionarie è dunque uguale alla media della popolazione. Tale proprietà si chiama correttezza o non distorsione : è importante perché significa che la media campionaria non produce deviazioni sistematiche (ovvero non è sistematicamente diversa) dal valor medio dell universo (non noto) qualsiasi sia il campione selezionato. Significa che possiamo fare un errore ma questo è comunque un errore dettato dal caso, con media complessiva uguale a 0.

44 La varianza della media campionaria è l ennesima parte della varianza della popolazione; la dispersione delle medie aritmetiche campionarie attorno a μ è tanto più ridotta rispetto a quella della popolazione, quanto maggiore è la dimensione del campione. Se il campione è molto grande, la varianza della media intorno al valore vero è molto piccola. Aumentando il campione riduciamo l approssimazione (l errore). Questa proprietà si chiama consistenza di una statistica campionaria corretta.

45 Un altra statistica campionaria che possiamo osservare è la varianza campionaria, che stima la varianza dell universo. Si dimostra che la varianza campionaria corretta è data da: s 2 1 n 1 n i 1 ( x i ) 2 1 DEV n 1 ( X )

46 Per riassumere le diverse definizioni di varianza, abbiamo (es. rispetto a x, che sono le ore di studio di un campione di studenti, ) 1. Varianza del carattere nella popolazione (quanto variano in media le ore di studio) = var(x) 2. Varianza della media campionaria (misura di quanto varia il numero medio di ore studiate estraendo diversi campioni =Var (media camp.(x)) 3. Varianza campionaria corretta (quanto differiscono le ore di studio calcolate su un campione) = var camp. (X) 4. Varianza della varianza campionaria corretta = Var (var. camp.(x))

47 Distribuzione della media campionaria nelle popolazioni infinite Proprietà della media campionaria : il valore atteso la varianza Var(X ) E(X ) 2 n Se X ~ N ; 2 allora X ~ N ; n 2

48 Distribuzione della media campionaria nelle popolazioni finite Si consideri una popolazione finita dalla quale viene estratto senza ripetizione un campione casuale. In questo caso: il valore atteso la varianza Var(X ) E(X ) N N 2 n 1 n Se n è sufficientemente ampio ma molto più piccolo di N, allora la distribuzione di X può essere approssimata a una Normale con media e varianza 2 N n N 1 n