Relazioni e funzioni

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1 Relazioni e funzioni

2 Relazioni binarie Ogni sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi e è una relazione binaria tra e. Se = si parla di relazione in un insieme

3 Rappresentazione Elencazione Proprietà caratteristica Diagramma a frecce Tabella a doppia entrata Rappresentazione cartesiana

4 Rappresentazione ={} ={1,3} x={(,1),(,3)} Elencazione Proprietà caratteristica R={(,3)} x R={(a,b) x a<b} Diagramma a frecce 1 3

5 Rappresentazione ={} ={1,3} x={(,1),(,3)} Tabella a doppia entrata 1 3 (,1) (,3) Rappresentazione cartesiana 3 1

6 Proprietà di una relazione su un insieme Riflessiva ntiriflessiva Simmetrica ntisimmetrica Transitiva Riflessiva a, ara ntiriflessiva a, / ara Simmetrica a,b, arb bra ntisimmetrica a,b, arb bra / Transitiva a,b,c, arb brc arc

7 Proprietà di una relazione su un insieme ={1,} x={(1,1),(1,),(,1),(,)} R={(1,1),(1,)} Riflessiva Simmetrica ntiriflessiva ntisimmetrica Transitiva

8 Proprietà di una relazione su un insieme ={1,} x={(1,1),(1,),(,1),(,)} R={(1,1),(1,), (,)} Riflessiva Simmetrica ntiriflessiva ntisimmetrica Transitiva

9 Proprietà di una relazione su un insieme ={1,} x={(1,1),(1,),(,1),(,)} R={(1,)} Riflessiva Simmetrica ntiriflessiva ntisimmetrica Transitiva

10 Relazioni di equivalenza Riflessiva Simmetrica Transitiva Uguaglianza Equi-estensione Congruenza Similitudine vere lo stesso resto nella divisione per 5 vere la stessa altezza di Essere pari o dispari

11 Relazioni d ordine ntisimmetrica Transitiva Essere maggiore di ttenzione: Essere può minore godere o uguale anche di di altre proprietà come Essere la riflessiva più alto di ma le prime due Essere sono più necessarie. a destra di

12 Funzioni Una funzione di in è una particolare relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa uno ed un solo elemento del secondo insieme. 1 4 L insieme si chiama dominio della funzione. L insieme si chiama codominio della funzione

13 Funzioni Una funzione di in è una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa uno ed un solo elemento del secondo insieme

14 Funzioni Una funzione di in è una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa uno ed un solo elemento del secondo insieme

15 Funzioni Una funzione da in esprime un legame. Ogni elemento di ha un solo corrispondente elemento in. INPUT TRSFORMZIONE OUTPUT

16 Funzioni f: x > y = f(x) y è l immagine di x Il sottoinsieme di costituito da tutte le immagini degli elementi di è detto immagine del dominio Im (). Dominio: Codominio: Immagine di : {,4}

17 Rappresentazione grafica Diagramma a frecce 1 3 Tabella a doppia entrata 3 (,3) Rappresentazione cartesiana 3

18 Grafico di funzione f: x > y = f(x) Si definisce grafico di una funzione f {(x,y) x y=f(x) } x 4 Rappresentazione cartesiana 1

19 Grafico di funzione Si definisce grafico di una funzione f {(x,y) x y=f(x) } x f: {1,,3} {1,,3,4,5,6} x > y = x grafico di f: {(x,x) x } Rappresentazione cartesiana

20 Fornire una rappresentazione grafica cartesiana della funzione. Esercizio ={pianeti del sistema solare} ={lettere dell alfabeto Italiano} f: ad ogni pianeta associa la lettera iniziale del suo nome Determinare dominio e immagine del dominio

21 Funzione iniettiva Una funzione si dice iniettiva se x 1, x, x 1 x f(x 1 ) f(x ) 1 4 6

22 Funzione non iniettiva Due valori del dominio hanno la stessa immagine 1 4 6

23 Funzione suriettiva Una funzione f: si dice suriettiva se Im()= Una funzione si dice suriettiva se y, x f(x)=y

24 Funzione non suriettiva lmeno un elemento del codominio non è immagine di alcun elemento del dominio

25 Funzione bigettiva o biunivoca Una funzione si dice bigettiva se è iniettiva e suriettiva

26 Funzione identità La funzione identità è una funzione su un insieme che ad ogni elemento del dominio fa corrispondere l elemento stesso. i: x > y = f(x)=x Im(D)= La funzione identità è biunivoca.

27 Funzione identità La funzione identità è una funzione su un insieme che ad ogni elemento del dominio fa corrispondere l elemento stesso

28 Composizione di funzioni Siano date funzioni f e g così definite f: x > y = f(x) g: C y > z = g(y) Si definisce funzione composta di f e g la funzione h = g f g f : C x > y = g(f(x))

29 Composizione di funzioni f: x > y = f(x) g: C y > z = g(y) f g x y=f(x) z=g(y) g f g f : C x > z = g(f(x)) C

30 Funzioni composte f: {1,} {,4} x > y = x g: {,4} {1,3} y > z = y-1 f g x y=x z=y-1 g f g f : C x > z = g(f(x))=x-1 C

31 Funzioni composte f: {1,} {,4} x > y = x g: {,4} {1,3} y > z = y-1 N N g f x y=x-1 z=y f g N f g : N N x > z = f(g(x))=(x-1) La composizione non è commutativa

32 Funzione inversa Sia data una funzione biunivoca f: x > y = f(x) Si definisce funzione inversa di f la funzione f -1 f -1 : y > x f(x) = y nche la funzione inversa è biunivoca e invertibile.

33 Funzione inversa N.: Non confondere f -1 con 1/f Ogni funzione f: iniettiva è invertibile se si riduce il codominio a Im().

34 Funzione inversa f: x > y = f(x) f -1 : y > x f(x) = y f f -1 x y=f(x) x f -1 f = i i=f -1 f : x > f -1 (f(x))=x

35 Funzione inversa f: x > y = f(x) f -1 : y > x f(x) = y f -1 f y x y f f -1 = i i=f f -1 : y > f (f -1 (y))=y

36 Dopo aver ristretto a Im(), valutare se la funzione è invertibile Esercizio ={pianeti del sistema solare} ={lettere dell alfabeto Italiano} f: ad ogni pianeta associa la lettera iniziale del suo nome Stabilire se f è iniettiva, suriettiva o bigettiva.

37 Esercizio ={pianeti del sistema solare} ={coppie di lettere} f: ad ogni pianeta associa la coppia delle prime due lettere del suo nome Stabilire se f è iniettiva, suriettiva o bigettiva. Dopo aver ristretto a Im(), determinare f -1

38 Esercizio ={pianeti del sistema solare} ={lettere dell alfabeto Italiano} C={numeri naturali minori di } f: ad ogni pianeta associa la lettera iniziale del suo nome g: C ad ogni lettera associa un numero che rappresenta la sua posizione nell alfabeto Costruire e rappresentare in un modo a scelta la funzione g f