Ottica geometrica. Superfici rifrangenti e lenti

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1 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Ottica geometrica Superici rirangenti e lenti Relazione per una supericie rirangente che separa due mezzi caratterizzati da indici di rirazione n e n n n n n + = p i r Le immagini reali si ormano dalla parte opposta a quella dell oggetto mentre le imagini virtuali si ormano dalla stessa parte. Per immagini reali i > 0 mentre per immagini virtuali i < 0 Per i raggi avremo che r > 0 se il centro di curvatura si trova nello spazio delle immagini reali, mentre sarà r < 0 se il centro di curvatura si trova nello spazio delle immagini virtuali. /4

2 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: La relazione n n n n + = si può acilmente dimostrare a partire dalla igura qui sopra (n.b. nella igura è p i r indicato con o la posizione dell oggetto). Analizzo gli angoli α, β, γ, θ, θ e i rapporti che li legano: Varrà la relazione di rirangenza n sin( θ ) = n sin( θ ) n θ = θ n θ = nθ da cui n θ = α + β angolo esterno al triangolo OaC β θ + γ = e approssimando i seni per piccoli angoli avremo Utilizzando la relazione precedentemente trovata avremo n β = θ + γ n θ = α + β Metendo a sistema ed eliminando θ avremo n da cui n α + nγ = ( n n )β β = θ + γ n Scrivo ora l approssimazione in radianti degli angoli α, β, γ considerando i triangoloidi che hanno per lato l arco di lente av av α o av β r e sostituendo nella equazione n n = ( n n ) o i r av γ i av av av + che sempliicata darà n n n n + = p i r Da questa relazione, per trovare il punto coniugasto all ininito poniamo n p ottenendo = r e n n analogamente poniamo n i ottenendo = r e raccogliendo e sostituendo si ottiene n n n n n + = che consente anche di scrivere la realzione nella orma + = p i r p i n /4

3 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Lenti sottili Il sistema costituito da una o più lenti reali può essere sempliicato considerando la lente come un segmento appoggiato ad una retta perpendicolare all asse ottico caratterizzato dalle distanze ocale e (distanza dei punti e dalla lente); le due distanze ocali sono uguali (= = ). Nelle igure a ianco sono mostrate le rette di costruzione dell immagine a distanza q di un oggetto posto a sinistra della lente alla distanza p; nelle costruzioni considerate l oggetto reale si trova all esterno dello spazio ra i due uochi e l immagine viene individuata dall intersezione di due dei raggi di cui sono indicati i percorsi: ) raggio che parte dall estremo C dell oggetto e raggiunge parallelamente all asse ottico la lente in A; qui viene delesso verso il uoco. ) raggio che parte dall estremo C dell oggetto e raggiunge la lente in O, proseguendo senza delessione 3/4

4 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: 3) raggio che parte dall estremo C dell oggetto e raggiunge la lente in B passando per il uoco ; in B viene delesso e prosegue parallelamente all asse ottico. Nella igura successiva invece l oggetto di cui si desidera determinare l immagine è posto ra e O. L immagine appare più complessa da realizzare, dal momento che dalla parte in cui prima i raggi si intersecavano, ora divergono. Per determinare la posizione del punto D si cerca allora l intersezione dei prolungamenti dei raggi.(per maggior chiarezza dalla igura sono state eliminate tutte le misure) Rierendosi alle prime igure è possibile mettere in relazione le grandezze p,q,. Indico con o la dimensione dell oggetto da rappresentare e con i la dimensione della sua immagine. Per la costruzione della relazione si possono utilizzare dei 3 raggi descritti. Considero p.es. i raggi e 3 e comincio analizzando i triangoli BCA e BO : i triangoli sono simili in quanto rettangoli e con un angolo acuto in comune, quindi i + o = p o da cui ricavo o i p = Dall altra coppia di triangoli simili BAD e OA ricavo i + o = q o da cui ricavo o = i q Uguagliando le relazioni otteniamo o p = = da cui ricavo pq p q + = i q pq p q = 0 p + q = pq e dividendo membro a membro per pq ottengo + = p q q i Il rapporto = è chiamato ingrandimento p o F > 0 per lenti convergenti F < 0 per lenti divergenti P > 0 oggetto reale P < 0 oggetto virtuale q > 0 immagine reale q < 0 immagine virtuale 4/4

5 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Equazione delle lenti sottili in aria + = p i Distanza ocale di una lente le cui superici hanno raggi di curvatura r e r = ( n ) r r 5/4

6 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Lente d ingrandimento La lente d ingrandimento porta l immagine virtuale dell oggetto osservato in una posizione tale da superare il punto prossimo P n 5 cm L ingrandimento angolare sarà dato dalla relazione θ 5 cm m θ = che può essere anche espresso da mθ = θ osservando la similitudine tra i triangoli della igura (c) e tenendo conto che per piccoli angoli potremo are le seguenti approssimazioni: h tan( θ ) θ angolo massimo di vista a uoco 5 cm h tan ( θ ) θ angolo di vista dell immagine virtuale a uoco con la lente d ingrandimento Sistemi a due lenti Microscopio I sistemi a due lenti sono costituiti da un obiettivo e da un oculare; per costruire l immagine generata dal sistema costruirò l immagine dell oggetto i che poi utilizzerò come oggetto in rapporto all oculare con cui ne costruirò l immagine. Pongo l oggetto poco oltre il uoco dell obiettivo, che indicheremo come obiettivo. La distanza s, detta tiraggio o lunghezza del tubo, ra il uoco dell obiettivo e il uoco dell oculare viene regolata in modo che l immagine prodotta dall obiettivo sia di poco oltre il uoco in modo tale che l oculare produrrà un immagine virtuale ortemente ingrandita. L obiettivo crea quindi una immagine reale ingrandita una prima volta che sarà poi ingrandita ulteriormente dall oculare che unziona come lente d ingrandimento, esaltando ulteriormente le dimensioni angolari dell oggetto osservato. 6/4

7 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Ricordando l ingrandimento angolare ingrandimento dovuto all obiettivo avremo 5 cm mθ = della lente d ingrandimento e calcolando l ulteriore m oculare θ = s obiettivo M m m = θ θ = s 5 cm obiettivo oculare Telescopio Il telescopio è un sistema per ingrandire immagini provenienti da grandi distanze e quindi costituite da raggi che si possono assumere paralleli. La prima evidente dierenza rispetto ai microscopi è dovuta al atto che l immagine generata dall obiettivo deve trovarsi in corrispondenza con con il primo uoco dell oculare che quindi genererà un asci di raggi paralleli a tali da mostrare l imagine dell oggetto osservato ad una dimensione angolare superiore a quella visibile ad occhio nudo. L ingrandimento del telescopio è dato al rapporto ra i uochi di obiettivo ed oculare: m = θ obiettivo oculare 7/4

8 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: 8/4

9 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: 9/4

10 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Occhio e occhiali L occhio unzione come una machina otograica il cui obiettivo ocalizza l immagine sulla retina. Alle volte l occhio non unziona correttamente e ocalizza le immagini in posizione anteriore o posteriore alla retina; per ovviare a questi dietti che devono essere di lieve entità si interviene quindi con lenti correttive. 0/4

11 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Consideriamo un occhio miope e quindi in diicoltà a ocalizzare immagini poste all ininito, diciamo che al massimo quando i muscoli dell occhio sono completatene rilassati viene ocalizzato un punto posto a distanza inita. Per correggere dobbiamo usare una lente capace di prendere i raggi provenienti dall ininito e ocalizzarli creando una immagine virtuale a distanza massima ineriore al massimo punto osservabile distintamente dall occhio miope. Si userà quindi una lente divergente capace di allargare il ascio e ocalizzare i raggi in un punto più vicino alla retina; la lente quando viene investita da un ascio di raggi paralleli crea un immagine virtuale dalla stessa parte dei raggi posta a distanza ineriore; quest ultima potrà essere vista dall occhio distintamente. Nel caso dell occhio ipermetrope il problema è legato alla ocalizzazione dietro la retina dell immagine suocata di oggetti vicini; dovremo agire creando un immagine in posizione più avanzata e vicino alla retina. Per ar questo utilizzeremo lenti convergenti che stringendo il ascio anno avanzare il punto in cui l oggetto viene messo a uoco. /4

12 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Le seguenti immagini, per quanto approssimative mostrano come nel primo caso una lente divergente crei un immagine virtuale dell imagine al ininito ad una distanza tale da poter essere ocalizzata dall ochi miope Nel secondo caso una lente convergente consente di creare un immagine virtuale a distanza maggiore del uoco dell oggetto posto a distanza ineriore al uoco e quindi visibile a uoco da un occhio incapace di vedere a uoco oggetti troppo vicini. Qual'è la linea più lunga? Illusioni ottiche Sono della stessa lunghezza Quale oggetto ha la sua base più lunga? Sono della stessa lunghezza Cosa vedi? Quale orma vedi all'interno dei 4 cerchi interrotti? Puoi vedere un vaso o due visi che si guardano. Puoi vedere entrambi, ma non contemporaneamente. Dovresti vedere chiaramente un quadrato, sebbene non sia tratteggiato, ma suggerito. /4

13 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Osserva il punto nero al centro e prova ad avvicinarti ed ad allontanarti. La storica vignetta del volto di Sigmund Freud che nasconde una donna nuda. 3/4

14 Nome ile d:\scuola\corsi\corso isica\ottica\lenti.doc Creato il 09/05/ Dimensione ile: byte Andrea Zucchini Elaborato il 8/05/003 alle ore.54, salvato il 8/05/ stampato il 8/05/ Web: Il terrazzo sembra essere sopra-sotto a seconda del lato da cui lo si guarda. I due quadretti A e B sembrano di tonalità dierenti, ma ritagliando e avvicinando si rilevano di uguale grigio 4/4