A tale scopo risulta quindi necessario disporre di un sistema che generi numeri casuali.

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1 Nmeri casali Nei problemi di Simlazione si presenta spesso la necessità di generare determinazioni, ovvero nmeri, che riprodcano n campione estratto da na certa distribzione. A tale scopo rislta qindi necessario disporre di n sistema che generi nmeri casali. Vedremo come sia sfficiente saper generare sccessioni di nmeri casali niformemente distribiti nell intervallo (0,) e forniremo alcni metodi per poter riprodrre, da qesti, i valori di qalsiasi altra v.a. (variabile aleatoria). Cosa si intende per sccessione di nmeri casali? De sono le definizioni disponibili: classica moderna Generazione di nmeri casali e psedo-casali

2 Nmeri casali Rett, N Definizione classica Una seqenza di nmeri casali è costitita da nmeri interi appartenenti all insieme {,,N} e generati tramite ripetizione di n esperimento casale (prove fra loro indipendenti ed eqiprobabili) Definizione moderna Unif 0, Una seqenza di nmeri casali è costita da nmeri reali appartenenti all intervallo (0,) indipendenti ed eqiprobabili In entrambi i casi, le seqenze di n.c. non devono essere nè prevedibili nè riprodcibili Generazione di nmeri casali e psedo-casali

3 Generatori di nmeri casali Per generare manalmente sccessioni di nmeri casali classici venivano e vengono sati dispositivi meccanici: Esempio: rna contenente palle nmerate 3.. N Estrazioni a caso ripette con o senza reinserimento Altri esempi: Sccessione di nmeri casali secondo la def. classica Dadi regolari Monete bilanciate Mazzi di carte ben mescolati Generazione di nmeri casali e psedo-casali 3

4 Generazione di nmeri casali Un altro metodo per generare sccessioni di nmeri casali consiste nell'so di dispositivi natrali ovvero nella registrazione di n qalche processo fisico che la teoria postla avvenire in modo casale. Ad esempio tramite la codifica del rmore termico di n'apparecchiatra elettronica è possibile costrire seqenze di nmeri casali di pronto tilizzo o memorizzabili in tavole di nmeri casali per n tilizzo posteriore. In entrambi i casi il metodo dei dispositivi natrali è ormai completamente abbandonato per la sa complessità d'so con il calcolatore. Le tavole precompilate, infatti, richiedono molta memoria per il loro immagazzinamento mentre l'interfacciamento diretto dei dispositivi rallenta significativamente la velocità di eseczione dei programmi. Generazione di nmeri casali e psedo-casali 4

5 Nmeri psedocasali L'nico modo per eliminare ttte qeste difficoltà è qello di far generare i nmeri casali direttamente al calcolatore mediante appositi algoritmi matematici. Le seqenze di nmeri così prodotti vengono denominate psedocasali in qanto essendo prodotte da algoritmi deterministici esse, al contrario dei nmeri "effettivamente" casali, non solo sono esattamente prevedibili ma possono anche essere riprodotte in maniera identica qante volte si vole semplicemente ripetendo il procedimento di calcolo. Il loro tilizzo viene però pienamente gistificato dal fatto che non sono necessari nmeri che soddisfino ttti i criteri formali di casalità ma nmeri che abbiano le stesse proprietà di qelli casali: poco importa come siano stati generati, basta che, se sottoposti a verifica, risltino indistingibili da qelli veramente casali in termini di bon adattamento e indipendenza. Generazione di nmeri casali e psedo-casali 5

6 Test di casalità In letteratra esiste na vasta gamma di test di casalità: generali : bontà di adattamento a na f.r. qalnqe test Chi Qadrato test di Kolmogorov-Smirnov specifici : bontà di adattamento alla f.r. dell test di eqidistribzione Unif ( 0,) tipici Up and Down test (Rn test, Wald-Wolfowitz, 940) Gap test (per le seqenze di nmeri interi) Generazione di nmeri casali e psedo-casali 6

7 Generatori di nmeri psedocasali Vi sono vari metodi per generare nmeri psedocasali: Middle-Sqare Method (J. von Nemann, 945/50) Metodi Congrenziali Lineari (Lehmer, 95) Altri metodi (Gentle, 998) Le seqenze ottente con tali metodi hanno: distribzione niforme In particolare, i metodi congrenziali forniscono seqenze di nmeri psedocasali con: distribzione niforme "contina" in (0,) Generazione di nmeri casali e psedo-casali 7

8 Generatori di nmeri psedocasali Metodo Middle-Sqare Si vole prodrre n nmero psedo-casale di N cifre Si assegna ad arbitrio n nmero di N cifre (Seme) Si considerano le N cifre centrali di Esempio: ( ) = 37 7 N =, = 6 ( 7) = ( 8) = 34 4 ( 4) = Generazione di nmeri casali e psedo-casali 8

9 Generatori di nmeri psedocasali Il metodo Middle-Sqare non è n bon generatore di nmeri psedocasali Sensibile alla scelta del seme Esempio: N =, = 60 ( ) = seqenza costante N =, = 33 ( ) = non è di N cifre Qalora fornisca 0 (00, 000,.) termina la seqenza Generazione di nmeri casali e psedo-casali 9

10 Generatori di nmeri psedocasali Metodi congrenziali lineari Attalmente più diffsi e tilizzati poiché meglio soddisfano le proprietà di n bon generatore, si basano s na relazione congrenziale lineare ovvero sll'operazione di modlo di n intero m y = mod m Esempio: 3 mod 3 = 3 = 4 col resto di, cioè: 3 = Ci si attende che il resto di na divisione sia sfficientemente irregolare da simlare la casalità Generazione di nmeri casali e psedo-casali 0

11 Generatori di nmeri psedocasali Metodo congrenziale lineare se i è l i-esimo valore generato, allora il sccessivo valore sarà: dove: a: moltiplicatore c: incremento m: modlo sono interi non negativi ( a c) mod m i+ = i + i+ = i+ m è il nmero psedocasale generato Come seme (il valore iniziale 0 ) viene tilizzato: l ltimo n.ro generato da na seqenza precedente data/ora corrente Generazione di nmeri casali e psedo-casali

12 Generatori di nmeri psedocasali a m = 5 Esempio: = c = 0 = 3 = ( ) mod5 = = = = ( 3 + 3mod5 ) = 4 3 = ( mod5 ) = 0 4 = ( mod5 ) = 3 ( a c) mod m 4 = = = = = = i+ i+ = i + i+ = m Generazione di nmeri casali e psedo-casali

13 Generatori di nmeri psedocasali Lo svantaggio della periodicità è ineliminabile ma pò essere controllato mediante opportna scelta delle costanti (m, a, c). Vi sono teoremi che garantiscono periodicità sfficientemente lnga m è il più grande nmero intero che la macchina consente sì da garantire la migliore approssimazione dei reali. In genere è scelto primo o potenza di c è coprimo con m: qalsiasi se m primo, dispari se r a è della forma con + r m = β Le macchine IBM 360/370 avevano n cattivo generatore, con: m= + a= + c= 3 6 3, 3, 0 Le macchine attali hanno boni generatori con: m= a = + c= 35 7,, Generazione di nmeri casali e psedo-casali 3

14 Generazione di nmeri p.c. da v.a. qalsiasi Finora abbiamo visto come sia possibile generare seqenze di nmeri psedocasali provenienti da v.a. con distribzione niforme contina nell'intervallo (0,). Adesso vedremo alcni metodi che consentono di ricavare seqenze provenienti esattamente o approssimativamente da leggi qalsiasi a partire sempre dalla distribzione U(0,). In sostanza, tramite qesti metodi, saremo in grado di campionare da na qalsiasi distribzione avendo disponibile sl nostro calcolatore semplicemente il generatore niforme. Generazione di nmeri casali e psedo-casali 4

15 Trasformazione integrale di probabilità Se è na v.a. contina la ci fnzione di ripartizione strettamente crescente, allora la v.a. Y = F è, trasformata della tramite la sa f.r., ha distribzione niforme in (0,). F ( i) Eqivalentemente Se Y ha distribzione niforme in (0,) allora la v.a. ha proprio F ( i) come fnzione di ripartizione. = F Y La trasformazione Y = F si chiama: trasformazione integrale di probabilità Generazione di nmeri casali e psedo-casali 5

16 Trasformazione integrale di probabilità Se è na v.a. contina con f.r. esplicita e invertibile allora na determinazione della si ottiene applicando l'inversa della sa f.r. ad na determinazione di na Unif(0,): I Y Y Y = F TIP 0 = F I = F I Y Generazione di nmeri casali e psedo-casali 6

17 Trasformazione integrale di probabilità Se è na v.a. discreta allora formalmente cade l'invertibilità. Ma se la sa f.r. è ancora esplicita, sando la definizione di qantile, possiamo ancora ottenere na determinazione della a partire da na determinazione di na Unif(0,): { } { } = inf : F = inf : P Y I Y Y ( Y = F, I = F F TIP* 0 = 3 Generazione di nmeri casali e psedo-casali 7

18 Uniforme contina in (a,b) Sia U Grazie al TIP: ( a,b) con f.r. esplicita e invertibile U Allora costriamo l'inversa: ( 0,) F = = b = F = b a + a a a tramite la qale, dato n nmero psedocasale, ricaviamo immediatamente U n nmero psedocasale = b a + a 0 a b Generazione di nmeri casali e psedo-casali 8

19 Distribzione contina generica Sia na v.c. contina con f.d. ϕ 0 = 0 altrove allora: t F = tdt = = 0 0 Otteniamo così la relazione: = che invertita consente di ottenere na determinazione psedocasale di : = Generazione di nmeri casali e psedo-casali 9

20 Bernolliana Sia B( p) con 0 p, q = p Allora: = [ ) + [ ) F q I I 0,, + L algoritmo di generazione è immediato ed esatto : Sia n nmero psedocasale p allora 0 se 0 < q = se q < q 0 Generazione di nmeri casali e psedo-casali 0

21 Binomiale con TIP Sia Bin( n, p) Allora: 0 < 0 α0 0 < n k n k F = pq = α < R k= 0 k n Spponendo di aver generato n nmero tale che: α < < α 0 ricaveremo la nostra determinazione psedocasale di con la relazione: { } = inf : F = Generazione di nmeri casali e psedo-casali

22 Binomiale per simlazione Un metodo meno costoso ma ancora esatto consiste nel "simlare" n esperimenti di Bernolli e contare gli esiti favorevoli sfrttando la proprietà: Date n bernolliane i.i.d. n = i i= Dnqe, date n determinazioni indipendenti, i=,..., n = i=,, B p i= n la loro somma si distribisce come na binomiale: Generazione di nmeri casali e psedo-casali i (, ) Bin n p provenienti da altrettante v.a. bernolliane i i i B p ricaveremo la nostra determinazione psedocasale di con la relazione: n

23 Binomiale con approssimazione Normale I metodi appena visti possono rivelarsi costosi per n grande. In qesto caso conviene ricorrere all'approssimazione normale garantita dal Teorema Limite Centrale. (, ) Bin n p Z n np d = n np p ( ) Correzione di continità N ( 0,) Dnqe, se z è na determinazione da na Normale Standard, otteniamo na determinazione approssimata da con la relazione: ( ) z = ma 0, 0.5+ np+ z np p L approssimazione Normale è accettabile per: np> 0 nq > 0 Generazione di nmeri casali e psedo-casali 3

24 Geometrica Sia G p con 0 p, q = p F q Allora la sa f.r. sarà: = N Invertendo la relazione: = e ln q in N ricaviamo: ln( ) = ln q Generazione di nmeri casali e psedo-casali 4

25 Esponenziale Ep λ Sia con Allora la sa f.r. sarà: F = e I λ > 0 ( ) [ ) 0, + Invertendo la relazione: = e in + R ricaviamo: = ln( ) λ Generazione di nmeri casali e psedo-casali 5

26 Poissoniana λ λ P( λ) f = e, = 0,,... con λ > 0! E semplice generare da con TIP* (vedi binomiale) o, qando è grande (>0), tramite approssimazione normale: λ Z λ = λ + λ 0.5 d λ N ( 0,) da ci, se z è na determinazione dalla N(0, ) allora: z ( λ z λ ) = ma 0, è n approssimazione di na determinazione da P( λ) Generazione di nmeri casali e psedo-casali 6

27 Poissoniana per simlazione Analogamente a qanto visto per la binomiale, anche nel caso della poissoniana per valori piccoli del parametro, conviene generare i tempi di arrivo, sommarli tra loro fino a che non eccedono l'nità e infine contare qanti ne sono stati generati. A garanzia del metodo interviene la proprietà: In n processo di Poisson s n intervallo temporale nitario, il tempo di attesa tra de eventi si distribisce come na v.a. Esponenziale di gal parametro. Il metodo (la ci dimostrazione omettiamo) richiede di:. definire k=0 e s=. generare n nmero psedocasale s = s k s < e = k 3. porre 4. se λ altrimenti si incrementa k e si torna a. k Generazione di nmeri casali e psedo-casali 7

28 Normale non standard Osservando che se Z è na normale standard: Z N ( 0,) allora: ( = σ Z + µ N µσ, ) desmiamo sbito che, nota na determinazione psedocasale z proveniente da na normale standard, la corrispondente determinazione psedocasale proveniente da na si ricava dalla relazione: (, ) N µσ z = σ z+ µ Generazione di nmeri casali e psedo-casali 8

29 Normale standard tramite TLC Poiché la f.r. di na Metodo basato sl Teorema Centrale Limite Data la sccessione di v.c. E i µ = Var i = σ { } i i.i.d. con Generazione di nmeri casali e psedo-casali 9 i N nµ i= e vale: Z = N( 0,) n n Per n finito ma sfficientemente elevato la v.a. Siano allora: i Z è possibile ricorrere al metodo della TIP N ( 0,) è asintoticamente na N( 0,) ( 0,) =,, Ui U U i n non è data in forma esplicita non σ i n particolare approssimato d n Zn indipendenti. Avremo che: n d i EUi = /, VarUi = /, Zn = N 0, n n

30 Normale standard tramite TLC Così, per n=, si ha: Z Dnqe, dati nmeri psedocasali i, i =,..., = U 6 i= i z = i i= 6 è na (bona) approssimazione proveniente da na normale standard di na determinazione Osservazioni: Metodo pittosto lento (servono ben psedocasali) Z è troncata fori da (-6, +6) Il metodo fornisce solzioni approssimate ma accettabili Generazione di nmeri casali e psedo-casali 30

31 Normale standard tramite Bo-Mller Metodo di G.E.P. Bo e M.E. Mller o delle coordinate polari particolare esatto Consideriamo la gassiana standard bivariata nelle coordinate ( r, θ ) polari : r r / g r, θ drdθ = e drdθ = p( r) q( θ) drdθ π e calcoliamo le f.r. marginali del modlo e dell'angolo del vettore polare: r = P r = p t dt = e 0 ( θ ) = Q = q t dt = θ 0 r / Generazione di nmeri casali e psedo-casali 3 θ π

32 Normale standard tramite Bo-Mller Poiché entrambe le f.r. sono analiticamente invertibili, possiamo applicare la TIP e ricavare facilmente: r = ln θ = π Ora torniamo alle coordinate cartesiane ricavando na coppia di determinazioni psedocasali normali standard indipendenti a partire da na coppia di determinazioni psedocasali niformi: z = rcosθ = ln cos π z = rsinθ = ln sin π Generazione di nmeri casali e psedo-casali 3

33 Metodo Bo-Mller ottimizzato Poiché il compto delle fnzioni trigonometriche è estremamente dispendioso si pò ricorrere al segente ingegnoso stratagemma. Se generiamo casalmente n pnto (,y) all'interno del cerchio goniometrico è possibile dimostrare che: Y + ( 0, ), cos π ( 0, ), sin π ( 0,) + Y + Y Y U U U Allora la precedente relazione pò essere riscritta in termini di e y senza l'so delle fnzioni trigonometriche: z = ln + y z = ln + y ( ) ( ) + y Generazione di nmeri casali e psedo-casali 33 + y y