LE FUNZIONI GONIOMETRICHE. e le trasformazioni geometriche

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1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE e le trasformazioni geometriche

2 La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione y =sin(x) nel piano cartesiano. Si chiamano funzioni sinusoidali, invece, quelle funzioni che si possono ottenere dalla funzione y=sin(x) con trasformazioni elementari. Studiamo le curve y =A sin(x) al variare del parametro a. A tal fine assegniamo ad A i seguenti valori positivi: A=1 A=1/2 A=2 A=3 A=1/3 Se riportiamo le funzioni corrispondenti su un grafico otteniamo la figura qui a destra. Il confronto con la sinusoide permette di evidenziare una dilatazione o una contrazione del grafico nella direzione delle ordinate, mantenendo però fissi i punti di ordinata nulla cioè i punti di intersezione con l asse delle ascisse. 2

3 Prendiamo ancora in considerazione le curve di equazione y =A sin(x) al variare del parametro a. Ora assegniamo ad A i seguenti valori: A=1 A= -2 A=2 A= -1/2 A= -3 I grafici delle funzioni corrispondenti sono ora quelli nella figura qui a destra. Si può osservare che, quando A è negativo, i grafici si ottengono dal grafico della funzione y = sin x operando ancora una dilatazione o una contrazione secondo l asse delle ordinate, ma anche un ribaltamento rispetto all asse delle ascisse. Il valore del parametro A preso in modulo (cioè! ) si dice ampiezza della funzione sinusoidale. 3

4 Studiamo ora le curve di equazione y = sin (! x) assegnando i seguenti valori al parametro ": " =1 " =2 " =3 " =1/2 " =1/3 Dal grafico si osserva che: il variare di " opera una "contrazione" o una "dilatazione" orizzontali secondo l asse delle ascisse: più precisamente, al crescere del parametro! si intensifica il numero delle «spire». l ampiezza della funzione y =sin(" x) è comunque uguale a quella della funzione =sin(x). y 4

5 Tracciamo ora il grafico delle funzioni y =sin(! x) assegnando a " anche valori negativi: " = -3 " = -2 " = -1/2 " = -1/3 Si osserva che, se " è negativo, c è ancora una "contrazione" o una "dilatazione" orizzontale secondo l asse delle ascisse come nel caso precedente, ma anche un ribaltamento. I grafici delle curve di equazione y = sin(" x) consentono di fare alcune osservazioni sul loro periodo. Il periodo della funzione y = sin x è 2π. La funzione y = sin(" x) compie una oscillazione completa quando la variabile " x assume i valori compresi tra 0 e 2π. Da ciò segue immediatamente che il periodo delle funzioni y =sin(! x) vale #$!. 5

6 Proviamo ora a studiare le curve di equazione y = sin (x) + c. Pertanto, tracciamo il grafico delle seguenti funzioni: y = sin(x) y = sin(x)+2 y = sin(x)-2 I grafici in figura, raffrontati con quello di y = sin x, permettono di concludere che le curve della famiglia y= sin(x)+c, con c numero reale, sono il risultato di traslazioni verticali della sinusoide, verso l alto se c>0, verso il basso se c<0. 6

7 Studiamo ora la famiglia di funzioni y =sin(x-c) con c costante: A tal fine tracciamo il grafico di: y = sin(x) y = sin(x-1) y = sin(x+1) y = sin(x-2) y = sin(x+2) Il confronto fra le varie curve evidenzia una traslazione orizzontale delle curve. Più precisamente, si ottiene una traslazione orizzontale lungo l asse x delle ascisse pari a c unità verso destra che c è positivo; pari a c unità verso sinistra se c è negativo. Si dice che la funzione y = sin (x-c) è sfasata di una quantità +c rispetto alla funzione y = sin (x) N. B. Anche le funzioni y=sinx e y=cosx sono fra loro «sfasate» di!/2 l una rispetto all altra. 7

8 Studiamo ora la famiglia di funzioni: y = A*sin(x-c) con A e c costanti. A tal fine tracciamo il grafico di: y = sin(x) y = 3*sin(x-1) y = 1/3* sin(x+1) Si nota che si ha una dilatazione o una contrazione secondo l asse delle ordinate ed una traslazione orizzontale secondo l asse delle ascisse. 8

9 Es: rappresentare! = # $ cos(2*) 9

10 Es: rappresentare! = 2cos ( ) + +, 10