Geometria piana e solida: una nota sulla purezza del metodo

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1 89 Geometria piana e solida: una nota sulla purezza del metodo Paolo Mancosu UC Berkeley mancosu@socrates.berkeley.edu Andy Arana KSU at Manhattan andrew.arana@gmail.com Abstract: Traditional geometry concerns itself with planimetric and stereometric considerations, which are at the root of the division between plane and solid geometry. In this note (which is based on a much longer article forthcoming in the Review of Symbolic Logic), our major concern is with methodological issues of purity. In the first part we give a rough sketch of some key episodes in mathematical practice that relate to the interaction between plane and solid geometry. In the second part, we look at a late nineteenth century debate (on fusionism ) in which for the first time methodological and foundational issues related to aspects of the mathematical practice covered in the first part of the paper came to the fore. We conclude this part by remarking that only through an axiomatic and analytical effort could the issues raised by the debate on fusionism be made precise. The third part of the note focuses on Hilbert's axiomatic and foundational analysis of the plane version of Desargues theorem on homological triangles and its implications for the relationship between plane and solid geometry. Finally, building on the foundational case study analyzed in the third section, in the fourth, and last, section we point the way to the analytic work necessary for exploring various important claims on purity, content and other relevant notions. Key Words: geometry, solid geometry, projective geometry, purity of methods, Desargues' theorem, axiomatics, Hilbert, Peano.

2 90 Riassunto: La geometria tradizionale verte su considerazioni planimetriche e stereometriche che sono alla base della divisione tra geometria piana e geometria solida. In questa nota (basata su un articolo molto più esteso in corso di pubblicazione nella Review of Symbolic Logic) la nostra preoccupazione principale riguarda la questione della purezza dei metodi. Nella prima parte diamo un accenno ad alcuni episodi centrali che hanno caratterizzato l'interazione tra geometria piana e solida nella pratica matematica. Nella seconda parte presentiamo un dibattito del tardo ottocento (sul "fusionismo") in cui per la prima volta gli aspetti fondazionali della pratica matematica discussa nella prima parte della nota divennero oggetto di discussione. Concludiamo questa parte notando che le tematiche sollevate dal dibattituto sul "fusionismo" potevano essere rese precise solo con un lavoro assiomatico ed analitico. La terza parte si concentra sull'analisi assiomatica e fondazionale data da Hilbert del teorema piano di Desargues sui triangoli omologici e sulle sue implicazioni per la relazione tra geometria piana e solida. Infine, sulla base dell'episodio fondazionale studiato nella terza parte, la quarta ed ultima sezione dà alcune indicazioni sul lavoro analitico necessario per sondare diverse tesi importanti sulle nozioni di "purezza", "contenuto", ed altre ad esse connesse. Parole chiave: geometria; geometria solida; geometria proiettiva; purezza dei metodi; teorema di Desargues; assiomatica; Hilbert, Peano. La geometria tradizionale si occupa sia di planimetria che di stereometria e questo conduce a distinguere tra geometria piana e solida. Quando ci si pone il problema della relazione tra queste due aree si aprono molti problemi che sono di natura epistemologica, ontologica, semantica, logica e metodologica. Inoltre si presentano naturalmente anche altre questioni legate alla psicologia e alla didattica della matematica. In questa nota (basata su Arana-Mancosu, in corso di pubblicazione) l attenzione si concentrerà su un aspetto metodologico della questione: la purezza dei metodi. Dopo alcuni cenni storici sul ruolo che la geometria solida ha avuto nello sviluppo della geometria piana si passerà all analisi di un caso specifico, il teorema di Desargues nel piano (che chiameremo anche teorema piano di Desargues ). Questo teorema fu dimostrato da Desargues attraverso il ricorso a nozioni metriche (principi di congruenza) che stavano alla base di un teorema che giocò un ruolo centrale nella dimostrazione di Desargues: il teorema di Menelao. Tuttavia lo sviluppo della geometria nel diciannovesimo secolo portò all analisi dei fondamenti

3 91 della geometria proiettiva e al tentativo di eliminare per quanto possibile da quest ultima nozioni non proiettive come la congruenza o la misura. Il teorema piano di Desargues fu fondamentale in questo programma di ricerca. Una dimostrazione puramente proiettiva di tale teorema era già stata data da Poncelet nel Poncelet aveva mostrato come la versione del teorema di Desargues nello spazio (che chiameremo anche teorema solido di Desargues ) aveva come semplice corollario una dimostrazione proiettiva del teorema di Desargues nel piano. L appello alla congruenza nella dimostrazione del teorema piano di Desargues veniva così eliminata attraverso l introduzione dello spazio. Ci si può però legittimamente chiedere se questo appello allo spazio sia legittimo e necessario. La questione della legittimità nasce da considerazioni di purezza dei metodi. La questione della necessità da considerazioni logiche. Si dovette aspettare fino ai lavori di Peano e Hilbert per avere una risposta (positiva) logicamente rigorosa a quest ultima questione. Inoltre questi risultati sono alla base di una discussione più articolata del problema della legittimità o della purezza. Queste considerazioni saranno sviluppate nella parte finale di questa nota. 1. Cenni storici sul rapporto tra geometria piana e solida Nella geometria antica si trovano poche applicazioni interessanti della geometria solida alla geometria piana (naturalmente quella solida richiede la piana). Gli Elementi di Euclide portano ad una separazione netta tra geometria piana e solida (con quest ultima rilegata agli ultimi libri) che influenzerà la presentazione degli elementi di geometria fino al secolo diciannovesimo. Non mancano però, già nel mondo antico, alcune direzioni avanzate di ricerca dove tecniche di geometria solida vengono utilizzate nello studio di problemi di geometria piana. Possiamo menzionare ad esempio la quadratura del cerchio data da Pappo attraverso una

4 92 proiezione dell elica cilindrica per generare la curva quadratrice nel piano. È anche importante notare che la distinzione tra problemi piani, solidi, e lineari data da Pappo è ortogonale rispetto a quella tra geometria piana e solida. La tassonomia data da Pappo concerne il tipo di curve richieste per la soluzione dei problemi (linea e cerchio per quelli piani; sezioni coniche per quelli solidi; e curve più complicate per quelli lineari). La geometria solida di Euclide si trova classificata quindi come piana nella classificazione di Pappo e viceversa problemi piani come la trisezione di un angolo arbitrario risultano solidi. Mentre Pappo critica l uso di curve che non corrispondono alla natura del problema (coniche per risolvere problemi piani ), non ci risulta che il mondo greco abbia sollevato obiezioni esplicite all uso della geometria solida nelle investigazioni di problemi di geometria piana. Nel secolo diciasettesimo si nota uno spiccato interesse per l applicazione di tecniche di geometria solida a quella piana. Valga come esempio quello di Evangelista Torricelli. Nel suo trattato De quadratura parabolae (1644), Torricelli presenta venti dimostrazioni differenti della quadratura della parabola dividendole in dimostrazione classiche (utilizzando la dimostrazione per assurdo) e dimostrazioni con la geometria degli indivisibili di ispirazione Cavaleriana. La cosa veramente sorprendente di questo trattato è l interesse mostrato da Torricelli per l utilizzazione di tecniche di geometria solida nella dimostrazione di un teorema di geometria piana. Tutti i più importanti risultati della stereometria classica euclidea e archimedea sono richiamati e Torricelli dimostra come la quadratura della parabola possa discendere da essi, grazie a tecniche di esaustione o ad argomenti di natura indivisibilista. Naturalmente nessuno di questi usi di geometria solida può venire considerato necessario visto che Archimede aveva già dato delle dimostrazioni puramente piane del teorema. Torricelli non solleva nessun problema metodologico rispetto all uso della geometria solida in questioni di geometria piana. Con lo sviluppo della geometria proiettiva nel secolo diciannovesimo le tecniche di utilizzazione dello spazio per dimostrare teoremi di geometria

5 93 (proiettiva) piana cominciano a mostrare la loro efficacia. La scuola di Monge in particolare si caratterizza per questa costante interazione tra piano e spazio. Nel suo famoso Aperçu del 1837 Chasles caratterizza la scuola di Monge attraverso la propensione per l utilizzazione delle tre dimensioni nella dimostrazione di teoremi nel piano. Concludiamo questi brevi cenni storici ricordando che in geometria elementare la separazione tra geometria piana e solida venne messa in discussione seriamente per la prima volta dal geometra italiano Riccardo de Paolis nei suoi Elementi di geometria (1884). In essi egli sottolineava sia l importanza delle analogie tra geometria piana e solida (angoli-diedri; poligoni-poliedri etc.) sia l importanza di utilizzare lo spazio per la comprensione e semplificazione dei teoremi di geometria piana. Questa posizione fusionista, cioè la richiesta che la geometria piana e solida vengano sviluppate in tandem, furono all origine di un dibattito noto come fusionismo a cui parteciparono geometri italiani, francesi e tedeschi. Il dibattito tra geometri fusionisti e i loro avversari portò a discussioni concernenti tanto la legittimità quanto la necessità del ricorso allo spazio nella dimostrazione di teoremi di geometria piana. Tuttavia per poter seriamente affrontare questo nucleo di questioni col rigore necessario si dovettero attendere i lavoro fondazionali di Hilbert e Peano che affronteremo dopo la seguente sezione. 2. I fondamenti della geometria proiettiva All inizio del secolo diciannovesimo, i cultori di geometria cominciarono a sviluppare i fondamenti della geometria proiettiva indipendentemente dalla geometria euclidea. Alcuni geometri, come Möbius e Plücker, cercarono di costruire una geometria analitica proiettiva analoga alla geometria analitica cartesiana. Altri, come Steiner, si mossero alla ricerca di una geometria senza coordinate che avesse

6 94 però gli stessi vantaggi della nuova geometria analitica proiettiva. Tutti questi programmi di ricerca utilizzavano liberamente considerazioni di natura metrica facendo ricorso o alla nozione di distanza euclidea o ai principi di proporzionalità o congruenza. Tuttavia questi principi non soddisfano l invarianza proiettiva. A partire dalla Geometria der Lage (1847) von Staudt diede origine a un programma di ricerca che aveva come scopo l eliminazione di queste nozioni metriche dalla geometria proiettiva. In un passo del suo lavoro dichiarava: Ho cercato in questo lavoro di trasformare la geometria di posizione in una scienza indipendente che non ha bisogno della nozione di misura. Benché ci fossero ancora dei problemi legati alla continuità che furono risolti solo dopo di lui, il lavoro di von Staudt rese possibile una definizione di un sistema di coordinate prive di metrica a partire da sole considerazioni proiettive. La chiave di volta per questo risultato era una particolare costruzione (costruzione del quadrilatero) che permette, dati tre punti collineari, di trovare unicamente un quarto punto sulla stessa retta degli altri tre, tale che i quattro punti siano fra loro in rapporto armonico (nozione che non abbiamo bisogno di definire qui). Il quarto punto può anche venir trovato tramite considerazioni metriche ma von Staudt, il cui programma richiedeva l eliminazione delle nozioni metriche a favore di quelle proiettive, riuscì nell impresa di determinare questo punto senza ricorrere a queste considerazioni, e impiegando invece il teorema piano di Desargues, il cui enunciato non involve alcuna nozione metrica: Teorema di Desargues nel piano. Se due triangoli complanari sono tali che le linee che connettono i vertici corrispondenti si intersecano in un punto allora le intersezioni dei lati corrispondenti sono collineari (giacciono sulla stessa linea). Come abbiamo già anticipato la prova originale di Desargues fa ricorso a nozioni metriche. Per realizzare lo scopo di von Staudt, occorre tuttavia una dimostrazione scevra da tali considerazioni. Questa era stata fornita da Poncelet nel

7 95 Traité des proprietés projectives des figures (1822). Desargues aveva anche enunciato una versione solida del teorema, la cui dimostrazione è immediata e trascende da considerazioni metriche (per ottenerla basta osservare che due piani si intersecano in una retta, e quindi le linee che connettono i vertici di due triangoli non complanari non possono che incontrasi sulla retta in cui si intersecano i piani a cui tali rette appartengono): Teorema di Desargues nello spazio. Se due triangoli che giacciono su piani differenti sono tali che le linee che connettono i loro vertici corrispondenti si intersecano in un punto allora le intersezioni dei lati corrispondenti sono collineari. Poncelet dimostrò che il teorema piano di Desargues risulta per semplice proiezione sul piano da quello solido, ottenendo così una dimostrazione puramente proiettiva del primo. Questa è la dimostrazione impiegata da von Staudt. Tuttavia tale dimostrazione richiede la geometria dello spazio nonostante il fatto che l enunciato del teorema di Desargues nel piano concerne solo triangoli complanari. Abbiamo cosi raggiunto il nodo teorico che aveva dato origine alla polemica sul fusionismo. Che il fusionismo fosse necessario nei fondamenti della geometria proiettiva fu la conclusione a cui arrivò anche Felix Klein nel suo articolo Über die sogennante Nicht-Euklidische Geometrie (1873). Wiener in un articolo del 1891 osservò, senza fornire una dimostrazione, che il teorema piano di Desargues non si può dimostrare proiettivamente senza passare per lo spazio ed osservò inoltre che la geometria piana proiettiva non e autosufficiente. Peano e Hilbert affrontarono questo problema col rigore metodologico necessario.

8 96 3. Peano e Hilbert L osservazione di Klein sulla necessità di ricorrere allo spazio nei fondamenti della geometria proiettiva si basa sul teorema di Beltrami (1865) che asserisce che una superficie liscia Riemanniana possiede curvatura costante se e solo se può essere proiettata su un piano in modo tale che le geodetiche di quella superficie hanno come proiezione delle linee rette nel piano. Il risultato si applica tanto al piano euclideo quanto a quello proiettivo. Klein interpretava quindi il teorema di Beltrami come l asserzione che una superficie di Riemann di curvatura non costante non può essere rappresentata su un piano in modo tale che le geodetiche di quella superficie si comportino come linee rette nel piano. Nel 1894 Peano sviluppò questa interpretazione e diede lo schizzo di una dimostrazione che i suoi assiomi per la formalizzazione della geometria piana hanno modelli in cui il teorema piano di Desargues non vale. Il suo modello, appena schizzato, utilizza superfici di Riemann di curvatura non costante. Quindi i suoi assiomi per la geometria del piano sono insufficienti per la dimostrazione del teorema piano di Desargues. Quando gli assiomi della geometria del piano sono supplementati da quelli per lo spazio, il teorema piano di Desargues diventa dimostrabile, come prevedibile. Nelle lezioni del Hilbert articolò i suoi assiomi per la geometria dividendoli in cinque classi: I (incidenza), II (ordine), III (parallele), IV (congruenza), V (continuita ). Egli osservò che il teorema piano di Desargues è dimostrabile in questo sistema usando gli assiomi di incidenza nello spazio o alternativamente gli assiomi di congruenza. Dimostrò poi che il teorema piano di Desargues non può essere dimostrato nella geometria del piano a cui manchino alcuni assiomi di congruenza (ossia non è dimostrabile dagli assiomi I 1-2, II, III, IV 1-5 e V). Egli otteneva questo risultato presentando esplicitamente un modello in cui questi assiomi valgono ma il teorema piano di Desargues non vale. Ne consegue che il teorema piano di Desargues non può essere dimostrato coi soli assiomi proiettivi per il piano (I 1-2).

9 97 Nelle sue lezioni sulla geometria euclidea Hilbert commentava il risultato ponendo in evidenza la sua importanza per la questione della purezza dei metodi: Questo teorema ci dà ora l opportunità di discutere una questione importante. Il contenuto [Inhalt] del teorema di Desargues appartiene completamente alla geometria del piano benché per la sua dimostrazione ci sia stato necessario far ricorso allo spazio. Perciò ci troviamo per la prima volta nella posizione di mettere in pratica una critica dei mezzi di dimostrazione. Nella matematica moderna questa critica è utilizzata molto spesso quando lo scopo è quello di preservare la purezza del metodo [die Reinheit der Methode], e cioè dimostrare teoremi, se possibile, utilizzando mezzi che sono suggeriti [nahe gelegt] dal contenuto del teorema.(hallett and Majer 2004, pp ) Una dimostrazione di un teorema è quindi pura o meno a seconda se i mezzi dimostrativi utilizzati sono suggeriti dal contenuto del teorema che viene dimostrato, oppure trascendono questo contenuto. Dato che il contenuto del teorema *piano+ di Desargues appartiene completamente alla geometria del piano considerazioni che fanno appello allo spazio non sembrano essere suggerite dal contenuto del teorema. Perciò Hilbert sembra considerare impure le dimostrazioni del teorema piano di Desargues che utilizzano lo spazio. Hilbert dimostrò inoltre che se una geometria piana soddisfa gli assiomi I 1-2 (gli assiomi di incidenza nel piano), II (gli assiomi dell ordine), e III (assioma delle parallele) allora il teorema piano di Desargues è condizione necessaria e sufficiente affinchè quella geometria del piano risulti un elemento di una geometria dello spazio che soddisfa tutti gli assiomi di incidenza (inclusi quelli dello spazio) oltre agli assiomi II e III. In altri termini, un piano che soddisfa gli assiomi I 1-2, II, III ed il teorema piano di Desargues, soddisfa anche gli assiomi di incidenza nello spazio I 3-7. Hilbert dimostrò questo risultato mostrando prima di tutto come in una geometria del piano che soddisfa gli assiomi I 1-2, II, III ed il teorema di Desargues si possa costruire un algebra di segmenti che ha la struttura di un anello di divisione ordinato. Mostrò poi come un anello di divisione ordinato può essere utilizzato per costruire un modello degli assiomi I, II, e III, ovvero un modello della geometria dello

10 98 spazio (gli assiomi d ordine sono inessenziali). Ecco come nelle lezioni del Hilbert riassumeva la situazione: Quindi il teorema di Desargues sarebbe la condizione che garantisce che il piano stesso è distinto nello spazio e possiamo quindi dire che tutto ciò che è dimostrabile nello spazio è già dimostrabile nel piano dal teorema di Desargues. In altre parole, il teorema di Desargues può essere utilizzato come sostituto degli assiomi solidi; nel sistema di Hilbert esso ha esattamente le stesse conseguenze dimostrabili degli assiomi spaziali. 4. Il problema del contenuto In un articolo recente (Hallett 2008) e nelle sue introduzioni alle lezioni di Hilbert sulla geometria pubblicate nel primo volume della Hilbert Edition (Hallett and Majer 2004), Michael Hallett ha tratto delle conseguenze interessanti, ma a nostro parere discutibili, sulla nozione di contenuto del teorema di Desargues e sulla questione della purezza dei metodi. Nel suo articolo del 2008 Hallett scrive: What this shows is that the Planar Desargues s Theorem is a sufficient condition for the orderly incidence of lines and planes, in the sense that it can be used to generate a space. We thus have an explanation for why the Planar Desargues s Theorem cannot be proved from planar axioms alone: the Planar Desargues s Theorem appears to have spatial content. (p. 229) Inoltre nella sua introduzione alle lezioni di Hilbert del Hallett osserva che il lavoro di Hilbert reveals that Desargues planar Theorem has hidden spatial content, perhaps showing that the spatial proof of the Planar Theorem does not violate Reinheit after all (pp ). Quindi Hallett sostiene che il lavoro di Hilbert ci deve condurre a rivedere il nostro giudizio su cosa debba essere una dimostrazione pura del teorema piano di Desargues. Mentre a prima vista potrebbe

11 99 sembrare che considerazioni facenti appello allo spazio nella dimostrazione del teorema piano di Desargues diano luogo a impurità, Hallett ritiene che il lavoro di Hilbert ci debba portare a rivedere questa intuizione in quanto mostrerebbe che il teorema piano di Desargues abbia un contenuto spaziale (o solido) nascosto. Questa posizione di Hallett fa appello alla nozione di contenuto nascosto di ordine superiore sviluppata da Dan Isaacson nel contesto di alcuni lavori volti a fornire una interpretazione dei risultati di incompletezza di Gödel per l aritmetica di Peano. Nel nostro articolo (Arana-Mancosu, in corso di pubblicazione) sviluppiamo un analisi dettagliata tanto della concezione di contenuto nascosto di ordine superiore di Isaacson quanto delle conseguenze per la purezza dei metodi che ne discendono secondo Hallett. L aspetto centrale della questione è che la nozione di contenuto proposta da Hallet in base alla considerazione dell analisi hilbertiana del teorema di Desargues è basata sul ruolo deduttivo giocato da tale teorema entro un sistema assiomatico. Questa nozione è molto vicina a quella di contenuto come equivalenza deduttiva (all interno di una teoria di base) articolata da Carnap. Hallett vede nel teorema piano di Desargues un enunciato dal contenuto solido (nascosto) proprio perché entro una certa teoria assiomatica il teorema di Desargues gioca lo stesso ruolo deduttivo degli assiomi dello spazio. La nostra critica alla posizione di Hallett è basata sulle seguenti cinque obiezioni che qui vengono semplicemente elencate ma non argomentate (rinviamo al nostro articolo tanto per un articolazione della tesi di Hallett che per una argomentazione dettagliata a sostegno delle nostre critiche): a) Se il contenuto del teorema piano di Desargues fosse spaziale ne seguirebbe che un essere dotato di credenze e concetti piani ma che non abbia credenze o concetti spaziali non riuscirebbe a comprenderlo, ciò che appare poco plausibile. b) Sostenere che il teorema piano di Desargues ha un contenuto solido a causa del suo ruolo nel sistema assiomatico di base hilbertiano richiede

12 100 una profonda analisi metateorica tale quella condotta da Hilbert. Ma che cosa dire di enunciati che non sono ancora stati analizzati metateoricamente o, peggio ancora, di cui non si sa se siano veri o falsi (come la congettura dei numeri primi gemelli)? Intuitivamente comprendiamo (il contenuto del-) la congettura dei primi gemelli anche se non ne abbiamo una dimostrazione od un analisi metateorica. c) La posizione di Hallett implica un contestualismo radicale rispetto al contenuto. Il ruolo giocato dal teorema di Desargues cambia radicalmente a seconda che l enunciato faccia parte di una geometria (metrica) con assiomi di congruenza o di una sola geometria proiettiva. Eppure l enunciato è lo stesso in entrambe i casi. d) All interno di un contesto assiomatico con gli assiomi I 1-2, II, e III ed il teorema piano di Desargues, Hallett attribuisce contenuto spaziale solo a quest ultimo. Ma ammesso e non concesso che il teorema piano di Desargues abbia contenuto solido, è illecito attribuire questo contenuto al solo teorema di Desargues. Infatti le conseguenze spaziali appartengono all intero sistema e non al solo enunciato di Desargues. È vero che senza l enunciato di Desargues le conseguenze spaziali non vengono assicurate ma l enunciato da solo, senza gli altri assiomi, è a sua volta incapace di produrre queste conseguenze. Sarebbe quindi più corretto dire che le conseguenze spaziali sono in parte il risultato dell enunciato di Desargues e in parte dei rimanenti assiomi. Ma allora, se il teorema piano di Desargues avesse un contenuto spaziale, questo dovrebbe essere il caso anche di questi ultimi assiomi, per esempio dell assioma I.1. e) Dall analisi della nozione di contenuto difesa da Hallett consegue che ogni teorema ha una dimostrazione pura. Ci sembra implausibile che questo sia vero a priori in quanto conseguenza di un analisi della nozione di

13 101 contenuto. La purezza ne risulterebbe trivializzata. Ne concludiamo che la nozione di contenuto fornita da Hallett puo risultare interessante per altri scopi ma non al fine di chiarificare i giudizi di purezza che sono usuali nella pratica matematica. La nozione di contenuto che a nostro parere risulta utile per una chiarificazione del concetto di purezza di una dimostrazione deve invece essere legata alla comprensione del significato dell enunciato di un teorema e non al suo ruolo deduttivo all interno di un sistema assiomatico. Inoltre la nostra posizione sul teorema di Desargues è la stessa che ci pare sia stata sostenuta dallo stesso Hilbert: il teorema piano di Desargues non ha una dimostrazione pura in un contesto proiettivo. Ringraziamenti. Desideriamo ringraziare Abel Lassalle Casanave per averci dato lo stimolo a scrivere questa nota e Marco Panza per preziosi suggerimenti di stile e contenuto. Bibliografia ARANA, A. e MANCOSU, P. On plane and solid geometry, in corso di pubblicazione nella Review of Symbolic Logic. CHASLES, M. Aperçu Historique sur l Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie. M. Hayez, Bruxelles, DE PAOLIS, R. Elementi di Geometria. Loescher, Torino, DETLEFSEN, M. "Purity as an ideal of proof". In: Paolo Mancosu (ed), 2008, pp DETLEFSEN, M. e ARANA, A. "Purity of methods". Philosophers' Imprint, 110(2): 1-20, 2011.

14 102 HALLET, M. "Reflections on the Purity of Method in Hilbert s Grundlagen der Geometrie". In: Paolo Mancosu (ed), 2008, pp HALLET, M. e MAJER, U. (eds). David Hilbert s lectures on the Foundations of Geometry, Springer-Verlag, Berlin, HILBERT, D. Grundlagen der Geometrie. B.G. Teubner, Leipzig, Foundations of Geometry. Open Court, La Salle, IL, Traduzione inglese dei Grundlagen der Geometrie (B.G. Teubner, Leipzig, 1899). ISAACSON, D. "Arithmetical truth and hidden higher-order concepts". In: The Philosophy of Mathematics, a cura di W.D. Hart, pagine Oxford University Press, Pubblicato originariamente in Logic Colloquium 85, the Paris Logic Group (eds.), Amsterdam, North-Holland, 1987, pp KLEIN, F. "Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen, 6: , MANCOSU, P. (ed) The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford University Press, PAPPUS. Collectionis Quae Supersunt. Weidman, Berlin, vols. PEANO, G. "Sui fondamenti della Geometria". Rivista di Matematica, 4:51 90, PONCELET, J-V. Traité des Proprieetés Projectives des Figures. Bachelier, Paris, TORRICELLI, E. Opera Geometrica, Firenze. In Opere di Evangelista Torricelli. Stabilimento Tipografico Montanari, Faenza, VON STAUDT, K. G. C. Geometrie der Lage. F. Korn, Nürnberg, WIENER, H. "Über Grundlagen und Aufbau der Geometrie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1: 45 48, 1892.