Grandezze importanti. Un lavoro positivo si chiama lavoro motore, mentre un lavoro negativo si chiama lavoro resistente.

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1 Grandezze importanti Lavoro Lavoro è ciò che compie una forza quando il punto su cui agisce si sposta, in un senso o nell'altro, parallelamente alla forza stessa. La forza è un vettore e quindi quanto appena detto si riferisce alla componente della forza lungo la direzione dello spostamento. Se la forza ha valore costante, il lavoro compiuto è il prodotto della forza per lo spostamento parallelo alla forza subito dal punto di applicazione. Se lo spostamento è nullo, il lavoro è nullo. Se la forza è perpendicolare allo spostamento il lavoro è nullo. L'unità di misura nel Sistema Internazionale è il joule (simbolo J) che corrisponde al lavoro compiuto da una forza avente valore costante 1 N quando lo spostamento del punto d'applicazione nella direzione della forza è 1 m Un lavoro positivo si chiama lavoro motore, mentre un lavoro negativo si chiama lavoro resistente. Una particella soggetta soltanto ad una forza può spostarsi in una direzione diversa da quella lungo cui agisce tale forza (come nel caso del moto di un proiettile), ma non può muoversi in linea retta a meno che la retta abbia la stessa direzione dell'unica forza applicata. 1) Supponiamo che una particella si muova di moto rettilineo e sia soggetta ad una forza costante F che abbia la stessa direzione del moto. In questo caso, il lavoro è dato da: L= Fs Dove s è lo spostamento subìto dalla particella. 2) Supponiamo ora che la particella si muova di moto rettilineo e sia soggetta ad una forza costante F che formi un certo angolo φ con la direzione del moto. La forza F compie un lavoro L dato dal prodotto scalare tra F e lo spostamento s, cioè dato da L=F s= F s cosφ Il significato del prodotto scalare tra F e s è: prodotto della componente di F sulla direzione di s oppure, equivalentemente, prodotto della componente di s sulla direzione di F. F (il segmento più grosso è la componente di F nella direzione di s.) s

2 Il lavoro è collegato all'idea di spostamento nella direzione della forza. Quindi, se F e s sono perpendicolari, il coseno di 90 è 0 (cioè la componente di F su s è nulla) quindi la forza non compie lavoro. Ancora: si può pensare di scomporre la forza nelle componenti parallela F // e perpendicolare F alla direzione del moto: la prima compie un lavoro pari a F // s, la seconda compie un lavoro nullo. Esercizio: Un ragazzo tira una slitta di 10 kg per 10 m su di una superficie orizzontale a velocità costante. Quale lavoro compie sulla slitta se il coefficiente di attrito dinamico è μ=0,20 e la forza applicata forma un angolo di 45 con l'orizzontale? Soluzione: le forze agenti sulla lista sono le seguenti: N f φ F s P Devo calcolare L= F s cos φ ma non conosco F. Poiché la velocità è costante dovranno essere nulle, rispettivamente, le risultanti di tutte le forze orizzontali e di tutte le forze verticali, cioè: somma della forza di attrito f e la componente orizzontale di F: Fcos φ-f=0 somma delle componente verticale di F, peso P e forza vincolare N: Fsin φ+n-p=0 Si sa anche che la forza d'attrito è legata alla forza premente (in questo caso N), dalla relazione: f=μn Combinando le ultime tre equazioni si ottiene: F=μP/(cos φ+ μsin φ) Sosituendo i valori dati dal testo si ottiene:

3 F=(0,20)(10 kg)(9,8 m/s 2 )/(0,707+0,141)=23,5 N per cui L= F s cos φ=(23,5 N)(10 m)(0,707)=166 J 3) Se la forza è costante ma il moto NON è rettilineo, al variare della posizione dal punto P1 al punto P2, il lavoro è dato dalla somma di infiniti termini dl del tipo: dl= F ds dove i vari ds sono gli spostamenti infinitesimi (cioè piccolissimi) che il corpo compie durante intervalli di tempo infinitesimi dt. In altre parole, ds e dt sono, rispettivamente, equivalenti a Δs e Δt calcolati per intervalli di tempo che tendono a zero. La linea tratteggiata rappresenta la traiettoria F P 1 P 2 Se la forza è costante le componenti perpendicolari allo spostamento P 2 P 1 danno lavoro complessivo nullo, quindi si considera solo la distanza tra punto iniziale e punto finale (vedi dimostrazione dopo). Il lavoro compito da F è: L=F P 2 P 1 In altre parole, il lavoro compiuto da una forza costante non dipende dal percorso, ma solo dal punto iniziale e dal punto finale. Per dimostrare ciò graficamente si consideri la figura seguente, cioè una traiettoria formata da una spezzata, e una forze costante F (in rosso). a b Si calcola il lavoro compiuto da F nei due tratti della spezzata a e b, e per far ciò si scompongono sia F che i due tratti della spezzata lungo gli assi. In questo modo si calcolano separatamente i due lavori lungo percorsi rettilinei, in modo da riportarsi al caso più semplice trattato all'inizio. Il lavoro sarà dato dalla somma F x a x +F y a y + F x b x +F y b y in quanto F x a y +F y a x saranno nulli perché se forza e spostamento sono nulli il lavoro compiuto è nullo.

4 a y F y a b x b b y F x a x Come si vede dalla figura, b y =-a y, in quanto le componenti verticali dei vettori a e b hanno lo stesso modulo ma hanno verso opposto. Si avrà quindi: L= F x a x +F y a y + F x b x +F y b y =F x a x +F y a y + F x b x -F y a y =F x (a x +b x ) ma (a x +b x ) è proprio il modulo dello spostamento dal punto iniziale al punto finale (indipendente dalla traiettoria). 4) Per finire, se la forza NON è costante e il moto NON è rettilineo, si dovrà calcolare la somma di infiniti termini del tipo: dl= F ds in cui, diversamente dal primo caso affrontato, il valore di F varia da ds a ds. Come visto precedentemente, si può scomporre ogni piccolo spostamento ds in due componenti ortogonali, dx e dy; anche F può essere scomposta in due componenti ortogonali, F x e F y. Si può allora disegnare il grafico di una generica componente in funzione della direzione corrispondente (per esempio, F x in funzione di x). Poiché si parla di forze NON costanti, il grafico potrà avere un andamento del tipo in figura: F x x x 1 x 2 Nel tratto tra x 1 e x 2 il lavoro fatto da F x è dato dall'area della figura compresa tra la curva e l'asse delle x (area che può essere sia positiva che negativa). Infatti, l'area non è altro che la somma di infiniti rettangolini di larghezza dx e altezza F x (considerata costante nell'intervallo dx):

5 x x dx 1 x 2 Ossia, l'area non è altro che il lavoro compiuto dalla forza. Potenza: è la grandezza che misura la rapidità di esecuzione di un lavoro. Se un lavoro L viene eseguito in un tempo Δt, la potenza media è L / Δt. Se si considera invece un intervallo infinitesimo dt si ottiene la potenza istantanea: P= dl dt = F ds = F vdt = F v dt dt L'unità di misura nel Sistema Internazionale è il watt (simbolo W) che corrisponde al lavoro di un J in 1 s Esercizio: Una pallina P di massa 40 g procede con velocità costante 150 cm/s in un piano verticale lungo una circonferenza di centro O. Si determini con quale rapidità il peso della pallina compie lavoro: (a) nell'istante in cui il vettore OP è diretto verticalmente verso l'alto; (b) quando il vettore OP è ruotato di 30 ; (c) quando il vettore OP è ruotato di altri 60. P 30 P 60 O P Soluzione: Si deve determinare il prodotto scalare tra la forza peso F p e la velocità del punto su cui la forza è applicata. In tutti e tre i casi la forza peso è diretta verso il basso. Nel caso (a) OP è opposto a F p, la velocità è tangenziale alla circonferenza, quindi OP e velocità sono perpendicolari, quindi la potenza è nulla (la forza non compie lavoro); nel caso (b) l'angolo tra F p e v è 60, quindi la potenza= mgv/2=(0,040 kg x 9,81 m/s2 x 1,50 m/s)/2= 0,294 W.; nel terzo caso F p e v sono paralleli, quindi potenza= mgv=0,040 kg x 9,81 m/s2 x

6 1,50 m/s=0,589 W Forze posizionali: dipendono, nella loro direzione e nel loro valore, solo dalla posizione del punto su cui agiscono (non dal tempo, dalla velocità, ecc. ). NON sono forse posizionali, per esempio, le forze magnetiche perché dipendono dalla velocità della particella su cui agiscono. Forse conservative: sono particolari forze posizionali. Si chiamano così perché il lavoro che queste compiono mantiene inalterato ( conserva ) il valore complessivo dell'energia del corpo (vedi dopo il teorema di conservazione dell'energia meccanica). Caratteristica di queste è che il lavoro compiuto da una forza di questo tipo su un corpo P dipende dallo spostamento subìto dal punto P ma non dalla traiettoria di P. Ossia il lavoro compiuto da una forza conservativa per spostare un corpo da un punto A ad un punto B dipende solo dai punti A e B ma non dal percorso effettuato. Se lo spostamento è nullo (ossia il punto finale coincide con il punto iniziale) il lavoro compiuto da una forza conservativa è nullo. Sono conservative le forze costanti in valore e direzione/verso. E' conservtiva la forza elastica di una molla. Sono conservative le forse fondamentali della natura: interazione gravitazionale (attrazione dipende dalla massa dei corpi) interazione elettrostatica (attrazione-repulsione dipende dalla carica elettrica) interazione forte (interazione tra protoni e neutroni nel nucleo) interazione debole NON è conservativa, per esempio, la forza di un campo elettrico indotto (prodotto dalle variazioni di un campo magnetico) Energia cinetica K di un punto materiale di massa m e velocità v: K= 1 2 mv 2 Teorema dell'energia cinetica: l'energia cinetica finale di un punto di massa m è uguale all'energia cinetica iniziale più il lavoro delle forze applicate al punto. In altre parole, la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro che tutte le forze applicate al punto hanno dovuto fare per portare il punto dalla velocità iniziale v i (cui corrisponde una energia cinetica K i = 1 2 mv 2 i ) alla velocità finale v f (cui corrisponde una energia cinetica K f = 1 2 mv 2 f In particolare, l'energia cinetica di un punto con velocità v è uguale al lavoro che tutte le forze applicate al corpo hanno dovuto fare per portare il punto dalla velocità 0 alla velocità v. Ancora, il lavoro fatto dalla forza risultante agente su un punto di massa m è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Detto ancora diversamente: se in un intervallo di tempo le forze applicate ad un punto materiale di massa m compiono un lavoro L, in quel dato intervallo di tempo il valore dell'energia cinetica del punto varia di L; viceversa, se in un dato intervallo di tempo il valore di v 2 non cambia, significa che la forza risultante agente sul corpo ha compiuto lavoro nullo. Per dimostrarlo si consideri che se un corpo modifica la propria velocità significa che ha un'accelerazione e quindi è soggetto ad una risultante di forze diversa da 0. Tale forza risultante è ) F=ma

7 La variazione di energia cinetica è pari a ΔK= 1 2 m(v 2 f v 2 i ) Dobbiamo dimostrare che L= F s = ΔK 1 caso: la forza è costante. Ricordate che la forza F è un vettore, e se F è costante significa che non varia nè il modulo nè la direzione/verso. In questo caso l'accelerazione a è costante. Consideriamo lo spostamento s lungo la direzione di a e di F. Nel moto uniformemente accelerato si ha: v f =v i +at, quindi a= (v f v i ) t e s=v i t+ 1 2 at2 = v i t+ 1 2 Il lavoro fatto da F è allora (v f v i ) t t 2 = (v f +v i ) t 2 L=F s=fs=m a s= m (v f v i ) t (v f +v i ) t = m(v 2 f v 2 i ) = ΔK 2 caso: la forza NON è costante. Si dovrebbe scomporre il lavoro nella somma di tanti prodotti del tipo F Δs, con Δs piccolissimo e F variabile da intervallo a intervallo. Si dimostra, con il calcolo integrale, che anche in questo caso, cioè nel caso in cui la forza vari in modulo e/o direzione/verso, il lavoro fatto dalla risultante delle forza applicate al corpo è pari alla variazione di energia cinetica. In definitiva: se su un corpo di massa m agisce una risultante di forze F diversa da zero, allora il corpo accelera; se lo spostamento non è perpendicolare alla forza, F compie un lavoro non nullo e qundi si ha una variazione di energia cinetica, cioè il corpo cambia il modulo della propria velocità. Nel moto circolare uniforme la forza centripeta non compie lavoro perché lo spostamento è perpendicolare alla forza, e infatti non c'è variazione di energia cinetica (il modulo di v è costante). L'energia cinetica di un corpo o di un qualsivoglia sistema materiale è la somma delle energie cinetiche dei punti materiali che lo costituiscono. Esercizi: 1) Un corpo di massa m viene lanciato verticalmente verso l'alto con velocità v. Determinare l'altezza massima raggiunta. Soluzione: Se si risolvesse il problema tenendo conto della relazione tra spazio e tempo, e tra velocità e tempo nel moto uniformemente accelerato si dovrebbe considerare il sistema seguente:

8 h=vt 1 2 g t 2 0=v g t Si determina t dalla seconda equazione ( t= v g ), si sostituisce t della prima equazione con l'espressione trovata e si ottiene h= v2 2 g Se si applica il teorema dell'energia cinetica si ottiene che il lavoro fatto dalla forza peso per portare il corpo dalla velocità iniziale v alla velocità finale 0 (se si trova all'altezza massima significa che è fermo) è uguale alla variazione di energia cinetica: 0 1 m v2 = mgh ossia h= v2 2 g 2) Un corpo di massa 500 g, lanciato in aria verticalmente verso l'alto con velocità v 0 =20 m/s, raggiunge l'altezza di 15 m. Quanta energia ha perduto per effetto della resistenza dell'aria? Soluzione: Tenendo conto che l'energia cinetica finale di un punto di massa m è uguale all'energia cinetica iniziale più il lavoro delle forze applicate al punto, si ottiene: energia cinetica a 15 metri= energia cinetica iniziale +lavoro forza peso+lavoro attrito quindi: 0= 1 2 m v 2 0 mgh+lavoroattrito cioè: lavoroattrito= 1 2 m v 2 0+mgh=( 1 2 0,5 x ,5 x 9,81 x 15)J = 26,4 J Altro ragionamento: se non ci fosse l'attrito dell'aria il corpo raggiungerebbe l'altezza 2 h= v 0 2 g =( x 9.81)m=20,39m L'aria compie un lavoro pari al lavoro che avrebbe fatto la forza peso per portare il corpo da 15 m a 20,39 m, cioè pari a (-5,39x9,81x0,5)J= -26,4 J Energia potenziale U di un corpo P: Se si prende un riferimento R e il corpo si sposta da A a R, il lavoro eventuale fatto dalle forze conservative per spostare il corpo da A a R si chiama energia potenziale (gravitazionale se le forze sono gravitazionali, elastica se la forza è elastica, ecc.). E' perciò una grandezza funzione unicamente della posizione del corpo e del riferimento considerato. L'energia potenziale è riferita esclusivamente al lavoro delle forze conservative. In altre parole, l'energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria (dipendente dal riferimento scelto). Le variazioni di energia potenziale, però, non dipendono

9 dal riferimento scelto. A B R Quindi per spostare il corpo da un punto A (punto iniziale) ad un punto B (punto finale) qualunque, si può pensare di spostare il corpo da A a R e da R a B. Le forze conservative compiono un lavoro L A R e poi un lavoro L R B, quindi, in definitiva, un lavoro L A B. Questo lavoro, sarà uguale alla variazione di energia cinetica e sarà uguale a U A U B, dove U A e U B sono, rispettivamente, l'energia potenziale del corpo nel punto A (con riferimento a R) e l'energia potenziale nel punto B (Con riferimento a R). Quindi: ΔK = -ΔU = K f -K i =U i -U f L'energia potenziale è una potenziale energia cinetica. L'uguaglianza precedente si può riscrivere come: K k +U f =K i +U i chiamando energia meccanica E: E=K+U si ottiene il teorema di conservazione dell'energia meccanica: In presenza di sole forze conservative l'energia meccanica è costante. Questo significa che ad una diminuzione di energia cinetica corrisponde un uguale aumento di energia potenziale, e viceversa. Per una particella sottoposta a forze conservative e a forze non conservative, l'energia meccanica non si conserva. Vale però: Δ(K+U) = (K k +U f )-(K i +U i ) = L a dove L a è il lavoro (negativo) fatto dalle forze di attrito (che non sono forze conservative). L'energia si conserva sempre: l'energia meccanica persa riappare sotto forma di energia termica della particella e della superficie con attrito. Esempio: Supponiamo di lasciar cadere un oggetto puntiforme di massa m da un'altezza h. Tralasciamo l'attrito dell'aria. Supponiamo di prendere come riferimento zero per l'energia potenziale il suolo (cioè al suolo l'energia potenziale è nulla).

10 Inizialmente l'oggetto è fermo (v i =0)e ha energia cinetica K i =0. Una volta lasciato andare, si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Toccherà il suolo dopo un tempo t= 2h g e raggiungerà il suolo con una velocità corrispondente è K f = 1 2 m v 2 f = 1 2 m(g 2h 2 g ) La variazione di energia cineti è allora K f K i =mgh v f =g t=g 2h g = 1 2h 2 m(g2 )=m gh g. L'energia cinetica Calcoliamo ora il lavoro compiuto dalla forza peso per portare il corpo dall'altezza h al punto di riferimento 0. Forza peso è spostamento sono paralleli, quindi: U i =L (h 0) =mgh Quindi ΔK = ΔU =mgh In altre parole, con la caduta l'energia potenziale, inizialmente pari a mgh, si è completamente trasformata in energia cinetica, inizialmente nulla. all'inizio K i =0 U i =mgh alla fine h h K f =mhg U f =0 Energia potenziale elastica: la forza F necessaria a riportare una molla nella posizione di zero (molla scarica) a seguito di un allungamento o una compressione è F=-ks (Legge di Hooke), dove k è la costante elastica della molla e s è la distanza dalla posizione zero. Tale forza è parallela allo spostamento, ma non è costante, bensì dipende da s. Il lavoro corrispondente sarà dato dalla somma di infiniti termini del tipo dl=f ds=-ks ds dove ds è un incremento infinitesimo (cioè piccolissimo) di s. Questi termini saranno positivi nel caso di avvicinamento alla posizione zero: s positiva e ds negativo oppure s negativa e ds positivo. s i s f s f s i ds>0 s=0 ds<0 Quando il punto su cui la molla agisce si porta da s i (posizione iniziale) a s f (posizione finale)

11 si ha (dal calcolo integrale o dal calcolo dell'area tra la curva F e l'asse s): L= k 2 (s 2 i s 2 f ) Tale lavoro è positivo se s i è maggiore di s f. Tale lavoro non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e finale, quindi la forza elastica è una forza conservativa. Si può perciò parlare di energia potenziale elastica, e quindi affermare che se si pone il riferimento zero in s=0, si ottiene che l'energia potenziale elastica è: U = 1 2 ks2 Quantità di moto di un punto materiale di massa m e velocità v: è la grandezza: p=mv L'unità di misura è il chilogrammo per metro al secondo [kg m s -1 ] Legge di conservazione della quantità di moto: se la somma delle forze esterne di un sistema è zero, allora la quantità di moto del sistema è costante. Esempio 1: una pallottola di massa m=20 g arriva con velocità v= 300 m/s, inclinata di 15 verso il basso rispetto al piano orizzontale, su un blocco di massa M=10 kg, fermo su un piano orizzontale lungo il quale può scivolare senza attrito. Quale velocità V acquista il blocco se la pallottola si conficca in esso? E quale velocità avrebbe invece se la pallottola lo attraversasse senza cambiare direzione e uscisse con veloctà v' = 100 m/s? Soluzione: pallottola e blocco è un sistema isolato rispetto alla direzione orizzontale, quindi la quantità di moto del sistema si conserva: m v cos(15 )=(m+m)v da cui si ricava V=57,8 cm/s. Nel secondo caso: m v cos(15 )=MV+mv'cos(15 ) da cui si ricava V=38,6 cm/s Esempio 2: un recipiente di massa M si muove orizzontalmente con velocità v'. Se ad un certo punto dall'alto viene fatta cadere una massa supplementare 2M (acqua, sabbia, ecc.), la quantità di moto orizzontale dell'intero sistema si conserva e rimane perciò uguale a Mv'. Però, poiché ora la massa del sistema è 3M, la velocità deve diventare v'/3. Impulso di una forza: è definito come il prodotto della forza F per l'intervallo di tempo

12 Δt in cui essa agisce: I=F Δt Se la forza non è costante, bisogna calcolare e sommare i vari infiniti piccoli impulsi di calcolati per intervalli di tempo infinitesimi (piccolissimi) dt, cioè bisogna fare un calcolo integrale. Se su un corpo agisce una forza F, dalla relazione F= ma=mδv/δt si ricava I=FΔt=mΔv= m(v 2 -v 1 )=p 2 -p 1 =Δp ossia vale il teorema dell'impulso: la variazione della quantità di moto di un punto su cui agisce una forza F è uguale all'impulso di F. Quindi, se la risultante delle forze agenti su un sistema è nulla, la quantità di moto del sistema si conserva, mentre se è diversa da zero, si ha una variazione di quantità di moto pari a I=FΔt Conseguenze: a) Per attutire l'urto quando si cade, si piegano le gambe in modo da rendere più lungo il tempo Δt durante il quale avviene la variazione della velocità (e quindi della quantità di moto). Poiché Δp=F urto Δt, maggiore è Δt, minore è F urto. b) Per poter spezzare una pila di mattoni con un unico colpo, bisogna esercitare la forza in un tempo molto piccolo, in modo che, a parità di Δp, la forza sia molto grande. Urti su una retta: Durante un urto i due corpi che collidono si comportano come un sistema isolato e quindi la loro quantità di moto si conserva. 1) Urto elastico: è un urto in cui si conserva, oltre alla quantità di moto, anche l'energia cinetica dei corpi che interagiscono (le v minuscole rappresentano le velocità prima dell'urto, mentre le V maiuscole quelle dopo l'urto): m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 V 1 +m 2 V m v m v 2 2 2= 1 2 m V m V ) Urto completamente anelastico: i corpi rimangono uniti dopo l'urto (cioè hanno la stessa velocità V): m 1 v 1 +m 2 v 2 =(m 1 +m 2 )V

13 Momento angolare (o momento della quantità di moto): L=r x p è il momento angolare di una particella calcolato rispetto ad un punto fisso O. r è il vettore che congiunge la particella al punto O; p è la quantità di moto della particella; L è il prodotto vettoriale tra r e p; è perciò un vettore la cui direzione/verso è determinata dalla regola della mano destra : v φ O r Il vettore L è perpendicolare al foglio, con la punta del vettore verso l'alto. Il suo modulo è dato da r p sin φ. Se φ=90, il modulo di L è: L=rmv Legge di conservazione del momento angolare: se il momento totale delle forze esterne che agiscono su un sistema di corpi è nullo, il momento angolare del sistema si conserva. Se, viceversa, il momento totale delle forze esterne è diverso da zero ed è τ, allora si ha: τ=dl/dt (teorema del momento angolare) cioè τ indica in quale direzione e con quale rapidità viene incrementato il momento angolare. Deve essere soddisfatta la condizione che τ e L siano riferiti entrambi ad un o stesso punto e che tale punto abbia velocità nulla oppure velovità parallela a quella della particella. Conseguenze: Se una ballerina avvicina le braccia al corpo durante una rotazione attorno ad una asse verticale, ruoterà più velocemente. Se un tuffatore ruota attorno ad un asse orizzontale e si rannicchia durante una rotazione, ruoterà più velocemente.