EQUAZIONI ELLITTICHE DEL SECONDO ORDINE

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE DIPARTIMENTO DI MATEMATICA "Ennio De Giorgi" Simona Fornaro Dipanimento di Matematica Università di Lecce Lecce - Italia Stefania Maniglia Dipanimento di Matematica Università di Lecce Lecce - Italia Giorgio Metafune Dipanimento di Matematica Università di Lecce Lecce - Italia EQUAZIONI ELLITTICHE DEL SECONDO ORDINE Parte prima: teoria V e ca QUADERNO 4/2004 Edizioni del Grifo

2

3 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE DIPARTIMENTO DI MATEMATICA "Ennio De Giorgi" Sirnona Fornaro Dipartimento di Matematica Università di Lecce Lecce - Italia Stefania Maniglia Dipartimento di Matematica Università di Lecce Lecce - Italia Giorgio Metafune Dipartimento di Matematica Università di Lecce Lecce - Italia Equazioni ellittiche del secondo ordine Parte prima: teoria L 2 e ca QUADERNO 4/2004

4 QUADERNI DI MATEMATICA Una pubblicazione a cura del DIPARTIMENTO DI MATEMATICA "Ennio De Giorgi" UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE Comitato di Redazione Giuseppe De Cecco (direttore Lorenzo Barone chu Wenchang Francesco Paparella (segretario I QUADERNI del Dipartimento di Matematica dell'università degli Studi di Lecce documentano gli aspetti di rilievo dell'attività di ricerca e didattica del Dipartimento. Nei Quaderni sono pubblicati articoli di carattere matematico che siano: 1. lavori di rassegna e monografie su argomenti di ricerca; 2. testi di seminari di interesse generale, tenuti da docenti o ricercatori del dipartimento o esterni; 3. lavori di specifico interesse didattico. La pubblicazione dei lavori è soggetta all'approvazione del Comitato di Redazione, che decide tenendo conto del parere di un referee, nominato di volta in volta sulla base delle competenze specifiche. ISBN:

5 PREFAZIONE Questo quaderno è basato sulle lezioni tenute da G. Metafune nel corso di Equazioni Ellittiche per gli studenti di dottorato in Matematica dell'università di Lecce, nell'anno accademico f.idea guida del corso è stata quella di introdurre ad alcuni metodi classici della teoria delle equazioni ellittiche, senza alcuna pretesa di completezza dei risultati esposti. Per questa ragione si è scelto di trattare solo il caso delle equazioni (lineari del secondo ordine, evitando dunque di considerare equazioni d'ordine superiore o sistemi. Tuttavia, anche con queste riduzioni, il materiale sarebbe risultato troppo ampio per essere trattato in un solo corso ed è stato necessario selezionare alcuni metodi tra i tanti oggi disponibili. La scelta è caduta sui metodi variazionali e sulle stime di Schauder mentre si è deciso di evitare del tutto la teoria LP che richiede una preparazione di base in analisi armonica. Naturalmente non vi sono risultati nuovi nel presente quaderno e anche la trattazione del materiale, ormai classico, è largamente ispirata ad altri trattati quali i libri di E. Giusti [2] e di N."Y. Krylov [3], con alcune differenze che, ci sembra, motivano la presente pubblicazione. Vediamo brevemente il contenuto dei diversi capitoli che rispecchiano, nell'ordine di esposizione, l'effettivo svolgimento delle lezioni. Il primo capitolo, di carattere introduttivo, mira a chiarire attraverso vari esempi e controesempi, l'inadeguatezza della norma uniforme nei problemi di regolarità ellittica e introduce ai metodi variazionali del capitolo successivo. In quest'ultimo, dopo aver provato l'esistenza e unicità della soluzione debole del problema di Dirichlet mediante il lemma di Lax-Milgram, si affronta il problema della regolarità con il metodo dei quozienti differenziali di L. Nirenberg prima nell'intero spazio, poi nel semispazio e infine in un aperto regolare, mediante carte locali. Nel terzo capitolo, seguendo l'impostazione del testo di D. Gilbarg e N.S. Trudinger [l], si dimostrano alcuni principi del massimo che forniscono delle stime a priori utili per provare l'unicità

6 iv Prefazione della soluzione classica del problema di Dirichlet. Nel capitolo successivo si introducono gli spazi di funzioni hòlderiane e si prova una caratterizzazione integrale delle funzioni hòlderiane, dovuta a S. Campanato, che risulterà fondamentale nel seguito per provare le stime di Schauder. Nel Capitolo 5 è provata l'esistenza (e unicità della soluzione del problema di Dirichlet in spazi di funzioni hòlderiane. Lo schema dimostrativo poggia sul metodo di continuità, per cui si mira ad ottenere l'esistenza della soluzione per un problema modello, quello relativo al Laplaciano, e opportune stime a priori per un operatore generale. Il problema modello nell'intero spazio e nel semispazio è trattato seguendo il metodo di Campanato ed evitando dunque la stima diretta del potenziale newtoniano come nell'approccio classico. Il caso dei coefficienti variabili è poi affrontato con gli usuali metodi di localizzazione e perturbazione e quello dell'aperto regolare con il metodo delle carte locali. Il problema con derivata obliqua è trattato nel Capitolo 6, esplorando le idee esposte nel libro di Krylov [3] (sezione 5.5 e riducendo le stime a priori per un problema modello alle stime a priori per un opportuno problema di Dirichlet. Ancora una volta, tecniche di localizzazione, perturbazione e carte locali permettono di risolvere il caso generale. Infine, alcune applicazioni ad equazioni non lineari sono raccolte nell'ultimo capitolo. S. Fornaro S. Maniglia G. Metafune Lecce, 8 ottobre 2004

7 vi Indice 5 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet 5.1 Orientamento. 5.2 Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 5.3 Stime per operatori a coefficienti variabili 5.4 Stime di Schauder in IR N Risolubilità. 5.5 Stime di Schauder in IR;:. 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo. 5.8 Stime di Schauder di ordine superiore Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua Principi del massimo Problema con derivata obliqua per il ~ in IR;: Coefficienti variabili in IR;: Problema con derivata obliqua in un aperto limitato regolare Alcune applicazioni 7.1 Coefficienti illimitati (cenni. 7.2 Confronto tra teoria L 2 e teoria CO:. 7.3 Eequazione Àu - Au = f con f continua 7.4 Alcuni problemi non lineari Notazioni Bibliografia

8 CAPITOLO 1 INTRODUZIONE Oggetto del nostro studio sono operatori differenziali lineari ellittici del secondo ordine Au(x = a ij (xd ij u(x b i (xd i u(xc(xu(x. (1.1 Assumiamo che i coefficienti a ij,b i e c siano funzioni reali limitate e uniformemente continue in aperto di R N e, senza restrizione, che la matrice (a ij dei coefficienti del secondo ordine sia simmetrica (cioè a ij = a ji per ogni i, j. Richiediamo inoltre che l operatore soddisfi la condizione di ellitticità ν 0 > 0 t.c. a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ 2 ξ R N, x. (1.2 Osserviamo che la (1.2 dà una stima dal basso sulla forma quadratica associata alla matrice (a ij, mentre la limitatezza dei coefficienti implica facilmente una stima dall alto a ij ξ i ξ j M ξ i ξ j MN 2 ξ 2. Un operatore che soddisfa le condizioni di sopra si dice uniformemente ellittico. E utile per il seguito richiamare la seguente definizione. Definizione Diciamo che un aperto di R N èdiclasse C k, con k N, se per ogni x esistono U intorno di x in R N e H : B R U diffeomorfismo di classe C k, tali che U =H(B R e U =H(B R {x N =0}.

9 2 Introduzione La coppia (U, H è detta carta locale su. Osservazione Componendo eventualmente con un omotetia, si può sempre prendere R =1nella definizione precedente. 1.1 ALCUNI CONTROESEMPI ALL ESISTENZA E ALLA REGOLARITÀ RISPETTO ALLA NORMA UNIFORME DI SOLUZIONI DI EQUAZIONI ELLITTICHE L interesse verso operatori come quello appena introdotto è legato soprattutto alla risoluzione di problemi al contorno del tipo { Au = f in u =0 su (1.3 La scelta dello spazio funzionale al quale deve appartenere il dato f ed entro il quale cercare la soluzione è fondamentale per la risolubilità del problema. Per esempio, esso è mal posto in spazi di funzioni continue, nel senso che se f C( allora non è assicurata l esistenza di una soluzione u C 2 (, neanche quando come A si considera il Laplaciano Δ. L esempio che segue mira a chiarire questo punto, mostrando peraltro che il problema è di regolarità interna. Esempio Poniamoci in R 2 e costruiamo intanto una funzione u C (R 2 \{(0, 0} C 1 (R 2 tale che u xx e u yy sono continue nell origine, mentre u xy non lo è. Definiamo u(x, y = k=0 c k 4 k (ηp(2k x, 2 k y (1.4 dove P (x, y =xy, η C0 (R 2 è tale che η 1 in B 1 (0, η 0 in B 2 (0 c e 0 η 1, e la successione (c k è infinitesima con 0 c k 1 e c k =. Per come sono stati scelti P ed η, il prodotto ηp è una funzione limitata con tutte le derivate limitate, perciò la serie (1.4 converge totalmente insieme alla serie delle derivate prime; ciò prova che u C 1 (R 2. Lo stesso argomento non si estende alla serie delle derivate seconde, perciò occorre fare un discorso locale: sia (x 0,y 0 (0, 0. Posto r 0 = (x 0,y 0, denotiamo con U la sfera di raggio r0 2 centrata in (x 0,y 0, (osserviamo che (0, 0 / U. In U la serie che definisce u risulta essere una somma finita (perchè daun certo k in poi vale 2 k r 0 2, pertanto u è C al di fuori dell origine. k=0

10 1.1 Alcuni controesempi all esistenza e alla regolarità rispetto alla norma uniforme di soluzioni di equazioni ellittiche 3 A questo punto per studiare il comportamento delle derivate seconde di u vicino allo zero, dividiamo B 1 (0 in corone circolari aperte C r = {(x, y R 2 1 : 2 < (x, y < 1 r2 2 } (non disgiunte. Per (x, y in C r r risulta e quindi u(x, y = = r2 k=0 r k=0 c k 4 k (ηp(2k x, 2 k y c k 4 k 4k xy c r1 4 r1 (ηp(2r1 x, 2 r1 y c r2 4 r2 (ηp(2r2 x, 2 r2 y u xx (x, y =c r1 (ηp xx (2 r1 x, 2 r1 yc r2 (ηp xx (2 r2 x, 2 r2 y 0 se (x, y 0. Ne segue che esiste u xx (0, 0 ed è pari a 0. Con le stesse argomentazioni si ottiene che u yy (0, 0 = 0. Invece u xy (x, y = r c k c r1 (ηp xy (2 r1 x, 2 r1 yc r2 (ηp xy (2 r2 x, 2 r2 y k=0 esplode per (x, y (0, 0 (r, perchè per ipotesi il primo termine tende a e gli altri due sono limitati. A questo punto poniamo :=B r (0, f =Δu C(. Allora non esiste alcuna funzione v in C 2 (B r (0 tale che Δv = f. Se per assurdo esistesse una tale v, si avrebbe Δ(u v =0in B r (0 \ {(0, 0}.Quindi u v sarebbe armonica in B r (0 \{(0, 0} e limitata, come tale prolungabile ad una funzione armonica in tutto B r (0. Tale estensione sarebbe pertanto di classe C (B r (0 eciò implicherebbe che la stessa u è C 2 (B r (0, contro quanto provato in precedenza. L esempio appena illustrato mostra anche che la possibilità di tenere sotto controllo le singole derivate pure non permette di controllare la limitatezza della derivata mista e anticipa in parte il prossimo risultato generale. Teorema (Ornstein Siano B, A 1,, A r, operatori differenziali a coefficienti costanti, omogenei di grado m e linearmente indipendenti. Allora non esiste alcuna costante C tale che per ogni u in C 0 (R N risulti: Bu C( sup A i u u. 1 i r DIM. Definiamo per ogni intero positivo n la funzione u n (x = n k=0 c k 2 mk (ηp(2k x,

11 4 Introduzione dove P è un polinomio omogeneo di grado m tale che B(P =1e A i (P = 0 per ogni i (per la sua esistenza si veda l Esercizio 1.1.4, mentre i coefficienti (c k e la funzione η sono presi come nell esempio precedente. Poichè sono definite come somme finite di funzioni di classe C 0 (R N,leu n sono in C 0 (R N. Dalla definizione di u n si vede immediatamente che ( 1 u n (x 2 mk ηp =: K, k=0 ossia la successione (u n è limitata uniformemente in n. Inoltre, se x 1 1 allora u n (x =0. Se x < 1, esiste r N 0 tale che 2 < x < 1 r2 2. Ne r segue che (convenendo di porre c k =0se n<r r 2 u n (x = = r2 k=0 r k=0 c k 2 mk (ηp(2k x c k 2 mk 2mk P (x c r1 2 (r1m (ηp(2r1 x c r2 2 (r2m (ηp(2r2 x. Quindi, tenendo conto della scelta di P e del fatto che ogni A i è un operatore differenziale omogeneo di grado m, otteniamo che e analogamente (A i u n (x =c r1 A i (ηp(2 r1 xc r2 A i (ηp(2 r2 x (Bu n (x = r c k c r1 B(ηP(2 r1 xc r2 B(ηP(2 r2 x. k=0 Siccome ηp è una funzione limitata con tutte le derivate limitate e i coefficienti di A i sono costanti, per ogni n, i, siha u n A i u n K 2C dove C = max 1 i r { A i(ηp, B(ηP }, mentre per n = r risulta ( r Bu r c k 2C. k=0 Mandando r, deduciamo l asserto. Esercizio Provare che la funzione f(x, y =xy lg(x 2 y 2 in B 1 (0 ha le derivate seconde f xx e f yy limitate, mentre f xy è illimitata.

12 1.2 Alcune stime a priori per il Laplaciano in L 2 5 Esercizio Provare che dato X spazio vettoriale sul campo scalare K, se f 1,..., f n,f sono funzionali lineari su X tali che n ker f i ker f, n allora esistono costanti c 1,..., c n K per cui f = c i f i. Dedurre da qui l esistenza del polinomio usato nella dimostrazione del teorema di Ornstein. 1.2 ALCUNE STIME A PRIORI PER IL LAPLACIANO IN L 2 Il teorema di Ornstein è un risultato negativo di regolarità interna. Osserviamo però che la norma considerata nelle stime è la norma. La situazione migliora considerando la norma L 2. Proposizione Per ogni φ in C 0 (R N risulta (a φ L 2 φ 1 2 L 2 Δφ 1 2 L 2, (b D ij φ 2 L = 2 Δφ 2 L 2. In particolare φ H 2 C( φ L 2 Δφ L 2. DIM. Sia φ C0 (R N. Per dimostrare (a è sufficiente usare l identità φ Δφ = φ 2 R N R N e la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Integrando per parti risulta D ii φd jj φ = (D ij φ 2, R N R N da cui sommando su i, j si ha subito (b. Infine tenendo conto della disuguaglianza ab 2 1 (a 2 b 2 da (a e (b si deduce l ultima stima. La proposizione che segue rappresenta un primo risultato di regolarità ellittica in norma L 2 per il Δ. Proposizione Sia u L 2 (R N a supporto compatto; supponiamo Δu = f L 2 (R N nel senso delle distribuzioni. Allora u H 2 (R N. DIM. Sia ϱ C0 (R N tale che 0 ϱ 1, ϱ =1, ϱ pari (quest ultima R N ipotesi serve per non avere problemi di segno nelle convoluzioni. Se ε>0,

13 6 Introduzione consideriamo le funzioni approssimanti ϱ ε = ε N ϱ( x ε. E noto che u ε := ϱ ε u appartiene a C 0 (R N e che converge a u in norma L 2, per ε 0. Siccome Δu ε = ϱ ε f (vedi Esercizio 1.2.3, si ha anche che Δu ε converge a f in L 2, quando ε 0. Ponendo ε = 1 n e indicando con (u n la successione così ottenuta, si ha per la Proposizione u n u m H 2 C ( u n u m L 2 Δu n Δu m L 2. Quindi (u n è una successione di Cauchy in H 2 (R N, come tale convergente ad un elemento di H 2 (R N che è necessariamente u, perchè u n u in L 2 (R N.Ciòconclude la dimostrazione. Esercizio Provare che Δ(ϱ ε u =ϱ ε f nel senso delle distribuzioni, se Δu = f nel senso delle distribuzioni, u L 1 loc (RN. 1.3 ALCUNE STIME INTERPOLATIVE IN L 2 In questa sezione proviamo alcune disuguaglianze interpolative che permettono di stimare la norma L 2 delle derivate prime di una funzione con le norme della funzione stessa e delle sue derivate seconde. Per dare un idea, prima di procedere, consideriamo il caso semplice, unidimensionale con la norma uniforme. Esempio Per ogni u Cb 2 (R risulta u 2( u 1 2 u 1 2. (1.5 Sia u Cb 2 (R; seh>0, applicando la formula di Taylor si ha u(x h =u(xhu (x 1 2 h2 u (ξ, da cui e quindi u (x = u(x h u(x h 1 2 hu (ξ, u (x 2 h u h 2 u h>0. (1.6 Prendendo il valore di h che minimizza il secondo membro della (1.6 e sostituendolo nella stessa, si ha Dall arbitrarietà di x segue la tesi. u (x 2 u 1 2 u 1 2.

14 1.3 Alcune stime interpolative in L 2 7 Esercizio Migliorare la costante con 2 nella stima (1.5 prendendo u(x h u(x h. Esercizio Supponiamo che per ogni v Cb 3 (R valga la stima con c>0 costante. Determinare α e β. v c v α v β (1.7 Osservazione La stima (1.6 con h = ε oppure h = ε 1 fornisce u 1 ε u ε u e u ε u 1 ε u. Lemma Per ogni u in H 2 (R N e per ogni ε>0 risulta u 2 ε Δu 2 1 u 2. (1.8 R N R 4ε N R N DIM. Per densità, basta provare l enunciato per funzioni u in C 0 (R N. Sia allora u C 0 (R N. Tenendo conto della Proposizione e della disuguaglianza ab 2 1 (a 2 b 2,seη>0 risulta R N u 2 = ( ( 1 2η R N u 2 R N 1 η u ( R N u 2 η 2 Δu 2 R N 1 ( R N Δu 2 η R N Δu Prendendo ε = η 2 si ottiene la tesi. Osservazione Se al posto di R N si considera un aperto qualunque, allora la stessa tecnica dimostrativa consente di provare la (1.8 per H 2 ( H0 1 ( (vedi Esercizio Non è possibile, tuttavia, andare oltre e guadagnare una disuguaglianza simile in tutto H 2 ( (senza cioè alcuna condizione al bordo anche se è regolare. Per convincersene, basta considerare = B 1 (0 R 2 ; allora una stima del tipo del tipo u H 1 C( u L 2 Δu L 2 non può valere perchè la successione di funzioni armoniche u n (x, y =z n ne è un chiaro controesempio.

15 8 Introduzione Proposizione Sia aperto limitato con bordo C 2 o =R N. Allora esiste una costante c > 0 tale che per ogni u H 2 ( e per ogni ε>0 risulta u 2 L 2 ε u 2 H c 2 ε u 2 L2. (1.9 DIM. Data la regolarità di, esiste E, operatore di estensione, cioè E : H 2 ( H 2 (R N lineare tale che (Eu = u e Eu Hk (R N c u Hk (, k =0, 1, 2 dove c = c(. Applicando il Lemma a v = Eu, risulta v 2 L 2 (R N ε Δv 2 L 2 (R N 1 4 ε v 2 L 2 (R N ε v 2 H 2 (R N 1 4 ε v 2 L 2 (R N. Pertanto u 2 H 1 ( v 2 H 1 (R N εc2 u 2 H 2 ( c2 4 ε u 2 L 2 (, da cui segue la tesi ponendo η = εc 2 e c = c 4 /4. Corollario Nelle stesse ipotesi della proposizione precedente, per ogni u H 2 ( e per ogni η 1 si ha u 2 η D 2 u 2 c u 2 (1.10 η dove (D 2 u denota la matrice hessiana di u. DIM. Tenendo conto della Proposizione si ha ( u 2 ε u 2 u 2 D 2 u 2 = ε D 2 u 2 ε u 2 c ε ( c ε ε u 2, da cui, per ε<1 segue u 2 ε D 2 u 2 c 1 u 2. 1 ε ε(1 ε Se ε 1 2 allora 1 1 ε 2 e quindi u 2 2 ε D 2 u 2 2 c ε u 2 Ponendo η =2ε 1 si ha quanto richiesto dall enunciato. u 2

16 1.3 Alcune stime interpolative in L 2 9 Il seguente lemma rappresenta un risultato di omogeneità: sottoponendo il dominio ad un omotetia, le costanti coinvolte rimangono sostanzialmente indipendenti dalla trasformazione. Consideriamo il caso della palla per semplicità. Lemma Sia k > 0 costante tale che per ogni ε 1 e per ogni u H 2 (B 1 valga la disuguaglianza u L 2 (B 1 ε D 2 u L 2 (B 1 k ε u L 2 (B 1. (1.11 Allora per ogni η R e u H 2 (B R risulta u L 2 (B R η D 2 u L 2 (B R k η u L 2 (B R. (1.12 DIM. Presa u H 2 (B R, definiamo v(x =u(rx, per x 1. Allora v H 2 (B 1 e v(x =R u(rx e D 2 v(x =R 2 D 2 u(rx. Scrivendo la (1.11 per v e cambiando variabile negli integrali otteniamo R u L 2 (B R εr 2 D 2 u L 2 (B R k ε u L 2 (B R, da cui segue la tesi, dopo aver diviso per R e aver posto η = εr. Il seguente lemma sarà utile nella dimostrazione del Teorema Lemma Definiamo le seminorme Φ k (u = sup (1 σ k R k D k u L2 (B σr k =0, 1, 2. ( σ 1 Allora esiste k 1 = k 1 (N tale che per ogni ε 1 e per ogni u H 2 (B R si ha DIM. Fissato γ>0, sia σ tale che Φ 1 (u ε Φ 2 (u k 1 ε Φ 0(u. (1.14 Φ 1 (u (1 σr u L 2 (B σr γ. Allora dal Corollario e dal Lemma si ha u L 2 (B σr ε D 2 u L 2 (B σr k ε u L 2 (B σr ε σr.

17 10 Introduzione Moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza precedente per (1 σr e ponendo ε =(1 σ Rη, con η 1 (così ε σr siccome σ 1 2 (1 σr u L2 (B σr η(1 σ 2 R 2 D 2 u L2 (B σr k η u L 2 (B σr η Φ 2 (u k η Φ 0(u, da cui Φ 1 (u η Φ 2 (u k η Φ 0(uγ γ e η 1. Facendo tendere γ 0, si conclude. La proposizione che segue generalizza la Proposizione ad un operatore puro del secondo ordine a coefficienti costanti. Proposizione Sia Au = a ij D ij u, con a ij R e ν 0 > 0 costante di ellitticità. Allora per ogni u H 2 0 ( risulta u H 2 1 4π 2 ν 0 Au L 2 u L 2. (1.15 DIM. Per densità basta provare la stima per un arbitraria funzione test. Sia pertanto u C0 (; allora u C0 (R N ed è lecito usare la trasformata di Fourier definita da Fu(ξ = e 2πiξ x u(xdx ξ R N. (1.16 R N Tenendo conto delle proprietà di cui questa gode rispetto alla derivazione F(D β u(ξ =(2πiξ β Fu(ξ β N 0 N otteniamo ( N F(Au(ξ = F a ij D ij u (ξ = a ij F(D ij u(ξ ( N = 4π 2 a ij ξ i ξ j Fu(ξ. Di conseguenza ( ( F u 1 4π 2 Au (ξ =Fu(ξ 1 1 N a ij ξ i ξ j. ν 0 ν 0

18 1.3 Alcune stime interpolative in L 2 11 Prendendo i moduli segue che ( ( F u 1 4π 2 Au (ξ ν 0 = Fu(ξ 1 1 N a i,j ξ i ξ j Fu(ξ (1 ξ 2 ν 0 e quindi dal teorema di Plancherel otteniamo ( u H 2 = (1 ξ 2 Fu(ξ L 2 F u 1 4π 2 Au (ξ ν 0 L 2 ( = u 1 4π 2 Au u L 2 1 ν 0 4π 2 Au L 2 (1.17 ν 0 che è l asserto. L 2 Torniamo adesso a considerare un operatore generale come in (1.1. L Osservazione mostra che una stima del tipo u H 2 ( c( u L 2 ( Au L2 ( con u H 2 (, fallisce anche quando è regolare e A èil Laplaciano. Si possono però ottenere delle stime interne come quelle del teorema che segue. Teorema Sia A l operatore definito in (1.1 e sia M= max i,j { a ij, b i, c }. Allora per ogni aperto 1 a chiusura compatta contenuta in (brevemente 1, esiste una costante c = c(, 1,ν 0,M tale che per ogni u H 2 ( risulta u H 2 ( 1 c ( u L 2 ( Au L 2 (. (1.18 DIM. Fissiamo x 0 e introduciamo l operatore (A 0 u(x = a ij (x 0 (D ij u(x. Applicando la proposizione precedente ad A 0 otteniamo u H 2 ( 1 ν 0 A 0 u L 2 ( u L 2 (, u H 2 0 (. (1.19 Sia R 0 tale che se x y R 0 ( N 1 2 a ij (x a ij (y 2 ν 0 2 (l esistenza di R 0 è garantita dall uniforme continuità dei coefficienti; allora a ij (x(d ij u(x (A 0 u(x a ij (x a ij (x 0 D ij u(x ν 0 2 (D2 u(x

19 12 Introduzione quando x x 0 R 0. Se u H 2 ( ha supporto contenuto in B R (x 0, dove R R 0, allora a ij D ij u A 0 u ν 0 2 D2 u L 2 (. (1.20 Pertanto L2 ( u H 2 ( 1 ν 0 A 0 u L 2 ( u L 2 ( = 1 ν 0 A 0 u a ij D ij u ( 1 N a ij D ij u ν 0 L 2 ( a ij D ij u e quindi D 2 u L 2 ( u H 2 ( 1 N a ij D ij u ν 0 L2 ( u L2 ( ν 0 2 D2 u L 2 ( u L 2 ( L 2 ( 1 2 D2 u L2 ( u L2 (. Abbiamo così provato che per ogni u H 2 ( con supporto contenuto in B R (x 0, R R 0 vale D 2 u L2 ( 2 N a ij D ij u 2 u L ν 2 (. ( L 2 ( A questo punto, poniamo, per semplicità di notazione, B(x 0,ρ=B ρ ; fissato σ con 1 2 σ 1, sia η C 0 (B ( 1σ R tale che 0 η 1, η 1 su B σr 2 e L η e D 2 L η R(1 σ R 2 (1 σ 2 (L non dipende nè daσ nè dar. Se u H 2 (, applicando la (1.21 ad ηu si ottiene D 2 u L 2 (B σr = D 2 (ηu L 2 (B σr D 2 (ηu L 2 ( 2 N a ij D ij (ηu 2 ηu L ν 2 (. ( L 2 ( Siccome D ij (ηu =ud ij η D i ud j η D j ud i η ηd ij u

20 1.3 Alcune stime interpolative in L 2 13 e a ij = a ji,siha a ij D ij (ηu =ηau η b i D i u ηcu2 a ij D i ηd j u a ij D ij ηu per cui, tenendo conto delle proprietà diη: a ij D ij (ηu Au L 2 (B 1σ (1.23 L 2 2 R ( ( c 1 (M u L 2 (B 1σ u 2 R L 2 (B 1σ 2 R 1 R(1 σ u 1 L 2 (B 1σ 2 R R 2 (1 σ 2 u L 2 (B 1σ 2 R ( 1 c 2 (M,R Au L 2 (B R R(1 σ u L 2 (B 1σ 2 R 1 R 2 (1 σ 2 u L 2 (B R. Usando la stima (1.22, otteniamo ( D 2 u L 2 (B σr c 3 (ν 0,M,R Au L 2 (B R 1 R 2 (1 σ 2 u L 2 (B R. 1 R(1 σ u L 2 (B ( 1σ 2 R Per eliminare a secondo membro il termine con u, non si può interpolare immediatamente u con u e D 2 u perchè i domini di integrazione sono diversi. Il Lemma consente di superare questa difficoltà. Moltiplichiamo la disuguaglianza di sopra per R 2 (1 σ 2 e otteniamo, con le notazioni del Lemma R 2 (1 σ 2 D 2 u L 2 (B σr c 3 (ν 0,M,R ( R 2 (1 σ 2 Au L 2 (B R 2R(1 σ u L2 (B u 2 ( 1σ 2 R L2 (B R c 3 (ν 0,M,R ( R 2 (1 σ 2 Au L 2 (B R 2 Φ 1 (uφ 0 (u. Prendendo l estremo superiore per σ [1/2, 1], otteniamo Φ 2 (u c 4 (ν 0,M,R ( R 2 Au L 2 (B R Φ 1 (uφ 0 (u ( c 4 (ν 0,M,R R 2 Au L 2 (B R εφ 2 (u k 1 ε Φ 0(u.

21 14 Introduzione Prendendo ε in modo che εc 4 = 1 2 e tenendo conto del fatto che Φ 0(u = u L 2 (B R si ha Φ 2 (u c 5 (ν 0,M,R(R 2 Au L 2 (B R u L 2 (B R. Ricordando che Φ 2 (u = sup 1 2 σ 1 R 2 (1 σ 2 D 2 u L 2 (B σr, prendendo σ = 1 2 si ottiene R 2 4 D2 u L 2 (B R2 Φ 2 (u c 5 (ν 0,M,R(R 2 Au L 2 (B R u L 2 (B R e quindi, dividendo per R 2 D 2 u L2 (B R2 Φ 2 (u c 6 (ν 0,M,R( Au L2 (B R u L2 (B R. Applicando infine la stima interpolativa del Corollario per aperti regolari con =B R, risulta u H 2 (B R2 c 7 (ν 0,M,R( Au L 2 (B R u L 2 (B R. (1.24 Sia ora 1 un aperto a chiusura compatta contenuta in. Ricopriamo 1 con un numero finito m di palle B R i (x i, con x i 1, R i R 0 e 2 R i < dist( 1, (in modo che siano tutte contenute in. La (1.24 vale, dunque, in ogni palla B Ri (x i e quindi u H 2 ( 1 cioè la tesi. m u H 2 (B Ri (x i c(ν 0,M, 1, ( Au L 2 ( u L 2 ( 2 Osservazione Vale la pena di sottolineare la tecnica dimostrativa adottata nel teorema precedente, nota come metodo di Korn. Essa può essere schematizzata nei seguenti passi - si considera dapprima il caso di un operatore a coefficienti costanti; - si congelano i coefficienti del secondo ordine in un punto del dominio e si fanno stime per funzioni u con supporto compatto contenuto in una palla piccola; - si applica il punto precedente a ηu, con η cut-off in una palla piccola; - si conclude con un argomento di ricoprimento. Osservazione E naturale chiedersi se il risultato appena provato si generalizza anche al caso p 2.Perp =, il Teorema è falso, come testimoniano i controesempi della prima sezione, e così anche per p =1.

22 1.3 Alcune stime interpolative in L 2 15 Invece, quando 1 <p<, l asserto continua a valere esattamente negli stessi termini. Tuttavia è più difficile ottenere l analogo per p 2della Proposizione , cioè u W 2,p (R N c ( u Lp (R N Δu Lp (R N, u C 0 (R N (1.25 (avere Δ o un operatore a coefficienti costanti con termini solo del secondo ordine è sostanzialmente la stessa cosa. La tecnica per dimostrare la (1.25 si basa su stime di integrali singolari ed è dovuta a Calderon e Zygmund. Superato questo punto, la dimostrazione del teorema con 1 <p< è invece identica a quella appena esposta. Esercizio Sia un aperto di R N. Provare che per ogni u H 2 ( H0 1 ( e per ogni ε>0 risulta u 2 ε Δu 2 1 u 2. 4ε

23

24 CAPITOLO 2 METODO VARIAZIONALE PER OPERATORI IN FORMA DI DIVERGENZA Nel corso di questo capitolo saremo interessati allo studio del seguente operatore in forma di divergenza Au = D i (a ij D j u b i D i u cu (2.1 = div(a ub u cu e al problema di Dirichlet ad esso connesso { Au = f in u =0 su (2.2 nelle ipotesi che sia un aperto di R N e i coefficienti a ij Cb 1 ( mentre b i, c C b (. Assumiamo anche che A sia uniformemente ellittico, cioè che esista una costante ν 0 > 0 tale che a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ 2 ξ R N, x (2.3 Notiamo che la regolarità dei coefficienti del secondo ordine fa sì che A si possa riscrivere in forma di non divergenza. Una soluzione di (2.2 è una funzione u H 2 ( H 1 0 ( che soddisfa l equazione differenziale. L obiettivo di questo capitolo è mostrare che è possibile ottenere una siffatta soluzione regolarizzandone una debole. Il metodo usato è noto come metodo variazionale e può essere sintetizzato nel modo seguente:

25 18 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza 1 si definisce una soluzione debole, attraverso l introduzione di forme quadratiche; 2 se ne dimostrano esistenza e unicità, con il teorema di Lax-Milgram; 3 si regolarizza la soluzione ottenuta mediante il metodo delle traslazioni di L. Nirenberg, provando separatamente regolarità all interno e regolarità fino al bordo in un aperto regolare di R N. Infine si stabiliscono risultati di regolarità di ordine superiore, grazie alla quale è possibile pervenire ad una soluzione classica del problema. 2.1 ESISTENZA E UNICITÀ DELLA SOLUZIONE DEBOLE: TEOREMA DI LAX-MILGRAM Siano f L 2 ( e u H 2 ( H 1 0 ( tale che Au = f; moltiplicando ambo i membri di questa equazione per un arbitraria funzione test ϕ C 0 ( e integrando per parti, risulta Au ϕ = = = ( N D i fϕ. j=1 a ij D j u ϕ a ij D i ud j ϕ b i D i uϕ cuϕ Questo calcolo è alla base della seguente definizione. b i D i uϕ cuϕ Definizione Chiamiamo soluzione debole o variazionale del problema di Dirichlet (2.2 una funzione u H 1 0 ( tale che a ij D i ud j ϕ b i D i uϕ cuϕ= fϕ (2.4 per ogni ϕ C 0 ( (o, equivalentemente per densità, per ogni ϕ H 1 0 (. La scelta dello spazio funzionale H 1 0 ( (più ampio rispetto ad H 2 ( H 1 0 (, è sufficiente per dare senso a (2.4, visto che sono coinvolte solo derivate prime di u. Il conto precedente ha infatti mostrato che un ordine di derivazione è stato scaricato da u sulle funzioni test. Nulla impedirebbe di scaricare due ordini di derivazione: questo vorrebbe dire considerare una soluzione del problema nel senso delle distribuzioni che è solo L 2 ; tuttavia, trovare una soluzione in H 1 0 (, come vedremo, è abbastanza facile; ciò giustifica in primo luogo la nostra scelta. Inoltre, una funzione di H 1 0 (

26 2.1 Esistenza e unicità della soluzione debole: teorema di Lax-Milgram 19 verifica automaticamente le condizioni al bordo di Dirichlet, per cui basta che sia soddisfatta (2.4 perchè sia risolto (debolmente l intero problema (per altri esempi di condizioni al bordo si veda l Esercizio Osserviamo che se una soluzione debole u appartiene anche ad H 2 (, allora reintegrando per parti in (2.4 risulta Au = f q.o. In realtà, questo è proprio quello che succede quando il dominio è abbastanza regolare. Introducendo nello spazio di Hilbert H 1 0 ( la forma bilineare si vede che a(u, v = ( N a ij D i ud j v b i D i uv cuv u è soluzione debole di (2.2 v H 1 0 ( : a(u, v = (f,v avendo denotato con (, il prodotto scalare di L 2. L approccio variazionale è ora basato sul seguente teorema. (2.5 Teorema (Lax-Milgram Siano H uno spazio di Hilbert e a : H H R una forma bilineare continua e coerciva su H, cioè tale che valgano rispettivamente a esiste M>0 tale che a(u, v M u v u, v H; b esiste α>0 tale che a(u, u α u 2 u H; Allora, per ogni f H, con H duale topologico di H, esiste un unico u H, tale che a(u, v =f(v v H. Inoltre u α 1 f. DIM. Sia u un elemento fissato in H; allora a(u, definisce un funzionale lineare continuo su H. Pertanto, il teorema di rappresentazione di Riesz- Frechét assicura che esiste un unico w H tale che a(u, v =(v, w H per ogni v H. Siccome w è univocamente determinato da u, è ben posto il seguente operatore S : H H u Su := w. S è lineare e, siccome risulta (v, Su H = a(u, v M u v v H, prendendo v = Su, si ottiene che Su M u, cioè S è continuo. Inoltre, poichè a è coerciva, per ogni u H si ha α u 2 a(u, u = a(u, u = (u, Su H u Su

27 20 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza da cui si ottiene che Su α u. Quest ultima disuguaglianza dimostra che S è iniettivo e che ha rango chiuso; se proviamo che Rg(S è denso potremo concludere che S è suriettivo. Sia z Rg(S. Allora (z,su H =0per ogni u H; se in particolare u = z, sihaα z 2 a(z,z = (z,sz H =0, da cui segue che z =0. Quindi S è un isomorfismo. Sia adesso f H. Per il teorema di Riesz-Frechét, esiste un unico w H tale che f(v =(v, w H, per ogni v H. Posto u = S 1 w, risulta con u α 1 w = α 1 f. f(v =(v, w H =(v, Su H = a(u, v Osservazione Se nel teorema di Lax-Milgram si assume che la forma a sia anche simmetrica (a(u, v =a(v, u, allora a è un nuovo prodotto scalare su H (equivalente a quello dato e il Teorema di Lax-Milgram non è altro che una riformulazione del Teorema di Riesz-Frechét. Ci proponiamo, ora, di far vedere che la forma definita in (2.5 è continua e debolmente coerciva, cioè è tale che a(u, u α u 2 H λ 1 0 u 2 L per 2 ogni u H0 1 ( e per opportune costanti α>0, λ 0 R. A tale scopo cominciamo ad osservare che, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, risulta ( N 1 ( a ij (xξ i a ij (x 2 2 N 1 ( ξ i 2 2 N 1 = a ij (x 2 2 ξ, e quindi ( N a ij (xξ i ξ j j=1 a ij (x ξ ξj ( N ( N Posto L = sup a ij (x si ha allora x a ij (xξ i ξ j L ξ 2 ξ R N, x. a ij (x ξ 2. Inoltre b i (x D i u(x = ( N 1 ( b i (x 2 2 N 1 D i u 2 2 ( N b i (x u(x

28 2.1 Esistenza e unicità della soluzione debole: teorema di Lax-Milgram 21 e quindi, posto K = sup x ( N b i (x D i u(x u(x b i (x 2 1 2, risulta K2 ε 2 K u(x u(x = u(x 2 1 2ε K ε u(x u(x ε u(x 2, avendo usato la disuguaglianza ab 1 2 (a2 b 2 nell ultimo passaggio. Prendendo ε = ν 0 /K 2,siha b i (x D i u(x u(x ν 0 2 Pertanto, per ogni u H 1 0 (, vale a(u, u = ν 0 sup c x a ij D i ud j u u(x 2 ν 0 2 u(x 2. x u(x 2 K2 u(x 2. 2ν 0 b i D i uu cu 2 u(x 2 K2 2ν 0 Ponendo λ 0 = K2 sup c ν 0, si ottiene in definitiva 2ν 0 2 a(u, u ν 0 2 u 2 H 1 λ 0 u 2 L 2 u(x 2 che dimostra che a è debolmente coerciva in L 2. Usando le precedenti disuguaglianze e quella di Hölder, si prova che a è anche continua. Infatti, se u, v H 1 0 ( allora a(u, v = L a ij D i ud j v u v b i D i uv K u v c u v cuv L u L 2 v L 2 K u L 2 v L 2 c u L 2 v L 2 M u H 1 v H 1

29 22 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Per riferimenti futuri, ricordiamo che ( N K = sup b i (x x ( N L = sup a ij (x x λ 0 = K2 sup c ν 0 2ν 0 2. x (2.6 Teorema Assumendo valida la notazione precedente, per ogni λ R con λ λ 0 e per ogni f L 2 ( esiste un unica u H 1 0 ( tale che λ (u, va(u, v =(f,v, v H 1 0 ( (cioè u è soluzione debole di λu Au = f. Inoltre, se λ>λ 0 si ha 1 2 u L 2 f L 2, u L 2 λ λ 0 ν 0 (λ λ 0 f L2. (2.7 DIM. Siano λ R, con λ λ 0 e f L 2 (. Consideriamo su H 1 0 ( la forma ã(u, v =a(u, v λ(u, v, dove a è definita da (2.5. Siccome a è continua, anche ã lo è. Inoltre ã(u, u =a(u, uλ u 2 L ν u 2 H (λ λ 0 u 2 1 L ν u 2 H (2.8 1 cioè ã è coerciva su H0 1 (. Applicando il teorema di Lax-Milgram relativamente al funzionale v fv, otteniamo che esiste un unica u H0 1 ( tale che a(u, vλ(u, v = fv v H0 1 (. Proviamo ora le stime (2.7. Prendendo u = v nell uguaglianza precedente e usando la (2.8 risulta f L 2 u L 2 fu= λ u 2 a(u, u ν 0 2 u 2 H (λ λ 0 u 2 1 L 2 da cui si ricavano e (λ λ 0 u 2 L 2 f L 2 u L 2 = u L 2 f L 2 λ λ 0 ν 0 2 u 2 L 2 ν 0 2 u 2 H 1 f L 2 u L 2 f 2 L 2 λ λ 0.

30 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 23 Il teorema precedente assicura così di poter risolvere, almeno in senso debole, l equazione λu Au = f, quando λ è abbastanza grande. E bene notare che questa restrizione su λ è parzialmente un problema legato alla tecnica dimostrativa, perchè il valore λ 0 trovato non è ottimale, e parzialmente una difficoltà intrinseca che non è possibile superare. Per esempio, il problema unidimensionale { λu u =0 in (0, 1 u(0 = u(1 = 0 in corrispondenza di λ n = n 2 π 2, non ammette un unica soluzione, dato che accanto alla soluzione nulla ci sono anche le autofunzioni sin(nπx. Se invece λ 0, allora l unica soluzione è quella banale. In generale, la situazione può anche essere peggiore, nel senso che i valori di λ per cui non vi è risolubilità (o unicità possono non essere solo un infinità numerabile come nel caso considerato. Esercizio Siano un aperto limitato di classe C 1 di R N e f L 2 (. Denotata con ν la normale esterna unitaria a, provare che (a se u H 2 ( soddisfa u v = fv v H 1 ( allora Δu = f e u =0su (la restrizione a è chiaramente ν tramite un operatore di traccia; (b se u H 2 ( soddisfa a(u, v = fv v H 1 ( (con a definita da (2.5, allora Au = f e u ν = 0 su, dove N νi = a ij ν j, i =1,..., N, è la cosiddetta conormale. j=1 2.2 REGOLARIZZAZIONE DELLE SOLUZIONI DEBOLI Cominciamo con questa sezione a studiare la regolarità della soluzione debole ottenuta con il teorema di Lax-Milgram. Relativamente all operatore A definito in (2.1, introduciamo le seguenti costanti: M 0 = max i,j { a ij, b i, c } (2.9 N 0 = max i,j a ij.

31 24 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Abbiamo provato che se λ λ 0, con λ 0 definito in (2.6, allora l equazione λu Au = f L 2 ( ammette un unica soluzione debole u H 1 0 (. Se ora inglobiamo λunella parte di ordine zero dell operatore, allora possiamo considerare u soluzione debole di Au = f, ossia ( N a ij D i ud j v b i D i uv cuv = fv v H 1 0 (. Posto g := f cu b i D i u L 2 ( la precedente uguaglianza diventa a ij D i ud j v = gv v H0 1 ( Regolarità all interno Come anticipato all inizio del capitolo, il metodo che useremo per regolarizzare la soluzione debole è basato sui quozienti differenziali. Se u L 2 (R N e h R N, h 0, chiamiamo quoziente differenziale l espressione u(x h u(x (D h u(x =. h È immediato verificare che per ogni u, v L 2 (R N si ha (D h u vdx= ud h v dx. (2.10 R N R N Se u L 2 ( e ω è un aperto a chiusura compatta contenuta in, allora ha senso considerare D h u(x per x ω e h < dist(ω,. Il prossimo lemma mostra una caratterizzazione degli spazi di Sobolev in termini di quozienti differenziali. Lemma Sia u L 2 (. Sono equivalenti le seguenti proprietà: (i u H 1 (; (ii esiste C>0 tale che per ogni ω aperto a chiusura compatta contenuta in (brevemente ω e per ogni h R N con h < dist(ω, risulta D h u L2 (ω C. In tal caso si può prendere C = u L2 (.

32 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 25 DIM. (i (ii Supponiamo inizialmente che u C0 (R N. Preso h R N, poniamo v(t :=u(x th, con t R. Allora u(x h u(x =v(1 v(0 = Di conseguenza, 1 0 v (t dt = 1 1 u(x h u(x 2 h 2 u(x th 2 dt e, integrando su ω u(x h u(x 2 dx h 2 dx ω ω 1 = h 2 dt 0 1 = h 2 dt ω 0 h u(x th dt. u(x th 2 dt u(x th 2 dx ωth u(y 2 dy. Se h < dist(ω,, allora esiste sicuramente un aperto ω tale che per ogni t [0, 1] si abbia ω th ω ; dunque D h u 2 L 2 (ω u L 2 (ω u L 2 (. (2.11 Se u H 1 (, allora esiste una successione (u n n C0 (R N tale che u n u in L 2 ( e u n uin L 2 (ω, per ogni ω. Applicando (2.11 a tutte le u n e passando al limite si ottiene la (ii. (ii (i Sia ϕ C0 (; consideriamo un aperto ω tale che suppϕ ω e sia h < dist(ω,. Allora [u(xh u(x]ϕ(x dx = u(y[ϕ(y h ϕ(y] dy C h ϕ L 2 (. Ne segue che ϕ(y h ϕ(y u(y h dy C ϕ L 2 (. Preso h = te i, quando t 0 si ottiene, per convergenza dominata u(x D i ϕ(x dx C ϕ L 2 (, sicchè ϕ ud i ϕ definisce un funzionale lineare e continuo su C 0 (, munito della norma L 2. Per densità tale funzionale può essere esteso a tutto L 2 ( e applicando il Teorema di Riesz, si determina un unica

33 26 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza funzione v i L 2 ( tale che ud i ϕ = v i ϕ ϕ C 0 (. Ne segue che esiste la derivata parziale di u rispetto a x i nel senso delle distribuzioni ed è data da v i, con v i L 2 C. Siccome i è arbitrario, si ottiene che u H 1 (, che è la nostra tesi. Osservazione Lo stesso risultato vale con 1 <p< e si dimostra esattamente allo stesso modo. Esercizio Se u W 1,p (, allora, posto h = te i, con 1 i N, risulta che D h u converge all i-sima derivata parziale debole di u per t 0 in L p (ω, per ogni ω. Il Lemma seguente è il passo fondamentale per ottenere regolarità all interno. Lemma Sia u H 1 (B R tale che a ij D i ud j v = gv v C0 (B R B R B R con g L 2 (B R. Allora u H 2 loc (B R e per ogni r<resiste una costante C = C(r, R, ν 0,M 0,N 0 tale che D 2 u L2 (B r K( u H1 (B R g L2 (B R. DIM. Sia r<rfissato e consideriamo η C0 (B R tale che suppη B Rr, 2 0 η 1 e η 1 su B r. Allora ηu H0 1 (B R e per ogni v C0 (B R si ha B R a ij D i (ηud j v = = = B R B R B R a ij ud i ηd j v a ij ud i ηd j v a ij vd i ud j η gηv B R B R j=1 B R B R B R a ij vd i ud j η a ij ηd i ud j v a ij D i ud j (ηv ( N D j a ij D i ηu v = φv(2.12 B R

34 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 27 dove φ = gη D j (a ij D i ηu a ij D i ud j η. Naturalmente φ L 2 (B R e φ L 2 (B R g L 2 (B R C(r, R, M 0,N 0 u H 1 (B R. (2.13 Sia h R N \{0}, h < R r. Poniamo z := ηu e v := D h D h z. La scelta 4 di h fa si che v H0 1 (B R (perchè il suo supporto è compatto e contenuto in B R, per cui v è una funzione test che può essere inserita in (2.12. Da questa segue che B R a ij D i zd j (D h D h z= φ (D h D h z. B R Siccome il quoziente differenziale e la derivata commutano, per la proprietà (2.10 si ha: B R D h (a ij D i z D j (D h z= φ (D h D h z. B R Tenendo conto che D h (a ij D i z(x = D h a ij (x D i z(xa ij (x h D h (D i z(x = D h a ij (x D i z(xa ij (x h D i (D h z(x si deduce successivamente B R B R a ij (x h D i (D h z(x D j (D h z(x = D h a ij (x D i z(x D j (D h z(x φ(x(d h D h z(x. B R Grazie alla condizione di ellitticità, possiamo stimare il primo membro dal

35 28 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza basso ottenendo ν 0 B R D h z 2 = B R a ij (x h D i (D h z(x D j (D h z(x B R D h a ij (x D i z(x D j (D h z(x φ(x(d h D h z(x B R C(N 0 z L2 (B R D h z L2 (B R φ L2 (B R D h D h z L2 (B R dove R è un opportuno raggio strettamente minore di R, la cui esistenza è garantita dalla scelta di h. Applicando il Lemma 2.2.1, si ha che D h D h z L2 (B R D h z L2 (B R e quindi ν 0 D h z 2 L 2 (B R C(N 0 z H 1 (B R D h z L 2 (B R φ L 2 (B R D h z L 2 (B R. Dividendo per D h z L 2 (B R e applicando ancora il Lemma 2.2.1, si deduce che z H 1 (B R, ossia z H 2 (B R e inoltre D 2 z L 2 (B R C(N 0 z H ν 1 (B R 1 φ L 0 ν 2 (B R. 0 A questo punto, siccome u z su B r, abbiamo che u H 2 (B r e, ricordando la stima (2.13, con C = C(r, R, ν 0,M 0,N 0. D 2 u L2 (B r C ( u H1 (B R g L2 (B R Segue ora facilmente il seguente teorema di regolarità interna in una palla. Non è possibile dedurre regolarità fino al bordo perchè non stiamo richiedendo alcuna condizione al contorno (si ricordi l Osservazione Teorema Sia u H 1 (B R soluzione debole di Au = f L 2 (B R. Allora u H 2 loc (B R e per ogni r<resiste C = C(r, R, ν 0,M 0,N 0 tale che u H2 (B r C( u H1 (B R f L2 (B R. DIM. Basta applicare il lemma precedente con g = f cu èinl 2 (B R. b i D i u che

36 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 29 Una conseguenza della tecnica usata è la regolarità globale nell intero spazio. Teorema Sia u H 1 (R N soluzione debole di Au = f L 2 (R N. Allora u H 2 (R N ed esiste C = C(ν 0,M 0,N 0 tale che u H 2 (R N C ( u H 1 (R N f L 2 (R N. DIM. E sufficiente ripetere la dimostrazione del Lemma senza introdurre il cut-off η e la funzione z, ponendo v = D h D h u. Osservazione Ricordando le stime del Teorema e usando il teorema precedente, si può maggiorare direttamente u H 1 (R N con f L 2 (R N, a meno di una costante moltiplicativa, se λu Au = f, con λ>λ Partizioni dell unità Prima di passare al caso di regolarità interna in un aperto arbitrario, ci occorrono dei risultati tecnici preliminari. Lemma Siano K e sottoinsiemi rispettivamente compatto e aperto di R N, con K. Allora esiste φ C 0 ( tale che 0 φ 1 e φ 1 su K. DIM. Sia r< 1 2 dist(k,. Poniamo K r := {x R N dist(x, K r}. Per costruzione, K è un compatto contenuto in. Presa η C0 ( tale che suppη B 1 (0, 0 η 1 e η =1, sia η R N ε (x = 1 η( x ε N ε la successione di mollificatori corrispondente. Se ε<r, la funzione φ = η ε χ Kr soddista le condizioni dell enunciato. Lemma Siano K un compatto di R N e {U i } r un ricoprimento aperto di K. Allora, per ogni i =1,...,r, esiste un aperto V i U i (a chiusura r compatta in U i tale che K V i. DIM. Per ogni x K, esiste i {1,...,r} tale che x U i ; inoltre, siccome U i è aperto, esiste un intorno sferico di x, B x, a chiusura contenuta in U i. Chiaramente, {B x } x K è un ricoprimento aperto di K da cui, come conseguenza dell ipotesi di compattezza, se ne può estrarre uno finito { } s B. xj j=1 A questo punto, posto V i := { } Bxj B xj U i i =1,...,r risulta che ogni V i è un aperto con V i U i e, siccome è un ricoprimento di K. r V i = s B xj, {V i } j=1

37 30 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Lemma (Partizione dell unità Siano dati un compatto K di R N e {U i } r, ricoprimento aperto finito di K. Allora esistono delle funzioni θ 1,...,θ r di classe C, verificanti le seguenti proprietà (1 supp θ i U i, (2 0 θ i 1, r (3 θ i (x =1, in un intorno di K. Chiamiamo l insieme {θ 1,...,θ r } una partizione dell unità (di classe C subordinata al ricoprimento {U i } r. DIM. Il Lemma 2.2.9, applicato due volte, assicura la possibilità di costruire a partire dal primo ricoprimento {U i } r, altri due ricoprimenti di K, {V i } r e {W i} r, tali che W i V i U i. Fissato un indice i {1,...,r}, poniamo d i := min{dist(w i,v i, dist(v i,u i }. Sia η i C0 (R N, positiva, con supp η i B d i (0 e η i =1. 2 R N Se ψ i := η i χ{ Vi, allora ψ i C0 (R N e suppψ i suppη i suppχ Vi = B d i (0 V i = x R N dist(x, V i d } i U i. Inoltre, preso x W i, 2 2 risulta ψ i (x = χ Vi (x y η i (y dy =1 B di (0 2 grazie alla scelta di d i. r Siccome ψ i 1 su W := r W j, per continuità siavrà j=1 un certo intorno aperto W di W. A questo punto, poniamo θ i (x = ψ i(x η(x r j=1 ψ j(x, r ψ i 1 2 su dove η C0 ( W con η 1 su W. E immediato verificare ora che le funzioni {θ 1,...,θ r } soddisfano le proprietà richieste. Facciamo a questo punto alcune precisazioni sullo spazio W 1,p loc (. E chiaro che L p loc (={u : R misurabile u K L p (K per ogni K compatto }. Per descrivere W 1,p loc (, ci sono invece due possibilità {u L p loc ( D iu L p loc (, i}, (2.14

38 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 31 dove D i u denota l i-esima derivata distribuzionale di u oppure {u L p loc ( u W 1,p (, }. Evidentemente il primo insieme è contenuto nel secondo, poichè D i (u = (D i u. Un argomento basato sulle partizioni dell unità mostra che vale anche l altra inclusione. Lemma Sia = j, con { j } j N aperti. Se u L p loc ( è tale j N che u j W 1,p ( j per ogni j, allora u W 1,p loc ( così come definito in (2.14. DIM. Si tratta di far vedere che le derivate distribuzionali di u sono funzioni localmente p-sommabili. Consideriamo D 1 u. Per ipotesi, per ogni j esiste v j L p ( j tale che v j = D 1 (u j. Proviamo che v i = v j q.o. su i j (se quest intersezione è non vuota: per ogni φ C0 ( i j risulta v i φ = v i φ = D 1 φu= D 1 φu= v j φ i j i i i j i j (avendo sintetizzato nell ultimo passaggio gli stessi conti ripetuti con j al posto di i. Pertanto v i = v j q.o. su i j. E così ben definita su una funzione v tale che v j = v j e l obiettivo è provare che v = D 1 u.se ψ C0 (, indicato con K il suo supporto, per compattezza è possibile ricoprire K con un numero finito di aperti { i1,..., ir } scelti tra quelli che ricoprono. Se{φ 1,...,φ r } è una partizione dell unità subordinata a { } r r ij, risulta ψφ i = ψ e D 1 (ψφ i =D 1 ψ, quindi ud 1 ψ = r j=1 = ij ud 1 (ψφ j = ψv il che completa la dimostrazione. r j=1 ij ψφ j v = r j=1 ψφ j v Regolarità all interno (continuazione Riprendiamo ora la regolarità ellittica all interno di un aperto arbitrario. Proposizione Sia un aperto di R N e sia u Hloc 1 ( soluzione debole di Au = f, con f L 2 loc (. Allora u H2 loc (. DIM. Sia B 2R (x 0 una palla a chiusura compatta contenuta in. Per ipotesi u H 1 (B 2R (x 0 e f L 2 (B 2R (x 0, per cui, applicando il Teorema

39 32 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza 2.2.5, deduciamo che u H 2 (B R (x 0. Sia ora un aperto a chiusura compatta in e consideriamo un numero finito di palle {B Ri (x i } che ricoprono e tali che i B 2Ri (x i. Dal passo precedente abbiamo che u H 2 (B Ri (x i, per ogni i, e quindi, tenendo conto del Lemma , deduciamo che u H 2 loc ( ib Ri (x i e pertanto u H 2 loc (. Dall arbitrarietà di segue la conclusione. Il seguente corollario mostra che aumentando la regolarità dei coefficienti dell operatore e del dato f, aumenta quella della soluzione: precisamente questa ha due ordini di regolarità in più rispetto a f (poichè l operatore A è del secondo ordine. Corollario Sia un aperto di R N ; supponiamo che a ij C k1 (, b i,c C k ( e che f Hloc k (. Allora se u H1 loc ( è soluzione debole dell equazione Au = f, risulta u H k2 loc (. DIM. Procediamo per induzione su k. Per k =0, la tesi è vera grazie alla Proposizione Supponiamola vera per k e proviamola per k 1. Assumiamo quindi che a ij C k2 (, b i,c C k1 ( e che f H k1 loc (. La funzione u verifica per ipotesi ( N a ij D i ud j φ b i D i uφ cuφ = fφ per ogni φ C 0 (; in particolare a ij D i ud j φ = gφ φ C 0 ( con g data da f b i D i u cu. Per ipotesi induttiva u H k2 loc (, per cui g H k1 loc (. Per provare la tesi, facciamo vedere che u Hk2 loc (. Mettiamo D r φ al posto di φ nell uguaglianza precedente e otteniamo a ij D i ud jr φ = gd r φ = (D r g φ.

40 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 33 Integrando per parti si ha quindi (D r g φ = = = = D r (a ij D i u D j φ a ij D i (D r u D j φ a ij D i (D r u D j φ a ij D i (D r u D j φ D r a ij D ij uφ. (D r a ij D i ud j φ D j [D r (a ij D i u] φ D jr (a ij D i uφ Si trova così che D r u è a sua volta soluzione debole dell equazione ellittica [ a ij D i (D r u D j φ = φ D r g D jr a ij D i u ] D r a ij D ij u dove la funzione in parentesi quadre èinhloc k (. Applicando allora l ipotesi induttiva deduciamo che D r u H k2 loc ( e quindi, data l arbitrarietà di r, che u H k2 loc (, cioè u Hk3 loc (. Corollario (Ipoellitticità Se a ij,b i,csono di classe C ( e anche il dato f C (, allora u Hloc 1 ( soluzione debole di Au = f è anch essa di classe C (. DIM. Basta usare le immersioni di Sobolev, giacchè u Hloc k ( per ogni k Regolarità fino al bordo Di seguito, consideriamo come aperto la semipalla di centro l origine e raggio R contenuta nel semispazio R N = { x R N x N > 0 }, denotata con B R, e facciamo vedere che la soluzione debole del problema di Dirichlet con dato in L 2, è H 2 in una qualunque semipalla di raggio più piccolo. Il procedimento seguito consiste nell usare il metodo dei quozienti differenziali per stimare le derivate tangenziali di D i u e l equazione differenziale per ricavare l ultima derivata D NN u.

41 34 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza Lemma Sia u H0 1 (B R soluzione debole dell equazione Au = f L 2 (B R.Ser<Rallora esiste una costante C = C(r, R, ν 0,M 0,N 0 tale che per ogni i =1,...,N 1 si ha D i u H 1 (B r e D ij u L 2 (B r C ( u H 1 (B R f L 2 (B R j =1,..., N. (2.15 DIM. Identica a quella del Lemma 2.2.4, usando quozienti differenziali, come nel caso dell intera palla, rispetto a traslazioni tangenziali h =(h 1,..., h N 1, 0. Infatti lo spazio H0 1 è invariante rispetto a tali traslazioni nel senso che v H0 1 (B r = D h v H0 1 (B R con h sufficientemente piccolo. La stima di D NN è ottenuta nella proposizione seguente. Proposizione Sia u H0 1 (B R soluzione debole dell equazione Au =f L 2 (B R.Ser<Rallora u H2 (B r e dove C = C(r, R, ν 0,M 0,N 0. D 2 u L 2 (B r C ( u H 1 (B R f L 2 (B R, (2.16 DIM. Per la Proposizione , u Hloc 2 (B R e quindi Au = f q.o. Allora a ij D ij u β i D i u cu= f q.o. dove β i = b i D j a ij e quindi j=1 D NN u = [ (i,j (N,N a ij D ij u a NN ] β i D i u cu f Dalla condizione di ellitticità sihachea NN ν 0, per cui D NN u 1 ν 0 (i,j (N,N La tesi segue subito dal Lemma a ij D ij u β i D i u cu f. Segue ora un risultato di regolarità globale nel semispazio analogo a quello già visto in R N.

42 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 35 Proposizione Sia u H 1 0 (R N soluzione debole di Au = f L 2 (R N. Allora u H 2 (R N ed esiste una costante C = C(ν 0,M 0,N 0 tale che u H 2 (R N C ( f L 2 (R N u H 1 (R N. DIM. Come per il Teorema è sufficiente adattare (e semplificare la dimostrazione del Lemma e della Proposizione al caso del semispazio. Definizione Se T = {x R N : x N =0} = R N R N 1, indichiamo con HT 1 (B R la chiusura nella norma H1 delle funzioni u C (B R nulle in un intorno di T B R (cioè nulle solo vicino al bordo piatto di B R. Osservazione Se u HT 1 (B R e η C 0 (B R1 con R 1 <R, allora ηu H0 1 (B R. Infatti, per definizione esiste una successione (u n C (B R tale che u n =0in un intorno di T B R e u n converge a u in H 1 (B R. Ne segue che ηu n C0 (B R e chiaramente ηu n ηu in H 1. Inoltre se h è un vettore tangenziale, cioè h =(h 1,h 2,,h N 1, 0 e h <R R 1 allora il quoziente differenziale D h (ηu appartiene a H0 1 (B R, perchè D h (ηu n C0 (B R. Teorema Sia u HT 1 (B R soluzione debole dell equazione Au = f, con f L 2 (B R. Allora per ogni r<r, u H2 (B r ed esiste una costante c = c(r, R, ν 0,M 0,N 0 tale che ( D 2 u L 2 (B r c f L 2 (B R u H 1 (B R. DIM. Si procede come nel caso di H0 1 (B R (Proposizione , tenendo conto dell Osservazione Lemma Sia u H 2 (B r HT 1 (B R, con r < R. Allora per ogni i {1, 2,,N 1} si ha che D i u HT 1 (B r. DIM. Sia η C (R N tale che η 1 in B r e supp η B rr. Allora 2 z = ηu H0 1 (B R. Inoltre, se h = te i, con 1 i N 1, per l Osservazione , si ha che D h z H0 1 (B R, per h sufficientemente piccolo e D hz D i z in norma H 1, per t 0 (cfr Esercizio Ne segue che D i z H0 1 (B R e siccome z u in B r, D i u HT 1 (B r. Teorema Sia u H 1 T (B R soluzione debole dell equazione Au = f. Supponiamo inoltre che a ij C k1 (B R, b i,c C k (B R e f H k (B R. Allora u H k2 (B r per ogni r<r.

43 36 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza DIM. Procediamo per induzione su k. Il caso k = 0 è provato dal Teorema Assumiamo che la tesi sia vera per k e proviamola per k 1. Supponiamo pertanto che a ij C k2 (B R, b i,c C k1 (B R e f H k1 (B R. Per ipotesi induttiva u H k2 (B r per ogni r<r. Sia ora s {1, 2,,N 1} e consideriamo la derivata tangenziale D s u. Per il Lemma D s u HT 1 (B r, r<r,e derivando l equazione rispetto a x s risulta a ij D i (D s ud j φ = vφ φ C0 (B r B r i,j dove v = D s (f cu i b id i u i,j (D jsa ij D i u i,j (D sa ij D ij u (cf Corollario Siccome v H k (B r, applicando l ipotesi induttiva a D s u deduciamo che D s u H k2 (B r. Per come è stato scelto s, resta la derivata rispetto a x N di ordine k 3: u. Per questa, basta derivare k 1volte l equazione rispetto a x N e ricavare D k3 N u. Si trova così Dk3 N u espressa in funzione di tutte le altre derivate, già stimate; da qui la tesi. D k3 N B r Corollario Se a ij, b i, c, f C (B R, allora u C (B r per ogni r<r. Corollario Sia un aperto limitato di classe C k2, oppure =R N, oppure =R N.Sea ij C k1 (,b i C k (,c C k (,f H k ( allora u H k2 (. DIM. Per=R N basta iterare il Teorema Per =R N si ripete lo stesso argomento del Teorema senza fare alcun troncamento. Per aperto limitato di classe C k2 si procede mediante carte locali e partizioni dell unità. Corollario Supponiamo che u H0 1 (R N sia soluzione debole dell equazione λu Δu = f, con λ>0. Sef C (R N è a supporto compatto in R N allora u H k (R N, per ogni k. In particolare u Cb (RN. Lo studio della regolarità delle soluzioni deboli in semipalle consente di passare a quello al bordo di aperti regolari mediante l uso di carte locali. Il lemma successivo mostra che tramite un cambio di variabili l operatore di partenza si trasforma in un altro operatore uniformemente ellittico del secondo ordine. Lemma Sia un aperto di classe C 2, sia (U, H una carta locale su. Sia inoltre u H0 1 (U tale che a ij D xi ud xj ϕ = gϕ ϕ C0 (U (2.17 U U

44 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 37 dove g L 2 (U. Allora, posto v(y :=u(h(y, y B R si ha che v H 1 0 (B R e soddisfa B R h,k=1 α hk D yk vd yh ψ = B R gψ ψ C 0 (B R (2.18 dove g =(g H JacH L 2 (B R e i coefficienti α hk C 1 (B R verificano la condizione di ellitticità uniforme. DIM. Sia ψ C0 (B R ; poniamo ϕ(x :=ψ(j(x, dove J indica la funzione inversa di H e x U. Allora ϕ C0(U 1 e D xi u(x = D yk v(jxd xi J k (x, D xj ϕ(x = k=1 Dunque si ha a ij (xd xi u(xd xj ϕ(x dx = = U U h,k=1 a ij (x B R h,k=1 D yh ψ(jxd xj J h (x. h=1 D yk v(jxd xi J k (xd yh ψ(jxd xj J h (x dx ( aij (H(yD yk v(yd xi J k (H(yD yh ψ(yd xj J h (H(y JacH dy, in base alle usuali formule sul cambio di variabili in un integrale. Pertanto, posto α hk (y := a ij (H(yD xi J k (H(yD xj J h (H(y JacH (y risulta a ij (xd xi u(xd xj ϕ(xdx = U B R h,k=1 α hk (yd yk v(yd yh ψ(ydy. (2.19 Siccome i coefficienti a ij sono di classe C 1 e le funzioni H, J di classe C 2,i nuovi coefficienti α hk appartengono a C 1 (B R e inoltre soddisfano la condizione di ellitticità. Infatti per ogni ξ R N, usando il fatto che le matrici

45 38 Metodo variazionale per operatori in forma di divergenza iacobiane JacH e JacJ non sono singolari risulta h,k=1 α hk ξ h ξ k = D altra parte si ha h,k=1 = JacH JacH ν 0 U a ij D xi J k D xj J h JacH ξ h ξ k ( N ( N a ij D xi J k ξ k D xj J h ξ h N gϕ dx = k=1 h=1 ( N 2 D xi J k ξ k β ξ 2. B R k=1 (g Hψ JacH dy (2.20 per cui, combinando (2.17, (2.19, e (2.20 si ottiene la tesi. Giungiamo infine al risultato più importante di questo capitolo. Teorema Siano aperto limitato di classe C 2, u H 1 0 ( soluzione debole di Au = f, f L 2 (. Allora u H 2 ( ed esiste una costante C = C(ν 0,M 0,N 0, tale che u H 2 C ( f L 2 u H 1. DIM. Siccome è un aperto di classe C 2, dalla Definizione segue che per ogni x esistono U x intorno di x in R N e J x : U x B 1 biiettiva, di classe C 2 con la sua inversa H x, tali che J x (U x = B 1 e J x(u x = B 1 {x N =0}. Poniamo V x := H x (B 1 2. Per ogni x sia B 2R x (x una palla contenuta in. Siccome è compatto, possiamo determinare intorni {V xi },...,n1 e palle { B Rxi (x i } i=n 11,...,n 2 interne ad, tali che = n 1 V i n 2 j=n 11 B Rxj (x j. Poniamo V i = V xi, R j = R xj e n = n 1 n 2. Sia {θ i } n una partizione dell unità relativa a questo ricoprimento di n. Allora, in particolare θ i =1in un intorno di, e quindi possiamo scrivere n n u = θ i u = u i in. A questo punto si tratta di provare che u i H 2 (, per ogni i =1,...,n.

46 2.2 Regolarizzazione delle soluzioni deboli 39 Se i = n 1 1,...,nallora supp(u i B Ri (x i, per cui dal Teorema applicato alle palle B Ri (x i e B 2Ri (x i otteniamo u i H 2 ( = uθ i H 2 (B Ri (x i C i u H 2 (B Ri (x i C i C(R i, 2R i,ν 0,M 0,N 0 ( f L 2 (B 2Ri (x i u H 1 (B 2Ri (x i C(ν 0,M 0,N 0, ( f L2 ( u H1 ( Sia adesso i n 1 ; la funzione u i = θ i u appartiene ad H0 1 (U i, siccome u H0 1 ( e supp θ i V i e soddisfa a hk D h u i D k v = g i v v C0 (U i U i h,k=1 U i con g i L 2 (U i che verifica g i L 2 (U i C(M 0,N 0, [ u H 1 ( f L 2 (] (si veda la dimostrazione del Lemma Consideriamo la funzione v i := u i H i. Per il Lemma risulta che v i H0 1 (B 1 e risolve un altra equazione ellittica del secondo ordine, relativa alla semipalla B 1. Applicando la Proposizione , deduciamo che v i H 2 (B 1 e 2 v i H 2 (B 1 = v i H 2 (B 1 C(ν 0,M 0,N 0, [ g i L 2 (B 1 v i H 1 (B ] 1 2 e quindi u i H 2 (U i C(ν 0,M 0,N 0, [ f L 2 ( u H 1 ( u i H 1 (] da cui infine Siccome u = u H 2 ( u i H 2 ( C(ν 0,M 0,N 0, [ f L 2 ( u H 1 (]. n u i su, concludiamo che u H 2 ( e che n u i H 2 ( C(ν 0,M 0,N 0, ( f L 2 ( u H 1 (. Concludiamo adesso con un risultato di regolarità di ordine superiore, di cui non diamo la dimostrazione poichè tecnicamente analoga a quelle precedenti. Teorema Sia aperto limitato di classe C k2 e sia f H k (. Se a ij C k1 (, b i C k ( e c C k (, allora la soluzione debole di Au = f appartiene ad H k2 (. Osservazione Se k> N 2 allora u C2 ( (per le immersioni di Sobolev e diventa come tale soluzione classica del problema di Dirichlet.

47

48 CAPITOLO 3 PRINCIPI DEL MASSIMO 3.1 PRINCIPI DEL MASSIMO IN FORMA DEBOLE Richiamiamo il principio del massimo debole per funzioni subarmoniche regolari. Teorema Sia limitato e sia u C 2 ( C( subarmonica, cioè Δu 0. Allora max u = max u. Vogliamo estendere tale risultato a operatori della forma Au(x = a ij (xd ij u(x b i (xd i u(xc(xu(x (3.1 definiti in C 2 (, dove è un aperto limitato di R N, con i coefficienti b i,c,a ij = a ji C( reali e verificanti la condizione di uniforme ellitticità a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ 2 x, ξ R N, per un opportuna costante ν 0 > 0. Teorema (Principio del massimo debole Sia c 0 in e sia u in C 2 ( C( tale che Au 0 in. Allora Se invece Au 0 allora max u = max u. (3.2 min u = min u.

49 42 Principi del massimo Per la dimostrazione di questo teorema abbiamo bisogno preliminarmente del seguente risultato di algebra lineare. Lemma Siano B =(b ij N, C =(c ij N due matrici reali e simmetriche, rispettivamente semidefinita positiva e semidefinita negativa. Allora tr (BC = b ij c ij 0. DIM. Siccome B è una matrice reale e simmetrica, essa è diagonalizzabile mediante una matrice di passaggio U ortogonale, cioè D = UBU 1, con D =[β 1,...,β N ] matrice diagonale degli autovalori di B. Consideriamo la matrice E =(γ ij N data da E = UCU 1. Siccome U è ortogonale, E è ancora simmetrica. Inoltre D ed E sono semidefinite positiva e negativa rispettivamente, per cui i loro elementi sulla diagonale principale verificano la proprietà: β i 0 e γ ii 0 per ogni i. Ne segue che A questo punto, risulta tr(de = β i γ ii 0. che è la tesi. tr(bc =tr(u 1 DUU 1 EU=tr(U 1 DEU =tr(de 0, DIM. (TEOREMA Proviamo anzitutto che se Au > 0 allora u non può avere un massimo interno. Procedendo per assurdo, supponiamo che esista x 0 tale che u(x 0 = max u. Siccome x 0 è interno, risulta che u(x 0 = 0 e la matrice Hessiana di u in questo punto, (D ij u(x 0, è semidefinita negativa. L ipotesi di ellitticità sull operatore A implica che la matrice (a ij (x 0, reale e simmetrica, è definita positiva, per cui, applicando il Lemma 3.1.3, si deduce che a ij (x 0 D ij u(x 0 0. Allora (Au(x 0 0, il che chiaramente contraddice l ipotesi Au > 0. Se Au 0 ci si può ricondurre al caso precedente introducendo un opportuna funzione ausiliaria. Precisamente, consideriamo e λx1, dove λ>0 è un parametro da determinare. Allora si ha A(e λx 1 =a 11 (xλ 2 e λx 1 b 1 (xλe λx 1 = λe λx 1 (b 1 (xλa 11 (x λe λx1 (b 1 (xλν 0 λe λx1 (λν 0 b 1.

50 3.1 Principi del massimo in forma debole 43 Scelto λ 0 > 0 in modo tale che λ 0 ν 0 b 1 > 0 si ottiene pertanto che Ae λ0x1 > 0. A questo punto, sia u ε = u εe λ0x1. Allora Au ε = Au εae λ 0x 1 > 0 e applicando quanto dimostrato nella prima parte si ha max u ε = max u ε. Infine, siccome u ε converge uniformemente ad u in, quando ε 0, si ottiene max max u ε max u per ε 0 u ε max u per ε 0 da cui segue la tesi. Scambiando u con u si ottiene il principio del minimo quando Au 0. Corollario (Principio del massimo modulo Se u C 2 ( C( è tale che Au =0, allora max u = max u. DIM. Per conseguire la tesi è sufficiente osservare che { } max u = max e applicare il teorema precedente. max u, min u Un immediata conseguenza del principio del massimo modulo è il teorema di unicità della soluzione per il problema di Dirichlet associato ad A. A questo punto, è naturale chiedersi cosa succede se viene meno l ipotesi che c 0: qualora c 0, è importante conoscere il suo segno. Per capire il motivo di ciò, prendiamo ad esempio come operatore Δc, con c costante positiva. Se valesse un principio del massimo debole allora, con le stesse tappe di prima, arriveremmo a un teorema di unicità per il problema { Δu = cu in u =0 su Ma il Laplaciano, in quanto operatore dissipativo, autoaggiunto con risolvente compatto, ammette una successione di autovalori λ n < 0, che decrescono a, sicchè i problemi { Δu = λn u in u =0 su chiaramente non hanno un unica soluzione. Da questo esempio, si comprende che per poter ottenere un principio del massimo quando c 0, bisogna supporre necessariamente c 0.

51 44 Principi del massimo Teorema (Principio del massimo debole Sia u C 2 ( C( e supponiamo che c 0. Allora risulta (i Au 0 in = max u max u, (ii Au 0 in = min u max u. DIM. (i Se u 0 in, allora la tesi è ovvia. Altrimenti V = {x u(x > 0} è un aperto non vuoto di. Posto B = A c, si ha che Bu = Au cu 0 in V e quindi, dal Teorema max V siccome u 0 su V. Risulta max V u = max u = max V V u u = max u, visto che, fuori di V, u(x u. Osserviamo che V =( V 0. Proviamo infine che max V u = max ( V e che u 0 su V, u 0 su \ V. Allora max V u = max V u = max u. Questo prova (i. (ii Con un semplice cambio di segno possiamo ricondurci al caso precedente. Infatti Au 0 A( u 0 max( u max ( u min u max u. Corollario (Principio del massimo modulo Se u C 2 ( C( è tale che Au =0esec 0, allora max u = max u. DIM. Anche stavolta scriviamo max u = max max = max u, allora dalla (i del Teorema segue che max u max { u max u. } u, min u Siccome l altra disuguaglianza è ovvia, concludiamo che max Si procede in modo del tutto analogo se max u = min u..semax u u = max u. Deduciamo adesso un teorema di unicità per il problema di Dirichlet associato ad A e un principio di confronto, utile nelle applicazioni.

52 3.1 Principi del massimo in forma debole 45 Proposizione Siano u, v C 2 ( C( e sia c 0. Allora (i Au = Av in, u = v su u = v in. (ii Au Av in, u v su u v in. Proviamo di seguito una stima a priori per l equazione Au = f che sarà usata nel Capitolo 5. Nella dimostrazione useremo il seguente lemma. Lemma Sia limitato e c 0. Esiste φ C 2 (R N tale che φ>0 in e Aφ 1 in. DIM. Sia ψ(x = cosh μx 1. Allora Aψ = a 11 μ 2 cosh μx 1 b 1 μ sinh μx 1 c cosh μx 1 (ν 0 μ 2 b 1 μ c cosh μx 1. Fissiamo μ sufficientemente grande e otteniamo Aψ 1. Basta adesso prendere φ(x = cosh μr cosh μx 1, dove R>0 è tale che B R (0. Proposizione Sia limitato, c 0. Esiste C = C( > 0 tale che per ogni u C 2 ( C( risulta u C Au max u. DIM. Sia v = u Au φ max u, dove φ è la funzione del Lemma E immediato verificare che Av 0 in e che v 0 su. Per il Teorema 3.1.5, v 0 in e quindi u C Au max u, C = cosh μr. Scambiando u on u si conclude la dimostrazione. Per il seguito è necessario considerare anche i casi dell intero spazio e del semispazio. Proposizione Supponiamo c 0. C b (R N e λu Au = f C b (R N. Allora Siano λ > 0, u C 2 (R N u f λ. DIM. Consideriamo la funzione v(x =γ x 2, con γ>0parametro da determinare. Risulta allora Av(x =2 a ii (x2 b i (xx i c(xv(x α β x con α e β costanti positive opportune. Scelto γ in modo tale che α β x λ(γ x 2 =λv(x x R N

53 46 Principi del massimo (per esempio, se η = sup x R N (α β x λ x 2, basta prendere γ = η λ, si ha Av λv in R N. Poniamo u ε = u εv. Siccome lim x u ε (x =, u ε ha un punto di massimo assoluto in un certo x 0 e quindi Inoltre Au ε (x 0 0. (3.3 λu ε Au ε = λu Au ε(λv Av =f ε(λv Av f. (3.4 Da (3.3 e (3.4 segue allora che e quindi λu ε (x 0 λu ε (x 0 Au ε (x 0 f(x 0 f u(x εv(x =u ε (x u ε (x 0 f λ, x RN. Facendo il limite per ε 0 della disuguaglianza precedente otteniamo u(x f λ, x RN. Le stesse argomentazioni applicate alla funzione u portano ad avere u, cioè la tesi. f λ Osservazione Il teorema precedente continua a valere anche se i coefficienti sono illimitati richiedendo che a ii (x b i (xx i k(1 x 2, x R N, per qualche costante k>0. Come conseguenza del principio del massimo appena provato deduciamo l unicità di una soluzione limitata dell equazione λu Au = f. Corollario Sia f C b (R N.Seu 1,u 2 C 2 (R N C b (R N risolvono l equazione λu Au = f, allora u 1 u 2. DIM. Posto u = u 1 u 2, risulta λu Au =0. Per la Proposizione vale allora u 0, ossia u 0 e quindi u 1 u 2 in R N.

54 3.2 Principi del massimo in forma forte 47 Teorema Supponiamo c 0, λ>0. Siano u C 2 (R N C b (R N, con u(x, 0 = 0. Allora, posto λu Au = f, siha u f λ. DIM. La dimostrazione è del tutto simile a quella fatta per R N. Poniamo v(x =γ x 2, e scegliamo γ tale che Av(x λv(x, x R N. Definiamo u ε (x =u(x εv(x; siccome lim x u ε (x =, u ε ammette un punto di massimo assoluto x 0. Supponiamo che u ε (x 0 > 0 e osserviamo che x 0 / R N 1. Pertanto x 0 R N e Au ε (x 0 = a ij (x 0 D ij u ε (x 0 b i D i u ε (x 0 c(x 0 u ε (x 0 0 (confronta il Lemma e il Teorema Ne segue che cioè λu ε (x 0 λu ε (x 0 Au ε (x 0 = λu(x 0 Au(x 0 ε(λv(x 0 Av(x 0 f(x 0 f u ε (x 0 f λ. Se u ε (x 0 0, la disuguaglianza precedente è ovvia perchè u ε (x 0 0 f λ. Allora per ogni x vale u(x εv(x =u ε (x u ε (x 0 f λ. Per ε 0 otteniamo u(x f x R N. (3.5 λ Applicando le stesse argomentazioni alla funzione u otteniamo la tesi. 3.2 PRINCIPI DEL MASSIMO IN FORMA FORTE Sebbene il principio del massimo debole sia sufficiente per molte applicazioni, spesso è necessario disporre di una versione forte che escluda l esistenza di un massimo interno per soluzioni non costanti. Un tale principio per il Laplaciano si enuncia nel seguente modo. Teorema Sia un aperto connesso limitato di R N e sia u subarmonica in. Se esiste un punto x 0 interno a tale che u(x 0 = max u, allora u è costante.

55 48 Principi del massimo Tipicamente la dimostrazione di questo teorema si poggia su un argomento che caratterizza le funzioni subarmoniche e che è rappresentato dalla disuguaglianza del valor medio: u subarmonica in = B R (y u(y 1 ω N R N u(xdx. B R(y Tale proprietà non ha un analogo nel caso di operatori di forma più generale e di conseguenza la dimostrazione del principio del massimo forte per il Laplaciano non può essere estesa al caso generale. In alternativa, scegliamo di seguire il metodo di Hopf, che poggia sul seguente lemma. Lemma Siano aperto di R N e u C 2 (. Supponiamo che Au 0 in con c 0 e che esista x 0 tale che (i u è continua in x 0, (ii u(x 0 >u(x, per ogni x, (iii verifica la proprietà della palla interna in x 0, cioè esiste B R (y tale che x 0 B R (y. Se esiste la derivata direzionale di u in x 0 rispetto alla normale esterna ν a B R (y, allora u ν (x 0 > 0. Se c 0 la stessa conclusione vale a patto che u(x 0 0. Infine se u(x 0 =0, la tesi è vera indipendentemente dal segno di c. DIM. Per l ipotesi (iii, esiste una palla B R (y con x 0 B R (y; prendendo eventualmente una palla più piccola B R (y B R (y con centro y sul segmento yx 0, possiamo supporre che B R (y ={x 0 }.Se0 <ϱ<r, consideriamo la corona circolare C = B R (y\b ϱ (y e definiamo la funzione ausiliaria v(x =e α x y 2 e αr2, x C con α costante positiva da determinare. Osserviamo che v(x > 0 in C e v(x =0su B R (y. Inoltre C {x 0 }.

56 3.2 Principi del massimo in forma forte 49 Ora, come conseguenza della condizione di ellitticità sull operatore A e della limitatezza dei suoi coefficienti, risulta [ N (Av(x =e α x y 2 4α 2 a ij (x(x i y i (x j y j 2α a ii (x 2α b i (x(x i y i c(x ( 1 e α(r2 x y 2 ] ( e [4α α x y 2 2 ν 0 x y 2 2α sup ( 2α sup x b(x e α x y 2 [4α 2 ν 0 ϱ 2 2α x x y sup x ( sup x 2αR sup b(x sup c(x x x ] c(x a ii (x ] a ii (x dove b =(b 1,..., b N. A questo punto, scegliamo α in modo tale che la quantità scritta tra parentesi risulti positiva. Così sihaav 0 in C. Siccome u(x u(x 0 < 0 in, esiste ε>0tale che w(x =u(x u(x 0 εv(x 0 su B ϱ (y. Tale disuguaglianza è verificata anche su B R (y, dove v = 0. Pertanto la funzione w gode di queste proprietà: Aw(x = Au(x c(xu(x 0 εav(x c(xu(x 0 0, per ogni x C, nelle ipotesi dell enunciato, e w 0 su C. Il principio del massimo debole (Teorema implica adesso che w 0 in tutto C (a tale proposito osserviamo che la continuità diw su C, richiesta dal principio applicato, è conseguenza di (i e del fatto che C {x 0 }. Calcolando la derivata normale di w nel punto x 0,siha w ν (x w(x 0 tν w(x 0 w(x 0 tν 0 = lim = lim 0 t 0 t t 0 t da cui segue, come richiesto, che u ν (x 0 ε v ν (x 0=ε2αRe αr 2 > 0. Osserviamo che la disuguaglianza u ν (x 0 0 è ovvia perchè x 0 è punto di massimo. La difficoltà nel lemma è ottenere la disuguaglianza stretta u ν (x 0 > 0.

57 50 Principi del massimo A questo punto siamo in grado di dimostrare il seguente Teorema (Principio del massimo forte Sia un aperto connesso limitato e sia u C 2 ( tale che Au 0 (risp. Au 0 in. -Sec 0eu(x 0 = max u (risp. u(x 0 = min u, per qualche x 0, allora u è costante. -Sec 0eu(x 0 = max u 0 (risp. u(x 0 = min u 0, con x 0 allora u è costante. DIM. Supponiamo per assurdo che u non sia costante e che raggiunga il suo massimo M in un punto x 0 all interno di. Posto = {x u(x <M} e E = {x u(x =M} risulta pertanto che E,. Sia x 1 e γ :[0, 1] una curva continua congiungente i punti x 0 e x 1, cioè tale che γ(0 = x 0 e γ(1 = x 1. Siccome è aperto, esiste t ]0, 1[ con γ(t e γ(t se t ]t, 1]. Sia x = γ(t E e y = γ(t con t>t tale che dist(y, x < dist(y,. Allora r = dist(y, E dist(y, x < dist(y,. Consideriamo la palla B r (y e un punto z 0 E tale che dist(y, z 0 =r. Il punto z 0 soddisfa ora le ipotesi del lemma precedente relativamente all aperto. Siccome u ν (z 0 > 0 (ν è la normale esterna a B r (y, allora u(z 0 0. Questo è però impossibile in un punto di massimo interno.

58 CAPITOLO 4 SPAZI DI FUNZIONI HÖLDERIANE Nel corso di questa seconda parte il nostro studio è rivolto al problema di Dirichlet associato ad un operatore differenziale uniformemente ellittico del secondo ordine con coefficienti α-hölderiani. L intento è quello di provare che sotto opportune ipotesi di regolarità dell aperto, in corrispondenza di un dato di classe C 0,α esiste ed è unica la soluzione del problema di Dirichlet di classe C 2,α (si ha dunque regolarità massimale. Prima di procedere, abbiamo bisogno di alcuni risultati preliminari. Cominciamo col presentare nella sezione che segue alcune informazioni utili sulle funzioni hölderiane. 4.1 PROPRIETÀ ELEMENTARI DELLE FUNZIONI HÖLDERIANE Definizione Siano aperto di R N e 0 < α 1. Se u : R, definiamo modulo di α-hölderianità di u la quantità [u] α = sup x y x,y u(x u(y x y α. Denotata con C b ( la classe delle funzioni continue e limitate in, chiamiamo spazio delle funzioni α-hölderiane l insieme C 0,α ( = {u C b ( : [u] α < }. In particolare C 0,1 ( è lo spazio delle funzioni lipschitziane in.

59 52 Spazi di funzioni hölderiane La restrizione su α non è casuale dato che se è connesso le uniche funzioni u per cui [u] α < con α > 1 sono le costanti (vd Esercizio Se [u] α < allora [u] α èlapiùpiccola costante c tale che u(x u(y c x y α, per ogni x, y. E immediato verificare che [ ] α definisce una seminorma in C 0,α ( ([u] α =0per ogni funzione costante u. Invece u α := u [u] α è una norma e lo spazio (C 0,α (, α è completo (vd Esercizio Osservazione Se u C b ( verifica u(x u(y c x y α, per qualche ϱ 0 > 0, allora [u] α <. Infatti se x y ϱ 0, risulta x y α u(x u(y 2 u { per cui [u] α max c, 2 u ϱ α 0 }. x y ϱ 0,x,y x y α 2 u x y α, L osservazione appena fatta consente di stabilire una relazione d inclusione tra spazi di funzioni hölderiane con diversi esponenti. Proposizione Se β<αallora C 0,α ( C 0,β (. DIM. Sia u C 0,α (. Essendo β<α, risulta u(x u(y [u] α x y α [u] α x y β se x, y, x y 1. L osservazione precedente implica la tesi. Direttamente dalla definizione discende che ogni funzione hölderiana è uniformemente continua e come tale prolungabile con continuità al bordo del suo insieme di definizione. Pertanto C 0,α ( = C 0,α (. Proposizione Se è limitato allora l inclusione C 0,α ( C( è compatta, per ogni 0 <α 1. DIM. E stato già osservato che ogni u C 0,α ( appartiene a C( essendo in particolare uniformemente continua. Resta quindi da provare che l inclusione è compatta. Sia (u n C 0,α ( tale che [u n ] α 1 e u n 1 per ogni n N. Allora, se δ>0, siha ϱ α 0 ω(u n,δ [u n ] α δ α δ α n N, dove ω(u n,δ = sup{ u n (x u n (y : x y δ} è il modulo di continuità della funzione u n. Pertanto la successione (u n è equicontinua e equilimitata. Per il teorema di Ascoli-Arzelà esiste una sottosuccessione (u nk che converge uniformemente in.

60 4.1 Proprietà elementari delle funzioni hölderiane 53 Proposizione Sia (u n n N C 0,α ( tale che u n converge uniformemente a una data u e [u n ] α C, per qualche costante C > 0. Allora u C 0,α ( e [u] α C (cioè la palla di C 0,α ( è chiusa nella norma. DIM. Chiaramente u C b (. Per ogni x, y risulta u n (x u n (y C x y α. Passando al limite puntualmente si ha quanto richiesto. Definizione Se k N e α (0, 1], definiamo C k,α ( := {u C k b ( : D β u C 0,α ( per ogni β con β = k}, dove Cb k ( è lo spazio delle funzioni derivabili con continuità k volte e limitate in con tutte le derivate. Posto u k,α := D β u [D β u] α β k β =k con u C k,α (, risulta che (C k,α (, k,α è spazio di Banach. Osserviamo che l hölderianità delle derivate non implica in generale quella della funzione. Ciò dipende dalla natura geometrica dell aperto : come vedremo, se questo risulta regolare in qualche senso, l inclusione C k,α ( C k 1,α ( risulta verificata per ogni k. Un problema simile legato alle proprietà geometriche di è rappresentato dall immersione C 1 b ( C0,α (. Proposizione Se è un aperto convesso di R N, allora per ogni α (0, 1] risulta che C 1 b ( C0,α (. DIM. Sia u Cb 1 (. Fissati x, y, per il teorema di Lagrange, esiste ξ tale che u(x u(y = u(ξ (y x. Pertanto u(x u(y u x y. Ciò implica che u appartiene a C 0,1 ( e quindi, per la Proposizione 4.1.3, ad ogni C 0,α (. In particolare, se =R N, C 1 b (RN è incluso in C 0,α (R N. Osserviamo comunque che C 1 b (RN non è denso in C 0,α (R N (vd Esercizio Se viene meno l ipotesi di convessità di, il risultato precedente è falso in generale, come mostrano i due controesempi seguenti.

61 54 Spazi di funzioni hölderiane Esempio Sia un quadrato aperto privato di un segmento, per esempio { ] [ 1 = (x, y R 2 : 0 <x<1, 0 <y<1; y/ 2, 1 se x = 1 }. 2 Prendiamo una funzione u che sia limitata insieme alle derivate parziali prime in e che valga identicamente 0 e 1 da parti opposte rispetto al segmento mancante. In tal modo u non èinc 0,α per alcun α: su due punti arbitrariamente vicini in ma separati dal segmento mancante, la differenza dei valori di u è costantemente uguale a 1. Esempio Siano ={(x, y R 2 : x 2 y 2 < 1, y < 2 x 1 2 } e u la funzione così definita { (sign xy β se y>0 u(x, y = 0 se y 0 con 1 <β<2. Chiaramente u Cb 1(. Presi per x > 0 punti del tipo (x, x 1 2 e ( x, x 1 2 a distanza 2x, risulta u(x, x 1 2 =x β 2, u( x, x 1 2 = x β 2. Se β 2 <αallora u non è α-hölderiana in, pur essendo in C1 b (. In entrambi i controesempi appena mostrati, l inclusione di Cb 1 ( in C 0,α ( fallisce perchè la distanza euclidea utilizzata nella definizione di C 0,α ( non tiene conto della geometria dell aperto considerato. Per questo è opportuno introdurre la nozione di distanza geodetica. Definizione Sia aperto connesso di R N e siano x, y. Definiamo distanza geodetica tra x e y in la quantità d (x, y = inf{l(γ :γ curva C 1 a tratti congiungente x e y in }, essendo l(γ la lunghezza di γ. Naturalmente d (x, y x y. Se è convesso allora d coincide con la distanza euclidea. Definizione si dice di tipo α, con 0 <α 1, se esiste M>0 tale che d (x, y M x y α x, y. si dice regolare se per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che d (x, y ε per ogni x, y con x y <δ.

62 4.1 Proprietà elementari delle funzioni hölderiane 55 Chiaramente se è di tipo α per qualche α allora è regolare. Inoltre si dimostra che se è lipschitziano allora è di tipo 1. L interesse verso questi aperti è giustificato dalla seguente proposizione che indebolisce l ipotesi di convessità della Proposizione Proposizione (a Se è di tipo α, con 0 <α 1, allora Cb 1 ( C 0,α ( e C k,α ( C k 1,α (, per ogni k N. (b Se è regolare allora Cb 1 ( BUC( C(, dove BUC( indica la classe delle funzioni limitate e uniformemente continue in. DIM. (a Siano u C 1 b ( e ε>0. Siano x, y e γ una curva C1 a tratti contenuta in tale che γ(0 = x, γ(1 = y e l(γ d (x, y ε. Posto v(t :=u(γ(t, risulta da cui u(y u(x =v(1 v(0 = 1 0 v (tdt = 1 0 u(γ(t γ(tdt, 1 u(y u(x u γ(t dt = u l(γ u (d (x, yε. 0 Mandando ε 0 e usando che è di tipo α otteniamo che u C 0,α (. Per la seconda parte di (a basta applicare quanto appena provato alle derivate di ordine k 1 di un arbitraria funzione di C k,α (. (b Si procede esattamente come in (a. Spesso è utile saper prolungare una funzione u C k,α ( ad una funzione ũ C k,α (R N al fine di trasferire a u delle proprietà valide in R N. Naturalmente quest estensione non si può costruire sempre, ma è possibile per aperti sufficientemente regolari. Ricordando la Definizione 1.0.1, un aperto è di classe C k,α se le trasformazioni H, J sono di classe C k,α nei rispettivi domini. Teorema Sia un aperto limitato con bordo di classe C k,α. Allora esiste E : C k,α ( C k,α (R N operatore lineare tale che per ogni u C k,α ( risulta (1 Eu = u in, (2 Eu C r,α (R N K u C r,α ( per ogni r k. Omettiamo la dimostrazione di questo risultato generale mentre sottoliniamo con il seguente corollario ciò che sarà utile per i nostri interessi.

63 56 Spazi di funzioni hölderiane Corollario Se è un aperto limitato con bordo di classe C k,α allora C k,α ( C k 1,α ( per ogni 0 <α 1. DIM. Se u C k,α ( allora Eu C k,α (R N. Siccome R N è convesso, per la Proposizione si ha Eu C k 1,α (R N. In particolare u = Eu C k 1,α (. Esercizio Provare che la funzione f(x = x α, con 0 <α 1, è α-hölderiana. Esercizio Siano un aperto connesso di R N e α > 1. Se u C 0,α (, allora u è costante (basta provare che esiste u e che u 0. Esercizio Provare che α = [ ] α è una norma in C 0,α ( e che lo spazio (C 0,α (, α è completo. Esercizio Provare che { Cb 1(RN C 0,α (R N = u C 0,α (R N : lim (Suggerimento: usare convoluzioni. sup δ 0 0< x y <δ } u(x u(y x y α =0 Esercizio Sia (u n C 0,α (, u n α C. Provare che esiste (u nk sottosuccessione di (u n convergente uniformemente sui compatti ad una funzione u C 0,α ( con u α C. 4.2 ALCUNE DISUGUAGLIANZE INTERPOLATIVE Definizione Siano X, Y e Z spazi di Banach tali che Z Y X. Scriveremo che Y J θ (X, Z, con 0 θ 1, se esiste una costante c>0 tale che z Y c z 1 θ X z θ Z z Z. (4.1 Osserviamo che la stima (4.1 implica per ogni η>0esiste c η > 0 tale che z Y η z Z c η z X. (4.2 Infatti, per la disuguaglianza di Young risulta per ogni ε>0 z Y c ( z 1 θ X ε 1 ( z θ Z ε c ( θ z Z ε 1 θ (1 θ z X ε 1 θ 1 che è la (4.2. Da notare che si può scegliere in modo arbitrario di rendere piccolo il contributo di z X odi z Z (dipende da ciò che si riesce a controllare meglio.,

64 4.2 Alcune disuguaglianze interpolative 57 Viceversa, a partire da (4.2 si può ottenere (4.1 conoscendo la dipendenza di c η da η. Basta infatti minimizzare rispetto a η la quantità a secondo membro di (4.2. In questo linguaggio la stima (a della Proposizione del primo capitolo dicono che H 1 (R N J 1 2 (L2 (R N,H 2 (R N. Esempio Sia un aperto di misura finita e siano r p q. Allora è noto che L q ( L p ( L r (. Sia ora θ [0, 1] tale che 1 p = 1 θ q θ r. Per la disuguaglianza di Hölder si ha che cioè L p ( J 1 θ (L r (,L q (. f p f 1 θ q f θ r f L q ( Se β R scriviamo β = k α, dove k =[β] N è la parte intera di β. Definiamo quindi C β ( := C k,α (, se α>0e C β ( = Cb k ( se α =0. Enunciamo a questo punto il teorema più importante di questa sezione. Teorema Siano α, β e γ numeri reali tali che 0 α β γ. Allora C β (R N ( J β α C α (R N,C γ (R N. (4.3 γ α DIM. Dimostriamo il teorema solo in alcuni casi particolari (che sono poi quelli che useremo più spesso. (a C 0,α (R N J α (C b (R N,Cb 1(RN, 0 <α<1. Occorre provare che u α c u 1 α 0 u α 1, per ogni u Cb 1(RN con u 1 = u u. Stimiamo separatamente u e [u] α. Siccome u u 1 segue subito che u u 1 α u α 1. Inoltre valgono u(x u(y x y α u x y 1 α, e u(x u(y x y α 2 u x y α. Usando entrambe queste disuguaglianze abbiamo u(x u(y x y α = [ ] α [ ] 1 α u(x u(y u(x u(y x y α x y α u α x y α(1 α (2 u 1 α x y α(1 α

65 58 Spazi di funzioni hölderiane da cui segue che [u] α 2 1 α u 1 α u α 2 1 α u 1 α u α 1. (b C 1,α (R N J α (Cb 1(RN,Cb 2(RN, 0 <α<1. Basta applicare (a alle derivate parziali prime. (c Cb 1(RN J 1 (C b(r N,C 2 2 b (RN, 0 <α<1. Sia u Cb 2(RN. Applicando la formula di Taylor, possiamo scrivere u(x th =u(x u(x th 1 2 t2 (D 2 u(ξh, h h 1, t [0, 1] da cui segue u(x th u(x u(x h = t t 2 (D2 u(ξh, h. Prendendo l estremo superiore su tutti i vettori h tali che h 1 si ha u 2 t u t 2 D2 u. La tesi segue ora minimizzando il secondo membro dell ultima disuguaglianza rispetto a t. (d C 1,α (R N J 1α (C b (R N,Cb 2(RN, 0 <α<1. 2 E sufficiente applicare i primi due casi dimostrati: u 1,α c u α 2 u 1 α 1 c 1 u α 2 u 1 α 2 u 1 α 2 2 = c 1 u 1α 2 2 u 1 α 2 (e C 0,α (R N J α 2 (C b(r N,C 2 b (RN, 0 <α<1. Applicando il primo caso e poi il terzo al termine u α 1 si ha u α c u 1 α u α 1 c 1 u 1 α u α 2 u α 2 2 = c 1 u 1 α 2 u α 2 2. (f C 2 b (RN J 1 1α (C1 b (RN,C 2,α (R N, 0 <α<1. Ricorriamo di nuovo allo sviluppo di Taylor e scriviamo. u(x th u(x = th u(x 1 2 t2 [(D 2 u(ξh, h(d 2 u(xh, h con h 1 e t [0, 1]. Quindi (D 2 u(xh, h] (D 2 u(x th u(x u(xh, h =2 t 2 2 t h u(x((d2 u(x D 2 u(ξh, h. Applicando il teorema di Lagrange si ha (D 2 u(xh, h =2 u(η h 2 t t h u(x(d2 u(x D 2 u(ξh, h,

66 4.2 Alcune disuguaglianze interpolative 59 per qualche η tra x e x th. Allora (D 2 u(xh, h 4 t u [D 2 u] α t α, avendo tenuto conto che x ξ <t. Prendendo l estremo superiore su tutti gli h con h 1 si ha in definitiva Minimizzando t si ottiene la tesi. D 2 u 4 t u [D 2 u] α t α. Corollario Sia aperto limitato di classe C γ. Allora C β ( J β α (C α (,C γ ( (4.4 γ α con 0 α β γ. DIM. Data la regolarità di esiste E operatore di estensione tale che Eu C r (R N K u C r ( per ogni r γ. Per ogni u C γ ( si ha dunque γ β β α u C β ( = Eu C β ( Eu C β (R N γ α c Eu C α (R N Eu γ α γ β β α γ α ck u C α ( u γ α C γ ( grazie al teorema precedente. C γ (R N Corollario Sia un aperto di classe C 2,α. Allora per ogni ε>0esiste c ε > 0 tale che u α, u 1,α, u 2 ε u 2,α c ε u u C 2,α ( (dove la dipendenza di c ε da ε cambia per le varie norme che compaiono nel primo membro della disuguaglianza precedente. In particolare se u C 2,α ( allora 2,α e [D 2 ] α sono norme equivalenti. DIM. Ricordiamo che per definizione u 2,α = u u D 2 u [D 2 u] α. Per il corollario precedente C β ( J β a (C a (,C γ (. Se γ a prendiamo γ = ( 2 α e a = 0 per ogni 0 β 2α otteniamo che C β ( J β Cb (,C 2α (. In particolare per β = α, β =1α, 2α β =2si ottiene la prima parte dell enunciato. Usando poi le stime corrispondenti ai casi β = 1, β = 2, possiamo scrivere per ogni ε>0 u 2,α = u u D 2 u [D 2 u] α u [D 2 u] α ε u 2,α c ε u. Scegliendo ε = 1 2 otteniamo u 2,α c ( u [D 2 u] α e questo conclude la dimostrazione.

67 60 Spazi di funzioni hölderiane Esercizio Provare che C 1 b (R N J 1 1α (C b(r N,C 1,α (R N. 4.3 CARATTERIZZAZIONE INTEGRALE DELLE FUNZIONI HÖLDERIANE. Siano aperto limitato di R N, x 0 e ϱ>0. Poniamo (x 0,ϱ= B ϱ (x 0.Seu C 0,α (, si vede facilmente che u(x u(x 0 2 dx ω N [u] 2 αϱ N2α, (4.5 (x 0,ϱ dove ω N è la misura di Lebesgue della palla unitaria di R N. La stima ottenuta è significativa per ϱ 0, poichè dà esplicitamente l andamento dell integrale a primo membro. Se indeboliamo le ipotesi su u e richiediamo soltanto che u sia limitata, allora l unica stima possibile è u(x u(x 0 2 dx 4 u 2 ω N ϱ N. (x 0,ϱ Assumendo u uniformemente continua invece u(x u(x 0 2 dx ω 2 (u, ϱω N ϱ N (x 0,ϱ dove ω(u, ϱ 0 se ϱ 0. E chiaro quindi che la convergenza a zero della quantità integrale considerata è tanto più veloce quanto più è regolare la funzione u. Se u L 1 loc (, evidentemente non ha senso fare valutazioni puntuali. In questo caso, sostituiamo u(x 0 con la media integrale di u su (x 0,ϱ. Definiamo 1 u x0,ϱ := u(ydy (4.6 (x 0,ϱ (x 0,ϱ dove (x 0,ϱ denota la misura di Lebesgue dell insieme (x 0,ϱ. Proviamo che se u C 0,α ( allora una stima come (4.5 continua a valere sostituendo u(x 0 con u x0,ϱ. Infatti 1 u(x 0 u x0,ϱ = (u(x 0 u(ydy (x 0,ϱ (x 0,ϱ da cui segue che u(x 0 u x0,ϱ 1 u(y u(x 0 dy [u] α ϱ α. (x 0,ϱ (x 0,ϱ

68 4.3 Caratterizzazione integrale delle funzioni hölderiane. 61 Applicando la disuguaglianza triangolare e la stima appena ricavata abbiamo u(x u x0,ϱ u(x u(x 0 u(x 0 u x0,ϱ 2[u] α ϱ α se x x 0 ϱ. Elevando al quadrato e integrando su (x 0,ϱ otteniamo infine u(x u x0,ϱ 2 dx 4[u] 2 αω N ϱ N2α, ϱ >0. (4.7 (x 0,ϱ E interessante far vedere che vale anche il viceversa, per cui (4.7 caratterizza completamente le funzioni hölderiane. Definizione Fissiamo λ>0. Seu L 2 loc (, definiamo la seminorma u 2 λ := sup x 0 ϱ>0 Chiamiamo spazi di Campanato gli spazi 1 ϱ λ u(x u x0,ϱ 2 dx. (4.8 (x 0,ϱ L 2,λ ( = {u L 2 ( : u λ < }. Ogni L 2,λ ( è uno spazio di Banach se munito della norma 2 λ = λ. Richiedendo che sup 1 x0,ϱ>0 ϱ (x λ 0,ϱ u(x 2 < si ottengono i cosiddetti spazi di Morrey. E utile per il seguito introdurre delle varianti della seminorma appena introdotta e di quella hölderiana. Precisamente, fissiamo R 0 > 0 e poniamo u 2 λ,r 0 := sup x 0 0<ϱ R 0 1 ϱ λ u(x u x0,ϱ 2 dx (4.9 (x 0,ϱ e [u] α,r0 := sup x,y 0< x y R 0 u(y u(x y x α. (4.10 Per avere la caratterizzazione integrale delle funzioni hölderiane richiediamo una proprietà di regolarità all aperto. Definizione Diciamo che è di tipo (A se esiste A>0 tale che per ogni x 0 e ϱ>0 risulta (x 0,ϱ Aϱ N.

69 62 Spazi di funzioni hölderiane Notiamo che tale proprietà è significativa quando x 0 è vicino a. Se è un bordo piatto allora (x 0,ϱ 1 2 B ϱ(x 0 = 1 2 ω N ϱ N.Sipuò provare che se è lipschitziano allora è di tipo (A. Se ϱ>0 e u L 1 loc (, poniamo 1 (V ϱ u(x := u(ydy (4.11 (x, ϱ (x,ϱ Proposizione Siano di tipo (A e supponiamo 1 p<. Valgono allora le seguenti affermazioni (1 V ϱ : L p ( L p (, V ϱ ( ω NA 1 p ; (2 lim ϱ 0 V ϱ u = u in L p (; (3 V ϱ u C(, per ogni u L p (. DIM. (1 Sia u L p (. Applicando la disuguaglianza di Hölder, otteniamo (V ϱ u(x p 1 u(y p dy. (x, ϱ (x,ϱ Integrando su e usando il Teorema di Fubini risulta (V ϱ u(x p 1 dx u(y p dy dx (x, ϱ (x,ϱ = u(y p 1 dx dy (y,ϱ (x, ϱ u(y p ω N ϱ N Aϱ N dy = ω N u(y p dy = ω N A A u p p. (2 Se u C0 ( allora V ϱ u converge a u per ϱ 0 in L p (. In generale se u L p (, basta argomentare per densità, notando che grazie a (1, la famiglia di operatori (V ϱ ϱ è equilimitata in norma. (3 Per provare che V ϱ u è una funzione continua in, basta provare che le funzioni f(x = (x, ϱ e g(x = u(ydy sono entrambe continue. (x,ϱ Infatti (x, ϱ (y, ϱ (x, ϱ (y, ϱ B ϱ (x B ϱ (y, da cui mandando y x si ha la continuità dif(x (per convergenza dominata.

70 4.3 Caratterizzazione integrale delle funzioni hölderiane. 63 Inoltre (x,ϱ u(zdz (y,ϱ u(zdz (x,ϱ (y,ϱ u(z dz. Siccome (x, ϱ (y, ϱ 0 per y x, per l assoluta continuità dell integrale di Lebesgue il secondo membro della disuguaglianza precedente tende a 0 per y x. Da qui la continuità della funzione g(x e quindi la tesi. Veniamo ora al teorema più importante di questa sezione. Teorema Siano un aperto di tipo (A e N<λ N 2. Allora esiste c = c(λ, A > 0 tale che per ogni u L 2,λ ( esiste v C( con v = u q.o. e [v] R α, 0 c(λ, A v λ,r0 R 0 > 0 ( dove α = λ N 2. Inoltre, se è limitato gli spazi L 2,λ ( e C 0,α ( sono isomorfi. DIM. Sia u L 2,λ ( e fissiamo r R R 0. Allora, se z, siha u x,r u x,r u x,r u(z u(z u x,r. Elevando al quadrato la disuguaglianza precedente e tenendo conto del fatto che (a b 2 2(a 2 b 2 segue che u x,r u x,r 2 2 u x,r u(z 2 2 u(z u x,r 2. Integrando in z (x, r otteniamo che ( (x, r u x,r u x,r 2 2 u x,r u(z 2 dz (x,r u(z u x,r 2 dz (x,r 2 ( u 2 λ,r 0 R λ u 2 λ,r 0 r λ 4R λ u 2 λ,r 0. Ora, poichè è per ipotesi di tipo (A possiamo stimare (x, r e avere u x,r u x,r 2 4Rλ u 2 λ,r 0 Ar N Posto R i = R2 i, da (4.13 discende che ( 4 R λ r N u 2 λ,r A 0. (4.13 u x,ri u x,ri1 2 4 A Rλ i R N i1 u 2 λ,r 0 =2 N 4 A Rλ N 2 i(λ N u 2 λ,r 0

71 64 Spazi di funzioni hölderiane da cui, ponendo c(a 2 =2 N 4/A u x,ri u x,ri1 c(a R λ N 2 2 i(λ N 2 u λ,r0. (4.14 A questo punto, osserviamo che grazie alla scelta di λ la serie è convergente. Pertanto la serie di funzioni (u x,ri u x,ri1 i=0 i=0 2 i(λ N 2 converge totalmente in e quindi anche uniformemente. Siccome si tratta di una serie telescopica, otteniamo che la successione (u x,ri i N converge uniformemente in per i ad una certa v R. Siccome u x,ri =(V Ri u(x è continua per il punto (3 della Proposizione 4.3.3, anche v R è continua. Inoltre per il punto (2 della stessa proposizione, u x,ri ha un estratta che converge q.o. a u. Per unicità del limite deve essere u = v R. Infine osserviamo che la funzione limite non dipende da R: ser 1 R 2 allora in ogni caso v R1 = u e v R2 = u q.o. Ma, essendo v Ri continue, necessariamente v R1 v R2. Poniamo allora v = v R. Sommando (4.14 segue che per ogni i, p N si ha u x,ri u x,rip c(a, λ R λ N 2 u λ,r0 dove c(a, λ contiene la somma della serie Prendendo i =0e mandando p otteniamo i=0 2 i(λ N 2. u x,r v(x C(A, λ R λ N 2 u λ,r0, (4.15 per ogni R R 0 e x. Adesso prendiamo x, y a distanza x y R0 2 Siccome per ogni z risulta e sia R = x y. u x,2r u y,2r 2 2 u x,2r u(z 2 2 u(z u y,2r 2 integrando su (x, 2R (y, 2R (x, R (y, R, otteniamo (x, 2R (y, 2R u x,2r u y,2r 2 2 u x,2r u(z 2 dz (x,2r 2 u(z u y,2r 2 Sfruttando l ipotesi che è di tipo (A segue che u x,2r u y,2r 2 42λ A (y,2r 4(2R λ u 2 λ,r 0. R λ R N u 2 λ,r 0 c 1 (λ, A u 2 λ,r 0 R λ N.

72 4.4 Richiami sugli spazi di Sobolev 65 Pertanto u x,2r u y,2r c 1 (λ, A u λ,r0 x y λ N 2, x y R 0 2. (4.16 Per concludere teniamo conto delle stime (4.15 e (4.16 per ottenere per x y R0 2 e con R = x y v(x v(y v(x u x,2r u x,2r u y,2r u y,2r v(y C(A, λ u λ,r0 ( x y λ N 2. (4.17 Abbiamo in definitiva provato che [v] α, R 0 2 C(λ, A u λ,r0 = C(λ, A v λ,r0 (4.18 con α = λ N 2. Per completare l isomorfismo degli spazi L 2,λ ( e C 0,α (, con λ = α 2N e limitato, osserviamo che u λ C(N[u] α (segue da (4.7 e u L 2 1/2 u per cui C 0,α ( L 2,λ (. Viceversa, se u L 2,λ ( e v è come nell enunciato, allora preso y tale che v(y =v con v media integrale di v in, applichiamo (4.17 e deduciamo che v(x v c(λ, A(diam α v λ 1/2 v L 2 c(λ, A(diam α v λ, che insieme a (4.18 dà l altra inclusione. 4.4 RICHIAMI SUGLI SPAZI DI SOBOLEV Sia aperto limitato di R N di classe C 1. E noto che p<n W 1,p ( L Np N p (, p = N W 1,p ( L q (, q<, p>n W 1,p ( C 0,1 N p ( L (. Poichè è limitato l immersione di W 1,p ( in L p ( è compatta per ogni 1 p.ciò consente di provare la seguente disuguaglianza di Poincarè. Proposizione Siano aperto limitato connesso di R N con bordo di classe C 1 e p [1, ]. Allora esiste una costante c = c(,n,p > 0 tale che ( 1 ( 1 u u p p c u p p, (4.19 per ogni u W 1,p ( con u = 1 u(xdx.

73 66 Spazi di funzioni hölderiane DIM. Per assurdo supponiamo che esista una successione (u n W 1,p ( con (u n =0(ciò è sempre possibile a meno di considerare v n = u n (u n tale che per ogni n u n p n u n p. Non è restrittivo assumere che u n p =1. Segue che u n p W 1,p ( = u n p u n p 1 1 n 2. Allora (u n è una successione limitata in W 1,p ( che è immerso con compattezza in L p (. Pertanto esiste una sottosuccessione (u nk (u n che converge a u in L p (, per qualche u L p (. Naturalmente u è ancora a si ha complessivamente che u nk u e u nk 0 in L p (. Segue che u W 1,p ( e u =0. Poichè è connesso questo implica che u è costante. Ma u ha media nulla, quindi u 0 in, mentre u p =1. media nulla e u p =1. Siccome u nk p p 1 n k La dipendenza della costante della stima (4.19 dall aperto non è esplicita. Se però è una palla allora è possibile stabilire come tale costante dipenda dal raggio. Proposizione Se c R è la costante in =B R della Proposizione allora c R = Rc 1. DIM. Seu H 1 (B R definiamo v(x =u(rx x < 1. Allora v H 1 (B 1. Osserviamo inoltre che u R = 1 u(xdx = 1 ( x v dx = 1 v(ydy = v 1. B R B R B R B R R B 1 B 1 Dalla Proposizione si ha v(x v 1 2 dx c 2 1 v(x 2 dx B 1 B 1 e quindi, poichè v(x =R u(rx e v 1 = u R u(rx u R 2 dx c 2 1 R 2 u(rx 2 dx. B 1 B 1 Cambiando nuovamente variabile troviamo pertanto u(y u R 2 dy c 2 1R 2 u(y 2 dy. B R B R

74 4.4 Richiami sugli spazi di Sobolev 67 Osservazione In analogia al caso p =2possiamo definire la seminorma u p λ,p := sup 1 ϱ λ u(x u x0,ϱ p dx 1 p<. (x 0,ϱ ϱ>0 x 0 Con la stessa tecnica si può provare che se N<λ N p e α = λ N p allora [ ] α e λ,p sono equivalenti. Tale generalizzazione è interessante perchè permette di dimostrare in modo semplice il seguente teorema. Teorema Se p>nallora con α =1 N p. W 1,p (R N C 0,α (R N DIM. Seu W 1,p (R N, applicando la disuguaglianza di Poincarè abbiamo che u(x u x0,ϱ p c p 1 ϱp u p c p 1 ϱp u p L p (R N. B(x 0,ϱ B ϱ(x 0 Pertanto 1 ϱ p u u x0,ϱ p c p 1 u p p. B ϱ(x 0 Prendendo l estremo superiore al variare di ϱ>0 e x 0 R N otteniamo u p,p c 1 u p <. Per l equivalenza di [ ] α e p,p con α = p N p segue che u C 0,α (R N. Esercizio Provare l Osservazione

75

76 CAPITOLO 5 STIME DI SCHAUDER PER IL PROBLEMA DI DIRICHLET 5.1 ORIENTAMENTO D ora in poi indicheremo con A l operatore differenziale del secondo ordine Au(x = a ij (xd ij u(x b i (xd i u(xc(xu(x, con aperto di R N, a ij,b i,c C 0,α ( per α (0, 1 e a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ 2, x, ξ R N x con ν 0 > 0. Indichiamo con k 0 = max i,j { a ij α, b i α, c α }. Il motivo per cui escludiamo il caso α = 1 si può spiegare intuitivamente se si tiene conto che la norma di C 1 ( è sostanzialmente la norma uniforme per le derivate prime. I punti cruciali nella risoluzione del problema di Dirichlet { Au = f in (5.1 u =0 su sono rappresentati dai seguenti teoremi. Teorema (Stime di Schauder Sia aperto limitato di classe C 2,α. Supponiamo c 0. Allora esiste una costante C = C(ν 0,k 0, > 0 tale che per ogni u C 2,α ( con u =0risulta u 2,α C Au α. (5.2

77 70 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Teorema (Problema di Dirichlet per il Δ Sia aperto limitato di classe C 2,α. Allora per ogni f C 0,α ( esiste (unica u C 2,α ( tale che { Δu = f in u =0 su Riguardo al Teorema 5.1.1, osserviamo che senza restrizioni sul segno di c si può provare una stima del tipo u 2,α C ( Au α u. Insieme questi risultati permettono di risolvere il problema di Dirichlet per un operatore qualunque. Ciò è possibile grazie al metodo di continuità provato di seguito. Teorema (Metodo di continuità Siano X, Y spazi di Banach, L 0 ed L 1 operatori lineari e continui da X in Y. Consideriamo gli operatori lineari L t =(1 tl 0 tl 1, t [0, 1], e supponiamo che esista una costante C>0 tale che L t x Y C x X, x X, t [0, 1]. (5.3 Se L 0 è suriettivo allora anche L 1 è suriettivo (e quindi bigettivo per la stima (5.3. DIM. Osserviamo che la stima (5.3 implica che ogni L t è iniettivo. Sia E = {t [0, 1] : L t è bigettivo}. Per ipotesi 0 E, per cui E. Se t 0 E allora L t0 è bigettivo, e per (5.3, L 1 t 0 ( 1 C. Inoltre L t = L t0 I (t t0 L 1 t 0 (L 1 L 0. Segue allora che L t è invertibile se e solo se I (t t 0 L 1 t 0 (L 1 L 0 è invertibile. Ciò è assicurato se (t t 0 L 1 C t 0 (L 1 L 0 < 1 e per questo è sufficiente che t t 0 < L. 1 L 0 C Posto δ = 2( L e preso t 1 L 0 0 =0 E, per quanto provato si ha che [0,δ] E. Ripartendo da δ e ripetendo lo stesso ragionamento si ottiene che [δ, 2δ] E, e così via. Dopo un numero finito di passi si avrà che [0, 1] E, quindi la tesi. Il teorema che segue sintetizza i risultati precedenti e risponde completamente al problema della risolubilità di (5.1. Teorema Sia limitato di classe C 2,α. Supponiamo c 0. Allora per ogni f C 0,α ( esiste un unica u C 2,α ( tale che { Au = f in u =0 su

78 5.2 Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 71 DIM. Consideriamo gli spazi di Banach X = {u C 2,α ( : u =0}, Y = C 0,α ( (X con la norma indotta da C 2,α ( e gli operatori L 0 =Δ:X Y L 1 = A : X Y L t =(1 tδ ta I Teoremi e implicano rispettivamente che L 0 è invertibile e che vale la stima u X C(ν t,k t, L t u Y. Siccome a t ij =(1 tδ ij ta ij, b t i = tb i e c t = tc, per ogni t [0, 1] risulta e a t ij α (1 ttk 0 max{1,k 0 } b t i α tk 0 k 0 c t i α tk 0 k 0 a t ij(xξ i ξ j (1 t ξ 2 ν 0 t ξ 2 min{1,ν 0 } ξ 2. Pertanto le costanti C(ν t,k t, della stima si possono prendere indipendenti da t. E lecito ora applicare il metodo di continuità per concludere la dimostrazione. Il nostro obiettivo è dunque dimostrare i Teoremi e Al fine di semplificare la notazione, se B R denota una palla di raggio R, scriveremo u R al posto di u x0,r, dove x 0 è il centro della palla, che risulta fissato, e u x0,r è definito in ( STIME DI SCHAUDER PER EQUAZIONI A COEFFICIENTI COSTANTI Consideriamo l operatore a coefficienti costanti A = R, a ij M 0 e ν 0 > 0 costante di ellitticità. a ij D ij con a ij Teorema (Disuguaglianza di Caccioppoli Sia B R una palla aperta di R N. Supponiamo che u H 1 (B R risolva l equazione a ij D ij u =0

79 72 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet in B R. Allora esiste una costante c = c(ν 0,M 0 > 0 tale che per ogni r<rsi ha u 2 c B r (R r 2 u 2 (5.4 B R DIM. Osserviamo innanzitutto che l esistenza di una soluzione H 1 (B R dell equazione considerata non è un ipotesi restrittiva poichè è garantita dal teorema di Lax-Milgram. Infatti, essendo i coefficienti costanti, l operatore può essere scritto in forma di divergenza. Inoltre il Corollario assicura che tale soluzione è C all interno di B R, per cui l equazione in particolare è soddisfatta puntualmente. Per ogni φ H0 1 (B R si ha che a ij D i ud j φ =0. (5.5 B R Fissato r<r, prendiamo η C0 (B R tale che 0 η 1, η 1 in B r e η L R r, per qualche L>0. Scegliendo φ = η2 u H0 1 (B R in (5.5 e tenendo conto dell ellitticità dell operatore, otteniamo 0 = B R 2 B R a ij D i ud j (η 2 u= a ij ηud i ud j η ν 0 η B 2 u 2 2 R Pertanto ν 0 η B 2 u 2 R 2 B R B R B R η 2 a ij D i ud j u a ij ηud i ud j η. a ij ηud i ud j η c(m 0 η u u η B R ( c(m 0 η 2 u 2 B R ( L c(m 0 η 2 u 2 R r B R 1 ( 1 2 u 2 η 2 2 BR 1 ( 1 2 u 2 2 BR e quindi ( 1 ( 1 ν 0 η 2 u 2 2 L c(m0 u 2 2. B R R r B R

80 5.2 Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 73 Siccome η 1 in B r si ha infine ( 1 ( 1 ( u 2 2 = η 2 u 2 2 B r B r c(m 0 ν 0 η 2 u 2 B R ( 1 L u 2 2. R r B R 1 2 Vediamo ora come è possibile iterare la disuguaglianza di Caccioppoli. Nelle ipotesi del teorema precedente siccome u è di classe C all interno di B R, l uguaglianza N a ijd ij u =0vale puntualmente in B R. Derivando l equazione otteniamo che a ij D ij (D k u=0 inb R per ogni k {1, 2,,N}. Applicando ora (5.4 prima a D k u e poi a u con una scelta opportuna dei raggi, abbiamo B r D k u 2 c ( R r 2 2 B rr 2 D k u 2 c 2 ( R r 2 4 B R u 2. Poichè la disuguaglianza precedente vale per ogni derivata parziale prima di u possiamo scrivere B r D 2 u 2 c 2 ( R r 2 4 B R u 2. Se deriviamo l equazione h volte e dividiamo l intervallo (r, R in h parti uguali di lunghezza R r h, applicando h volte la disuguaglianza di Caccioppoli otteniamo D h u 2 c h ( B R r 2h u r B 2. 2 R Quindi vale che u Hh (B r c(ν 0,M 0,r,R,h u L 2 (B R. Se h> N 2, per le immersioni di Sobolev risulta che Hk (B r L (B r, pertanto u L (B r = sup x B r u(x c(ν 0,M 0,r,R u L2 (B R. (5.6

81 74 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Osservazione Se < e u L 2 (, allora u λ 2 u u 2, λ R, (5.7 dove u è la media integrale di u in. In particolare per λ = 0 si ha u 2 u u 2. Infatti, basta scrivere u λ 2 = u 2 2λ u λ 2 = f(λ e notare che la funzione f ammette minimo in λ = u. L osservazione appena fatta e la disuguaglianza di Caccioppoli consentono di dimostrare il seguente lemma. Lemma Supponiamo che u H 1 (B R sia soluzione di N a ijd ij u =0in B R. Allora esistono costanti c 2 = c 2 (ν 0,M 0 > 0 e c 3 = c 3 (ν 0,M 0 > 0 tali che per ogni r<rsi ha ( r N (i u 2 c 2 u 2 ; B r R B R ( r N2 (ii u u r 2 c 3 u λ 2 per ogni λ R (in particolare B r R B R per λ = u r. DIM. (i Fissiamo dapprima R =1.Ser 1 2 risulta u 2 ω N r N sup u 2 c(ν 0,M 0 r N u 2, B r B 12 B 1 avendo usato la stima (5.6 con r = 1 2 ed R =1.Se1 >r 1 2 allora 1 2r e quindi risulta u 2 2 N r N u 2. B r B 1 Nel caso R =1basta allora prendere c 2 = max{c(ν 0,M 0, 2 N }. Passiamo ora al caso generale. A meno di traslazioni possiamo supporre che il centro della palla sia x 0 =0. Sia v(x =u(rx, per x < 1. Vale allora che a ij D ij v(x = a ij R 2 D ij u(rx =0, x < 1, cioè v soddisfa l equazione in B 1. Applicando il caso provato alla funzione v otteniamo ( r N v 2 c(ν 0,M 0 v 2. B r R B 1 R

82 5.2 Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 75 Ricambiando variabile otteniamo la disuguaglianza (i. (ii Dimostriamo dapprima il caso particolare λ =0. Sia r R 2. Allora applicando nell ordine la disuguaglianza di Poincarè, il punto (i a u con raggi r e R 2, e la disuguaglianza di Caccioppoli si ha ( r N u u r 2 cr 2 u 2 cr 2 c 2 2 N u 2 B r B r R B R2 = C(ν 0,M 0 rn2 R N u 2 B R2 C(ν 0,M 0 rn2 1 R N ( R R 2 u 2 B 2 R ( r N2 = c(ν 0,M 0 u 2. R B R Se r R 2, allora tenendo conto dell Osservazione risulta N2 N2 B r u u r 2 2 N2 ( r R B r u 2 2 N2 ( r R B R u 2. Così (ii vale quando λ =0con c 3 = max{c(ν 0,M 0, 2 N2 }. Per ottenere la tesi nel caso generale basta applicare quanto appena provato alla funzione u λ. Passiamo ora a provare stime interne nel caso non omogeneo Au = a ij D ij u = f in B R. Se f L 2 (B R allora il metodo variazionale assicura intanto di poter trovare un unica funzione w H0 1 (B R H 2 (B R tale che N a ijd ij w = f. Infatti, la forma quadratica associata a(u, v = B R a ij D i ud j v u,v H0 1 (B R è chiaramente continua. Inoltre è coerciva poichè per l ellitticità dell operatore e per la disuguaglianza di Poincarè risulta a(u, u = B R a ij D i ud j u ν 0 u B 2 ν 0 c R u H 1 (B R. R

83 76 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Pertanto, applicando il teorema di Lax Milgram possiamo affermare che esiste un unica funzione w H 1 0 (B R soluzione debole dell equazione a ij D ij w = f e che vale la stima w H1 (B R 1 ν 0 c R f L2 (B R. Il Teorema che w H 2 (B R e che w H 2 (B R c(ν 0,M 0,R ( f L2 (B R w H1 (B R c(ν 0,M 0,R f L2 (B R. In particolare, dalla definizione di H2 (B R, segue che D 2 w L 2 (B R c(ν 0,M 0,R f L 2 (B R (5.8 In realtà la costante c che compare nella disuguaglianza (5.8 non dipende da R. Infatti, posto v(x =u(rx per x < 1, si ha che v H 1 0 (B 1 H 2 (B 1 e soddisfa l equazione a ij D ij v(x = a ij R 2 D ij u(x =R 2 f(rx =:g(x. Usando la stima (5.8 otteniamo D 2 v 2 L 2 (B c(ν 1 0,M 0, 1 g 2 L 2 (B, ossia 1 R 4 D 2 u(rx 2 dx c(ν 0,M 0, 1 R 4 f 2 (Rxdx. B 1 B 1 Semplificando R 4 e facendo il cambio di variabile y = Rx giungiamo alla conclusione. Teorema Sia u H 2 (B R e f = N a ijd ij u = f. Allora esistono due costanti c 4 = c 4 (ν 0,M 0 > 0 e c 5 = c 5 (ν 0,M 0 > 0 tali che per ogni r<rrisulta ( ( r N (i D 2 u 2 c 4 D 2 u 2 f 2 ; B r R B R B R ( ( r N2 (ii D 2 u (D 2 u r 2 c 5 D 2 u (D 2 u R 2 B r R B R f f R 2. B R

84 5.2 Stime di Schauder per equazioni a coefficienti costanti 77 DIM. Proviamo (ii. La dimostrazione di (i è simile. Introduciamo la funzione z(x =u(x 1 N 2 x ix j (D ij u R. Allora D ij z = D ij u (D ij u R, e quindi a ij D ij z = a ij D ij u a ij (D ij u R = f f R. Sia w H 1 0 (B R H 2 (B R la soluzione variazionale di N a ijd ij w = f f R. Per (5.8 sappiamo che D 2 w L 2 (B R c(ν 0,M 0 f f R L 2 (B R. (5.9 Allora v := z w H 2 (B R e N a ijd ij v =0, cioè v soddisfa l equazione omogenea. Derivando quest ultima abbiamo N a ijd ij (D 2 v=0, essendo D 2 v una qualunque derivata seconda di v. Possiamo così applicare a D 2 v la stima (ii del Lemma e ottenere ( r N2 D 2 v (D 2 v r 2 c(ν 0,M 0 D 2 v (D 2 v R 2. (5.10 B r R B R Poichè D 2 z (D 2 z r = D 2 u (D 2 u r possiamo scrivere D 2 u (D 2 u r 2 = D 2 z (D 2 z r 2 (5.11 B r B r 2 D 2 v (D 2 v r 2 2 D 2 w (D 2 w r 2 B r B r avendo anche tenuto conto che z = v w e che vale la disuguaglianza (a b 2 2a 2 2b 2. Applicando poi le stime (5.10 e (5.9 e l Osservazione abbiamo ( ( r N2 D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,M 0 D 2 v (D 2 v R 2 B r R B R D 2 w 2 B r ( ( r N2 c(ν 0,M 0 2 D 2 z (D 2 z R 2 R B R ( r N2 2 D 2 w (D 2 w R 2 R B R f f R 2 B R ( ( r N2 c(ν 0,M 0 D 2 u (D 2 u R 2 R B R f f R 2. B R

85 78 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet 5.3 STIME PER OPERATORI A COEFFICIENTI VARIABILI Prima di provare le stime di Schauder in R N vediamo come le stime del Teorema si generalizzano al caso di coefficienti variabili. Sia data l equazione Au = a ij D ij u = f dove f L 2 ( e i coefficienti a ij sono funzioni uniformemente continue in. Denotiamo con M 0 := max i,j { a ij } ω(δ := max i,j {ω(a ij,δ}, δ > 0 essendo ω(a ij,δ il modulo di continuità dia ij. Data la regolarità dei coefficienti, l operatore non può essere scritto in forma di divergenza e pertanto la nozione di soluzione debole usata finora non èpiù applicabile. Considereremo perciò soluzioni in senso più forte e precisamente funzioni u Hloc 2 ( per le quali l equazione N a ijd ij u = f è soddisfatta q.o. Fissiamo B R (x 0 e consideriamo A 0 = N a ij(x 0 D ij. Allora A 0 u = a ij (xd ij u = f (a ij (x 0 a ij (xd ij u (a ij (x 0 a ij (xd ij u =: F. Applicando la stima (ii del Teorema all operatore A 0 si ha D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,M 0 B r(x 0 ( ( r N2 D 2 u (D 2 u R 2 R B R(x 0 F F R 2. B R(x 0 Tenendo conto dell Osservazione e di come è definita F abbiamo poi F F R 2 F f R 2 2 f f R 2 B R (x 0 B R (x 0 2ω 2 (R B R(x 0 D 2 u 2. B R (x 0

86 5.4 Stime di Schauder in R N. Risolubilità 79 Risulta così provato che D 2 u (D 2 u r 2 (5.12 B r(x 0 ( ( r N2 c(ν 0,M 0 R ω 2 (R D 2 u 2 B R(x 0 B R(x 0 D 2 u (D 2 u R 2 f f R 2 B R(x STIME DI SCHAUDER IN R N.RISOLUBILITÀ Sia A l operatore differenziale del secondo ordine Au(x = a ij (xd ij u(x b i (xd i u(xc(xu(x, x R N con a ij,b i,c C 0,α (R N, per α (0, 1 e a ij (xξ i ξ j ν 0 ξ 2, x, ξ R N dove ν 0 > 0. Indichiamo con k 0 = max i,j { a ij α, b i α, c α }. Teorema (Stime di Schauder in R N Esiste c = c(ν 0,k 0,α > 0 tale che per ogni u C 2,α (R N risulta u 2,α c(ν 0,k 0,α([Au] α u. (5.13 DIM. Supponiamo dapprima b i c 0. Posto Au = f, applichiamo la stima (5.12 ad una palla arbitraria B R (x 0 tenendo conto che ω(r [a ij ] α R α per qualche i, j, e otteniamo così B r(x 0 D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,k 0 B R (x 0 c(ν 0,k 0 ( ( r N2 D 2 u (D 2 u R 2 R B R(x 0 f f R 2 R 2α D 2 u 2 B R (x 0 ( r N2 [D 2 u] 2 R αr 2αN [f] 2 αr 2αN D 2 u R 2αN, r<r. (5.14

87 80 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Dalla disuguaglianza precedente con R = pr, p > 1 si ottiene D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,k 0 r N2α( p 2α 2 [D 2 u] 2 α p N2α [f] 2 α B r(x 0 e quindi 1 r N2α B r(x 0 D 2 u 2 p N2α D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,k 0 ( p 2α 2 [D 2 u] 2 α p N2α [f] 2 α D 2 u 2 p N2α. Prendendo ora l estremo superiore su tutti gli r>0 e x 0 R N e usando il Teorema otteniamo [D 2 u] 2 α c(ν 0,k 0,α ( p 2α 2 [D 2 u] 2 α p N2α [f] 2 α D 2 u 2 p N2α. Scegliendo p grande abbastanza affinchè c(ν 0,k 0,αp 2α 2 = 1 2 abbiamo infine [D 2 u] 2 α c(ν 0,k 0,α ( [f] 2 α D 2 u 2. Veniamo al caso generale in cui b i, c i non sono necessariamente nulli. Applicando l ultima stima ottenuta all operatore A 0 u = N a ijd ij u si ha [D 2 u] α c(ν 0,k 0,α ( [A 0 u] α D 2 u ( = c(ν 0,k 0,α [Au b i D i u cu] α D 2 u c(ν 0,k 0,α ( [Au] α u 1,α D 2 u. Ricordando la stima interpolativa 2 ε 2,α c ε (vedi Corollario 4.2.5, otteniamo u 2,α = u u D 2 u [D 2 u] α c(ν 0,k 0,α([Au] α u 2,0 c(ν 0,k 0,α([Au] α ε u 2,α c ε u. Per avere la tesi, basta ora scegliere ε>0 tale che c(ν 0,k 0,αε = 1 2, così che risulta u 2,α c(ν 0,k 0,α([Au] α u. Al fine di applicare il metodo di continuità, come anticipato, è necessario eliminare il termine u dalla stima (5.13. Ciò è possibile a patto di richiedere una restrizione sul segno del coefficiente di ordine zero. In tal caso, infatti, vale il principio del massimo

88 5.4 Stime di Schauder in R N. Risolubilità 81 Corollario Siano c 0 e λ>0. Allora esiste c = c(ν 0,k 0,α,λ > 0 tale che per ogni u C 2,α (R N si ha u 2,α c(ν 0,k 0,α,λ (λ Au α. (5.15 DIM. Applicando la stima (5.13 e le stime interpolative del Corollario risulta u 2,α c(ν 0,k 0,α( Au α u c(ν 0,k 0,α( (λ Au α λ u α u c(ν 0,k 0,α( (λ Au α λε u 2,α λc ε u u per ogni u C 2,α (R N e ε>0. Scegliamo ε tale che λεc(ν 0,k 0,α= 1 2, raccogliamo a primo membro e per la Proposizione otteniamo u 2,α c(ν 0,k 0,λ,α( (λ Au α u ( c(ν 0,k 0,λ,α (λ Au α 1 λ (λ Au c(ν 0,k 0,λ,α (λ Au α. Per applicare il metodo di continuità occorre ora provare la suriettività di un operatore modello. Nel teorema seguente si vede che tale operatore è dato da λ Δ. Osserviamo che la scelta di Δ non è utile poichè l equazione Δu = f con f C b (R N non ammette soluzioni limitate in R N. Basti pensare per esempio al caso unidimensionale u =1. Teorema Per ogni f C 0,α (R N esiste un unica u C 2,α (R N tale che (λ Δu = f, λ>0. DIM. L unicità segue dal Corollario Proviamo l esistenza. Supponiamo dapprima f C 0 (R N. Applicando la trasformata di Fourier all equazione otteniamo λû(ξ ξ 2 û = ˆf S(R N dove S(R N ˆf è la classe di Schwartz. Ne segue che û = λ ξ S(R N. 2 Quindi esiste u =(û S(R N tale che (λ Δu = f. Sia ora f C 0,α (R N con suppf B R (0. Fissiamo φ C0 (R N tale che φ 0, φ = 1, supp φ B R N 1 (0. Posto f ε = φ ε f, risulta che f ε C0 (R N e f ε f uniformemente in R N. Inoltre è facile verificare che [f ε ] α [f] α, f ε f. Per ogni ε sia u ε S(R N soluzione di (λ Δu ε = f ε. Applicando il Corollario vale u ε 2,α c(α, λ f ε α c(α, λ f α.

89 82 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Prendendo ε = 1 n,siha u n 2,α c(α, λ f α. (5.16 Applicando il Teorema di Ascoli-Arzelà (vedi Esercizio si trovano una sottosuccessione (u nk (u n ed una funzione u C 2 (R N tali che u nk converge a u uniformemente sui compatti fino alle derivate seconde. Passando al limite per k nella stima (5.16 si vede che u 2,α c(α, λ f α per cui di fatto u C 2,α (R N. A questo punto, passando puntualmente al limite per k nell equazione (λ Δu nk (x =f nk (x otteniamo che (λ Δu(x =f(x per ogni x R N, cioè u è soluzione. Sia f C 0,α (R N. Fissiamo φ C 0 (R N tale che 0 φ 1, φ 1 in B 1 (0 e suppφ B 2 (0. Poniamo f n (x =f(xφ ( x n = f(xφn (x. Allora f n (x f(x, suppf n B 2n (0 f n f x R N [f n ] α f [φ n ] α [f] α φ n C f α poichè [φ n ] α n α [φ] α [φ] α. Per ogni n, sia u n C 2,α (R N tale che (λ Δu n = f n. Per le stime di Schauder risulta u n 2,α c(α, λ f n α c(α, λ f α. A questo punto, la conclusione segue applicando lo stesso argomento di compattezza di prima. Arriviamo finalmente al teorema di esistenza per un operatore arbitrario. Teorema (Esistenza Supponiamo c 0, λ>0. Allora per ogni f C 0,α (R N esiste un unica u C 2,α (R N tale che λu Au = f. DIM. Con la notazione del Teorema 5.1.3, poniamo L 0 = λ Δ, L 1 = λ A L t =(1 t(λ Δ t(λ A =λ [(1 tδ ta]. Applicando il Corollario per l operatore A t =(1 tδ ta si ha u 2,α c L t u α, u C 2,α (R N con c indipendente da t (cf Teorema I Teoremi e implicano la tesi.

90 5.4 Stime di Schauder in R N. Risolubilità 83 Definiamo u =(λ A 1 f = R(λ, Af per λ>0 e f C 0,α (R N. Allora (λ A 1 : C 0,α (R N C 2,α (R N C 0,α (R N. La stima del Corollario implica che (λ A 1 f 2,α c(ν 0,k 0,α,λ f α da cui segue (λ A 1 C 0,α C 2,α c(ν 0,k 0,α,λ. Nella proposizione che segue rendiamo esplicita la dipendenza da λ. Proposizione Supponiamo che c 0 e λ > 0. Allora per ogni f C 0,α (R N risulta (i (λ A 1 f f λ ; (ii (λ A 1 f 2,α c(ν 0,k 0,αλ α 2 f α (λ 1. DIM. (i è stato già provato nella Proposizione Per provare (ii, usiamo le stime di Schauder del Corollario con λ =1e otteniamo u 2,α c(ν 0,k 0,α u Au α c(ν 0,k 0,α( λ 0 u Au α λ 0 u α con λ 1. Siccome u α c(α u α 2α 2,α u 2 2α ( u 2,α c(ν 0,k 0,α λu Au α λ u α 2α 2,α ε u 2 c(ν 0,k 0,α (Teorema risulta 2α 1 ε ( λu Au α λ u 2,α ε 2α α λ u ε 2α 2 (5.17. Scegliendo ε = η α α2 λ α α2, l ultimo membro della disuguaglianza precedente diventa c(ν 0,k 0,α ( λu Au α η u 2,α u c(ηλ 1 α 2. Prendiamo η in modo che ηc(ν 0,k 0,α= 1 2 e raccogliendo tutto a primo membro otteniamo u 2,α c(ν 0,k 0,α ( λu Au α λ 2α 2 u c(ν 0,k 0,α ( λu Au α λ α 2 λu Au c(ν 0,k 0,αλ α 2 λu Au α, avendo applicato anche la Proposizione

91 84 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Corollario Sia r 2α. Allora per ogni f C 0,α (R N risulta (λ A 1 f r c(ν 0,k 0,αλ r 2 1 f α, λ 1. In particolare (λ A 1 f α c(ν 0,k 0,αλ α 2 1 f α (r = α (λ A 1 f 1α c(ν 0,k 0,αλ α 1 2 f α (r =1α DIM. Poichè C r (R N J r (C 2α b(r N,C 2,α (R N dal Teorema 4.2.3, si ha che (λ A 1 f r c ( (λ A 1 f r 2α 2α (λ A 1 f 1 r 2α e applicando la proposizione precedente possiamo ancora maggiorare con ( c f α λ α r 2 2α λ 2α r 2α = c f α λ r STIME DI SCHAUDER IN R N Stabiliamo la notazione che useremo nel corso di tutta questa sezione. R N = {x =(x,x N R N 1 R = R N : x N > 0} T = {x R N : x N =0} = R N R N 1 C 0,α 0 (R N ={u C 0,α (R N :u(x, 0 = 0,x R N 1 } C 2,α 0 (R N ={u C 2,α (R N :u C 0,α 0 (R N } B R (x 0={x B R (x 0 :x N > 0} x 0 R N 1,R>0. Infine, ricordiamo che avevamo indicato con HT 1 (B R la chiusura nella norma H 1 delle funzioni u C (B R nulle in in intorno di T B R (cioè nulle solo vicino al bordo piatto di B R (Definizione Anche nel caso del semispazio, seguiremo il seguente programma: - provare stime di Schauder in C 2,α 0 (R N (prescrivendo quindi dei valori al bordo; - provare l esistenza della soluzione del problema di Dirichlet per l operatore λ Δ; - dedurre mediante il metodo di continuità l esistenza della soluzione del problema di Dirichlet per un operatore qualunque.

92 5.5 Stime di Schauder in R N 85 Come al solito, l operatore che prendiamo in considerazione è il seguente Au = a ij D ij u b i D i u cu con a ij,b i,c C 0,α (R N, ν 0 > 0 costante di ellitticità. Supponiamo che tutti i coefficienti abbiano norma limitata da una certa costante k 0 > 0. Il nostro obiettivo è il seguente teorema. Teorema (Stime di Schauder in R N Esiste una costante C>0 che dipende da ν 0 e k 0 tale che per ogni u C 2,α 0 (R N risulta u 2,α C ([Au] α u. (5.18 Prima di dimostrare il teorema appena enunciato, vediamo quando nella stima (5.18 si può eliminare il termine u per avere le stime che servono per far funzionare il metodo di continuità. Anche in questo caso occorre un principio del massimo. Corollario Se c 0 e λ>0 allora esiste una costante C = C(ν 0,k 0,λ > 0 tale che per ogni u C 2,α 0 (R N vale u 2,α C (λ Au α. DIM. Per il Teorema 5.5.1, se u C 2,α 0 (R N, siha u 2,α c(ν 0,k 0 ([Au] α u c(ν 0,k 0 ( λu Au α λ u α u. Usiamo ora la stima interpolativa λ u α ε u 2,α c ε u con ε tale che εc(ν 0,k 0 = 1 2, e otteniamo u 2,α c(ν 0,k 0,λ( λu Au α u. Da qui concludiamo grazie al Teorema Affrontiamo il secondo punto del nostro programma. Teorema Sia λ > 0. Per ogni f C 0,α (R N esiste un unica u C 2,α 0 (R N tale che λu Δu = f. DIM. L unicità discende come sempre dal principio del massimo Supponiamo f C0 (R N. Siccome in particolare f L 2 (R N possiamo ricondurci alla teoria L 2 del secondo capitolo. La forma quadratica associata all operatore λ Δ è a(u, v =λ uv u v. R N R N

93 86 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Risulta a(u, u =λ u 2 u 2, R N R N sicchè a è coerciva su H0 1 (R N. Per il Teorema di Lax-Milgram esiste un unica u H0 1 (R N tale che λu Δu = f. Data la regolarità dif, u Cb (RN (vedi Corollario , e quindi in particolare u C 2,α 0 (R N. Prendiamo ora f C 0,α (R N con suppf B R. Estendiamo f ad una funzione pari in R N, definendo f(x,x N ={ f(x,x N se x N 0 f(x, x N se x N < 0 Si verifica facilmente che f C 0,α (R N 2 f C 0,α (R N. Regolarizziamo f, prendendo come funzioni approssimanti f ε = f φ ε, dove (φ ε è una successione di mollificatori. Allora f ε f uniformemente in R N e f ε C 0,α (R N f C 0,α (R N 2 f C 0,α (R N. Per ogni ε>0, sia u ε C 2,α 0 (R N la soluzione del problema { λuε Δu ε = f ε in R N u ε =0 sur N 1 (5.19 costruita al passo precedente. Il Corollario implica u ε 2,α c(λ f ε α c(λ f α. (5.20 Discretizzando ε e usando il Teorema di Ascoli-Arzelà si trovano una successione (u n ed una funzione u tale che u n u uniformemente sui compatti di R N insieme alle derivate prime e seconde. Passando al limite prima nella disuguaglianza (5.20 e poi nel problema (5.19 si ha rispettivamente che u 2,α c(λ f α, per cui u C 2,α (R N, e { λu Δu = f in R N u =0 sur N 1 Infine, se f C 0,α (R N, consideriamo la successione f n (x =f(xφ ( x n, dove φ C 0 (R N, suppφ B 2 (0, φ 1 su B 1 (0, 0 φ 1. Osservando che f n α c f α, c indipendente da n, risolviamo il problema di Dirichlet relativo ad ogni f n. Dalla successione delle soluzioni, con lo stesso argomento di compattezza visto prima, estraiamo una sottosuccessione che converge alla soluzione del problema relativo a f in R N. Parallelamente al caso di R N deduciamo a questo punto la risolubilità del problema di Dirichlet per un operatore qualunque e le stime sul risolvente. Le dimostrazioni sono le stesse.

94 5.5 Stime di Schauder in R N 87 Teorema Supponiamo c 0 e λ>0. Allora per ogni f C 0,α (R N esiste un unica u C 2,α 0 (R N tale che λu Au = f. Proposizione Nelle stesse ipotesi del teorema precedente valgono le seguenti stime (i (λ A 1 f 1 λ f 1 λ f α (ii (λ A 1 f 2,α c(ν 0,k 0 λ α 2 f α, λ 1 (iii (λ A 1 f r c(ν 0,k 0 λ r 2 1 f α λ 1, 0 r 2α, per ogni f C 0,α (R N. Rimangono da provare le stime di Schauder. Per questo, ripercorriamo con le dovute modifiche le tappe del caso R N andando a considerare dapprima un operatore puro del secondo ordine a coefficienti costanti, poi variabili fino a prendere un operatore completo. Osservazione Se è un aperto di classe C 1 e u W 1,p ( C(, 1 p<, sono equivalenti (i u =0su ; (ii u W 1,p 0 (. (cioè per funzioni continue l appartenenza a W 1,p 0 ( si traduce nell annullamento in senso classico su. Consideriamo l operatore con le ipotesi Au = a ij D ij u a ij R, a ij M 0,ν 0 > 0. Supponiamo che u HT 1 (B R sia soluzione debole dell equazione Au =0, cioè a ij D i ud j φ =0, φ H0 1 (B R. B R Allora per il Corollario u C (B r per ogni r < R, e quindi, per l Osservazione 5.5.6, u(x, 0 = 0. Anche per le derivate tangenziali (i =1,...N 1 risulta D i u(x, 0 = 0, x R N 1.

95 88 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Inoltre, per ogni multiindice α vale a ij D ij (D α u=0. Rispetto al caso R N in R N abbiamo una complicazione poichè, derivando, l equazione continua ad essere soddisfatta mentre la condizione al bordo viene preservata solo dalle derivate tangenziali. Per superare questa difficoltà, come già visto per la regolarità L 2, otterremo per le derivate tangenziali le stime necessarie e per quella normale useremo l equazione. Teorema (Disuguaglianza di Caccioppoli Sia u HT 1 (B R soluzione debole dell equazione N a ijd ij u =0. Allora esiste una costante c = c(ν 0,M 0 tale che per ogni r<r u 2 c B r (R r 2 u 2. (5.21 B R DIM. Sia η C0 (B R tale che 0 η 1, η 1 su B r e η R r. Per ipotesi N B i,j a ijd i ud j φ = 0 per ogni φ H0 1 (B R. Scegliendo R φ = η 2 u H0 1 (B R (perchè u H1 T (B R, otteniamo 0= B R a ij D i u(η 2 D j u 2ηuD j η L da cui N η 2 B R a ij D i ud j u = 2 B R (a ij ηd i u(d j ηu. Per l uniforme ellitticità dell operatore e per la disuguaglianza di Cauchy- Schwartz risulta poi e quindi ν 0 B R ( η 2 u 2 c(m 0 B R u 2 η ( B R ( 1 ( 2 1 ν 0 η 2 u 2 c(m 2 0L u 2 B R r R B R da cui segue la tesi ricordando che η 1 su B r. η 2 u 2 1 2

96 5.5 Stime di Schauder in R N 89 Nel caso di R N per iterare la disuguaglianza di Caccioppoli bastava applicare l analoga di (5.21 alle derivate superiori di u. Qui, come già detto, le derivate superiori in generale soddisfano la stessa equazione soddisfatta da u ma non la condizione al bordo. Lemma Sia u HT 1 (B R soluzione di Au = 0. Allora esiste una costante c = c(ν 0,M 0,k tale che per ogni r<r D k u 2 c (R r 2k u 2. (5.22 B r DIM. Procediamo per induzione su k. Il caso k =1è la disuguaglianza di Caccioppoli provata nel teorema precedente. Supponiamo la tesi vera per k e proviamo che vale per k 1. Fissiamo i {1, 2,, N 1} e consideriamo la derivata tangenziale D i u. Allora B R A(D i u=0 e D i u H 1 T (B R R <R. Applichiamo l ipotesi induttiva a D i u e la disuguaglianza di Caccioppoli a u e otteniamo D k D i u 2 c(ν 0,M 0,k B r (R r 2k D i u 2 c(ν 0,M 0,k u 2 (R r 2(k1 B R B Rr 2 con 1 k N,1 i N 1. L unica derivata che rimane da stimare è D k1 N (derivata di ordine k 1unicamente rispetto all ultima variabile. Deriviamo k 1 volte rispetto x N l equazione Au =0e abbiamo D k1 N u = 1 a NN (i,j (N,N a ij D ij (D k 1 N u, da cui concludiamo, dato che tutte le derivate che compaiono a secondo membro sono state già stimate. Osservazione Nella notazione del Lemma 5.5.8, se k > N 2, grazie alle immersioni di Sobolev si ha D 2 u L (B r c(r D2 u Hk (B r C(ν 0,M 0,k,r,R u L2 (B R (5.23 per ogni r<r. Il seguente lemma è simile alla disuguaglianza di Poincarè. Lemma Sia u HT 1 (B R. Allora u 2 R 2 B R B R D N u 2.

97 90 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet DIM. Per densità, basta dimostrare la tesi per u C 1 (B R tale che u(x, 0 = 0. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scrivere u(x,x N u(x, 0 = xn e per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz u(x,x N 2 x N xn 0 0 D N u(x,sds, R 2 x 2 D N u(x,s 2 ds R D N u(x,s 2 ds. 0 Integrando tra 0 e R 2 x 2 rispetto a x N si ha R 2 x 2 R 2 x 2 u(x,x N 2 dx N R 2 D N u(x,s 2 ds. 0 Integrando quindi su x R otteniamo x R R 2 x 2 dx u(x,x N 2 dx N 0 R 2 x R cioè, per il Teorema di Fubini u 2 R 2 che è proprio la tesi. B R 0 R 2 x 2 dx D N u(x,s 2 ds 0 B R D N u 2 L importanza dei teoremi che stiamo provando non riguarda la regolarità delle soluzioni, perchè per equazioni a coefficienti costanti abbiamo a disposizione la teoria variazionale, che risponde completamente al problema. Ci occorrono invece stime esplicite che estenderemo poi alle equazioni a coefficienti non costanti, per le quali l approccio variazionale non è possibile sotto le ipotesi assunte. Teorema Sia u H 2 (B R H1 T (B R soluzione di N a ijd ij u = 0. Allora esiste una costante c = c(ν 0,M 0 > 0 tale che per ogni r<r ( r N2 D 2 u (D 2 u r 2 c D 2 u λ 2 (5.24 R B r per ogni matrice λ =(λ ij, dove (D 2 u indica la matrice Hessiana di u. B R

98 5.5 Stime di Schauder in R N 91 DIM. Prendiamo R =1, r 1 2. Consideriamo dapprima derivate tangenziali, quindi sia j {1, 2,,N 1}. Definiamo v = D j u x N λ jn H 1 T (B R. Vale che D i v = D ij u se i<n Pertanto Av =0e inoltre D N v = D jn u λ jn D hi v = D hi (D j u. D i v (D i v r = D ij u (D ij u r. Applicando a v nell ordine la disuguaglianza di Poincarè, la stima (5.23 e il Lemma otteniamo v ( v r 2 cr 2 D 2 v 2 cr 2N sup D 2 v 2 B r B r B r c(ν 0,M 0 r 2N v 2 B 1 2 c(ν 0,M 0 r N2 B 1 D N v 2. Riscrivendo tale disuguaglianza in termini di u abbiamo D ij u (D ij u r 2 c(ν 0,M 0 r N2 D jn u λ jn 2 B r c(ν 0,M 0 r N2 B 1 B 1 D 2 u λ 2 (5.25 per j < N, 1 i N. Rimane ancora una volta da stimare D NN u. Dall equazione N a ijd ij u =0ricaviamo e quindi D NN u = 1 a NN (D NN u r = 1 a NN D NN u (D NN u r = 1 a NN (i,j (N,N (i,j (N,N (i,j (N,N a ij D ij u, a ij (D ij u r a ij (D ij u (D ij u r.

99 92 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Usando (5.25, otteniamo D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,M 0 r N2 B r B 1 D 2 u λ 2 così la tesi è completamente provata se r 1 2 e R =1. Se r 1 2 ed R =1risulta D 2 u (D 2 u r 2 D 2 u λ 2 2 N2 r N2 B r B r B R D 2 u λ 2. Per avere la tesi nel caso generale ricorriamo come sempre a un cambiamento di variabili: poniamo v(x = u(rx per x 1, applichiamo la disuguaglianza appena dimostrata alla funzione v con r = r R e infine cambiamo di nuovo variabile. Osservazione Consideriamo il problema a ij D ij u = f in B R u =0 su B R con f L 2 (B R. Sappiamo che il metodo variazionale fornisce un unica soluzione u H 2 (B R H1 0 (B R per la quale vale la stima u H 2 (B R c(ν 0,M 0,R ( f L 2(B R u H 1(B R c(ν 0,M 0,R f L 2 (B. R In particolare D 2 u L2 (B R c(ν 0,M 0,R f L2 (B R. (5.26 Con la stessa dimostrazione del caso dell intera palla (vedi (5.8, si prova che nella (5.26 la costante c non dipende da R. Passiamo a considerare il problema non omogeneo. Teorema Sia u H 2 (B R H1 T (B R soluzione dell equazione a ij D ij u = f, con f L 2 (B R. Allora esiste una costante c = c(ν 0,M 0 > 0 tale che per ogni r<r ( ( r N2 D 2 u (D 2 u r 2 c D 2 u (D 2 u R 2 f f R. 2 B r R B R B R (5.27

100 5.5 Stime di Schauder in R N 93 DIM. Introduciamo la funzione ausiliaria z(x =u(x x2 N 2a NN f R H 2 (B R HT 1 (B R. Risulta D ij z = D ij u (i, j (N,N, D NN z = D NN u fr a NN e quindi D ij z (D ij z r = D ij u (D ij u r e a ij D ij z = = (i,j (N,N a ij D ij u a NN D NN u a NN a ij D ij u f R = f f R. f R a NN Scriviamo z = vw dove w H 2 (B R H1 0 (B R è la soluzione variazionale dell equazione N a ijd ij w = f f R e v = z w H 2 (B R H1 T (B R per differenza risolve l equazione omogenea. Sappiamo, per l Osservazione , che D 2 w L 2 (B R c(ν 0,M 0 f f R L 2 (B R e per il Teorema che B r ( r N2 D 2 v (D 2 v r 2 c(ν 0,M 0 D 2 v (D 2 v R 2. R B R Inoltre e B r D 2 w (D 2 w r 2 D 2 w 2 D 2 w 2 B r c(ν 0,M 0 B R B R f f R 2 D 2 v (D 2 v R 2 2 D 2 z (D 2 z R 2 2 D 2 w (D 2 w R 2 = 2 D 2 u (D 2 u R 2 2 D 2 w (D 2 w R 2.

101 94 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet In conclusione D 2 u (D 2 u r 2 = B r = 2 B r B r B r D 2 z (D 2 z r 2 D 2 v (D 2 v r D 2 w (D 2 w r 2 D 2 v (D 2 v r 2 2 D 2 w (D 2 w r 2 ( ( r N2 c(ν 0,M 0 D 2 u (D 2 u R 2 R B R f f R 2. B R B r Passiamo a considerare adesso il caso dei coefficienti variabili. Supponiamo che i coefficienti a ij del nostro operatore siano funzioni uniformemente continue e poniamo ω(δ = max i,j ω(a ij,δ, M 0 = max i,j a ij. Sia u H 2 (B R H1 T (B R tale che Au = a ij D ij u = f. Consideriamo la semipalla B R centrata nel punto x 0 R N 1. Possiamo allora scrivere a ij (x 0 D ij u = f (a ij (x 0 a ij (x D ij u := F e applicando la disuguaglianza (5.27 otteniamo ( ( r N2 D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,M 0 D 2 u (D 2 u R 2 B r R B R F F R 2. Siccome F F R 2 B R B R 2 2 B R B R F f R 2 B R 2 f f R 2 2 (a ij (x 0 a ij (x D ij u B R f f R 2 2ω 2 (R D 2 u 2 B R

102 5.5 Stime di Schauder in R N 95 otteniamo in definitiva D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,M 0 B r ( ( r N2 D 2 u (D 2 u R 2 R B R D 2 u 2 f f R 2 ω 2 (R B R B R.(5.28 Abbiamo a questo punto tutti gli strumenti per dimostrare il Teorema Prendiamo dunque un operatore completo A = a ij D ij b i D i c con coefficienti α-hölderiani in R N (0 <α<1. Siano ν 0 la costante di ellitticità ek 0 tale che a ij α, b i α, c α k 0. DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA Supponiamo dapprima b i c 0. Sia u C 2,α 0 (R N. Il nostro obiettivo è provare una stima del tipo D 2 u (D 2 u r 2 cr N2α ([Au] α u (x 0,r (usando la caratterizzazione integrale delle funzioni hölderiane dove (x 0,r=B r (x 0 R N. Sia r<r, sicchè (x 0,r (x 0,R. Esaminiamo separatamente vari casi. Primo caso: x 0 R N 1. In queste ipotesi (x 0,r=B r (x 0 e possiamo applicare la stima (5.28. Allora ( ( r N2 D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,k 0 [D 2 u] 2 R αr N2α [f] 2 αr N2α B r D 2 u 2 R N2α, dove f = a ij D ij u. Secondo caso: B R (x 0 R N.

103 96 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Questa volta (x 0,r=B r e per la stima (5.12 risulta ( ( r N2 D 2 u (D 2 u r 2 c(ν 0,k 0 D 2 u (D 2 u R 2 B r R B R f f R 2 ω 2 (R D 2 u 2 B R B ( R ( r N2 c(ν 0,k 0 [D 2 u] 2 R αr N2α [f] 2 αr N2α D 2 u 2 R N2α. (5.29 Terzo caso: B R (x 0 R N e x N 0 <r(x 0 =(x 0,x N 0. Consideriamo B 2r (x 0, la semipalla di raggio 2r centrata in (x 0, 0. Siccome questa contiene (x 0,r risulta D 2 u (D 2 u (x0,r 2 D 2 u (D 2 u B (x 0,2r 2 (x 0,r (x 0,r B (x 0,2r D 2 u (D 2 u B (x 0,2r 2 e a questo punto siamo nella stessa situazione del primo caso: possiamo riscrivere la stessa stima con 2R al posto di R e 2r al posto di r. Quarto caso: B R (x 0 R N e r<x N 0 <R. Consideriamo la palla B = B R (x 0 centrata nel punto x 0 e di raggio R = x N 0. Utilizzando i casi già discussi, usiamo la stima (5.12 tra B r (x 0 e B, quindi la stima del passo 3 tra B e B 2R (x 0, infine la stima (5.28 tra B 2R (x 0 e B 2R (x 0 per ottenere In definitiva, abbiamo provato che per ogni r<r ( ( r N2 D 2 u (D 2 u (x0,r 2 c(ν 0,k 0 [D 2 u] 2 (x 0,r R αr N2α [f] 2 αr N2α D 2 u 2 R N2α Ponendo R = pr con p>1, otteniamo 1 r N2α D 2 u (D 2 u (x0,r 2 c(ν 0,k 0 ( p 2α 2 [D 2 u] 2 α (x 0,r Prendendo il sup su r>0 e x 0 R N otteniamo [f] 2 αp N2α D 2 u 2 p N2α [D 2 u] 2 α c(ν 0,k 0,α ( p 2α 2 [D 2 u] 2 α [f] 2 αp N2α D 2 u 2 p N2α per ogni p>1. Scegliamo ora p sufficientemente grande affinchè c(ν 0,k 0,α p 2α 2 = 1 2.Ciòimplica che [D 2 u] 2 α c(ν 0,k 0,α ( [f] 2 α D 2 u 2.

104 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 97 Passiamo ora al caso generale in cui sono presenti i coefficienti b i e c. Ponendo A 0 u = N a ijd ij u e tenendo conto della prima parte risulta [D 2 u] α c(ν 0,k 0,α ( [A 0 u] α D 2 u c(ν 0,k 0,α ( [Au] α u 1,α D 2 u da cui u 2,α c(ν 0,k 0,α([Au] α u 2. Usiamo la stima interpolativa u 2 ε u 2,α c ε u (Teorema 4.2.3, scegliamo ε tale che εc(ν 0,k 0,α= 1 2 e raccogliamo infine tutto a primo membro per avere la stima dell enunciato. 5.6 STIME DI SCHAUDER IN UN APERTO LIMITATO REGOLARE Consideriamo un aperto limitato con bordo C 2,α (0 <α<1 e come sempre l operatore uniformemente ellittico A = a ij D ij b i D i c (5.30 avente i coefficienti α-hölderiani in. Supponiamo a ij α, b i α, c α k 0, ν 0 > 0. Definiamo C 2,α 0 ( = { u C 2,α ( u =0su }. Vogliamo estendere i coefficienti dell operatore A in tutto R N in modo che le estensioni risultino di classe C 0,α (R N e il nuovo operatore sia ancora uniformemente ellittico. Se =B R, allora possiamo definire estensioni radiali ponendo { aij (x ( se x R ã ij (x = x a ij x R se x >R. Analogamente per b i e c. Si verifica facilmente che le norme hölderiane al più raddoppiano e che la costante di ellitticità ν 0 rimane invariata. Se =B R, mediante una riflessione possiamo ricondurci in B R eda qui di nuovo con un estensione radiale costruiamo dei coefficienti definiti in tutto R N. Anche in tal caso è facile verificare che le norme hölderiane e la costante ν 0 si modificano al più per fattori moltiplicativi.

105 98 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Pertanto se u C 2,α (B R e suppu B r con r < R, allora di fatto u C 2,α (R N e applicando le stime di Schauder in tutto R N possiamo scrivere u 2,α,BR = u 2,α,R N ( Ãu c(ν 0,k 0,α α,r N u,r N (5.31 = c(ν 0,k 0,α( Au α,br u,br dove à è l operatore avente per coefficienti ã ij, b i, c. E facile così dedurre stime di Schauder in una palla a partire da quelle in R N, ma per una classe di funzioni molto più piccola di C 2,α 0 (B R, dato che le funzioni considerate si annullano al bordo insieme alle derivate prime e seconde, proprietà questa che in generale non è verificata da una qualunque funzione di C 2,α 0 (B R. Analogamente se u C 2,α (B R è tale che u = 0 su B R RN 1 e suppu B r con r<rallora u C 2,α 0 (R N e possiamo usare le stime di Schauder nel semispazio con l operatore à per avere ( u 2,α,B c(ν 0,k 0,α Au R α,b R u,b R. (5.32 Queste stime, che non sono ancora sufficienti per i nostri scopi, ci permetteranno di far funzionare il metodo delle carte locali. Consideriamo e Λ aperti limitati di R N. Sia H : Λ una trasformazione bigettiva di classe C 2,α con inversa J : Λ di classe C 2,α tale che H( Λ =. Data u C 2,α ( definiamo v(y =u(h(y, y Λ. Allora v C 2,α (Λ eseu si annulla su v si annulla su Λ. Dunque è ben definita la seguente applicazione M : C 2,α 0 ( C 2,α 0 (Λ, u Mu = v (5.33 con (Mu(y = u(h(y. Sipuò facilmente verificare che M è lineare, limitata e invertibile con inversa data da Consideriamo l operatore Au(x = M 1 : C 2,α 0 (Λ C 2,α 0 ( (M 1 v(x =v(jx a ij (xd ij u(x b i (xd i u(xc(xu(x

106 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 99 definito in. Se u(x =v(jx, si ottiene facendo un calcolo esplicito e ponendo y = Jx dove Au(x =Ãv(y = N h,k=1 α hk (yd yh y k v(y β k D yk v(yγ(yv(y k=1 (5.34 α hk (y = N a ij(h(yd xj J h (H(yD xi J k (H(y, β k (y = N a ij(h(yd xix j J k (H(y N b i(h(yj k (H(y, γ(y =c(h(y. Le ipotesi relative al cambio di variabile assicurano che α hk,β k,γ C 0,α (Γ. Inoltre k 0 c 1 (J k 0 ν 0 c 2 (J ν 0 dove c 1 (J e c 2 (J dipendono solo dal cambio di variabile fissato (e quindi dall aperto e non dall operatore A. Osserviamo infine che nella notazione introdotta si ha Au(x =Ãv(Jx cioè Au = M 1 ÃMu. Teorema (Stime di Schauder in Sia un aperto limitato di classe C 2,α. Allora esiste una costante c = c(ν 0,k 0, > 0 tale che per ogni u C 2,α 0 ( si ha u 2,α c(ν 0,k 0, ( Au α u. (5.35 DIM. Per ogni x esiste una carta locale (U x,h x con H x : B 1 U x di classe C 2,α, H 1 x = J x : U x B 1 di classe C 2,α, H x (B 1 =U x. Poniamo V x = H x (B 1. Per ogni x esiste B 2R 2 x (x. Per compattezza si ha n 1 B Ri (x i n 2 j=1 V xj. Posto n = n 1 n 2, prendiamo (η i,2,,n partizione dell unità relativa al ricoprimento ottenuto. Allora u = n η i u e quindi u 2,α n η i u 2,α.

107 100 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Se i n 1 allora η i u C 2,α (B 2Rxi (x i e supp(η i u B Rxi (x i. Applicando (5.31 otteniamo η i u 2,α, = η i u 2,α,B2Rxi (x i ( c(ν 0,k 0,α A(η i u α,b2r x (x i i η i u,b2r x (x i i c(ν 0,k 0,α( A(η i u α, u, c(ν 0,k 0,α, ( Au α u 2. (5.36 Sia adesso n 1 1 i n. Operiamo il seguente cambio di variabile v i (y :=(η i u(h i (y = M i (η i u(y e osserviamo che v i C 2,α T (B 1 e supp(η iu V i = H i (B 1. Pertanto 2 possiamo applicare (5.32 a v i e avere ( v i 2,α,B c(ν 0,k 0,H i Ãv i 1 α,b v i 1 c(ν 0,k 0,H i ( A(η i u α,uxi η i u c(ν 0,k 0,H i ( A(η i u α, u da cui segue Sommando su i =1,,n η i u 2,α, c(ν 0,k 0, ( Au α u 2. u 2,α, c(ν 0,k 0, ( Au α u 2. Concludiamo la dimostrazione applicando la disuguaglianza interpolativa u 2 ε u 2,α c ε u e scegliendo ε tale che εc(ν 0,k 0, = 1 2. Osservazione Ricordiamo che il nostro obiettivo è risolvere il problema { Au = f in u =0 su Se c 0, allora il principio del massimo in un aperto limitato assicura l unicità della soluzione nella classe C 2 ( C(. Come sempre, la parte più laboriosa è quella relativa all esistenza. Corollario Nelle ipotesi del Teorema e se c 0 risulta per ogni u C 2,α 0 (. u 2,α c(ν 0,k 0, Au α, DIM. Basta usare il Teorema e la Proposizione

108 5.6 Stime di Schauder in un aperto limitato regolare 101 Possiamo ora dimostrare il teorema di esistenza per la soluzione del problema di Dirichlet per un operatore generale in un aperto limitato regolare. Teorema (Esistenza Sia un aperto limitato con bordo di classe C 2,α. Allora per ogni f C 0,α ( esiste un unica u C 2,α 0 ( tale che Au = f. DIM. Per ogni x esiste una carta locale (U x,h x con H x : B 1 U x di classe C 2,α, Hx 1 = J x : U x B 1 di classe C 2,α, H x (B 1 =U x. Poniamo V x = H x (B 1. 2 Per ogni x sia B 2Rx (x. Per compattezza possiamo estrarre un sottoricoprimento finito per n 1 B Ri (x i n 2 j=1 V xj. (5.37 Poniamo n = n 1 n 2 e prendiamo (ηi 2,2,,n partizione dell unità relativa a tale ricoprimento. n Sia f C 0,α (. Allora possiamo scrivere f = ηi 2 f. Fissiamo λ>0. Se i N 1 allora η i f C 0,α (R N, supp(η i f B Rxi (x i. Estendiamo radialmente l operatore A dalla palla B Rxi (x i a tutto R N e indichiamo con R(λ il risolvente dell operatore così ottenuto. Osserviamo che R(λ : C 0,α (R N C 2,α (R N. Poniamo e notiamo che Inoltre R i (λf := η i R(λ(η i f R i (λ :C 0,α ( C 2,α ( e supp R i (λf B Ri (x i. (λ AR i (λf = (λ Aη i R(λ(η i f = η i (λ AR(λ(η i f[λ A, η i I]R(λ(η i f = ηi 2 f S i (λf dove [, ] indica il commutatore e per definizione S i (λf =[λ A, η i I]R(λ(η i f. Cerchiamo di stimare quest ultimo operatore. E immediato verificare che [λ A, η i I]= [A, η i I]. Inoltre [A, η i I]g = A(η i g η i (Ag =B i g

109 102 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet dove B i è un operatore differenziale al più del primo ordine i cui coefficienti dipendono da quelli di A e dalla funzione η i. Ne segue che [A, η i I]g α c(k 0,η i g 1,α e quindi, prendendo g = R(λ(η i f e applicando il Corollario otteniamo S i (λf α c(k 0,η i R(λ(η i f 1,α se λ 1. Sia ora n 1 1 i n. Poniamo c(k 0,η i λ α 1 2 ηi f α (5.38 c(k 0,η i λ α 1 2 f α v(y =(η i f(h i (y = M i (η i f(y dove M i è definito in (5.33. Allora v C 0,α (B 1 e suppv B 1. Indichiamo 2 con à l operatore ottenuto effettuando il cambiamento di variabili dato da M i, cioè à = M iam 1 i. Risulta ( R i (λf := M 1 i M i (η i (λ à 1 M i (η i f C 2,α 0 (R N supp R i (λf V xi. Inoltre (λ AR i (λf = M 1 i = M 1 i M 1 i (λ ÃM im 1 i M i (η i (λ à 1 (M i (η i f (M i (η i M i (η i f ( [λ Ã, M i(η i ](λ à 1 (M i (η i f = ηi 2 f S i (λf (5.39 ( dove ora S i (λ =M 1 i [λ Ã, M i(η i ](λ à 1 (M i (η i f. Come prima, se λ 1 applicando la Proposizione risulta A questo punto poniamo Osserviamo che S i (λf α c(ν 0,k 0,H i λ α 1 2 f α. (5.40 V (λ = (λ AV (λf = n R i (λ :C 0,α ( C 2,α 0 (. n ηi 2 f n S i (λf = f n S i (λf

110 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo 103 e quindi (λ AV (λ :C 0,α ( C 0,α ( e (λ AV (λ =I Ora, grazie a (5.38 e a (5.40 possiamo scegliere λ 0 tale che n S i (λ. n S i (λ 0 α 1 n 2. Ciò assicura che l operatore I S i (λ 0 è invertibile in C 0,α (R N con inverso W (λ 0 tale che W (λ 0 2. Inoltre siccome (λ 0 AV (λ 0 W (λ 0 =I su C 0,α ( e λ 0 A è iniettivo, risulta (λ 0 A 1 = V (λ 0 W (λ 0. Se 0 λ λ 0, le stime di Schauder per l operatore A λ forniscono una costante c = c(ν 0,k 0,λ 0, > 0 tale che per ogni u C 2,α 0 ( si ha u 2,α c(ν 0,k 0,λ 0, (λ Au α. (5.41 La stima (5.41 permette di applicare il metodo di continuità agli operatori L 0 = λ 0 A, L 1 = A e questo conclude la dimostrazione. Osservazione In R N einr N abbiamo dimostrato per il risolvente di A la seguente stima (λ A 1 f r c(ν 0,k 0 λ r 2 1 f α, con λ 1 e 0 r α 2. La stessa continua a valere in un aperto regolare. Infatti, nella notazione del teorema precedente, risulta (λ A 1 = R(λ, A =V (λw (λ, con V (λ = n R i(λ, dove R i (λ è sostanzialmente il risolvente nello spazio o nel semispazio per il quale sappiamo che vale R i (λg r c(ν 0,k 0, λ r 2 1 g α e W (λ 2. Pertanto se f C 0,α (, siha (λ A 1 f r = V (λw (λf r c(ν 0,k 0, λ r 2 1 W (λf r 2c(ν 0,k 0, λ r 2 1 f α. 5.7 PROBLEMA DI DIRICHLET NON OMOGENEO In questa sezione supponiamo che c 0 e consideriamo il problema { Au = f in (5.42 u = g su

111 104 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Se g C 2,α (, ponendo v = u g si vede che { Av = Au Ag = f Ag in v =0 su per cui risolvendo questo problema (e lo sappiamo fare si trova la soluzione di (5.42 semplicemente prendendo u = v g. Inoltre, abbiamo la stima v 2,α c f Ag α c ( f α Ag α c ( f α g 2,α. Tuttavia l ipotesi g C 2,α ( è abbastanza innaturale, nel senso che la regolarità richiesta è eccessiva. Per esempio nel caso particolare del Laplaciano { Δu = 0 in u = g su è sufficiente che g C(. Vediamo allora come procedere nel caso generale. Per risolvere il problema (5.42 cerchiamo la soluzione nella forma u = v w, dove v e w devono soddisfare rispettivamente { Av = f in v =0 su e { Aw = 0 in w = g su Il primo dei due problemi è quello che sappiamo già risolvere. Ci concentriamo dunque sul secondo. Richiamiamo per questo il Lemma Lemma Se u C 2 ( C( soddisfa Au 0 in e u 0 su, allora u 0 in. Introduciamo l operatore di Green G : C 2,α ( C( g G(g dove u = G(g è l unica soluzione classica del problema { Au = 0 in u = g su (5.43 G è ben posto per quanto osservato prima ed è lineare per l unicità della soluzione del problema (5.43. La seguente proposizione elenca altre proprietà di G. Proposizione Siano g, g 1 e g 2 C 2,α (. Allora risulta (1 g 0 G(g 0;

112 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo 105 (2 g 1 g 2 G(g 1 G(g 2 ; (3 G(g g k, dove k = G(1. DIM. La dimostrazione del punto (1 segue dal lemma richiamato poco sopra osservando che, posto u = G(g, risulta Au =0e u = g 0 al bordo. (2 segue dalla linearità dig e da (1. Per (3 si ha infine g 1 g(x g 1 g G(1 G(g g G(1 G(g g k Per il nostro obiettivo è utile il seguente teorema, che dimostreremo in seguito. Teorema (Stime di Schauder interne Sia 0 <α<1. Consideriamo l operatore A = a ij D ij b i D i c definito in aperto qualunque di R N e tale che a ij α, b i α, c α k 0, ν 0 > 0 (non facciamo restrizioni sul segno di c. Allora per ogni 0 esiste una costante c = c(ν 0,k 0,α,dist( 0, > 0 tale che per ogni u C 2,α ( risulta u 2,α,0 c(ν 0,k 0,α, 0, ( Au α, u,. (5.44 Proposizione Sia di classe C 2,α e supponiamo c 0. Allora per ogni g C( esiste un unica u C 2,α loc ( C( tale che { Au = 0 in u = g su DIM. L unicità della soluzione segue dal principio del massimo Dimostriamo l esistenza. Siano g C( e g C( estensione di g. Consideriamo una successione (g n C 2,α ( tale che g n g uniformemente in. Per ogni n, u n = G(g n C 2,α ( risolve { Aun = 0 in u n = g n su esiha u n u m, = G(g n G(g m, k g n g m,.

113 106 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Ne segue che u n converge a una funzione u C( uniformemente in e siccome u n = g n risulta u = g. Fissiamo 0. Dal Teorema sappiamo che u n u m 2,α,0 c(ν 0,k 0,α, 0, ( Au n Au m α, u n u m, = c(ν 0,k 0,α, 0, u n u m,. Pertanto (u n è di Cauchy in C 2,α ( 0.Daciòsegue che u n u in C 2,α ( 0 e quindi u C 2,α ( 0. Data l arbitrarietà di 0 risulta dunque u C 2,α loc (. Infine passando al limite nell equazione Au n =0si ha che Au =0. Passiamo ora a formulare un risultato di risolubilità per il problema (5.42. Teorema Sia di classe C 2,α e supponiamo c 0. Per ogni g C( e per ogni f C 0,α ( esiste un unica u C 2,α loc ( C( tale che { Au = f in u = g su Le tecniche già impiegate permettono di provare alcuni risultati di regolarità locale. Corollario (i Se è di classe C 2,α e u C 2 ( C 0 ( è tale che Au C 0,α ( allora u C 2,α (. (ii Sia aperto qualsiasi: se u C 2 ( e Au C 0,α loc ( allora u C 2,α loc (. DIM. (i Poniamo f = Au C 0,α (. Consideriamo il problema { Av = f in v =0 su Sia v C 2,α 0 ( l unica soluzione. Per differenza u v C 2 ( C 0 ( e A(u v =0. Per unicità quindi u = v. (ii Consideriamo B R ed f = Au C 0,α (B R. Il problema { Av = f in BR v = u su B R ammette un unica soluzione v C 2,α loc (B R C(B R, per il Teorema Pertanto la differenza u v appartiene a C 2,α (B R C(B R e risolve { A(u v =0 inbr (u v =0 su B R. Ne segue che u = v in B R e quindi u C 2,α loc (B R.

114 5.7 Problema di Dirichlet non omogeneo 107 Riprendiamo il Teorema di regolarità interna e diamo adesso la dimostrazione. Il passo fondamentale è nel seguente lemma. Lemma Sia 0 <α<1. Consideriamo l operatore definito in B 2R e tale che A = a ij D ij b i D i c a ij α, b i α, c α k 0, ν 0 > 0. Allora esiste una costante positiva C = C(ν 0,k 0,α,R tale che per ogni u C 2,α (B 2R risulta u C 2,α (B R := u 2,α,R C(ν 0,k 0,α,R( Au α,2r u,2r. (5.45 DIM. Sia u C 2,α (B 2R. Definiamo la successione R n = R n j=0 2 j. Allora R 0 = R, R =2R e R n1 R n = R 2 (n1. Sia η n C 0 (R N tale che 0 η n 1, η n 1 su B n := B Rn, suppη n B n1 e D k η n L R k 2k(n1, per k =1, 2, 3 e L>0 indipendente da n. Applicando le stime di Schauder in R N alla funzione η n u otteniamo η n u 2,α,R N C(ν 0,k 0,α ( [A(η n u] α,r N η n u,r N. (5.46 Il commutatore [A, η n I]u = A(η n u η n Au è un operatore differenziale del primo ordine i cui coefficienti dipendono da quelli di A, dalla funzione η n e dalle sue derivate fino al secondo ordine. Risulta pertanto [A, η n I]u α,n1 C(k 0 u 1,α,n1 η n 2,α. Applicando il teorema di Lagrange si ha poi η n 2,α η n 3 8R 3 8 n. Allora [A, η n I]u α,n1 C(k 0,R8 n u 1,α,n1. Analogamente [η n Au] α,n1 η n,n1 [Au] α,n1 [η n ] α,n1 Au,n1 [Au] α,n1 2 n C(k 0,R u 2,n1. Quindi da (5.46 otteniamo η n u 2,α,R N C(ν 0,k 0,α,R([Au] α,n1 8 n u 2,n1. (5.47

115 108 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Siccome C 2 (R N J 2 2α (C2,α (R N,C b (R N, siha u 2,n1 η n1 u 2,R N C(N η n1 u 2 2α η 2,α,R N n1 u α 2α. Posto ϑ = 2 2α, si ha allora per ogni ε>0 ( η n1 u 2,R N C(N ε 1 ϑ ηn1 u 2,α,R N ε 1 1 ϑ ηn1 u. La stima (5.47 allora fornisce ( η n u 2,α,R N C(ν 0,k 0,α,R Au α,2r 8 n ε 1 ϑ ηn1 u 2,α,R N 8 n ε 1 1 ϑ u,2r. Scegliamo ε = ε(n > 0 t.c. C8 n ε 1 ϑ questa scelta C8 n ε 1 1 ϑ = C1 8 n 1 ϑ ξ ϑ ϑ 1 = ξ con ξ>0indipendente da n. Con e quindi η n u 2,α,R N C Au α,2r ξ η n1 u 2,α,R N C 1 8 n 1 ϑ ξ ϑ ϑ 1 u,2r. Prendendo ξ<1 in modo tale che ϑ ξ<1, moltiplicando l ultima stima per ξ n e sommando su n si vede che tutte le serie convergono e che ξ n η n u 2,α,R N n=0 con C 2 = C 1 ξ ϑ ϑ 1. Pertanto C 1 ξ Au α,2r C 2 1 ξ ϑ ξ n η n u 2,α,R N n=1 u,2r u 2,α,R η 0 u 2,α,R N C 1 ξ Au C 2 α,2r u 1 ξ 8 1,2R. 1 ϑ DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA Siano u C 2,α ( e 0. Poniamo d = dist( 0, e sia R< d 2. Con questa scelta, se x 0 0 allora B 2R (x 0 e applicando il lemma precedente abbiamo u 2,α,BR (x 0 C(ν 0,k 0,α,R( Au α,b2r (x 0 u,b2r (x 0 C(ν 0,k 0,α,R( Au α, u,. Facendo variare x 0 0 con un numero finito di palle si ottiene la tesi.

116 5.8 Stime di Schauder di ordine superiore STIME DI SCHAUDER DI ORDINE SUPERIORE Nelle sezioni precedenti abbiamo assunto che i coefficienti dell operatore A e il dato f fossero di classe C 0,α e abbiamo provato esistenza e unicità della soluzione dell equazione λu Au = f con condizioni di Dirichlet nella classe C 2,α. In questa sezione studiamo regolarità superiore della soluzione in presenza di maggiore regolarità dei coefficienti di A edif. Come al solito A = a ij D ij b i D i c e sia ν 0 > 0 la costante di ellitticità uniforme. Il punto cruciale è costituito dalla seguente stima interna. Teorema Siano k N 0 e R>0eassumiamo che a ij,b i,c C k,α (B 2R con a ij k,α;b2r, b i k,α;b2r, c k,α;b2r k 0. Sia u C 2,α (B 2R tale che Au = f C k,α (B 2R. Allora u C k2,α (B R ed esiste C = C(ν 0,k 0,k,α,R > 0 tale che u k2,α;br C ( Au k,α;b2r u ;B2R. DIM. Perk =0il risultato segue dal Teorema Proviamolo per k =1. Se r {1,..., N} e 0 <h<r/4, introduciamo il quoziente differenziale di u nella direzione di e r definito da Siccome δ h,r u(x = u(x he r u(x. h a δ h,r (φu(x =φ(x he r δ h,r u(xδ h,r φ(xu(x, b δ h,r Du = Dδ h,r u, con Du generica derivata di u, se Au = f si verifica facilmente che v = δ h,r u soddisfa l equazione Av(x = δ h,r f(x (δ h,r a ij (xd ij u(x he r (δ h,r b i (xd i u(x he r (δ h,r c(xu(x he r = g(x. Siccome per ipotesi D r f C 0,α (B 2R, dalla rappresentazione (δ h,r f(x = 1 h 1 0 d ds f(x hse rds = 1 0 (D r f(x hse r ds

117 110 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet e dal fatto che 0 <h<r/4si vede che δ h,r f C 0,α (B 3R con δ h,r f α;b 3R2 2 D r f α;b2r. Analogamente δ h,r a ij,δ h,r b i,δ h,r c C 0,α (B 3R/2 e δ h,r a ij α;b3r/2, δ h,r b i α;b3r/2, δ h,r c α;b3r/2 k 0. Applicando le stime interne (5.44 alla funzione v con =B 3R/2 e 0 = B R otteniamo v 2,α;BR C(ν 0,k 0,R,α( g α;b3r/2 v ;B3R/2, ossia (δ h,r u è equilimitata rispetto ad h in C 2,α (B R. Per il Teorema di Ascoli-Arzelà, esiste un estratta che, per h 0, converge uniformemente con derivate prime e seconde a D r u, che è il limite puntuale di δ h,r u. Ne segue che D r u C 2,α (B R, pertanto è lecito derivare l equazione Au = f rispetto a x r ottenendo A(D r u=d r f D r a ij D ij u D r b i D i u D r cu. (5.48 Applicando due volte (5.44 risulta D r u 2,α;BR C(ν 0,k 0,R,α( D r f α;b 3R2 u 2,α;B 3R2 D r u ;B 3R2 C(ν 0,k 0,R,α( D r f α;b3r/2 f α;b2r u ;B2R C(ν 0,k 0,R,α( f 1,α;B2R u ;B2R. Risulta così provato il teorema per k =1. Notiamo che in realtà gli stessi argomenti provano che D r u C 2,α loc (B 2R, per ogni r e l equazione (5.48 è soddisfatta puntualmente in B 2R. Sia k 1, supponiamo l asserto vero per k e proviamolo per k 1. Assumiamo pertanto che a ij,b i,c C k1,α (B 2R, f C k1,α (B 2R. L ipotesi induttiva già assicura che u C k2,α loc (B 2R. Inoltre, se r {1,..., N}, allora D r u verifica l equazione (5.48 in B 2R. Per l ipotesi del passo k 1, il secondo membro appartiene a C k,α loc (B 2R. Applicando l ipotesi induttiva otteniamo quindi che D r u C k2,α loc (B 2R e D r u k2,α;br C(ν 0,k 0,k,α( D r f k,α;b3r/2 u k2,α;b3r/2 C(ν 0,k 0,k,α( f k1,α;b2r u ;B2R. Dall arbitrarietà di r segue la tesi. Ora ci proponiamo di applicare le stime interne dimostrate per regolarizzare la soluzione C 2,α ottenuta nelle sezioni precedenti nel caso in cui i dati del problema siano più regolari. Esaminiamo in ordine i casi dell intero spazio, del semispazio e di un aperto limitato regolare.

118 5.8 Stime di Schauder di ordine superiore 111 Proposizione Siano k N 0 e λ > 0 e assumiamo che a ij,b i,c C k,α (R N con c 0. Sia k 0 > 0 tale che a ij k,α;r N, b i k,α;r N, c k,α;r N k 0. Se f C k,α (R N, allora la soluzione u C 2,α (R N dell equazione λu Au = f appartiene a C k2,α (R N e u k2,α;r N C(ν 0,k 0,k,λ,α (λ Au k,α;r N. (5.49 DIM. Per k =0la tesi è provata dal Teorema e dalla stima (5.15. Assumiamo quindi k 1. Se f C k,α (R N, allora sicuramente Au = λu f C 1,α (R N. Applicando il Teorema con k = 1, B 1 (x 0 e B 2 (x 0, x 0 R N arbitrario, risulta che u C 3,α (B 1 (x 0 e tenendo conto della stima (5.15 si ha u 3,α;B1(x 0 C(ν 0,k 0, 1,α,λ( Au 1,α;B2(x 0 u ;B2(x 0 C(ν 0,k 0,α,λ( f 1,α;R N u 1,α;R N C(ν 0,k 0,α,λ( f 1,α;R N f α;r N C(ν 0,k 0,α,λ f 1,α;R N. Prendendo l estremo superiore su x 0 otteniamo che u C 3,α (R N e soddisfa la stima u 3,α;R N C f 1,α;R N. Iterando il procedimento si completa la dimostrazione. Proposizione Siano k N 0 e λ > 0 e assumiamo che a ij,b i,c C k,α (R N con c 0. Sia k 0 > 0 tale che a ij k,α;r N, b i k,α;r N, c k,α;r N k 0.Sef C k,α (R N allora la soluzione u C 2,α (R N del problema { λu Au = f in R N u =0 su R N 1 appartiene a C k2,α (R N e u k2,α;r N C(ν 0,k 0,k,λ,α (λ Au k,α;r N. DIM. Il Teorema e il Corollario provano la tesi per k =0. Sia adesso k 1. Osserviamo che per regolarità interna u C k2,α loc (R N. In particolare u C k2 (R N e quindi si può derivare l equazione λu Au = f. Se r N 1, allora la derivata tangenziale D r u soddisfa ancora la stessa condizione al bordo per cui, posto v = D r u, risulta λv Av = D r f D r a ij D ij u D r b i D i u D r cu= g in R N v =0 su R N 1 Osserviamo che v C b (R N C 2 (R N. Inoltre, esiste w C 2,α (R N tale che { λw Aw = g in R N w =0 su R N 1

119 112 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Per unicità (Teorema v = w e quindi D r u C 2,α (R N e tenendo conto della stima del Corollario risulta D r u 2,α;R N C(ν 0,k 0,α,λ( D r f α;r N u 2,α;R N C(ν 0,k 0,α,λ f 1,α;R N. Rimane da stimare la derivata terza di u rispetto a x N. Derivando l equazione λu Au = f rispetto a x N e ricavando DN 3 u otteniamo ( DN 3 u = 1 λd N u D N f a ij D ij D N u D N a ij D ij u a NN (i,j (N,N D N b i D i u D N cu e quindi la stima di DN 3 u α;r N segue da quella già fatta per le altre derivate. In definitiva u C 3,α (R N e u 3,α;R N C f 1,α;R N. Ripetendo lo stesso argomento per un numero finito di passi si giunge alla tesi. Osservazione Nelle stesse ipotesi della proposizione precedente, se f C k,α (R N e g C k2,α (R N 1, allora esiste un unica u C k2,α (R N tale che { λu Au = f in R N e u = g su R N 1 u k2,α;r N C(ν 0,k 0,k,λ,α( f k,α;r N g k2,α;r N 1. Infatti, basta prendere g C k2,α (R N estensione di g tale che g k2,α;r N C g k2,α;r N 1 e scrivere la soluzione nella forma u = v g, dove v C k2,α (R N risolve { λv Av = f (λ g A g in R N v =0 su R N 1 Nel caso di un aperto limitato di classe C k2,α lo stesso risultato si ottiene mediante carte locali e partizioni dell unità. Proposizione Sia un aperto limitato di classe C k2,α in R N, con k N 0. Supponiamo che a ij,b i,c C k,α ( con c 0 e a ij k,α;, b i k,α;, c k,α; k 0.Sef C k,α (, allora la soluzione u C 2,α ( del problema { Au = f in u =0 su appartiene a C k2,α ( e u k2,α; C(ν 0,k 0,k,α, f k,α;.

120 5.8 Stime di Schauder di ordine superiore 113 DIM. Sia k 1. Per ogni x sia (U x,h x carta locale con H x : B 1 U x di classe C k2,α, Hx 1 = J x : U x B 1 di classe C k2,α, H x (B 1 =U x. Poniamo V x = H x (B 1. Inoltre, per ogni x sia B(x, 2R x. Per 2 compattezza si ha n 1 B(x i,r i n 2 j=1 V xj. Posto n = n 1 n 2, prendiamo (η i,2,,n partizione dell unità relativa al n ricoprimento ottenuto. Allora u = η i u. Se i n 1, dal Teorema risulta η i u C k2,α (B(x i,r xi e η i u k2,α, = η i u k2,α,b(xi,r xi ( C(ν 0,k 0,k,α A(η i u k,α,b(xi,2r xi η i u,b(xi,2r xi C(ν 0,k 0,k,α( A(η i u k,α, u, C(ν 0,k 0,k,α, ( Au k,α, u k2,. Sia adesso n 1 1 i n. Consideriamo il cambio di variabile v i (y :=(η i u(h i (y, y B 1 e osserviamo che v i C 2,α (B 1 con v i =0su B 1 R N 1 e supp v i B 1. 2 Indichiamo con Ãi l operatore in B 1, ottenuto da A mediante il cambio di variabili considerato (per una rappresentazione esplicita vedi (5.34. Notiamo che i coefficienti di à i appartengono a C k,α (B 1. Inoltre, si ha che A(η i u(x =η i (xf(xb i u(x =g i (x, dove B i è un operatore differenziale del primo ordine con coefficienti che dipendono dal cambio di variabili e g i C 1,α (U xi con supp g i V xi. Pertanto la funzione v i soddisfa (Ãiv i (y = g i (y :=g i (H i (y C 1,α (B 1 con supp g i B 1. Dalla 2 Proposizione segue che v i C 3,α (B 1 e 2 ( v i 3,α,B C(ν 0,k 0,H i Ãv i 1 1,α,B v i 1,B 1 2 C(ν 0,k 0,H i ( A(η i u 1,α,Uxi η i u,uxi C(ν 0,k 0,H i ( η i f 1,α, B i u 1,α, u,.

121 114 Stime di Schauder per il problema di Dirichlet Ne segue che η i u C 3,α ( e η i u 3,α, C(ν 0,k 0, ( f 1,α, u 3,. Ripetendo il procedimento un numero finito di passi, si trova che η i u C k2,α ( e η i u k2,α; C( f k,α; u k2,, con C = C(ν 0,k 0,α,k,. Sommando su i =1,,n, interpolando u k2, tra u k2,α, e u, e stimando quest ultimo termine mediante il principio del massimo 3.1.9, concludiamo la dimostrazione.

122 CAPITOLO 6 STIME DI SCHAUDER PER IL PROBLEMA CON DERIVATA OBLIQUA Sia un aperto di R N. Consideriamo l operatore differenziale A = a ij (xd ij b i (xd i c(x. (6.1 In questo capitolo ci proponiamo di studiare il problema λu Au = f in au u b = g su (6.2 sotto opportune ipotesi di regolarità per l aperto, per i coefficienti di A, per quelli dell operatore al bordo e per i dati f e g. 6.1 PRINCIPI DEL MASSIMO In questa sezione supponiamo che sia un aperto limitato di classe C 1 oppure il semispazio R N, che a ij = a ji,b i,csiano funzioni continue e limitate in con c 0. Inoltre assumiamo che a, b siano funzioni continue e limitate su e siano tali che b =1e, denotata con ν la normale unitaria esterna a, sia soddisfatta la condizione di non tangenzialità b ν ε 0 > 0. (6.3

123 116 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua Assumiamo anche che a 0. Questa ulteriore ipotesi sarà completamente rimossa nel teorema finale Proposizione Sia un aperto limitato di classe C 1 e sia u C 2 ( soluzione di (6.2 con λ>0, f C( e g C(. Sea a 0 > 0 allora u 1 λ f 1 a 0 g, se a 0 e g 0 allora u 1 λ f. DIM. Per il teorema di Weierstrass, u ammette massimo in qualche x 0. Senza perdere di generalità, assumiamo che u(x 0 = u > 0. Sex 0, allora Au(x 0 0 (cfr. la dimostrazione del Teorema e quindi λ u = λu(x 0 λu(x 0 Au(x 0 f. Se x 0, allora u b (x 0 0, perchè x 0 è punto di massimo e vale la condizione di non tangenzialità b ν>0. Quindi, se a a 0 > 0 segue che a 0 u = a 0 u(x 0 a(x 0 u(x 0 u b (x 0=g(x 0 g e la tesi è provata nel primo caso. Assumiamo ora che a 0 e che g 0. Se x 0 e a(x 0 > 0 l equazione a(x 0 u(x 0 u b (x 0=0 è impossibile e quindi necessariamente x 0. Sea(x 0 =0allora la stessa equazione implica che u b (x 0=0. Siccome u ha un massimo relativo in x 0 anche u τ (x 0=0per ogni vettore τ tangente a. Ne segue che u(x 0 =0ecome prima Au(x 0 0. Pertanto λ u f. Proviamo adesso alcuni principi del massimo nel semispazio. Lemma Siano u C 2 (R N una soluzione limitata di (6.2, con λ>0, f C(R N e g C( R N. Assumiamo che a a 0 > 0. Allora u 1 λ f 1 a 0 g. DIM. Introduciamo la funzione ausiliaria v(x =γ x 2 e scegliamo il parametro γ>0affinchè λv Av 0. Poniamo w = u u γr v in B 2 R = R N B R. Risulta λw Aw f in B R w 0 su B R R N aw w b =g u ( γ R 2 av v g C R b γ R 2 u su B R R N

124 6.1 Principi del massimo 117 Con argomenti analoghi a quelli della proposizione precedente si trova che w(x 1 λ f 1 g C R a 0 a 0 γ R 2 u, x B R e quindi u(x 1 λ f 1 g u a 0 γ R 2 v(x C R a 0 γ R 2 u, x B R. Mandando R si ottiene u(x 1 λ f 1 a 0 g e scambiando u con u la dimostrazione è completa. Se l estremo inferiore della funzione a risulta nullo, il risultato seguente non è preciso come nel caso di un aperto limitato. Proposizione Sia u C 2 (R N una soluzione limitata di (6.2. Allora esiste λ 0 > 0 tale che per ogni λ>λ 0, f C(R N e g C( R N risulta 2 u f 2 g, λ λ 0 ε 0 dove ε 0 è dato in ( DIM. Sia φ(x =1 x N 2, x RN. Chiaramente 1 2 φ 1, φ(x, 0 = 1 2, φ (x, 0 = 1 x N 4. Posto v = φu, è facile verificare che Av = φau 2 a in D N φd i v φ v (a NN D NN φ b N D N φ 2φ φ a NN(D N φ 2. Pertanto se (a NN D NN φ b N D N φ 2φ a NN(D N φ 2 Ã = A 2 φ a in D N φd i 1 φ risulta che Ãv = φau e quindi λv Ãv = φf. Per quanto riguarda la condizione la bordo soddisfatta da v, osserviamo che φ b = b φ N = 1 x N 4 b N su R N. Siccome φ(x, 0 = 1/2, risulta v b = φ u b u φ b = 1 u 2 b 1 2 b N v, su R N

125 118 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua Otteniamo così au u b =2av ( 2 v b b N v =(2a b N v 2 v b su R N ossia λv Ãv = φf in RN ( a 1 2 b N v v b = 1 2 g su RN Il coefficiente di ordine zero di à è dato da c = c 1 (a NN D NN φ b N D N φ 2φ φ a NN(D N φ 2. Sia λ 0 := sup c. Se dunque λ>λ 0, tenendo conto che a 1 2 b N 1 2 ε 0 > 0 e applicando il Lemma a v, otteniamo v 1 φf 1 1 g f 1 g, λ λ 0 ε 0 λ λ 0 ε 0 e quindi u 2 λ λ 0 f 2 ε 0 g. Osservazione Il numero λ 0 dipende solamente dalla norma del sup dei coefficienti di A. In particolare, λ 0 è lo stesso per tutti gli operatori i cui coefficienti soddisfano la stima a NN, b N k PROBLEMA CON DERIVATA OBLIQUA PER IL Δ IN R N In questa sezione ci proponiamo di studiare il problema con derivata obliqua nel caso del Δ nel semispazio R N. I punti cruciali sono: 1. risolvere il problema di Neumann, 2. provare delle stime a priori con un operatore al bordo della forma au u b, con a e b costanti, a 0, b N < 0. Mediante il metodo di continuità dedurremo esistenza ed unicità per il problema relativo al Δ con un operatore al bordo del tipo considerato al punto 2. Cominciamo a provare un risultato di estensione.

126 6.2 Problema con derivata obliqua per il Δ in R N 119 Lemma Data g C 1,α (R N 1, esiste h C 2,α (R N tale che h(x, 0= 0 e D N h(x, 0 = g(x. Inoltre h 2,α;R N C g 1,α;R N 1, con C = C(N. DIM. Sia η C 0 (R N 1, con 0 η 1 e R N 1 η =1. Consideriamo la funzione h(x,x N =x N R N 1 g(x x N y η(y dy. È chiaro che h(x, 0 = 0 e che h(x,x N x N g. Inoltre se i<n, risulta D i h(x,x N =x N R N 1 D i g(x x N y η(y dy e quindi D i h(x,x N x N D i g. Siccome D N h(x,x N = R N 1 g(x x N y η(y dy (6.4 x N R N 1 x g(x x N y y η(y dy otteniamo D N h(x, 0 = g(x e D N h(x,x N g Cx N g, dove C è una costante che dipende da η. Per stimare le derivate seconde di h, non potendo derivare ulteriormente g facciamo prima un cambio di variabili ottenendo per i<n D i h(x,x N = 1 x N 2 D i g(y η N R N 1 ( x y x N dy. Se anche j<nallora D ij h(x,x N = = 1 x N 1 N ( x D i g(y y D j η R x N 1 N R N 1 D i g(x x N y D j η(y dy, dy da cui segue facilmente che D ij h C D i g. Inoltre D ij h(x,x N D ij h(ξ,ξ N [D i g] α (x ξ (x N ξ N y α D j η(y dy R N 1 C[D i g] α (x,x N (ξ,ξ N α,

127 120 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua ossia [D ij h]α C[D i g] α. Per calcolare D in h con i<n, deriviamo rispetto a x i la (6.4 e, posto η(y =y η(y, otteniamo D in h(x,x N = D i g(x x N y η(y dy R N 1 1 ( x x N 1 x g(y y D i η dy N R x N 1 N = D i g(x x N y η(y dy R N 1 x g(x x N y D i (y η(y dy R N 1 = x g(x x N y y D i η(y dy. R N 1 Da ciò seguono le stime per D in h e [D in h]α come prima. Infine D NN h(x,x N = x g(x x N y y η(y dy R N 1 N 2 ( x x N 1 x g(y y η dy N R x N 1 N 1 x N 2 x g(y N R N 1 ( x ( η y i x y N 1 x N x 2 dy N = x g(x x N y y η(y dy R N 1 (N 2 x g(x x N y y η(y dy R N 1 x g(x x N y ( η i (y y N 1 dy. R N 1 Siccome η i (y = y i η(y, risulta η i (y = y i η ηe i e y η i (y = y i y η ηy i. Ne segue che D NN h(x,x N = x g(x x N y y ( (N 2η(y y η(y dy R N 1 e si procede come sopra per stimare D NN h e [D NN h]α. Per conseguire la tesi basta porre h(x,x N =ψ(x N h(x,x N con ψ regolare e tale che ψ 1 per 0 x N 1 e ψ 0 per x N 2. Usiamo adesso questo risultato per risolvere il problema di Neumann associato al Δ nel semispazio.

128 6.2 Problema con derivata obliqua per il Δ in R N 121 Proposizione Sia λ>λ 0, dove λ 0 è fissato come nella Proposizione Il problema λu Δu = f in R N u (6.5 = g su R N = R N 1 x N con dati f C 0,α (R N, g C 1,α (R N 1 ammette un unica soluzione u C 2,α (R N. Inoltre si ha la stima ( u 2,α;R N C(α, λ f α,r N g 1,α;R N 1. Se g 0, allora u 1,α;R N = O(λ α 1 2 f α;r N per λ. DIM. L unicità discende dalla Proposizione Riguardo all esistenza, sia h C 2,α (R N tale che h(x, 0 = 0 e D N h(x, 0 = g(x con h 2,α;R N C g 1,α;R N 1 (tale funzione esiste per il Lemma Cerchiamo la soluzione nella forma u = v h. Quindi v soddisfa λv Δv = f (λh Δh =:f 1 in R N, v =0 x N su R N = R N 1. ( Inoltre f 1 α,r N C(λ f α;r N g 1,α:R N 1. Allora basta risolvere il problema (6.5 con g 0. Consideriamo l estensione pari di f rispetto all ultima variabile f(x,x N ={ f(x,x N x N 0 f(x, x N x N < 0 Chiaramente f α;r N 2 f α;r N. Per il Teorema 5.4.3, esiste un unica u C 2,α (R N tale che λu Δu = f in R N e u 2,α;R N C(α, λ f α;r N. Posto ũ(x,x N =u(x, x N, è immediato verificare che λũ Δũ = f in R N u, per cui, per unicità, ũ = u, ossia u è pari in x N e quindi x N (x, 0 = 0. Quindi la restrizione di u a R N è la soluzione cercata. La stima per u 1,α;R N se g 0 segue direttamente da quella per u 1,α;R N (Corollario Prima di passare allo studio del problema con derivata obliqua facciamo delle considerazioni preliminari. Dall Osservazione sappiamo che fissato k N e prese f C k,α (R N e g C k2,α (R N 1 il problema di Dirichlet { λu Δu = f in R N u = g in R N 1

129 122 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua ha un unica soluzione u C k2,α (R N che soddisfa la stima ( u k2,α;r N C(α, k, λ f k,α;r N g k2,α;r N 1. In particolare, sia Π λ g la soluzione con f 0. Allora la stima precedente implica che Π λ : C k2,α (R N 1 C k2,α (R N è un operatore continuo, per ogni k = 0, 1,... Osserviamo che dalle stime interne, u = Π λ g C (R N e quindi si può derivare l equazione λu Δu =0quante volte N 1 si vuole. Se Δ N 1 = D ii, risulta pertanto { λδn 1 u Δ(Δ N 1 u=0 in R N Δ N 1 u =Δ N 1 g in R N 1 ossia Δ N 1 Π λ =Π λ Δ N 1, per unicità. Ne segue che (I Δ N 1 Π λ = Π λ (I Δ N 1 e applicando le stime in R N 1 ((5.49 risulta Π λ (I Δ N 1 g k,α;r N = (I Δ N 1 Π λ g k,α;r N C 1 Π λ g k2,α;r N C 2 g k2,α;r N 1 C 3 (I Δ N 1 g k,α;r N 1. Siccome I Δ N 1 è invertibile da C k2,α (R N 1 in C k,α (R N 1, risulta provato il seguente lemma. Lemma L operatore Π λ : C k,α (R N 1 C k,α (R N è continuo per ogni k =0, 1,..., λ>0. Useremo il Lemma con k =1. Nel teorema che segue proviamo stime a priori nel caso del Δ per condizioni al bordo a coefficienti costanti. Teorema Sia λ>λ 0 (cfr. Proposizione e siano a R e b R N tali che 0 a M e b =1, b N ε 0. Allora esiste una costante C = C(α, λ, M, ε 0 > 0 tale che per ogni u C 2,α (R N soluzione di λu Δu = f in R N au u b = g in RN 1 (6.6 risulta u 2,α;R N C( f α;r N g 1,α;R N 1. (6.7

130 6.2 Problema con derivata obliqua per il Δ in R N 123 DIM. Sia v C 2,α (R N la soluzione del problema { λv Δv = f in R N v =0 in R N 1 Allora v 2,α;R N C f α;r N. Inoltre possiamo scrivere u = v w dove w risolve λw Δw =0 in R N aw w b = g v b =: h su RN 1 Naturalmente h 1,α;R N 1 C(α, λ, M f α;r N g 1,α;R N 1. Posto z = aw w b, risulta { λz Δz =0 in R N z = h in R N 1 (notiamo che w C (R N. Per il Lemma 6.2.3, si ha z 1,α;R N b i b j D ij w N 1 da cui possiamo ricavare D NN w = 1 b 2 N = 1 b 2 N = 1 b 2 N 1 b 2 N j=1 j=1 N 1 C(λ h 1,α;R N 1. Inoltre b i b j D ij w = b 2 ND NN w 2 b i b j D ij w 1 b 2 N b j D j ( w b b j D j z a b 2 N b i b j D ij w. N 1 2 b N D N j=1 b i b N D in w b i b j D ij w 2 b N ( w 1 b b 2 N b i D in w N 1 b i b j D ij w b j D j w 2 b N D N z 2 a b N D N w Siccome D NN w = λw Δ N 1 w abbiamo infine in R N λw Δ N 1 w 1 b 2 N = 1 b 2 N j=1 N 1 b i b j D ij w a N 1 b 2 N j=1 b j D j w b j D j z 2 b N D N z a b N D N w.

131 124 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua In particolare l equazione precedente è soddisfatta in R N 1 e quindi dalle stime di Schauder in R N 1 (5.15 segue che w(, 0 2,α;R N 1 C(α, λ, M, ε 0 ( z 1,α;R w N 1,α;R. N Tenendo conto che w =Π λ w(, 0 e applicando il Lemma otteniamo w 2,α;R N C(α, λ, M, ε 0 ( z 1,α;R w N 1,α;R N Interpolando infine w 1,α;R N tra w 2,α;R N e w ;R N e applicando la Proposizione per stimare w ;R N deduciamo ( w 2,α;R N C ( z 1,α;R w N ;R C h N 1,α;R N 1 h ;R N 1 C ( g 1,α;R N 1 f α;r. N Dato che u = v w, la dimostrazione è completa. A questo punto possiamo dimostrare un risultato di esistenza e unicità relativo al problema (6.6. Teorema Sia λ>λ 0 e siano f C 0,α (R N e g C 1,α (R N 1. Allora esiste un unica funzione u C 2,α (R N tale che λu Δu = f in R N au u b = g in RN 1 dove a R e b R N con 0 a M e b =1, b N ε 0. DIM. La dimostrazione è basata sul metodo di continuità. Poniamo X = C 2,α (R N Y = C 0,α (R N C 1,α (R N 1 e consideriamo gli operatori L s : X Y definiti da ( L s u = λu Δu, (1 s u ( ν s au u, s [0, 1], b dove ν denota la normale esterna al dominio, ossia ν = e N. Osserviamo che (1 s u ν s u b = u τ con τ =(1 sν sb, τ 1 e τ N = (1 ssb N ε 0 e nella stima (6.7 la costante C si può prendere indipendente da s, ottenendo così L s u Y C u X per ogni s [0, 1]. Per la Proposizione l operatore L 0 è suriettivo e quindi, per il Teorema 5.1.3, anche L 1 lo è.

132 6.3 Coefficienti variabili in R N COEFFICIENTI VARIABILI IN R N Passiamo a considerare l operatore A = a ij (xd ij b i (xd i c(x e assumiamo che i coefficienti appartengano a C 0,α (R N con c 0 e k 0 > 0 sia una costante tale che a ij α, b i α, c α k 0. Sia ν 0 la costante di ellitticità uniforme. In tutta questa sezione assumiamo a C 1,α (R N 1, 0 a M b C 1,α (R N 1, S N 1, b N ε 0 < 0, (6.8 dove S N 1 denota la sfera unitaria di R N. Sia λ 0 dato dalla Proposizione Osserviamo che λ 0 non dipende da a, b ma solo dall operatore A. Per provare le stime a priori relative ad A, procediamo nel modo standard, cioè congelando i coefficienti della parte principale dell operatore e quelli della condizione al bordo. Cominciamo dunque a considerare operatori del tipo A 0 = a ij D ij B 0 = a b con a ij = a ji R, a ij k 0, N a ijξ i ξ j ν 0 ξ 2 e 0 a M, b R N, b =1e b N ε 0. Lemma Siano A 0 e B 0 come sopra. Se λ>λ 0, esiste C = C(α, λ, M, k 0,ε 0,ν 0 > 0 tale che per ogni u C 2,α (R N risulta u 2,α;R N ( C λu A 0 u α;r N B 0 u 1,α;R N 1. (6.9 DIM. Sia Q 1 una matrice ortogonale tale che Q 1 (a ij Q 1 = D λ, dove D λ è la matrice diagonale degli autovalori di (a ij e Q 1 è la trasposta di Q 1. Poniamo u(x =v(qx, dove Q = SD λ 1 Q 1 e S è una matrice ortogonale scelta in modo tale che Q(R N =R N. Allora Q(R N 1 =R N 1 e Q e N = γe N per qualche γ>0. Inoltre c 1 x Qx, Q x c 2 x, con 0 <c i = c i (k 0,ν 0. Ne segue che γ = γ e N = Q e N c 1. Per costruzione l equazione λu(x A 0 u(x = f(x è equivalente all equazione λv(y Δv(y = f(q 1 y e, siccome u(x = Q v(qx, la condizione al bordo au(x u v (x =g(x per v diventa ãv(y b τ (y

133 126 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua = g(q 1 y dove ã = a Qb(y Qb e τ = Qb Qb. Osserviamo che se b = b b N e N, con b R N 1, allora Qb = Qb b γb N e N, con Qb,b R N 1. Quindi τ N = γb N Qb c 1 ε 0. Vale pertanto la stima (6.7 per v che, tramite c 2 l uguaglianza u(x =v(qx implica quella voluta. Nella proposizione che segue useremo il fatto che la costante λ 0 della Proposizione dipende solo dal numero k 0 (vedi Osservazione Teorema Sia λ>λ 0. Allora esiste C = C(α, k 0,ν 0,M,ε 0,λ > 0 tale che per ogni u C 2,α (R N risulta ( u 2,α;R N C λu Au α;r N Bu 1,α;R N 1, ( dove A è definito in (6.1 e Bu = au u, con a, b che soddisfano b R N 1 (6.8. DIM. Sia x 0 R N e sia x 0 = (x 1 0,...x N 1 0, 0. Per r > 0 consideriamo l intorno I(x 0,r := B r (x 0 R N. Sia η C0 (R N tale che η 1 in B r (x 0, η 0 fuori di B 2r (x 0. Presi gli operatori A 0 u = a ij (x 0 D ij u B 0 u = a(x 0u u b(x 0, applichiamo la stima (6.9 alla funzione ηu eada 0, B 0, ottenendo così ( ηu 2,α;R N C (λ A 0 (ηu α;r N B 0 (ηu 1,α;R N 1 C (λ A 0 u α;i(x0,r C B 0 u 1,α;R N 1 C r u 2;R N Ne segue che C (λ Au α;r N Ck 0 r α u 2,α;R N C r u 2;R N C Bu 1,α;R N 1. u 2,α;I(x0,r C (λ Au α;r N C 1 r α u 2,α;R N C r u 2;R N C Bu 1,α;R N 1 e, prendendo l estremo superiore su x 0 R N, u 2,α;R N C (λ Au α;r N C 1 r α u 2,α;R N C r u 2;R N C Bu 1,α;R N 1. Scegliendo r abbastanza piccolo otteniamo u 2,α;R N C (λ Au α;r N C u 2;R N C Bu 1,α;R N 1. Interpolando u 2;R N tra u 2,α;R N e u ;R N e applicando la Proposizione 6.1.3, concludiamo la dimostrazione.

134 6.3 Coefficienti variabili in R N 127 Teorema Sia λ>λ 0. Allora per ogni f C 0,α (R N e g C 1,α (R N 1 esiste un unica soluzione del problema λu Au = f in R N in C 2,α (R N. au u b = g in RN 1 DIM. Basta applicare il metodo di continuità (Teorema con le seguenti scelte e L t u = X = C 2,α (R N Y = C 0,α (R N C 1,α (R N 1 L t : X Y ( λu (1 tδu tau, (1 t u ( ν t au u, t [0, 1], b con ν = e N. Dal Teorema discende che L t u Y C u X, con C> 0 costante indipendente da t. Siccome L 0 è suriettivo per la Proposizione 6.2.2, anche L 1 lo è. Nella proposizione seguente studiamo la dipendenza da λ della norma del risolvente nell ipotesi in cui la condizione al bordo è omogenea. In questo caso infatti si vede che la norma in C 1,α è infinitesima per λ eciò sarà utile nello studio del problema con derivata obliqua in un aperto regolare limitato. Proposizione Sia λ>λ 0 e, data f C 0,α (R N, sia u = R(λf C 2,α (R N la soluzione del problema λu Au = f in R N au u b =0 in RN 1 Allora R(λf 1,α;R N = O(λ α 1 2 f α;r N, per λ. DIM. A meno di considerare A λ 0 al posto di A, possiamo assumere λ 0 =0. Poniamo u(x =v( λx. Allora è facile vedere che v soddisfa la seguente equazione v(y ã ij (yd ij v(y bi (yd i v(y c(yv(y = 1 ( y λ f λ

135 128 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua con ã ij (y =a ij (y/ λ, b i (y =λ 1/2 b i (y/ λ, c(y =λ 1 c(y/ λ. Inoltre al bordo v verifica la condizione ãv v b =0 con ã(y =λ 1/2 a(y/ λ e b(y =b(y/ λ. Se λ 1 allora ν 0 = ν 0, ã ij α;r N, b i α;r N, c α;r N k 0 e ã 1,α;R N 1, b 1,α;R N 1 M e quindi dal Teorema segue che v 2,α;R N C(α, ν 0,K,M,ε 0 1 λ f( / λ α;r N. Siccome v(y =u(y/ λ otteniamo per λ abbastanza grande u ;R N 1 u ;R N λ 1 λ D2 u ;R N 1 λ 1 [D 2 u] α α;r N 2 1 [ u] λ 1α α;r N C 2 λ f α;r N. 6.4 PROBLEMA CON DERIVATA OBLIQUA IN UN APERTO LIMITATO REGOLARE Consideriamo un aperto limitato di classe C 2,α, cioè tale che per ogni x esistono un intorno U di x ed un applicazione bigettiva H : B 1 (0 U di classe C 2,α con inversa J : U B 1 (0 di classe C 2,α tale che H(B 1 (0 = U. Sia A l operatore definito in (6.1. Assumiamo che a ij,b i,c C 0,α (, con c 0 e, come prima, sia k 0 > 0 una costante tale che Introduciamo l operatore al bordo dove a ij α;, b i α;, c α; k 0. (6.10 Bu = au u b (6.11 a C 1,α (, a 0 (6.12 e b C 1,α (, S N 1, con b ν ε 0 > 0 su, (6.13 essendo ν la normale esterna unitaria a. Sia inoltre M>0tale che a 1,α;, b 1,α; M. (6.14

136 6.4 Problema con derivata obliqua in un aperto limitato regolare 129 Assumeremo tali ipotesi per tutta la sezione ad eccezione del Teorema 6.4.7, in cui sarà rimossa la restrizione sul segno di a. Osserviamo che se b ν>0 su allora per compattezza b ν ε 0 per qualche ε 0 > 0, cioè la condizione puntuale di non tangenzialità diventa automaticamente uniforme. Il primo teorema che vogliamo dimostrare riguarda le stime a priori. Teorema Esiste una costante C = C(α, ν 0,k 0,M,ε 0, > 0 tale che per ogni u C 2,α ( risulta u 2,α; C ( Au α; Bu 1,α; u ;. DIM. Per ogni x sia (U x,h x carta locale con H x : B 1 (0 U x di classe C 2,α, Hx 1 = J x : U x B 1 (0 di classe C 2,α, H x (B 1 (0 = U x, H x (B 1 (0 R N 1 =U x Poniamo V x = H x (B 1 2 (0. Inoltre, per ogni x esiste B(x, 2R x. Per compattezza risulta n 1 B(x i,r xi n 2 j=1 V xj. Posto n = n 1 n 2, prendiamo (η i,2,,n partizione dell unità relativa al ricoprimento ottenuto. Allora u = n η i u Se i n 1 allora η i u C 2,α (R N e supp(η i u B(x i,r xi. Applicando le stime di Schauder per l intero spazio (Teorema otteniamo η i u 2,α,R N C(ν 0,k 0,α ( A(η i u α,r N η i u,r N C(ν 0,k 0,α( A(η i u α; u, C(ν 0,k 0,α, ( Au α; u 2;. Sia adesso n 1 1 i n. Operiamo il seguente cambio di variabile v i (y :=(η i u(h i (y = M i (η i u(y e osserviamo che v i C 2,α (R N e supp(v i B 1. 2 Risulta A(η i u(x =Ãiv i (y, dove l operatore Ãi, determinato dal cambio di variabili, è definito in (5.34. Riguardo la condizione al bordo,

137 130 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua osserviamo che B(η i u(x = a(x(η i u(xb(x (η i u(x = a(h i (yv i (y(dj i b(h i y ( v i (y = ã(yv i (y v i b (y = B i v i (y, dove ã(y =a(h i (y, b(y =((dj i b(h i (y e dj i denota la matrice iacobiana di J i. Siccome b non è tangente a, b non è tangente a R N 1. Applicando pertanto la stima del Teorema alla funzione v i e agli operatori à i e B i (eventualmente estesi all intero spazio risulta v i 2,α,R N C(ν 0,k 0,H i,ε 0,M ( Ãiv i α,r B N i v i 1,α;R N 1 v i ;R N da cui η i u 2,α, C ( A(η i u α, B(η i u 1,α; u ;. Sommando su i =1,,n u 2,α; C ( Au α; Bu 1,α; u 2;. Concludiamo la dimostrazione interpolando u 2; tra u 2,α; e u ;. Corollario Siano δ e Λ fissati con Λ >δ>0. Allora esiste una costante C = C(α, ν 0,k 0,M,Λ,δ,ε 0, > 0 tale che per ogni λ [δ, Λ] e per ogni u C 2,α ( con Bu =0su risulta u 2,α; C λu Au α;. DIM. Applicando il Teorema all operatore A λ, con λ [δ, Λ], si trova che per ogni u C 2,α ( con Bu =0su risulta u 2,α; C ( λu Au α; u, (6.15 dove la costante C dipende da α, ν 0,ε 0,M, e dal massimo delle norme dei coefficienti di λ A. In virtù di (6.10 e della scelta di λ, si ha pertanto che C dipende da α, ν 0,ε 0,M, edak 0 e Λ. Ora, tenendo conto della Proposizione 6.1.1, da (6.15 si deduce che ( u 2,α; C λu Au α; 1 λ λu Au C δ λu Au α;, se δ<1. Pertanto l asserto.

138 6.4 Problema con derivata obliqua in un aperto limitato regolare 131 Veniamo ora al risultato di esistenza (e unicità della soluzione del problema con derivata obliqua in, assumendo dapprima che la condizione al bordo sia omogenea. Dimostreremo il caso generale dopo aver provato un risultato di estensione. Proposizione Sia λ>0. Per ogni f C 0,α ( esiste un unica soluzione in C 2,α ( del problema { λu Au = f in Bu =0 su DIM. La dimostrazione è del tutto simile a quella del Teorema a cui rimandiamo per ulteriori dettagli tecnici. Usiamo la notazione del Teorema Pertanto sia n 1 B(x i,r xi n 2 j=1 V x j e sia (ηi 2,2,,n=n 1n 2 una partizione dell unità subordinata a tale ricoprimento. n Sia f C 0,α (. Allora possiamo scrivere f = ηi 2 f. Se i n 1 allora η i f C 0,α (R N, supp(η i f B(x i,r xi. Indichiamo con R(λ il risolvente dell operatore A in R N. Osserviamo che R(λ : C 0,α (R N C 2,α (R N. Poniamo e notiamo che Inoltre R i (λf := η i R(λ(η i f R i (λ :C 0,α ( C 2,α ( e supp R i (λf B(x i,r xi. (λ AR i (λf = (λ Aη i R(λ(η i f = η i (λ AR(λ(η i f[λ A, η i I]R(λ(η i f = ηi 2 f S i (λf dove [, ] indica il commutatore e Risulta S i (λf =[λ A, η i I]R(λ(η i f= [A, η i I]R(λ(η i f. S i (λf α = O(λ α 1 2 f α per λ grande. Sia ora n 1 1 i n. SeM i è l operatore associato al cambio di variabili (definito in 5.33 poniamo R i (λf := M 1 i ( M i (η i (λ Ãi 1 M i (η i f

139 132 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua dove (λ Ãi 1 è il risolvente di Ãi in R N con la condizione B i =0al bordo. Allora R i (λ :C 0,α ( C 2,α ( con BR i (λf =0su e supp R i (λf V xi. Risulta (λ AR i (λf = ηi 2 f S i (λf ( [λ Ã, M i(η i ](λ Ã 1 (M i (η i f dove ora S i (λ =M 1 i. Come prima, per λ abbastanza grande, tenendo conto della Proposizione 6.3.4, risulta A questo punto poniamo V (λ = S i (λf α = O(λ α 1 2 f α. n R i (λ :C 0,α ( C 2,α ( e osserviamo che BV (λf =0su e Quindi (λ AV (λf = n ηi 2 f n S i (λf = f n S i (λf. (λ AV (λ :C 0,α ( C 0,α ( e (λ AV (λ =I Scegliamo λ 1 tale che che l operatore I n S i (λ. n S i (λ α 1 2 per ogni λ>λ 1. Questo assicura n S i (λ è invertibile in C 0,α (R N con inverso W (λ tale che W (λ 2. Inoltre siccome (λ AV (λw (λ =I su C 0,α (, u = V (λw (λf è la soluzione cercata per λ λ 1. Se 0 <λ λ 1, basta applicare il metodo di continuità agli operatori L t =(1 tλ tλ 1 A. infatti, scelto δ>0 con δ<λe posto Λ=λ 1, risulta δ (1 tλ tλ 1 Λ, e quindi grazie al Corollario 6.4.2, per ogni u C 2,α ( con Bu =0su, vale la stima u 2,α; C L t u α;, con C costante indipendente da t [0, 1]. Siccome L 1 è suriettivo, anche L 0 = λ A lo è e quindi la dimostrazione è completa. Lemma Se g C 1,α ( allora esiste h C 2,α ( tale che h =0e h ν = g su. Inoltre h 2,α; C g 1,α;.

140 6.4 Problema con derivata obliqua in un aperto limitato regolare 133 DIM. Scriviamo = n V i, dove V i sono definiti come nel Teorema Sia (η i una partizione dell unità su con η i ν =0su. Sia b i(x l N-sima componente del vettore (dj i (ν(x (osserviamo che b i (x < 0. Consideriamo le funzioni g i (y =η i (H i (y g(h i(y b i (H i (y e, dal Lemma 6.2.1, siano h i C 2,α (R N tali che h i =0eD N hi = g i su R N 1. Poniamo h i (x = h i (J i x. Allora h i =0su V i ; inoltre h i ν (x = h i (J i x (dj i (ν(x. Siccome h i R N 1 =0,sex V i risulta e quindi h i (J i x= ( 0,..., D N hi (J i x = η i (x g(x b i (x h i ν (x =η i(x g(x b i (x b i(x =η i (xg(x. La funzione h(x = n η i(xh i (x è la funzione cercata poichè, essendo η i ν =0si ha h ν = n η i h i ν = n η i g = g. Osservazione Usando il Lemma si può costruire una funzione h C 2,α ( tale che h =0e h = g, con g C 1,α ( assegnata. b Infatti, basta scrivere b = b 1 γν, dove b 1 è un vettore tangente a e γ ε 0 > 0, per la condizione di non tangenzialità dib. Per il Lemma esiste h C 2,α ( tale che h =0e h h = g/γ su. Allora ν b = γ h ν = g su, come richiesto. Proposizione Sia λ>0. Allora per ogni f C 0,α ( e g C 1,α ( esiste un unica u C 2,α ( soluzione del problema { λu Au = f in Bu = g su DIM. Sia h C 2,α ( tale che Bh = g su (vedi Osservazione Allora la soluzione cercata è data da u = v h, dove v risolve { λv Av = f (λh Ah in Bv =0 Per la Proposizione v esiste ed è unica. su

141 134 Stime di Schauder per il problema con derivata obliqua L ultimo passo consiste nell eliminare la restrizione sul segno di a. Teorema Siano A, B gli operatori definiti in (6.1 e (6.11, rispettivamente. Assumiamo le condizioni (6.10, (6.12, (6.13 e (6.14 con a di segno qualunque. Allora esiste λ 1 > 0 tale che per ogni λ>λ 1, f C 0,α ( e g C 1,α ( esiste un unica u C 2,α ( soluzione del problema { λu Au = f in Bu = g su DIM. Cerchiamo la soluzione nella forma u = φv. Il problema dato è allora equivalente a in N dove Ãv = Av 2 λv Ãv = f ( φ aφ φ b v v b φ = g su (6.16 a ij D i φ φ D jv Aφ φ v cv. Scegliamo φ C2,α ( tale che inf φ>0, a 1 φ =0su. Per costruire φ, consideriamo, in φ b virtù dell Osservazione 6.4.5, una funzione h C 2,α ( tale che h =0e h = a. Poniamo quindi φ =1ηh, dove η è una funzione regolare b con η 1 in un piccolo intorno di, determinato in modo tale che φ 1/2 su. Sia adesso λ 1 tale che λ 1 Aφ φ c 0. Per la Proposizione 6.4.6, il problema (6.16 ha un unica soluzione per λ>λ 1 e quindi lo stesso vale per il problema assegnato.

142 CAPITOLO 7 ALCUNE APPLICAZIONI 7.1 COEFFICIENTI ILLIMITATI (CENNI Consideriamo in questa sezione un operatore differenziale della forma A = a ij D ij b i D i c, con a ij,b i,c C 0,α loc (RN, c 0 e tale che a ij (xξ i ξ j ν(x ξ 2 x,ξ R N, dove inf ν(x > 0 per ogni compatto K. Quindi un tale operatore è uniformemente ellittico su ogni compatto di R N. x K In questa situazione, non è difficile provare l esistenza di una soluzione limitata e in C 2,α loc (RN per l equazione λu Au = f, con f C 0,α (R N e λ 0. Infatti, presa la palla B R di centro l origine e raggio R, la teoria precedente ci garantisce di poter trovare un unica funzione u R C 2,α 0 (B R soluzione del problema { λu Au = f in BR u =0 su B R Osserviamo che u R 1 λ f. Supponiamo che f 0 (nel caso generale basterà scrivere f = f f. Fissati 0 <ϱ<r 1 <R 2, risulta u R1 u R2 in B R1. Infatti u R2 u R1 soddisfa { λ(ur2 u R1 A(u R2 u R1 =0 in B R1 u R2 u R1 = f BR1 su B R1

143 136 Alcune applicazioni e siccome il dato al bordo è positivo, il principio del massimo implica che anche la soluzione u R2 u R1 è positiva. Per monotonia, si ha pertanto che la successione (u R converge puntualmente ad una certa funzione u. Applicando le stime di Schauder interne (5.7.3 possiamo scrivere u R2 u R1 2,α,ϱ C(ϱ, R 1 ( Au R2 Au R1 α,br1 u R2 u R1,BR1 C f. Usando il Teorema di Ascoli-Arzelà otteniamo che, a meno di sottosuccessioni, u R converge a u in C 2,α (B ϱ. Siccome ϱ è arbitrario, risulta u C 2,α loc (RN e, per costruzione, λu(x Au(x =f(x per ogni x R N. Osserviamo che in queste ipotesi più deboli non èpiù assicurata l unicità. 7.2 CONFRONTO TRA TEORIA L 2 E TEORIA C α Consideriamo il solito operatore A in un aperto limitato e con bordo di classe C 2,α. Per quanto riguarda i coefficienti richiediamo che a ij C 1 (, b i,c C 0,α ( con c 0. Inoltre assumiamo che sia soddisfatta la condizione di ellitticità uniforme. Consideriamo il problema { λu Au = f in (7.1 u =0 su e i seguenti operatori A 2 =(A, H 2 ( H0 1 ( in L 2 (, A α =(A, C 2,α 0 ( in C 0,α (. Abbiamo provato che -seλ 0ef C 0,α ( allora esiste un unica soluzione u C 2,α 0 ( del problema (7.1; -seλ λ 0 = K2 sup c ν 0 2ν 0 2, dove K2 = sup b i 2 (si veda (2.6 i e f L 2 ( allora esiste un unica soluzione di (7.1 nello spazio H 2 ( H0 1 (. In termini di risolventi abbiamo cioè provato che (λ A α 1 esiste nella semiretta {λ >0}, mentre (λ A 2 1 è definito in {λ >λ 0 }. E interessante vedere che questa distinzione è solo apparente, poichè i due operatori hanno di fatto lo stesso spettro. Teorema Risulta σ(a 2 =σ(a α. Inoltre le autofunzioni associate a λ σ(a 2 =σ(a α coincidono.

144 7.3 L equazione λu Au = f con f continua 137 DIM. Osserviamo intanto che entrambi gli operatori considerati hanno risolvente compatto perchè le inclusioni dei domini nei rispettivi spazi sono compatte. Ciò implica che gli spettri sono puntuali. L inclusione σ(a α σ(a 2 è allora ovvia. Viceversa, sia λ σ(a 2. Siccome gli spettri sono discreti, possiamo trovare ε>0tale che B ε ( λ non contenga altri autovalori di A 2 e A α. Pertanto, usando il calcolo funzionale per operatori chiusi, possiamo considerare le proiezioni spettrali P λ(a 2 = 1 2πi P λ(a α = 1 2πi (λ A 2 1 dλ, λ λ =ε (λ A α 1 dλ. λ λ =ε Siccome λ σ(a 2, risulta ImP λ(a 2 =ker( λ A 2 μ, dove μ N è l indice dell autovalore λ. Inoltre, se f C 0,α ( allora P λ(a 2 f = P λ(a α f poichè i risolventi coincidono su f (se il dato è regolare la soluzione classica e quella variazionale sono uguali. Tenendo conto di tutto questo e del fatto che C 0,α ( è denso in L 2 ( abbiamo ker( λ A 2 μ = P λ(a 2 (L 2 ( = P λ(a 2 (C 0,α ( L2 ( = P λ(a α (C 0,α ( L2 ( = P λ(a α (C 0,α ( = ker( λ A α μ. 7.3 L EQUAZIONE λu Au = f CON f CONTINUA Riprendiamo il problema posto all inizio del primo capitolo relativo alla risolubilità dell equazione λu Au = f, con f C( e λ 0. Più precisamente siamo interessati alla regolarità delle soluzioni del problema { λu Au = f in u =0 su Se l operatore è in forma di divergenza, la teoria L 2 fornisce immediatamente un unica soluzione di classe H 2 ( H0 1 (. Consideriamo una successione (f n C 0,α ( che converge uniformemente a f. Seu n indica la soluzione classica (ossia in C 2,α 0 ( del problema { λun Au n = f n in u n =0 su allora per il principio del massimo si ha u n fn λ, per cui applicando questa stima alle differenze otteniamo u n u m 1 λ f n f m.

145 138 Alcune applicazioni Ne segue che u n converge uniformemente a u e u è continua in. Per dedurre maggiore regolarità si possono usare stime L p, con p sufficientemente grande. Con le stesse tecniche usate per la regolarità C 0,α, quindi evitando la teoria L p, possiamo però provare almeno che u C 1,α per ogni α<1, nel caso in cui A coincide con il Laplaciano. Osservazione Ricordiamo che per il Lemma per operatori puri del secondo ordine a coefficienti costanti, se u H 1 (B R risolve Δu =0, allora ( r N2 u u r 2 c u u R 2, B r R B R r < R (7.2 essendo u r la media di u in B r. Inoltre il problema { Δu = f in BR u =0 su B R con f L 2 (B R, ammette un unica soluzione u in H 1 0 (B R H 2 (B R che soddisfa la stima u 2 H 2 (B R C(R f 2 L 2 (B R. Posto v(x =u(rx, per x B 1,sihachev risolve il precedente problema in B 1 con dato g(x =R 2 f(rx. Pertanto v 2 H 2 (B 1 C(1 g 2 L 2 (B 1. Sostituendo u al posto di v e cambiando variabile si ottiene R 4 u 2 L 2 (B R R 2 u 2 L 2 (B R D2 u 2 L 2 (B R C f 2 L 2 (B R (7.3 con C = C(1. Il seguente teorema fornisce delle stime simili alla (ii del Teorema 5.2.4, ma ora direttamente per la soluzione e per le sue derivate prime, dato che il nostro intento è ora provare, tramite la caratterizzazione integrale delle funzioni hölderiane, che u C 1,α. Teorema Sia u H 2 (B R soluzione di Δu = f in B R, con f L 2 (B R. Allora per ogni r<r ( ( r N2 (a u u r 2 c(n u u R 2 R 4 f 2 ; B r R B R B R ( ( r N2 (b u ( u r 2 c(n u ( u R 2 B r R B R R 2 f 2. B R

146 7.3 L equazione λu Au = f con f continua 139 DIM. La dimostrazione è sostanzialmente la stessa del Teorema (a Sia w l unica soluzione dell equazione Δw = f in H0 1 (B R H 2 (B R. Per differenza, v := u w H 2 (B R risolve l omogenea associata. Applicando (7.2 a v e (7.3 a w e ricordando l Osservazione si ha u u r 2 2 v v r 2 2 w w r 2 B r B r B r ( r N2 c(n v v R 2 2 w w R 2 R B R B R ( r N2 c(n u u R 2 R B R ( r N2 c(n R w 2 2 w 2 B R B ( R ( r N2 c(n u u R 2 R 4 f 2 R B R B R (b Si dimostra come (a, considerando D i v al posto di v. Come conseguenza delle disuguaglianze (a e (b si ottengono i due seguenti corollari. Corollario Per ogni u W 2,p (R N, con p>max{2,n}, risulta u C 1,α (R N, dove α =1 N p, ed esiste una costante c = c(n,α > 0 tale che u 1,α c(n,α( Δu p u. DIM. Sia u W 2,p (R N, con p come nell enunciato. Le immersioni di Sobolev assicurano che u C 1,α (R N, con α = 1 N p. Inoltre, per ogni fissato R>0, u H 2 (B R per cui possiamo usare (b del teorema precedente con f =Δu. Tenendo conto del fatto che u C 0,α e applicando la disuguaglianza di Hölder abbiamo quindi ( ( r N2 u ( u r 2 c(n R N2α [ u] 2 α,r B r R N ( 2 R 2 Δu p p (ωn R N p 2 p B R ( ( r N2 c(n R N2α [ u] 2 α,r R N Δu 2 p,b R R N2α.. Adesso prendiamo R = qr, con q>1eotteniamo u ( u r 2 c(nr N2α ( q 2α 2 [ u] 2 α q N2α Δu 2 p. B r

147 140 Alcune applicazioni Dividendo per r N2α e prendendo l estremo superiore su r > 0, per il Teorema abbiamo [ u] 2 α c(n ( q 2α 2 [ u] 2 α q N2α Δu 2 p. Scegliendo q abbastanza grande affinchè c(nq 2α 2 =1/2 abbiamo [ u] α c(n,α Δu p. Siccome u 1,α cost ( u [ u] α. Corollario Se u W 2,p (R N, con N 2 [u] α c(n,α Δu p, <p<nep 2 allora con α =2 N p. DIM. La dimostrazione di questo corollario è lasciata per esercizio (basta imitare quella del corollario precedente e usare (a del Teorema al posto di (b. Teorema Se 0 <α<1, esiste una costante c = c(n,α > 0 tale che per ogni u C 2 b (RN risulta u 1,α c(n,α( u Δu. DIM. Sia η C0 (R N con 0 η 1, η 1 su B 1 (x 0 e suppη B 2 (x 0. Applicando il Corollario alla funzione ηu con p = N 1 α otteniamo ηu 1,α c(n,α( ηu Δ(ηu p c(n,α( u Δ(ηu,B2(x 0 c(n,α( u ηδu u η uδη c(n,α( Δu u 1. Quindi u 1,α,B1(x 0 c(n,α( Δu u 1, da cui passando all estremo superiore su x 0 R N otteniamo u 1,α c(n,α( Δu u 1. Dall ultima stima segue la tesi una volta applicata la disuguaglianza di interpolazione u 1 ε u 1,α C ε u.

148 7.4 Alcuni problemi non lineari 141 Esercizio Sia 0 <α<1. Provare che per ogni funzione u C 2 b (RN risulta u 1,α c(α, N u Δu. (7.4 (Basta applicare il Teorema e il principio del massimo. Esercizio Sia 0 <α<1. Provare che per ogni funzione u Cb 2(RN risulta [ u] α c(α, N Δu 1α 2 u 1 α 2. (E sufficiente applicare il Teorema alla funzione v(x = u(λx e minimizzare su λ. 7.4 ALCUNI PROBLEMI NON LINEARI In questa sezione applichiamo i risultati ottenuti allo studio di alcuni problemi ellittici semilineari. Al fine di usare la teoria sviluppata finora, supporremo ovunque che sia un aperto limitato di R N con bordo di classe C 2,α e che A = a ij D ij b i D i c sia un operatore uniformemente ellittico, con coefficienti α-hölderiani, (0 < α < 1 e c 0. Esempio Consideriamo il seguente problema semilineare { λu Au F (u =f in u =0 su (7.5 dove λ 1, F : [ a, a] R è una funzione lipschitziana di classe C 2 e f C 0,α (. Se u 0 è una soluzione del problema, allora essa verifica l identità u 0 =(λ A 1 (f F (u 0, dove (λ A 1 : C 0,α ( C 2,α 0 ( è il risolvente di A. Ciò suggerisce di cercare la soluzione come punto fisso dell operatore G(u =(λ A 1 (f F (u. Cominciamo a studiare l applicazione u F (u, definita in B a = { u C 0,α ( u α a }. Se M = F e L è la costante di Lipschitz di F, risulta F (u(x F (u(y L u(x u(y L[u] α x y α da cui segue che [F (u] α L[u] α La. Inoltre, evidentemente F (u M. Pertanto F : B a B MaL. Proviamo che F è lipschitziana rispetto alla norma α. Siano u, v B a. Allora F (u(x F (v(x L u(x v(x F (u F (v L u v. (7.6

149 142 Alcune applicazioni Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo scrivere poi F (v(x F (u(x = (v(x u(x da cui segue che 1 =: (v(x u(xh(x, 0 F (u(xt(v(x u(x dt [F (v F (u] α [v u] α H v u [H] α v u α ( H [H] α. Ora, naturalmente H sup F = L. Per stimare la seminorma hölderiana di H osserviamo che 1 1 F (u(xt(v(x u(xdt F (u(yt(v(y u(ydt F (u(xt(v(x u(x F (u(yt(v(y u(y dt F ((1 t u(x u(y t v(x v(y dt 0 ([u] α [v] α F x y α. Ne segue [H] α ([u] α [v] α F 2a F. e quindi [F (u F (v] α (L 2a F u v α. (7.7 A questo punto (7.6 e (7.7 implicano F (u F (v α = F (u F (v [F (u F (v] α L 1 u v α, con L 1 =2(L a F. Ricordiamo ora la stima sul risolvente dell Osservazione (λ A 1 ϕ α c(ν 0,k 0, λ α 2 1 ϕ α. Se u B a, per quanto provato si ha che f F (u B a1, dove a 1 = M al f α, per cui scegliendo λ abbastanza grande, risulta G(u α = (λ A 1 (f F (u α c(ν 0,k 0, λ α 2 1 a 1 a. Questo prova che G : B a B a. Infine G è una contrazione, poichè G(u 2 G(u 1 α = (λ A 1 (F (u 2 F (u 1 α c(ν 0,k 0, λ α 2 1 F (u 2 F (u 1 α c(ν 0,k 0, λ α 2 1 L 1 u 2 u 1 α, e basta prendere λ sufficientemente grande affinchè sia anche c(ν 0,k 0, λ α 2 1 L 1 < 1. Per il teorema delle contrazioni, esiste un unico punto fisso u 0 per l operatore G e quindi un unica soluzione per il problema (7.5. Osserviamo che tale u 0 è, per costruzione, in C 2,α 0 (.

150 7.4 Alcuni problemi non lineari 143 Esempio Sia dato ora il problema quasi lineare { λu Au F (u, u =f in u =0 su dove λ 1, F :[ a, a] N1 R è una funzione lipschitziana di classe C 2 e f C 0,α (. Procedendo come per il problema precedente, consideriamo stavolta U a = { u C 1,α ( u 1,α a}. Si dimostra che F trasforma U a in U a1 = { u C 0,α ( u α a 1 }, per qualche a1 > 0 e che verifica la condizione di lipschitzianità F (u, u F (v, v α L 1 u v 1,α, u,v U a, per un opportuna costante L 1 > 0. Se G(u =(λ A 1 (f F (u, u, ricordando la stima sul risolvente di A (Osservazione si ha che (λ A 1 ϕ 1,α cλ α 1 2 ϕ α (λ 1, G(u 1,α cλ α 1 2 f F (u, u α cλ α 1 2 ( f α L 2 u 1,α. Quindi se u U a, scegliendo λ grande e usando la stima precedente si può ottenere che anche G(u U a. Inoltre se u 1,u 2 U a risulta G(u 1 G(u 2 1,α cλ α 1 2 f F (u1, u 1 f F (u 2, u 2 α cλ α 1 2 L1 u 1 u 2 1,α, per cui, scegliendo λ abbastanza grande, otteniamo che G è una contrazione. Ne segue che esiste un unico punto fisso, che è la soluzione del nostro problema. Esempio Proponiamoci ora di risolvere il seguente problema semilineare { u Δu F (u =f in (7.8 u =0 su sotto ipotesi di regolarità per F più deboli: F C 1 (R con F (0=0e F 0. La principale differenza con (7.5 è, comunque, il fatto di fissare λ =1. Sia invece come sempre f C 0,α (. Dimostriamo di seguito un risultato di unicità per il problema (7.8. Lemma (Principio del massimo Se u C 2 ( C 0 ( risolve (7.8, allora u f.

151 144 Alcune applicazioni DIM. Per il teorema di Weierstrass, esiste un punto x 0 tale che u = u(x 0. Assumiamo u = u(x 0 e x 0 / (altrimenti u(x 0 =0e quindi u 0. Allora risulta Δu(x 0 0 e F (u(x 0 F (0 = 0, da cui segue che u = u(x 0 u(x 0 Δu(x 0 F (u(x 0 = f(x 0 f. Proposizione (Unicità Se u 1,u 2 C 2 ( C 0 ( risolvono (7.8, allora u 1 = u 2. DIM. Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scrivere F (u 2 (x F (u 1 (x=(u 2 (x u 1 (x 1 =: (u 2 (x u 1 (xg(x. 0 F (u 1 (xt(u 2 (x u 1 (x dt Riguardo alla funzione G si ha che G C( e G 0. Inoltre { u2 (x u 1 (x Δ(u 2 u 1 (x(u 2 (x u 1 (xg(x =0 in u 2 u 1 =0 in cioè u 2 u 1 risolve il problema lineare { w Δw Gw =0 in w =0 in per il quale l unica soluzione, come è noto, è quella nulla. Ne segue che u 1 u 2. Passiamo adesso a provare l esistenza per il problema 7.8 e poniamo N (s = sup ( F (t F (t. t s Se u C 0,α (, posto u = s, per il teorema di Lagrange si ha e quindi Inoltre F (u(y F (u(x N(s u(y u(x N(s[u] α x y α [F (u] α N( u [u] α. (7.9 F (u N( u. (7.10 Nella proposizione che segue dimostriamo delle stime di Schauder non lineari, che ci permetteranno come nel caso lineare di provare l esistenza della soluzione di (7.8.

152 7.4 Alcuni problemi non lineari 145 Proposizione Esiste una funzione M : R R che dipende solo da N,αe, tale che per ogni u C 2,α 0 ( risulta essendo f = u Δu F (u. u 2,α M( f α, DIM. Siano u, f come nell enunciato. Applicando le stime di Schauder per il Laplaciano e tenendo conto di (7.9 e (7.10 si ha u 2,α c(( u Δu α c(( u Δu F (u α F (u α = c(( f α F (u α ( c( f α [u] α N ( u N( u. Grazie al Lemma e alla monotonia di N risulta poi u 2,α c( ( f α [u] α N ( f α N( f α. Usando la disuguaglianza interpolativa [u] α ε u 2,α c ε u, abbiamo quindi ( u 2,α c( f α N ( f α ε u 2,α N ( f α c ε f α N ( f α. Scegliendo ε =(2c(N ( f α 1 otteniamo ( u 2,α 2c( f α N ( f α c ε f α N ( f α, e quindi la tesi. Teorema (Esistenza Per ogni f C 0,α ( esiste un unica soluzione u C 2,α 0 ( del problema (7.8. DIM. L unicità è stata già provata nella Proposizione Per dimostrare l esistenza, supponiamo dapprima F C 3 (R. Consideriamo il problema (P t { u Δu tf (u =f in u =0 su con t [0, 1] e f C 0,α ( fissata. Poniamo E = {t [0, 1] (P t ammette soluzione in C 2,α 0 (}. E dato che per 0 E.

153 146 Alcune applicazioni Proviamo che E è chiuso. Sia (t n E tale che t n t 0 e siano u n le soluzioni di (P tn. Per la proposizione precedente risulta u n 2,α M( f α, con M indipendente da n. Per compattezza, esiste un estratta, che indichiamo ancora con u n, che converge ad una certa u 0 in C 2 (. Usando ancora la stima precedente, si vede che u 0 C 2,α (. Infine, passando puntualmente al limite nell equazione differenziale e nella condizione al bordo soddisfatte da u n, si trova che u 0 risolve (P 0. Proviamo ora che E è aperto. Sia t 0 E e sia u 0 la soluzione corrispondente a (P t0. Linearizziamo il problema intorno a u 0 andando a cercare, per t vicino a t 0, la soluzione di (P t nella forma u = u 0 v. Risulta allora che u Δu tf (u =f v Δv tf (u 0 v =t 0 F (u 0 ossia ( v ΔvtF (u 0 v =(t 0 tf (u 0 t F (u 0 v F (u 0 F (u 0 v. (7.11 Se w C 0,α (, il problema v Δv tf (u 0 v =(t 0 ( tf (u 0 t F (u 0 w F (u 0 F (u 0 w v =0 in su è lineare in v. Inoltre, come vedremo, se w è in una palla scelta opportunamente il secondo membro è una funzione α-hölderiana, per cui, applicando i risultati della sezione 5.6, esiste un unica soluzione che dipende in modo non lineare da w: v = R t (w. Per il nostro scopo, è quindi necessario trovare un punto fisso per l operatore R t. Sia dunque G(w =F (u 0 w F (u 0 F (u 0 w. Si ha che G(0 = 0 e G (0 = 0. Sia M>0 tale che u 0 α M. Poniamo k = sup ( F (x F (x F (x. x 2M Siano w 1 α M e w 2 α M. Posto w s =(1 sw 1 sw 2, risulta e quindi G(w 2 G(w 1 =(w 2 w (F (u 0 w s F (u 0 ds, G(w 2 G(w 1 k w 2 w 1 ( w 1 w 2. (7.12

154 7.4 Alcuni problemi non lineari 147 Per stimare la seminorma hölderiana di G, osserviamo che, puntualmente, possiamo scrivere F (u 0 w s F (u 0 = da cui segue che wsu 0 u 0 F (tdt = w s [F (u 0 w s F (u 0 ] α w s [ F (u 0 rw s dr, ] F (u 0 rw s dr 1 [w s ] α F (u 0 rw s dr (7.13 Risulta ( F (u 0 (xrw s (x F (u 0 (yrw s (y = F (ξ ( u 0 (x u 0 (yr(w s (x w s (y e quindi [ 1 ] F (u 0 rw s dr k ([u 0 ] α [w s ] α. 0 α Riprendendo la stima (7.13, abbiamo [F (u 0 w s F (u 0 ] α w s k ([u 0 ] α [w s ] α [w s ] α k 0 α da cui [ 1 ] (F (u 0 w s F (u 0 ds 0 α k w s ([u 0 ] α [w s ] α k [w s ] α k ( w 1 α w 2 α ( w 1 α w 2 α u 0 α k ( w 1 α w 2 α k(3m 1( w 1 α w 2 α. In definitiva 1 [G(w 2 G(w 1 ] α [w 2 w 1 ] α (F (u 0 w s F (u 0 ds 0 [ 1 ] w 2 w 1 (F (u 0 w s F (u 0 ds 0 α k [w 2 w 1 ] α ( w 1 w 2 k(3m 1 w 2 w 1 ( w 1 α w 2 α k 1 w 2 w 1 α ( w 1 α w 2 α.

155 148 Alcune applicazioni Infine, tenendo conto di (7.12, abbiamo G(w 2 G(w 1 α k 2 w 2 w 1 α ( w 1 α w 2 α. Tenendo conto del fatto che G(0 = 0, otteniamo G(w α k 2 w 2 α. (7.14 A questo punto notiamo che le stime di Schauder per l operatore Δ tf (u 0 (vedi (5.6.5 sono indipendenti da t [0, 1] e, siccome R t (u = ( 1 (Δ tf (u 0 1, risulta e R t (w α C(,α( (t 0 tf (u 0 α G(w α (7.15 R t (w 2 R t (w 1 α C(,α G(w 2 G(w 1 α. Vogliamo scegliere a questo punto δ, δ 1 > 0 tali che se t t 0 δ 1 allora R t mappa B δ in B δ ed è una contrazione. Se w α δ e t t 0 δ 1, allora tenendo conto delle stime (7.14 e (7.15 abbiamo R t (w α C(,α(δ 1 F (u 0 α k 2 δ 2, per cui scegliendo δ, δ 1 sufficientemente piccoli otteniamo R t (w α δ. Se w 1 α δ, w 2 α δ allora R t (w 2 R t (w 1 α 2 C(,αδk 2 w 2 w 1 α e quindi basta prendere δ in modo che 2 C(,αδk 2 < 1 affinchè R t sia una contrazione. Pertanto esiste un unica funzione v t tale che R t (v t =v t, ossia un unica soluzione dell equazione (7.11, per ogni t t 0 <δ 1. Ciò dimostra che u t = u 0 v t è la soluzione di (P t per ogni t t 0 <δ 1 e quindi l insieme E è anche aperto. Per connessione, deve essere E =[0, 1] e questo conclude la dimostrazione nell ipotesi che F C 3 (R. Nel caso generale, basta approssimare F mediante convoluzione. Poniamo pertanto F ε (x =(F φ ε (x = F (x yφ ε (ydy C (R, R dove (φ ε è una famiglia di mollificatori: φ ε (x =ε N φ( x ε e supp φ B 1 (0. E chiaro F ε (x F (x e F ε(x =(F φ ε (x F (x, per ε 0, per ogni x R. Inoltre F ε (x 0. Per quanto dimostrato, in corrispondenza di un dato f C 0,α ( fissato, esistono funzioni u ε che soddisfano { uε Δu ε F ε (u ε =f in u ε =0 su

156 7.4 Alcuni problemi non lineari 149 dove F ε (x = F ε (x F ε (0. Inoltre, per la Proposizione valgono le stime u ε 2,α M ε ( f α. (7.16 Ripercorrendo la dimostrazione della stessa proposizione si vede che la dipendenza di M ε da ε è attraverso la funzione N ε (s = sup t s ( F ε (t F ε(t. Maè immediato verificare che N ε (s 2N (s 1per ε piccolo, per cui la stima (7.16 implica che la famiglia (u ε è limitata in C 2,α (. Applicando il teorema di Ascoli-Arzelà e procedendo in modo standard si costruisce una successione (u n che converge alla soluzione del problema (7.8. Esempio Consideriamo la seguente equazione quasi lineare in R N Il nostro obiettivo è provare il seguente teorema u Δu F ( u =f. (7.17 Teorema Se F C 2 (R N allora per ogni f C 1,α (R N esiste un unica u C 3,α (R N soluzione di (7.17. Vale il seguente principio del massimo. Lemma (Principio del massimo Sia F : R N R di classe C 1 con F (0 = 0. Sia u C 2 b (RN soluzione dell equazione u Δu F ( u =f, dove f C b (R N. Allora u f. DIM. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo scrivere F (y F (x =(y x 1 0 ( F (x t(y xdt, da cui segue, prendendo x =0e tenendo conto che F (0 = 0 F ( u = u 1 0 ( F (t udt puntualmente in R N. Pertanto l equazione soddisfatta da u diventa u Δu G u = f, dove la funzione G(x = 1 ( F (t u(xdt è continua e 0 limitata in R N. Sia v(x =γ x 2, x R N. Scegliendo γ>0abbastanza grande si trova che Δv G v v. Sia u ε = u εv, ε>0. Allora u ε ammette massimo in qualche x 0 R N, dove risulta Δu ε (x 0 G(x 0 u ε (x 0 0

157 150 Alcune applicazioni e (u ε Δu ε G u ε (x 0 = (u εv(x 0 (Δu εδv(x 0 G(x 0 ( u(x 0 ε v(x 0 = f(x 0 ε(v Δv G v(x 0 f(x 0. Ne segue che u(x εv(x = u ε (x u ε (x 0 u ε (x 0 Δu ε (x 0 G(x 0 u ε (x 0 f(x 0 f. Mandando ε 0 si ottiene che u(x f. La dimostrazione della disuguaglianza u(x f è analoga con u εv al posto di u εv. Corollario Se u C 3 b (RN risolve l equazione u Δu F ( u =f con f C 1 b (RN e F C 2 (R N allora u f. DIM. Derivando l equazione differenziale rispetto a x i e ponendo v = D i u si vede facilmente che v soddisfa v Δv G v = D i f, dove G(x = F ( u(x. Applicando il Lemma , si ha che D i u D i f, da cui segue immediatamente la tesi. Com è naturale, a questo punto cerchiamo delle stime a priori al fine di provare l esistenza di una soluzione per l equazione (7.17. D ora in avanti assumiamo che F C 2 (R N. Introduciamo la funzione S(t = sup { F (x F (x D 2 F (x }, x t dove D 2 F denota l hessiano di F. Proposizione Esiste una funzione M : R R, dipendente da S, α e N, tale che per ogni u C 3,α (R N risulta dove f = u Δu F ( u. u 3,α M( f 1,α, DIM. Sia u C 3,α (R N. Applicando la stima (5.49 con k =1, λ =1, A =Δotteniamo u 3,α C(α u Δu 1,α,

158 7.4 Alcuni problemi non lineari 151 da cui segue u 3,α C(α( u Δu F ( u 1,α F ( u 1,α = C(α( f 1,α F ( u 1,α. (7.18 Stimiamo singolarmente i termini che definiscono la norma F ( u 1,α, ovvero, passando ad una norma equivalente, F ( u e [ (F ( u] α.tenendo conto del Corollario e del fatto che la funzione S è crescente, si ha F ( u S( u S( f S( f 1,α. (7.19 Stimiamo ora la seminorma hölderiana di (F ( u =D 2 u F( u. Applicando la disuguaglianza triangolare e il teorema di Lagrange in forma debole, risulta (F ( u(x (F ( u(y (D 2 u(x D 2 (y( F ( u(x D 2 u(y ( F ( u(x F ( u(y [D 2 u] α x y α S( u D 2 u S( u u(x u(y u 2,α S( u (1[ u] α x y α u 2,α S( f 1,α (1[ u] α x y α e quindi [ (F ( u] α S( f 1,α (1 [ u] α u 2,α. Tenendo conto delle stime (7.4 e (7.19 si ha [ u] α C(α, N u Δu C(α, N( f F ( u C(N,α( f 1,α S( f 1,α. Pertanto [ (F ( u] α C(α, N S( f 1,α u 2,α, (7.20 per qualche nuova funzione S. D altronde per il principio di massimo classico, possiamo scrivere u u Δu. (7.21 Tenendo conto di (7.19 e (7.20 la (7.18 implica u 3,α C(N,α ( f 1,α S 1 ( f 1,α S 2 ( f 1,α u 2,α per opportune funzioni S 1 e S 2. Interpolando u 2,α tra u 3,α e u si ottiene u 3,α C(N,αS 3 ( f 1,α u. Infine tenendo conto di (7.21 e ancora di (7.19 possiamo maggiorare u con una funzione dipendente da f 1,α e concludere pertanto la dimostrazione.

159 152 Alcune applicazioni Veniamo ora al teorema di esistenza. Teorema Assumiamo F C 2 (R N. Allora per ogni f C 1,α (R N esiste un unica u C 3,α (R N tale che u Δu F ( u =f. DIM. La dimostrazione dell unicità è identica a quella della Proposizione Per provare l esistenza, supponiamo dapprima F C 3 (R N. Sia f C 1,α (R N fissata. Introduciamo l insieme E = { t [0, 1] u Δu tf ( u =f ammette soluzione in C 3,α (R N }. Siccome 0 E, E. Proviamo che E è chiuso. Sia (t n E tale che t n t 0. Per ogni n N, sia u n C 3,α (R N tale che u n Δu n t n F ( u n =f. Per la Proposizione , risulta u n 3,α M( f 1,α, dove M si è potuta scegliere indipendente da n. Applicando il teorema di Ascoli-Arzelà si trova un estratta (u nk che converge uniformemente sui compatti, insieme alle derivate fino al terzo ordine, ad una certa funzione u C 3 (R N. Siccome le seminorme hölderiane delle funzioni approssimanti sono equilimitate, si ottiene anche che u C 3,α (R N. Infine, passando puntualmente al limite nelle equazioni soddisfatte da u nk, si vede che u è soluzione dell equazione corrispondente a t 0, per cui t 0 E. Proviamo adesso che E è aperto. Sia t 0 E e sia u 0 la corrispondente soluzione. Sia t t 0 <δ 1, dove δ 1 > 0 verrà scelto in seguito. Cerchiamo la soluzione relativa a t linearizzando l equazione intorno a u 0. Presa pertanto una funzione della forma u = u 0 v, risulta che u Δu tf ( u =f se e solo se v soddisfa v Δv t( F ( u 0 v = ( (t t 0 F ( u 0 t F ( u 0 v F ( u 0 ( F ( u 0 v. Studiamo allora l equazione lineare v Δv t( F ( u 0 v = (7.22 ( (t t 0 F ( u 0 t F ( u 0 w F ( u 0 ( F ( u 0 w. Gli argomenti della dimostrazione della Proposizione provano che se z C 2,α (R N allora F ( z C 1,α (R N e F ( z 1,α si può stimare mediante S( z Δz F ( z 1,α e z 2,α. Analogamente allora se w C 2,α (R N allora la funzione a secondo membro in (7.22 èinc 1,α (R N. Applicando quindi i risultati della teoria lineare, si trova un unica soluzione v C 3,α (R N dell equazione (7.22. Risulta così ben definito il seguente operatore (non lineare R t : C 2,α (R N C 3,α (R N w v

160 7.4 Alcuni problemi non lineari 153 Il nostro obiettivo a questo punto è trovare un punto fisso per R t. Introduciamo la funzione (definita puntualmente G(w = F ( u 0 w F ( u 0 ( F ( u 0 w 1 ( = w ( F ( u 0 s w ( F ( u 0 ds 0 = w H(w. Se u 0 1,α M, scegliamo w 1,w 2 C 1,α (R N tali che w 1 1,α, w 2 1,α M. Allora risulta ( G(w 1 G(w 2 = w 1 H(w 1 H(w 2 ( w 1 w 2 H(w 2 e quindi Si ha [G(w 1 G(w 2 ] α [ w 1 ] α H(w 1 H(w 2 H(w 1 H(w 2 = 1 0 w 1 [H(w 1 H(w 2 ] α [ w 1 w 2 ] α H(w 2 w 1 w 2 [H(w 2 ] α. (7.23 ( ( F ( u 0 s w 1 ( F ( u 0 s w 2 ds per cui, applicando il teorema di Lagrange in forma debole otteniamo con K = sup ξ 4M H(w 1 H(w 2 K w 1 w 2, (7.24 (D 2 F (ξ sup ξ 4M (D 3 F (ξ. Per stimare la seminorma hölderiana di H(w 1 H(w 2, che è una funzione vettoriale, consideriamone la componente i-sima Si ha 1 0 ( (D i F ( u 0 s w 1 (D i F ( u 0 s w 2 ds. D i F ( u 0 s w 1 (D i F ( u 0 s w 2 = 1 ( = s( w 1 w 2 (D i F ( u 0 s w 1 rs( w 1 w 2 dr := s( w 1 w 2 J(w 1,w 2. Perciò risulta [D i F ( u 0 s w 1 (D i F ( u 0 s w 2 ] α 0 w 1 w 2 [J(w 1,w 2 ] α [ w 1 w 2 ] α J(w 1,w 2. (7.25

161 154 Alcune applicazioni Per stimare [J(w 1,w 2 ] α osserviamo che [( ] (D i F ( u 0 s w 1 rs( w 1 w 2 sup ξ 4M α (D 3 F (ξ ( [ u 0 ] α [ w 1 ] α [ w 1 w 2 ] α 4MK pertanto, riprendendo (7.25 abbiamo [H(w 1 H(w 2 ] α 4MK w 1 w 2 K[ w 1 w 2 ] α. (7.26 Se w 1 =0si deducono [H(w] α 4MK w K[ w] α (7.27 e H(w K w. (7.28 Usando le stime (7.24, (7.26, (7.27 e (7.28 in (7.23 si ottiene [G(w 1 G(w 2 ] α K ( w 1 1,α w 2 1,α w 1 w 2 ( ( w 1 1,α w 2 1,α 4KM w 1 w 2 1,α K w 1 w 2 1,α Infine Quindi e Siccome K w 1 w 2 1,α ( w 1 1,α w 2 1,α w 1 w 2 1,α (4KM( w 1 1,α w 2 1,α M( w 1 1,α w 2 1,α K w 1 w 2 2,α ( w 1 2,α w 2 2,α. G(w 1 G(w 2 w 1 H(w 1 H(w 2 w 1 w 2 H(w 2 K w 1 w 2 2,α ( w 1 2,α w 2 2,α. G(w 1 G(w 2 α K w 1 w 2 2,α ( w 1 2,α w 2 2,α. (7.29 R t (w = G(w α k w 2 2,α. (7.30 ( 1 ( 1 Δ t( F ( u 0 (t t 0 F ( u 0 tg(w

162 7.4 Alcuni problemi non lineari 155 usando la stima sul risolvente da C 0,α (R N in C 2,α (R N,se t t 0 <δ 1 e w 2,α δ risulta R t (w 2,α C( F ( u 0 α t t 0 t G(w α C( F ( u 0 α δ 1 Kδ 2. Scegliamo δ 1 abbastanza piccolo affinchè il secondo membro della disuguaglianza di sopra sia minore di δ. In questo modo è garantito che R t mappa B δ = {z C 2,α (R N : z 2,α δ} in sè. Poi R t (w 1 R t (w 2 2,α C G(w 1 G(w 2 α C K w 1 w 2 2,α 2δ. Adesso scegliamo δ affinchè 2C Kδ < 1 in modo da avere che R t è una contrazione. Allora esiste un unica funzione v B δ tale che R t (v =v C 3,α (R N. La funzione u = u 0 v è la soluzione richiesta. L ultimo punto della dimostrazione, cioè il caso generale F C 2 (R N si prova per approssimazione come nell esempio precedente.

163

164 NOTAZIONI Siano un aperto di R N, 1 p<, k N, 0 <α 1. C0 ( spazio delle funzioni derivabili con continuità infinite volte e a supporto compatto in ; (L p (, Lp ( spazio delle funzioni u misurabili secondo Lebesgue con u p L p ( := u(x p dx < (se non c è ambiguità, scriveremo u L p al posto di u L p (; (W k,p (, k,p spazio delle funzioni u con derivate distribuzionali fino all ordine k in L p ( con norma u k,p := β k Dβ u L p; W k,p loc ( spazio delle funzioni appartenenti a W k,p ( per ogni aperto limitato con ; H k ( W k,2 (; W k,p 0 ( chiusura di C0 ( in W k,p (; C( spazio delle funzioni continue in ; C b ( spazio delle funzioni continue e limitate in ; C k ( spazio delle funzioni derivabili k volte con continuità in; (Cb k(, k spazio delle funzioni u derivabili k volte in con tutte le derivate fino all ordine k limitate e che si estendono con continuità a, munito della norma u k := β k Dβ u, dove v = sup v ; C 0 ( spazio delle funzioni continue in nulle su ;

165 158 Notazioni (C 0,α (, α spazio delle funzioni u α-hölderiane in, ossia in C b ( e con u(x u(y [u] α := x y α <, munito sup x,y ;x y della norma u α := u [u] α ; (C k,α (, k,α spazio delle funzioni in Cb k ( con derivate di ordine k in C 0,α ( e u k,α := u k β =k [Dβ u] α ; C k,α loc ( spazio delle funzioni in Ck,α ( per ogni aperto limitato con ; C 2,α 0 ( C 2,α ( C 0 (; C γ ( C k,α (, dove k = [γ] e α = {γ} sono rispettivamente la parte intera e reale di γ; B R (x 0 palla di centro x 0 e raggio R. Scriveremo solo B R quando non sarà importante indicare esplicitamente il centro; R N {x =(x,x N R N 1 R x N > 0}; B R (x 0 B R (x 0 R N ; ω N misura di Lebesgue della palla unitaria di R N ; misura di Lebesgue dell aperto ; aperti con ; (x 0,R B R (x 0 ; 1 u x0,r u(ydy (spesso scriveremo (x 0,R (x 0,R semplicemente u R al posto di u x0,r; (L 2,λ (, 2,λ spazio delle funzioni u di L 2 ( con u 2 1 λ := u(x u x0,r 2 dx sup x 0,R>0 R λ (x 0,R <, munito della norma u 2,λ := u 2 u λ.

166 BIBLIOGRAFIA [1] D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd edition Springer, Berlin, [2] E. Giusti, Equazioni ellittiche del secondo ordine, Quaderni dell Unione Matematica Italiana, Pitagora Editrice, Bologna, [3] N. V. Krylov, Lectures on elliptic and parabolic equations in Hölder spaces, American Mathematical Society, Providence, 1996.

167

168 Finito di stampare nel mese di ottobre 2004 dalla Tiemme (Industria Grafica Manduria per conto delle Edizioni del Grifo via V. Monti, 18 - Lecce

169

170