MATEMATICA. sulla SCACCHIERA

Transcript

1 MASSIMO NIOEMO MAEMAIA sulla SAHIERA

2

3 PREFAZIONE La matematica ricreativa può costituire un piacevole passatempo per l'appassionato, ma anche un'occasione per avvicinarsi alla matematica con lo spirito del gioco. Questa raccolta di problemi, alcuni dei quali hanno destato l'interesse di matematici illustri, come Gauss ed Eulero,vuole essere, quindi, un divertissement per chi ama la matematica e un invito a scoprirne il fascino per chi, vittima di pregiudizi del tutto infondati, non ha mai sospettato che essa richiede intuito e fantasia, e può essere fonte di un intenso piacere intellettuale. Buon divertimento! L'Autore

4 Ringrazio mio figlio Nicola per la preziosa collaborazione.

5 I LA SAHIERA

6 6

7 oordinate Fissiamo un riferimento su una scacchiera n x n indicando le colonne e le traverse con i numeri da 0 a (n-) in modo che ogni casa sia individuata da una coppia ordinata (i,j), nella quale i indica la colonna e j la traversa di appartenenza. In figura è rappresentata una scacchiera standard ( n = 8 ): Osserviamo che: )Le case (i,j) e (h,k) appartengono ad una stessa diagonale se: a) i-j = h-k ( diagonale ascendente) b) i+j =h+k ( diagonale discendente) ) Il colore della casa (i,j) è: nero se i+j è pari bianco se i+j è dispari. ) Le case (i,j) e (h,k) sono in opposizione se i-h e j-k sono entrambi pari. )La scacchiera esemplifica una delle tre possibili pavimentazioni regolari del piano (pavimentazioni eseguite usando poligoni regolari di un sol tipo). In questo caso, infatti, se si vogliono adoperare mattonelle d'una sola forma, bisogna che l'angolo interno del poligono sia contenuto esattamente un certo numero di volte nell'angolo giro, affinché sia possibile coprire il piano accostando più mattonelle. Soddisfano a questa condizione solo tre poligoni regolari: il triangolo equilatero, il quadrato e l'esagono regolare. 7

8 istanze efiniamo distanza fra le case A = (i,j) e B = (h,k), il numero: d(a,b) = max ( i-h, j-k ) ( distanza di chebichev) Si può dimostrare che tale definizione rispetta le proprietà che caratterizzano una distanza, ovvero: I) d(a, B) = 0 A = B II) d(a, B) = d(b, A) (simmetria) III) d(a, B) d(a, )+d(, B) (disuguaglianza triangolare) IV) d(a, B) 0 Questa definizione di distanza si usa per il movimento del Re e della onna. Per la orre si usa la distanza del taxi ( o di Manhattan),così definita: d(a,b) = i-h + j-k. ale distanza si usa anche per l'alfiere sulla scacchiera ruotata di gradi, ovvero assumendo come assi le diagonali uscenti dalla casa dell'alfiere. E' da notare che per spostarsi da una casa all'altra, il Re ha bisogno di un numero di mosse uguale alla distanza; orre, onna e Alfiere hanno bisogno solo di una o due mosse. Le due definizioni di distanza che abbiamo considerato sono casi particolari della distanza di Minkowski: d(a,b) = ( i-h m + j-k m )/m particolarizzando i valori di m si ottiene: m= m distanza di Manhattah distanza di chebichev 8

9 La distanza euclidea, che ci è più familiare, si ottiene per m =. Per chiarire la differenza tra le due definizioni di distanza, consideriamo la seguente scacchiera nella quale sono indicate le case A(,) e B(,6): B A la distanza di chebichev fra le due case è : d(a,b) = max ( -, 6- ) = passi di Re ( in verde nella figura ) il che vuol dire che un Re ( o una onna) deve attraversare case (minimo) per spostarsi da A a B. La distanza di Manhattan fra le due case è : d(a,b) = = 8 passi di Re (in rosso nella figura) il che vuol dire che una orre deve attraversare 8 case (minimo) per spostarsi da A a B. Nel conteggio delle case è esclusa quella di partenza ed è inclusa quella di arrivo. Nel gioco degli scacchi, la distanza fra due case svolge un ruolo fondamentale soprattutto nei finali che coinvolgono Re e pedoni, per tale motivo, quando si parla di distanze sulla scacchiera ci si riferisce tacitamente alla distanza di chebichev. 9

10 Ordine L'ordinamento lessicografico rappresenta la soluzione più naturale per introdurre una relazione d'ordine sulla scacchiera: in un dizionario, la parola P precede la parola P (scriveremo P < P) se la lettera iniziale di P precede (nell'alfabeto) la lettera iniziale di P. Se le lettere iniziali sono uguali, il confronto si sposta sulla seconda lettera, e così via. Allo stesso modo, date le case (i, j) e (h, k) diremo che (i, j) < (h, k) se: ) i < h oppure ) i = h e j < k Esempio : (, ) < (, ) perché < nell'alfabeto (0,,,,,,6,7) (, ) < (, 6) perché < 6 Esempio : se indichiamo le case nella consueta notazione scacchistica, l'esempio precedente diventa d < f perché d < f nell'alfabeto (a, b, c, d, e, f, g, h) d < d7 perché < 7 nell'alfabeto (,,,,, 6, 7, 8). L'ordine lessicografico può risultare utile, ad esempio, per classificare le varianti d'apertura nel gioco degli scacchi: l'ordine di due varianti coincide con l'ordine delle case di arrivo dei pezzi nella prima mossa per cui esse differiscono. A parità di casa di arrivo, vale la casa di partenza. Esempio: consideriamo le varianti A: ) e, e; ) f, c6; )Ac B: ) e, e; ) f, c6; )Ab diciamo che B < A perché b < c. Questo tipo di classificazione ha il difetto di assegnare un ordine diverso a varianti che, per trasposizione di mosse, conducono alla stessa posizione. 0

11 Scacchiera + Pezzo = Grafo! ata una scacchiera e un pezzo, diciamo che due case sono adiacenti (unite da un arco) se il pezzo può spostarsi da una casa all'altra con una mossa. La scacchiera e il pezzo, quindi, definiscono un grafo i cui nodi sono le case della scacchiera e i cui archi sono le mosse del pezzo. onsideriamo, come esempio, la seguente scacchiera x : e costruiamo alcuni semplici grafi: -Grafo dell'alfiere camposcuro: -Grafo dell' Alfiere campochiaro:

12 -Grafo del avallo -Grafo del Re In analogia con la teoria dei grafi, diamo la seguente definizione: icesi grado di una casa, relativamente a un dato pezzo P, il numero di case che il pezzo può raggiungere, con una mossa, quando è situato su quella casa. iciamo che una casa è dominata da un pezzo, se risulta occupata o controllata dal pezzo.

13 opo questo breve tour intorno alla scacchiera, consideriamo alcuni problemi che la vedono protagonista. Problema n. ( la leggenda di Sissa ) Il problema più conosciuto è quello legato alla leggenda di Sissa: secondo la leggenda, Sissa Nassir, l inventore degli scacchi, chiese, come ricompensa, al re di Persia un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due chicchi per la seconda, quattro chicchi per la terza e così via raddoppiando fino alla 6-ma,come mostra la seguente figura: = La domanda è: quanti chicchi di grano spettano a Sissa? Soluzione Sia N il numero da determinare: N =

14 N è la somma dei primi 6 termini di una progressione geometrica di primo termine a = e ragione q =, per cui, applicando una notissima formula, si ottiene : N = Se 0 chicchi di grano pesassero un grammo, Sissa avrebbe diritto a circa 000 miliardi di tonnellate di grano!! Appendice (capziosa) al problema n. Se la scacchiera fosse stata infinita (costituita da infinite colonne e infinite traverse), quanti chicchi di grano avrebbe dovuto ricevere Sissa? Sia N il numero cercato: N = N = +( ) N = +N N = - ovvero: Sissa avrebbe dovuto dare un chicco di grano al re di Persia! E' evidente che in questo calcolo qualcosa non quadra. ov'è l'errore? Problema n. Quanti quadrati si possono individuare su una scacchiera? Soluzione I quadrati di lato unitario sono 6, per i quadrati di lato possiamo ragionare così: consideriamo il quadrato costituito dalle caselle 0,0, 0,,,,,0 e trasliamolo verso destra di una colonna alla volta, è evidente che otteniamo (contando il quadrato iniziale) 7 quadrati. Se per ognuno dei 7 quadrati ripetiamo la traslazione in senso verticale,ognuno genererà 7 quadrati, per cui i quadrati di lato sono 9. Ragionando in modo analogo si conclude che i quadrati di lato sono 6, quelli di lato sono e così via. E abbastanza agevole arrivare ad una formula chiusa :

15 i quadrati di lato k sono (9-k) k 8 Il numero totale dei quadrati sarà: 9 k k 8 poiché k 8 anche 9-k 8 per cui il numero totale dei quadrati è k k 8 ovvero la somma dei quadrati dei numeri da a 8, che vale 0. Il problema si può generalizzare al caso di una scacchiera n x n : numero dei quadrati di lato k : (n+-k) k n numero totale dei quadrati : k = n n n 6 k n Se la scacchiera fosse rettangolare m x n (m n), si avrebbe, ragionando in modo analogo a quanto fatto per il caso precedente, che il numero dei quadrati di lato k è dato da: (n-k+)(m-k+) e il numero totale dei quadrati è dato, ponendo n = m+t, da: k m k m k m t = m m m t 6 Problema n. Quanti rettangoli si possono individuare su una scacchiera? Soluzione Per risolvere questo problema conviene vedere la scacchiera come una griglia formata dall intersezione di 9 rette verticali e 9 orizzontali

16 ( le rette che delimitano i bordi e quelle che fanno da separazione tra le colonne e le traverse della scacchiera). Ora possiamo ragionare così: per individuare un rettangolo basta fissare due rette verticali e due rette orizzontali. Le due rette verticali possono essere scelte in 9 modi e così anche le due rette orizzontali, per cui il numero dei rettangoli è 9. 9 = 96 tra questi rettangoli ci sono anche i quadrati, per cui i rettangoli non quadrati sono 96 0 = 09. Il problema si generalizza facilmente per una scacchiera n x n: numero rettangoli: n. n = [ n n ] Numero dei rettangoli non quadrati: [n n ] n n n n n n = 6 Se la scacchiera fosse una m x n, si avrebbe, con ragionamento analogo a quello seguito per il caso precedente: numero rettangoli = m n Problema n. (La scacchiera mutilata) Sia data una scacchiera mutilata, dalla quale, cioè, sono state eliminate case, e si disponga di tessere del domino (ciascuna delle quali atta a ricoprire esattamente due case adiacenti della scacchiera), ci chiediamo: è possibile pavimentare la scacchiera disponendo le tessere orizzontalmente (sulle traverse) oppure verticalmente (sulle colonne) in modo che ogni tessera copra (senza sovrapposizioni) case? 6

17 Soluzione (teorema di Gomory) Bisogna distinguere fra due ipotesi: ) Le case eliminate sono dello stesso colore. ) Le case eliminate sono di colore diverso. Nel primo caso il problema non ha soluzione. Infatti, ogni tessera copre una casa bianca ed una nera e, quindi, le tessere devono coprire case bianche e nere... ma sulla scacchiera ci sono 0 case di un colore e di un altro! Nel secondo caso il problema ammette soluzione. Infatti, supponiamo che vengano eliminate la casa nera (i,j) e la casa bianca (x,y). i sono due possibilità: I) i e x hanno la stessa parità II) i e x hanno parità diversa. imostriamo che la soluzione esiste ipotizzando, senza perdere in generalità, che i e x abbiano la stessa parità. Se i e x hanno la stessa parità, allora j e y hanno parità diversa (non dimentichiamo che i+j è pari e x+y è dispari). Le due case eliminate individuano sulla scacchiera un rettangolo di cui esse sono due case d'angolo opposte. Le altre due case d'angolo sono (i,y) e (x,j), come mostrato nella seguente figura: i,y x,y i,j x,j Le misure dei lati di tale rettangolo ( espresse in caselle ) sono: Base: b = x-i + (dispari) Altezza: h = y-j + ( pari) 7

18 Osserviamo che la scacchiera privata delle case (i,j)e (x,y) si può scomporre in rettangoli aventi ognuno un lato costituito da un numero pari di case, come mostrato nella seguente figura: Per maggior chiarezza, consideriamo la seguente tabella, che spiega la figura precedente (in verde, sono le case mancanti): olore rettangoli Misura base (b) Misura altezza (h) 8 Parità pari x-i y-j + pari y-j - pari pari A questo punto risulta evidente che la scacchiera è ricopribile, perché un rettangolo avente un lato costituito da un numero pari di case è banalmente ricopribile. Se i e x hanno parità diversa il ragionamento non cambia: basta scambiare le traverse con le colonne. 8

19 Problema n. ( il tappeto di Sierpinski) Una scacchiera di lato unitario viene divisa in nove scacchiere uguali e quella centrale viene eliminata. Le rimanenti otto scacchiere vengono similmente divise e viene eliminata la centrale. Se le ripetizioni di questo procedimento continuano indefinitamente si ha una figura (che qui,ovviamente, è solo accennata) nota come tappeto di Sierpinski, che è uno dei più famosi oggetti frattali. La domanda che ci poniamo è:qual è il limite dell'area colorata? 9

20 Soluzione Il problema si risolve facilmente osservando che le aree dei quadrati eliminati ad ogni iterazione, a cominciare da quello centrale e considerando via via i più piccoli,danno luogo alla progressione geometrica 8 8 8,,,, in cui è a= 9 e q= 8 9. Indicando con En, l'area dei quadrati eliminati dopo n iterazioni, si ha En = 8 n 9. Risulta, evidentemente, En per n. Se Sn è l'area restante (area colorata) dopo n iterazioni, si ha: Sn = 8 n 9 e, quindi, Sn 0 per n. 0

21 Problema n. 6 (minimo attacco) isporre gli 8 pezzi di un colore (R,,, AA, ) in modo che risulti sotto attacco il minimo numero possibile di case ( un pezzo non attacca la casa su cui è situato, ma può attaccare la casa su cui è situato un altro pezzo). Soluzione Per questo problema ( ed altri simili ) non esiste una dimostrazione rigorosa. Una soluzione è la seguente: A A R le case attaccate sono 6.

22 Problema n. 7 (massimo attacco) isporre sulla scacchiera gli 8 pezzi di un colore in modo che risulti sotto attacco il massimo numero possibile di case ( valgono le osservazioni fatte per il problema 6). Soluzione Una possibile soluzione è la seguente: R A A Le case attaccate sono 6. Il numero di case attaccate può essere portato a 6 (il massimo possibile) se è consentito usare due Alfieri camposcuro (o campochiaro): A R A

23 Problema n. 8 (colorazioni della scacchiera) Siano dati due colori, bianco e nero, e una scacchiera n x n, in quanti modi si possono colorare le n case della scacchiera con i due colori? Soluzione iamo la soluzione per una scacchiera x (in modo analogo si procede nel caso generale). E' evidente che il numero di colorazioni in cui figurano h case nere è dato da h 0 h. Indichiamo i colori con x (nero) e y (bianco), e consideriamo il polinomio (x + y) = x + xy + 6xy + xy + y. Questo polinomio enumera le colorazioni con h case nere e -h bianche. osì, ad esempio, il coefficiente del monomio 6xy ci dice che vi sono 6 colorazioni con case nere e bianche: allo stesso modo si interpretano i coefficienti degli altri monomi. La colorazione standard della scacchiera è realizzata in modo che le case nere e bianche si alternino sia lungo le colonne che le traverse, per cui, comunque scelte due colonne i e j, si avrà che le case ai,k e aj,k sono sempre dello stesso colore o sempre di colore diverso. Se diciamo che si ha una permanenza tutte le volte che colore(ai,k) = colore(aj,k) e una variazione quando colore(ai,k) colore(aj,k), la proprietà precedente può

24 essere enunciata dicendo che comunque scelte due colonne i, j, le coppie di case ai,k, aj,k danno luogo sempre a una permanenza o sempre a una variazione. Ovviamente, il discorso resta valido se sostituiamo colonna con traversa e ai,k, aj,k con ak,i, ak,j. Una colorazione alternativa è quella caratterizzata dalla seguente proprietà: comunque scelte due colonne (traverse) i,j, le coppie di case ai,k, aj,k (ak,i, ak,j) danno luogo a un numero di permanenze uguale al numero di variazioni.le seguenti figure esemplificano tale colorazione (detta anallagmatica) per una scacchiera x e una 8 x 8: Questo tipo di colorazione diventa estremamente interessante se si sostituiscono i colori bianco e nero con i numeri + e - (bianco =, e nero = -, o viceversa), perché con tale sostituzione la scacchiera si trasforma in una matrice che gode di particolari proprietà. Se si considerano scacchiere di ordine n = ; oppure k si ottengono delle matrici ( che indicheremo con H n) che sono state studiate dal matematico francese Jacques Hadamard (86-96). Elenchiamo alcune proprietà di tali matrici: dethn = nn/ ( la matrice è invertibile) ue colonne (righe) qualsiasi sono vettori ortogonali. HnHn = nin, dove H è la trasposta di Hn e In è la matrice identità di ordine n. Verifichiamo queste proprietà sulla matrice x della figura precedente:

25 det H = 6 -E' facile verificare che il prodotto scalare fra due colonne (righe) qualsiasi è nullo - HH = I Una matrice di Hadamard può essere trasformata in un'altra equivalente mediante le seguenti operazioni: scambiare due righe o due colonne. moltiplicare una riga o una colonna per - considerare la matrice trasposta.

26 Quante caselle ci sono su una scacchiera? Spesso si parla degli scacchi come del mondo delle 6 caselle ma...sono davvero 6? onsideriamo una scacchiera 8 x 8, divisa in quattro parti. Se ricomponiamo le quattro parti nel modo indicato dalla seguente figura otteniamo un rettangolo di 6 case, che dovrebbe essere equivalente alla scacchiera originaria, perché equicomposto!! obbiamo concludere che 6 = 6? L' enigma si scioglie come neve al sole se osserviamo che il triangolo avente per cateti e contiene il triangolo più piccolo, anch'esso rettangolo, avente per cateti e 8. Allora la tangente dell'angolo opposto ai lati e sarebbe / se misurata nel triangolo grande e /8 se misurata nel triangolo piccolo. Questo ci fa capire che l'ipotenusa del triangolo grande ( diagonale del rettangolo) e quella del triangolo piccolo non giacciono sulla stessa retta, ovvero quella che figura come diagonale del 6

27 rettangolo non è un segmento di retta se non nell'illusione del disegno. I quattro punti che essa apparentemente congiunge, ossia i vertici dei due trapezi, internamente, e i vertici opposti del rettangolo, non sono allineati. Essi formano, congiunti esattamente, un sottile quadrilatero, la cui superficie è equivalente a quella di un quadratino, ossia del quadratino che il rettangolo ha in più rispetto al quadrato iniziale e che il grosso tratto della diagonale ha fatto abilmente scomparire. Il paradosso può essere riprodotto partendo da un quadrato n x n, dove n è un numero appartenente alla successione di Fibonacci:,,,,, 8,,,,,... in cui ogni termine ( a partire dal terzo ) si ottiene come somma dei due che lo precedono. I numeri di Fibonacci sono particolarmente adatti a generare un paradosso come quello appena discusso, perché godono, fra le altre, della seguente proprietà, nota come identità di assini: Se a, b, c, sono tre numeri consecutivi della successione, allora: a c=b± dove vale il segno + se b occupa un posto pari nella successione, e il segno - se occupa un posto dispari. Se n è la misura del lato che si sceglie per il quadrato, la divisione di esso in due parti è data dai due numeri che lo precedono, come per esempio nel caso considerato di n = 8 la divisione del lato è stata fatta secondo quadratini e quadratini. Se si volesse disegnare una scacchiera x, la scomposizione del lato avverrebbe secondo 8 e quadratini. Quanto più grande è n tanto più efficace è l' illusione della diagonale che nasconde, col suo spessore, la superficie equivalente al quadratino. 7

28 8

29 II I PEZZI 9

30 0

31 Mosse - spostamenti Lo spostamento che un pezzo subisce quando effettua una mossa verrà indicato con il vettore (x,y), dove x rappresenta la componente nella direzione delle traverse ( orizzontale ) e y la componente nella direzione delle colonne ( verticale ). In particolare: x>0 indica uno spostamento verso est x<0 indica uno spostamento verso ovest y>0 indica uno spostamento verso nord y<0 indica uno spostamento verso sud Nel valutare gli spostamenti supporremo che il pezzo sia collocato nel centro della casa ( ovvero una casa sarà identificata con il suo punto centrale). Esempio: se un alfiere muove dalla casa (,) alla casa (,0) il suo spostamento sarà indicato dal vettore (,-). Per quanto riguarda la mossa di cavallo, a volte conviene esprimere lo spostamento ad essa associato mediante le componenti nelle direzioni delle diagonali che passano per la casa di partenza. In tal modo si osserva che ad ogni mossa di cavallo corrisponde uno spostamento di passo diagonale in una direzione e di di passo diagonale nell'altra, come si evidenzia nella seguente figura: Nord Sud

32 Mobilità di un pezzo ome mobilità di un pezzo consideriamo il grado medio dei vertici del suo grafo. onsideriamo la variabile G = {grado di un vertice}che assumerà i valori g, g,...gh con frequenza (relativa) p, p,...ph. Il valore medio di G rappresenta la mobilità del pezzo: h E(G) = g i pi i= A volte il valore della mobilità viene usato per calcolare un indice che dovrebbe esprimere la forza del pezzo (Re escluso), rapportando la sua mobilità a quella del pedone (=.7), che viene assunta come unità di misura. Indicando tale indice con F, si ha: F= mobilità del pezzo mobilità del pedone

33 escrivere una posizione La notazione FEN (Forsyth-Edwards Notation), usata dai programmatori, fornisce tutte le informazioni necessarie a consentire la continuazione di una partita iniziando da una posizione data. Una stringa FEN é costituita da una sola linea di testo e si compone di 6 campi: ) Posizione dei pezzi. I pezzi vengono indicati con le iniziali dei loro nomi inglesi, in maiuscolo i pezzi Bianchi (KQRBNP), in minuscolo i pezzi Neri (kqrbnp). Viene indicato il contenuto di ogni casa a partire dall'ultima traversa (traversa 7) fino alla prima (traversa 0), procedendo, per ogni traversa, dalla colonna 0 alla colonna 7. Le case vuote vengono indicate mediante le cifre dall' all'8 (a seconda delle case vuote adiacenti). Per separare una traversa dall'altra si usa il simbolo /. ) Giocatore che ha la mossa. La lettera w (white) indica che la mossa spetta al Bianco, la lettera b (black) indica che la mossa spetta al Nero. ) iritto all'arrocco. Se entrambi i giocatori hanno perso il diritto all'arrocco, si usa il simbolo _, altrimenti si indica: K il Bianco può arroccare corto Q il Bianco può arroccare lungo k il Nero può arroccare corto q il Nero può arroccare lungo ) asa in cui è possibile prendere en passant. Se non è possibile nessuna presa en passant, si usa il simbolo -, altrimenti si indica la casa alle spalle dell'ultimo pedone che ha effettuato la mossa di due case. ) Numero di semimosse. Numero di semimosse dall'ultima mossa di pedone o dall'ultima cattura. Questo numero serve per la regola delle 0 mosse. 6) Numero delle mosse. Questo numero vale per la prima mossa del Bianco e del Nero. Viene aumentato di dopo ogni mossa del Nero.

34 Esempio: la posizione iniziale è così rappresentata in notazione FEN: rnbqkbnr/pppppppp/8/8/8/8/pppppppp/rnbqkbnrwkqkq-0 dopo ) e: rnbqkbnr/pppppppp/8/8/p/8/ppppppp/rnbqkbnrbkqkqe0 dopo )...c: rnbqkbnr/ppppppp/8/p/p/8/ppppppp/rnbqkbnrwkqkqc60 e dopo ) f: rnbqkbnr/ppppppp/8/p/p/n/ppppppp/rnbqkbrbkqkq-

35 IL RE Il Re si muove in tutte le direzioni spostandosi una casa per volta: ( i,j ) ( i+x, j+y ) - x, y, (x, y ) ( 0, 0 ) efiniamo: passo orizzontale uno spostamento del tipo (±, 0) passo verticale uno spostamento del tipo (0, ±) passo diagonale uno spostamento del tipo (±, ±) Mobilità del Re on riferimento al Re, la scacchiera è costituita da: case di grado ( le case d'angolo ) case di grado ( le case sul bordo) 6 case di grado 8 ( le altre case) per cui possiamo costruire la variabile G: G P /6 /6 8 6/6 E(G) = 6.6 Il modo in cui è definito il movimento del Re ci induce a ripensare alla definizione di distanza data in precedenza. L aver definito la distanza tra due case come max ( i-h, j-k ) equivale ad aver scelto come unità di misura il passo di Re e ciò comporta delle conseguenze notevoli, nel senso che sulla scacchiera non sono più valide alcune delle fondamentali relazioni che sussistono nel piano euclideo. Per esempio, sulla scacchiera: ) esistono triangoli rettangoli equilateri ) il percorso minimo tra due case non è, generalmente, unico!! on riferimento al primo punto, consideriamo la seguente figura:

36 A B Notiamo che d(a,b) = d(b,) = d(a,) = 7 passi di Re. Ovvero, il triangolo rettangolo (AB) è equilatero! Per quanto riguarda il secondo punto, osserviamo le seguenti figure: Figura Figura 6

37 Sulla scacchiera di Fig. sono segnate due case dello stesso colore, una di partenza A = (,0) e l'altra di arrivo B = (,). Si ha d(a,b) = max ( -, 0- ) = passi di Re. E' facile verificare che un re può spostarsi da A a B seguendo diversi percorsi tutti di lunghezza minima ( passi ) e che tali percorsi sono tutti non esterni al rettangolo AB, dove e sono le case in cui si intersecano le diagonali uscenti da A e da B. Nella Fig. le case A e B (partenza e arrivo) non sono dello stesso colore e la costruzione del rettangolo è leggermente diversa perché le diagonali uscenti da A e da B non si incontrano nel centro di una casa ma in un vertice, restano comunque valide le considerazioni fatte per il caso rappresentato in Fig.. Se la casa di partenza e quella di arrivo sono sulla stessa diagonale, il percorso minimo è, ovviamente, unico. 7

38 Problema n. 9 ( passeggiata del Re - I ) Quanti sono i percorsi che può seguire il Re per spostarsi dalla casa (0,0) alla casa (m,k), se sono consentiti solo spostamenti del tipo (,0), che indichiamo con o, e (0,), che indichiamo con v? Soluzione Anzitutto notiamo che la posizione iniziale del re in (0,0) non toglie generalità alla soluzione, perché ci si può sempre ricondurre a questo caso mediante traslazione e/o rotazione degli assi ( questa considerazione varrà per tutti i problemi seguenti ). Ragioniamo così: per andare da (0,0) a (m.k) il re dovrà fare m spostamenti o e k spostamenti v, ovvero un totale di m+k spostamenti di cui m uguali fra loro e k uguali fra loro. Il numero dei percorsi, che indichiamo con (m, k), sarà dato dal numero di permutazioni di m+k elementi, di cui m uguali fra loro e k uguali fra loro, ovvero: m k m,k (m, k) = = m k! m! k!. Assegnando dei valori a m e a k, otteniamo i risultati riportati nella seguente scacchiera: I valori segnati in ciascuna casa indicano il numero di percorsi possibili per raggiungerla. Osservando i numeri lungo le diagonali discendenti, non è difficile riconoscere le prime otto righe del celeberrimo triangolo di 8

39 artaglia ( o di Pascal). Per maggiore chiarezza, consideriamo esplicitamente i percorsi per raggiungere la casa (, ): ) oovv ) ovov ) ovvo ) vvoo ) vovo 6) voov Il valore di (m, k) può essere calcolato anche con un semplice algoritmo ricorsivo: basta osservare che per raggiungere la casa (m, k), bisogna trovarsi, al penultimo passo, nella casa (m, k-) oppure nella casa (m-, k). La seguente figura chiarisce il concetto: k k- m- m è evidente che (m, k) = (m, k-)+ (m-, k) questa relazione, unita alle condizioni iniziali: (0, 0) = (m, 0) = (0, k) = ci permette di calcolare il numero di percorsi per raggiungere una generica casa. Esempio: (, ) = (, ) + (, ) (, ) = + 0 =. Problema n. 0 ( passeggiata del Re II ) Quanti sono i percorsi che può seguire il Re per spostarsi dalla casa (0,0) alla casa (m,k), se sono consentiti solo spostamenti del tipo (,0),che indichiamo con o, del tipo (0,), che indichiamo con v e del tipo (,), che indichiamo con d? 9

40 Soluzione Supponiamo, senza togliere generalità al discorso, che sia k m e notiamo che la presenza di uno spostamento del tipo d determina la diminuzione di una unità del numero di spostamenti del tipo o e del tipo v, per cui, se sono presenti j k spostamenti del tipo d, gli spostamenti di tipo o diventano m - j, e quelli di tipo v diventano k - j Il numero totale di passi sarà N = (m j)+(k j)+j = m+k-j di cui m-j passi tipo o k-j passi tipo v j passi tipo d. Il problema si risolve considerando le permutazioni di N elementi, di cui m-j uguali fra loro, k-j uguali fra loro e j uguali fra loro, con j variabile da 0 a k. Indicando con Pj il valore corrispondente ad un assegnato j, si ha: Pj = m j,nk j, j N! m j! k j! j! = Il numero totale dei percorsi, che indichiamo con L(m, k), sarà: k L(m, k) = Pj ( numeri di elannoy ) 0 nella figura seguente è riportato il numero dei percorsi possibili calcolato per tutte le case di una scacchiera standard:

41 Anche qui riportiamo esplicitamente, per maggiore chiarezza, i percorsi che conducono alla casa (,): ) vvoo ) vovo ) ovov ) oovv ) ovvo 6) voov 7) odv 8) ovd 9) dov 0) vod ) dvo ) vdo )dd. ome per il caso precedente, anche i valori di L(m, k) possono essere calcolati con un algoritmo ricorsivo osservando che per raggiungere la casa (m, k) bisogna essere, al passo precedente, nella casa (m, k-) o nella casa (m-, k) o nella casa (m-, k-), come si evidenzia nella seguente figura: k k- m- m È evidente che L(m, k) = L(m, k-)+ L(m-, k) + L(m-, k-) Questa relazione, unita alle condizioni iniziali: L(0, 0) = L(m, 0) = L(0, k) = ci permette di calcolare il numero di percorsi per raggiungere una generica casa. Esempio: L(, ) = L, ) + L(, ) + L(, ) L(, ) = +6 + = 9.

42 Problema n. (passeggiata del Re -III) Quanti sono i percorsi che può seguire il Re per spostarsi dalla sua casa d'origine (,0) alla casa (,m), se i movimenti consentiti sono (0,), (,) e (-,)? Soluzione Il re deve compiere m movimenti, e quelli del tipo (,) dovranno essere tanti quanti quelli del tipo (-,), perché il Re deve ritornare sulla sua colonna. Il re, quindi, dovrà fare k mosse (,), k mosse (-,) e m-k mosse (0,). Il numero dei percorsi sarà, quindi, dato dal numero di permutazioni di m elementi di cui k uguali fra loro, altri k uguali fra loro e m m-k uguali fra loro, con k variabile da 0 a floor. etto P il numero cercato, sarà: P= m! k! m k! 0 k floor m Assegnando a m i valori da 0 a 7, otteniamo i risultati evidenziati nella seguente figura:

43 Problema n. Qual è il numero massimo di Re che è possibile disporre su una scacchiera n x n, in modo che nessuno ne attacchi un altro? Soluzione Il problema si risolve osservando che un quadrato x può contenere un solo re. Bisogna considerare due casi: ) n pari La scacchiera si può suddividere in n quadrati x, in ciascuno dei quali va collocato un re. Il numero dei re, quindi, è: n ) n dispari La scacchiera può essere suddivisa in n quadrati x n rettangoli x quadrato x per un totale di n n quadrati/rettangoli, in ciascuno dei quali va collocato un re. Il numero dei re, quindi, è: n