e la funzione meromorfa f su C, (detta proiezione stereografica), definita da f = Y Z e h = X Z.

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1 Esercizi su Superfici di Riemann e curve algebriche 1) Siano X, Y, Z coordinate omogenee in P 2 C. Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X 4 + XY 3 + Z 4 = 0}. Si consideri su C la funzione meromorfa f = X/Z. a)calcolare poli e zeri di f con i loro ordini. b)calcolare i punti di ramificazione di f con i loro indici, e calcolare il genere di C. c)trovare su C tre differenziali olomorfi linearmente indipendenti. 2) La funzione di Weierstraß è meromorfa in C. Lo è anche in Ĉ? 3) Sia D il disco unitario, sia Λ un reticolo in C, (i.e. sottogruppo discreto di C), e sia T = C/Λ. È possibile trovare applicazioni bianalitiche tra: a) C e D? b) C e Ĉ? c) C e T? d) T e D? e) T e Ĉ? f) Ĉ e D? 4) Si consideri la conica C = {[X, Y, Z] P 2 : X 2 + Y 2 = Z 2 }, e la funzione meromorfa f su C, (detta proiezione stereografica), definita da f = Y Z X. Dimostrare che f stabilisce un isomorfismo tra C e Ĉ. 5) Si consideri la superficie di Riemann C = {[X, Y, Z] P 2 : X 4 + Y 4 = Z 4 }, Si considerino su C le funzioni meromorfe f = Y Z X a) Calcolare poli e zeri di f e di h. e h = X Z. b) Trovare i punti di ramificazine di h e calcolare, con la formula di Hurwitz, il genere di C. 1

2 2 c) Trovare una base per lo spazio vettoriale dei differenziali olomorfi su C. 6) Sia C una superficie di Riemann di genere 1. Sia p C. a) Dimostrare che l(2p) = 2 e l(3p) = 3. b) Siano {1, f} e {1, f, g} basi per L(2p) e L(3p), rispettivamente. Dimostrare che esistono costanti c e d non nulle tali che cf 3 dg 2 L(5p). c) Dimostrare che esiste un polinomio di terzo grado P (x, y) C[X, Y ], tale che P (f, g) = 0. d) Dimostrare che P (x, y) è irriducibile. e) Sia C la chiusura in P 2 della curva Γ = {(x, y) C 2 P (x, y) = 0} Dimostrare che l applicazione F : C Γ definita da F (p) = [1, f(p), g(p)] è unisomorfismo analitico. f) Dimostrare che Γ è non singolare. 7) Sia H 1 (C) lo spazio delle 1-forme armoniche su una superficie di Riemann compatta di genere g. Si consideri su H 1 (C) la forma bilineare definita da (ω, ϕ) = ω ϕ. Dimostrare che questa forma è non degenere, e dedurne il teorema di dualità di Poincaré. 8) a) Qual è il rivestimento universale di C \ {0}? b) e quello di C \ {0, 1}? c) e quello di X = {z C 0 < z < 1}? d) e quello di X = {z C 1 < z < 2}? 9) Sia C = {[X, Y, Z] P 2 X 3 Y + XY 3 + Z 4 = 0 }. a) Calcolare H i (C, Z), i = 0, 1, 2, 3,... b) Trovare una base per I C c) Sia P = [0, 1, 0] C. Calcolare l(np), n Z. 10) Sia S una superficie di Riemann compatta. Sia f : C = C \ {0} S, un rivestimento. Determinare il genere di S. C 11) Descrivere tutte le applicazioni analitiche di P 1 in una superficie di Riemann S. 12)Sia C = {[X, Y, Z] P 2 X 4 + Y 4 + Z 4 = 0}. Sia ι : C C l involuzione definita da ι([x, Y, Z]) = [ X, Y, Z]. Calcolare il genere di C/ι.

3 3 13) Determinare tutte le applicazioni analitiche f : C D nei seguenti casi: a), b) c) C = {[X, Y, Z] P 2 X 2 + Y 2 + Z 2 = 0} D = {[X, Y, Z] P 2 X 3 + Y 3 + Z 3 = 0} C = {[X, Y, Z] P 2 X 2 + Y 2 + Z 2 = 0}, D = {[X, Y, Z] P 2 X + Y + Z = 0} C = {[X, Y, Z] P 2 X 4 + Y 4 + Z 4 = 0}, D = {[X, Y, Z] P 2 Y 2 Z 4 = i=1 6 (X ai Z), a i a j, i j} d) C = {[X, Y, Z] P 2 X 2 + Y 2 + Z 2 = 0}, D = C 5 14) Sia S la superficie di Riemann della curva algebrica piana {Y 4 X 3 Z = 0} P 2. Calcolare il genere di C e il campo delle funzioni meromorfe di C. 15) Sia C P 2 una quartica non singolare. Sia r una retta e D = r C il divisore ottenuto intersecando questa retta con C. Dimostrare che ogni divisore D D è della forma D = r C per qualche retta r. 16) Calcolare il genere della curva x 3 = y 5 1 realizzandola come rivestimento ramificato dell asse x e usando la formula di Hurwitz. 17) Sia C P 3 la superficie di Riemann dfinita dalle equazioni a) Calcolare il genere di C. X 2 Y T = 0, Y 2 ZX = 0, XY ZT = 0. b) Sia D il divisore degli zeri della funzione meromorfa T/Z su C. Sia W il C- vettoriale dei polinomi omogenei di secondo grado in X, Y, Z, T. Studiare l omomorfismo ϕ : W L(2D) Q Q T 2 C 18)Sia C la superficie di Riemann della curva piana XY Z 3 + X 5 + Y 5 = 0 a) Mostrare che C può realizzarsi come rivestimento triplo di P 1 e calcolare il genere di C. b) Costruire una base del C-vettoriale dei differenziale olomorfi su C. d) Mostrare che C non è iperellittica.

4 4 19) Sia C = {X 5 Y 4 Z Z 5 = 0}. Siano f = X/Z M(C) e h = Y/Z M(C) Trovare il genere di C usando la formula di Hurwitz per f e g. Dimostrare che C non è iperellittica. 20) Mostrare che la superficie di Riemann S della curva {X 2 Y 2 +X 2 Z 2 +Y 2 Z 2 = 0} è di genere zero e trovare un isomorfismo esplicito tra S e P 1 21) Sia V = {[X, Y, Z] P 3 C X 3 +Y 3 +Z 3 +W 3 = XW Z 2 = 0}. Mostrare che V ha, in modo naturale, una struttura di varietà complessa compatta di dimensione 1 22) a) Sia D un divisore di grado zero su di una superficie di Riemann compatta. Dimostrare che l(d) è uguale a 0 o a 1. Descrivere gli elmenti di L(D). b) Sia C = {[X, Y, Z] Y 4 Z = X 5 XZ 4 }, siano Q = [0, 1, 0] e P = [0, 0, 1]. Calcolare l(4q 4P ), e l(3q 3P ). 23) Sia C la superficie di Riemann associata alla curva algebrica Calcolare il genere di C. C = {(x, y) C 2 x 4 + x y(x 5 x 2 x) = 0}. 24) Si consideri l immersione di Veronese: v n 3 : P 2 P (n ) 1 = P (n 1)(n 2) 2 1 [X, Y, Z] [..., X i Y j Z n 3 i j,... ] dove 0 i + j n 3. Sia C P 2 una curva piana non singolare di grado n. Dimostrare che l applicazione canonica di C è la restrizione a C di v n 3. Dedurne che C non è iperellittica. 24) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana: n+1 y n = (x a i ), a i a j. Sia D la superficie di Riemann della curva algebrica piana: N y 2 = (x b h ), N = n 2 n + 2, b h b k. h=1 i=1 a) Calcolare il genere di C e quello di D. b) Dimostrare che C e D sono analiticamente distinte. c) Scrivere esplicitamente un generatore di HdR 2 (D, R). 25) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana: C 0 = {x 3 + y 2 + y + 1 = 0}. Sia D la superficie di Riemann della curva algebrica piana: a) Calcolare il genere di C e quello di D. D 0 = {x 3 + y 4 + y = 0} b) Sia f 0 : D 0 C 0, definita da f 0 (x, y) = (x, y 2 ).

5 5 c) Dimostrare che f 0 si estende a una applicazione analitica f : D C. Calcolare grado e punti di ramificazione di f. d) Verificare che dy x è un differenziale olomorfo su C. Esibire una base di I 2 D che contenga l elemento f dy x. 26) Sia C una superficie di Riemann di genere 2. Sia 2 γ : C P 1 = P g 1 l applicazione canonica. a) Dimostrare che γ è un rivestimento doppio (e dunque ogni curva di genere 2 è iperellittica). b) Sia p C tale che l(2p) = 2, e sia {1, f} una base di L(2p). Determinare l(np), n 0. c) Mostrare che esiste una funzione meromorfa g L(5p) che ha in p un polo di ordine 5, e scrivere, in funzione di f e g, una base di L(np), per 0 n 10. d) Mostrare che esistono un polinomio Q(x) monico e di grado 5, e un polinomio P (x) di grado minore o uguale a 4, tali che Q(f) + gp (f) + g 2 = 0. e) Dimostrare che il polinomio Q(x)+yP (x)+y 2 è irriducibile e che C è la superficie di Riemann della curva algebrica piana Q(x) + yp (x) + y 2 = 0. 27) Si consideri la curva algebrica piana proiettiva: a) Calcolare il genere di C. C = {[X, Y, Z] PC 2 X 3 Z 2Y 4 + XZ 3 = 0}. b) Sia τ : C C l automorfismo definito da τ([x, Y, Z]) = [Z, Y, X]. Mostrare che τ 2 = 1 C e trovare i punti fissi di τ. c) Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C). Trovare il genere della superficie di Riemann C/G. 28) Si consideri ancora la curva C dell esercizio 27. a) Si studi la funzione meromorfa x = X/Z M(C), ( calcolare i divisori (x) 0, (x) e i punti di ramificazione di x, vista come rivestimento ramificato di PC 1, con i relativi indici di ramificazione. b) Sia P = [0, 0, 1] C. Calcolare l(np ) per ogni intero n Z. 29) Si consideri la superficie di Riemann e la funzione meromorfa f = X Z. C = {[X, Y, Z] P 2 C X n + Y n + Z n = 0}, a) Calcolare zeri e poli di f con relative molteplicità. b) Calcolare zeri e poli di df con relative molteplicità. c) Calcolare il genere di C applicando la formula di Hurwitz alla funzione f.

6 6 d) Sia C 0 = {(x, y) C 2 x n +y n +1 = 0}. Calcolare H i (C 0, Z), per i 0. 30) Sia f una funzione meromorfa non costante su di una superficie di Riemann compatta di genere g. Dimostrare che deg (f) = 2g 2 31) Sia T = C/Z 2. Sia π : C T la proiezione naturale. Sia ω E 1 (T ) la 1-forma tale che π (ω) = dz, (ω = dz ). a) Dimostrare che ω Ω 1 (T ). b) Dimostrare che ω è chiusa e non esatta. c) Dimostrare che ω ω = 2. S d) Dimostrare che, se n > 3, le uniche applicazioni analitiche di T in sono le costanti. C = {[X, Y, Z] P 2 C X n + Y n + Z n = 0} 32) Sia X = C \ {0, 1, 2}. Determinare il rivestimento universale di X, ed esibire dei generatori per il suo primo gruppo di coomologia di De Rham. 33) Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X 4 + XY 3 + Z 4 = 0}. a) Mostrare che C è una varietà complessa di dimensione 1. b) Mostrare che l applicazione f : C P 1, definita da f([x, Y, Z]) = [X 2, Z 2 ] è ben definita e analitica. (Suggerimento: accorgersi che l unico problema sorge nel punto p = [0, 1, 0]. Scrivere f, in opportune coordinate locali intorno a p, come una funzione razionale. Sfruttare l equazione di C in queste coordinate per riscrivere questa funzione razionale in modo che essa appaia analitica in p). b) Mostrare che ogni applicazione analitica di C in C = {(x, y) C 2 x 2 +y 2 = 1} è costante. 34) a) Sia p un punto di PC 2, Calcolare i gruppi di omologia singolare a coefficienti interi di X = PC 2 \ p. b) Chi fra Ĉ, C, e è il rivestimento universale di {z C z3 1}? 35) Si consideri la curva algebrica piana proiettiva: a) Calcolare il genere di C. C = {[X, Y, Z] PC 2 X 6 + Y 6 + 2Z 6 = 0}. b) Sia τ : C C l automorfismo definito da τ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]. Mostrare che τ 2 = 1 C e trovare i punti fissi di τ. c) Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C). Trovare il genere della superficie di Riemann C/G.

7 7 36) Si consideri ancora la curva C = {[X, Y, Z] PC 2 XY 4 + ZX 4 + Y Z 4 }. a) Si studi la funzione meromorfa x = X/Z M(C), ( calcolare i divisori (x) 0, (x) e i punti di ramificazione di x, vista come rivestimento ramificato di PC 1, con i relativi indici di ramificazione. b) Sia P = [0, 0, 1] C. Calcolare l(np ) per ogni intero n Z. 37) Si consideri la curva algebrica piana riducibile: a) Si calcoli H i (C, Z), per i 0. C = {[X, Y, Z] PC 2 Y 2 Z 2 Y X 3 = 0}. b) Descrivere il rivestimento universale C di C, e calcolare π 1 (C, p), dove p = [0, 0, 1]. 38) Si consideri la curva algebrica piana non-singolare: C = {[X, Y, Z] PC 2 Y Z 4 Y 4 Z = X 5 }. a) Si calcoli il genere di C usando la formula di Hurwitz, a partire dalla funzione meromorfa y = Y/Z. b) Sia p = [0, 0, 1]. Si calcoli la dimensione di L(5p) e se ne trovi una base. 39) Sia F (X, Y, Z) = XY Z 4 +X 6 +Y 6. Sia S F la superficie di Riemann della curva algebrica C = {[X, Y, Z] PC 2 F (X, Y, Z) = 0}. Siano P e Q i punti di S F che corrispondono al nodo O = [0, 0, 1] di C. Sia σ : C C, l automorfismo definito da σ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]). Sia σ l automorfismo di S F indotto da σ. a) Determinare σ(p ) e σ(q) e i punti fissi di σ. b) Calcolare il genere di S F / σ. 40) Sia S la superficie di Riemann della curva algebrica a) Calcolare il genere di S. C = {[X, Y, Z] PC 2 Y 5 Z 2 = 2X 6 Z X 7 }. b) Quanti punti si devono aggiungere a C \ {[0, 0, 1]} per ottenere S? c) Si calcoli H i (C, Z), per i 0. d) Descrivere come si ottiene S da C con una serie di scoppiamenti successivi e calcolare il genere di S usando la formula generalizzata per il genere delle curve piane. 41) Sia Γ n = {(x, y) C 2 x n + y n = 1}. a) Calcolare H i (Γ n, Z), i 0. b) Descrivere il rivestimento universale di Γ n.

8 8 42) Siano C e C due superfici di Riemann compatte di genere g 2 analiticamente distinte. a) Dimostrare che ogni applicazione analitica di C in C è costante. b) Dimostrare con esempi che ciò non è vero se g 1. 43) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana C 0 = {(x, y) x n + y n + x n 1 + y n 1 = 0}. Trovare un esplicito isomorfismo tra C e CP 1. 44) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana C 0 = {(x, y) x 5 + y 4 + y = 0}. a) Trovare una base per lo spazio vettoriale dei differenziali olomorfi su C. Sia P = (0, 0) C 0 C. Sia D = 5P. b) Dimostrare che i(d) = 3. c) Dedurne che l(d) = i(d) = 3. d) Trovare una base per L(D). 45) Si consideri nel piano proiettivo complesso, con coordinate omogenee X, Y, Z, la curva C n di equazione X n Y + Y n+1 + Z n+1 = 0, n 0. a)determinare il rivestimento universale di C n. b)determinare i valori di n per i quali C n può essere espressa come rivestimento doppio ramificato della sfera di Riemann, e quelli per cui ciò non è possibile. c)studiare la funzione meromorfa Y/Z su C n. 46) Sia X = C \ {0, 1, 2}. Determinare il rivestimento universale di X, ed esibire dei generatori per il suo primo gruppo di coomologia di De Rham. 47) a) Sia P n = {z C z n = 1}, n 0. Si consideri la superficie di Riemann X n = Ĉ \ P n. Determinare, per ogni n 0, il rivestimento universale Xn di X n. b) Sia X lo spazio topologico ottenuto identificando un punto di una superficie di Riemann compatta Y di genere 2 con un punto di S 3. Calcolare i gruppi di omologia singolare di X e descriverne il rivestimento universale. 48) Si consideri la curva piana C = {[X, Y, Z] PC 2 X n + XY n 1 + X n 1 Y + Y n 4Z n = 0}. Si consideri l automorfismo di C definito da τ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]. Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C)

9 9. a) Trovare il genere di C/G. b) Sia V il sottospazio dello spazio dei differenziali olomorfi su C definito da Si trovi una base per V. 49) Si consideri la curva piana Trovare i punti singolari di C. V = {ω I(0) τ ω = ω}. C = {[X, Y, Z] PC 2 X 4 + X 2 Y 2 + Z 4 = 0}. b) Facendo uso di successivi scoppiamenti e della formula generalizzata del genere, determinare il genere della superficie di Riemann associata a C. 50) Descrivere il processo di desingolarizzazione della curva piana 51) Sia C la curva proiettiva definita da C = {(x, y) C 2 x 3 + y 3 + y 4 = 0}. C = {[X, Y, Z] PC 2 Y 7 X 3 Z 4 + Z 7 = 0}. a) Descrivere il processo di desingolarizzazione di C. b) Sia C 0 il luogo dei punti lisci di C. Sia S la superficie di Riemann ottenuta come desingolarizzazione di C. Sia f la funzione meromorfa su S che coincide con X/Z su C 0. Si calcoli il grado di f, i suoi punti di ramificazione e il genere di S. 51) Sia C la curva proiettiva definita da C = {[X, Y, Z] PC 2 X 5 + Y 5 + Z 5 = 0}. Siano x = X/Z e y = Y/Z. Calcolare zeri e poli del differenziale ω = dx/y. 52) Siano C e C le curve proiettive definite da C = {[X, Y, Z] PC 2 X 4 + Y 4 + Z 4 = 0}, C = {[X, Y, Z] PC 2 X 8 + Y 8 + Z 8 = 0}. Sia F : C C l applicazione analitica definita da F ([X, Y, Z]) = [X 2, Y 2, Z 2 ]. Verificare per F la formula di Hurwitz. (Suggerimento: considerare prima l aperto XY Z 0, e poi quello che succede su X = 0, Y = 0, Z = 0). 53) Per ogni punto [λ, µ] della retta proiettiva PC 1 si consideri la curva algebrica C [λ,µ] definita da C [λ,µ] = {[X, Y, Z] PC 2 (µ + λ)x 4 + λy 4 + µxz 3 = 0}.

10 10 a) Calcolare, per ogni punto [λ, µ], H 1 (C [λ,µ], R). ( Suggerimento: esaminare i casi λ = 0, µ = 0, λ = µ, e poi tutti i rimanenti) b) Descrivere, per ogni punto [λ, µ] [1, 1], il rivestimento universale di C [λ,µ]. 54) a) Sia p un punto di PC 2, Calcolare i gruppi di omologia singolare a coefficienti interi di X = PC 2 \ p. b) Chi fra Ĉ, C, e è il rivestimento universale di {z C z3 1}? 55) Si consideri la curva algebrica piana proiettiva: a) Calcolare il genere di C. C = {[X, Y, Z] PC 2 X 6 + Y 6 + 2Z 6 = 0}. b) Sia τ : C C l automorfismo definito da τ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]. Mostrare che τ 2 = 1 C e trovare i punti fissi di τ. c) Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C). Trovare il genere della superficie di Riemann C/G. 56) Si consideri ancora la curva C = {[X, Y, Z] PC 2 XY 4 + ZX 4 + Y Z 4 }. a) Si studi la funzione meromorfa x = X/Z M(C), ( calcolare i divisori (x) 0, (x) e i punti di ramificazione di x, vista come rivestimento ramificato di PC 1, con i relativi indici di ramificazione. b) Sia P = [0, 0, 1] C. Calcolare l(np ), n Z