La muratura come materiale non omogeneo ed anisotropo

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1 Università degli Studi di Messina Facoltà di Ingegneria A.A. 2006/2007 Statica e Sismica delle Costruzioni Murarie Docente: Ing. Alessandro Palmeri Lezione n. 9: La muratura come materiale non omogeneo ed ortotropo Le principali caratteristiche della muratura dal punto di vista del comportamento meccanico sono: a) Disomogeneità b) Anisotropia c) Asimmetria, rispetto al segno delle sollecitazioni (compressione/trazione). d) Non Linearità del legame sforzi-deformazioni. La disomogeneità è dovuta al fatto che gli elementi resistenti e la malta di cui è costituita la muratura possono avere caratteristiche meccaniche fortemente diverse. Inoltre, spesso non è sufficiente conoscere le caratteristiche dei materiali componenti presi singolarmente per prevedere il comportamento meccanico dell insieme, in quanto un ruolo fondamentale è giocato dall interfaccia ovvero dall unione fra i componenti, che per particolari fenomeni chimico-fisici tende a sviluppare un comportamento meccanico non necessariamente riconducibile a quello dei singoli componenti. Il comportamento meccanico macroscopico della muratura può quindi essere considerato come il risultato dell interazione meccanica fra gli elementi e la malta, attraverso la loro interfaccia. 2

2 L anisotropia è dovuta alla direzionalità intrinseca della muratura, legata alla forma ed alle proporzioni degli elementi resistenti ed al modo con cui essi vengono disposti, nonché all eventuale presenza di fori e alla loro direzione. La quasi totalità delle murature moderne presentano elementi regolari disposti per corsi orizzontali, con giunti orizzontali di malta continui, laddove i giunti verticali sono invece sfalsati per legare meglio la muratura. L asimmetria di comportamento meccanico è la diretta conseguenza del fatto che sia gli elementi resistenti, sia la malta, sia l interfaccia malta-elemento presentano un comportamento asimmetrico nei riguardi della trazione e della compressione. Un particolare ruolo in questo fenomeno è giocato dall interfaccia, che in molti casi presenta una resistenza a trazione più bassa e più aleatoria di quella dei singoli componenti. È su queste basi che la muratura viene modellata frequentemente come materiale non reagente a trazione (NRT). Infine, la non linearità, che può essere vista in parte come un risultato di alcune delle caratteristiche sopra elencate, caratterizza in modo marcato il comportamento della muratura sia in compressione, sia in trazione, sia in stati di sollecitazione composti. 3 Nelle applicazioni ingegneristiche, non è sempre possibile, né necessario tenere in conto tutte le caratteristiche sopra elencate. Nella prassi progettuale si utilizzano modelli in cui il materiale viene idealizzato come un continuo omogeneo equivalente al materiale non omogeneo di riferimento, e l anisotropia viene tenuta in conto in modo estremamente semplificato, se non addirittura trascurata. In diversi casi, in funzione del tipo di applicazione e del livello di sollecitazione, può anche essere lecito trascurare la non linearità del materiale, utilizzando i modelli dell elasticità lineare. La principale conseguenza del carattere non omogeneo, o composito, della muratura consiste nella necessità di distinguere fra le grandezze meccaniche macroscopiche o medie o nominali, e le grandezze locali, laddove fra le grandezze di interesse si possono far rientrare in particolare gli sforzi, le deformazioni e i parametri del legame costitutivo. 4

3 Una definizione rigorosa dal punto di vista meccanico e matematico di continuo omogeneo equivalente e della relazione fra grandezze medie o macroscopiche e grandezze locali non è un problema di banale soluzione. Recenti studi hanno cercato di affrontare il problema applicando alla muratura le tecniche sviluppate per lo studio dei materiali compositi ( tecniche di omogeneizzazione ). Qualitativamente si può dire che la definizione di un materiale omogeneo equivalente ha senso quando il campione di materiale ha dimensioni tali per cui in esso sono contenute parecchie eterogeneità, e la dimensione delle stesse, rapportata alle dimensioni del campione, è quindi molto piccola. Nella muratura, tuttavia, la definizione di quale tra i due componenti (elementi resistenti o malta) debba essere considerato come eterogeneità è abbastanza arbitraria. Si sottolineano due aspetti particolaremente importanti: L uso di grandezze macroscopiche ha senso solo quando i campioni di muratura considerati sono sufficientemente grandi in rapporto alle dimensioni degli elementi resistenti, e con gradienti di sforzo macroscopico non eccessivamente elevati. Operazioni relativamente semplici e consuete, quale l interpretazione di una prova di compressione su un prisma di muratura, si basino su una più o meno dichiarata operazione di omogeneizzazione del materiale. 5 Il comportamento in compressione monoassiale di un prisma di muratura è intermedio tra quello del singolo mattone (elemento resistente) e quello della malta, a causa della coazione che si istaura tra i due componenti. 6

4 1. Compressione (normalmente ai letti di malti) Si supponga di sottoporre un prisma di muratura ad una prova di compressione semplice, normalmente ai letti di malta, e definendo una tensione media σ=n/a riferita all area lorda del provino, ed una deformazione media ε= h/h 0 riferita all accorciamento del provino h in direzione parallela al carico, su una lunghezza di riferimento h 0, si ottiene una curva sforzo-deformazione intermedia rispetto alle curve ottenibili da prove di compressione sulla singola malta e sul singolo blocco. È stato osservato (Hendry; Tassios) che in generale il comportamento in compressione è determinato, in diversa misura, dai seguenti fattori: Resistenza, caratteristiche deformative e geometria degli elementi resistenti. Resistenza e caratteristiche deformative della malta. Spessore dei giunti. Capacità di assorbimento dell acqua da parte dei mattoni, e capacità di ritenzione dell acqua da parte della malta. Geometria secondo cui vengono disposti gli elementi (sistema costruttivo, o apparecchiatura ). 7 Dal punto di vista fenomenologico, la crisi per compressione si presenta con lo sviluppo progressivo di fessurazioni verticali (parallele all asse di carico) negli elementi, conseguenti allo sviluppo di trazioni ortogonali a quelle di compressione. La causa di tale stato di trazione indiretta è uno stato di coazione che si instaura all interno del materiale in conseguenza del diverso comportamento deformativo della malta e degli elementi. In particolare, al crescere del carico assiale, la malta viene a trovarsi in uno stato di compressione triassiale per effetto del contenimento esercitato dagli elementi, i quali a loro volta si trovano soggetti a trazioni ortogonali all asse di carico. 8

5 Il confinamento triassiale della malta giustifica il fatto che la muratura possa resistere a sforzi di compressione maggiori della resistenza a compressione monoassiale della malta stessa. Sulla base di queste considerazioni, una formulazione elastica può essere formulata come segue. Con riferimento ad un prisma di mattoni e malta, soggetto ad una tensione di compressione σ z >0 in direzione z, e supponendo i mattoni e la malta materiali elastici lineari e isotropi, l applicazione della legge di Hooke generalizzata permette di esprimere le deformazioni trasversali ε bx e ε by del mattone ( brick ) in direzione x e y, e le analoghe ε jx e ε jy del giunto ( joint ) di malta come: 1 1 ε = [σ + ν (σ - σ )] ε = [-σ + ν (σ + σ )] bx bx b z by jx jx j z by Eb Ej 1 1 ε = [σ + ν (σ - σ )] ε = [-σ + ν (σ + σ )] by by b z bx jy jy j z by Eb Ej dove E b ed E j sono i moduli di Young del mattone e della malta; ν b ed ν j sono i rispettivi coefficienti di Poisson; le tensioni normali σ bx e σ by del mattone sono di trazione; le tensioni normali σ jx e σ jy del giunto di malta sono di compressione. 9 Per la congruenza tra malta e giunto di malta risulta: ε = ε ε = ε bx jx by jy t b t j Inoltre, per l equilibrio, la risultante degli sforzi di compressione laterali nei giunti di malta deve essere uguale alla risultante degli sforzi di trazione laterale nel mattone, da cui, nelle due direzioni x e y: σ = ασ σ = ασ bx jx dove a=t j /t b èil rapporto (adimensionale) tra l altezza del giunto di malta e quella del mattone. by jy 10

6 Combinando le equazioni di elasticità, di congruenza e di equilibrio, si trova la relazione che lega gli sforzi trasversali di trazione allo sforzo di compressione lungo z: a(νj - bν b) σ bx = σ by = σ 1+ ab-(ν + abν ) dove b=e j /E b è il rapporto (adimensionale) tra il modulo di Young del giunto di malta e quello del mattone. Se si introduce un criterio di rottura del mattone in condizioni di sforzo triassiali, e si assume che la crisi del mattone coincida con la crisi della muratura, è possibile pervenire ad una formulazione della resistenza della muratura. j b z 11 Si assuma, ad esempio, per il dominio di resistenza del mattone una relazione lineare fra le tensioni di trazione nel mattone σ t =σ bx =σ by e la tensione di compressione σ z, di equazione: σ t σ f z bc σ l f t + =1 bc f bt f bc σ z dove l= f bt /f bc, essendo f bc ed f bt, rispettivamente, la resistenza a compressione ed a trazione del mattone. Sostituendo, si trova la seguente espressione per la resistenza a compressione della muratura: 1 fu = fbc a(νj - bν b) 1 + l [1 + ab - (ν j + ab ν b)] 12

7 Questa formulazione presenta una serie di limitazioni che non ne permettono l uso diretto nelle applicazioni. In particolare: Si basa sull ipotesi di comportamento lineare elastico dei materiali fino a rottura: tale ipotesi risulta poco accettabile, specialmente quando la malta è molto debole. Presuppone una conoscenza quantitativa delle costanti elastiche dei materiali: le metodologie per una misura sperimentale diretta di tali grandezze presentano notevoli difficoltà e sono a tutt oggi oggetto di verifiche e calibrazioni. L alternativa alla misura diretta è l uso di formule empiriche, i cui risultati solitamente sono soggetti a forte incertezza. Tuttavia, il valore concettuale dell approccio descritto è di dare una descrizione, ancorché approssimata, della rottura per compressione come risultato di uno stato di coazione fra i materiali componenti il prisma. Tra l altro, è stato verificato mediante confronti sperimentali che l espressione ricavata sembra descrivere in maniera abbastanza soddisfacente l'influenza dello spessore del giunto di malta sulla resistenza a compressione della muratura. Si nota cioè che, mantenendo costanti gli altri parametri meccanici e geometrici, la resistenza a compressione di un prisma di muratura diminuisce rapidamente all'aumentare dello spessore del giunto. 13 La formulazione appena descritta è stata migliorata da Hilsdorf (1969). In primo luogo, ha introdotto un coefficiente di disuniformità U>1, definito come rapporto tra il massimo sforzo normale di compressione σ z osservato e lo sforzo medio σ z,m =N/A. Il coefficiente U varia con il livello dello sforzo normale di compressione e con la resistenza della malta. Dipendenza dallo sforzo medio di compressione σ z,m =N/A Dipendenza dal tipo di malta [1 psi (pound/inch 2 ) = 0,0703 kgf/cm 2 ] La dipendenza dalla lavorabilità della malta, anche se rilevante, non è quantificabile.

8 La prima variazione introdotta da Hilsdorf, dunque, è quella di addebitare alle concentrazioni di sforzo la causa principale della rottura dei mattoni: per cui questa avrà luogo quando lo sforzo efficace σ z =U σ z,m supera la resistenza a compressione del mattone. La seconda variazione è l ipotesi che la rottura della muratura avvenga quando alla crisi dei mattoni, soggetti a compressione-trazione, si accompagni la contestuale crisi della malta, soggetta a compressione triassiale. In figura, la linea A rappresenta la combinazione dello sforzo di compressione σ z =U σ z,m e di trazione σ x =σ y che provoca la fessurazione del mattone. La linea C indica il minimo sforzo laterale nel mattone sufficiente a contenere la malta. 15 Le equazioni che governano le due linee sono, ordinatamente: σ σ f σ =f +4,1σ z t + =1 fi σ t = l(fbc -σ z) bc l fbc z j jx Imponendo l equilibrio tra la risultante degli sforzi laterali di trazione σ t agenti sul mattone di altezza t b e la risultante degli sforzi laterali di compressione σ jx =σ jy sul giunto di malta di spessore t j, si ha: t 1 σ t =σ t fi σ = σ = σ b t b jx j jx t t tj a Sostituendo, si trova la tensione verticale σ z in condizioni di rottura: 4,1 l a f+ j lf σ z =f j + σ t =f j + (fbc -σ z) fi σ z = a a a + l bc dove a = a/4,1= (t j / t b )/4,1. 16

9 La resistenza della muratura si ricava dividendo tensione verticale σ z per il coefficiente di disuniformità: 1 a f+ j lfbc f a f+f bc j f= u = U a -l U a f +f Hilsdorf ha confrontato i risultati sperimentali con i valori di resistenza ottenuti dal modello teorico nell ipotesi che la resistenza biassiale a trazione nei mattoni potesse essere assunta pari a quella monoassiale. I principali ostacoli nell'utilizzazione del modello derivano dalla valutazione di f bt e di U. Esistono altre incertezze dovute al fatto che la resistenza del giunto di malta è diversa dalla resistenza cubica dello stesso materiale. Secondo Hilsdorf, il coefficiente U dipende dalla posa in opera, dal tipo e dalla resistenza della malta, dal tipo di mattoni e dalla distribuzione dei fori, nonché dal reticolo murario. Prove di Hilsdorf indicano per il coefficiente U valori compresi tra 1.1 e 2.5, decrescenti al crescere della resistenza della malta. bc bt bt 17 Sahlin (1971) ha confrontato le curve teoriche di resistenza di Hilsdorf con risultati sperimentali. Resistenza a compressione f u della muratura vs resistenza a compressione f bc dei mattoni: confronto tra valori teorici e risultati sperimentali, dispersi nella zona ombreggiata 18

10 f u vs t j : confronto tra valori teorici e risultati sperimentali f u vs f j : confronto tra valori teorici e risultati sperimentali 19 L'approccio di Hilsdorf è stato successivamente sviluppato da altri autori mediante un affinamento dei criteri di resistenza triassiali dei mattoni e della malta. Raccogliendo le indicazioni ottenute dalla sperimentazione e dalle formulazioni razionali finora proposte si nota che: La resistenza della muratura aumenta al crescere della resistenza dei componenti, ma in modo non direttamente proporzionale. Un aumento della resistenza dei mattoni porta ad un rapido incremento della resistenza della muratura quando la malta è di qualità molto buona; viceversa, se la qualità della malta è scarsa, la resistenza della muratura cresce più lentamente al crescere della resistenza dei blocchi. La resistenza della muratura non aumenta in modo direttamente proporzionale all aumentare della resistenza della malta, bensì più lentamente. Un aumento dello spessore dei giunti fa diminuire la resistenza della muratura, in misura tanto maggiore quanto più la malta è di scarsa qualità. Esiste inoltre una serie di altri fattori che possono influenzare la resistenza della muratura in compressione, quali: Presenza dei giunti verticali e del tipo di connessione o orditura dei mattoni. Fattori di esecuzione quali la composizione e miscelazione della malta, o l esecuzione difettosa dei giunti di malta. 20

11 Formulazioni empiriche sono state proposte per compendiare l influenza dei fattori principali che concorrono a determinare la resistenza a compressione della muratura. Tali formulazioni sono finalizzate alla progettazione e alla verifica delle costruzioni. In tale ambito la valutazione della resistenza deve tenere conto della dispersione di tale grandezza per introdurre valori cautelativi in metodi di verifica basati su principi probabilistici. I procedimenti di calcolo utilizzano, infatti, un frattile inferiore della sua distribuzione (valore caratteristico). Ad esempio, la formulazione adottata in Europa nell'ambito dell Eurocodice 6 si basa sulla seguente espressione: f=kf f k in cui la resistenza caratteristica a compressione della muratura, f k, è espressa in funzione della resistenza media a compressione dei mattoni, f b, e della malta, f m ; K è un coefficiente dipendente dal tipo di elementi. Si ipotizza che f k cresca approssimativamente con la radice terza dei mattoni (a=0,65) e con la radice quarta della resistenza della malta (b=0,25). a b b m 21 Il comportamento deformativo in compressione semplice di un prisma di muratura ha un andamento non lineare, che nel tratto ascendente può essere approssimato in modo abbastanza soddisfacente con una relazione σ-ε di tipo parabolico: σ Ê ε ˆ Ê ε ˆ =2 f Á - Ëε Á Ëε u Prove sperimentali eseguite su murature di mattoni mostrano come questa relazione possa valere anche s f u per una porzione del ramo decrescente della curva. Tuttavia, fermo restando il fatto che il ramo decrescente dipende 0.2 sensibilmente dalle dimensioni del e provino e dal metodo di prova, il 0 e 0 comportamento post-picco può differire in modo significativo per diversi tipi di murature, mostrando in alcuni casi comportamenti marcatamente fragili (è il caso ad esempio di alcune murature in laterizio forato o in blocchi di calcestruzzo). 2 22

12 La deformazione al picco di resistenza ε 0 vale comunemente: 2,5 3, per murature di mattoni 1,5 2, per murature in blocchi di calcestruzzo ed ha ampie variazioni per le murature in pietrame. In molte applicazioni può rendersi necessaria la definizione di un modulo elastico della muratura E m, il cui significato è solitamente quello di modulo tangente secante alla curva σ-ε per valori di compressione non superiori a 0,35 0,40 f u. Le relazioni empiriche più frequentemente usate per la definizione del modulo elastico in assenza di misurazione sperimentale diretta riconducono E m alla resistenza a compressione della muratura: E = f m Criteri per la determinazione del modulo elastico della muratura a partire dalle proprietà elastiche dei componenti sono stati proposti da diversi autori. Si osserva comunque che in generale risulta più problematica la misurazione sperimentale della deformabilità della malta e dei mattoni singolarmente, che non di un campione di muratura, e quindi tali formulazioni analitiche spesso possono dare errori paragonabili a quelli delle formulazioni empiriche. 23 u 2. Trazione (normalmente ai letti di malta) Il comportamento in trazione della muratura è generalmente caratterizzato dalla rottura del giunto di malta, che può avvenire per: Decoesione all intefaccia mattone-malta. Frattura all interno del giunto di malta, normalmente alla direzione di trazione, qualora l adesione della malta all elemento sia molto buona. In generale, la resistenza a trazione del giunto f jt può quindi variare da un massimo, prossimo alla resistenza a trazione della malta f mt, ad un minimo che può arrivare a qualche percento di f mt nel caso di decoesione all interfaccia. Più raramente, quando la qualità del legante è molto elevata oppure la resistenza degli elementi è molto scarsa, può aversi la frattura nell elemento. La resistenza a trazione è caratterizzata da una estrema aleatorietà: per questo motivo viene spesso trascurata nelle applicazioni. Tuttavia, essa può avere particolare rilievo per la resistenza a flessione delle pareti per azioni fuori dal piano. Un ruolo fondamentale è giocato dall assorbimento dell acqua di impasto da parte degli elementi. Un elevato assorbimento tende a privare la malta dell acqua necessaria per l idratazione del legante cementizio, consentendo quindi solo una parziale idratazione e conferendo così al materiale una resistenza minore in prossimità dell interfaccia. 24

13 3. Stati tensionali complessi A causa dell'anisotropia, nell'analisi del comportamento della muratura soggetta a stati tensionali complessi è necessario fare riferimento, oltre alle componenti del tensore degli sforzi macroscopici, anche al loro orientamento rispetto agli assi di ortotropia del materiale. Nel caso di stati tensionali le cui risultanti siano contenute nel piano medio della parete, è possibile fare ricorso al modello di stato di sforzo piano. In tal caso sono necessari tre parametri per descrivere compiutamente lo stato tensionale macroscopico. Una possibilità è di utilizzare le tensioni principali s 1 e s 2 unitamente all angolo q formato da una delle tensioni principali con la direzione dei letti di malta. 25 Alternativamente, è possibile utilizzare le tre componenti del tensore degli sforzi nel sistema di riferimento del materiale, ovvero con gli assi coincidenti con le normali alla giacitura dei letti di malta e dei giunti di testa, comunemente indicate con s n (normale ai letti di malta), s p (parallela ai letti di malta). I primi studi sperimentali per l'individuazione di domini di resistenza per stati di sforzo biassiali risalgono alla fine degli anni Settanta e ai primi anni Ottanta, con ricerche svolte su muratura di mattoni in laterizio presso l Università di Newcastle in Australia (Page) e l Università di Edimburgo nel Regno Unito (Hendry). Il comportamento ortotropo della muratura risulta particolarmente evidente quando la malta ha caratteristiche di resistenza nettamente inferiori a quelle degli elementi. 26

14 Modalità di rottura di pannelli in muratura al variare dello stato tensionale biassiale. 27 Domini di rottura biassiali ottenuti sperimentalmente su muratura di mattoni. 28

15 Domini di rottura biassiali ottenuti sperimentalmente su muratura di mattoni Criterio di sicurezza di Mohr-Coulomb Si vuole far vedere che i domini di rottura ricavati sperimentalmente per la muratura di mattoni sono riconducibili al criterio di sicurezza di Mohr-Coulomb, il quale, nell ipotesi semplificativa di materiale omogeneo ed isotropo, si può enunciare nella seguente forma: Il collasso del materiale viene raggiunto quando in un punto qualsiasi il valore assoluto dello sforzo di taglio t su un piano comunque inclinato passante per quel punto uguaglia il valore limite, dato dalla somma di una costante, c, detta coesione, e di un termine proporzionale allo sforzo normale s su quello stesso piano secondo un coefficiente, che è pari alla tangente di un angolo f detto angolo di attrito interno del materiale. Cioè, assumendo come positivi gli sforzi di compressione, si ha collasso quando: t c+stan( f) 30

16 Dal punto di vista geometrico, il collasso avviene quando lo stato di sforzo piano {s,t} è tangente alla coppia di rette di equazione t =c+s tan(f). 31 Il criterio di sicurezza di Mohr-Coulomb si riscrive in termini di tensioni principali nella seguente forma: Ès +s c Í + ( ) 2 tan( ) Î f sin f s -s da cui, indicate rispettivamente con s max e s min le tensioni normali massima e minima, positive se di compressione: Ê p f ˆ Ê p f ˆ Ë4 2 Ë4 2 2 s max tan + s min + 2c tan + 32

17 Siccome le tensioni principali s 1, s 2 e s 3 possono coincidere, ciascuna a turno, con s max o con s min, si hanno sei condizioni di rottura, che nello spazio {s 1,s 2,s 3 } delimitano un dominio a forma di piramide. 33 Quando lo stato di sforzo è piano, cioè, ad esempio, s 2 =0, il dominio di rottura è rappresentato da una sezione di questa piramide ortogonale all asse s 2. Posto n=tan 2 (p/4+f/2), le sei condizioni di rottura diventano: (4) (2) (3) 1) s 0 =s s fi s = n s + 2c n ) s 0 =s s fi s = n s + 2c n ) s s 0 = s fi s = 2c n ) s s 0 = s fi s = 2c n ) 0 =s s s fi s =-2c/ n ) 0 =s s s fi s =-2c/ n Valori indicativi per coesione ed attrito sono c= 2 kgf/cm 2 e f= 30. (5) (6) (1) 34

18 Il criterio di rottura così formulato, a svantaggio di sicurezza, sopravvaluta la resistenza a trazione del materiale. Indicata con t<0 la resistenza a trazione della muratura, occorre considerare le due disuguaglianze: (4) 5') 6') s1 t s t 3 (2) (3) Un parametro caratteristico per t è la resistenza a trazione della malta, il cui valore assoluto indicativamente varia tra 1.5 e 5 kgf/cm 2. (5 ) (6 ) (1) 35 Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici che si ottengono al variare dell angolo q, confrontati con quelli sperimentali. 36

19 Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici che si ottengono al variare dell angolo q, confrontati con quelli sperimentali. 37 Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici che si ottengono al variare dell angolo q, confrontati con quelli sperimentali. 38

20 Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici che si ottengono al variare dell angolo q, confrontati con quelli sperimentali. 39 Il criterio di Mohr-Coulomb può essere applicato anche nel caso di materiale omogeneo ed ortotropo. In questo caso, tuttavia, la formulazione matematica diviene eccessivamente pesante. Qui si propongono solo i domini di sicurezza teorici che si ottengono al variare dell angolo q, confrontati con quelli sperimentali. 40