Mariarosaria Mancusi

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1 Appunti di Matematica per allievi stranieri del I anno Corso serale A.F. 20/204 IFP Pertini Trento Settore Acconciatore - Estetista A cura di Mariarosaria Mancusi

2 .. 4. L insieme Rappresentazione Confronto tra numeri naturali Operazioni con in numeri naturali. 8 Potenze... 5 Multipli di un numero... 8 Divisori di un numero... 9 Criteri di divisibilità Numeri primi e numeri composti. 22 Scomposizione in fattori primi Massimo Comune Divisore (M.C.D.). 24 Minimo comune multiplo (m.c.m.). 25 Cap.2 NUMERI RAZIONALI Le Frazioni Confronto tra frazioni Frazioni proprie, improprie, apparenti Frazioni equivalenti Riduzione ai minimi termini Riduzione al minimo comun denominatore Addizione e sottrazione tra frazioni Addizione di frazioni con denominatore uguale Sottrazione di frazioni con denominatore uguale Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi Moltiplicazione tra frazioni Divisione tra frazioni Rapporti e proporzioni La percentuale Cap. UNITÀ DI MISURA LE MISURE DI LUNGHEZZA 67 2

3 5.2 LE MISURE DI CAPACITÀ LE MISURE DI PESO LE MISURE DI SUPERFICIE LE MISURE DI VOLUME Le equivalenze Come eseguire le equivalenze. 7

4 CHE COSA SONO I NUMERI NATURALI NUMERI NATURALI INSIEME NUMERI CARDINALI NUMERI ORDINALI Sono i numeri che usiamo per contare. È l insieme dei numeri naturali ed è infinito. Ogni elemento ha un successivo e un precedente ad eccezione del primo elemento il numero zero, che non possiede un precedente. Sono i numeri naturali usati per contare. Sono i numeri naturali usati per ordinare. LE OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI ADDIZIONE SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE DIVISIONE ELEVAMENTO A POTENZA È l operazione con cui si calcola la somma. Si dice somma di due numeri naturali e il numero che si ottiene contando di seguito ad tante unità quante ne indica : È l operazione con cui si calcola la differenza. Si dice differenza fra due numeri naturali e il numero che addizionato a dà come somma : se È l operazione con cui si calcola il prodotto. Si dice prodotto di due numeri naturali e il numero che si ottiene addizionando tanti addendi uguali ad quante sono le unità di :... addendi È l operazione con cui si calcola il quoziente. Si dice quoziente fra due numeri naturali e il numero naturale che, se esiste, moltiplicato per dà come risultato : se È l operazione con cui si calcola la potenza di un numero. Dati due numeri naturali ed, si dice potenza di base ed esponente il prodotto di fattori uguali ad :.. fattori 4

5 LE ESPRESSIONI ARITMETICHE ESPRESSIONE ARITMETICA È una sequenza di operazioni aritmetiche, il cui valore si calcola eseguendo le operazioni in essa contenute, rispettando un determinato ordine di precedenza: si calcolano prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni nell ordine in cui compaiono, infine le addizioni e le sottrazioni sempre nell ordine in cui compaiono. I MULTIPLI E I DIVISORI DI UN NUMERO NUMERO PRIMO NUMERO COMPOSTO NUMERI PRIMI FRA LORO MASSIMO COMUN DIVISORE (M.C.D.) MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.) È ogni numero naturale che ha per divisori solo e se stesso. È ogni numero naturale che non è un numero primo. Sono numeri che non hanno divisori comuni, oltre a. Si dice M.C.D. di due o più numeri naturali il maggiore dei loro divisori comuni. Si dice m.c.m. di due più numeri naturali il minore dei loro multipli comuni (escluso lo 0). 5

6 . L insieme I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare: 0,, 2,, 4, 5, 6, 7, I numeri naturali sono infiniti, cioè dato un numero ce n è sempre un altro che viene dopo. ESEMPIO: Dato il numero 5, subito dopo c è il numero 6. Dopo il 6 c è il 7. Dopo il 7 c è il numero 8, ecc. Ogni numero naturale ha un PRECEDENTE e un SUCCESSIVO, tranne lo zero che non ha il precedente. ESEMPI: PRECEDENTE NUMERO SUCCESSIVO (NON esiste) Tutti i numeri naturali formano un insieme che viene indicato con il simbolo. ESERCIZIO Completa la tabella, quando è possibile: PRECEDENTE NUMERO SUCCESSIVO

7 .. Rappresentazione I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta..2 Confronto tra numeri naturali SIMBOLO COME SI LEGGE (significato) MAGGIORE (è più grande) MINORE (è più piccolo) UGUALE DIVERSO O DISUGUALE ESEMPIO 82 Si legge: 8 È MAGGIORE DI 2 28 Si legge: 2 È MINORE DI 8 22 Si legge: 2 È UGUALE A 2 5 Si legge: È DIVERSO DA 5 Se hai due numeri naturali puoi dire qual è più grande, immaginando come si trovano posizionati sulla retta e sapendo che un numero che è più piccolo si trova sempre alla sinistra di quello più grande. ESEMPI: 5 2 Si legge: 5 è maggiore di 2 ESERCIZI: 4 20 Si legge: 4 è minore di 20 ) Scrivi il simbolo > oppure < al posto dei puntini:

8 2) Metti il segno giusto (maggiore) (minore) = (uguale) Operazioni con i numeri naturali Nome operazione Simbolo operazione Come si legge Esempio ADDIZIONE + più 5 = 8 SOTTRAZIONE meno 27 4 = 2 MOLTIPLICAZIONE oppure per 6 5 = 0 oppure 6 5 = 0 DIVISIONE : diviso 8 : 9 = 2 ESERCIZIO: ) Collega le operazioni al nome e al risultato giusti: 94 ADDIZIONE 7 27 SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE 8 86 DIVISIONE 6 8

9 RICORDA: ATTENZIONE! NON SI PUÒ DIVIDERE UN NUMERO PER 0! Esempio: 5 : 0 = impossibile 0 DIVISO PER UN QUALUNQUE NUMERO DIVERSO DA 0 DÀ COME RISULTATO 0! Esempio: 0 : 5 = 0 0 : 0 = indeterminata 9

10 ESERCIZI: ) Metti in colonna e calcola: ) Metti in colonna e calcola: 9850= 78= 9487= 756= 954= 867= 674= 24524= 4726= 50= 05= 00= 0= 0= 2424= ) Metti in colonna e calcola: 92= 85= 64= 622= 420= 259= 5024= 6205= 82= 2= 2= 90= 09= 00= 0= 4) Calcola: 48:4= 5:= 72:9= 2:26= 85:5= 906:26= 408:5= 546:78= 680:05= 0:= :0= 5:0= 0:5= 0:0= 0:0= 0

11 Parentesi tonde ( ) Parentesi quadre [ ] Parentesi graffe { } Si possono presentare in diverse forme: SE CI SONO SOLO ADDIZIONI () E SOTTRAZIONI () Si eseguono nell ordine in cui sono scritte: 8242

12 2

13 Oltre alle regole che abbiamo già visto per le espressioni senza parentesi, si deve rispettare questo ordine:

14 ESEMPI: ESERCIZI: ) Calcola il valore delle seguenti espressioni senza le parentesi: = "# = "0# = "2# 2) Calcola il valore delle seguenti espressioni con le parentesi: "$ % 2 7# +$5 4 2% 4= "0# &72 5 "$6 4 % 2+5 $7 4 4% 2# 5 7' 46 = "# &"$8 4 6%+$ 5 4% 9#+5' 0= "6# 4

15 . Potenze Potenze con la stessa base 5

16 Potenza di una potenza Potenze con lo stesso esponente 6

17 ESERCIZI: ) Osserva l esempio e completa la tabella. POTENZA BASE ESPONENTE ( ) 4 2 * 5 + 4, 8-7. * 2) Completa come nell esempio: ( ( = ( ( (=/0 0, = 0 + = 4 + = 22 = 2, = 2 = 7 2 = 5 =25 ) Applica le proprietà delle potenze: : $2, % + $8, % $, %, $29 4 % :2 8 + : :2 4 5 :5 7

18 .4 Multipli di un numero I multipli di un numero a sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando a per 0,, 2,, 4, 5, 6,. Cioè: i multipli di un numero naturale, esempio 4, sono i numeri della tabellina del 4. Un numero è pari se è multiplo di 2. Un numero è dispari se non è pari. ESEMPI: I multipli di 2 si indicano con M(2) e sono : I multipli di si indicano con M() e sono : I multipli di 5 si indicano con M(5) e sono : 0; 2; 4; 6; 8;. 0; ; 6; 9;. 0; 5; 0; 5; 20; 25;. ESERCIZIO: Scrivi i primi dieci multipli di 4: M(4) 0; 4; 8; 6; 20; 24; 28; 2; 6; 40. M(6) 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. M(7) 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. M(8) 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. M(9) 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. M(0) 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. M() 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. M() 0; ; ; ; ; ; ; ; ;. 8

19 .5 Divisori di un numero I divisori di un numero naturale, ad esempio 6, sono i numeri che sono contenuti esattamente nel 6; cioè facendo la divisione il resto è 0. ESEMPIO: ESERCIZIO: Trova i divisori: D(4) ; 2; 4 D(6) D(7) D(8) D(9) D(0) D(5) D(2) 9

20 .6 Criteri di divisibilità 20

21 N.B.: la posizione dispari o pari si deduce partendo da destra verso sinistra. ESERCIZIO: Applica i criteri di divisibilità come nell esempio: è divisibile per 0 è divisibile per 528 è divisibile per 50 è divisibile per 690 è divisibile per X X X 2

22 .7 Numeri primi e numeri composti ESERCIZIO: Sottolinea i numeri primi e cerchia i numeri composti: Scomposizione in fattori primi 22

23 ESERCIZI: ) Scomponi i numeri dati in fattori primi, come nell esempio: =2, ) Completa: =. 75 =. 68 = =. 90 =. 5 =. 2

24 .9 Massimo Comune Divisore (M.C.D.) Divisori di 2: ; 2; ; 4; 6; 2. Divisori di 0: ; 2; 5; 0. ESERCIZIO: Osserva l esempio e calcola il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri: M.C.D.(24;8) = 6 D(24) ; 2; ; 4; 6; 8; 2; 24; D(8) ; 2; ; 6; 9; 8; M.C.D.(2;5) = M.C.D.(8;6) = M.C.D.(20;8) = Per numeri grandi puoi usare il metodo della scomposizione: ESEMPIO: Divisori di 5 : ; 5. Divisori di 6 : ; 2; ; 6. 24

25 ESERCIZIO: Calcola il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri, utilizzando il metodo della scomposizione in fattori primi: M.C.D.(2;8) = 2 = 6 M.C.D.(2;5) = M.C.D.(2;40) = M.C.D.(75;0) =.0 Minimo comune multiplo (m.c.m.) Il minimo comune multiplo è il più piccolo dei loro multipli comuni. M 5: 5; 0; 45; 60; 75; M 0: 0; 20; 0; 40; 50; 60; ESERCIZIO: Osserva l esempio e calcola il m.c.m. delle seguenti coppie di numeri: m.c.m.(6;5) = 0 M(6) 0; 6; 2; 8; 24; 0; 6; M(5) 0; 5; 0; 45; 25

26 m.c.m. (;4) = m.c.m. (8;0) = m.c.m. (5;5) = M 5 : 5; 0; 5; 20; 25; 0; 5;.; 60; M 6 : 6; 2; 8; 24; 0; 6; 42;.; 60; ESERCIZIO: Osserva l esempio e calcola il m.c.m. delle seguenti coppie di numeri, utilizzando il metodo della scomposizione in fattori primi: =2 + 5 = 5 m.c.m.(24;5) = = 20 m.c.m.(6;5) = m.c.m. (8;2) = m.c.m. (5;0) = 26

27 LE FRAZIONI FRAZIONE FRAZIONI PROPRIE, IMPROPRIE E APPARENTI FRAZIONI EQUIVALENTI PROPRIETÀ INVARIANTIVA 6 È il simbolo che rappresenta il quoziente della 7 divisione fra i numeri e. Le frazioni proprie hanno il numeratore minore del denominatore, le frazioni improprie il numeratore maggiore del denominatore, le frazioni apparenti il numeratore multiplo del denominatore. Due frazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso valore, cioè se applicate a un intero producono lo stesso risultato. Se si moltiplicano o si dividono il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente. LE OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE DIVISIONE ELEVAMENTO A POTENZA Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, la loro somma e la loro differenza si ottengono addizionando o sottraendo i numeratori; se invece hanno denominatori diversi, prima si devono ridurre allo stesso m.c.d. (minimo comune multiplo dei denominatori) e poi si calcola la loro somma o la loro differenza. Il prodotto di due frazioni si ottiene moltiplicando i due numeratori e i due denominatori. Il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per l inversa della seconda. La potenza di una frazione si ottiene elevando a potenza il numeratore e il denominatore. LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI FRAZIONE DECIMALE FRAZIONE ORDINARIA NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI Q 9 È una frazione il cui denominatore è 0 o una potenza di 0: si può trasformare in un numero decimale finito. È una frazione che, ridotta ai minimi termini, non è decimale. Sono tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di frazioni. È l insieme dei numeri razionali assoluti. 27

28 I RAPPORTI E LE PROPORZIONI RAPPORTO PROPORZIONE PROPORZIONE CONTINUA PERCENTUALE Si dice rapporto fra un numero ed un altro, il quoziente della divisione fra il primo di essi e il secondo. Nel rapporto il dividendo è detto antecedente, il divisore è detto conseguente. È l uguaglianza di due rapporti. L antecedente del primo rapporto e il conseguente del secondo si chiamano estremi. Mentre, il conseguente del primo rapporto e l antecedente del secondo si chiamano medi. Per esempio, nella proporzione = : e : sono gli estremi, e sono i medi della proporzione. È una proporzione che ha i medi uguali. È un rapporto in cui il conseguente è 00; ovvero è una frazione con denominatore pari a

29 2. Le Frazioni Prendi un intero (L intero può essere un cerchio, un triangolo, una torta, ecc.) Dividi l intero in quattro parti uguali Colora due parti La parte colorata è la frazione - La frazione / rappresenta 2 delle 4 parti in cui ) è stato diviso l intero. 2 è il numeratore della frazione / ) 4 è il denominatore della frazione / ) Quando il numeratore di una frazione è uguale a, la frazione si chiama unità frazionaria. 29

30 - è una frazione. Si legge: due quarti numeratore - linea di frazione denominatore Queste sono tutte unità frazionarie: Numero Come si legge Numero Come si legge ; / Un mezzo ; ;0 Un diciassettesimo ; ( Un terzo ; ;< Un diciottesimo ; ) Un quarto ; /= Un ventesimo ; > Un quinto ; (= Un trentesimo N.B.: Quando il denominatore è più grande di 0 si mette il suffisso ESIMO (o ESIMI per il plurale) 0

31 Lavoriamo insieme Colora una parte, cioè su 4 si dice un quarto si scrive ( è una unità frazionaria) Questo è un intero. Questo intero è diviso in 6 parti: ogni parte è 5 dell intero ( = unità frazionaria ) colora due parti, cioè 2 su 6. si dice due sesti si scrive - 5 ( non è una unità frazionaria) se coloriamo 4 parti, cioè 4 su 6 si dice quattro sesti si scrive.. : questa non è una unità frazionaria

32 Lavoriamo insieme. Osserva il disegno e completa: L intero è diviso in. parti uguali E colorata parte, cioè su. Si dice: un ottavo Si scrive: 2. Osserva il disegno e completa L intero è diviso in.. parti Ogni parte è. dell intero Sono colorate 2 parti dell intero, cioè su. I.. dell intero sono colorati Si scrive:. 2

33 . Colora i, 5 della figura A Dividi la figura A in 6 parti uguali Figura A Colora 5 parti La parte non colorata è della figura A, Colora le parti di autobotte piene di benzina. La benzina occupa i -, dell autobotte Autobotte La benzina occupa i +, dell autobotte Autobotte L autobotte è piena di benzina. Un benzinaio compra 5 della benzina. Colora la benzina che rimane.

34 ESERCIZI: ) Completa la tabella Frazione Numeratore Denominatore Frazione unitaria / ( / ( ; ( 4

35 2) Scrivi in lettere 0 / Sette mezzi

36 2.2 Confronto tra frazioni Se hai due frazioni, qual è quella più grande? Se due frazioni hanno denominatore uguale, allora è maggiore (>) quella che ha numeratore maggiore. Se due frazioni hanno denominatore diverso, allora bisogna fare il prodotto incrociato tra numeratore e denominatore e vedere quale dei due numeri ottenuti è maggiore. ESEMPI:, * ;+ *, * > + * Denominatore uguale 7 4=28 = 4 ; =28 < = 4 < + Denominatore diverso ESERCIZI: Completa con maggiore (>), minore (<), uguale (=) al posto dei puntini: -, 4 4, 4 *, +, 4,.,, * , 4,, * 2 5 6

37 2. Frazioni proprie, improprie, apparenti Se il numeratore è minore del denominatore, la frazione si dice propria. ESEMPIO: + 4 < 7, cioè numeratore < denominatore FRAZIONE PROPRIA Se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore, la frazione si dice impropria. ESEMPIO:. + 9 >, cioè numeratore > denominatore FRAZIONE IMPROPRIA Se il numeratore è multiplo del denominatore la frazione si dice apparente. ESEMPIO: * 8 è multiplo di 4 (4 x 2 = 8) FRAZIONE APPARENTE ESERCIZI: Scrivi se la frazione è propria impropria o apparente. Frazione propria, impropria o apparente? ; / Frazione propria

38 2.4 Frazioni equivalenti Due frazioni sono equivalenti se hanno lo stesso valore cioè rappresentano lo stesso numero decimale. ESEMPIO: - + = 2 : = 0, ; 5 = 4 : 6 = 0, e 5 hanno lo stesso valore, quindi sono equivalenti 2.5 Riduzione ai minimi termini Puoi ridurre una frazione solo se puoi dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero. Una frazione è ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro, cioè quando il numeratore e il denominatore hanno come divisore comune solo il numero. ESEMPI: ) Riduci la frazione - * ai minimi termini Il numeratore 24 e il denominatore 8 si possono dividere entrambi per = - * -. Ora 2 e 9 si possono dividere entrambi per = + 4 e si possono dividere entrambi solo per. Quindi la frazione - è ridotta ai minimi * termini. 8

39 2) Riduci la frazione ai minimi termini Il numeratore 72 e il denominatore 20 si possono dividere entrambi per = oppure: Il numeratore 72 e il denominatore 20 si possono dividere entrambi per 2. 72: 2 = 6, cancello 72 e scrivo 6 20: 2 = 60, cancello 20 e scrivo Ora 6 e 60 si possono dividere entrambi ancora per = * oppure: Il numeratore 6 e il denominatore 60 si possono ancora dividere entrambi per 2. 6: 2 = 8, cancello 6 e scrivo 8 60: 2 = 0, cancello 60 e scrivo

40 Il numeratore 8 e il denominatore 0 si possono dividere entrambi per = 9 5 oppure: Il numeratore 8 e il denominatore 0 si possono ancora dividere per 2. 8: 2 = 9, cancello 8 e scrivo : 2 = 5, cancello 0 e scrivo Ora 9 e 5 si possono dividere per. +, + = +, oppure: Il numeratore 9 e il denominatore 5 si possono dividere per. 9 : =, cancello 9 e scrivo 5 : = 5, cancello 5 e scrivo

41 e 5 si possono dividere solo per. Si dice che e 5 sono numeri primi tra loro. La frazione ridotta ai minimi termini diventa +, ESERCIZI: ) Completa: a. Riduci la frazione ai minimi termini Il numeratore 20 e il denominatore 60 si possono dividere per 2. 20: 2 =, cancello 20 e scrivo : 2 =, cancello 60 e scrivo Ora 0 e 0 si possono dividere ancora per 2. 0: 2 =, cancello.. e scrivo.. 0: 2 =., cancello.. e scrivo Il numeratore 5 e il denominatore 5 si possono dividere per 5 5 : 5 =.., cancello.. e scrivo.. 5 : 5 =.., cancello e scrivo

42 e si possono dividere solo per. Si dice che e sono numeri primi tra loro. Quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, si dice che la frazione è ridotta ai minimi termini. La frazione ridotta ai minimi termini diventa.. b. Riduci la frazione - +5 ai minimi termini Il numeratore 24 e il denominatore 6 si possono dividere per 2. 24: 2 =, cancello.. e scrivo. 6 : 2 =, cancello.. e scrivo. Ora e si possono dividere ancora per : =, cancello.. e scrivo.... : =., cancello.. e scrivo Il numeratore e il denominatore si possono dividere per.. : =.., cancello.. e scrivo.... : =.., cancello e scrivo.... e si possono dividere solo per. Si dice che e sono numeri primi tra loro. 42

43 Quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, si dice che la frazione è ridotta ai minimi termini La frazione - +5 ridotta ai minimi termini diventa... 2) Riduci queste frazioni ai minimi termini a b. 44 c d

44 2.6 Riduzione al minimo comune denominatore Riduci due frazioni al minimo comune denominatore, cioè: trasforma due frazioni ridotte ai minimi termini in due frazioni con lo stesso denominatore ESEMPIO: Riduci due frazioni al minimo comune denominatore, cioè trasforma le due frazioni 2 e 5 2 in frazioni con il denominatore uguale: Trova il m.c.m. tra i denominatori 2 e 5 m. c. m. (2;5) =.. Trova i primi 0 multipli, escluso lo zero, di 2 e 5 Cerchia i multipli comuni M(2): M(5): 2; ; 0; ; ; ; ; ; ; 5; ;.. ; ; ; ; ; ; ; Prendi il multiplo più piccolo di 2 e 5: è 0. Il multiplo più piccolo di due numeri è il minimo comune multiplo m. c. m (2;5) = 0 Trasforma 2 e 5 2 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 0: = 2? 0 =

45 Dividi 0 per il denominatore 2 0 : 2 = 5 Moltiplica il risultato 5 per il numeratore 5 = 5 x 5 5 = 2 0 : 2 = 5? 0 2 = 5 0 Dividi 0 per il denominatore 5 0 : 5 = Moltiplica il risultato per il numeratore = x... 2 = : ESERCIZI: ) Riduci due frazioni al minimo comune denominatore, cioè trasforma le due frazioni 5 e 8 7 in frazioni con il denominatore uguale Trova il m.c.m. tra i denominatori 5 e 8 m. c. m. (5;8) =.. 45

46 Trasforma 5 e 8 7 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 40 = 5? 40 x = 5 40 : 7 = 8? 40 x 7 = 8 40 : 2) Riduci due frazioni al minimo comune denominatore, cioè trasforma le due 7 8 frazioni e in frazioni con il denominatore uguale 6 4 Trova il m.c.m. tra i denominatori 6 e m. c. m. (6;..) = Trasforma e in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 6 4 x x 7 8 = = : : ) Riduci due frazioni al minimo comune denominatore, cioè trasforma le due 5 4 frazioni e in frazioni con il denominatore uguale 7 46

47 Trova il m.c.m. tra i denominatori e m. c. m. (;..) =.. Trasforma 5 e 7 4 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. x x 5 4 = =. 7. : : 0 9 4) Riduci due frazioni al minimo comune denominatore le due frazioni e 2 Trova il m.c.m. tra i denominatori.. e m. c. m. (..;..) =.. Trasforma 0 9 e 2 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. x x 0 9 = = 2.. : : 5) Riduci le frazioni al minimo comune denominatore ; ; 9 7 ; ; 47

48 2.7 Addizione e sottrazione tra frazioni Per poter effettuare addizioni e sottrazioni di frazioni, è necessario che tutti i termini abbiano lo stesso denominatore Addizione di frazioni con denominatore uguale ESEMPIO : Calcola: = 9 9 Colora di rosso i 9 2 dell intero Colora di blu i 9 4 dell intero = = = = 2 ESERCIZI: ) Calcola: 5 + = Colora di rosso i dell intero 8. Colora di blu 8 dell intero = = =.. = 48

49 2) Calcola: 2 + = 5 5. Colora di rosso i dell intero 5. Colora di blu 2 dell intero = = = =

50 2.7.2 Sottrazione di frazioni con denominatore uguale ESEMPIO: Calcola: 7 2 = 9 9 Colora di rosso i 9 7 dell intero Colora di blu i 9 2 dell intero = = = ESERCIZI: ) Calcola: =. Colora di rosso i dell intero Colora di blu i dell intero. = =.. 50

51 2) Calcola: 6 4 = 7 7. Colora di rosso i dell intero Colora di blu i dell intero. = =.. 5

52 2.7. Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi Per sommare o sottrarre due frazioni che hanno i denominatori diversi, devi prima ridurre le frazioni al minimo comune denominatore ESEMPIO: 5 Calcola + = Prima riduci le due frazioni e al minimo comune denominatore 4 7 Trova il m.c.m. tra i denominatori 4 e 7 m. c. m. (..;..) =.. Trasforma 5 e in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 4 7 x x 5 = = : : Poi somma le due frazioni 4 5 e = = = = = =

53 ESERCIZI: ) Calcola +, Prima riduci le due frazioni 4 e 5 al minimo comune denominatore Trova il m.c.m. tra i denominatori 4 e.. m. c. m. (..;..) =.. Trasforma 4 e 5 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. x x = = : : Poi sottrai le due frazioni 4 e 5 = = 4 = 5. = +. + = =.. 2) Calcola Prima riduci le due frazioni 2 7 e 9 al minimo comune denominatore Trova il m.c.m. tra i denominatori.. e.. m. c. m. (..;..) =.. Trasforma 2 7 e 9 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 5

54 x x Poi somma le due frazioni = 7 = 2 9 =... = = = 2... ) Calcola +. = : : 7 ; = =.. Prima riduci e 9 al minimo comune denominatore RICORDA: = 9 Trova il m.c.m. tra i denominatori e m. c. m. (..;..) =.. Trasforma e 9 in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. x =. x 9 =. : : Poi somma e 9 54

55 9 + = = 9 = = + = =. 4) Calcola 5,.. 5 Prima riduci 5 e al minimo comune denominatore 4 5 RICORDA: 5 = Trova il m.c.m. tra i denominatori.. e m. c. m. (..;..) =.. 5 Trasforma 5 e in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 4 x 5 =. x 5 = 4. : : 5 Poi sottrai 5 e = 5 = 5 =

56 = + = = ) Calcola = -, Prima riduci 8, e al minimo comune denominatore 2 5 RICORDA: 8 = Trova il m.c.m. tra i denominatori.. e e.. m. c. m. (..;..;..) =.. Trasforma 8, e in frazioni con denominatore uguale al m. c. m. 2 5 x x x. 8 =. = = : : : Poi sottrai 8, e = = = 2 = = + = = ) Calcola: = = = 2 56

57 2.8 Moltiplicazione tra frazioni ESEMPIO: Per moltiplicare due frazioni bisogna moltiplicare tra loro i numeratori e i denominatori. Moltiplica 2 7 Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro 2 7 ESERCIZI: 2 7 = = 4 ) Moltiplica Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro = = 9 2) Moltiplica Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro = = 57

58 ) Moltiplica 4 7 Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro = = 4) Moltiplica 9 2 Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro 9... = = 2 Prima di moltiplicare riduci le frazioni! ATTENZIONE: nella moltiplicazione puoi semplificare il numeratore di una frazione con il denominatore di un altra. 5) Moltiplica Riduci la frazione. 0 e 5 si possono dividere per 5 0: 5 = 2, cancello 0 e scrivo 2 5: 5 =, cancello 5 e scrivo Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro = =

59 6) Moltiplica Riduci la frazione. e 9 si possono dividere per. : =, cancello e scrivo 9: =, cancello 9 e scrivo Riduci la frazione. 7 e 5 si possono dividere per 7. 7: 7 =.., cancello.. e scrivo.. 5: 7 =, cancello.. e scrivo Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro = = 5 5 7) Moltiplica Riduci la frazione. 4 e 28 si possono dividere per.....:.. =.., cancello.. e scrivo....:.. =.., cancello.. e scrivo

60 Riduci la frazione. 4 e 28 si possono dividere per.....:.. =.., cancello.. e scrivo....:.. =.., cancello.. e scrivo... Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro.... = = 8) Esegui le seguenti moltiplicazioni: 4 2 a. = b. = c. = d. = e. =

61 2.9 Divisione tra frazioni Per dividere due frazioni: A) Moltiplica la prima frazione per la reciproca della seconda (N.B.: la frazione reciproca la ottieni scambiando il numeratore con il denominatore) da diviso a 2 7 : = 2 7 reciproca 2 B) Poi moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro 2 = = DIVISIONE: 2 7 : = 2 = 7 2 = ESERCIZI: ) Dividi, :+ 4 Moltiplica la prima frazione per la reciproca della seconda : 5 7 = 5 7 Poi moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro : = = = ) Dividi 2, : * + 6

62 Moltiplica la prima frazione per la reciproca della seconda Poi moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro 0 5 a. 8 : = = = ) Esegui le seguenti divisioni: : 6 4 = 5 7 b. : 5= 2 62

63 2.0 Rapporti e proporzioni ESEMPI: Il rapporto tra due numeri è il risultato della divisione tra il primo e il secondo numero. Il rapporto tra i numeri 8 e 2 è: * - = 8 : 2 = 4 Il rapporto tra i numeri 2 e 5 è: -, = 2 : 5 = 2,4 Una proporzione è l uguaglianza di due rapporti. ESEMPI: 0 : 6 = 5 : 24 Si legge: 0 sta a 6 come 5 sta a : 5 = 8 : 7 Si legge: 40 sta a 5 come 8 sta a 7 La formula generale di una proporzione è: Si legge: a sta a b come c sta a d. I numeri che formano una proporzione si chiamano termini della proporzione. Il primo e il terzo termine si chiamano antecedenti. Il secondo e il quarto termine si chiamano conseguenti. 6

64 Nella proporzione il primo e il quarto termine si chiamano estremi, mentre il secondo e il terzo termine si chiamano medi. In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Cioè: ESEMPIO: Estremi Proprietà fondamentale proporzione 0 : 6 = 5 : = 0 24 Medi Prodotto dei medi Prodotto degli estremi Infatti: 6 5 = 240; 0 24 = 240 In una proporzione può mancare uno dei termini. Il termine che manca si chiama termine incognito e si indica con la lettera x. ESEMPI: Trova il termine incognito: 2 : 8 = x : 52 x : = 6 : 9 64

65 Come si calcola il termine incognito? Si applica la proprietà fondamentale. Se il termine incognito è un estremo, allora CEF GECF termine incognito = EHDAEGB BDB ESEMPIO: x : 60 = 42 : 45 x = = 56, Se il termine incognito è un medio, allora CEIF EHDAEGF termine incognito = GECFB BDB ESEMPIO: ESERCIZIO: 64 : x = 20 : 5 x = 6 5, -2 5 = 48 Calcola il temine incognito delle seguenti proporzioni: 24 =64 x 7 49=x 5 66 x=6 7 x 8= =9 x, = -2 x La percentuale Una frazione con denominatore 00 si chiama percentuale e si indica con il numeratore seguito dal simbolo %. ESEMPIO: - 22 = 2 % Si legge: 2 per cento 65

66 Si divide il numeratore per il denominatore. Poi si passa dal numero decimale ottenuto, alla frazione con denominatore 00 moltiplicando numeratore e denominatore per il numero 00. ESEMPIO:, -2 = 0,25 = -, = 22 25% ESERCIZIO: Completa: 7 8 = = = % 9 0 = = = % 7 25 = = = % Si scrive la percentuale come frazione con denominatore 00. Poi si riduce la frazione ai minimi termini. ESEMPIO: 7 -* 28 % = = , 66

67 Per misurare la lunghezza di una strada, di un banco, di un foglio, ecc. si utilizza come unità di misura il metro con i suoi multipli e sottomultipli. 5. LE MISURE DI LUNGHEZZA MULTIPLI UNITÀ SOTTOMULTIPLI km hm dam m dm cm mm chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro 000 m 00 m 0 m m 2 0, m 22 di m = 0,0 m 222 di m= 0,00 m PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ GRANDI ALLE PIÙ PICCOLE DEVI MOLTIPLICARE X : PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ PICCOLE ALLE PIÙ GRANDI DEVI DIVIDERE 67

68 Per misurare la capacità di un recipiente, cioè quanto liquido può contenere un recipiente, si utilizza come unità di misura il litro con i suoi multipli e sottomultipli. 5.2 LE MISURE DI CAPACITÀ MULTIPLI UNITÀ SOTTOMULTIPLI hl dal l dl cl ml ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro 00 l 0 l l 2 di l = 0, l 22 di l = 0,0 l 222 di l= 0,00 l PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ GRANDI ALLE PIÙ PICCOLE DEVI MOLTIPLICARE X : PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ PICCOLE ALLE PIÙ GRANDI DEVI DIVIDERE 68

69 5. LE MISURE DI PESO Per misurare il peso di un oggetto si utilizza come unità di misura il grammo con i suoi multipli e sottomultipli. MULTIPLI UNITÀ SOTTOMULTIPLI t q Mg kg hg dag g dg cg mg Tonnellata Quintale Miriagrammo chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo g 0000g 0000 g 000 g 00 g 0 g g 2 0, g : 22 di g = 0,0 g PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ PICCOLE ALLE PIÙ GRANDI DEVI DIVIDERE 222 di g= 0,00 g PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ GRANDI ALLE PIÙ PICCOLE DEVI MOLTIPLICARE X 69

70 5.4 LE MISURE DI SUPERFICIE Per misurare la superficie di un oggetto si utilizza come unità di misura il metro quadrato con i suoi multipli e sottomultipli. MULTIPLI UNITÀ SOTTOMULTIPLI km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 chilometro quadrato ettometro quadrato decametro quadrato metro quadrato decimetro quadrato m m 2 00 m 2 m 2 22 di m2 = 0,0 m 2 centimetro quadrato di m = 0,000 m 2 millimetro quadrato di m 2 = 0,00000 m 2 PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ GRANDI ALLE PIÙ PICCOLE DEVI MOLTIPLICARE X x 00 x 00 x 00 x 00 x 00 x 00 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 chilometro quadrato ettometro quadrato decametro quadrato metro quadrato decimetro quadrato centimetro quadrato millimetro quadrato : 00 : 00 : 00 : 00 : 00 : 00 : PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ PICCOLE ALLE PIÙ GRANDI DEVI DIVIDERE 70

71 5.5 LE MISURE DI VOLUME Per misurare il volume di un oggetto si utilizza come unità di misura il metro cubo con i suoi multipli e sottomultipli. MULTIPLI UNITÀ SOTTOMULTIPLI km hm dam m dm cm mm chilometro cubo ettometro cubo decametro cubo m 000 m m metro cubo m * decimetro cubo 222 di m = 0,00 m centimetro cubo di m = 0,00000 m millimetro cubo di m = 0, m PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ GRANDI ALLE PIÙ PICCOLE DEVI MOLTIPLICARE X x 000 x 000 x 000 x 000 x 000 x 000 km hm dam m * dm cm mm chilometro cubo ettometro cubo decametro cubo metro cubo decimetro cubo centimetro cubo millimetro cubo : 000 : 000 : 000 : 000 : 000 : 000 : PER PASSARE DALLE UNITÀ DI MISURA PIÙ PICCOLE ALLE PIÙ GRANDI DEVI DIVIDERE * RICORDA: dm = l. Cioè: il volume di dm è equivalente a litro. 7

72 5.6 Le equivalenze Il simbolo indica l unità di misura Come la trovi? Nei numeri SENZA VIRGOLA Nei numeri CON LA VIRGOLA È il primo numero a destra È il numero prima della virgola Esempio: 25 m Esempio: 42,7 m 25 m 2 dam e 5 m 42,7 m 4 dam 2 m e 7 dm 72

73 5.7 Come eseguire le equivalenze Si osserva il o simbolo ESEMPIO: 56 m = dm o 2 o Se è MAGGIORE (più grande) della 2 a u.m. Se è MINORE (più piccola) della 2 a u.m. SI MOLTIPLICA (per le misure di lunghezza, peso e capacità) SI DIVIDE (per le misure di lunghezza, peso e capacità) 0 se ti sposti di posto : 0 se ti sposti di posto 00 se ti sposti di 2 posti :00 se ti sposti di 2 posti 000 se ti sposti di posti :000 se ti sposti di posti SI MOLTIPLICA (per le misure di superficie) SI DIVIDE (per le misure di superficie) 00 se ti sposti di posto : 00 se ti sposti di posto 0000 se ti sposti di 2 posti :0000 se ti sposti di 2 posti se ti sposti di posti : se ti sposti di posti SI MOLTIPLICA (per le misure di volume) SI DIVIDE (per le misure di volume) 000 se ti sposti di posto : 000 se ti sposti di posto se ti sposti di 2 posti : se ti sposti di 2 posti se ti sposti di posti : se ti sposti di posti 7

74 ESERCIZI: ) Completa le equivalenze sulle misure di lunghezza: 006 cm = dam 0,7 hm = dam 5, km = m 5 km = m 20,46 dm = mm 400 cm =. dm 0,87 km = m 6 dam = cm 4,7 km = cm 2 dm = m 9,8 dam = cm 500 dam = km 2) Completa le equivalenze sulle misure di capacità: 500 cl = dl 0,7 hl = dl 29 ml = l 6 hl = ml 58 hl = cl 650 cl =. dl 4 dal = l 50 hl = l 4800 ml = dal 20 dl = l 700 l = hl 500 dal = hl ) Completa le equivalenze sulle misure di peso: 55 kg = dag 89 dag = dg 7000 g = kg 9000 g = hg 540 dg = g 2,7 hg =. g 6 mg = kg 5,47 g =. kg 470 g = dag 6 hg = g 000 kg =. mg 4,6 kg =. dag 4) Completa le equivalenze sulle misure di superficie: 42 m 2 = dm 2 5,8 km 2 = dam 2 0, dm 2 = dam mm 2 = dm mm 2 =. cm 2 2,7 m 2 = cm 2,5 km 2 = hm 2 5 km 2 =. dam 2 0,5 dam 2 =. dm 2 84 dm 2 = m 2 0,0 km 2 = hm 2 5,8 mm 2 =. cm 2 74

75 5) Completa le equivalenze sulle misure di volume: 4, cm =. mm 6000 mm = dm 7500 dm = m 5,8 m =. dam 8 dm =. cm 0,7 dm =. cm,54 dam = m mm = dm 4000 m = hm cm = m 200 hm =. km 0,025 m =. dm 6) Indica il valore della cifra 4 nelle seguenti misure: 2,4 km 4 hm 64 cm 46 l 472 m 2450 ml 48,25 hm 46,2 dl 4,72dm. 400 kg.,54 hl 5478 g 0,4 dl 2,46 hg 46 l 46 hg 2450 ml 4,54 g 75

76 76

77 Impara a leggere alcuni numeri naturali e poi scrivili nella tua lingua: Come si scrive (in lettere) NUMERO e come si legge uno 2 due tre 4 quattro 5 cinque 6 sei 7 sette 8 otto 9 nove 0 dieci undici 2 dodici tredici 4 quattordici 5 quindici 6 sedici 7 diciassette 8 diciotto 9 diciannove 20 venti 2 ventuno 22 ventidue 2 ventitré 24 ventiquattro 25 venticinque 26 ventisei 27 ventisette 28 ventotto 29 ventinove 0 trenta Come si scrive nella tua lingua? 77

78 Come si scrive (in lettere) NUMERO e come si legge trentuno 2 trentadue trentatré 4 trentaquattro 5 trentacinque 6 trentasei 7 trentasette 8 trentotto 9 trentanove 40 quaranta 4 quarantuno 42 quarantadue 4 quarantatré 44 quarantaquattro 45 quarantacinque 46 quarantasei 47 quarantasette 48 quarantotto 49 quarantanove 50 cinquanta 60 sessanta 70 settanta 80 ottanta 90 novanta 00 cento Come si scrive nella tua lingua? 78

79 Come si scrive (in lettere) NUMERO e come si legge 0 centouno 02 centodue 0 centotré 04 centoquattro 05 centocinque 06 centosei 07 centosette 08 centootto 09 contonove 0 centodieci 20 centoventi 0 centotrenta 40 centoquaranta 50 centocinquanta 60 centosessanta 70 centosettanta 80 centottanta 90 centonovanta 200 duecento 00 trecento 400 quattrocento 500 cinquecento 600 seicento 700 settecento 800 ottocento 900 novecento Come si scrive nella tua lingua? 79

80 Come si scrive (in lettere) NUMERO e come si legge 000 mille 00 milleuno 002 milledue 00 milletré 004 millequattro 005 millecinque 006 millesei 007 millesette 008 milleotto 009 millenove 00 milledieci 00 millecento 200 milleduecento 2000 duemila 000 tremila 4000 quattromila 5000 cinquemila 6000 seimila 7000 settemila 8000 ottomila 9000 novemila 0000 diecimila 000 undicimila ventimila Come si scrive nella tua lingua? 80

81 Come si scrive (in lettere) NUMERO e come si legge centomila duecentomila un milione due milioni un miliardo Come si scrive nella tua lingua? SIMBOLO COME SI LEGGE (significato) > MAGGIORE (è più grande) MINORE (è più piccolo) UGUALE DIVERSO O DISUGUALE ESEMPIO 82 Si legge: 8 È MAGGIORE DI 2 28 Si legge: 2 È MINORE DI 8 22 Si legge: 2 È UGUALE A 2 5 Si legge: È DIVERSO DA 5 8

82 Nome operazione Simbolo operazione Come si legge Esempio ADDIZIONE + più 5 + = 8 SOTTRAZIONE meno 27 4 = 2 MOLTIPLICAZIONE oppure per 6 5 = 0 oppure 6 5 = 0 DIVISIONE : diviso 8 : 9 = 2 Parentesi tonde ( ) Parentesi quadre [ ] Parentesi graffe { } Espressione matematica Come si legge: 25$4% Più due meno cinque per aperta la parentesi tonda tre meno quattro chiusa la parentesi tonda uguale. 6&2"7$42%#' Sei meno, aperta parentesi graffa due più, aperta parentesi quadra sette meno, aperta parentesi tonda quattro più due chiusa la parentesi tonda, chiusa la parentesi quadra, chiusa la parentesi graffa uguale 82

83 Completa la tabella: Espressione matematica Come si legge: E nella tua lingua? "25$24%$%# 2&2"$%4# '7 Le frazioni si possono leggere in modi diversi: Frazione Primo modo Secondo modo Terzo modo E nella tua lingua? Uno fratto tre Un terzo Linea di frazione, al numeratore uno ed al denominatore tre inutilizzabile inutilizzabile Linea di frazione, al numeratore tre meno due, al denominatore tre più due Cinque fratto tre meno uno fratto cinque più due Cinque terzi meno un quinto più due Linea di frazione, al numeratore cinque, al denominatore tre. Meno linea di frazione, al numeratore uno, al denominatore cinque. Più due. 8

84 Completa la tabella: Frazione Come si legge Frazione Come si legge Cinque settimi 2 2 Tre quinti 5 Trecentoventicinque 27 trecentoquarantatreesimi Trentasette ottantacinquesimi Quattro quarti Quattro quattordicesimi Quattromilaseicento settemilatredicesimi Settantacinque primi Cinque (cinque primi ) Quattro ottavi Un quinto Trentacinque quindicesimi Quarantacinque quarantaquattresimi 5 Tre primi 7 Diciassette ventesimi Cinque sesti 84

85 85