Soluzione di Equazioni Differenziali

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1 Soluzione di Luca Abeni Informatica Luca Abeni 1 / 10

2 Informatica e d Moto - Abbiamo parlato di informatica (scienza dell informazione), programmazione, etc... Cosa c entra questa roba con la fisica??? Consideriamo un semplice esempio... Prima legge della dinamica: F = ma a = F m Se la forza varia nel tempo, a(t) = F(t) m Ricordando che a(t) = v v F(t) (t), si ha (t) = m A sua volta, v(t) = x (t) Quindi: { x v (t) = v(t) F(t) (t) = m Informatica Luca Abeni 2 / 10

3 Informatica ed d Moto - Descrizione di un sistema fisico tramite equazioni differenziali Spazio degli stati: velocità, posizione Nota: sono vettori... Data una condizione iniziale (x(0), v(0)), come evolve il sistema? Supponiamo di non poter integrare il sistema per via analitica......il computer ci può aiutare ad integrarlo numericamente! Ah, ecco a cosa servono i computer... Informatica Luca Abeni 3 / 10

4 Integrazione d Moto - Consideriamo t n = n t: t 0 = 0, t 1 = t, t 2 = 2 t,... Calcoliamo x(t n ) e v(t n ) iterativamente, partendo da 0! x (t) = v(t) x(t) = v(t) x(t+) x(t) = v(t) x(t+) = x(t)+v(t) Passando da differenziali a t, x(t+ t) x(t)+v(t) t { x(t+ t) = x(t)+v(t) t v(t+ t) = v(t)+ F(t) m t Conoscendo x(0), v(0) ed F(t) è possibile scrivere un programma che calcola x(t) e v(t) Informatica Luca Abeni 4 / 10

5 Metodo di Eulero d Moto - Variabili: t, x, v R Inizializza t = 0, x = x 0 e v = v 0 Mentre t < T x = x + v * Delta v = v + F(t) / m * Delta t = t + Delta Stampa t, x ed eventualmente v Informatica Luca Abeni 5 / 10

6 Metodo di d Moto - { v(t+ t) = v(t)+ F(t) m t x(t+ t) = x(t)+v(t+ t) t Notare: x(t+ t) calcolata in base a v(t+ t), non v(t)! Nell algoritmo di integrazione, basta invertire l ordine degli aggiornamenti... Migliore per vari motivi (vedere Programmazione Scientifica, capitolo 9) Ulteriormente migliorabile in vari modi Informatica Luca Abeni 6 / 10

7 Esempio: Moto d Moto - Oggetto (pallone da calcio?) lanciato con velocità iniziale v 0 ed inclinazione α Calcolare traiettoria differenziali semplici da risolvere (moto uniforme su asse x, uniformemente accelerato su asse y)......ma non usiamo soluzioni analitiche note! In fondo, si tratta di un esempio... No? x e v sono vettori (componenti x e y) v x (0) = vcos(α), v y (0) = vsin(α) a x (t) = 0, a y (t) = g Informatica Luca Abeni 7 / 10

8 Moto - d Moto - x e y invece che x; vx e vy invece che v Vvettori (o strutture) per x e v? a x = 0, a y = g vx = v cos ( t h e t a ) ; vy = v s i n ( t h e t a ) ; x = 0; y = 0; t = 0; while ( t < 2) { x = x + vx dt ; y = y + vy dt ; vy = vy g dt ; t = t + dt ; } p r i n t f ( %f %f %f\n, t, x, y ) ; Informatica Luca Abeni 8 / 10

9 Descrizione del d Moto - Abbiamo visto come descrivere un sistema fisico in termini di posizione e velocità Posizione x: vettore In due dimensioni, due variabili x e y In tre dimensioni, tre variabili x, y e z Possibile usare un array x[2] (o x[3]) o una struttura (con campi x e y o x, y e z) Velocità v: stesso discorso E possibile una descrizione più compatta? Informatica Luca Abeni 9 / 10

10 Vettore di Stato d Moto - Stato del sistema: ( x, v) Raggruppiamo posizione e velocità in un unico vettore Vettore stato s: contiene posizione e velocità In tre dimensioni, s = (s 1,s 2,...,s 6 ), con s 1 = x,s 2 = y,s 3 = z,s 4 = v x,s 5 = v y,s 6 = v z Notare che s è un vettore contenente velocità ed accelerazione... { x v (t) = v(t) F(t) (t) = m riscrivibile come s = g( s) g( s): copia s 4,s 5,s 6 in s 1,s 2,s 3 e riempie s 4,s 5,s 6 con le accelerazioni a x,a y,a z calcolate al tempo t Informatica Luca Abeni 10 / 10