= Acos ω 0 t B sinω 0 t (2)

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1 Un vettore complesso è un ente che rappresenta una grandezza vettoriale che varia sinusoidalmente nel tempo. Consideriamo infatti un vettore e(t) che vari sinusoidalmente nel tempo. In tal caso le tre componenti di e(t), ovvero e x (t), e y (t), e z (t), sono grandezze scalari che variano anch esse sinusoidalmente nel tempo, e possono ciascuna essere rappresentata ) da un fasore o numero complesso, rispettivamente E x, E y, E z. Il vettore E = (E x,e y,e z rappresenterà la grandezza reale e(t), così come un numero complesso rappresenta una funzione scalare sinusoidale. Le operazioni sui vettori complessi sono definite come quelle su vettori reali, tranne che occorre distinguere 1 tra prodotto scalare di un vettore complesso per se stesso, E E, e modulo quadro dello stesso vettore E : E E = E x + E y + E z E = E x + E y + E z Il modulo quadro del vettore E può anche essere calcolato come prodotto scalare tra il vettore ed il suo complesso coniugato E = E E È importante notare che il modulo quadro di un vettore complesso E si annulla se e solo se il vettore è nullo, mentre il quadrato di un vettore complesso può essere nullo anche se il vettore è diverso da zero (basta considerare, ad esempio, il vettore diverso da zero i x + ji y, il cui quadrato è nullo ). Ulteriori distinzioni tra vettori reali e complesse sono riportate nelle appendici 1 e Oltre che per componenti, un vettore complesso può essere decomposto in parte reale e immaginaria: E = A + jb (1) con A e B vettori reali. Tale decomposizione risulta molto utile per descrivere il vettore nel tempo. Si ha infatti ] ( ) e(t) = Re[ A + jb e jω 0t = Acos ω 0 t B sinω 0 t () Segue quindi che un vettore sinusoidale puro come e(t) giace sempre nel piano individuato dai vettori reali A, B in ogni istante di tempo t. Pertanto è sempre possibile, per un tale vettore, definire un piano, detto piano di polarizzazione, a cui il vettore appartiene. Per 1 Ricordiamo che queste due quantità sono uguali per vettori reali Per vettori comunque variabili nel tempo ciò non è più vero. Tuttavia esistono molti casi di campi elettromagnetici che sono sempre ortogonali ad una direzione, ad esempio le onde piane. Per tali campi è ancora possibile definire un piano di polarizzazione 1

2 comodità, nel seguito della discussione sceglieremo sempre il sistema di riferimento in modo che l asse z sia ortogonale al piano di polarizzazione. Inoltre e(t) è una funzione periodica del tempo, per cui il suo estremo descrive, nel piano di polarizzazione, una curva chiusa. Si può dimostrare (vedi App. 3) che tale curva è un ellisse e si dice pertanto che il vettore sinusoidale e(t) è un vettore polarizzato e che la sua polarizzazione è in generale ellittica. Esistono però due casi particolari di polarizzazione, che sono poi quelli utilizzati in tutti i sistemi di telecomunicazioni: polarizzazione lineare quando l ellisse degenera in un segmento di retta; polarizzazione circolare quando l ellisse degenera in una circonferenza. Esistono infinite polarizzazioni lineari, che si distinguono per la direzione della retta, mentre vi sono solo due polarizzazioni circolari, che si distinguono per il verso, levogiro o destrogiro, con cui viene percorsa, da e(t), la circonferenza. Naturalmente non sempre è possibile ottenere una polarizzazione lineare o circolare pura, e conviene quindi introdurre una quantità che consenta di misurare la qualità di una polarizzazione, ovvero di indicare quanto una polarizzazione si avvicina ad una polarizzazione lineare o circolare pura. Questa quantità è il rapporto assiale, indicato normalmente con la sigla AR (acronimo della espressione inglese axial ratio), definito come il rapporto tra il massimo ed il minimo del modulo del vettore e(t): AR = max e(t) min e(t) (3) (o, eqivalentemente, come il rapporto tra gli assi dell ellisse di polarizzazione) e compreso in [1, ). È evidente che i due casi di polarizzazione lineare e circolare sono proprio i casi limite del rapporto assiale AR = 1 polarizzazione circolare AR = polarizzazione lineare (4) È anche ovvio che un rapporto assiale molto grande indica una polarizzazione prossima a una polarizzazione lineare, così come un rapporto assiale poco più grande di 1 indica una polarizzazione prossima a quella circolare. Utilizzando il rapporto assiale è possibile fissare le specifiche di polarizzazione di un sistema di comunicazione. Ad esempio, un sistema in polarizzazione nominale circolare può spesso accettare campi anche non polarizzati circolarmente, purchè il loro rapporto assiale sia inferiore a un valore normalmente compreso tra 1.5 e. Queste due polarizzazioni vengono in genere indicate con gli acronimi inglesi LHCP e RHCP, ovvero left hand e right hand circular polarization.

3 Per determinare le condizioni di polarizzazione lineare e circolare, e per calcolare il rapporto assiale, notiamo preliminarmente che le lunghezze dei due semiassi dell ellisse di polarizzazione sono anche il valore minimo e massimo della distanza dell ellisse stesso dall origine. Per calcolare tali punti estremali, consideriamo e(t) = Acos ω 0 t Bsin ω 0 t = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t A B sin ω 0 t cos ω 0 t = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t A B sinω 0 t avendo utilizzato le formule di duplicazione delle funzioni circolari, e indicato con A = A A, B = B B. L espressione precedente è la distanza (al quadrato) D(t) dei punti dell ellisse dall origine, al variare di t. La sua derivata vale (5) D (t) = ω 0 A cos ω 0 t sin ω 0 t + ω 0 B cos ω 0 t sin ω 0 t ω 0 A B cos ω 0 t [ = ω 0 A B ] sinω 0 t A Bcos ω 0 t La polarizzazione circolare è caratterizzata dall avere la distanza D(t) costante, e quindi D (t) = 0, t. Di conseguenza le condizioni di polarizzazione circolare sono A = B A B = 0 e devono essere valide entrambe. Per considerare le altre polarizzazioni, riscriviamo la (5) dividendola per cos ω 0 t: D(t) = A + B tan ω 0 t A Btan ω 0 t = B T AB cos θ T + A avendo posto per semplicità tan ω 0 t = T e ricordando che, essendo A e B vettori reali, risulta A B = AB cos θ dove θ è l angolo tra A e B. Per avere polarizzazione lineare deve esistere un istante t (ovvero un valore di T) in cui D(t) = 0. In altri termini l equazione B T AB cos θ T + A = 0 (6) deve avere almeno una radice reale. La condizione di realtà delle radici è che il relativo discriminante sia non negativo. Calcoliamo il discriminante della equazione (AB cos θ) (B )(A ) = A B ( cos θ 1 ) = A B ( sin θ) = A B 3

4 Il discriminante è non positivo, e quindi la (6) ha radici reali se e solo se che è la condizione di polarizzazione lineare A B = 0 Nel paragrafo precedente abbiamo visto che valgono le seguenti condizioni necessarie e sufficienti: polarizzazione lineare A B = 0 (7) polarizzazione circolare A B = 0 e A = B (8) Si noti che per avere polarizzazione lineare basta una sola condizione, mentre per avere polarizzazione circolare ne occorronono due. Quasto è coerente col fatto che esistono infinite polarizzazioni lineari, e solo due polarizzazioni circolari. Le condizioni di polarizzazione lineare (7) e circolare (8) coinvolgono la parte reale e immaginaria del vettore E. È spesso più utile valutare la polarizzazione utilizzando le componenti complesse 3 E x, E y del vettore E. Notiamo preliminarmente che E x = A x + jb x, E y = A y + jb y, e di conseguenza, dette Φ x, Φ y le fasi di E x, E y, si ha A x = E x cos Φ x A y = E y cos Φ y (9) B x = E x sin Φ x B y = E y sin Φ y Per determinare le condizioni necessarie in termini di componenti, semplicemente inseriamo le (9) nelle condizioni (7,8). Nel caso di polarizzazione lineare deve annullarsi A B = A x B y A y B x = E x E y [cos Φ x sin Φ y sinφ x cos Φ y ] = E x E y sin(φ x Φ y ) Ne consegue, per la legge di annullamento del prodotto, che se la polarizzazione è lineare, almeno una delle tre condizioni seguenti deve verificarsi 1) E x = 0; ) E y = 0; 3 La componente z è nulla per la scelta del sistema di riferimento che abbiamo fatto. 4

5 3f) Φ x Φ y = nπ, con n intero. La condizione 3f può essere espressa anche come 3) E x ed E y hanno la stessa fase oppure sono sfasati di π. Nel caso di polarizzazione circolare, la prima delle (8) diventa A x B x + A y B y = E x cos Φ x sin Φ x + E y cos Φ y sin Φ y = 0 e, dalle formula di duplicazione, tale equazione diventa le (9), E x sinφ x + E y sinφ y = 0 (10) Dalla seconda delle (8), che equivale all annullarsi di A B, si ottiene, sostituendo A x + A y ( B x + B y) = Ex cos Φ x + E y cos Φ y E x sin Φ x E y sin Φ y = 0 Raggruppando i termini e usando le formule di duplicazione delle funzioni trigonometriche si ottiene E x cos Φ x + E y cos Φ y = 0 (11) Le (10,11) costituiscono un sistema lineare omogeneo in E x e E y. Poichè nessuna di queste quantità può annullarsi, ne deriva che il determinante del sistema deve essere nullo. Calcolando il determinante segue da cui sinφ x cos Φ y cos Φ x sin Φ y = sin (Φ x Φ y ) = 0 Φ x Φ y = nπ con n intero. Tuttavia il caso n pari è da escludere in quanto conduce alla polarizzazione lineare, e quindi i valori possibili sono Φ x Φ y = ± π (1) che è la prima condizione necessaria di polarizzazione circolare. Dalla (1) segue poi [ sin Φ x = sin Φ y ± π ] = sin [Φ y ± π] = sinφ y e analogamente cos Φ x = cos Φ y. Sostituendo nella (10,11) si ottiene come condizione necessaria da cui segue necessariamente E x sinφ y + E y sin Φ y = [ E y E x ] sinφ y = 0 E x cos Φ y + E y cos Φ y = [ E y E x ] cos Φ y = 0 5

6 E x = E y che è la seconda condizione necessaria di polarizzazione circolare. Passiamo alla dimostrazione della sufficienza. Se vale una qualunque delle condizioni 1), ), 3) viste prima la polarizzazione è lineare. Se una delle componenti di E è nulla, allora A e B sono allineate, ed il loro prodotto vettoriale è nullo. Resta quindi da considerare solo il caso ). Se E x ed E y hanno la stessa fase (o sono sfasate di π), allora esiste un numero reale p tale che E x = pe y, e quindi A x = pa y, B x = pb y Calcolando il prodotto vettoriale si trova A B = (A x B y A y B x )i z = [(pa y )B y A y (pb y )i z = 0 che garantisce la polarizzazione lineare Dimostriamo invece che se valgono le due condizioni E x = E y, e E x, E y sfasati di ± π allora la polarizzazione è circolare. In questo caso occorre verificare entrambe le condizioni di polarizzazione circolare espresse sui vettori A e B. Le condizioni sulle componenti di E possono essere riassunte in E x = sje y, dove s vale ±1. Di conseguenza Calcolando il prodotto scalare si trova in quanto s = 1. Inoltre, usando le (13) che conclude la dimostrazione. A x = sb y, B x = sa y (13) A B = (A x B x + A y B y ) = [( sb y )(sa y ) + A y B y = 0 A = A x + A y = B x + B y = B Il rapporto assiale risulta pari alla radice quadrata del rapporto tra il maggiore e il minore dei due autovalori della seguente matrice G. A x + Bx (A x A y + B x B y ) G = (14) (A x A y + B x B y ) A y + B y 6

7 Poichè per una matrice di ordine, come G, la equazione caratteristica coinvolge solo la traccia e il determinante di G: λ tr[g] λ + det[g] = 0 (15) matrici con la stessa traccia e determinante di G hanno gli stessi autovalori, e possono essere usate per calcolare il rapporto assiale. In particolare risulta A x G = + B x (A x A y + B x B y ) = E x Re[E x Ey ] (16) (A x A y + B x B y ) A y + B y Re[E x Ey ] E y che consente di calcolare il rapporto assaile direttamente dalle componenti di E. Con qualche passaggio algebrico in più si può dimostrare che anche la matrice A A B A B B ha gli stessi autovalori di G, e quindi consente di calcolare il rapporto assiale. Dalla analisi di queste matrici è possibile riottenere le condizioni di polarizzazione lineare e circolare. Si ha polarizzazione lineare se il rapporto assiale è infinito, ovvero se uno degli autovalori è nullo. La condizione è quindi det[g] = 0 Si ha invece polarizzazione circolare se il rapporto assiale è unitario, ovvero se gli autovalori sono uguali. Ne segue { tr[g]} = 4 det[g] 7

8 Consideriamo due vettori complessi E 1 e E. Questi due vettori sono paralleli se esiste uno scalare α tale che E 1 = αe Se α è reale allora i due vettori corrispondenti nel dominio del tempo sono, istante per istante, paralleli. Se invece α è complesso, questo non è più vero. Infatti la condizione matematica di paralellismo nel dominio della frequenza equivale solo alla condizione fisica di avere la stessa polarizzazione. Notiamo che mentre per i vettori reali è sempre possibile definire un versore, questo non si estende al caso di vettori complessi, a meno che questi non siano polarizzati linearmente. Se infatti E è polarizzato linearmente, allora la corrispondente grandezza del dominio del tempo giace sempre su di una retta (ovvero ha sempre la stessa direzione). Pertanto possiamo porre E = E i E dove il versore i E è un versore reale, mentre lo scalare E, detto ampiezza del campo, è un numero complesso. Come abbiamo detto, l estremo del vettore e(t), campo elettrico in un certo punto dello spazio P, (e che supponiamo applicato nello stesso punto P) descrive una curva chiusa al variare del tempo nel piano di polarizzazione passante per P. Se scegliamo un sistema di riferimento centrato in P, le coordinate (X, Y) dell estremo del vettore e(t) sono date da: X = A x cos ω 0 t B x sin ω 0 t Y = A y cos ω 0 t B y sinω 0 t (17) 8

9 Possiamo passare da queste equazioni (parametriche) alle equazioni esplicite della curva eliminando il parametro t. Per fare questo possiamo risolvere le (17) rispetto a cos ω 0 t e sinω 0 t, e poi sfruttare la relazione cos ω 0 t + sin ω 0 t = 1 Risolvendo le (17) col metodo di Cramer si ottiene cos ω 0 t = 1 D (B xy B y X) sinω 0 t = 1 D (A xy A y X) essendo D = B x A y B y A x il determinante del sistema. Quadrando e sommando si ottiene ovvero (B x Y B y X) + (A x Y A y X) = D che è l equazione di un ellisse. ( A y + By ) X (A x A y + B x B y ) X Y + ( A x + Bx ) Y = D (18) 9

10 1. VETTORI COMPLESSI POLARIZZAZIONE DETERMINAZIONE DELLE CONDIZIONI DI POLARIZZAZIONE LINEARE E CIR- COLARE CONDIZIONI DI POLARIZZAZIONE LINEARE E CIRCOLARE IN TERMINI DI COM- PONENTI CALCOLO DEL RAPPORTO ASSIALE App. 1. PARALLELISMO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA App.. VERSORI App