-- Recensione del libro di Paul Lockhart, Contro l ora di Matematica, Rizzoli 2010

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1 BOLLETTINO N Mese di aprile Articoli contenuti: Recensione del libro di Paul Lockhart, Contro l ora di Matematica, Rizzoli L armonia nei numeri di Fibonacci -- Tartaglia e i segreti del suo triangolo RECENSIONE DEL LIBRO DI PAUL LOCKHART CONTRO L ORA DI MATEMATICA Il Laboratorio Montessori ha acquisito, da qualche settimana, questo interessante e curioso libretto, avente come argomento un apologia dell insegnamento della Matematica, contro gli ormai radicati pregiudizi che avvolgono questa disciplina e i metodi tediosi con cui vengono trasmessi i suoi contenuti dottrinali, che l hanno resa invisa agli studenti di tutti i tempi. Formule -- complesse e articolate -- mandate a memoria, senza comprenderne il senso, al fine di riuscire meccanicamente a svolgere un esercizio (quasi fosse un operazione di natura metafisica), per, poi, regolarmente dimenticare il tutto ed essere perennemente accompagnati da un insidiosa domanda: a cosa serve la matematica?; perché la si studia?; quale relazione essa ha colla quotidianità?; cosa nascondono e cosa vogliono significare le ardite formule?

2 La prima parte dello scritto sottolinea gli errori di procedura commessi, comunemente, a scuola, durante la trasmissione concettuale: ed è la pars destruens, un esodo dalla posizione che intende la disciplina solo come assimilazione passiva di procedure e manipolazioni di formule. La matematica, secondo l autore, è, invece, un arte, è una poesia della ragione. Essa offre l occasione di rivedere/rivisitare il mondo secondo una libera e critica capacità manipolativa, ripercorrendo, con medesimo entusiasmo, quello stesso cammino sperimentale partecipato dai matematici, i quali, storicamente, hanno ri-composto -- in formule e linguaggi ordinati, raffinati e armonici -- un coacervo di riflessioni, di aggiustamenti, di ipotesi, di operazioni di smontaggio e rimontaggio di idee e intuizioni. Bisogna incitare a comprendere che le regole e formule consolidate e riportate asetticamente sui manuali sono state precedute da un avventura del pensiero, dal desiderio di vedere il reale in modo libero e fuori dalle visioni comuni; un attività creativa conduce a leggere e a cogliere, tra le righe nascoste, un senso, una logica e una bellezza, inducenti a rendere visibile e traducibile ciò che si cela dietro le cose del mondo, anche le più semplici e scontate. La matematica appare, allora, non solo come un mezzo per esercitare e rinvigorire gli aspetti della logica, ma si offre, anche, come possibilità di affinare il pensiero divergente; essa si lega ad altri ambiti dell umano e ne illumina il senso. La posizione dell autore viene ad enuclearsi attraverso la forma dialogica tra Simplicio e Salviati (prestito efficace dal Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, di Galileo Galilei) ; metafora in cui si sostiene che il passato metodologico della matematica (Simplicio) può trovare accoglimento e sistemazione ottimale in un nuovo assetto didattico -- dinamico, circolare e multifattoriale -- della disciplina (Salviati). Ci sembra opportuno avvicinare l esperienza avviata al Laboratorio, durante le lezioni di matematica, coi suggerimenti contenuti in questo libretto. Le docenti di matematica, all interno delle attività laboratoriali, hanno cercato, sapientemente, di partire collo sviluppare la capacità di osservazione e le abilità logiche fondamentali (con attività pratiche innovative e creative) e di accedere alla parte sistematica in un secondo momento; si è, così, offerta l opportunità -- agli studenti normodotati -- di apprezzare la novità metodologica e di cogliere più facilmente il senso del percorso, come se fosse una scoperta (un disvelamento) compiutasi all interno di un linguaggio apparentemente ostico e impenetrabile; agli studenti diversamente abili si è offerta la possibilità di un cammino tangibile e un informazione meno aspra dei concetti. L esperienza, grazie al coinvolgimento emotivo che le si accompagna, rappresenta un invito ad esplorare altre aree della disciplina con minore ansia e maggiore motivazione

3 PREMESSA ALLE DISPENSE DI MATEMATICA Viene offerta, attraverso la pubblicazione delle due dispense, la possibilità di comprendere come, partendo dalle vicende di vita privata dei due famosi matematici Fibonacci e Tartaglia, rese in maniera liberamente drammatizzata, si giunga, con passaggi che contemplano l osservazione attenta di elementi naturali, all apprendimento consapevole di alcuni loro famosi assunti. Un indubbio beneficio per gli studenti normodotati: i due personaggi vengono incontrati nella loro dimensione privata e resi più familiari attraverso il racconto di simpatici e sorprendenti momenti della loro vita; dall alto delle loro posizioni accademiche, essi scendono a illustrare, con attività concrete, l armonia delle loro teorie, mostrando le implicazioni e gli interrogativi alla base della loro speculazione, i quali, spesso, rischiano di rimanere nascosti. Un beneficio per gli studenti diversamente abili: finalmente una trattazione liceale alla loro portata, quasi mai inglobata nel piano di studi personalizzato, perché ritenuta ostica e complessa; anche per loro, il personaggio torna a proporsi in una drammatizzazione da loro stessi interpretata, con forme buffe e pantomime esilaranti; e, con questa metodologia divertente (ma non, per questo, semplicistica e infantile) -- accompagnata dallo svolgimento, a piccoli gruppi, di esercizi e di altre fasi del lavoro --, viene offerta la traccia concreta per risalire alla comprensione dell assunto matematico (assunto appreso, sì, in maniera generale, ma in una dimensione partecipata e suscettibile di produrre stimoli insperati nella mente di ciascuno, con possibili future ricadute positive). L esito è, ad ogni modo, legato alla sapienza del docente-regista, disposto a virare, estemporaneamente, le manovre di navigazione, rispetto alle scelte preventivate; a stimolare i naviganti; a incoraggiare tutti nella comune opera di costruzione degli apprendimenti, nella convinzione che ciascuno porterà via, con sé, un segmento di sapere (matematico, logico, linguistico, comportamentale, etico, estetico, emotivo, etc), il quale andrà, in seguito, a riversarsi negli ingranaggi complessi e articolati del pensiero, infondendovi nuova linfa. Si ringrazia la gentile collega di matematica per la messa a disposizione degli scritti, qui di seguito riportati. Le dispense, da lei redatte, sono state distribuite -- agli studenti partecipanti -- circa 5 giorni prima dello svolgimento di ciascuna delle lezioni laboratoriali, al fine di far maturare in loro la consapevolezza di quanto poi si sarebbe andati a realizzare.

4 LEZIONE DI MATEMATICA L ARMONIA NEI NUMERI DI FIBONACCI OBIETTIVI: Conoscere il contributo dato da Fibonacci in campo matematico. Scoprire la relazione che intercorre tra i numeri di Fibonacci e certi fenomeni naturali come: l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole. Interpretare le relazioni tra la matematica e la botanica o la zoologia su un piano filosofico, cioè come espressione delle leggi dell armonia che regolano l universo. CONTENUTI: Prima parte descrittiva contiene i seguenti argomenti: I numeri di Fibonacci Proprietà della successione di Fibonacci I numeri di Fibonacci in natura Seconda parte è una raccolta di alcuni degli esercizi realizzati con gli alunni, di seguito elencati: Attività : disegnare la spirale logaritmica Tutti gli studenti, aiutati dai tirocinanti e dalle assistenti educatrici provano a disegnare, seguendo le istruzioni riportate su un foglio fornito dall insegnante la spirale logaritmica. Attività 2: contare il numero di spirali presenti in una pigna di pino, in un cavolfiore e nel disco di un girasole raffigurati Si tratta di contare il numero di spirali sia in senso orario che antiorario presenti in una pigna di pino, in un cavolfiore e in un disco di girasole raffigurati. Verificate che ottenete i numeri di Fibonacci anche se contare le spirali in un disco di girasole sarà difficile, provateci!!! LA DOCENTE Prof.ssa Lanzacane Concetta

5 I NUMERI DI FIBONACCI Uomo di smisurata cultura e grande viaggiatore, Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci (Fibonacci sta infatti per filius Bonacii), nacque a Pisa intorno al 70. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 92 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 92, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicurò l aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l opportunità offertagli dai suoi viaggi all estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni, in particolare i diversi metodi in grado di semplificare i calcoli, infatti essendo un mercante, era particolarmente interessato a questo aspetto del suo lavoro: fare calcoli veloci e precisi permetteva di risparmiare tempo. Intorno al 200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche. In tutta la sua produzione l opera più importante è il "Liber abaci", comparso attorno al 228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti. Infatti il segno 0, che indica un numero vuoto come un soffio di vento fu introdotto in Italia proprio dal pisano Fibonacci col nome che dura ancora oggi e che proviene dal latino zephirus, (dolce

6 venticello) adattamento dell'arabo zefr, che significa zero. Dunque si deve a Fibonacci l'introduzione del sistema decimale e l'utilizzo delle cifre arabe in Europa, cioè i numeri come li conosciamo adesso, le nove cifre e lo zero, rivoluzionando così i sistemi di numerazione in un epoca in cui tutto il mondo occidentale usava i numeri romani e i calcoli si facevano con l abaco. Ritornato in Italia, la sua notorietà giunse anche alla corte dell'imperatore Federico II di Svevia che nel 223 a Pisa fu ben felice di assistere a un singolare torneo tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco. Il test era il seguente: "Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?". Leonardo diede al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato e vinse la gara. La risposta è la seguente: alla fine del primo mese si ha la prima coppia; alla fine del secondo mese si ha la prima coppia e una coppia da questa generata; alla fine del terzo mese si aggiunge una terza coppia; alla fine del quarto mese si hanno 5 coppie, perché anche la seconda coppia ha incominciato a generare e così via. Il ragionamento prosegue con la seguente progressione:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, 377, 60, 987, 597, 2584, 48, 6765, 0946, 77. Con questo stratagemma fu facile per il Fibonacci trovare la risposta esatta. Si tratta della prima progressione logica della matematica! Questa successione, oggi nota come "numeri di Fibonacci" è caratterizzata dal fatto che ogni termine, a parte i primi due, è la somma dei due che lo precedono.

7 Mesi : Coppie: Dopo il 228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 240, presumibilmente a Pisa. Anche al giorno d oggi la fama di Leonardo è tale che esiste una pubblicazione periodica dedicata interamente alla sequenza aritmetica da lui elaborata ed è considerato uno dei più geniali matematici di tutti i tempi.

8 PROPRIETÀ DELLA SUCCESSIONE DI FIBONACCI La successione di Fibonacci possiede molte proprietà eleganti e significative. Fu Edouard Lucas, il grande esperto in giochi matematici, ad approfondirne per primo lo studio. Anche oggi continua ad essere studiata e nel 963 un gruppo di matematici americani, in California, all Università di Santa Clara, decise di fondare un Associazione degli Amici di Fibonacci. L associazione pubblica una rivista, The Fibonacci Quarterly, in cui vengono raccolte tutte le novità sulla più celebre delle successioni. Vediamo alcune delle sue principali proprietà. Due termini successivi qualsiasi sono primi tra loro. Un qualsiasi numero della successione elevato al quadrato è uguale al prodotto tra il numero che lo precede e quello che lo segue, aumentato o diminuito di una unità. Per esempio 2 2 = 44 = (3 34), mentre 89 2 = 792 = (55 44)+ Keplero osservò che il rapporto di due termini consecutivi si avvicina a,68 e il limite esatto della successione formata dai rapporti fra due termini consecutivi della successione di Fibonacci è la sezione aurea (chiamata da Leonardo da Vinci divina proporzione). Infatti la successione formata dai rapporti fra due termini consecutivi della successione di Fibonacci è una successione i cui primi termini sono i cui valori decimali approssimati sono: ; 2;,5;,666;,6;,625;,65;,69;,67;,688;,679; cioè si osserva che il rapporto tra due termini consecutivi della successione di Fibonacci diminuisce progressivamente per poi tendere molto rapidamente al numero, , noto col nome di sezione aurea. Ricordiamo che sin dai tempi più antichi, la sezione aurea rappresentava la giusta proporzione tra due elementi perché essi appaiano armoniosi all occhio umano quindi era considerata come legge

9 universale dell'armonia, perciò dietro l'idea di perfezione e di armonia, nella natura come nell'arte, si nasconde un numero il cui valore non è esprimibile in cifre decimali se non in forma approssimata:, Si tratta infatti di un numero irrazionale, che all'inizio del secolo scorso, il matematico americano Mark Barr propose di indicare con la lettera greca "ϕ", dall'iniziale di Fidia, il grande scultore greco che lo ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nella costruzione del Partenone di Atene. Interessante è la relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica che si rivela se si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti, quindi con lati che sono i numeri di Fibonacci:,, 2, 3, 5, 8, Se li disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

10 I NUMERI DI FIBONACCI IN NATURA Cosa hanno in comune una galassia, l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole? Tutti questi presentano schemi riconducibili a quello della spirale logaritmica e dei numeri di Fibonacci. Ecco qui rappresentata una serie di esempi in cui l espressione matematica della spirale logaritmica si manifesta nella bellezza e nella eleganza della natura. L'elemento comune di tutte le figure è rappresentato dalla spirale logaritmica attraverso la quale lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di accrescere "secondo natura" in maniera ottimale e meno dispendiosa possibile. Quindi la spirale logaritmica si ritrova in

11 natura, ad esempio nella forma delle galassie, nelle conchiglie, nelle chiocciole, nei girasoli, nelle pigne dei pini ecc. Se andiamo a considerare la lumaca (chiocciola), la spirale logaritmica ha la proprietà di allargarsi man mano che ci si allontana dal centro, probabilmente per la lumaca costituisce il giusto compromesso fra lunghezza ed area di accrescimento, cioè il volume più congeniale. Esaminando in maniera più approfondita la forma di fiori come la margherita, il girasole o una comune pigna notiamo che esiste una stretta relazione con i numeri di Fibonacci. Infatti guardando attentamente in un girasole, la parte del fiore che si trova all interno della corona (il "disco"), si può scoprire che essa è composta da un numero notevole di fiori più piccoli, disposti a formare una serie di spirali concentriche, alcune disposte in senso orario, altre in senso antiorario. Le spirali sono tutte logaritmiche, ed il numero di quelle orarie rispetto a quello delle spirali antiorarie formano due numeri successivi della sequenza del Fibonacci. Sulla testa di un tipico girasole, per esempio, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema: 89 spirali che si irradiano ripide in senso orario; 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso orario ma meno ripido. Il più grande girasole che si sia mai conosciuto aveva 44, 89 e 55 spirali. Da un punto di vista geometrico, si tratta dell unico modo possibile di avere una pianta in grado di crescere attraverso i fiori che essa contiene, occupando nel miglior modo possibile tutto lo spazio a disposizione ed ottimizzando anche la distribuzione delle risorse! La presenza delle due spirali, l una ascendente, l altra discendente, nel disco del girasole, è simbolo dell equilibrio tra lo spazio e l energia che lo percorre, ciò che è necessario affinché la vita si

12 manifesti, ogni essere vivente necessita di energia, tramite l apporto diretto del Sole, tramite l alimentazione e la respirazione, ma anche dello spazio adeguato in cui esprimere le proprie qualità ed i rapporti con le altre forme di vita. Schema delle spirali nel disco del girasole Invece se andiamo ad osservare la disposizione dei capolini di una margherita si notano due famiglie di spirali, composte la prima da curve ruotanti in senso antiorario, l altra da curve ruotanti in senso orario. Ebbene, in moltissimi casi i numeri di curve che compongono le due famiglie sono due numeri di Fibonacci consecutivi! Per esempio, in figura, si distinguono 34 spirali che ruotano in senso orario e 2 spirali che ruotano in senso antiorario.

13 Schema delle spirali nel disco di una margherita Un altro esempio è dato dalle pigne di pino in cui le scaglie si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l'esterno, una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino ha rivelato che oltre il 98 per cento di esse contiene un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri sono adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci, per esempio 8 spirali in un senso e 3 nell'altro, o 8 spirali in un senso e 2 nell'altro. Pigna di pino

14 Dunque in natura molte cose sono strutturate in base ai numeri di Fibonacci: basta guardare con attenzione anche questo cavolo romanesco e si nota che i piccoli bitorzoli che costituiscono una delle sue protuberanze sono disposti secondo linee a spirale: alcune mostrano una rotazione in senso orario, altre in senso antiorario. Se disegniamo in rosso le spirali in senso orario, le altre in nero. Contandole, si scopre che le linee rosse sono 8, quelle nere 3: proprio due numeri consecutivi della successione di Fibonacci!

15 Osservando questo cavolfiore se contiamo le spirali si ottengono due numeri consecutivi della successione di Fibonacci, infatti ci sono 5 spirali in senso orario e 8 in senso antiorario. Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas. Nell esempio si possono osservare tre insiemi di spirali: un insieme composto da 5 spirali che salgono con gradualità da sinistra a destra, un insieme di 8 spirali che salgono più rapidamente da destra a sinistra, e un insieme di 3 spirali che salgono quasi verticali da sinistra a destra.

16 I numeri di Fibonacci si trovano anche nella fillotassi, l'ordinamento delle foglie su uno stelo. Fu Keplero a rilevare che su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Osservando una pianta dall alto ci si accorge, infatti, che le foglie non sono disposte casualmente ma secondo una sorta di spirale: ogni foglia tende ad occupare una posizione tale da non nascondere le compagne sottostanti. Grazie a questo ordine ogni foglia può ricevere la quantità di luce sufficiente per compiere il proprio ciclo vitale regolarmente e l acqua della pioggia può raggiungere rapidamente, attraverso lo stelo, le radici. Quando la pianta è provvista di molte foglie capita inevitabilmente che ci siano foglie dispose sopra ad altre. Il fatto curioso è che la spirale della disposizione delle foglie lungo uno stelo compie sempre un numero di giri intorno allo stelo stesso prima che una foglia si sovrapponga ad un altra pari ad un numero di Fibonacci. E ancora: contando le foglie sistemate sullo stelo tra due che si sovrappongono.se ne trovano sempre una quantità pari ad un numero di Fibonacci. Come si vede dal disegno sotto, partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima e a seconda delle specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima foglia.

17 Anche nella crescita di una pianta è individuabile la successione di Fibonacci non solo dal numero di rami presenti ad ogni fase della crescita della pianta ma anche dal numero delle foglie che la pianta stessa fa germogliare ogni qual volta si ramifica. Infatti la crescita di alcune piante segue uno schema ben definito. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare,cioè un tronco può dar vita ad un ramo solo se è maturo ovvero a partire dalla propria seconda fase di crescita. Inoltre, un tronco non potrà generare più di un ramo per ogni fase altrimenti rischierebbe di indebolire troppo la pianta compromettendone la salute. Quindi al primo mese abbiamo ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via seguendo proprio la successione di Fibonacci. Sempre nell ambito della botanica un altra osservazione che possiamo fare è che il numero dei petali di un fiore è spesso un numero di Fibonacci. In natura esistono infatti fiori ad un solo petalo (calle), fiori con 2 petali (euphorbia), fiori con 3 petali (trillium), fiori con 5 petali (columbine), fiori con 8 petali (bloodroot), fiori con 3 petali (black-eyed susan), fiori con 2 (shasta daisy), fiori con 34 petali (daisy), ecc., infatti le margherite di solito ne hanno 34 o 55. Invece esistono pochissime specie di fiori che non hanno un numero di petali pari ad un numero della successione di Fibonacci. Del resto è assai raro trovare un quadrifoglio! (4 non è un numero di Fibonacci)

18 petalo 2 petali 3 petali 5 petali 8 petali 3 petali 2 petali 34 petali

19 La successione di Fibonacci nei petali di una rosa campestre La rosa di campagna ha un petalo centrale, due laterali, tre successivi ( + 2), cinque successivi (2 + 3), otto successivi (3 + 5), tredici successivi (5 + 8) ecc. e cioè il numero dei petali cresce secondo la sequenza di Fibonacci... Tutte queste scoperte in botanica, in zoologia e in astronomia non avrebbero sorpreso gli antichi greci, convinti com'erano dell'armonia geometrica dell'universo. Fibonacci nel Medioevo, da illustre matematico del tempo, riuscì con la scoperta dei suoi numeri a dare alcune spiegazioni riguardanti le leggi dell armonia che regolano l universo. Curiosità Avete mai osservato la frutta?...non potevano mancare i numeri di Fibonacci nella frutta: sezionando trasversalmente una noce, una banana, una mela, una pera si ottengono NOCE: 2 parti BANANA: 3 parti MELA: 5 parti

20 Tutto questo non è che un piccolo esempio di quante conclusioni nacquero da un piccolo studio sull'allevamento dei conigli... Chissà che anche voi, non abbiate l'intuizione di scoprire una sequenza numerica magica come quella di Fibonacci. ATTIVITÀ : DISEGNARE LA SPIRALE LOGARITMICA Come operare: costruisci i seguenti quadrati seguendo l ordine alfabetico e facendo attenzione a rispettare misure e posizioni (si procede in senso antiorario). Puoi aiutarti guardando il disegno. Quadrato A cm di lato Quadrato B cm di lato posizionato sopra ad A Quadrato C 2 cm di lato a sinistra di A e B Quadrato D 3 cm di lato sotto a C e A Quadrato E 5 cm di lato a destra di D, A e B Quadrato F 8 cm di lato sopra a E, B e C Quadrato G 3 cm di lato a sinistra di G, C e D Puntando l ago del compasso nel vertice di ogni quadrato con apertura pari alla lunghezza del lato del quadrato tracciare degli archi di circonferenza all interno del quadrato stesso. Ripetendo tale procedimento per ogni quadrato si ottiene la spirale logaritmica. Provare a continuare la spirale costruendo gli altri quadrati: quanto misurerà il lato del quadrato H?

21 Osserva i numeri che costituiscono la misura dei lati dei quadrati con i quali hai disegnato la spirale: Questi numeri costituiscono una serie molto famosa in matematica : sono i numeri di Fibonacci. ATTIVITÀ 2: CONTARE IL NUMERO DI SPIRALI Determinare il numero di spirali sia in senso orario che antiorario presenti in questa pigna di pino Le spirali in senso orario sono.. Le spirali in senso antiorario sono. Hai ottenuto 2 numeri della successione di Fibonacci? SI NO Determinare il numero di spirali sia in senso orario che antiorario presenti in questo cavolfiore

22 Le spirali in senso orario sono.. Le spirali in senso antiorario sono. Hai ottenuto 2 numeri della successione di Fibonacci? SI NO Prova a contare le spirali presenti nello schema del disco del girasole riprodotto nell altra pagina Le spirali ripide in senso orario sono.. Le spirali in senso antiorario sono. Le spirali meno ripide in senso orario sono.. Hai ottenuto 3 numeri della successione di Fibonacci? SI NO

23 Prova a contare i petali della rosa campestre

24 LEZIONE DI MATEMATICA TARTAGLIA E I SEGRETI DEL SUO TRIANGOLO OBIETTIVI: Conoscere la figura di Tartaglia e il suo contributo in campo matematico. Scoprire alcune delle innumerevoli proprietà del triangolo, dimostrando che esiste un collegamento con la successione di Fibonacci, i numeri di Pitagora (triangolari, quadrati) e addirittura con i frattali. CONTENUTI: Prima parte descrittiva contiene i seguenti argomenti: Niccolò Tartaglia Il Triangolo di Tartaglia e le sue proprietà Dal Triangolo di Tartaglia ai frattali Seconda parte è una raccolta di alcuni degli esercizi realizzati con gli alunni, di seguito elencati: Attività : costruire il triangolo di Tartaglia Tutti gli studenti, aiutati dai tirocinanti e dalle assistenti educatrici provano a scrivere le prime dieci righe del triangolo di Tartaglia. Attività 2: individuare nel triangolo di Tartaglia i numeri triangolari, quadrati e rappresentarli Si tratta di individuare nel triangolo di Tartaglia, i numeri triangolari, quadrati e di rappresentarli con le rispettive figure. Attività 3: trovare i numeri di Fibonacci nel triangolo di Tartaglia Questa attività consiste nel sommare i numeri in diagonale, sia in una rappresentazione che nell altra del triangolo riconoscendo che i numeri trovati sono proprio quelli di Fibonacci. Attività 4: riconoscere i numeri naturali, triangolari e tetraedrici sulle diagonali o sulle colonne del triangolo Nelle due configurazioni del triangolo, sia quella di Tartaglia che di Pascal, gli studenti devono individuare i numeri naturali, triangolari e tetraedrici rimarcandoli con dei colori.

25 Attività 5: colorare le caselle contenenti i numeri pari, i multipli di 3, di 4, di 5 e osservare le configurazioni che si ottengono Durante questa attività, gli studenti dovranno essere in grado di riconoscere e colorare le caselle contenenti i numeri pari, i multipli di 3, di 4, di 5 su delle immagini del triangolo di Tartaglia, fornite dall insegnante. Osservate bene quello che ottenete!!! Nell ultima parte della dispensa sono state riportate alcune delle schede utilizzate per le attività sopra menzionate. LA DOCENTE Prof.ssa Lanzacane Concetta

26 Niccolò Tartaglia Del nostro personaggio non si conosce l'esatta data di nascita, avvenuta intorno all anno 500 a Brescia. Gli studiosi lo ricordano come uno dei più importanti matematici della sua epoca. Il periodo in cui visse Tartaglia è ricordato dagli storici come l età del Rinascimento. È l'epoca di Machiavelli, di Raffaello, di Leonardo da Vinci, di Michelangelo... Ma le guerre e le atrocità non risparmiarono nemmeno questo secolo così ricco di creatività e di arte. In quel periodo la città di Brescia veniva assediata dalla Francia, e fu proprio durante un insurrezione contro i francesi che Niccolò fu ferito e divenne... Tartaglia! Infatti durante la presa di Brescia da parte dei francesi nel 52 fu ferito alla mandibola e al palato. Dato per morto, sopravvisse grazie alle cure della madre, ma gli rimase un evidente difficoltà ad articolare le parole che gli procurò un accentuata balbuzie per la quale i coetanei lo soprannominarono "Il Tartaglia". Un soprannome che decise di mantenere anche quando raggiunse la fama di grande matematico e lo utilizzò per firmare le sue opere. Tartaglia, così fu soprannominato mentre il suo vero nome era Niccolò Fontana, non ha sicuramente avuto una vita facile. Nato da una famiglia molto povera, perse il padre, un corriere a cavallo, al servizio del governo della città, quando aveva appena sei anni e quindi la sua famiglia finì in miseria e non poté permettersi alcuna scuola. Praticamente fu autodidatta e andò soltanto per 5 giorni, all età di 4 anni, a una "scuola di scrittura", per imparare a scrivere l alfabeto - come racconta nella sua autobiografia - ma arrivato alla lettera "k", la dovette abbandonare, non potendo continuare a pagare il maestro. Fu quindi essenzialmente un autodidatta: imparò da solo il greco, il

27 latino e la matematica. A Tartaglia dobbiamo tra l altro la prima traduzione italiana degli Elementi di Euclide. Verona e Venezia furono le due città in cui visse e insegnò. La mia non è stata una vita facile: non sono andato a scuola perché la mia famiglia era troppo povera. Sono stato un autodidatta, insomma ho fatto tutto da me! Tartaglia è stato uno dei più grandi algebristi del Cinquecento e il suo nome è legato, in particolare, alla scoperta delle formule risolutive delle equazioni di terzo grado. Per rivendicare la paternità di queste formule si trovò coinvolto in una polemica con un altro celebre matematico dell epoca, Girolamo Cardano a cui gli inviò una poesia nei cui versi si nascondeva la soluzione delle equazioni di terzo grado, da lui scoperta, nel 534, quand era a Venezia. Cardano fu il primo a rendere pubblica la soluzione, nel suo libro l Ars Magna, pubblicato a Norimberga nel 545. E questo fece imbestialire Tartaglia, che si sentì defraudato della sua scoperta. Per correttezza, dobbiamo dire che Cardano riconobbe di aver ricevuto la dimostrazione della regola direttamente da Tartaglia, osservando però che era già stata trovata in precedenza da Scipione Del Ferro, presumibilmente attorno al 55, morto senza divulgarla. Cardano precisava inoltre che Tartaglia era arrivato alla soluzione del problema perché sollecitato da una sfida matematica lanciata da Anton Maria Fiore, discepolo di Del Ferro. Nel 500 erano in uso delle gare pubbliche fra matematici chiamate "cartelli di matematica disfida". Ognuno dei contendenti proponeva all avversario un numero stabilito di quesiti di vario tipo e di particolare difficoltà. Ogni "cartello" era depositato presso un notaio o una persona influente, stampato e distribuito in Italia a molti studiosi del periodo. Lo sfidato doveva risolvere i problemi in un tempo preventivamente stabilito, proponendo a sua volta all avversario nuovi quesiti. Alcuni giudici, scelti di comune accordo, dichiaravano vincitore

28 chi riusciva a risolvere il maggior numero di problemi. Niccolò Tartaglia fu protagonista, e vincitore, di una disfida fra le più famose. Il suo contributo allo sviluppo dell algebra fu molto importante, ma leggendo i suoi scritti difficilmente potremmo riconoscere l algebra che noi studiamo: il linguaggio dell algebra moderna, fatto di simboli che consentono di esprimersi molto rapidamente e con grande precisione, non era infatti ancora stato inventato. Tartaglia, ad esempio, non faceva uso delle lettere come facciamo noi e non poteva scrivere, di conseguenza, le equazioni nella forma in cui noi le conosciamo. Egli fornisce il metodo per la risoluzione di equazioni di terzo grado, ma non usa i nostri simboli: l incognita, da noi indicata con x, viene da lui chiamata "cosa", e quella che noi diamo come una breve formula risolutiva viene invece scritta da Tartaglia come una filastrocca, facile da ricordare grazie alle rime, ma non altrettanto facile da interpretare! Eccone una parte: Quando che 'l cubo con le cose appresso, Se agguaglia a qualche numero discreto, Trovami dui altri, differenti in esso. Dapoi terrai questo per consueto Che 'l loro produtto sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose netto El residuo poi suo generale, Delli lor lati cubi, ben sottratti Varrà la tua cosa principale. Dobbiamo ancora dire che Tartaglia viene considerato il padre della moderna balistica, presentata per la prima volta, come disciplina matematica, nella sua opera Nova Scientia (537) che è la sua prima pubblicazione. In essa descrive metodi e strumenti dell artiglieria, in particolare un quadrante a pendolo, detto "archipenzolo", per misurare l inclinazione del cannone. Ritornò sull argomento in un altra sua opera Quesiti et inventioni diverse (546) in cui descrive la traiettoria di un proiettile in termini matematici e tenta anche di dimostrare che l angolo di massima gittata è di 45. Infatti si guadagnò da vivere come consulente dei mastri carpentieri dell arsenale veneziano e vendendo le proprie scoperte balistiche (ossia relative al movimento e alla direzione dei proiettili) ad artiglieri, militari, soldati e naviganti che affollavano la repubblica veneta. Morì a Venezia il 3 dicembre 557.

29 Il Triangolo di Tartaglia e le sue proprietà Il nome di Tartaglia è noto ai più per il Triangolo che porta il suo nome. Si tratta di una semplice configurazione numerica, dal fascino straordinario e ricchissima di implicazioni in campi diversi, presentata da Tartaglia in un suo libro, il General trattato di numeri et misure (556), praticamente un'enciclopedia della matematica di quei tempi dove egli riporta questa particolare figura e ammette di non essere una sua invenzione (era già nota agli indiani e ai cinesi), che però viene da allora tramandata come il "Triangolo di Tartaglia". Per costruirlo partiamo dal "numero generatore", sulla seconda riga si scrive due volte e poi il numero si riporta all'inizio e alla fine di ogni riga. Tutti gli altri numeri si ottengono sommando i due numeri sovrastanti, come è facile verificare in figura.

30 Si ritrova la stessa configurazione numerica del Triangolo di Tartaglia, denominato "Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori" in un libro cinese del 303: il Prezioso Specchio dei Quattro Elementi di Chu-Shih-Chieh. Il "Triangolo di Tartaglia" come venne proposto dal matematico cinese Chu Shih-Chieh Nel libro vengono riportate le potenze di un binomio fino all'ottava potenza, con una rappresentazione dei numeri a bastoncini. Si osservi che lo zero veniva indicato con un piccolo cerchio. Chu non ne rivendica la paternità, ma fa riferimento a un "vecchio metodo" e ci sono libri cinesi più antichi, del dodicesimo secolo, che riportano lo stesso schema. Infatti Omar Khayyàm (050c./22) che è stato un grande matematico, ma anche un celebre poeta, fu tra i primi a studiare questo triangolo, nella sua applicazione alle potenze di un binomio, e come tale lo ritroviamo su tutti i testi di algebra, anche a livello di scuola dell'obbligo.

31 Chi ha qualche ricordo del calcolo letterale saprà, ad esempio, che, 3, 3 e, i coefficienti dei quattro termini, sono i numeri della terza riga del triangolo (senza contare il numero generatore, cioè il numero che si trova in alto, al vertice del triangolo) e così, 5, 0, 0, 5 e, i coefficienti dei sei termini, sono i numeri della quinta riga del triangolo. Dunque per calcolare le potenze di un binomio possiamo utilizzare il Triangolo di Tartaglia, per questo motivo gli elementi del triangolo sono anche detti coefficienti binomiali poiché coincidono con i coefficienti delle potenze di un binomio. Vediamo adesso come si esegue una qualsiasi potenza del binomio: (a + b). Scriviamo ad esempio le potenze di un binomio che in genere conosciamo. Quadrato di un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b² Cubo di un binomio: (a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³ Osserviamo bene i polinomi risultanti; essi sono ordinati e completi. Ma possiamo notare due precise caratteristiche dei loro termini: - in ogni monomio gli esponenti delle potenze di a ( termine) decrescono e quelli delle potenze di b (2 termine) crescono; - ogni monomio viene moltiplicato per un numero detto coefficiente. I coefficienti seguono una certa "legge di formazione" che ritroviamo... nel Triangolo di Tartaglia! Infatti i coefficienti del polinomio"quadrato di un binomio"; sono i numeri:, 2, ; mentre quelli del polinomio"cubo di un binomio"; sono i numeri:, 3, 3,. E, se ridiamo uno sguardo al Triangolo di Tartaglia... vediamolo così

32 Riga Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b) n 0 (a+b) 0 = (a+b) = a + b = a + b 2 2 (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 + b (a+b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + 5ab 4 + b (a+b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b a 3 b 3 + 5a 2 b 4 + 6ab 5 + b La prima riga risolve (a + b) elevato 0 (zero); la seconda riporta i coefficienti di (a+b) ; la terza riga è costituita dai coefficienti di (a + b)² e così via... Seguendo questo schema possiamo sviluppare una qualsiasi potenza di un binomio. Un secolo dopo Blaise Pascal ( ) riprese il triangolo di Tartaglia, lo caratterizzò con nuove proprietà fino ad allora sconosciute e lo rappresentò usando la forma del triangolo rettangolo.

33 Mi chiamo Blaise Pascal, sono nato a Clermont nel 623. Ho apportato una leggera modifica al triangolo, disponendo lo schieramento a triangolo rettangolo. Questa forma vi consentirà un analisi migliore delle righe e delle colonne Il triangolo nella configurazione di Pascal, a "triangolo rettangolo" Blaise Pascal, nel 654, scrisse un intero libro, Le Triangle Aritmétique, dedicato a questo triangolo e alle sue proprietà, in particolare nel campo del calcolo combinatorio. Uno studio importante che portò a ribattezzare il celebre triangolo con il nome di "Triangolo di Pascal". Egli ha infatti scoperto che i numeri del triangolo corrispondono alle diverse combinazioni possibili di un dato gruppo di oggetti. Ad esempio, 5 oggetti a, b, c, d ed e, si possono combinare a due a due in 0 modi diversi: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de e 0 è proprio il numero all'incrocio della quinta riga con la seconda colonna (si conta come zero, lo ricordiamo, la riga dell' iniziale e la colonna di ). Sei oggetti si combinano a tre a tre in 20 modi diversi e 20 è il numero all'incrocio della sesta riga con la terza colonna. Un altro esempio di combinazione di 5 oggetti a gruppi di 2 è quello rappresentato in figura. Ricordiamo che, in generale dato un numero n di oggetti, si chiamano "combinazioni semplici" tutti i gruppi di k oggetti che si possono formare con gli n oggetti dati, in modo che due qualunque di essi siano diversi per avere almeno un oggetto differente.

34 Vedremo adesso quante proprietà e relazioni numeriche possiede questo magico triangolo! Il triangolo di Tartaglia racchiude nei suoi numeri, diversi piccoli segreti e non è solo un metodo per calcolare i coefficienti binomiali. Proviamo, per esempio a sommare i numeri di ciascuna riga, partendo dall'alto, danno le potenze di 2. Infatti se osserviamo le righe del triangolo e facciamo la somma dei numeri otteniamo:, 2, 4, 8, che sono proprio le potenze di 2.

35 2 4 8 Le potenze successive di 2 = = = = = = = = = = = 2 0 Quelle che seguono sono soltanto alcune delle innumerevoli proprietà del triangolo nel quale si possono rilevare, in modi diversi, la successione di Fibonacci, i numeri triangolari e tetraedrici e addirittura i frattali, che emergono sostituendo ogni numero e i suoi multipli con punti di colore diverso o anche semplicemente collocando punti bianchi e neri al posto dei numeri pari e dispari. Tutte queste costruzioni che scaturiscono dalla nostra indagine e che trovano sorprendentemente tante applicazioni in natura, sono un bell'esempio del fascino e del valore della matematica. Esiste un punto di incontro tra Fibonacci e Tartaglia?

36 Di certo, in vita i due non si sarebbero mai potuti dare la mano, essendo vissuti in epoche distanti ben tre secoli. Fibonacci, al secolo Leonardo Pisano, visse infatti a cavallo del 200 ed era di famiglia benestante essendo il padre, il segretario della Repubblica di Pisa e responsabile del commercio con l Africa. Fu proprio in Africa che ebbe modo di studiare le avanzate tecniche matematiche, al tempo in possesso del mondo arabo. Tartaglia, al secolo Niccolò Fontana visse a cavallo del 500 fra Brescia e Verona. Era di famiglia tutt altro che ricca, e rimase orfano di padre quando era ancora molto giovane. Non potendosi pagare gli studi fu essenzialmente un autodidatta. Ma se osserviamo bene il triangolo vediamo che esiste una relazione tra i due, infatti dal triangolo di Tartaglia si possono ricavare i numeri di Fibonacci, basta sommare i numeri in diagonale, nel modo indicato in figura, sia in una rappresentazione che nell altra: così dalla prima riga otteniamo, dalla seconda ancora, poi 2, 3, 5, 8, 3, 2,..., ricordiamo che i numeri della successione di Fibonacci sono:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44,... Nel triangolo di Tartaglia si possono evidenziare due diagonali composte da numeri detti triangolari.

37 Questi numeri:, 3, 6, 0, 5, 2, 28, 36, 45, 55, 66, 78,... sono detti triangolari per il fatto che si possono rappresentare geometricamente con dei triangoli.

38 N um e ri T ria ng o la ri P er r s c o prire i tre n uovi i n um e ri tria ng ola ri, s i a g g iun g e un a nu ova a fila a l tria n g olo

39 Un numero triangolare è dato dalla somma di un numero naturale n e di tutti i suoi precedenti. Indicato con tn l ennesimo numero triangolare si ha: tn = n Esempio: il sesto numero triangolare è t 6 = = 2. Un altro caso particolare di numeri che possiamo riscontrare nel Triangolo di Tartaglia sono i numeri tetraedrici, così detti perché si possono rappresentare con un tetraedro cioè una piramide con una base triangolare. L ennesimo numero tetraedrico è dato dalla somma dei primi n numeri triangolari T n = t + t 2 + t t n Esempio: T 3 = = 0 Quindi anche i numeri tetraedrici si possono leggere nel triangolo di Tartaglia.

40 4 0 Se osserviamo un altra diagonale riscontriamo la successione dei numeri naturali:, 2, 3, 2 Nella seconda diagonale si trova la sequenza dei Numeri naturali

41 La somma di due numeri triangolari successivi è sempre un numero quadrato: t + t 2 = + 3 = 4 = 2 2 t 2 + t 3 = = 9 = 3 2 I num e ri qua dra ti s i le g g ono ne lla te rz a dia g ona le, dove s i trova no a nche i num e ri tria ng ola ri Num e ri qua dra ti: + 3 = = = = = = = I numeri triangolari, quadrati sono i famosi numeri figurati di Pitagora (la sua celebre aritmogeometria) abbiamo così trovato un collegamento tra i numeri del triangolo e i numeri di Pitagora.

42 Se consideriamo il triangolo nella configurazione di Pascal possiamo osservare che la prima colonna è composta dalla successione dei numeri naturali, la seconda dai numeri triangolari, la terza dai numeri tetraedrici Ma le magie del triangolo di Tartaglia non sono finite Moltiplica i numeri contenuti nelle cellette verdi 5 6=30 Moltiplica i numeri contenuti nelle cellette arancioni: 3 0= Il fiore Un altro esempio: = =5880 Il prodotto è lo stesso

43 Nel triangolo di Tartaglia si può notare un altra proprietà: se si iniziano a sommare i numeri di una diagonale, partendo dall uno che si trova al bordo del triangolo, in qualsiasi posizione ci si ferma il numero che si trova nella riga sottostante sarà il risultato. La stessa proprietà la possiamo riscontrare se consideriamo il triangolo nell altra configurazione. In questo caso ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.

44 Dal Triangolo di Tartaglia ai frattali Il Triangolo di Tartaglia nasconde molte configurazioni interessanti. Il modo più semplice per evidenziarle è quello di sostituire ogni numero e tutti i suoi multipli con colori diversi. Naturalmente il Triangolo deve essere sufficientemente ampio, per riuscire ad individuare queste configurazioni. Il risultato è una sorprendente serie di triangoli simili cioè che hanno la stessa forma e che risultano l esatto ingrandimento o rimpicciolimento l uno dell altro cioè una serie di triangoli con una struttura a frattale. Le successioni in cui uno schema contiene repliche in miniatura di se stesso (come le matrioske russe) si chiamano frattali. Il termine frattale è stato coniato dal matematico B. B. Mandelbrot. I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: la proprietà principale di un frattale è l autosomiglianza.

45 Se nel triangolo di Tartaglia si colorano le celle dei numeri pari si ha: cioè si forma una figura simile ad una figura geometrica nota come triangolo di Sierpinskj. Il triangolo di Sierpinski è un esempio di figura frattale.

46 Il Triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri. Il Triangolo di Tartaglia al computer, come frattale: i numeri pari sono stati sostituiti da punti neri e i numeri dispari da punti rossi.

47 Termini dispari Triangolo di Sierpinski

48 Continuando a giocare con il triangolo di Tartaglia, possiamo colorare le caselle contenenti i multipli di 3, quelle dei multipli di 4 e infine quelle dei multipli di 5. Si formano dei triangoli tutti a testa in giù Questo triangolo è veramente una miniera d oro!!!

49 É certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde. La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di ognuno. Possiamo concludere con una citazione di Hans Magnus Enzensberger: "La matematica è davvero una storia infinita, disse. Scavi e scavi e trovi sempre qualcosa di nuovo."

50 NUMERI TRIANGOLARI E QUADRATI Individuare nel triangolo di Tartaglia i numeri triangolari rimarcandoli con un colore. Dopo, scrivere i numeri quadrati che si ottengono sommando due successivi numeri triangolari. Rappresentarli nella griglia sottostante

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52 I NUMERI DI FIBONACCI Trova i numeri di Fibonacci nel seguente triangolo. Ricordo che i numeri di Fibonacci sono:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89,

53 I NUMERI DI FIBONACCI Trova i numeri di Fibonacci nel seguente triangolo. Ricordo che i numeri di Fibonacci sono:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89,

54 TRIANGOLO DI TARTAGLIA Nel triangolo di Tartaglia individua i numeri naturali, triangolari e tetraedrici, rimarcandoli con un colore