x(t) = p(t nt ) p(t) T 2 -A Figura 1.1

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1 Esercizio Calcolare la potenza media del segnale x(t) = p(t nt ) n= dove p(t) è riportato in Fig... p(t) A T T t -A Figura. x(t) è periodico di periodo T. Quindi, indicando con E p l energia del segnale p(t) in un periodo, si ottiene P x = E p T = T T p(t) dt P x = T T A dt = A 4

2 . Sviluppi in serie di Fourier e trasformate di Fourier Esercizio 3 Si calcoli ] lo sviluppo in serie di Fourier del segnale, definito nell intervallo [ T, T x(t) = { π Ae τ t t [ τ, τ ] altrove È necessario calcolare i coefficienti µ n dello sviluppo in serie di Fourier applicando la definizione. Si ottiene µ n = T T x(t)e j π T nt dt = A T T e jπ( t τ n T )t dt T T µ n = A T = A T µ n = Aτ T [ jπ ( τ n ) e jπ( ] t τ n T ) τ e jπ ( t τ n T ) τ T sin [ πτ ( τ n )] ) T = Aτ sin [ πτ ( τ n )] ) T π ( τ n T T πτ ( τ n T sin [ π ( nτ )] T π ( nτ ) = Aτ ( T sinc nτ ) T T Si noti che, per certi valori di τ, alcuni dei coefficienti µ n potrebbero diventare nulli. Per esempio, prendendo τ = T/, si ottiene µ n = Aτ ( T sinc n ) e quindi µ n = per n pari e diverso da. 5

3 Esercizio 5 Si considerino i due segnali x(t) = e kt u(t) y(t) = x(t) sin(θt) πt dove denota il prodotto di convoluzione. Si determini la relazione che deve intercorrere tra le costanti k e θ affinchè l energia di y(t) sia pari alla metà dell energia di x(t). x(t) = e kt u(t) L energia di x(t) si può calcolare facilmente nel dominio del tempo: E x = e kt dt = e kt dt = k Per calcolare l energia di y(t) è opportuno lavorare nel dominio della frequenza, dove il prodotto di convoluzione viene trasformato in un prodotto semplice. (Per semplicità indichiamo con F la trasformazione di Fourier di una funzione del tempo). y(t) = x(t) sin(θt) πt { } sin(θt) Y (f) = X(f)F = πt k + jπf p θ (f) π { } dove per il calcolo di F sin(θt) πt si è utilizzata la proprietà di dualità. E y = + = = θ π Y (f) df = kπ arctan k + 4π f df ( π k f θ π θ π ) θ π k + jπf Imponiamo ora la condizione richiesta dall esercizio. E y = kπ arctan θ k 8 df

4 E y = E x ( ) θ kπ arctan = k k arctan θ k = π 4 θ k = tan π 4 = Quindi la soluzione è θ = k k 9

5 Esercizio 6 dove Si consideri il segnale x(t) = a(t T )e jπf t sin πt T a(t) = πt e f = k T con k una costante strettamente positiva. Calcolare lo spettro di ampiezza di x(t) Calcolare l energia di x(t) Il segnale x(t) si può scrivere come x(t) = a(t T )e jπf t = y(t)e jπf t dove si è posto y(t) = a(t T ). Per la proprietà di traslazione in frequenza la X(f) vale X(f) = Y (f f ) A sua volta, per la proprietà di traslazione nel tempo, la Y (f) vale Y (f) = A(f)e jπft e quindi lo spettro del segnale x(t) si può scrivere come Ponendo f = k T X(f) = A(f f )e jπft e jπf T si ottiene X(f) = A(f f )e jπft e jπk = A(f f )e jπft Inoltre la trasformata di Fourier di a(t) si può calcolare facilmente grazie alla proprietà di dualità, che permette di stabilire che la trasformata di una funzione di tipo sinc è una porta: A(f) = p (f) T A questo punto è banale calcolare l energia di x(t) nel dominio della frequenza sfruttando l uguaglianza di Parseval, ricordando che il modulo quadro di un esponenziale complesso vale sempre : E x = + X(f) df = T

6 Unità. Studio di sistemi LTI Esercizio 7 Un sistema LTI ha risposta all impulso h(t) rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata T. L ingresso vale x(t) = sin (πf t) Si denoti come y(t) l uscita del sistema. Determinare per quali valori di f l uscita è identicamente nulla: y(t) = t. La risposta all impulso del sistema si può scrivere come h(t) = p T (t T/), dove p T (t) è una porta di ampiezza unitaria e durata T, con supporto nell intervallo ( T, T ). La trasformata di Fourier di h(t) è molto facile da calcolare; inoltre la trasformata di x(t) sarà formata da delta di Dirac, dal momento che x(t) è periodico. Queste considerazioni ci fanno propendere per una soluzione nel dominio della frequenza. In particolare la funzione di trasferimento vale H(f) = sin(πft) e jπf πf X(f) = j [δ (f f ) δ (f + f )] Y (f) = X(f)H(f) La condizione Y (f) = è verificata se le delta di Dirac nello spettro di X(f) cadono in corrispondenza degli zeri di H(f), cioè per f = k T k =,...

7 Esercizio 8 Si consideri lo schema in Fig.., dove φ e f sono costanti, e x(t) è un segnale strettamente limitato in banda: X(f) = per f > B. x(t) cos(πf t) X z(t) H(f) y(t) cos(πf t+φ) -B B f Figura. Si supponga f = B. Ricavare un espressione analitica per y(t). E possibile trovare un valore di φ affinchè y(t) = t? Scriviamo esplicitamente il segnale z(t), applichiamo le formule di Werner, e quindi quelle di Eulero: z(t) = x(t) cos (πf t) cos (πf t + φ) = x(t) [cos(φ) + cos (4πf t + φ)] = x(t) cos(φ) + 4 x(t)ej(4πf t+φ) + 4 x(t)e j(4πf t+φ) A questo punto si può calcolare facilmente la sua trasformata di Fourier. Z(f) = cos φx(f) + 4 ejφ X (f f o ) + 4 e jφ X (f + f o ) Come si può notare, questa trasformata contiene tre termini, ovvero lo spettro originale X(f) e due sue versioni traslate. Ci chiediamo come questo spettro venga modificato passando attraverso il sistema LTI, ed in particolare se alcuni di questi termini vengano cancellati. Ciò si può determinare più facilmente per via grafica, facendo un disegno qualitativo, come in Fig.., della trasformata di Fourier Z(f) e della funzione di trasferimento H(f), e disegnando quindi lo spettro del segnale di uscita Y (f).

8 Z(f) ~ X(f) f B B f H(f) f Y(f) f ~ X(f) B B Figura. f In particolare, si noti che per f = B non si ha sovrapposizione in frequenza dei tre termini; inoltre il filtro passabasso ideale cancella le due repliche intorno alle frequenze ±f. Quindi lo spettro del segnale di uscita vale Y (f) = Z(f)H(f) = cos φx(f), e il segnale nel dominio del tempo si può scrivere come y(t) = cos(φ)x(t) Cerchiamo i valori di φ tali per cui y(t) = t. La condizione da imporre è quindi cos(φ) =, che a sua volta implica φ = (k + ) π. 3

9 . Dimostrazione di linearità e invarianza temporale Esercizio 9 L uscita di un sistema è legata all ingresso x(t) dalla relazione: y(t) = t t x(τ)dτ + x(t ) Dimostrare che il sistema è lineare e tempo-invariante. Calcolare la risposta all impulso e la funzione di trasferimento. Per la linearità dobbiamo verificare che l uscita z (t), quando l ingresso è una combinazione lineare di segnali, è pari alla combinazione lineare delle uscite ai singoli segnali: z (t) = t t [a x (τ) + a x (τ)] dτ + a x (t ) + a x (t ) = [ t ] [ t ] = a x (τ) dτ + x (t ) + a x (τ) dτ + x (t ) = t t = a y (t) + a y (t) Per la tempo-invarianza dobbiamo verificare che l uscita z (t) ad un ingresso ritardato sia pari all uscita, ritardata della stessa quantità, corrispondente all ingresso non ritardato: Ponendo τ T = θ z (t) = y(t T ) = z (t) = t T t T t t T t t T x(τ)dτ + x(t T ) x(τ T )dτ + x(t T ) x(θ)d(θ) + x(t T ) = y(t T ) Quindi si può osservare che il sistema è lineare e tempo-invariante. La risposta all impulso si ottiene imponento che l ingresso sia una delta di Dirac, x(t) = δ(t), e calcolando l uscita. Questo calcolo è spesso abbastanza semplice, perchè si possono sfruttare le proprietà delle delta sotto l operatore 4

10 di integrale. In questo caso specifico si noti che l integrale non è tra e, quindi occorre renderlo tale moltiplicando la funzione integranda per una porta. t h(t) = δ(θ)dθ + δ(t ) = t ( = p t ) + δ(t ) + ( δ(θ)p [θ t )] dθ + δ(t ) = A questo punto è semplice ricavare la funzione di trasferimento: H(f) = F {h(t)} = sin ( πf ) e jπf + e jπf = sin(πf) e jπf + e j4πf πf πf 5

11 Unità 3 3. Segnali a potenza media finita Esercizio Un impulso ideale δ(t) è inviato all ingresso del sistema rappresentato in Fig. 3.. Calcolare l energia e la potenza media di y (t) e y (t). Calcolare (se esistono) gli spettri di energia di y (t) e y (t). Dire se il sistema racchiuso nel riquadro tratteggiato è lineare e/o tempo-invariante. δ(t) +jπf e jπft y (t) A e jπft y (t) Figura 3. Dalle tavole della trasformate di Fourier si ottiene che H(f) = + jπf h(t) = u(t)e t 6

12 Quindi il segnale x (t) si ottiene come A loro volta y (t) e y (t) valgono x (t) = δ(t) h(t) = u(t)e t y (t) = u(t)e t e jπfot y (t) = [ A + u(t)e t] e jπf ot L energia di y (t) si calcola facilmente usando la definizione nel dominio del tempo. y (t) è quindi un segnale ad energia finita. + E y = y (t) dt = e t e jπf t dt = e t dt = e t = Il calcolo dell energia di y (t) mostra che l integrale diverge, quindi il segnale è ad energia infinita. Per questo segnale non ha quindi senso calcolare uno spettro di energia. Ey = + y (t) dt = + [ A + u(t)e t ] dt Il calcolo della potenza media di y (t) dà zero. Questo era prevedibile, dal momento che un segnale a energia finita ha necessariamente potenza media nulla. Calcoliamo quindi la potenza media di y (t). L integrale si può calcolare indifferentemente negli intervalli [ T/, T/] e [, T ]. T P y = lim t T = lim t T T T t y (t) dt [ A + u(t)e t ] dt [ = lim A + Au(t)e t + u(t)e t] dt T { = lim A + A T e t dt + T } e t dt t T T { = lim A + A ( e T ) + ( e T )} = A t T T Lo spettro di energia di y (t) vale S y (f) = Y (f) = + jπ (f f ) = + 4π (f f ) 7

13 Verifichiamo la linearità e tempo invarianza del sistema nel riquadro. Applichiamo la notazione compatta L[x] per indicare l uscita del sistema quando il segnale di ingresso è X(t). Per quanto riguarda la linearità: L {a x + a x } = A + [a x (t) + a x (t)] e jπf t L {x } = [A + x (t)] e jπf t L {x } = [A + x (t)] e jπf t L {a x + a x } = a L {x } + a L {x } Quindi il sistema non è lineare. Per la tempo-invarianza: L {x(t θ)} = [A + x(t θ)] e jπf t y (t θ) = [A + x(t θ)] e jπf (t θ) Pertanto il sistema non è neanche tempo-invariante. 8

14 3. Filtraggio di segnali periodici Esercizio Si consideri il segnale periodico x(t) rappresentato in Fig. 3.. Tale segnale viene filtrato con un filtro la cui risposta all impulso h(t) è rettangolare, causale, di ampiezza unitaria e durata T. x(t) -T - T T T 3T t Figura 3. Calcolare: Lo spettro di potenza del segnale filtrato y(t). La potenza media del segnale filtrato y(t). Una espressione analitica per y(t). x(t) è periodico, quindi il suo spettro di potenza è G x (f) = + n= µ n δ(f n/t ). I coefficienti µ n, che determinano univocamente lo spettro di potenza, si possono ottenere dalla trasformata di Fourier del ( segnale ) X T (t) considerato nel periodo fondamentale, ovvero x T (t) = p T/ t T 4. Q x (f) = + n= T X T ( n ) ( δ f n ) T T X T (f) = sin ( πf T e jπf T 4 πf = T sin ( π ft ) π ft e jπf T µ n = T X T = ( n T ) ) = sin ( n π ) n π per n = e jn π per n pari vd. seguito per n dispari 9

15 µ n+ = sin ( (n + ) π (n + ) π = j sin (n + ) π (n + ) π ) µ n = µ n = [ ( cos (n + ) π ) ( j sin (n + ) π )] = = jπ (n + ) per n = per n pari jπn per n dispari 4 per n = per n pari π n per n dispari Lo spettro di potenza del segnale all uscita del filtro si ottiene come G y (f) = G x (f) H(f) = µ T δ(f) = T 4 δ(f) Infatti tutte le altre delta di Dirac nello spettro di potenza G y (f) vengono poste a zero dagli zeri di H(f) (di cui abbiamo omesso il calcolo). Il calcolo della potenza risulta quindi banale: P y = T 4 Il calcolo di un espressione per il segnale y(t) è abbastanza semplice. Visto che il segnale di ingresso è periodico, il segnale di uscita y(t) deve essere anch esso periodico (eventualmente una costante, o pari a zero). La densità spettrale di potenza G y (f) ci dice che y(t) è una costante diversa da zero, in quanto il contributo alla frequenza zero è non nullo. Ci rimane da stabilire il segno (si ricordi che i coefficienti nello spettro di potenza sono in modulo quadro, quindi y(t) potrebbe anche essere una costante negativa). Guardando la Fig. 3. è evidente che il valore medio di x(t) è positivo, e anche la H() è positiva, da cui si deduce che y(t) = T /4 = +T/

16 3.3 Campionamento Esercizio Il segnale ( x(t) = + sin 5t + π ) 6 deve essere campionato e ricostruito esattamente dai suoi campioni quale è il massimo intervallo ammissibile tra due campioni? quale è il numero minimo di campioni necessari per ricostruire s di segnale? Come quasi sempre avviene, gli esercizi sul campionamento richiedono di lavorare nel dominio della frequenza per calcolare la banda unilatera del segnale da campionare. Lo spettro di x(t) vale X(f) = δ(f) + j [ ] e j π 6 δ(f f ) + e j π 6 δ(f + f ) con la sostituzione f = 5/(π), e quindi f = 79.6 Hz. Poichè f è anche chiaramente la banda unilatera del segnale x(t) si ha che la minima frequenza di campionamento vale f c min = f = 59.5Hz e quindi il massimo intervallo tra due campioni risulta T c max = f c min 6ms La minima frequenza di campionamento corrisponde a 59.5, quindi ad almeno 6 campioni di segnale in un secondo.

17 Esercizio 3 Si consideri il segnale con: y(t) = x(t) + x (t) + x (t) x (t) = x(t) cos(πf t) x (t) = x(t) cos(nπf t) e x(t) strettamente limitato in banda a B = KHz. y(t) deve essere campionato in modo tale da poter essere ricostruito a partire dai suoi campioni. La frequenza di campionamento e f c = Khz. Determinare i valori di f e N affinchè: i segnali di ingresso siano spettralmente separati si abbia perfetta ricostruzione di y(t) N sia massimo Il segnale da campionare si può scrivere come segue: y(t) = x(t) [ + cos(πf t) + cos(nπf t) ] Ne calcoliamo lo spettro Y (f) al fine di valutare la banda unilatera, necessaria per calcolare la minima frequenza di campionamento secondo il teorema di Nyquist. [ Y (f) = X(f) δ(f) + δ(f f ) + δ(f + f ) + δ(f Nf ) + ] δ(f + Nf ) = X (f) + X(f f ) + X(f + f ) + X(f Nf ) + X(f + Nf ) Si hanno spettri separati se f B, quindi f KHz. Si ha perfetta ricostruzione se f c B y = (Nf + B). La massimizzazione di N deve quindi rispettare le condizioni: { f KHz Nf + B fc La seconda condizione diventa N f c f B f = 4 f. Quindi il massimo di N si ottiene in corrispondenza del minimo di f, ovvero KHz. Questo dà N max =.

18 .. Esercizio Dato il segnale periodico x(t) = 3A 4 sin(πbt) A 4 sin(3πbt), determinarne il periodo e la densità spettrale di potenza. Rappresentare graficamente lo spettro di Fourier e la densità spettrale di potenza, indicando chiaramente le variabili poste su ascissa e ordinata ed i valori da esse assunti nei punti ritenuti di interesse. Determinare inoltre la potenza della fondamentale e della terza armonica ed il rapporto tra le due potenze in db. Il periodo è /B (inverso della frequenza fondamentale). spettrale di potenza è S x (f) = ( ) 3A ( ( δ f B 8 ( ) A ( ( δ f 3B 8 ) ) ( + δ f + B )) + )). ( + δ f + 3B La densità La potenza della fondamentale è 9A /3, quella della terza armonica è A /3, il loro rapporto è 9.54 db. Lo spettro di Fourier è formato dalla sola parte immaginaria ed è illustrato nel disegno allegato. Im{X(f)} 3A/8 A/8-3B/ B/ -A/8 -B/ 3B/ f -3A/8 6

19 ..3 Esercizio 3 Calcolare la serie di Fourier di x(t) = sen (πf t + φ), la sua potenza in continua e la potenza associata alla armonica fondamentale. Cominciamo notando che, come è evidente dalla figura, il segnale non è.5 sen(.) t[s].8 sen (.) t[s] periodico di periodo T = /f ma x(t + T ) = x(t) t, con T = T / ed f = f. Possiamo poi riscrivere x(t) cosí (sviluppo in forma polare): x(t) = cos(πf t + φ) = = + cos(πft + π + φ). È immediato ora calcolare la potenza in continua P = /4 e la potenza associata alla prima armonica P = /8. Si propongono di seguito gli sviluppi in serie, rispettivamente in forma complessa e rettangolare, del segnale x(t): x(t) = + 4 ej(π+φ) e jπft + 4 e j(π+φ) e jπft, Che è il periodo di sen(πf t + φ) non elevato al quadrato 7

20 da cui X =, X = 4 ej(π+φ), X = 4 e j(π+φ), e x(t) = (cos(πft)cos(φ) sen(πft)sen(φ)), da cui a =, a = 4 cos(φ), b = 4 sen(φ). 8

21 ..4 Esercizio 4 Si consideri il segnale x(t) = Acos (πf t)sin(6πf t + π/4). Determinare lo sviluppo in serie di Fourier del segnale e rappresentare graficamente lo spettro di Fourier. Determinare inoltre la densità spettrale di potenza, la potenza della fondamentale, ed il rapporto in db tra la potenza della fondamentale e della terza armonica. Con semplici manipolazioni si riscrive: x(t) = A ( + cos(4πf t))cos ( 6πf t π ). 4 Si ha: [ A Y (f) = F t))] ( + cos(4πf = A (δ(f) + δ(f f ) + δ(f + f )). Applicando la formula della modulazione si ottiene: X(f) = (Y (f 3f )e jπ/4 + Y (f + 3f )e jπ/4 ). Lo spettro di Fourier è dunque composto da una parte reale ed una parte immaginaria: R{X(f)} = 4 (Y (f 3f ) + Y (f + 3f )), I{X(f)} = 4 ( Y (f 3f ) + Y (f + 3f )), La densità spettrale di potenza è: S x (f) = A ( 6 4 δ(f + 5f ) + δ(f + 3f ) + 4 δ(f + f ) δ(f f ) + δ(f 3f ) + 4 δ(f 5f ) ). La fondamentale è la sinusoide a frequenza f, la terza armonica quella a frequenza 3f. La potenza della fondamentale è A /3, quella della terza armonica è A /8. Il rapporto tra le potenze della fondamentale e della terza armonica è /4, cioè 6 db. 9

22 Y(f) A/ A/4 A/4 -f f f Re{X(f)} A/8 A/8 A/6 A/6 A/6 A/6-5f -3f -f f 3f 5f f Im{X(f)} A/8 A/6 A/6 f 3f 5f -5f -3f -f A/6 A/6 A/8 f

23 . Trasformata di Fourier.. Esercizio 5 Sia dato il segnale e il segnale x(t) = 8 c(t) = ( ) sen(4πt) = 8sinc (4t) 4πt k= ( ) t kt rect, τ treno di impulsi rettangolari di durata τ, ripetuti con passo T. Determinare la trasformata di Fourier del segnale e del segnale y(t) = x(t)c(t) z(t) = x(t)[c(t) /], con τ =.5 sec e T =. sec. È possibile ricostruire il segnale x(t) dal segnale y(t)? Se si, come? La trasformata di Fourier di x(t) è: [ X(f) = f ] rect 4 ( ) f, 8 la trasformata del segnale treno di rettangoli è data, applicando la relazione di campionamento in frequenza, da C(f) = F[c(t)] = ( )] t [rect T F τ = τ T i= ( iτ sinc T i ) δ ( δ f i ) T ( f i ). T Applicando la proprietà di moltiplicazione nel tempo, la trasformata di y(t) vale Y (f) = X(f) C(f)

24 = τ T i = i ( ) ( iτ sinc X f i ) T T ( ( i sinc X f ) i ). Il segnale x(t) si può ricostruire perfettamente filtrando y(t) con un filtro passabasso ideale con guadagno e frequenza di taglio compresa tra 4Hz e 6Hz, poiche le repliche in frequenza non si sovrappongono. Infine la trasformata di z(t) vale: Z(f) = X(f) [C(f) δ(f)] = Y (f) X(f), che è uguale a Y (f) a cui viene tolta la replica centrata in f =, cioé Z(f) = X i ( f i ) ( i sinc.. ).

25 ..4 Esercizio 8 Si consideri il segnale periodico x(t) = ( ) i Asinc (Bt i + ). i= Determinare lo sviluppo in serie di Fourier. Il segnale può essere visto come somma di due segnali periodici, il primo costruito sulle i pari, il secondo sulle i dispari. Ognuno dei due ha periodo /B, quindi la loro somma ha periodo /B. Lo sviluppo in serie si ottiene dal campionamento in frequenza con passo B/. Si applica pertanto la formula: con x(t) = i= ( y t i ) B y(t) = Asinc (B = F B ( t + B Y (f) = F[y(t)] = A ( f B B i= Y ( ib ) ( δ f ib )) ( ( Asinc B t B ) rect ( ) f (e jπf B 4B ), )), e jπf B ), ove si sono usate le tavole delle trasformate notevoli per il sinc ( ) e si è usato anche il teorema del ritardo. Utilizzando questa formula nel campionamento in frequenza si ottiene: X(f) = ja ( i ) i= 4 ( ( ) ( i iπ rect sin δ f 8) ib Antitrasformando si ottiene lo sviluppo in serie cercato: x(t) = 3A 4 sin(πbt) + A 4 sin(3πbt). ). 6

26 .3. Esercizio 8 Con riferimento alla figura, il sistema é lineare tempo-invariante? Puó essere descritto mediante una funzione di trasferimento? s(t) u(t)=s(t)cos( πf t) cos( π f t) Presi due segnali qualunque s (t) e s (t), a cui corrispondono le uscite u (t) e u (t), al segnale z(t) = s (t) + s (t) corrisponde il segnale z u (t) = (s (t) + s (t))cos(πf t) = u (t) + u (t). Il sistema é quindi lineare. Il sistema non é tuttavia tempo-invariante, infatti all ingresso non corrisponde l uscita ma l uscita z(t) = s(t T ), z u (t) = u(t T ) = s(t T )cos(πf (t T )), z u (t) = z(t)cos(πf t) = s(t T )cos(πf t). Non é quindi possibile definire una funzione di trasferimento.

27 .3.3 Esercizio 9 Con riferimento alla figura, in cui é s(t) = sen(πf t) e determinare u(t). H(f) = e jf f, s(t) H(f) u(t) L uscita del sistema risulta u(t) = H(f ) sen(πf t + H(f )). In particolare: Quindi il modulo é: mentre la fase risulta: H(f ) = e e jπ jπ e 4 = e = e (cos(π/4)+j sen(π/4)) = e e j. H(f ) = e =.49, Dunque : H(f ) = =.77. u(t) =.49sin(πf t.77). Nella figura a pagina seguente é mostrata la sinusoide in ingresso e quella in uscita, che risulta evidentemente sfasata. 3

28 .5 per f =/π s(t) t [sec].4. per f =/π u(t) t [sec] 4

29 .3.4 Esercizio In un sistema lineare tempo invariante, dato in ingresso il segnale corrisponde l uscita x(t) = Asen(πf t), y(t) = Af cos(πf t), per qualsiasi A ed f. Determinare la risposta allo scalino del sistema. Calcolare l energia del segnale in uscita al sistema quando l ingresso vale x (t) = sen(4πt). πt per qualsiasi A ed f. x(t) = Asen(πf t), y(t) = Af cos(πf t) = A H(f ) sen(πf t + H(f )) H(f ) = f e j π per qualsiasi f, quindi la risposta in frequenza del sistema è : che corrisponde ad un derivatore. Se H(f) = jf, x (t) = sca(t) jπf + δ(f) = X (f), Y (f) = X (f) H(f) = π π δ(t) = y (t), che è la risposta allo scalino cercata. Dato x (t) = sen(4πt) = sinc(4t) ( ) f πt rect = X (f). 4 Oppure y(t) = d π dt x(t); x (t) = sca(t) = t δ(τ)dτ; y (t) = d π dt x (t) = π δ(t); 5

30 Per il calcolo dell energia di y (t): E y (t) = = = = Y (f) df X (f)h(f) df ( ) f 4 rect f df 4 f df =

31 .3.5 Esercizio Con riferimento alla figura, in cui é e x(t) = sca(t), h(t) = te αt sca(t) H(f) = (α + πf), determinare il valore a cui tende y(t) quando t tende all infinito. x(t) H(f) y(t) Applicando la relazione ingresso-uscita nel tempo dei sistemi lineari stazionari: y(t) = h(t) sca(t) = = t h(τ)sca(t τ)dτ h(τ)dτ, si nota che la risposta allo scalino é l integrale della risposta all impulso. Il valore A a cui tende y(t) per t tendente all infinito si ricava applicando la proprietá dei valori nell origine: y(t) t = = t h(τ)dτ h(τ)dτ = H() = α. 7

32 .3.6 Esercizio Con riferimento alla figura, si calcoli l energia E y di y(t). x(t) -j πfτ +jπfτ y(t) A x(t) -T T t Applicando il teorema di Parseval, si ottiene: E y = = Y (f) df X(f) H(f) df ; la risposta in ampiezza del filtro é unitaria (il filtro é uno sfasatore puro), infatti: H(f) = H(f)H (f) = ( jπfτ)( + jπfτ) ( + jπfτ)( jπfτ) =. 8

33 Dunque il filtro non modifica l energia del segnale in ingresso: E y = = E x = X(f) df = 3 A T. x (t)dt La figura sottostante (nella quale si é supposto τ = ) mostra come evolve la fase del filtro che passa da π a π. 4 3 Fase di H(f) f [Hz] 9

34 .3.7 Esercizio 3 Con riferimento alla figura, si determini la componente continua di u(t). cos(πf t) +e -j πft u(t) Il segnale s(t) all uscita del filtro con risposta in frequenza H(f) = + e jπft vale: s(t) = H(f ) cos(πf t + H(f )), quindi il segnale u(t) all uscita del sistema vale: u(t) = s(t)cos(πf t) = H(f ) cos(πf t)cos(πf t + H(f )) = H(f ) [cos(4πf t + H(f )) + cos( H(f ))] = H(f ) cos( H(f )) + H(f ) cos(4πf t + H(f )). La componente continua A di u(t) vale dunque: dove: A = H(f ) cos( H(f )) = Re[H(f )], Re[H(f )] = ] Re [ + e jπf t ( + e jπf t ) ( + e jπf t ) = = + cos(πf t ) + e jπf t = + cos(πf t ) 5 + 4cos(πf t ). La figura mostra rispettivamente modulo e fase del filtro H(f) per t = ; come si puó vedere H(f) risulta essere periodico. 3

35 .9.8 Modulo di H(f) f [Hz].6.4. Fase di H(f) f [Hz] 3

36 .3.9 Esercizio 5 Dato lo schema in figura z(t) v(t) H(f) y(t) a(t) determinare la trasformata di Fourier del segnale y(t) nell ipotesi che sia a(t) = cos(π(f + f)t) ; con l ingresso z(t) = A x(t)cos(πf t), f = KHz e H(f) filtro ideale passabasso con B = 3KHz cosí specificato Si assuma H(f) = { per f < B per f B. 3 x(t) = kcos(πkf m t), f m = 5Hz k= e si analizzi sia il caso f = sia il caso f = Hz. Calcolare la potenza di y(t) nei due casi. Se z(t) = A x(t)cos(πf t), Z(f) = F[z(t)], X(f) = F[x(t)], allora applicando la proprietà della modulazione si ottiene: Z(f) = A [X(f f ) + X(f + f )], f = KHz. 34

37 Se v(t) = z(t)cos(π(f + f)t) e V (f) = F[v(t)], applicando ancora la proprietà della modulazione si ottiene: V (f) = Z(f f f) + Z(f + f + f) = A [X(f f f) + X(f f) + X(f + f) + X(f + f + f)]; X(f) = ) f = 3 l[δ(f lf m ) + δ(f + lf m )], f max = 5Hz, f m = 5Hz ; l= V (f) = AX(f) + A [X(f ) + X(f + )]; Y (f) = V (f)h(f) = AX(f) y(t) = Ax(t). La potenza di y(t) è: ) f =. KHz P y = A P x = A ( ) = 7A. V (f) = A [X(f ) + X(f + ) + X(f ) + X(f + )]; Y (f) = V (f)h(f) = A [X(f )+X(f+)] y(t) = Ax(t)cos(πt). La potenza di y(t) vale P y = A P x = A ( ) = 3.5A. 35

38 .3. Esercizio 6 Si consideri il segnale x(t) = Acos(πf t). Il segnale x(t) transita attraverso un filtro la cui funzione di trasferimento è H(f) = (α + jπf), α >. Il segnale all uscita del filtro ha la forma y(t) = Bcos(πf t+φ). Determinare: ) i valori di B e φ; ) la potenza P s della sinusoide all uscita del filtro. La funzione di trasferimento del filtro in modulo e fase é: Si ha pertanto: H(f) = α + 4π f ( ) πf arg(h(f)) = arctg. α B = A H(f ), φ = arg(h(f )), P s = B /. In figura sono mostrati modulo e fase del filtro (N.B: la scala delle ordinate del grafico del modulo é logaritmica). modulo di H(f) per α= f [Hz] per α= fase di H(f) f [Hz] 36

39 .3. Esercizio 7 Si consideri il segnale x(t) = ( + Acos(πf t))cos(πf t), f = f. ) Determinare lo sviluppo in serie di Fourier di x(t). Il segnale x(t) è passato attraverso un circuito che lo eleva al quadrato ed è poi filtrato da un passa-basso ideale avente banda pari a 5f. Detto y(t) il segnale all uscita del passa-basso, determinare: ) Il segnale y(t), 3) Il valore di A che rende la potenza della seconda armonica contenuta in y(t) inferiore di 6 db rispetto alla potenza della fondamentale. Sviluppando il prodotto si ottiene: x(t) = cos(πf t) + A (cos(π(f f )t) + cos(π(f + f )t)), che è lo sviluppo cercato (quesito ). Eseguendo la convoluzione di X(f) con se stesso si ottiene la trasformata di Fourier di x (t). Di tale convoluzione interessa la sola parte relativa alle frequenze comprese tra 5f e 5f, in quanto le rimanenti sono oscurate dal passa-basso. Per via grafica si ottiene facilmente: Y (f) = ( ) + A δ(f) + A 4 (δ(f f ) + δ(f + f )) + + A 8 (δ(f f ) + δ(f + f )), antitrasformando si ottiene (quesito ): y(t) = + A 4 + Acos(πf t) + A 4 cos(4πf t). La potenza della fondamentale è A /, quella della seconda armonica è A 4 /3. Affinchè il rapporto tra l una e l altra sia pari a 4 (6 db), deve essere A = ± (quesito 3). 37

40 .3. Esercizio 8 Con riferimento alla figura e dato u(t) = t t T s(τ)dτ, determinare la risposta in frequenza del sistema. s(t) H(f) u(t) La risposta all impulso viene determinata ponendo s(t) = δ(t) : { per t T h(t) = altrove. Ovvero: ( ) t T/ h(t) = rect, T la cui trasformata (rappresentata nella figura alla pagina seguente) é : H(f) = T sinc(ft )e jπf T = T sinc(ft )e jπft. In figura si riporta l andamento del modulo e della fase di H(f) per T = s. 38

41 H(f) f [Hz] 4 fase(h(f)) f [Hz] 39

42 .3.3 Esercizio 9 Si consideri il segnale periodico con y(t) = k= x(t kt ), x(t) = e t/t rect( t T/ ). T Si determini il periodo del segnale, lo sviluppo in serie di Fourier, la potenza della continua, della fondamentale, ed il loro rapporto in db. Il segnale y(t) e filtrato attraverso un passa-basso ideale di banda.5/t. Rappresentare graficamente lo spettro di Fourier del segnale all uscita del passa-basso. Il periodo è T. Per definizione, il k-esimo coefficiente complesso della serie e Y k = T T y(t)e jπkt/t dt = T T e t/t e jπkt/t dt = e + jkπ. Lo sviluppo e dunque La potenza della continua è quella della fondamentale è il loro rapporto in db è y(t) = k= Y k e jkπt/t. P = Y = ( e ), P = Y = ( e ) + 4π, log P P 3 db. Lo spettro di Fourier del segnale z(t) all uscita del passa-basso è costituito dalla continua e dalla fondamentale. Nel fare il grafico occorre fare attenzione nel separare parte reale e parte immaginaria della fondamentale. 4

43 Re{Z(f)} -e -e -e +4π +4π -/T /T f Im{Z(f)} -/T π(-e ) +4π /T π (-e ) + 4π f 4

44 .4.4 Esercizio 34 Si consideri il segnale: x(t) = Acos 3 (πf t + φ). ) Determinare lo sviluppo in serie di Fourier di x(t). ) Determinare la minima frequenza di campionamento necessaria per poter sperare di ricostruire il segnale dai suoi campioni. Si consideri il campionamento ad una frequenza f c superiore a quella minima appena determinata e si immagini di ricostruire il segnale tramite un convertitore digitale-analogico che, quando riceve in ingresso l impulso unitario discreto, presenta all uscita la forma d onda p(t) = e αt u(t), α >. Il segnale convertito viene filtrato tramite un filtro la cui funzione di trasferimento è H(f). 3) Determinare quali condizioni devono essere soddisfatte da H(f) per avere la perfetta ricostruzione del segnale x(t). Eseguendo il cubo si ottiene: x(t) = 3A 4 cos(πf t + φ) + A 4 cos(6πf t + 3φ), che è lo sviluppo richiesto al punto. La frequenza minima di campionamento è pari al doppio della massima frequenza contenuta in x(t), cioè (quesito ): f c > 6f. Dalle tavole delle trasformate, la funzione di trasferimento del convertitore è: Le condizioni su H(f) sono: P (f) = (α + jπf). H(±f ) = P (±f ), per riprodurre la sinusoide a frequenza f, H(±3f ) = P (±3f ), 49

45 per riprodurre la sinusoide a frequenza 3f, H(f) =, f = Kf c ± f, f = Kf c ± 3f, K, per oscurare le sinusoidi relative agli intervalli diversi da quello fondamentale. Qualsiasi H(f) per le altre frequenze, dove il segnale X(f) è nullo. 5

46 .5.3 Esercizio 4 Determinare la trasformata discreta di Fourier su N punti (N DF T ) della sequenza [ ( x[n] = cos π n )] rectn [n] N con rect N [n] = { per n N altrove Dall interpretazione della DF T come finestratura della serie di Fourier della sequenza ripetuta : x[n] x p [n] = l= x[n ln] = y[n]. Calcolando la DF T di y[n] ottengo Y k che poi finestrata con un rettangolo di N campioni (contati mettendo il primo campione nell origine 4 ) dá la DF T cercata. Nel nostro caso: [ ( x[n] = cos π n )] rectn [n] N = rect N[n] + ( cos π ) N n rect N [n] = x + x ; x [n] X k = [N/,,,, ]; }{{} da a N x [n] X k = [,, N/4,,,,, N/4, ]; sommando i due termini si ottiene X k = X k + X k = [N/,, N/4,,,, N/4, ]. Un modo alternativo per calcolare la DF T é applicare la definizione e scrivere la funzione coseno in forma esponenziale 5 : X k = N n= x(n)e jπ k N n = N N k n= e jπ N n + n= N k 4 e jπ N n k+ + n= 4 e jπ N n ; 4 si ricorda che il rettangolo discreto NON é centrato nell origine ma é causale 5 cos (πn/n) = / + / ej4πn/n +e j4πn/n 64

47 Considerando che N e jπ k N n = n= N per k =, ±N, ±N, ±3N e jπ k N N e jπ k N = per k, ±N, ±N, ±3N si ricava per k N : N/ per k = (la prima sommatoria) X k = N/4 per k = (la seconda sommatoria) N/4 per k = ( )mod(n), cioé k = N (la terza sommatoria). In figura é mostrato il segnale di partenza e la sua DF T calcolati per N = 5 campioni..8 N=5 x(n) n 5 N=5 X k k 65

48 .5.4 Esercizio 4 Dato il segnale discreto x[n] = 8 sen ( ) πn 4, πn calcolare l energia del segnale modulato y[n] = x[n]cos(παn) al variare del parametro α. Il sistema è lineare? È tempo-invariante? Si può caratterizzare con una risposta all impulso? Se si, quale? Si ricorda che la trasformata di Fourier di una segnale discreto è periodica nelle frequenze di periodo uno; i calcoli si svolgeranno quindi limitatamente all intervallo / F /. Per il teorema di Parseval l energia di y[n] si può calcolare come: Tenendo conto del fatto che E y[n] = / / X(F ) = 8 rect risulta per la proprietà di modulazione: Y (F ) = X(F ) [ X = [ ( δ ) ( F α Y (F ) df. ( ) F, /4 F α + X ) ( + δ ( F + α F + α )]. Il segnale y[n] è reale e pari quindi Y (F ) è reale e pari: si può limitare l analisi all intervallo di frequenze F /, che corrisponde all intervallo α/ /, cioè α. Per qualsiasi valore di α fuori da questo intervallo valgono i risultati trovati per α modulo. Per α = y[n] = x[n], E y[n] = E x[n] = 64 4 = 6. )] 66

49 Per α/ /8 e 3/8 α/ / c è sovrapposizione parziale nelle due repliche dello spettro centrate in +α/ e α/ : E y[n] = [(/8 α/)64 + 6α] = 6 3α; per /8 α/ 3/8 le due repliche non si sovrappongono: Il sistema è lineare infatti: E y[n] = 8 = E x[n] /. (x [n] + x [n]) cos(παn) = x [n]cos(παn) = x [n]cos(παn), ma tempo variante per α ±, ±, infatti: se x[n] y[n], x[n m] x[n m]cos(παn) x[n m]cos(πα(n m)). Un sistema lineare ma tempo variante non è caratterizzabile da una risposta all impulso. Per α = ±, ±,, cos(παn) =, perciò y[n] = x[n], il sistema lineare tempo invariante è descritto dalla risposta all impulso banale h[n] = δ[n]. Y(F) 4 - α / α/ F /8 /8 α 8 - α 67