ESERCIZI. Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva ESERCIZI

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1 Indice capitolo Elementi di statistica descrittiva Generalità sulla statistica... 2 Distribuzioni statistiche... 3 Rappresentazioni grafiche... 9 Medie statistiche... 6 Indici di variabilità Applicazioni a problemi reali in sintesi Applicazioni informatiche ESERCIZI Generalità sulla statistica Distribuzioni statistiche Rappresentazioni grafiche Medie statistiche Indici di variabilità Applicazioni a problemi reali Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva capitolo 2 Calcolo combinatorio Raggruppamenti fra gli elementi di due o più insiemi Disposizioni Permutazioni Combinazioni in sintesi Applicazioni informatiche ESERCIZI Raggruppamenti fra gli elementi di due o più insiemi Disposizioni Permutazioni Combinazioni Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva capitolo 3 Calcolo delle probabilità Il concetto di probabilità e la sua evoluzione La probabilità nella concezione classica Altre impostazioni di probabilità La probabilità della somma logica di eventi La probabilità condizionata La probabilità del prodotto logico o composta 0 Concetto di variabile aleatoria o casuale... 5 in sintesi... 8 Applicazioni informatiche... 9 ESERCIZI Il concetto di probabilità e la sua evoluzione La probabilità nella concezione classica Altre impostazioni di probabilità La probabilità della somma logica di eventi La probabilità condizionata La probabilità del prodotto logico o composta 38 7 Concetto di variabile aleatoria o casuale Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva Soluzioni esercizi VII

2 capitolo Elementi di statistica descrittiva prerequisiti Avere buona padronanza del calcolo algebrico Conoscere i primi elementi della geometria analitica conoscenze Essere in grado di analizzare una tabella di dati rilevati Conoscere le principali rappresentazioni grafiche e saper scegliere le più funzionali Conoscere i più semplici valori di sintesi e di variabilità di una distribuzione abilità Saper tracciare e saper leggere rappresentazioni grafiche di dati statistici Saper operare su una tabella per costruire frequenze relative e percentuali Saper calcolare medie statistiche e indici di variabilità percorso Rappresentazioni grafiche STATISTICA DESCRITTIVA Medie statistiche Indici di variabilità di calcolo di posizione

3 capitolo Elementi di statistica descrittiva Vedere esercizi a pag. 39 Generalità sulla statistica La statistica è entrata in questo secolo a far parte della vita quotidiana di ognuno di noi, essendo presente in tutti i mezzi di comunicazione di massa. Sui giornali quotidiani troviamo tabelle, grafici, rapporti percentuali, sia su argomenti di importanza vitale per la società, sia su argomenti di natura meno impegnativa. Espressioni quali ricerca di mercato, sondaggi di opinione, indice di ascolto, prodotto interno lordo, tasso di disoccupazione ecc., fanno parte del linguaggio comune. nota storica La statistica come raccolta di dati su popolazioni, beni posseduti dagli individui, quantità di prodotti agricoli ecc. era già presente in Cina sotto l imperatore Yu (circa 2000 a.c.). In Egitto, per censire terreni e case si inventò il catasto. Nell antica Roma, Servio Tullio istituì il census, che consisteva in una rilevazione ogni 5 anni per conoscere il numero dei cittadini, l ammontare dei loro beni, l andamento delle nascite e delle morti. Nell antichità si raccolsero dati, non solo per la rilevazione del numero di individui e dei loro beni ai fini della riscossione delle tasse, ma anche per lo studio dei moti del Sole e dei pianeti, utilizzando molte osservazioni e misurazioni, effettuate in particolare dagli astronomi babilonesi (circa 2500 a.c.) e da quelli greci (circa 200 a.c.). Il termine statistica, come descrizione della situazione geografica e sociale degli stati, si fa risalire allo studioso tedesco H. Conring (606-68). Una visione più moderna della statistica come metodo di studio è dovuta al belga A. Quêtelet ( ), che sosteneva la necessità di una statistica scientifica legata al calcolo delle probabilità. Con gli studi di K. Pearson ( ) e di R.A. Fisher ( ) si ebbe un notevole progresso sia nella ricerca di relazioni fra due o più caratteri, sia con la teoria del campionamento e con le stime statistiche. Il campo di applicazione della statistica si è notevolmente ampliato, anzi si può dire che ogni ambito dell attività umana, in modo più o meno approfondito, si avvale dei metodi statistici. Nei paesi industrializzati si fa uso quotidianamente dei modelli statistici per rilevare, mediante il controllo statistico di qualità, eventuali variazioni nei processi di produzione e poter quindi intervenire in tempo utile. Varie sono le definizioni di statistica; riteniamo interessante quella proposta da B. Giardina: La statistica, in senso moderno, è propriamente l applicazione dei metodi scientifici alla programmazione della raccolta dei dati, alla loro classificazione, elaborazione, analisi e presentazione e alla inferenza di conclusioni attendibili da essi. (da Manuale di statistica, F. Angeli, Milano, 962) Per tradizione, la statistica si suddivide in: statistica descrittiva, che consiste nella rilevazione e in una prima elaborazione di dati riguardanti fenomeni collettivi; inferenza statistica, che permette di stimare le caratteristiche di un fenomeno collettivo partendo dall analisi di un campione. Nel nostro studio ci limiteremo a esaminare i fenomeni statistici dal punto di vista della statistica descrittiva, in quanto lo studio dell inferenza statistica è molto più complesso e ancora in continuo sviluppo. Il metodo statistico si occupa non di fenomeni singoli, ma di fenomeni collettivi, allo scopo di ricavare le leggi che li governano, o almeno di evidenziare possibili regolarità per poterne prevedere il comportamento futuro. 2

4 paragrafo 2 Distribuzioni statistiche esempio a b La produzione di un azienda agricola è un fenomeno singolo, mentre la produzione delle aziende agricole di una regione è un fenomeno collettivo. La causa della morte del signor Rossi è un fenomeno singolo, invece l analisi della mortalità di una popolazione secondo le varie cause riguarda un fenomeno collettivo. I fenomeni collettivi possono presentare grande variabilità; con i metodi statistici si cerca di sintetizzare i dati utilizzando medie, rapporti, scarti ecc. esempio 2 a b Se consideriamo il reddito dei cittadini italiani, i valori assunti possono essere molto variabili. Mediante un valore medio si sintetizza tutta una serie di dati. Se rileviamo il numero annuo di nascite nelle varie regioni italiane otteniamo dati molto variabili. Mediante il rapporto fra il numero dei nati e la popolazione (detto tasso di natalità) si può analizzare meglio il fenomeno. Si definisce unità statistica il più piccolo elemento sul quale si effettua un osservazione. Si definisce popolazione statistica (o universo, se molto grande) un insieme di unità statistiche fra loro omogenee. esempio 3 Vedere esercizi a pag. 40 a b c d 2 L insieme degli allievi di una scuola rappresenta una popolazione statistica di cui gli allievi sono le unità statistiche. L insieme delle autovetture immatricolate in Italia nel 2008 è una popolazione statistica di cui ogni autovettura è una unità statistica. L insieme dei libri venduti in una libreria in un dato mese è una popolazione statistica di cui i libri sono le unità statistiche. L insieme dei voti espressi dagli elettori in una consultazione elettorale è una popolazione statistica di cui ogni voto è una unità statistica. Distribuzioni statistiche Le fasi fondamentali di un indagine statistica sono essenzialmente due: rilevazione dei dati; elaborazione dei dati. La rilevazione dei dati statistici consiste nel raccogliere le informazioni da una popolazione statistica secondo certi caratteri, ossia certi aspetti del fenomeno, e quindi nel raggrupparli. esempio a b Nella popolazione costituita dalle famiglie di una città si possono rilevare i seguenti caratteri: numero dei componenti, reddito del capo famiglia, possesso dell abitazione, utilizzo dei mezzi di trasporto, provincia di nascita del capo famiglia, titolo di studio ecc. Nella popolazione costituita dalle autovetture di nuova immatricolazione nell anno 2008 da residenti in Italia si possono rilevare i seguenti caratteri: cilindrata, potenza del motore, casa costruttrice, tipo di alimentazione, velocità massima, numero di airbag installati, numero posti ecc. 3 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

5 capitolo Elementi di statistica descrittiva I caratteri statistici si distinguono in: quantitativi; qualitativi. I caratteri quantitativi sono espressi da numeri ottenuti da enumerazioni o da misurazioni e si distinguono in discreti e continui. Precisamente sono: continui, se si esprimono con numeri reali, che possono assumere i valori di un intervallo, come le altezze degli studenti di una classe, i pesi delle casse di un magazzino, l estensione di superfici coltivabili ecc. discreti, se si esprimono generalmente mediante numeri naturali, come il numero dei componenti di una famiglia, il numero dei vani di un appartamento, il numero degli addetti in un settore industriale ecc. I caratteri qualitativi sono espressi mediante aggettivi o nomi, come lo stato civile di un insieme di persone, la nazionalità di un insieme di persone, il sesso delle persone di un insieme ecc. Riassumiamo in uno schema i diversi tipi di caratteri statistici. CARATTERI Quantitativi Qualitativi Continui Discreti prima di continuare Esaminare se sono caratteri quantitativi o qualitativi i seguenti caratteri relativi a una indagine statistica fra gli allievi di una scuola secondaria di primo grado: numero dei fratelli degli allievi, sesso degli allievi, peso degli allievi, comune di nascita, mese di nascita, voto finale in una disciplina, tipo di sport praticato Vedere Algebra, capitolo Da un punto di vista matematico, una rilevazione statistica secondo un carattere opera una partizione della popolazione statistica in sottoinsiemi, ciascuno formato dalle unità statistiche aventi la stessa modalità; inoltre, i sottoinsiemi non vuoti sono disgiunti a due a due e la loro unione è la popolazione statistica stessa. Effettuata una rilevazione statistica, i dati rilevati vengono presentati in tabelle che possono essere a semplice entrata, a doppia entrata e composte, secondo che, rispettivamente, nella stessa popolazione statistica vengano rilevati un solo carattere, due caratteri collegati fra loro, più caratteri. Una tabella a semplice entrata è costituita da due colonne: nella prima sono riportate le modalità del carattere qualitativo o le intensità del carattere quantitativo, nella seconda i valori rilevati o il numero di unità statistiche corrispondenti. Se il carattere è qualitativo, la successione dei dati rilevati è detta serie statistica; se il carattere è quantitativo, la successione è detta seriazione statistica. Per alcune tabelle statistiche si parla di distribuzione statistica proprio per indicare che la popolazione statistica è stata suddivisa fra le varie modalità sia qualitative, sia quantitative. Fra le distribuzioni statistiche hanno particolare rilevanza le distribuzioni di frequenze. In statistica, con il termine frequenza assoluta si intende il numero delle unità statistiche aventi una data modalità. 4

6 paragrafo 2 Distribuzioni statistiche Altre distribuzioni statistiche in cui i valori rilevati sono quantità misurabili, come pesi, lunghezze ecc., sono dette distribuzioni di intensità. Vediamo alcuni esempi di tabelle a semplice entrata sia per caratteri qualitativi, sia per caratteri quantitativi. Tabella Distribuzione degli studenti italiani per tipo di scuola, anno scolastico (ISTAT, Italia in cifre 2007) Tipo di scuola N alunni Dell infanzia Primarie Secondarie di grado Secondarie di 2 grado Totale Si tratta di una serie statistica poiché il carattere è qualitativo, espresso dai tipi di scuola. La distribuzione è una distribuzione di frequenze. A ogni modalità (tipo di scuola) è associato il numero degli allievi che frequentano quel tipo di scuola. I numeri degli allievi sono detti frequenze assolute del carattere. Tabella 2 Produzione complessiva di frumento in Italia secondo le aree geografiche nell anno 2005 (in migliaia di quintali) (ISTAT, Italia in cifre 2007) Aree geografiche Produzione frumento Nord Centro Mezzogiorno Italia 77.7 È una serie geografica o territoriale, in quanto le modalità del carattere sono le aree geografiche in cui è suddivisa l Italia. È una distribuzione di intensità. La totalità della produzione è ripartita in tre sottoinsiemi. Tabella 3 Rilevazione degli investimenti delle imprese per la protezione dell ambiente negli anni (in milioni di euro a prezzi correnti) (ISTAT, Conti nazionali 2008) Anni Investimenti Anni Investimenti Attenzione! Si tratta di una serie, non di una seriazione, in quanto i numeri (anni) non sono dovuti a enumerazioni o misurazioni, ma sono contrassegni Si tratta di una serie storica o temporale, in quanto i dati rilevati sono riferiti a intervalli di tempo (mesi, anni ecc.). Le serie storiche sono molto importanti perché permettono di analizzare come un fenomeno si modifica al passare del tempo. 5

7 capitolo Elementi di statistica descrittiva Tabella 4 Distribuzione delle famiglie residenti in Italia secondo il numero dei componenti (4 Censimento del ISTAT, Annuario statistico italiano 2006, Tavola 26.4) N componenti N famiglie o più Totale Si tratta di una seriazione rispetto a un carattere quantitativo discreto. È una distribuzione di frequenze. Si può considerare una funzione che associa a ogni valore del numero dei componenti il numero delle famiglie corrispondenti. Tabella 5 Distribuzione del parco autovetture per classi di cilindrata (con alimentazione a benzina) nell anno 2006 (ACI, Annuario statistico Tab. III, 24) Classi di cilindrata (cm 3 ) N autovetture oltre Totale Si tratta di una seriazione rispetto a un carattere quantitativo continuo. È una distribuzione di frequenze. In questa tabella il segno significa che a ogni intervallo appartiene l estremo destro e non il sinistro, ossia si dice che ogni intervallo è chiuso superiormente (si hanno anche tabelle in cui è chiuso l estremo sinistro e aperto il destro). Nelle distribuzioni di frequenze, oltre alle frequenze assolute, per avere una migliore valutazione del fenomeno si possono utilizzare le frequenze relative, che si ottengono dividendo ogni frequenza assoluta per la somma di tutte le frequenze. Spesso le frequenze relative si esprimono in percentuale, moltiplicando ogni quoziente per 00. Indicato con X il carattere, una distribuzione di frequenza si può rappresentare con il seguente schema: Carattere X x x 2... x n Frequenza assoluta Y y y 2... y n Indicando con f i le frequenze relative, ossia il rapporto fra ogni y i e la somma di tutte le y i, la tabella può essere rappresentata dallo schema: Carattere X x x 2... x n Frequenza relativa F f f 2... f n 6

8 paragrafo 2 Distribuzioni statistiche esempio 2 Nella Tabella, che è una serie statistica della distribuzione degli studenti secondo il tipo di scuola, si può associare alla colonna delle frequenze assolute la colonna delle frequenze relative. Tabella bis Nella terza colonna calcoliamo le frequenze relative e nella quarta le frequenze relative percentuali: Tipo di scuola N alunni Frequenze relative Frequenze rel. in % Dell infanzia ,866 8,66 Primarie ,332 3,32 Secondarie di grado ,980 9,80 Secondarie di 2 grado , ,22 Totale , ,00 Per ricavare le frequenze relative si divide ciascuna delle frequenze assolute per la loro somma, arrotondando i quozienti ai centesimi, ai millesimi, ai decimillesimi secondo la precisione richiesta. Si ottengono così le frequenze relative: f = ,866 arrotondato ai decimillesimi f 2 = ,332 a rrotondato ai decimillesimi f 3 =.. 0,980 arrotondato ai decimillesimi f 4 = ,3022 arrotondato ai decimillesimi Dalla colonna delle frequenze relative in percentuale si ricava che gli allievi delle scuole dell infanzia sono il 8,66% del totale degli studenti italiani, quelli delle scuole primarie sono il 3,32% del totale degli studenti italiani ecc. esempio 3 Consideriamo la distribuzione di frequenze della Tabella 5, che riporta la distribuzione del parco autovetture per classi di cilindrata (con alimentazione a benzina) nell anno Tabella 5 bis Nella terza colonna calcoliamo le frequenze relative e nella quarta le frequenze relative percentuali: Classi di cilindrata (cm 3 ) N autovetture Frequenze relative Frequenze rel. in % ,0757 7, , , ,450 4, ,094 9, ,0052 0,52 oltre ,032,32 Totale , ,99 7

9 capitolo Elementi di statistica descrittiva Le frequenze relative si ottengono dividendo ogni frequenza assoluta per la somma delle frequenze assolute e arrotondando i quozienti ai decimillesimi, cioè: f f = , =, Notiamo che la somma delle frequenze relative non è, ma 0,9999; ciò è dovuto ai vari arrotondamenti: se si arrotondasse a un numero maggiore di cifre decimali si migliorerebbe la precisione. Dall esame delle frequenze relative in percentuali si osserva che il 39,67% delle autovetture ha una cilindrata compresa fra 800 e 200 cm 3, il 48,50% ha una cilindrata compresa fra 200 e 600 cm 3, e solo l,32% delle autovetture ha una cilindrata superiore a 2500 cm 3. esempio 4 La seguente tabella composta riporta la distribuzione delle famiglie italiane secondo il numero dei componenti rilevanti in due censimenti: 2 Censimento del 98 e 4 Censimento del 200 (vedere anche tabella 4) (Fonte ISTAT): Tabella 6 N componenti 2 Censimento 4 Censimento N famiglie N famiglie o più Totale Calcoliamo le frequenze relative percentuali per le due distribuzioni; da esse è possibile effettuare confronti, meglio che con i dati grezzi (ossia i dati come sono stati rilevati nei censimenti), per esaminare come in 20 anni si è modificata la composizione delle famiglie italiane. Tabella 6 bis 2 Censimento 4 Censimento N componenti Frequenze relative Frequenze relative percentuali percentuali 7,84 24, ,63 27, ,0 2,58 4 2,5 8,96 5 9,52 5,80 6 o più 5,40,69 Totale 00,00 00,00 Confrontando i valori percentuali si rileva che la percentuale delle famiglie con un solo componente è aumentata dal 7,84% al 24,89%, mentre la percentuale delle famiglie con 6 o più componenti è diminuita dal 5,40% all,69%. 8

10 paragrafo 3 Rappresentazioni grafiche Le frequenze relative, soprattutto in percentuale, sono molto utilizzate nello studio delle distribuzioni statistiche, in particolare nella presentazione e nell analisi dei dati. Sono noti a tutti i dati forniti da televisione, radio, giornali, riviste, internet ecc. sugli avvenimenti di attualità. Ad esempio, nel caso di uno sciopero di una categoria di lavoratori, i media parlano di una partecipazione del 70%, o del 35%, dei lavoratori di quella categoria, senza indicare il numero degli aderenti allo sciopero e il totale dei lavoratori appartenenti a quella categoria. prima di continuare Data la seguente tabella della distribuzione per aree geografiche della popolazione residente in Italia al gennaio 2006 (ISTAT, Italia in cifre 2007), determinare le frequenze relative e le frequenze relative percentuali. Aree geografiche Popolazione residente Frequenze relative Frequenze relative percentuali Nord Centro Mezzogiorno Totale , ,00 Vedere esercizi a pag Rappresentazioni grafiche Un primo modo per analizzare le tabelle statistiche è la rappresentazione grafica che permette un esame complessivo del fenomeno oggetto di studio e consente il confronto con rilevazioni effettuate in altri luoghi o in altri tempi. Le rappresentazioni grafiche hanno anche uno scopo divulgativo e per questo sono presenti non solo in pubblicazioni specializzate, ma in giornali, riviste di varia natura ecc. Si possono rappresentare graficamente sia tabelle di dati grezzi, sia tabelle di frequenze assolute o relative. Nella rappresentazione grafica è molto importante la scelta delle unità di misura, che deve tener conto dei valori minimi e massimi dei dati da rappresentare, anche perché una scelta non opportuna può dare un immagine distorta del fenomeno. In statistica si utilizzano diversi tipi di rappresentazioni grafiche secondo il carattere qualitativo o quantitativo e si possono utilizzare vari programmi già predisposti per il computer. Esaminiamo le rappresentazioni grafiche più importanti. Diagrammi cartesiani I diagrammi cartesiani sono utilizzati soprattutto per rappresentare serie storiche e seriazioni nel discreto. Le unità di misura sugli assi sono generalmente diverse. Per rappresentare serie storiche si riportano sull asse delle ascisse gli anni (o in generale i tempi di rilevazione) e sull asse delle ordinate i valori corrispondenti. Si è soliti collegare i punti rappresentativi con una spezzata per evidenziare l andamento del fenomeno nel tempo, oppure si utilizzano altri modi che indicheremo negli esempi. 9

11 capitolo Elementi di statistica descrittiva esempio a Rappresentiamo graficamente la Tabella 3, che riporta gli investimenti delle imprese per la protezione dell ambiente negli anni grafico Investimenti Milioni di euro Anni Dall esame del grafico si rileva che gli investimenti in questi 0 anni sono stati molto variabili con un massimo notevole nel 200 e due minimi nel 997 e nel b Esaminiamo mediante la rappresentazione grafica la seguente tabella. Tabella 8 Produzione di olivo e di agrumi (in migliaia di quintali) in Italia (ISTAT, Annuari statistici italiani ) Anni Olivo Agrumi Anni Olivo Agrumi In uno stesso grafico rappresentiamo le due serie storiche: grafico Produzione di olivo e agrumi Migliaia di quintali Olivo Agrumi Anni

12 paragrafo 3 Rappresentazioni grafiche Dalla rappresentazione grafica possiamo rilevare l andamento delle produzioni di olivo e di agrumi. Entrambe le produzioni sono variabili, nei vari anni; in particolare, la produzione di olivo subisce forti aumenti e altrettante diminuzioni. c Rappresentiamo ora graficamente, mediante un diagramma cartesiano a barre, la seriazione con valori nel discreto della distribuzione delle famiglie italiane secondo il numero dei componenti data dalla Tabella 4. Sull asse delle ascisse poniamo il numero dei componenti, sull asse delle ordinate le corrispondenti frequenze assolute: grafico Composizione delle famiglie Numero famiglie o più Numero componenti Per evidenziare meglio la distribuzione delle famiglie, i valori corrispondenti sono tracciati con tratto più marcato (meno bene sarebbe collegare i punti con una spezzata, perché i valori sono discreti e non esistono valori intermedi fra due successivi). prima di continuare Seguendo il procedimento utilizzato per rappresentare la distribuzione delle famiglie italiane nel 4 Censimento del 200, dare la rappresentazione grafica della distribuzione delle famiglie italiane nel 2 Censimento del 98. Istogrammi Per rappresentare seriazioni con i dati raggruppati in classi, cioè con intervalli consecutivi, si utilizzano particolari diagrammi detti istogrammi. Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, si riportano sull asse delle ascisse tanti intervalli consecutivi che individuano le classi e su ognuno di essi si costruisce un rettangolo in modo che l area sia proporzionale alla relativa frequenza. Per calcolare l altezza dei rettangoli si possono presentare due casi: le classi hanno la stessa ampiezza, perciò i rettangoli hanno uguale base e quindi le altezze risultano proporzionali alle frequenze; le classi hanno ampiezza diversa, allora le altezze si ottengono dividendo la frequenza per l ampiezza della relativa classe. esempio 2 a Rappresentiamo mediante un istogramma la tabella della rilevazione dei ragazzi presenti a uno spettacolo teatrale secondo le classi di età.

13 capitolo Elementi di statistica descrittiva Tabella 9 Classi di età N ragazzi Totale 50 Le classi di questa distribuzione sono intervalli che contengono l estremo sinistro e non il destro: sono dette classi chiuse a sinistra e aperte a destra. L ampiezza delle classi è costante, perciò, dopo aver riportato gli intervalli di età, costruiamo i rettangoli aventi altezza proporzionale alle rispettive frequenze. grafico 4 Numero di ragazzi Presenze a spettacolo Età b Rappresentiamo graficamente la Tabella 5, che riporta la distribuzione del parco autovetture alimentate a benzina secondo classi di cilindrata (cm 3 ). L ultima classe contiene le autovetture di cilindrata superiore a 2500 cm 3 e per rappresentarla si deve fissare l estremo destro dell ultimo intervallo (abbiamo scelto 3000 cm 3 ). Avendo alcune classi ampiezze diverse e quindi i rettangoli basi diverse, dobbiamo determinare le altezze dividendo ogni frequenza per l ampiezza della relativa classe (arrotondando i valori ai centesimi) secondo lo schema seguente: Classi di cilindrata N autovetture Altezza dei rettangoli : 800 = 2.69, : 400 = , : 400 = , : 400 = 5.39, : 500 = 239, : 500 = 603,62 Attenzione! Per tracciare l istogramma tenere conto dell uguaglianza o della diseguaglianza dell ampiezza delle classi. Queste classi sono aperte a sinistra e chiuse a destra. Riportiamo sul piano cartesiano le classi sull asse delle ascisse e costruiamo i rettangoli con le altezze determinate nella terza colonna della tabella. 2

14 paragrafo 3 Rappresentazioni grafiche grafico 5 Distribuzione del parco autovetture alimentate a benzina Classi di cilindrata (cm 3 ) Dall esame della rappresentazione grafica risulta evidente che la maggior parte delle autovetture ha cilindrata compresa fra 800 cm 3 e 600 cm 3. Questo risultato è confermato dalla Tabella 5 bis delle frequenze in %, da cui si poteva dedurre che oltre l 8% delle autovetture ha cilindrata compresa fra quei valori. prima di continuare È data la tabella seguente, che riporta la distribuzione di 20 famiglie secondo la spesa sostenuta (in euro) per spettacoli cinematografici in un mese: Classi di spesa N famiglie Rappresentare la tabella mediante un istogramma. Le classi hanno... ampiezza, perciò le altezze dei rettangoli risultano.... Ortogrammi (o diagrammi a canne d organo) Sono le rappresentazioni grafiche più utilizzate soprattutto per rappresentare serie statistiche di qualunque tipo. Sono costituiti da tanti rettangoli aventi tutti basi uguali secondo le modalità del carattere e altezze proporzionali alle frequenze, o alle intensità, secondo una scala assegnata. esempio 3 a Rappresentiamo con un ortogramma la seguente tabella sulla rilevazione della superficie (in migliaia di ettari) secondo le principali coltivazioni nell anno 2005 (ISTAT, Italia in cifre 2007). Tabella 0 Prodotti agricoli Superficie (migliaia di ettari) Agrumi e fruttiferi 637 Barbabietola da zucchero 253 Olivo.69 Ortive 503 Foraggiere Frumento 2.23 Mais.3 3

15 capitolo Elementi di statistica descrittiva grafico 6 Superficie secondo coltivazioni Migliaia di ettari agrumi e fruttiferi barbabietola olivo ortive Coltivazioni foraggiere frumento mais Si possono rappresentare anche tabelle composte accostando rettangoli riferiti a caratteristiche diverse (maschi e femmine, zone territoriali, nazioni ecc.) per poter effettuare confronti. b Rappresentiamo con un ortogramma la seguente tabella sugli Arrivi di clienti (in migliaia) negli esercizi ricettivi italiani secondo l area geografica nell anno 2005 (ISTAT, Italia in cifre 2007): Tabella Arrivi Nord Centro Mezzogiorno Italia Italiani Stranieri grafico 7 Arrivi clienti N clienti Italiani Stranieri Nord Centro Sud Italia Zone geografiche I rettangoli possono anche essere posti orizzontalmente. Si parla allora di diagramma a nastro, come è indicato nel seguente diagramma della precedente Tabella. grafico 8 Arrivi clienti Stranieri Italiani Nord Centro Sud N clienti I rettangoli possono anche essere posti verticalmente uno sopra l altro. 4

16 paragrafo 3 Rappresentazioni grafiche Diagrammi a settori circolari I diagrammi a settori circolari di un cerchio, o anche di un semicerchio (detti in statistica torte), sono utilizzati per rappresentare distribuzioni di frequenze o di intensità. Si suddivide un cerchio in settori circolari di ampiezza proporzionale alle frequenze, espresse solitamente in forma percentuale. esempio 4 Tabella 2 Distribuzione degli istituti di cura del Servizio Sanitario Nazionale per area geografica nell anno 2003 (ISTAT, Italia in cifre 2007) Aree geografiche N istituti Frequenze (%) Nord ,04 Centro ,42 Mezzogiorno ,54 Italia.28 00,00 grafico 9 Mezzogiorno 42,54% Distribuzione istituti di cura Nord 34,04% Determiniamo l ampiezza degli angoli al centro dei settori di cerchio con la proporzione: α: 360 = 34,04 : 00 α β: 360 = 23,42 : 00 β 84 9 γ : 360 = 42,54 : 00 γ Rappresentiamo i dati nel diagramma a fianco. Centro 23,42% Cartogrammi grafico 0 I cartogrammi servono per rappresentare l intensità di un fenomeno in diverse zone geografiche. Su una carta geografica si contrassegnano le varie parti in cui è suddiviso il fenomeno mediante simboli convenzionali e colori di diversa gradazione. Riportiamo il cartogramma sulla densità della popolazione residente in Italia (numero di abitanti per km 2 ; ISTAT, Italia in cifre 2007) Fino a 00 Da 0 a 200 Da 20 a 300 Oltre MEDIA ITALIA:

17 capitolo Elementi di statistica descrittiva Ideogrammi Sono rappresentazioni mediante figure di grandezza dipendente dall intensità del fenomeno, oppure figure uguali accostate (o parti di figura) secondo la frequenza assoluta del fenomeno. Si utilizzano soprattutto a scopo divulgativo. Diamo l ideogramma degli immigrati residenti in Italia negli anni dal 200 al 2005 (da Il Sole-24 Ore dell marzo 2007). grafico Immigrati residenti in Italia (in migliaia) Vedere esercizi a pag Medie statistiche Dopo aver rilevato i dati di un indagine statistica e dopo aver effettuato una o più rappresentazioni grafiche per visualizzare il fenomeno, si cerca di sintetizzare i dati mediante uno o più valori, detti medie statistiche, per poter confrontare fra loro dati riguardanti fenomeni analoghi in tempi diversi o in luoghi differenti. Secondo la definizione classica di A.L. Cauchy ( ), si considera media di un insieme di numeri un qualsiasi valore compreso fra il minimo e il massimo dell insieme. Si possono avere varie medie in relazione al fenomeno oggetto della rilevazione e al metodo della loro determinazione. Si è soliti distinguere due tipi di medie: medie di calcolo, che si ottengono tenendo conto di tutti i dati rilevati; medie di posizione, che si ricavano tenendo conto solo di particolari valori. Esaminiamo ora le seguenti medie elementari che danno informazioni importanti nello studio di una rilevazione statistica: la media aritmetica, la mediana e la moda. Media aritmetica Fra le medie di calcolo, quella più nota e più utilizzata è la media aritmetica. Si definisce media aritmetica di n valori x, x 2,..., x n il numero che si ottiene dividendo per n la somma dei valori: M = x + x x n n 6

18 paragrafo 4 Medie statistiche La proprietà di questo valore medio è che, sostituito ai dati, mantiene invariata la loro somma; infatti si ha: x + x xn = M + M M = nm da cui si ricava il valore di M. esempio Le votazioni riportate da un allievo nelle verifiche scritte di matematica nel primo quadrimestre sono state: 6 6,5 7 4,5 5 Calcoliamo il voto medio con la media aritmetica: 6 M = + 6, , = = 5,8 5 5 Il valore 5,8 è una votazione non attribuita ad alcuna verifica, ma sintetizza il complesso delle votazioni. esempio Con i dati della Tabella 3, determinare l importo annuo medio degli investimenti (in milioni di euro) delle imprese per la protezione dell ambiente nel periodo Si ricava: M = = = 99.,6 ( milioni di euro) 0 0 Pertanto, nel decennio sono stati investiti in media annualmente.99,6 milioni di euro. Anche in questo caso osserviamo che tale valore non è stato investito in nessun anno, però sintetizza tutti i dati mantenendo costante la loro somma. esempio 3 Nella Tabella 8 è riportata la produzione annua di olivo e di agrumi (in migliaia di quintali) in Italia. Sintetizziamo i dati calcolando la produzione media annua. Per l olivo si ricava: M = = = , 8 (migliaia di quintali) Per gli agrumi si ricava: M 2 = = = , 27 (migliaia di quintali) Per la produzione media di olivo si può dire che il valore medio trovato , 8 è compreso fra la minima produzione 2.95 e la massima nel periodo rilevato. Allo stesso modo, per la produzione media di agrumi si può dire che il valore medio trovato , 27 è compreso fra la minima produzione e la massima nel periodo rilevato. Finora abbiamo esaminato il calcolo della media aritmetica di valori che si presentano una sola volta nella rilevazione. La media aritmetica così determinata viene detta media aritmetica semplice e si applica per le serie statistiche (ad esempio, temporali, territoriali ecc.) Vi sono altre distribuzioni statistiche in cui i valori si presentano con frequenze diverse, e nella media si deve tenere conto non solo dei valori, ma anche delle frequenze assolute, che vengono dette pesi, in quanto i rispettivi valori contribuiscono diversamente al calcolo della media. 7

19 capitolo Elementi di statistica descrittiva esempio 4 In una scuola secondaria di primo grado è stata fatta una rilevazione sul numero di libri della biblioteca letti in un mese dagli alunni e si è ricavata la seguente tabella. Tabella 3 Rilevazione del numero dei libri letti dagli allievi di una scuola secondaria di primo grado N libri letti N allievi Totale 50 Per calcolare il numero medio di libri letti non si deve fare la media aritmetica semplice tra i valori 0,, 2, 3, 4, 5, ma si deve tenere conto del numero degli allievi che hanno letto i libri. Infatti 2 allievi hanno letto zero libri, quindi 0 2 = 0 sono i libri letti da quegli allievi, 26 allievi hanno letto libro, quindi 26 = 26 sono i libri letti da quegli allievi, 44 allievi hanno letto 2 libri, perciò 2 44 = 88 sono i libri letti da quegli allievi; ecc. Pertanto si ha: ( ) 2 volte + ( ) 26 volte ( ) 7 volte M = = = 2,5 50 In pratica, per tener conto delle diverse frequenze si aggiunge alla precedente tabella una colonna con i prodotti di ciascun valore (numero libri letti) per la rispettiva frequenza (numero lettori): N libri letti x i N allievi y i Prodotti x i y i Totali Il valore 375 rappresenta la totalità dei libri letti dai 50 allievi, pertanto si ricava: 375 M = = 50 2,5 Si può dire che in media ogni allievo ha letto, nel mese considerato, due libri e mezzo. In generale, dati n valori x, x 2,..., x n, con pesi y, y 2,..., y n, si definisce media aritmetica ponderata il rapporto fra la somma dei prodotti di ogni valore per il rispettivo peso e la somma dei pesi: M = x y + x 2 y x n y n y + y y n 8

20 capitolo Elementi di statistica descrittiva in sintesi Elementi di statistica descrittiva Distribuzioni statistiche Unità statistica è il più piccolo elemento sul quale si effettua un osservazione. Si definisce popolazione statistica un insieme di unità statistiche fra loro omogenee. Con il termine carattere si intende qualche aspetto di un fenomeno. I caratteri possono essere quantitativi o qualitativi. I caratteri quantitativi sono espressi da numeri ottenuti da enumerazioni o da misurazioni e si distinguono in continui se si possono esprimere con numeri reali di un intervallo, discreti se si esprimono generalmente con numeri naturali. I caratteri qualitativi sono espressi da aggettivi o nomi. Si definisce serie statistica una successione di dati rilevati rispetto a un carattere qualitativo. Si definisce seriazione statistica una successione di dati rilevati rispetto a un carattere quantitativo. In statistica, con frequenza assoluta si intende il numero di unità statistiche aventi una data modalità; con frequenza relativa si intende il rapporto fra una frequenza assoluta e la somma di tutte le frequenze. Rappresentazioni statistiche Si utilizzano vari tipi di rappresentazioni grafiche: diagrammi cartesiani per rappresentare serie storiche e seriazioni nel discreto; istogrammi formati da rettangoli di base uguale o diversa, le cui aree sono proporzionali alle rispettive frequenze, per rappresentare seriazioni con i valori raggruppati i classi; ortogrammi (o diagrammi a canne d organo), costituiti da rettangoli di basi uguali e altezze proporzionali alle frequenze, per rappresentare serie statistiche; diagrammi a settori circolari (detti torte) per rappresentare distribuzioni di frequenze o di intensità; cartogrammi per rappresentare l intensità di un fenomeno in diverse zone geografiche; ideogrammi formati da figure di grandezza proporzionale all intensità del fenomeno, o da figure uguali accostate secondo la frequenza assoluta del fenomeno. Medie statistiche Media aritmetica semplice: è uguale alla somma dei dati divisa per n: M = ponderata: è uguale al rapporto fra la somma dei prodotti dei dati per i rispettivi pesi e la somma dei pesi: M = x y + x 2 y x n y n y + y y n Proprietà: la media aritmetica è quel valore che sostituito ai dati mantiene invariata la loro somma. Mediana è quel valore che bipartisce la distribuzione, ossia è tale che non è inferiore alla metà dei dati ordinati e non è superiore all altra metà. Moda (o valore modale) di una distribuzione di frequenze è la modalità, o il valore della variabile, alla quale corrisponde la massima frequenza. Indici di variabilità Campo di variazione è uguale alla differenza fra il maggiore e il minore dei dati rilevati. Varianza è la media aritmetica semplice o ponderata del quadrato degli scarti. Scarto quadratico medio semplice è la radice quadrata della varianza: σ = x + x x n n ( x M) 2 + ( x 2 M) ( x n M) 2 n Scarto quadratico medio ponderato è la radice quadrata della varianza, se gli scarti sono ponderati: ( ) 2 y + ( x 2 M) 2 y ( x n M) 2 y n x σ = M y + y y n Scostamento semplice medio dalla mediana è la media dei valori assoluti degli scarti fra i valori e la mediana: S Me = x Me + x 2 Me x n Me n Scostamento semplice medio dalla media aritmetica è la media dei valori assoluti degli scarti fra i valori e la media aritmetica. 33

21 Applicazioni informatiche Proposte di laboratorio a) un foglio elettronico con il calcolo delle frequenze b) l algoritmo per il calcolo della media aritmetica c) un foglio elettronico per il calcolo delle medie semplici, della moda e della mediana d) un foglio elettronico per il calcolo della media ponderata e) un foglio elettronico per il calcolo dei vari tipi di medie f) un foglio elettronico con il calcolo degli indici di variabilità a) Foglio elettronico con il calcolo delle frequenze Consideriamo la tabella di dati demografici riportata nella pubblicazione ISTAT Italia in cifre e, partendo dai dati relativi ai residenti per sesso nelle aree geografiche, ricaviamo gli indici di frequenza. Impostiamo il foglio nel modo seguente: zona A5:D0 per inserire i dati in migliaia e calcolare le somme per area e per sesso; zona A3:D8 per calcolare le frequenze riportando a 00 il totale Italia in modo da ottenere una frequenza a carattere territoriale con la formula nella cella B4=B6/B$0 (copiabile in tutta la zona); zona F3:I8 per calcolare le frequenze facendo 00 ogni area in modo da ottenere una frequenza per sesso con la formula nella cella G4=B6/$D6 (copiabile in tutta la zona). Con i due grafici a torta si evince lo stesso risultato in modo grafico. 34

22 APPLICAZIONI INFORMATICHE b) Algoritmo per il calcolo della media aritmetica Il calcolo della media aritmetica si ottiene con la tecnica iterativa, ripetendo un certo numero di volte le stesse operazioni. L algoritmo prevede: la lettura del numero di dati da sommare (variabile n) per poter impostare il ciclo iterativo di lettura e di somma dei dati; l azzeramento della variabile s che deve contenere la somma; la gestione del ciclo con indice (istruzione FOR nei vari linguaggi di programmazione) per leggere uno dopo l altro i singoli valori (variabile a) e sommarli (variabile s); il calcolo del valor medio con la variabile m; la stampa dei valori della somma e della media. La variabile i agisce da contatore, in quanto si incrementa da a n per controllare la chiusura del ciclo. La variabile s agisce da accumulatore, in quanto parte da 0 e contiene le somme parziali fino a ottenere la somma totale dei dati. La variabile m viene calcolata solo al termine del ciclo, dopo aver ottenuto la somma complessiva dei dati. Forniamo il diagramma di flusso e la simulazione dell algoritmo per calcolare la media dei dati dell insieme di 6 elementi: {2, 25, 7, 33, 42, INIZIO 5} LEGGERE n s:=0 i da a n LEGGERE a s:=s+a m:=s/n STAMPARE s,m FINE i a s m c) Foglio elettronico per il calcolo delle medie semplici, della moda e della mediana Proponiamo il calcolo delle medie con il foglio elettronico utilizzando le funzioni di libreria. Le funzioni si ottengono in modo diretto usando il pulsante e scegliendo la categoria statistica. Si può osservare che la libreria comprende molte funzioni specifiche e fornisce per ciascuna di esse: la sintassi, una spiegazione sintetica e una finestra per consentire l utilizzo in modalità guidata. 35

23 capitolo Elementi di statistica descrittiva Come esempio, impostiamo una tabella con le misure dell altezza e del peso di un gruppo di persone. Il foglio contiene: la zona A3:A26 per inserire le lettere identificative delle persone; la zona B3:B26 che contiene le misure dell altezza e la zona C3:C26 per le misure di peso; la riproduzione grafica a istogramma delle due misure; la zona A28:C33 per calcolare alcuni indici statistici con le formule di libreria. d) Foglio elettronico per il calcolo delle media ponderata 36 Per calcolare la media ponderata è possibile impostare i calcoli in modo analogo al procedimento manuale. Come caso esemplificativo, partiamo dai dati relativi alle altezze delle persone già utilizzati nello studio precedente, per costruire le classi di frequenza e calcolare la media partendo dalle classi. Occorre: inserire una colonna D3:D8 con i valori che identificano il valore massimo della classe, ad esempio 80 in D6 indica la classe di altezze h con 70 < h 80; calcolare nella colonna E il valore centrale di ogni classe con la formula in E4=(D3+D4)/2 copiabile nel resto della colonna; calcolare la frequenza mediante la funzione specifica con la formula in F3={FREQUENZA(B3:B26;D3:D9)} calcolare la colonna dei prodotti in G3=E3*D3 copiabile nel resto della colonna; calcolare la somma delle frequenze e dei prodotti; ottenere la media nella cella H0 con la formula =G0/F0.

24 ESERCIZI capitolo Elementi di statistica descrittiva Generalità sulla statistica Verificare le conoscenze A Scegliere la risposta corretta ai seguenti quesiti e, in caso di difficoltà, consultare il paragrafo corrispondente della parte teorica. ) La statistica è una scienza recente? a Sì, è una scienza sorta nel XX secolo. b No, ha avuto origine in tempi antichissimi. 2) La statistica si occupa solo di fenomeni economici e demografici? a Sì, le ricerche riguardano informazioni su persone e beni da esse posseduti. b No, come metodo di studio si può applicare a qualunque attività umana. 3) Che cosa si intende per unità statistica? a Per unità statistica si intende il più piccolo elemento sul quale si effettua un osservazione. b Per unità statistica si intende ogni valore di un insieme di dati. 4) Che cosa si intende per popolazione statistica? a Per popolazione statistica si intende un insieme di persone oggetto dell indagine. b Per popolazione statistica si intende un insieme di unità statistiche fra loro omogenee. B Rispondere per iscritto alle seguenti domande aperte consultando la teoria per la verifica della correttezza. ) Che cos è la statistica? 2) Spiegare che cosa distingue la statistica descrittiva dall inferenza statistica. C Indicare se le seguenti proposizioni sono vere o sono false. ) La statistica è sorta come indagine su persone e beni da esse posseduti. 2) Il metodo statistico non si può applicare a fenomeni fisici, naturali. 3) Con popolazione statistica si intende l insieme di persone che effettuano la rilevazione. 4) In una indagine statistica non interessa un fenomeno singolo, ma interessano fenomeni collettivi. 5) Per unità statistica si intende il più piccolo elemento che può fornire un informazione. V V V V V F F F F F [A. ) b; 2) b; 3) a; 4) b). C. ) vero; 2) falso; 3) falso; 4) vero; 5) vero] 39

25 capitolo Elementi di statistica descrittiva ESERCIZI Sviluppare le abilità Esercizi di primo livello 2 Indicare se i seguenti fenomeni sono collettivi o singoli. a) La misura dell altezza dell Everest. b) La cilindrata di un autovettura prodotta dalla Fiat nell anno c) La produzione di mais nelle varie regioni italiane nell anno d) La temperatura registrata in una città alle ore 0 del mattino di un certo giorno. e) Le temperature registrate ogni ora per 24 ore in una località fissata. Individuare le unità statistiche e la popolazione statistica nelle seguenti rilevazioni. a) La produzione di cereali nelle varie regioni italiane. b) Gli esiti degli esami di Stato nelle scuole superiori italiane. c) I risultati delle votazioni dopo una consultazione elettorale. d) Gli stipendi dei dipendenti di un azienda. e) L ampiezza delle famiglie dei residenti in una città. f) Le vendite annue di telefoni cellulari secondo la marca. 2 Distribuzioni statistiche Verificare le conoscenze A Scegliere la risposta corretta ai seguenti quesiti e, in caso di difficoltà, consultare il paragrafo corrispondente della parte teorica. ) Che cosa si intende per carattere statistico? a Per carattere statistico si intende ogni aspetto di un fenomeno oggetto di una rilevazione. b Per carattere statistico si intende un modo di presentare una rilevazione. 2) Come si esprime un carattere qualitativo? a Un carattere qualitativo si esprime con un attributo o un nome. b Un carattere qualitativo si esprime con una caratteristica della rilevazione. 3) Come si esprime un carattere quantitativo? a Un carattere quantitativo si esprime indicando una relazione fra le unità della popolazione statistica. b Un carattere quantitativo si esprime mediante numeri o intervalli di numeri reali ottenuti con enumerazioni o con misurazioni. 4) Che cosa si intende per serie statistica? a Per serie statistica si intende una successione di dati rilevati secondo un carattere qualitativo. b Per serie statistica si intende un insieme di numeri in successione. 5) Che cosa si intende per seriazione statistica? a Per seriazione statistica si intende una successione di dati rilevati secondo un carattere quantitativo. b Per seriazione statistica si intende un insieme di numeri legati da una legge matematica. 40

26 paragrafo 2 Distribuzioni statistiche ESERCIZI 6) Che cosa si intende per frequenza assoluta? a Per frequenza assoluta si intende il numero delle unità statistiche rilevate. b Per frequenza assoluta si intende il numero delle unità statistiche aventi una data modalità. 7) Che cosa si intende per frequenza relativa? a Per frequenza relativa si intende il rapporto fra una modalità del carattere quantitativo e la frequenza assoluta corrispondente. b Per frequenza relativa si intende il rapporto fra una frequenza assoluta e la somma di tutte le frequenze. B Rispondere per iscritto alle seguenti domande aperte consultando la teoria per la verifica della correttezza. ) Esporre quali sono le fasi principali di un indagine statistica. 2) Indicare con esempi pertinenti la differenza fra caratteri qualitativi e caratteri quantitativi. 3) Spiegare con esempi la differenza fra caratteri quantitativi discreti e caratteri quantitativi continui. 4) Esporre la distinzione fra frequenze assolute, frequenze relative e frequenze percentuali. C Indicare se le seguenti proposizioni sono vere o sono false. ) Le fasi fondamentali di un indagine statistica sono: rilevazione dei dati ed elaborazione dei dati. 2) Per carattere statistico si intende un qualsiasi aspetto rilevabile di un fenomeno. 3) Un carattere è detto quantitativo se le sue modalità si esprimono con numeri qualsiasi. 4) Le modalità di un carattere quantitativo continuo si esprimono con intervalli di numeri reali. 5) La frequenza assoluta è il valore assoluto delle modalità di un carattere quantitativo. 6) Per frequenza relativa si intende il rapporto fra una frequenza assoluta e la somma di tutte le frequenze del carattere. 7) Si definiscono frequenze percentuali le percentuali dei valori discreti assunti da un carattere quantitativo. Sviluppare le abilità Esercizi di primo livello 3 [A. ) a; 2) a; 3) b; 4) a; 5) a; 6) b; 7) b). C. ) vero; 2) vero; 3) falso; 4) vero; 5) falso; 6) vero; 7) falso] Analizzare le seguenti tabelle statistiche distinguendo le serie dalle seriazioni e, in caso di distribuzione di frequenze, calcolare le frequenze relative e le frequenze percentuali. Tabella Rilevazione delle forze di lavoro (in migliaia) nell anno 2006 secondo le zone geografiche (ISTAT, Italia in cifre 2007) Zone geografiche Nord Centro Mezzogiorno Totale Forze di lavoro [Serie territoriale; distribuzione di frequenze. Frequenze relative 0,4973-0,206-0,30] V V V V V V V F F F F F F F 4 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano