La conservazione dell'energia meccanica

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1 La conservazione dell'energia meccanica Scopo dell'esperienza: La piattaforma sperimentale utilizzata permette di studiare la conservazione di energia meccanica in un sistema di due corpi collegati da una fune: il primo corpo (un pesetto di massa nota) cade verticalmente sotto l'azione della forza peso, mentre il secondo (una slitta) scivola orizzontalmente su una rotaia a basso attrito. Il movimento del primo corpo determina un movimento del secondo tal che l'energia potenziale gravitazionale persa dal primo si trasforma in energia cinetica del secondo. Materiale occorrente: Rotaia a cuscino d'aria (profilato di alluminio a sezione triangolare, forato in superficie), su cui scorre una slitta di massa m (Figura 1) Generatore di aria compressa per immettere aria nella rotaia e generare il cuscino per ridurre l'attrito Pesetto di massa M (variabile) Filo di collegamento (idealmente inestensibile e di massa trascurabile) tra la slitta e il pesetto Due carrucole, una per trasformare il moto da verticale (pesetto) in orizzontale (slitta) e l'altra per innalzare il livello da cui far cadere il pesetto Elettromagnete, necessario per bloccare la slitta nella posizione iniziale, e dispositivo per lo sgancio dell'elettromagnete (per rendere la slitta libera di muoversi) Figura 1

2 Un diaframma nero montato sulla slitta Due fotocellule per rilevare il transito del diaframma, la cui posizione sulla rotaia è regolabile Un cronometro elettronico che rileva il tempo trascorso tra lo switch della prima fotocellula e quello della seconda Figura 2 Un po' di teoria L'energia meccanica del sistema è data dalla somma dell'energia potenziale gravitazionale e dell'energia cinetica dei due corpi di masse m e M. Supponiamo che la slitta di massa m si trovi in quiete nella sua posizione iniziale (ad esempio perché bloccata da un vincolo removibile). Supponiamo anche che nell'istante, t 1, in cui la slitta è lasciata libera di muoversi, scatti la prima fotocellula. Possiamo approssimare che la sua velocità, v 1, in tale istante sia zero. Nell'istante t 2 la slitta, sotto l'azione della tensione del filo, avrà percorso un tratto di rotaia lungo d, e avrà acquistato una velocità v 2. Tra gli istanti t 1 e t 2 il peso di massa M, partendo da fermo ad una altezza H 1, avrà percorso un tratto di lunghezza d, e si troverà quindi ad una altezza H 2 = H 1 -d. Siccome il pesetto ha percorso, cadendo, lo stesso tratto d della slitta nello stesso intervallo di tempo Δt = t 2 -t 1, allora i due corpi hanno in t 2 la stessa velocità e la stessa accelerazione. L'energia del sistema nell'istante t 1 è dato dalla sola energia potenziale gravitazionale, U, del pesetto: poiché la slitta è ferma (v 1 = 0), mentre nell'istante t 2, i due corpi sono entrambi in moto, quindi l'energia totale sarà la somma dell'energia potenziale del pesetto più le energie cinetiche dei due corpi: (1)

3 Se l'attrito tra la rotaia e la slitta è trascurabile, come stiamo supponendo, l'energia meccanica del sistema deve conservarsi, cioè l'energia cinetica dei due corpi (pesetto e slitta) è acquistata a scapito di una perdita di energia potenziale del pesetto. Poiché quello che vogliamo verificare è che l'energia si conserva, ci aspettiamo che risulti: cioè: che, nel nostro caso, diventa: Questa è la relazione che andremo a verificare sperimentalmente. (2), (3), (4). (5) La Misura Vogliamo verificare che la variazione di energia potenziale gravitazionale del pesetto corrisponda all'aumento di energia cinetica dei due corpi. Lo spazio percorso dai due corpi, d, può essere regolato dallo sperimentatore spostando i supporti delle fotocellule lungo la rotaia, e può essere misurato mediante la scala graduata riportata sulla rotaia. Le masse M del pesetto e m della slitta vanno misurate tramite una bilancia di precisione, prima dell'inizio dell'esperimento. La velocità v dei due corpi si ricaverà dalla conoscenza dello spazio percorso, d, e dall'intervallo di tempo, Δt, misurato dal cronometro elettronico. Parte I: Misure preliminari e messa a punto E' importante dedicare una prima parte dell'esperimento alla messa a punto dell'apparecchiatura poiché occorrono alcuni accorgimenti particolari perché il tutto funzioni al meglio. Per la messa a punto è necessario: 1. Accendere il generatore di aria compressa e regolare la pendenza della rotaia, in modo tale che la slitta, non bloccata dall'elettromagnete, non si muova lungo una direzione preferenziale, ma resti in quiete (oppure oscilli alternativamente prima in una direzione e poi nell'altra) 2. Bloccare la slitta all'elettromagnete. Far passare il filo dalle carrucole e appendere il pesetto al gancio che si trova all'estremità del filo. 3. Regolare la posizione della prima fotocellula (quella più vicina all'elettromagnete) in modo tale che non appena viene sbloccato l'elettromagnete, il cronometro elettronico parta a misurare l'intervallo di tempo Δt. 4. Regolare la posizione della seconda fotocellula, in modo da ottenere la distanza d voluta (si consiglia di partire da d = 1m).

4 Parte II: Misura Una volta fatte le regolazioni descritte nella parte I, si può procedere con la misura. Ogni misura va fatta da due sperimentatori, e consiste nel misurare il tempo intercorso tra il passaggio della slitta attraverso la prima fotocellula, e il passaggio attraverso la seconda, Δt. Si consiglia di ripetere la misura almeno 10 volte (vedi la sezione Analisi dei dati). La misura va effettuata come segue: 1. Il primo sperimentatore posiziona la slitta vicino all elettromagnete e la blocca spingendo l apposito interruttore. 2. Viene azzerato il cronometro elettronico 3. Il primo sperimentatore sblocca la slitta, che successivamente attraversa le due fotocellule. 4. Il secondo sperimentatore blocca la slitta una volta superata la seconda fotocellula per evitare che il pesetto arrivi a terra o la slitta a fine corsa. Nel caso questo avvenga potrebbe essere necessario ricalibrare tutta l apparecchiatura come descritto nella parte I. 5. Il secondo sperimentatore blocca la slitta all elettromagnete, mentre il primo annota il valore misurato in una tabella (vedi la sezione Analisi dei dati) 6. I due sperimentatori si scambiano i compiti e compiono le 10 misure consigliate Se il tempo a disposizione lo permette, si possono scegliere valore diversi della massa del pesetto (ad esempio 4 valori diversi) e si ripetono i punti da 1 a 6. In aggiunta (o in alternativa) si può ripetere la misura tenendo fissa la massa del pesetto, ma variando la distanza tra le due fotocellule (spostando la seconda verso il fondo della rotaia di una quantità desiderata, ad esempio 4 volte). Nel primo caso, a seguito dell aumento della massa del pesetto, l energia iniziale del sistema aumenta (e anche la quantità di energia che si trasforma da potenziale gravitazionale in cinetica). Nel secondo caso, aumentando il percorso fatto dalla slitta, l energia iniziale del sistema è la stessa, ma quella finale è inferiore, quindi anche in questo caso si ha un aumento della quantità di energia che si trasforma. Analisi dei dati Errori di misura Alcune delle grandezze fisiche che compaiono nella eq. 4 si possono misurare direttamente, altre sono ricavate a partire da queste. Le variabili che possiamo misurare direttamente sono le masse dei due corpi, m e M, la distanza tra le fotocellule, d, e l'intervallo di tempo che intercorre tra il passaggio davanti alle due fotocellule, Δt. Errore strumentale La distanza tra le due fotocellule si può leggere dalla scala graduata riportata sulla rotaia, mentre le due masse m e M possono essere misurate con una bilancia di precisione. Se ripetessimo la misura di queste tre grandezze, noteremmo che il loro valore non cambia. Sappiamo che ad ogni misura di una grandezza fisica è associata una incertezza, ma qual è l'incertezza da attribuire a m, M e d se la loro misura restituisce sempre lo stesso valore?

5 L'errore in questo caso dipende da come lo strumento è stato realizzato, o dal modo in cui il risultato della misura può essere letto dallo strumento. L'errore si dice strumentale ed è pari alla risoluzione dello strumento di misura (la cifra meno significativa di una bilancia di precisione, es g, o la più piccola tacca della scala graduata, es. 1 mm). Indicheremo queste incertezze con Δd, Δm e ΔM. Errore statistico Se si usa uno strumento poco sensibile, una misurazione ripetuta più volte ci darebbe sempre lo stesso risultato. Se si usa uno strumento di buona classe di precisione, invece, come il cronometro elettronico, quando ripetiamo la misura di Δt si rileveranno valori diversi. Queste fluttuazioni non si possono né prevedere né evitare, ma si deve tenerne conto nella stima del valore e dell'incertezza della misura. Gli errori casuali possono essere ridotti al minimo ripetendo più volte la misura e facendo poi la media aritmetica dei valori trovati. Questo valore è la stima migliore della grandezza X che stiamo misurando: dove le x i sono le singole misure, e n il numero di ripetizioni. Per l'incertezza invece, la stima migliore che possiamo fare è la deviazione standard della media: (5). (6) Allora quando si hanno misure che fluttuano il risultato delle misure si scrive: che, nel caso dell'intervallo di tempo Δt misurato dal cronometro elettronico, diventa: Propagazione dell'errore Supponiamo di aver fatto una misura di una o più grandezze fisiche e di averne stimato l'incertezza. Se siamo interessati ora a calcolare una grandezza derivata da queste (ad esempio la velocità media Δs/Δt, una volta misurati Δs e Δt), come stimiamo la sua incertezza a partire da quelle delle grandezze misurate? A questo problema si da il nome di propagazione degli errori, di cui si riportano la soluzione nel caso in cui la grandezza derivata (S) dipenda dalle grandezze misurate (a e b) tramite le quattro operazioni fondamentali. 1. S = a + b: ΔS = Δa + Δb 2. S = a - b: ΔS = Δa + Δb 3. S = a * b: ΔS = a*δb + b*δa 4. S = a / b: ΔS = (a*δb + b*δa) / b 2 (7) (8)

6 Raccolta dei dati m ± Δm (g) M ± ΔM (g) d ± Δd (mm) Δt (s) Tabella 1 Suggerimenti per l'analisi Una volta raccolti tutti i dati, è necessario analizzarli per poter verificare che l'energia meccanica del sistema si è conservata. Qui sotto sono riportati alcuni suggerimenti: 1. Una prima cosa da fare è ricavare, a partire dalla Tabella 1, i valori e le incertezze per le grandezze derivate che eventualmente compaiono nella eq. 4. La velocità dei due corpi è una di queste. Ce ne sono altre? 2. Indicata con ΔU la quantità U 1 -U 2, e con ΔK la quantità K 2 -K 1, la relazione da verificare diventa ΔU = ΔK. Entrambe queste grandezze hanno una incertezza, che va calcolata. 3. Riporta nella tabella sottostante i valori delle grandezze più significative e le loro incertezze v 2 ± Δv 2 ΔU ± incertezza ΔK ± incertezza Tabella 2 4. Riporta se un grafico i valori di ΔU e ΔK (e delle loro incertezze) per ciascuna delle ripetizioni dell'esperimento (1 ripetizione = 10 misure di Δt. Nelle Tabelle 1 e 2 puoi riportare i dati misurati fino a un numero massimo di 8 ripetizioni dell'esperimento). Sull'asse delle ascisse riporta l'indice, i, della ripetizione (i=1,2...,8). Per ognuna di queste ascisse riporta in ordinata sia il valore di ΔU che di ΔK (con le relative barre di errore). 5. Verifica se, per ciascuno dei punti in ascissa, le barre di errore hanno un range di valori in comune (cioè se sono parzialmente sovrapposte). Verifica poi se è possibile far passare due rette parallele attraverso le barre d'errore di ΔU e di ΔK, dividendo i grafici in: 1) valori di ΔU e di ΔK per valori di d crescenti, e 2) valori di ΔU e di ΔK per valori di m crescenti. 6. Cerca di dedurre le tue conclusioni sull'esperimento, sulla base delle tue osservazioni durante la misura e dei risultati che hai ottenuto dall'analisi dei dati raccolti