Francesco esegue nell ordine le seguenti operazioni:

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1 1. Francesco esegue nell ordine le seguenti operazioni: 1. scrive il numero 5 2. lo raddoppia 3. aggiunge 6 4. divide per 2 5. sottrae 5 Quale delle seguenti espressioni traduce correttamente la sequenza delle operazioni fatte da Francesco? A ( ) : 2 5 B : 2 5 C : 2 5 D : (2 5) Ricordiamo che in una sequenza di operazioni la moltiplicazione e la divisione sono da eseguirsi prima rispetto ad addizione e a sottrazione. Possiamo escludere B, perché la divisione per 2 si applicherebbe solo al numero 6 e non rispetterebbe l ordine con cui occorre svolgere le operazioni. Possiamo escludere C, perché per raddoppiare un numero occorre effettuare una moltiplicazione per 2, mentre nella C a 5 viene sommato 10. Possiamo escludere D, perché le parentesi imporrebbero di dividere 6 per il numero 3, che è il risultato della sottrazione 2 5. La risposta corretta è A, in cui la divisione per 2 è effettuata sul risultato ottenuto dalle operazioni contenute tra le parentesi, rispettando così l ordine con cui occorre svolgere le operazioni. 1

2 2 Questi sono gli orari di arrivo alla stessa fermata di tre linee di autobus. Linea A Linea B Linea C 13:07 13:10 13:05 13:22 13:30 13:35 13:37 13:50 13:52 a. Giovanni, per tornare a casa, può prendere solo l autobus della linea C. Quando arriva alla fermata, vede partire l autobus delle 13:05. Quanti altri autobus vede passare Giovanni prima che arrivi il successivo autobus della linea C? A 1 B 2 C 3 D 4 Fra l autobus della linea C delle 13:05 e l autobus della linea C delle 13:35 passeranno 4 autobus: l autobus della linea A delle 13:07, l autobus della linea B delle 13:10, l autobus della linea A delle 13:22 e l autobus della linea B delle 13:30. La risposta corretta è quindi D. b. Filippo arriva alla stessa fermata alle 13:15. Per andare a casa può prendere la linea A, e impiega 35 minuti, oppure la linea C, e impiega 15 minuti. Filippo prende l autobus della linea che gli permette di arrivare a casa prima. Completa la frase. Filippo prende l autobus della linea C e arriva a casa alle ore 13:50 Poiché è arrivato alle 13:15, Filippo può prendere l autobus della linea A delle 13:22 (e arrivare a casa 35 minuti dopo, cioè alle 13:57) oppure può prendere l autobus della linea C delle 13:35 e arrivare a casa 15 minuti dopo, cioè alle 13:50. Quindi, per arrivare prima a casa: Filippo prende l autobus della linea C e arriva a casa alle ore 13:50 2

3 3 Per tenere aperte le porte a volte si usano dei cunei di legno come quello in figura. Lo spigolo a è perpendicolare allo spigolo b e allo spigolo d. d = 10 cm c = 13 cm a b = 12 cm a. Due cunei come quello in figura vengono incollati in modo da formare un parallelepipedo rettangolo. Quali sono le dimensioni del parallelepipedo così ottenuto? A 12 cm; 10 cm; 5 cm B 13 cm; 12 cm; 5 cm C 26 cm; 24 cm; 10 cm D 24 cm; 20 cm; 10 cm Osserviamo il disegno. Il parallelepipedo da considerare ha come spigoli a, b e d. Essendo già note le misure di b e d, occorre calcolare solo la lunghezza dello spigolo a. Per calcolare la lunghezza dello spigolo a, occorre applicare il teorema di Pitagora, in quanto a è un cateto del triangolo rettangolo del quale gli altri due lati sono b (che è il secondo cateto) e c (che è l ipotenusa): a = c 2 b 2 = = = 25 = 5cm Pertanto, le misure corrette del parallelepipedo sono 12 cm, 10 cm e 5 cm e la risposta corretta è quindi A. d = 10 cm c = 13 cm a b = 12 cm 3

4 b. Qual è l area della superficie inclinata del cuneo? Risposta: 130 cm 2 Poiché la superficie inclinata del cuneo è un rettangolo e l area del rettangolo si ottiene moltiplicando la sua base per la sua altezza, moltiplicando d per c e otteniamo l area della superficie inclinata del cuneo: 2 A = d$ c = 10cm $ 13 cm = 130 cm 4

5 4 Un irrigatore è un dispositivo che distribuisce acqua alle piante. Il grafico in figura rappresenta la relazione tra la distanza di una pianta dall irrigatore e la quantità di acqua fornita (per unità di superficie). Distribuzione dell acqua Distanza dall irrigatore (m) a. Quanti millimetri di acqua all ora (mm/h) riceve una pianta posta a 2 metri dall irrigatore? Risposta: 15 mm/h Leggiamo il grafico. In corrispondenza della distanza dall irrigatore pari a 2 m (rappresentata sull asse orizzontale), muovendoci prima in verticale e poi in orizzontale, troviamo che la quantità fornita di acqua fornita è 15 mm/h (rappresentata sull asse verticale). Quindi la risposta è 15 mm/h. Distribuzione dell acqua Distanza dall irrigatore (m) 5

6 b. A quale distanza si deve porre l irrigatore in modo che una pianta riceva 6 millimetri di acqua all ora? Risposta: 8 m Leggiamo nuovamente il grafico. In corrispondenza del valore 6 mm/h (letto sull asse verticale), muovendoci prima in orizzontale e poi in verticale troviamo che la distanza dall irrigatore è 8 m (letta sull asse orizzontale). Distribuzione dell acqua Distanza dall irrigatore (m) 6

7 5 In un negozio di elettrodomestici è possibile acquistare quattro tipi di Music-Card che permettono di scaricare musica da internet. Prezzo Music-Card da 60 canzoni Music-Card da 100 canzoni Music-Card da 250 canzoni Music-Card da 600 canzoni 3 euro 5 euro 10 euro 20 euro a. Se si acquista la Music-Card da 3 euro qual è il costo di ogni singola canzone? Risposta: 0,05 euro Per trovare il costo di ciascuna delle 60 canzoni acquistabili con una Music-Card da 3 euro occorre dividere il prezzo della Music-Card considerata per il numero delle canzoni contenute nella stessa Music-Card. Otteniamo quindi: 3 costo per canzone = euro = 0,05 euro 60 Il costo per canzone può essere espresso anche in centesimi di euro: 5 centesimi. b. Se si acquista la Music-Card da 10 euro invece di quella da 5 euro, qual è la differenza di costo per ogni singola canzone? A 0,01 euro B 0,10 euro C 0,50 euro D 0,05 euro Innanzitutto calcoliamo quanto costa ogni singola canzone se si acquista la Music-Card da 5 euro: 5 costo per canzone : = 0,05 euro 100 Poi calcoliamo quanto costa ogni singola canzone se si acquista la Music-Card da 10 euro: 10 costo per canzone : = 0,04 euro 250 Infine, facendo la differenza tra i due valori trovati, troviamo che ogni singola canzone costa 0,01 euro in meno se si acquista la Music-Card da 10 euro. La risposta corretta è la A. 7

8 6 Osserva la figura. AC è il diametro di una circonferenza di centro O. B A O C Nel triangolo AOB, l angolo BAO t è uguale all angolo OBA t. Immagina di muovere il punto B sulla circonferenza. Gli angoli BAO t e OBA t sono ancora uguali tra loro? Scegli la risposta e completa la frase. Sì, perché gli angoli BAO t e OB t Asono angoli alla base di un triangolo che rimane isoscele anche quando si muove il punto B. Infatti, il triangolo AOB è un triangolo isoscele, poiché i suoi lati OB e OA, essendo raggi della circonferenza in cui AOB è inscritto, hanno la stessa lunghezza. Anche muovendo B sulla circonferenza continueremo ad avere un triangolo isoscele e in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. No, perché

9 7 Quaranta alunni hanno svolto una prova di Italiano e una di Matematica. In tabella sono riportate le frequenze dei voti ottenuti in ciascuna delle due prove: ad esempio, 5 alunni hanno ottenuto come voti 8 in Italiano e 6 in Matematica. ITALIANO VOTO 5 VOTO 6 VOTO 7 VOTO 8 MATEMATICA VOTO VOTO VOTO VOTO a. Quanti alunni hanno preso gli stessi voti in Italiano e in Matematica? Risposta: 10 alunni Incrociamo i dati in tabella e consideriamo i valori lungo la sua diagonale, partendo dalla prima casella in alto a sinistra e finendo con quella in basso a destra. Nessun alunno ha preso 5 sia in Italiano sia in Matematica; 7 alunni hanno preso 6 sia in Italiano sia in Matematica; 3 alunni hanno preso 7 sia in Italiano sia in Matematica; nessun alunno ha preso 8 sia in Italiano sia in Matematica. Sommiamo quindi 7 e 3. La risposta è 10 alunni. b. Quanti sono gli alunni che hanno ottenuto in Matematica un voto più alto del voto ottenuto in Italiano? A 7 B 17 C 13 D 8 Leggiamo le righe di Matematica iniziando dagli studenti che hanno preso un voto superiore o uguale a 6 (nessuno studente ha infatti preso 5 in Italiano): 2 studenti hanno preso 6 in Matematica e 5 in Italiano; 3 studenti che hanno preso 7 in Matematica hanno preso un voto inferiore in Italiano; 8 studenti che hanno preso 8 in Matematica hanno preso un voto inferiore in Italiano. Sommiamo i valori trovati. La risposta è quindi C, ossia 13. 9

10 ITALIANO VOTO 5 VOTO 6 VOTO 7 VOTO 8 MATEMATICA VOTO VOTO VOTO VOTO c. Scegliendo a caso un alunno, qual è la probabilità che abbia ottenuto 5 nella prova di Italiano? 4 Risposta: 40 Troviamo innanzitutto il numero totale di studenti, che è pari a 40. I voti possibili sono 4 (da 5 a 8). La probabilità è pertanto pari a 4, ossia 0,

11 8 Osserva la figura. A L area del triangolo grigio A misura 8 m 2. Quanto misura il perimetro del quadrato? Scrivi come fai per trovare la risposta e poi riporta sotto il risultato. Il triangolo A è formato da un quadratino intero più le due metà di un altro quadratino. Possiamo quindi dedurre che la metà della sua area, ossia 4 m 2 corrisponde esattamente all area di un quadratino completo. Nota l area di un quadrato, per calcolare la lunghezza del suo lato, occorre calcolare la radice quadrata della sua area. Quindi la lunghezza del lato del quadratino è pari a 4m 2 = 2m. Contiamo ora quanti quadratini abbiamo per il lato del quadrato grande: sono 8. Il lato del quadrato grande è pertanto 16 metri (valore ottenuto moltiplicando la lunghezza del lato di un quadratino per il numero dei quadratini di un lato del quadrato grande, cioè 2 m 8). Il perimetro del quadrato grande si ottiene moltiplicando per 4 la lunghezza del suo lato ed è dunque dato da 16 m 4 = 64 m. Risultato: 16 m 4 = 64 m 11

12 9 La figura riproduce un famoso disegno di Leonardo da Vinci in cui l immagine di un uomo è inserita in un quadrato e in un cerchio. D A C B O a. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). 1. La massima apertura AB delle braccia è uguale al diametro del cerchio FALSO, perché né A né B sono punti della circonferenza e il segmento AB non è quindi un diametro. 2. L altezza dell uomo raffigurato è uguale al lato del quadrato VERO, perché i suoi piedi e la parte superiore della sua testa toccano i lati opposti del quadrato. V F V F 3. La lunghezza CD è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza FALSO, perché il punto C non corrisponde al centro della circonferenza e quindi il segmento CD non è un raggio. V F 4. Nella figura, il quadrato è inscritto nel cerchio FALSO, perché nessuno dei quattro vertici del quadrato è anche un punto della circonferenza e un quadrato è inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici appartengono a tale circonferenza. V F Il disegno di Leonardo da Vinci rappresenta le proporzioni ideali del corpo umano. Secondo questo modello la lunghezza delle varie parti del corpo è in relazione con l altezza, per esempio: lunghezza testa = 8 1 dell altezza lunghezza mano = 1 10 dell altezza 12

13 lunghezza piede = 7 1 dell altezza b. Lucia è alta 150 cm. Secondo il modello di Leonardo, quale dovrebbe essere la lunghezza della sua mano? Risposta: 15 cm Poiché la mano, secondo il modello di Leonardo, è un decimo dell altezza, la mano di Lucia dovrebbe essere lunga un decimo di 150 cm, ossia 150 cm : 10 = 15 cm. c. Sempre secondo il modello di Leonardo, quanto dovrebbe essere alta una persona che ha il piede lungo 24 cm? Risposta: 168 cm Poiché il piede, secondo il modello di Leonardo, è un settimo dell altezza, per ottenere l altezza occorre moltiplicare la lunghezza del piede per 7 e nel nostro caso abbiamo: 24 cm 7 = 168 cm. 13

14 10 Il grafico in figura rappresenta il numero di gol a partita realizzati dalla squadra di calcio del San Lorenzo durante l ultimo campionato. La linea continua corrisponde alla media dei gol a partita per le 10 partite di campionato , p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 Segna sul grafico il punto corrispondente al numero di gol realizzati dal San Lorenzo nella sesta partita (p6) di campionato. Ricordiamo che la media di un certo numero di valori si ottiene sommando i singoli valori e dividendo il risultato per il numero dei valori. In questo caso abbiamo 10 partite e conosciamo sia la media, sia le rilevazioni di tutte le partite tranne una, P6, che è l incognita (x) da trovare. Usiamo quindi la formula per il calcolo della media e il valore della media noto (2,5), e otteniamo il valore di x: x x+ 22 = 25, " = 25, " x = ( 25, $ 10) 22 = I gol realizzati nella sesta partita sono quindi , p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 14

15 11 Lo Iodio 131 dimezza la sua massa ogni 8 giorni per decadimento radioattivo. a. In un laboratorio ci sono 2 grammi di Iodio 131. Quanti grammi ci saranno fra 16 giorni? Risposta: 0,5 g Se oggi nel laboratorio ci sono 2 g di Iodio 131, fra 8 giorni ne resterà 1 g, in quando lo Iodio 131 dimezza la sua massa in 8 giorni. Nei successivi 8 giorni il grammo di Iodio 131 si dimezzerà ulteriormente e la massa dello Iodio 131 sarà 0,5 g. Fra 16 giorni quindi avremo 0,5 g di Iodio 131. La risposta è pertanto 0,5 g. b. Quanti giorni ci vogliono in tutto perché lo Iodio 131 si riduca da 2 grammi a 0,250 grammi? Risposta: 24 giorni Nei successivi 8 giorni lo Iodio 131 dimezzerà ancora la propria massa, che sarà quindi 0,250 g. Pertanto, dopo 24 giorni saranno rimasti 0,250 grammi di Iodio 131. La risposta è pertanto 24 giorni. 15

16 12 Il ristorante La Baia dei Re offre un menu completo a prezzo fisso, con la possibilità di scegliere tra tre primi, due secondi e due dolci. Ristorante La Baia dei Re Menu a prezzo fisso: 25 euro Primo: Spaghetti ettiti t allo scoglio o Linguine ine al pesto Risotto to alla la pescatora a Secondo: o Fritto to misto Rombo alla la griglia g i Dolce: Sorbetto to al limone Crema catalana a a Quanti diversi menu completi (un primo, un secondo e un dolce) al massimo si possono comporre? A 12 B 2 C 9 D 6 Il menu contiene 3 primi, ciascuno dei quali può essere abbinato a uno dei 2 secondi e a uno dei 2 dolci. Avremo quindi le seguenti combinazioni: 1. Spaghetti allo scoglio Fritto misto Sorbetto al limone 2. Spaghetti allo scoglio Fritto misto Crema catalana 3. Spaghetti allo scoglio Rombo alla griglia Sorbetto al limone 4. Spaghetti allo scoglio Rombo alla griglia Crema catalana 5. Linguine al pesto Fritto misto Sorbetto al limone 6. Linguine al pesto Fritto misto Crema catalana 7. Linguine al pesto Rombo alla griglia Sorbetto al limone 8. Linguine al pesto Rombo alla griglia Crema catalana 9. Risotto alla pescatora Fritto misto Sorbetto al limone 10. Risotto alla pescatora Fritto misto Crema catalana 16

17 11. Risotto alla pescatora Rombo alla griglia Sorbetto al limone 12. Risotto alla pescatora Rombo alla griglia Crema catalana Il risultato può essere ottenuto moltiplicando il numero dei primi, per il numero dei secondi, per il numero dei dolci, ottenendo = 12. La risposta corretta è quindi A. 17

18 13 Nel grafico sono riportati i prezzi al litro della benzina e del gasolio nel mondo (in dollari americani). a. In quale parte del mondo la benzina ha il prezzo più basso? Risposta: Leggiamo il grafico. La benzina, che corrisponde al cerchio bianco, costa meno in America settentrionale. b. In Australia quanto costa in più al litro la benzina rispetto al gasolio? A 0,01 centesimi di dollaro B 0,1 centesimi di dollaro C 1 centesimo di dollaro D 10 centesimi di dollaro Risolviamo la seguente differenza tra il costo della benzina e il costo del gasolio in Australia: 1,58 dollari 1,57 dollari = 0,01 dollari, corrispondenti a 1 centesimo di dollaro. La risposta corretta è quindi C. 18

19 14 In figura sono rappresentati: la retta dei numeri sulla quale è stato disegnato un quadrato; un arco TA di circonferenza di centro P e raggio PT. T P 0 1 A 2 Completa la frase. Il punto A sulla retta dei numeri corrisponde al numero 2 Il segmento PA è uguale al segmento PT, perché anch esso è un raggio della circonferenza di centro P e raggio PT, essendo TA un arco di tale circonferenza. La lunghezza di PT si ottiene usando il teorema di Pitagora. Infatti, il triangolo P1T è un triangolo rettangolo, i cui cateti (che chiamiamo P1 e 1T) misurano 1 e la cui ipotenusa è PT: 2 2 PT = P1 + 1T = 1+ 1 = 2 Sapendo che PA = PT, otteniamo che PA = 2. Il punto A sulla retta dei numeri corrisponde al numero 2. 19

20 15 n è un numero naturale. Considera l affermazione: Se n è pari allora n + 1 è un numero primo. L affermazione è vera o falsa? Scegli la risposta e completa la frase. L affermazione è vera perché L affermazione è falsa perché ogni numero pari è seguito da un numero dispari (e, quindi, se n è pari, n + 1 è un numero dispari), ma non tutti i numeri dispari sono numeri primi. Per esempio, se n = 8, allora n + 1 = 9, ma 9 non è un numero primo, perché è divisibile per 3. 20

21 16 Il seguente grafico rappresenta alcune caratteristiche fisiche di tre laghi. Lago Maggiore Lago di Lugano Lago di Como m 197 m m m prof. 288 m -17 m prof. 425m -228 m Mare Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). a. La linea dello zero rappresenta il livello del mare VERO. Come si vede dal grafico, in corrispondenza della linea dello zero è collocato il Mare, che è indicato all estrema destra. V F b. La profondità del Lago Maggiore è 372 m VERO. Per ottenere la profondità, sommiamo il valore al di sopra della linea dello zero e l opposto del valore al di sotto del livello dello zero, in questo modo: 193 m m= 372 m. V F c. La differenza di altitudine tra la superficie del lago di Lugano e quella del lago di Como è di 74 m VERO. Dobbiamo considerare solo il valore al di sopra del livello del mare e quindi abbiamo: 271 m 197 m = 74 m. V F d. Il punto più profondo del Lago di Como è 228 m al di sotto del punto più profondo del Lago di Lugano FALSO. Il punto più profondo del Lago di Como si trova a 211 m al di sotto del punto più profondo del Lago di Lugano: infatti, 228 m 17 m = 211 m. V F e. La superficie del Lago di Como è a 425 m sopra il livello del mare FALSO. La superficie è a 197 m sul livello del mare, come si vede dal grafico. V F 21

22 17 Disegna la retta rispetto alla quale la circonferenza di centro A è la simmetrica della circonferenza di centro B. B A La retta è quella rappresentata nella figura. Infatti, la circonferenza di centro A è simmetrica della circonferenza di centro B rispetto alla retta, se ribaltando la circonferenza di centro A rispetto a tale retta otteniamo proprio la circonferenza di centro B: si tratta di una simmetria assiale. B A 22

23 18 In un sacchetto ci sono solo 4 palline blu. Quante palline verdi si devono inserire nel sacchetto affinché la probabilità di estrarre una pallina verde sia 2 3? A 2 B 12 C 6 D 8 2 Una probabilità di corrisponde all ipotesi che su 3 successive estrazioni di palline (casi possibili), due 3 siano verdi (casi favorevoli). Il numero di palline verdi dovrà essere il doppio del numero di palline blu: solo in questo caso, infatti, 8 2 avremo un totale di 12 palline (casi possibili) di cui 8 verdi (casi favorevoli): = La risposta corretta è quindi la D, ovvero 8. 23

24 19 Maria ha unito dei cubetti di uguale dimensione per formare alcuni solidi. Prima ha costruito il solido disegnato sotto e sulla quadrettatura a fianco ne ha rappresentato la vista di fronte, di lato e dall alto. Alto Lato Vista di fronte Vista di lato Vista dall alto Fronte Poi Maria costruisce il solido che vedi qua sotto. Disegna tu nella quadrettatura la vista di fronte, da uno dei due lati e dall alto del secondo solido costruito da Maria. Soluzione: Alto Lato Vista di fronte Vista di lato Vista dall alto Fronte 24

25 20 Un vasetto di yogurt è ottenuto mescolando per il 90% yogurt bianco e per il 10% marmellata. La marmellata è costituita dal 60% di frutta e dal 40% di zuccheri aggiunti. Qual è la percentuale di frutta nel vasetto? A 6% B 10% C 54% D 60% Sappiamo che la marmellata è il 10% del vasetto di yogurt (cioè del totale) e che la frutta è il 60% della marmellata. Pertanto, rispetto al totale (cioè il 100%) la frutta è il 60% del 10%, ossia il 6%. Infatti il 60% di 10 è 6. La risposta corretta è quindi A. 25

26 21 Nella tabella sono riportati i dati relativi alla raccolta differenziata dei rifiuti nelle province liguri dal 2009 al I dati sono forniti in chilogrammi per abitante. Raccolta differenziata (kg/abitante) Imperia 152,9 184,7 143,1 119,0 La Spezia 160,0 167,9 182,3 184,4 Genova 128,2 153,0 172,3 178,9 Savona 194,0 122,2 119,3 119,7 Con i dati della tabella è stato costruito il seguente grafico. Completa la legenda del grafico Imperia Savona La Spezia Anno Leggiamo il grafico e confrontiamo i suoi valori con quelli della tabella. I rombi rappresentano: - valore 2009: oltre 150, ma inferiore a 160; - valore 2010: oltre 180; - valore 2011: poco più di 140; - valore 2012: intorno ai 120. I rombi rappresentano pertanto la situazione di Imperia. 26

27 I quadrati rappresentano: - valore 2009: oltre 190, ma inferiore a 200; - valori da 2010 a 2012: intorno a 120. I quadrati rappresentano pertanto la situazione di Savona. Le crocette rappresentano: - valore 2009: circa 160; - valore 2010: circa 170; - valore 2011: poco più di 180; - valore 2012: poco più di 180. Le crocette rappresentano pertanto la situazione di La Spezia. 27

28 22 Per formare il parallelepipedo che vedi in figura si incollano tra loro tre cubi uguali di spigolo a. a Qual è la superficie totale del parallelepipedo così ottenuto? A 6a 2 B 7a 2 C 14a 2 D 18a 2 Poiché lo spigolo del cubo è lungo a, la superficie di una faccia di tale cubo è a$ a = a 2. Ciascun cubo ha 6 facce e i cubi sono Si potrebbe essere tentati di rispondere che la superficie totale è ( 6$ 3)a = 18 a, moltiplicando cioè la superficie della faccia di un cubo (a 2 ) per il numero delle facce di ciascun cubo (6) e per il numero dei cubi (3). In realtà, alcune facce dei cubi sono incollate tra loro e quindi non contribuiscono a costituire la superficie del parallelepipedo. Ciascuno dei due cubi esterni ha una faccia incollata, mentre il cubo al centro ha 2 facce incollate (una a ciascuno degli altri due cubi), per un totale di 4 facce incollate. La superficie è quindi ottenuta nel modo seguente: ( 6$ 3 4) a 2 = 14 a 2. La risposta corretta è quindi la C. 28

29 23 Per calcolare il voto V di laurea in alcune facoltà viene applicata la seguente formula dove: V M = 3 $ 11 + T M rappresenta la media dei voti (variabile da un minimo di 18 a un massimo di 30); T è il punteggio attribuito alla tesi di laurea (variabile da un minimo di 5 a un massimo di 11 punti). a. La media M dei voti di Irene è 24. Il suo voto V di laurea può essere 90? Scegli la risposta e completa la frase. Sì, perché No, perché Sostituiamo nella formula data i valori M = 24 e V = 90, per vedere quale valore di T corrisponde al voto di laurea 90: = $ 11 + T 3 Isoliamo al primo membro della quale la T e procediamo con i calcoli: 24 T = 90 $ 11 = 90 8$ 11 = = 2 3 Poiché il punteggio minimo attribuibile alla tesi è 5, il voto di Irene non può quindi essere 90, perché T < 5. La risposta corretta è quindi No. Con un altro ragionamento, vediamo che con una media di 24 il voto di laurea minimo ottenibile è 24 $ 11 = 88 e, poiché il punteggio minimo per la tesi è 5, il voto minimo che Irene potrà prendere come 3 voto di laurea è = 93, che è maggiore di 90. b. La media M dei voti di Pietro è 27. Pietro vuole ottenere almeno 105 come voto V di laurea. Qual è il punteggio minimo T che Pietro dovrà ottenere nella tesi? A 5 B 6 C 8 D 11 Con la stessa formula possiamo calcolare il punteggio minimo T che Pietro dovrà ottenere nella tesi per arrivare a un voto di 105 con una media dei voti pari a

30 In questo caso sostituiamo i valori V = 105 e M = 27: = $ 11 + T 3 27 T = 105 $ 11 = 105 9$ 11 = = 6 3 La risposta corretta è quindi B. 30

31 24 Osserva la figura. D A C B L area del triangolo ABC è 5 2 dell area del quadrilatero ABCD. Qual è il rapporto fra l area del triangolo ACD e l area del triangolo ABC? A 2:3 B 3:2 C 3:5 D 5:3 L area di ABC è 5 2 dell area di ABCD, che è uguale alla somma dell area di ABC e dell area di ADC. 2 3 Pertanto, l area del triangolo ACD è uguale a 1 = dell area di ABCD. 5 5 Il rapporto da considerare ora è quello tra il triangolo ADC, la cui area è 5 3 dell area di ABCD, e il triangolo ABC, la cui area è 5 2 dell area di ABCD. Possiamo quindi scrivere tale rapporto come: 3 5 : 2. 5 Avendo le due frazioni lo stesso denominatore, possiamo semplificare il loro rapporto, e riassumerlo come 3:2 La risposta corretta è quindi B. 31

32 25 Osserva la figura. 53 x 3 x Quale delle seguenti equazioni può rappresentare lo schema? A 3 2x = 53 B x + 3x = 53 C 2x + 3 = 53 D 3 + x 2 = 53 Lo schema definisce che il segmento corrispondente a 53 unità comprende 2 segmenti di lunghezza pari a x e un segmento che corrisponde a 3 unità. Otteniamo l equazione seguente: 2x + 3 = 53 La risposta corretta è quindi C. 32

33 26 Luisa e Giovanna utilizzano un numero diverso di mollette quando devono stendere più di un telo, come in figura. Luisa Giovanna a. Completa la seguente tabella. Numero di teli Numero di mollette per Luisa Numero di mollette per Giovanna Luisa utilizza 2 mollette per ciascun telo e quindi il suo numero di mollette è sempre doppio rispetto al numero di teli. Giovanna utilizza invece 2 mollette per il primo telo, e poi una molletta per ciascun telo successivo. Se n è il numero di teli, m L sono le mollette usate da Luisa e m G sono le mollette usate da Giovanna, possiamo scrivere: m L =2n m G =n+1 b. Quale fra le seguenti espressioni rappresenta il numero di mollette usate da Giovanna per stendere n teli? A n 1 B n + 1 C 2n 1 D n

34 Nel punto precedente abbiamo visto le equazioni per calcolare il numero di mollette usato da Giovanna (ovvero due mollette per il primo telo e una molletta per ciascun telo successivo). Il numero di mollette usato da Giovanna è quindi sempre uguale al numero di teli più uno, perché c è una molletta in più per il primo telo. La risposta corretta è quindi B: n + 1. c. Giovanna e Luisa stendono lo stesso numero di teli. Giovanna usa x mollette. Quale espressione permette di calcolare il numero di mollette che usa Luisa? A (x 1) 2 B 2x 1 C x + 1 D x:2 + 1 Usando ancora le formule precedenti, possiamo scrivere: x = n+ 1 perché x è uguale a m G. Poiché m L =2n, segue che n x 1 = m 2 L +1 1 x 1 = m 2 L Dunque, m L = ^x 1h $ 2. La risposta corretta è quindi A. 1 = m 2 L. Sostituiamo questo valore nell equazione precedente e otteniamo: 34

35 27 In una delle coppie di numeri elencate sotto, il primo numero è minore di 1,25 e il secondo numero è maggiore di 1,25. In quale? A B C D 8 4 e e e e Dobbiamo confrontare 1,25 con delle frazioni. Il primo numero deve essere minore di 1,25 e il secondo maggiore di 1,25. Abbiamo due possibilità: trasformare 1,25 in frazione o esprimere in notazione decimale il valore della frazione con cui 1,25 deve essere confrontato. A seconda dei casi è opportuno procedere in uno o nell altro modo. A. Notiamo che la frazione 4 8 è uguale a 2, che è maggiore di 1,25. Pertanto A non è corretta. Se non si nota questo, procediamo esprimendo 1,25 sotto forma di frazione con 4 come denominatore, cioè: 125, = =. Confrontando questo valore con la frazione vediamo che 8 è minore di 5 e quindi A non è corretta. B. Notiamo che la frazione 5 3 è minore di 1, poiché il denominatore 5 è maggiore del numeratore 3. Quindi è minore di 1,25 e quindi la prima richiesta è soddisfatta. La seconda frazione è 5 4 ed è anch essa minore di 1: quindi non è maggiore di 1,25 e la seconda richiesta non è soddisfatta. Pertanto B non è corretta. 5 Se non si nota questo, calcoliamo il minimo denominatore comune di 1,25 = 4 e delle due frazioni, che è 20, e riduciamo le tre frazioni allo stesso denominatore: = 20 5 = = Vediamo che 20 < e quindi B non è corretta. C. Notiamo che la frazione 2 2 è uguale a 1, che è minore di 1,25 e quindi la prima richiesta è soddisfatta. 3 La seconda frazione è facilmente calcolabile: 2 = 1,5, che è maggiore di 1,25 e quindi anche la seconda richiesta è soddisfatta e la risposta C è corretta. Se non si nota questo, calcoliamo il minimo denominatore comune di 1,25 = 4 5 e delle due 35

36 frazioni, che è 4, e riduciamo le tre frazioni allo stesso denominatore: = 4 2 = 4 5 Poiché 4 > 4 4 e < 4, le condizioni richieste sono soddisfatte. Pertanto la risposta corretta è C. D. Per sicurezza verifichiamo anche la D. Calcoliamo il minimo denominatore comune di 1,25 = 4 5 e delle due frazioni, che è 20, e riduciamo le tre frazioni allo stesso denominatore: = = = Poiché 20 > 24 20, D non è corretta. 36

37 28 Osserva questa uguaglianza: = m Quale fra i seguenti valori di m rende vera l uguaglianza? A m = 3,201 B m = 3,041 C m = 3,401 D m = 3, Dobbiamo eseguire questa addizione: Il minimo comune denominatore è Esprimiamo pertanto 3 e in frazioni con a 5 denominatore. Otteniamo così: = = = 3, La risposta corretta è quindi C. 37

38 29 Quale tra i seguenti punti della linea dei numeri è più vicino a 8? D C B A A Punto A B Punto B C Punto C D Punto D La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza, e in particolare la radice quadrata è l operazione inversa dell elevamento al quadrato. Calcoliamo quindi il quadrato dei valori proposti e valutiamo quale si avvicina di più a A = 7 = C = 4 = 16 D 2 = 3 2 = 9 Il numero B è compreso tra 5 e 6 e quindi il suo quadrato è un numero compreso tra 5 2 e 6 2, cioè tra 25 e 36. Dunque, il numero che si avvicina di più a 8 è il più piccolo, 9, e la sua radice quadrata è 3. La risposta giusta è quindi C. Per la precisione 8 corrisponde a circa 2,

39 30 Seguendo il percorso indicato dalla linea tratteggiata sulla mappa, Enrico parte in auto da Castro, va ad Abate a prendere un amico e riparte con lui per andare a S. Teodoro. Dopo aver fatto 52 km dalla partenza da Castro, si ferma lungo la strada tra due località a fare rifornimento a un distributore di benzina. S. TEODORO 4 km CALLIANO LIVO PEGLIO CASTRO VALVERDE SAMONE BRIONE ABATE Indica con una crocetta sulla mappa la posizione del distributore. S. TEODORO CALLIANO LIVO PEGLIO CASTRO 4 km VALVERDE SAMONE BRIONE ABATE Facciamo riferimento all unità della scala, che è mostrata in alto a destra nella figura: 1 cm sulla mappa corrisponde a 4 km. Procediamo a misurare i vari tratti di strada percorsi da Enrico, secondo l ordine indicato. Alcuni tratti di strada vengono percorsi sia per andare in una località sia per tornare indietro sulla strada principale (come, per esempio, il tratto tra Peglio e Abate) e quindi vanno contati due volte. Dunque il distributore di benzina deve trovarsi tra le località di Livo e Peglio. 39