Azioni di Gruppi: aspetti algebrici e geometrici

Transcript

1 Azioni di Gruppi: aspetti algebrici e geometrici Simone Cappellini 26 settembre 215 Definizione: Sia G un gruppo e sia X un insieme. sinistra di G s X una funzione F : G X X tale che: F1, x) = x x X; Fg, Fg, x)) = Fgg, x) g, g G x X. Notazione. Fg, x) = gx). Si definisce azione 1. G = Z/2Z, X = C. Z/2Z = δ : δ 2 = 1 Il coniugio è quindi un azione di gruppo definita come δz) = z e 1z) = z. 2. S n {1,..., n} {1,..., n} τ, i) τi) 3. R n A n R A n R v, P) P + v la traslazione in uno spazio affine. 4. G = R \ {}, ), X = R n+1 \ {}. F : G X X tale che Fλ, v) = λv. 5. G = Z/2Z, X = S n = { x R n+1 x = 1 }. Fδ, x) = x. 6. K L campi. G = {δ : L L automorfismi δ K = id K }, detto gruppo di Galois. Sia fx) K[x] per cui esista a L tale che fa) = e prendiamo l insieme R = {radici di f in L}. Definiamo l azione di gruppo F : G R R tale che Fg, y) = gy). Verifichiamo che si tratti di una buona definizione, ovvero che gy) R: f = a i x i fy) = 1 a i y i =

2 gy) R. = gfy)) }{{} perché = fy) K e g K = id K = ga i ) gy) i = }{{} K a i gy) i = fgy)) Fatto: Data F : G X X una azione, allora g G F g : X X tale che F g x) = Fg, x) = gx) è biunivoca e la sua inversa è F g 1. Inoltre ψ : G SX) = {mappe biunivoche da X in sé} che associa ad ogni g G la mappa F g è un omomorfismo *****. Definizione: Sia x X. Si chiama orbita di x O x := {Fg, x) g G} = {gx) g G} X Definizione: Sia x X. Si chiama stabilizzatore di x Stab x := {g G gx) = x} < G Definizione: Definiamo una relazione di equivalenza su X tale che, dati x, y X, x y y O x g G tale che y = gx)). Quindi possiamo scrivere X = x X Osservazione. Poiché Stab x < G allora G/Stab x è un insieme l insieme delle classi laterali sinistre). Proposizione: Sia F : G X X una azione di G su X e sia x X. Allora la funzione Π : G/Stab x O x gstab x Fg, x) è biunivoca. O x Dimostrazione. Dimostriamo che sia una buona definizione. gstab x = g Stab x g ) 1 g ) Stab x = id X g 1 g ) x) = x g g 1 g)x) = g x) gx) = g x) 2

3 Surgettività. Iniettività. y O x g G tale che y = gx) y = gx) = ΠgStab x ) ΠgStab x ) = Πg Stab x ) gx) = g x) g ) 1 g ) x) = x g ) 1 g Stab x gstab x = g Stab x Corollario: Se G <, allora G/Stab x ) = l equazione delle classi: G = Stab x O x G Stab x = O x, da cui deriva 7. Avendo G gruppo e X = G, F : G G G tale che Fg, h) = gh è una azione moltiplicazione a sinistra). 8. Avendo G gruppo e X = G, F : G G G tale che Fg, h) = ghg 1 è una azione coniugio). Sia h G, Stab h = { g G ghg 1 = h } = {g G gh = hg} = centralizzatore di h Definizione: F azione di gruppo si dice fedele se Ψ : G SX) che associa a g l applicazione F g è un omomorfismo iniettivo, cioè KerΨ = {1} KerΨ = {g G F g = id} = {g G Fg, x) = x x X} = x X Stab x Esempio: F : G G G il coniugio. Allora KerΨ = ZG) il centro di G. Definizione: Un azione di gruppo si dice transitiva se x, y X g G tale che y = gx) esiste cioè una sola orbita). 9. F : On + 1) S n S n tale che FA, v) = Av. Fissiamo e 1 S n e definiamo p : On+1) S n tale che pa) = Ae 1 = A 1. p è surgettiva l azione di On + 1) su S n è transitiva. Prendiamo v 1 S n e completiamolo a base ortonormale di R n+1. Poiché le basi sono ortogonali allora A On + 1) tale che Ae i = v i i e quindi p è surgettiva e l azione è transitiva). 3

4 1... Cerchiamo Stab e1 = {A On + 1) Ae 1 = e 1 } = On + 1). B Ma δ 1j = [ t AA] 1j = k [t A] 1k [A] kj = [A] k1 [A] kj = [A] 1j, quindi A = Allora B. Stab e1 = B B On) = On) Poiché abbiamo visto che l azione è transitiva, O e1 = S n e quindi On + 1) p On + 1)/On) S n π biunivoca 1. Gk, n) = {sottospazi di R n di dimensione k} si dice Grassmanniana. G1, n) = P n 1 R = R n \ {} / con la relazione di equivalenza definita dall azione di gruppo dell esempio 4. Dato un V Gk, n), V R n, scagliamo una base ortonormale {v 1,..., v k } di V e prendiamo On) Gk, n) Gk, n) A, Spanv 1,..., v k )) SpanAv 1,..., Av k ) Sia come nell esempio precedente) p : On) Gk, n) tale che pa) = SpanAe 1,..., Ae k ). p è surgettiva la dimostrazione è analoga a sopra). Allora l azione agisce transitivamente e O Spane1,...,e k ) = Gk, n) ). Cerchiamo Stab Spane1,...,e k ) = {A On) SpanAe 1,..., Ae k ) = Spane 1,..., e k )}. ) B C A = Ma t AA = I C =. D ) B A = con B Ok) e D On k) D 4

5 Quindi il seguente diagramma è commutativo: p On) Gk, n) On)/ Ok) On k) π biunivoca 5