Capitolo 4 Il lavoro e l'energia

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1 TEORIA W = F s P = Δ W apitolo 4 Il lavoro e l'energia W =F s cos α [J](Joule) [W][J/s](Watt) K = m v energia cinetica [J] - Teorema energia cinetica: K =K +W U g =mgh energia potenziale gravitazionale [J] U e = K s energia potenziale elastica [J] Definizione di variazione di energia potenziale: Δ U =U U = W Dal teorema dell'energia cinetica e dalla definizione di variazione di energia potenziale si ha: U f +K f =U i +K i (E f =E i ) Il teorema di conservazione della energia meccanica. Il teorema di conservazione dell'energia può essere esteso a qualunque tipo di energia e prende la forma di conservazione della energia totale. In particolare si ha: U g +U e +K =U g +U e +K (E i =E f ) esercizio n pagina 74 Uno sciatore di 80 kg affronta un dosso alto 3, m alla velocità di 50 km/h. Durante la salita, l'attrito con la neve e con l'aria trasforma 3,3 0 3 J della sua energia meccanica in altre forme di energia. Quanto vale la velocità dello sciatore quando raggiunge la sommità del dosso? [7,0 m/s] ombinando la E i = m v v = v i gh Q m = ( 50 3,6 ) 9,8 3, con la E f = m v +mgh+q si ha, con E i =E f : 3,3 03 =7,04565 m 80 s 7,0 m s esercizio n pagina 74 Un bambino di massa 30,0 kg si sta dondolando sull'altalena. Le corde a cui è fissata l'altalena sono lunghe r =,00 m. Scegliendo come livello di zero la posizione più bassa che il bambino può assumere, calcolare l'energia potenziale gravitazionale del bambino nelle situazioni seguenti: quando le corde dell'altalena sono orizzontali; quando le corde dell'altalena formano un angolo di 45,0 rispetto alla verticale; quando le corde dell'ìaltalena sono perpendicolari al terreno. [588 J ; 7 J ; 0 J] h =r U =m g h =30,0 9,80,00=588 J h =r ( ) U =mgh =30,0 9,80,00 ( )=7, J 7 J h 3 =0 U 3 =0 esercizio n 4 pagina 75 Il carrello che trasporta le persone lungo la pista delle montagne russe ha la velocità di 90,0 km/h in un punto all'altezza di 0,0 m dal suolo.

2 Quale sarà la sua velocità dopo essere sceso in un punto all'altezza di,0 m dal suolo? (trascurando gli attriti). [0 km/h] ombinando la E i = m v +m g h con la E f = m v +m g h si ha, con E i =E f : v =v + g (h h )= ( 90 3,6 ) + 9,8(0,0,0)=8,309 m s =0,9 km h 0 km h esercizio n 7 pagina 75 Tarzan è appeso a una liana lunga 30,0 m con un'inclinazion iniziale di 37 dalla verticale. alcolare il valore della velocità nel punto più basso della sua traiettoria: quando si lancia partendo da fermo; quando si lancia con una velocità iniziale di 4,0 m/s. [ m/s ; m/s] Si applica la conservazione dell'energia meccanica: mgh( cos α)= m v m g h ( cos α) = gh ( cos α)= 9,8 30,0 ( cos 37 )=0,88 v= m m s m s Quando è presente anche la velocità iniziale bisogna considerare anche la relativa energia cinetica: m g h ( cos α)+ m v i = m v f v f = g h ( cos α)+v i = 9,8 30 ( cos 37 )+4,0 =,593 m s m s

3 Esercizio n 8 pagina 75 Uno sciatore m = 70 kg si lancia da una collinetta di altezza h = 0 m. Nell'ultimo tratto della sua corsa incontra una rampa come mostrato nella figura. Nel tratto L = 0 m tra la discesa e la rampa agisce una forza costante d'attrito di modulo F a = 30 N. Trascurare gli attriti con le rampe e con l'aria, e la massa degli sci. A quale altezza massima arriva lo sciatore? [9,6 m] Alla fine della discesa, per la conservazione della energia meccanica si ha: m g h = m v. All'inizio della rampa l'energia dello sciatore è diventata l'energia cinetica meno il lavoro fatto nel tratto L dalle forze d'attrito: m v F a L. Nella salita per la conservazione dell'energia meccanica si può scrivere: m g h F a L =m g h h = m g h F a L = m g 70 9, =9,563 m 9,6 m 70 9,8

4 Esercizio n pagina 76 Un oggetto di massa m =,0 kg viene lanciato verso l'alto su un piano inclinato, senza attrito, con velocità iniziale v 0 = 0 m/s. Nel suo moto l'oggetto è fissato ad un astremo di una molla, di massa trascurabile (altrimenti sarebbe necessario mettere in conto l'elevazione del suo centro di massa che può essere supposto presente a metàdella sua lunghezza) costante elastica k, che è inizialmente alla lunghezza di riposo a = 50 cm ed alla fine assume una lunghezza b =,5 m. Il corpo si ferma esattamente al bordo superiore dl piano inclinato, all'altezza del punto di sospensione della molla come mostarto in figura. Quanto vale la costante elastica? [90 N/m] E i = m v 0 E f =m g a + k (b a) Queste energie iniziale e finale devono essere uguali poichè non è presente nessun elemento che tende a disperdere energia: E i = m v 0=m g a + k (b a) percui isolando la costante elastica k si ha: k = m v 0 m g a =,0 0,0 9,8 0,50 =90, N (b a) (,5 0,50) m 90 N m

5 apitolo 5 La quantità di moto ed il momento angolare TEORIA ONFRONTO (ORRISPONDENZA) FRA MOTO LINEARE E MOTO ROTATORIO s spostamento su una traiettoria linare retta o curvilinea (con origine e verso) di un punto materiale o del baricentro di un corpo rigido [m] v= Δ s velocità media (o istantanea) [m/s] Variazione della posizione fratto l'intervatto di tempo nel quale avviene. In un circonferenza: modulo: v= = π R a= Δ v dir: variabile (accelerazione lineare) [m/s ] θ (theta) spostamento angolare (con asse x di origine e senso antiorario positivo) di un corpo rigido o di un insieme di corpi intorno al baricentro [rad] ω= Δ θ velocità angolare media (o istanatnea) [rad/s] Variazione dell'angolo fratto l'inervallo di tempo nel quale avviene. In una circonferenza: α= Δ ω ω= π = v R v=ω R (accelerazione angolare) a=α R [rad/s ] m (massa in kg) I(momento d'inerzia in kg m ) F(forza in N [Newton])[N][kg m/s ] F =m a Quantità di moto q=m v [kg m/s] prodotto semplice il risultato ha la stessa dir. e verso di v ONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO Se in un sistema non agiscono forze esterne, M(momento di una forza)[n m][kg m /s ] M=I α M = r x F prodotto vettoriale il risultato si considera simbolicamente sull'asse perpendicolare al piano di rotazione (o ai piani ad esso paralleli) ai soli fini della possibile somma algebrica. Quando ci sono più piani su cui agiscono le forze e non sono paralleli fra di loro ha senso la somma vettoriale dei risultati che individuano univocamente il piano delle risultanti. Legge della mano destra: M dalla sua punta, quando positivo, vede girare r nella direzione di F in senso antiorario caso particolare: (coppia di forze a risultante nulla) Momento angolare L= r x q [k m /s] prodotto vettoriale il risultato si considera simbolicamente sull'asse perpendicolare al piano di rotazione ai soli fini della possibile somma algebrica. Ecc. Ecc vedi discorso simile a quello fatto per il momento di una forza OSERVAZIONE DEL MOMENTO DELLA QUANTITÀ DI MOTO Se in un sitema è nullo il momento totale delle

6 la quantità di moto totale si conserva costante. forze esterne, il momento angolare di un sistema di corpi si conserva costante. Teorema dell'impulso (di una forza) I=F =Δ p [kg m/s] purtroppo ha lo stesso simbolo del momento d'inerzia! (qui I = impulso di una forza) Teorema dell'impulso (di un momento) I M =M =Δ L=I Δ ω [k m /s] (il simbolo I qui significa momento d'inerzia) (il simbolo I M è introdotto per compensare una carenza) ENTRO DI MASSA caso di due particelle su una retta: x cm = m x +m x m +m URTO ELASTIO Un urto si dice elastico se in esso si conserva (oltre alla quantità di moto) anche l'energia cinetica totale dei corpi che interagiscono. m v +m v =m V +m V Dove per v minuscolo e V maiuscolo si intendono le velocità prima e dopo l'urto. L'equazione precedente insieme alla equazione della conservazione della energia cinetica fornisce le due equazioni nelle due incognite che consentono di trovare i valori delle incognite (velocità dopo l'urto). V = (m m )v + m v m +m e V = m v (m m ) v m +m URTO ANELASTIO Un urto si dice completamente anelastico quando i due corpi che urtano procedono alla stessa velocità che è determinata dalla sola conservazione della quantità di moto m v +m v =(m +m )V da cui facilmente si può trovare V. Esercizio n pag 4 Billy the Kid si sta esercitando con la sua pistola. Spara un proiettile di 0g contro un pezzo di legno di massa 500 g posto su un muretto. Il proiettile colpisce il bersaglio alla velocità di 550 m/s e lo attraversa tutto. Il pezzo di legno balza via dal muretto alla velocità di 6,0 m/s. Di quanto diminuisce l'energia cinetica totale del sistema? Si distinguono le velocità prima (V maiuscola) e dopo (v minuscola) poichè sembra la modalità ottimale per evitare l'uso di troppi pedici. DATI: m p = 0 g =,0 0 - kg m L = 500 g = 0,500 kg v p = 550 m/s v L = 0 m/s V p =? V L = 6,0 m/s ΔK =? Per quanto riguarda la conoscenza della velocità del proiettile dopo l'urto, dalla relazione sulla conservazione della quantità di moto, si ha: m p v p +m L v L =m p V p +m L V L da cui V p = m v +m v m V p p L L L L =, ,500 6,0 =50 m m p,0 0 s Per conoscere la variazione della energia cinetica dovuta all'urto si ha Δ K =K K Δ K = m pv p + m L V L m p v p + m L v L = [ ,500 6, ]= 9 J

7 ossia si ha una perdita di circa, 0 3 J. Esercizio n pag 4 In un autoscontro al luna park, Alice che guida un veicolo in moto rettilineo di massa 00 kg urta in modo elastico il veicolo di laudia, che ha massa 5 kg ed è fermo. Prima dell'urto, il veicolo di Alice si muoveva verso destra (verso considerato positivo) con velocità di modulo,5 m/s. Quali sono le velocità finali di Alice e laudia dopo l'urto? alcolare la velocità del centro di massa del sistema. Si distinguono le velocità prima (V maiuscola) e dopo (v minuscola) in quanto sembra la modalità ottimale per evitare l'uso di troppi pedici. DATI: = 00 kg m = 5 kg v A =,5 m/s v = 0 m/s V p =? V L =? v M =? A causa del fatto che non viene fornita anticipatamente nessuna delle due velocità finali, ci si presenta un vero e proprio problema di due equazioni in due incognite in cui la prima delle due equazioni è determinata con la conservazione della quantità di moto e la seconda con la conservazione della somma delle energie cinetiche. Essendo v =0, si ha: v a = V A +m V v A = V A + m V c dalla prima si ricava V = (v V A ) che sostituita nella seconda da: m V A A+ m [ m A (v V A )] = m v A A m V A A+ (v v A V A +V A ) = m v A A ( +m ) V A v V A + ( m )v A =0 ( m A +m ) V A m A v V A +( m A m )v A =0 (80+00)V A 60,5 V A +(80 00),565=0 80 V A 00 V A 3,5=0 V A = -0, ,39 m/s V A =,5 m/s (da scartare) Per quanto riguarda il calcolo del centro di massa è più comodo calcolarlo prima dell'urto: v M = m v A A 00,5 = +m 00+5 =0, ,556 m/s ome riprova si potrebbe calcolara la velocità del centro di massa anche dopo l'urto! Esercizio n 3 pagina 4

8 Una stella di raggio 7, km compie un giro su se stessa in 30,0 giorni. Alla fine della sua vita collasserà in una stella di neutroni rotante di raggioi 5,0 km chiamata pulsar. Qunto vale la velocità angolare della stella nella prima fase della sua vita? Quanti giri compirà in un secondo la pulsar? (considerare la stella come una sfera uniforme e assumere che non vi siano dispersioni di materia). [,4 0-6 rad/s ; 840] ω = π T = π 30,0 8,64 0 4=,4 rad 0 6 s Per la conservazione del momento della quantità di moto non essendo presente nessun momeno di forze: L =L ed essendo L=I ω dove I è proporzionale ad r (oltre alla massa ed al coefficiente di forma e concentrazione delle masse che non cambiano in questo caso essendo una sfera omogenea è I= 5 m r ) ed ω è proporzionale a f = T ( ω= π ) si ha: r f =r f da cui: r f =f r = ( r 7,00 05 ) = ( ) =840 giri 4 T r 30,0 8,64 0 5,0 s esercizio n 7 pagina 4 Una pallina sferica solida di massa,50 kg e di raggio 0,50 m rotola partendo da ferma lungo un piano inclinato alto 3,00 m e inclinato di 30. alcolare il valore dlla velocità finale con cui la pallina arriva alla fine della discesa. [6,48 m/s]

9 E i =m g h E f = m v + I ω = [m v +( 5 m r )( v r ) ]= (m v + 5 m v )= 7 0 m v e per la conservazione dell'energia E f =E i 7 0 m v =m g h da cui: 0 9,8 3,00 =6,48 m 7 v= 0 g h = 7 apitolo 6 La gravitazione TEORIA I legge di Keplero: Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi ed il Sole occupa uno dei due fuochi. II legge di Keplero: Il raggio vettore che va dal Sole ad un pianeta spazza aree uguali in intervalli di tempo uguali. III legge di Keplero: Il rapporto fra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita ed il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti. La forza di gravitazione universale o di Newton con cui si attraggono nel vuoto due masse m ed m i cui cntri di massa sono ad una distanza r é: F =G m m r con G = 6, N m / kg la forza di gravitazione terreste g si può trovare uguagliando la forza peso a quella derivante dalla formula appena scritta relativa alla Terra ed alla superficie terrestre. Si ha: g = G M T R T La velocità di un satellite in orbita circolare si ottiene uguagliando la formula di Newton alla forza di accelerazione centripeta ed è uguale a: v= G M in cui sostituendo i valori della R massa e del raggio terrestre si ottiene v = 7,9 0 3 m/s che è la velocità minima perchè un oggetto entri in orbita intorno alla Terra. Sviluppare autonomamente la ricerca della quota che devono avere i satelliti geostazionari. Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Nel risultato dell'integrale della forza per lo spostamento si risale al risultato : U (r )= G m M +k in cui si sceglie di porre k = 0 ossia porre il livello zero dell'energia r potenziale nel caso in cui le due masse si trovano fra loro a distanza infinita. esercizio 9 pagina 56 Due asteroidi con densità ρ =,55 g/cm 3 e raggio R = 0 km, si trovano molto distanti fra loro e precipitano uno sull'altro per effetto dell'attrazione gravitazionale. alcolare il modulo della velocità v di uno dei due asteroidi al momento dell'impatto; alcolare l'accelerazione a su un asteroide al momento dell'impatto. Se solo uno dei due asteroidi avesse avuto il raggio di 0 km e l'altro lo avesse avuto doppio quale sarebbe stata la risposta alle due domande? [ v=r π 3 G ρ ; a= π G ρ R ] TROVARE I VALORI NUMERII?! 3 I due asteroidi, quando sono a distanza molto grande, hanno energia potenziale molto piccola ed energia cinetica nulla: per il teorema di conservazione dell'energia

10 meccanica possiamo considerare che, al momento dell'impatto, la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale sia pari a zero. Per il sistema dei due asteroidi la distanza tra i centri, al momento dell'impatto, è pari a R: m v + m v G m m =0,da cui abbiamo R v= G m R = G R ρ 4 3 π R3 =R π 3 G ρ L'accelerazione si ottiene dal secondo principio della dinamica: m m a= F G m = ( R) m = G m 4 R = G 4 R ρ 4 3 π R3 = π 3 G ρ R esercizio 0 pagina 56 Un pianeta di forma sferica, ha massa e raggio M P = 9, kg e =, m, rispettivamente. Inoltre, il periodo di rotazione attorno al proprio asse è T P = 8,0 0 5 s.. Trascurando completamente gli attriti, che velocità minima v dovrebbe avere un proiettile di cannone per effettuare un giro intorno al pianeta?. alcolare il raggio R dell'orbita per un satellite geostazionario di massa m = 000 kg. Nel risultato scrivere il rapporto R/. (fare l'analisi dimensionale nelle unità di misura del SI). 3. alcolare l'energia totale E del satellite. 4. alcolare con che velocità V casca sulla superficie del pianeta un meteorite proveniente da distanza molto grande con velocità nulla. [ v= GM P ; R = 3 G M P T P ; E = GM P m 4 π 3 R ; V = G M P ] per la seconda risposta correggere quella del libro che è stata scritta in quel modo per una piccola confusione fra radice quadrata e cubica Approssimiamo il raggio dell'orbita del proiettile con quello del pianeta e uguagliamo i moduli della forza centripeta e della forza gravitazionale sul satellite: m v =G m M P da cui si ha v = G M P Per il satellite geostazionario il periodo di rivoluzione dell'orbita deve essere uguale a quello di rotazione del pianeta su se stesso; la velocità di rotazione si ha dalla formula precedente, per un valore di R generico: v= G M P R ; π R =v T = G M P R T P Elevando al quadrato i due membri dell'equazione abbiamo R =G M P R R= 3 G T P 4 π, da cui otteniamo M P T P e, dividendo per la formula, si ottiene 4 π R = 3 M G P T P. 4 π 3

11 Per ogni satellite in orbita, il valore dell'energia cinetica vale metà del modulo del valore dell'energia potenziale: m v = m (G M P ) Quindi l'energia totale vale: E =K +U = m v G m M P = G m M P da cui: m V G m M = P =0 ed infine: V R G M P P osa vuol dire fare una analisi dimensionale usando le unità di misura del SI? on essa si possono scoprire, inequivocabilmente, eventuali difetti, ad esempio, della seconda domanda!