Tecniche reticolari di programmazione delle attività

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1 apitolo 14 Tecniche reticolari di programmazione delle attività I progetti di grandi dimensioni sono costituiti da più attività, che devono essere tutte completate affinché il progetto di cui fanno parte sia completato, ma che possono essere iniziate e svolte indipendentemente l una dall altra, purché sia rispettata una data sequenza. Queste condizioni sono caratteristiche di molti progetti di sviluppo e produzione, ad esempio nel settore aeronautico ed aereospaziale, o di costruzione, ad esempio nell ingegneria civile, o di manutenzione di grossi sistemi; tutti progetti in cui il numero di attività costituenti può essere dell ordine delle migliaia. La gestione di un progetto consiste nel coordinamento dell esecuzione delle varie attività, unitamente al controllo dei tempi e dei costi di esecuzione. Poiché questo è evidentemente un problema di rilevante importanza economica, e a volte strategica, per esso sono state sviluppate, a partire dal 1958, alcune tecniche particolarmente efficaci, tra cui hanno assunto un ruolo importante il PERT (Program Evaluation and Review Technique) e il PM (ritical Path Method). Il PM, descritto in questo capitolo, si applica quando al tempo di esecuzione di ogni attività può essere attribuito un valore certo, più o meno lungo a seconda di quanto si decide di spendere per l esecuzione dell attività stessa; è esperienza comune che se si riduce il tempo di esecuzione di un attività il suo costo aumenta e viceversa. Il PM ha come scopo principale quello di pianificare e controllare i tempi di esecuzione di un progetto, rendendo minima la spesa complessiva, e trova larga applicazione in programmi riguardanti la manutenzione periodica di grossi impianti industriali, e lavori di produzione e costruzione per cui esiste una consolidata esperienza, cosicché si possono ritenere note con esattezza le relazioni costo-tempo di esecuzione. lla base del PM è la rappresentazione del progetto mediante un grafo orientato, secondo opportune norme che costituiscono l argomento iniziale di questo capitolo. Poiché in questo contesto, al grafo rappresentativo del progetto viene dato il nome di diagramma reticolare, le tecniche descritte in questo capitolo vengono chiamate tecniche reticolari di programmazione delle attività Il diagramma reticolare di un progetto In questa sezione spieghiamo come sia possibile associare ad un progetto un diagramma reticolare (cioè un grafo orientato) e definiamo alcune grandezze fondamentali per lo studio dei tempi di 205

2 completamento di un progetto La costruzione del diagramma lla base dei metodi reticolari di programmazione c è la costruzione del diagramma reticolare, che rappresenta la successione temporale e la reciproca dipendenza delle varie attività che concorrono all esecuzione del progetto, attività che devono essere completate prima che il progetto possa considerarsi eseguito. Il primo passo nella costruzione del diagramma reticolare consiste nell individuazione e nell elencazione di tutte le attività coinvolte nell esecuzione del progetto, con un livello di disaggregazione tale per cui le si possa considerare ciascuna distinta da tutte le altre. Segue una fase di rappresentazione grafica, che dà luogo al disegno di un grafo orientato in cui ogni attività è rappresentata da un arco o ramo i cui nodi estremi rappresentano, secondo la direzione del ramo, l inizio e il termine dell attività in questione. Pertanto nei diagrammi reticolari un attivita è rappresentata come in figura 14.1, ove i nodi i e j rappresentano rispettivamente l inizio e il termine dell attività. i j Figura 14.1: Rappresentazione grafica dell attività Naturalmente tra le varie attività esistono delle precedenze, per cui, per ciascuna attività, esistono altre attività che devono essere completate prima che quella in questione possa avere inizio. Il caso più semplice di precedenza quello indicato in figura 14.2a, ove l attività precede l attività, e il nodo j rappresenta il termine dell attività e l inizio dell attività. In figura 14.2b è rappresentato il caso in cui l attività precede l attività che a sua volta precede l attività. Può però anche avvenire che due attività, la e la precedano una terza, la, senza che tra e esista una relazione di precedenza: questo caso, in cui le attività e possono essere svolte in parallelo, è rappresentato in figura 14.2c. In figura 14.2d abbiamo il caso in cui le due attività e, tra cui non sussistono precedenze, sono entrambe precedute dall attività. Per esprimere il fatto che l attività precede l attività si utilizza la notazione <, per esprimere il fatto che l attività è preceduta dall attività, si utilizza la notazione >. Nel disegnare il diagramma reticolare si utilizzano le seguenti regole fondamentali, alcune delle quali già implicitamente enunciate: 1. Le attività sono rappresentate dai rami del grafo. 2. L inizio di un attività è subordinato al completamento di tutte quelle che la precedono: in termini di diagramma reticolare ciò significa che rami diretti verso un nodo rappresentano attività da completare prima che abbiano inizio le attività rappresentate da rami aventi origine nel nodo stesso. 3. La lunghezza dei rami o la loro forma non hanno significato. 4. Due nodi non possono essere collegati da più di un ramo. 206

3 a) i j k < b) i j k l < < i k l, < j c) k i j <, l Figura 14.2: Rappresentazione grafica delle regole di precedenza 5. L inizio del progetto è rappresentato da un nodo contrassegnato con zero. 6. Tutti i nodi sono numerati in modo che, se esiste un ramo diretto dal nodo i al nodo j, risulta i < j. 7. Il grafo può avere un solo nodo iniziale e un solo nodo finale. Delle suddette regole, le prime tre tengono conto della logica interna del grafo; le altre quattro sono richieste dai metodi di analisi del grafo, metodi che utilizzano tabulazioni ed uso di calcolatori. Per quanto riguarda la regola 6, ricordiamo che una siffatta numerazione è detta numerazione topologica e che nel capitolo sui cammini minimi abbiamo visto che è possibile dare una numerazione topologica ai nodi di un grafo orientato se e solo se il grafo è aciclico. isogna quindi chiedersi se il diagramma reticolare di un progetto è un grafo aciclico. La risposta è ovviamente positiva. Se infatti esistesse un ciclo (orientato) nel diagramma reticolare di un progetto, questo 207

4 vorrebbe dire, per come abbiamo costruito il diagramma reticolare stesso, che esistono delle attività che non possono iniziare prima di essere state concluse, e questo e ovviamente assurdo. La regola 4, infine, ha lo scopo di rendere univoca la corrispondenza tra coppie di nodi ed attività, corrispondenza che potrebbe venire meno quando alcune attività possono essere svolte in parallelo, come accade nel seguente esempio. Esempio onsideriamo le attività,,, D, con le relazioni di precedenza <, ;, < D. Il grafo costruito ignorando la regola 4 è quello di 14.3, in cui alla coppia di nodi (1,2) non è associata in maniera univoca un attività D 3 Figura 14.3: Una coppia di nodi che non individua univocamente un attività Quando la regola 4 non è esplicitamente soddisfatta dal progetto, come accade nell Esempio , occorre ricorrere ad un artificio che consiste nell introdurre un attività fittizia, cui va associato un tempo di esecuzione nullo: nel caso dell Esempio 2, introducendo l attività fittizia X si ottiene il grafo della 14.4, che rispetta la regola 4. on l introduzione di attività fittizie è D 4 X 2 Figura 14.4: Introduzione di un attività fittizia quindi possibile individuare ogni attività mediante la coppia ordinata dei nodi estremi. Esempio In figura 14.5 è rappresentato il caso di un progetto il cui completamento richiede l esecuzione di 9 attività, tra cui sussistono le relazioni di precedenza: <,; < D, E; < F; D < G; E,F < H; G,H < I. Il progetto rappresentato in 14.5 verrà più volte riutilizzato a scopo esemplificativo; ad esso faremo pertanto riferimento con il nome di progetto P1. 208

5 D 4 G E 6 I 7 5 H 3 F Figura 14.5: Diagramma reticolare del progetto P1 Un altro caso in cui è richiesta l introduzione di un attività fittizia si verifica quando due attività precedono entrambe una terza attivià, e una sola delle due ne precede una quarta. In questo caso è solo l introduzione di un attività fittizia che rende possibile la costruzione del grafo, come si vede nel prossimo esempio. D i k m Y E j l n Figura 14.6: Introduzione dell attività fittizia Y Esempio Un progetto prevede, tra la altre, le attività,, D, E, che devono essere svolte rispettando le precedenze:, < D ; < E. Dal diagramma di figura 14.6 si rileva come solo l introduzione dell attività fittizia Y rende possibile la rappresentazione di questa parte del progetto. Nel diagramma reticolare ogni nodo (ad eccezione del primo e dell ultimo) rappresenta il termine di alcune attività e l inizio di altre. Pertanto, in questo contesto, i nodi vengono anche chiamati eventi. 209

6 Il percorso critico bbiamo finora visto come sia possibile costruire un grafo che rappresenti l esecuzione di un progetto, dopo che il progetto stesso è stato decomposto in attività, o fasi, di cui si siano analizzate le relazioni di precedenza. Non abbiamo però finora tenuto conto del tempo richiesto per l esecuzione delle varie attività che compongono il progetto, e che ovviamente condizionano il tempo di esecuzione complessivo. Poiché i metodi reticolari di programmazione hanno, come già detto, lo scopo di controllare i tempi di esecuzione delle attività al fine di ottenere il rispetto del tempo di completamento del progetto, occorre aggiungere alla analisi qualitativa delle precedenze già effettuata anche un analisi quantitativa che determini i valori temporali corrispondenti agli eventi descritti dal grafo, e individui i limiti entro cui tali valori temporali possono variare senza pregiudicare il valore del tempo complessivo di completamento. Per effettuare quest analisi associamo ad ogni attività (i, j) un tempo di esecuzione t ij. Nel PM, il tempo di esecuzione t ij è assunto come variabile certa. In ogni progetto esiste un certo insieme di attività che sono di particolare importanza ai fini della determinazione del tempo di completamento dell intero progetto, nel senso che se si verifica un ritardo nel completamento di una di queste attività, si verifica un ritardo anche nel completamento del progetto. ltre attività invece sono meno importanti, nel senso che possono anche subire un ritardo, entro certi limiti, senza che l intero progetto ne risenta. È evidente l importanza di distinguere tra questi due tipi di attività, così come quella di determinare il limite entro cui il completamento di ogni attività del secondo tipo può essere ritardato. Quanto esposto in questo paragrafo serve proprio a consentire questa analisi. Supponiamo dunque che ad ogni attività (i, j) sia associato il tempo di esecuzione t ij ; per le attività fittizie il tempo di esecuzione è ovviamente nullo. Definizione (Tempo minimo di raggiungimento del nodo i) Si definisce tempo minimo di raggiungimento del nodo i, e si indica con t i, il minimo tempo entro cui possono essere terminate tutte le attività afferenti al nodo i. Data la definizione precedente viene del tutto naturale definire il tempo di completamento minimo del progetto nel seguente modo. Definizione (Tempo minimo di completamento del progetto) Si definisce tempo minimo di completamento dell intero progetto, e si indica con T, il tempo minimo di raggiungimento del nodo finale T = t f. In base alle regole di costruzione del diagramma reticolare di un progetto è facile convincersi che il tempo minimo di raggiungimento di un nodo i coincide con il peso del cammino massimo dal nodo iniziale al nodo i, dove i pesi degli archi sono dati dalle durate t ij delle attività che essi rappresentano. Poiché il diagramma reticolare è aciclico e i nodi sono già numerati in modo topologico, è immediato applicare l algoritmo per i cammini massimi su grafi aciclici al fine di calcolare i tempi di raggiungimento minimi. Esempio (Esempio continua) onsideriamo il diagramma reticolare del progetto P1, e associamo alle attività,,..., I i seguenti tempi di esecuzione, espressi in giorni lavorativi: tempo di esecuzione di : t 01 = 5 tempo di esecuzione di : t 12 = 7 210

7 0 1 (5) (7) 2 (3) 3 4 D G (4) (2) E H (5) (8) 5 F (6) 6 I (2) 7 Figura 14.7: Tempi di esecuzione delle attività del progetto P1 tempo di esecuzione di : t 13 = 3 tempo di esecuzione di D: t 24 = 4 tempo di esecuzione di E: t 25 = 5 tempo di esecuzione di F: t 25 = 6 tempo di esecuzione di G: t 46 = 2 tempo di esecuzione di H: t 56 = 8 tempo di esecuzione di I : t 67 = 2. Nella figura i tempi di esecuzione delle attività sono stati associati ai rami del diagramma reticolare del progetto. Posto t 0 = 0, possiamo calcolare per i successivi nodi i tempi minimi di raggiungimento, espressi in giorni, utilizzando l algoritmo dei cammini massimi. per il nodo 1, t 1 = t 0 + t 01 = = 5 per il nodo 2, t 2 = t 1 + t 12 = = 12 per il nodo 3, t 3 = t 1 + t 13 = = 8 per il nodo 4, t 4 = t 2 + t 24 = = 16 per il nodo 5, t 5 = max(t 2 + t 25, t 3 + t 35 ) = max(12 + 5, 8 + 6) = 17 per il nodo 6, t 6 = max(t 4 + t 46, t 5 + t 56 ) = max(16 + 2, ) = 25 per il nodo 7, t 7 = t 6 + t 67 = ; avremo inoltre per il tempo minimo di completamento del progetto, T = t 7 = 27 giorni. Oltre al tempo minimo di completamento dell intero progetto, è opportuno introdurre anche la nozione di tempo minimo di completamento per ogni attività. Indichiamo le attività con (i, j). Ovviamente un attività può avere inizio, al più presto, dopo il tempo t i dall inizio dell esecuzione del progetto, in quanto perché l attività possa avere inizio deve essere stato raggiunto il nodo i; di conseguenza se l attività richiede un tempo di esecuzione pari a t ij, non potrà essere completata prima di un tempo pari a t i + t ij. Possiamo quindi dare la definizione seguente: Definizione (Tempo minimo di completamento dell attività) Si definisce tempo minimo di completamento dell attività (i, j), e si indica con ij, il valore ij = t i + t ij. 211

8 Esempio (Esempio continua) onsideriamo ancora il progetto P1. Per le attività del progetto, tenendo conto dei tempi di raggiungimento dei nodi calcolati nell Esempio 5, abbiamo i seguenti tempi minimi di completamento espressi in giorni: per l attività : 01 = t0 + t 01 = 5 per l attività : 12 = t 1 + t 12 = = 12 per l attività : 13 = t 1 + t 13 = = 8 per l attività D: 24 = t 2 + t 24 = = 16 per l attività E: 25 = t 2 + t 25 = = 17 per l attività F: 35 = t 3 + t 35 = = 14 per l attività G: 46 = t 4 + t 46 = = 18 per l attività H: 56 = t 5 + t 56 = = 25 per l attività I: 67 = t 6 + t 67 = = 27. Nelle tecniche reticolari di programmazione sono di fondamentale importanza le definizioni di attività critica e di percorso critico che ora diamo. Definizione (ttività critica) Sia T il tempo minimo di completamento di un progetto, corrispondente a un insieme {t ij } di valori prefissati dei tempi di esecuzione delle singole attività. Un attività (h, k) viene detta attività critica se un variazione positiva comunque piccola ma non nulla del suo tempo di esecuzione comporta una variazione della stessa entità nel tempo minimo di completamento del progetto; e cioè, un attività (h, k) è critica se, sostituito t hk con t hk + t, con t 0 il tempo minimo di completamento del progetto diventa T + t, per qualunque valore positivo di t. Definizione (Percorso critico) Dato il diagramma reticolare di un progetto, si dice percorso critico qualsiasi cammino (orientato) dal nodo iniziale al nodo finale in cui tutti i rami corrispondono ad attività critiche. Esempio (Esempio continua) Nel progetto P1 l attività E è critica: infatti se si pone t 25 = 5 + t, si ottiene per i tempi di raggiungi mento dei nodi 5, 6, 7 : per il nodo 5, t 5 = max(t 2 + t 25, t 3 + t 35 ) = max( t, 8 + 6) = 17 + t per il nodo 6, t 6 = max(t 4 + t 46, t 5 + t 56 ) = max(16 + 2, 17 + t + 8) = 25 + t per il nodo 7, t 7 = t 6 + t 67 = 25 + t + 2 = 27 + t; invece l attività F non critica; infatti posto t 35 = 6+ t, si ottiene per il tempo di raggiungimento del nodo 5 : t 5 = max(t 2 + t 25, t 3 + t 35 ) = max(12 + 5, t) = 17 e cioè lo stesso valore di prima, almeno fintanto che t non supera i 3 giorni; e ovviamente se t 5 non varia, non variano neanche i tempi minimi di raggiungimento dei nodi successivi. Procedendo nello stesso modo con le altre attività, possiamo constatare che anche,, H, I sono attività critiche; e quindi il percorso individuato dai nodi (0, 1, 2, 5, 6, 7) un percorso critico. Domanda 3 on riferimento al progetto P1, supponiamo che il tempo di esecuzione dell attività H passi da 8 a 10 giorni. ome varia il tempo minimo di completamento del progetto? 212

9 Domanda 4 Sempre con riferimento al progetto P1, supponiamo ora che il tempo di esecuzione dell attività G passi da 2 a 6 giorni. ome varia il tempo minimo di completamento del progetto? Domanda 5. critico? In un diagramma reticolare di programmazione può esistere più di un percorso La determinazione dei percorsi critici è evidentemente di fondamentale importanza nelle tecniche reticolari di programmazione. Infatti le attività critiche sono quelle su cui più stretto deve essere il controllo di chi gestisce l esecuzione del progetto, nei casi in cui un ritardo dell esecuzione complessiva comporta una penalità, che può essere sia economica, sia di immagine. Vediamo allora come sia possibile determinare i percorsi e le attività critiche, con un procedimento più sistematico di quello adottato nell Esempio 7. Tale determinazione si basa sul calcolo di due grandezze che contraddistinguono ogni nodo: la prima è il tempo minimo di raggiungimento, già definito; la seconda è il tempo massimo di raggiungimento, che ora definiamo. Definizione (Tempo massimo di raggiungimento del nodo) Si definisce tempo massimo di raggiungimento del nodo i, e si indica con T i, il massimo tempo entro cui tutte le attività afferenti al nodo i devono essere terminate, pena un aumento del tempo minimo di esecuzione del progetto. Sulla base delle definizioni date, si comprende che per il nodo finale f risulta T f = t f. Per effettuare il calcolo del tempo massimo di raggiungimento di un nodo intermedio i, supponiamo di avere già disponibili i tempi massimi di raggiungimento di tutti i nodi successori di i. Sia k uno dei nodi successori di i; affinché tutte le attività afferenti al nodo k siano terminate entro il tempo T k è necessario in particolare che l attività (i, k) non inizi dopo l istante T k t ik, e cioè che T i, tempo massimo di raggiungimento del nodo i, non sia superiore a T k t ik. Poiché tale condizione deve valere per tutti i nodi successori del nodo i, abbiamo che T i = min k>i (T k t ik ), ove la ricerca del minimo va fatta solo per quegli indici k > i per cui esiste un ramo (i, k). Esempio (Esempio continua) onsiderato il progetto P1, determiniamo i tempi massimi di raggiungimento dei nodi. Posto T 7 = t 7 = 27, otteniamo : per il nodo 6, T 6 = T 7 t 67 = 27 2 = 25 per il nodo 5, T 5 = T 6 t 56 = 25 8 = 17 per il nodo 4, T 4 = T 6 t 46 = 25 2 = 23 per il nodo 3, T 3 = T 5 t 35 = 17 6 = 11 per il nodo 2, T 2 = min(t 4 t 24, T 5 t 25 ) = min(23 4, 17 5) = 12 per il nodo 1, T 1 = min(t 2 t 12, T 3 t 13 ) = min(12 7, 11 3) = 5 per il nodo 0, T 0 = T 1 t 01 = 5 5 = 0. Domanda 6. Risulta sempre T 0 = 0, come avviene nell Esempio 8? Data un attività (i, j) consideriamo ora la differenza T j ij tra il tempo massimo di raggiungimento del nodo j e il tempo minimo di completamento dell attività in questione. Questa 213

10 differenza fornisce evidentemente la misura di quanto tempo può essere ritardato il completamento dell attività (i, j) senza che si determini un aumento del tempo minimo di completamento dell intero progetto. bbiamo in proposito la definizione seguente: Definizione (Tempo di slittamento di un attività) Si definisce tempo di slittamento, o margine di tempo dell attività (i, j) il valore T j ij che indica di quanto tempo può essere ritardato il completamento dell attività (i, j) senza che si determini un aumento del tempo minimo di completamento dell intero progetto. Esempio (Esempio continua) Determiniamo i tempi di slittamento delle attività del progetto P1. Otteniamo: per l attività : T 1 01 = 5 5 = 0 per l attività : T 2 12 = = 0 per l attività : T 3 13 = 11 8 = 3 per l attività D : T 4 24 = = 7 per l attività E : T 5 25 = = 0 per l attività F : T 5 35 = = 3 per l attività G : T 6 46 = = 7 per l attività H : T 6 56 = = 0 per l attività I : T 7 67 = = 0 Si verifica immediatamente che il tempo di slittamento dell attività (i, j) è anche dato dall espressione T j t i t ij. Sulla base delle definizioni date, possiamo facilmente verificare le seguenti proprietà: a) Tutte la attività (i, j) il cui tempo di slittamento T j ij è nullo sono critiche. b) Le attività critiche individuano uno o più percorsi critici e non esistono attività critiche che non appartengono ad un percorso critico. Se ad ogni ramo del grafo associamo una lunghezza pari al tempo di esecuzione dell attività corrispondente, è anche immediato convincersi che vale il seguente teorema. Teorema I percorsi critici sono tutti e soli i cammini di lunghezza massima tra il nodo iniziale e quello finale del diagramma reticolare. Esempio (Esempio continua) Per il progetto P1 le caratterizzazioni a) e b) sono di verifica immediata, tenendo conto di quanto già visto negli Esempi 7 e 9. Per quel che riguarda il Teorema il grafo di figura presenta i tre cammini (0, 1, 2, 4, 6, 7), (0, 1, 2, 5, 6, 7), (0, 1, 3, 5, 6, 7) di lunghezza pari rispettivamente a 20, 27, 24 ; e infatti il secondo cammino corrisponde al percorso critico. i fini della determinazione delle attività critiche e dei percorsi critici è quindi basilare saper calcolare, per ogni nodo i, i corrispondenti tempi minimo e massimo di raggiungimento, t i e T i. Infatti note queste grandezze, e i tempi di esecuzione delle attività, è possibile calcolare anche il tempo minimo di completamento e il tempo di slittamento delle varie attività. 214

11 bbiamo già visto in precedenza come calcolare i tempi minimi di raggiungimento, quindi passiamo ad illustrare una semplice tecnica per calcolare i tempi massimi di raggiungimento. Il calcolo di T i per ogni nodo i può essere effettuato con un algoritmo molto semplice che, assumendo T f = t f, procede per valori di i decrescenti. Infatti, se supponiamo noti tutti i tempi di raggiungimento dei nodi k con k > i, la definizione stessa di T j, massimo tempo entro cui deve essere raggiunto il nodo i pena un aumento del tempo di completamento del progetto, porta alla seguente formula T i = min k>i (T k t ik ), ove la minimizzazione va fatta solo rispetto agli indici k > i per cui esiste un attività (i, k). Sfruttando questa formula, e tenendo conto che, sempre per la definizione, risulta T f = t f, possiamo allora dare un semplice algoritmo per il calcolo dei tempi di raggiungimento massimi. 1) Si pone i = f e T f = t f ; 2) si sostituisce i con i 1; 3) si calcola: T i = min k>i (T k t ik ), ove la minimizzazione va fatta solo rispetto agli indici k > i per cui esiste un attività (i, k); 4) si confronta i con 0 : se i > 0 si torna al passo 2); se i = 0 stop. E opportuno notare che se siamo interessati a determinare solo il tempo di completamento minimo e, eventualmente, un percorso critico, il metodo più rapido è quello di applicare un algoritmo per la determinazione dei percorsi di lunghezza massimi. Tuttavia il procedimento indicato in questo paragrafo consente di individuare tutti i percorsi critici e una serie di percorsi sottocritici, in ordine crescente di distanza dalla criticità, la cui conoscenza può essere utile nella pianificazione dei lavori. Se infatti si ordinano le attività del progetto secondo il loro tempo di slittamento, abbiamo come già detto che le attività critiche sono quelle con tempo di slittamento nullo; le rimanenti attività individuano percorsi non critici, ma tanto più vicini ad essere critici quanto più i tempi di slittamento delle attività costituenti tali percorsi sono ridotti. Quindi ordinare le attività secondo il loro tempo di slittamento consente di individuare su quali attività opportuno tenere il controllo più stretto nel corso dell esecuzione del progetto. Esempio Un progetto consiste nell esecuzione di una serie di attività indicate con,,..., T con le seguenti relazioni di precedenza:,, possono iniziare immediatamente; D, E > ; F > ; G, H > D; I > F, G; J,K > ; M,L > J; N > K,L; O > M,N; P > H,I,O; R,Q> P; S > Q; T > R,S. ostruiamo il diagramma reticolare del progetto, numerando i nodi in modo che se il ramo (i, j) rappresenta un attività, risulta i < j. Utilizzando le regole prima elencate, otteniamo il grafo di figura ssociamo alle attività,,..., T i seguenti tempi di esecuzione (giorni): : 5; : 9; : 14; D : 4; E : 3; F : 10; G : 6; H : 12; : 10; J : 3; K : 4; L : 5; M : 5; N : 8; O : 18; P : 3; Q : 6; R : 13; S : 5; T : 7. Effettua l analisi del diagramma reticolare del progetto, determinando il tempo minimo e massimo di raggiungimento di ogni nodo, il tempo minimo di completamento e il tempo di slittamento di ogni attività, e il percorso critico. 215

12 5 1 D 4 G 4 6 H 12 E F 10 J 3 5 I 10 M R L N O P Q S T K 4 Figura 14.8: Diagramma reticolare del progetto P Il PM Il PM una tecnica che tiene conto, oltre che del tempo di esecuzione delle attività di un progetto, anche del loro costo in funzione del tempo di esecuzione; e consente di pianificare la riduzione del tempo di completamento di un progetto con il minimo aumento di costo. Nel PM si assume che il tempo effettivamente richiesto per l esecuzione di ogni attività coincida sempre con certezza con quello programmato, per cui si escludono le aleatorietà presenti invece nel PERT. lla base del PM c l osservazione che, nella gran parte dei casi, il costo di un attività dipende fortemente dal tempo impiegato per la sua esecuzione. Data un attività (i, j), nel PM si assume che il costo di esecuzione c ij sia legato al tempo di esecuzione t ij da una relazione lineare del tipo c ij = k ij t ij h ij, a ij t ij b ij, ove k ij e h ij sono opportune costanti positive e a ij e b ij rappresentano rispettivamente il valore minimo e il valore massimo ammissibili del tempo di esecuzione t ij la relazione costo-tempo è rappresentata graficamente nella figura Il fatto che se si diminuisce il tempo di esecuzione di un attività il suo costo aumenta è facilmente comprensibile, tenuto conto del maggiore impegno di risorse che in genere è richiesto, e trova conferma nell esperienza corrente. Sulla base di quanto abbiamo visto nella prima sezione, si comprende che, se si vuole ridurre il tempo di completamento di un progetto, è superfluo agire sui tempi di esecuzione di attività non appartenenti a percorsi critici. È anche superfluo ridurre i tempi di esecuzione di attività critiche oltre il valore per cui diventano critici altri percorsi, che in tal caso verrebbero a determinare il tempo di completamento del progetto; in altre parole se si ha più di un percorso critico, per ottenere una riduzione del tempo di completamento del progetto occorre ridurre contemporaneamente i tempi di tutti i percorsi critici. Uno degli scopi del PM è appunto quello di individuare le attività che consentono una riduzione del tempo di completamento del progetto al costo minore. oncettualmente la procedura del PM è la seguente: sia {t ij } una scelta dei tempi di 216

13 c i j k i j t i j a i j b i j Figura 14.9: Relazione costo-tempo per l esecuzione dell attività (i, j) esecuzione delle singole atticità, con a ij t ij b ij e sia ε ij il margine disponibile per la riduzione del tempo di esecuzione della generica fase: ε ij = t ij a ij. Individuiamo il percorso critico, e supponiamo che ne esista uno solo. Determiniamo poi l attività appartenente al percorso critico (che è quindi critica) su cui è possibile guadagnare tempo al minimo costo unitario. Questa attività è quella che ha il valore più piccolo di h ij tra quelle con margine diponibile non nullo, cioè è l attività (p, q) per cui risulta: h p,q = min{h ij : (i, j) percorso critico, ε ij > 0}. È possibile così, agendo sull attività (p, q), effettuare una prima riduzione del tempo di esecuzione del progetto al costo minimo. L entità di questa riduzione è limitata da un lato dal margine disponibile ε pq (non possiamo scegliere un valore di p pq minore di a ij ), e dall altro dalla condizione che non diventi critico un altro percorso. Esempio (Esempio , continua) onsideriamo il progetto P1, e ammettiamo che per le attività,,..., I valga una relazione costo-tempo di esecuzione del tipo rappresentato in figura 14.9, con i parametri a ij, b ij e h ij dati dalla seguente tabella : D E F G H I a ij b ij h ij ove h ij è dato in 10 5 Lire/giorno. Si assuma che sia t ij = b ij ; questo corrisponde ai tempi di esecuzioni dell esempio

14 Sappiamo già (Esempio ) che con questi tempi di esecuzione il percorso critico è unico, è dato da (,, E, H, I) e il tempo minimo di completamento del progetto è t f = 27; inoltre gli altri due cammini possibili, (,, D, G, I) e (,, F, H, I) hanno una lunghezza di 20 e 24 rispettivamente. Supponiamo allora di voler ridurre la durata del progetto al costo minimo. Dobbiamo agire sulle attività critiche, cioà,, E, H o I. Tra queste attività, quella che presenta il più basso valore di h ij è H, per cui risulta h 56 = 1. Il margine disponibile per la riduzione di H è ε 56 = t 56 a 56 = 8 7 = 1. Quindi H può essere ridotto tutt al più di 1. Se lo riducessimo di più scenderemmo sotto la soglia inferiore a 56. Siccome nessun altro percorso diventa critico, possiamo in effetti ridurre la durata di H da 8 a 7. La lunghezza del percorso critico è ora 26. Notiamo che riducendo la durata di H abbiamo ridotto anche la lunghezza del percorso (,, F, H, I), che passa da 24 a 23. La spesa sostenuta per questa riduzione è data da h 56 t 56 = 1 1 = 1. Se siamo soddisfatti della durata, possiamo fermarci. Supponiamo invece di voler ridurre ulteriormente il tempo di completamento del progetto. onsideriamo di nuovo le attività del percorso critico. H non può più essere ridotta perchè il suo margine è nullo. L attività del percorso critico con un h ij più piccolo, tra quelle con un margine di riduzione non nullo è ora. Il margine disponibile di riduzione di è ε 12 = t 12 a 12 = 7 3 = 4. Questo margine non è però interamente sfruttabile. Infatti notiamo che se riduciamo la durata di di tre giorni la durata del percorso critico diventa 23, pari a quella di (,, F, H, I). Quindi se riduciamo la durata di da 7 giorni a 4 giorni, abbiamo due percorsi critici, (,, E, H, I) e (,, F, H, I) della durata di 23 giorni. Ogni ulteriore riduzione della durata della sola attività sarebbe a questo punto ininfluente sulla durata della progetto, che sarebbe determinata, a questo punto, dal percorso (,, F, H, I). Riduciamo allora, per il momento, la durata di da 7 a 4 giorni. questo punto la durata del progetto è 23 giorni e la spesa sostenuta è h 56 t 56 +h 12 t 12 = = 7. Se i percorsi critici sono più di uno, allora la riduzione di t f si ottiene riducendo contemporaneamente, e della stessa quantità, i tempi di esecuzione di attività situate su tutti i percorsi critici, in modo da ridurra l attività di tutti i percorsi critici, della stessa misura. Esempio (Esempio , continua) Riprendiamo l esempio , e supponiamo di voler ridurre il tempo di completamento a 22 giorni dai 23 a cui eravamo arrivati. Siccome abbiamo due percorsi critici,(,, E, H, I) e (,, F, H, I), dobbiamo ridurre la durata dei due percorsi al costo unitario minore possibile. In questo caso si vede facilmente che sono possibili due soluzioni. Possiamo ridurre di un giorno la durata dall attività, che fà parte di tutti e due i percorsi critici, al costo unitario di h 01 = 3. In alternativa, possiamo ridurre, sempre di un giorno, l attività, che appartiene al percorso (,, E, H, I), e quella F, che appartiene al percorso (,, F, H, I), al costo unitario h 12 + h 35 = = 3 uguale al precedente. La situazione può anche essere più complicata. Per esempio è necessario tener presente che quando si riducono i tempi di più attività contemporaneamente, può accadere che alcuni percorsi subiscano una riduzione multipla. Il costo complessivo minimo per la riduzione del tempo di completamento, si otterrà in tal caso bilanciando, se possibile, questa riduzione multipla con un opportuno aumento del tempo delle attività per cui questo è possibile senza influenzare t f. 218

15 È anche possibile dare una procedura più sistematica per determinare quali devono essere i tempi di esecuzioni da assegnare alle varie attività per completare l esecuzione di un dato progetto in un tempo prefissato e a costo minimo. Questa procedura costituisce un interessante applicazione della Programmazione Lineare. Infatti, tenendo conto di quanto detto sui costi di esecuzione delle attività, avremo che il costo totale dell esecuzione del progetto è dato dalla somma dei costi delle attività, e cioè dalla c ij = k ij t ij h ij ij ij ij con a ij t ij b ij per ogni attività (i, j), e dove le sommatorie si intendono estese alle coppie di indici(i, j) cui corrisponde un ramo nel diagramma reticolare del progetto. Inoltre abbiamo che il valore più piccolo del tempo minimo di completamento del progetto, compatibile con le limitazioni sui tempi di esecuzione delle singole attività, può essere ottenuto prendendo per tutte le attività t ij = a ij ; denotiamo con T min questo valore. nalogamente il valore più grande del tempo minimo di completamento del progetto, che denotiamo con T max, può essere ottenuto prendendo per tutte le attività t ij = b ij. Sia ora T un valore compreso tra T min e T max : T min T T max e supponiamo di volere completare il progetto entro il tempo T, con il minimo costo complessivo. Tenendo conto del fatto che nella formula del costo il primo termine ij k ij rappresenta una costante, e il secondo termine appare con un segno negativo, minimizzare il costo complessivo equivale a massimizzare la funzione obiettivo z = ij t ijh ij. questo punto possiamo scrivere per il PM la formulazione come problema di Programmazione Lineare, rispetto alle variabili t i e t ij, nel seguente modo: max ij t ijh ij t i + t ij t j 0 per ogni (i, j) t ij b ij per ogni (i, j) t ij a ij per ogni (i, j) t f = T t 0 = 0 t i, t ij 0. La soluzione di questo problema fornisce i valori t ij dei tempi di esecuzione delle attività cui corrisponde, al minimo costo complessivo, un tempo minimo di completamento del progetto pari a T. Per quel che riguarda le variabili t i, c è da osservare che i valori forniti dalla soluzione del problema di programmazione lineare coincidono con i tempi minimi di raggiungimento dei nodi solo se per ogni indice j esiste almeno un indice i per cui il vincolo t i +t ij t j 0 soddisfatto con il segno di uguaglianza, come si comprende facilmente ricordando la procedura per il calcolo dei tempi minimi di raggiungimento dei nodi. Se questa condizione non soddisfatta, i tempi minimi di raggiungimento dei nodi possono essere determinati con la procedura abituale, a partire dai 219

16 c i j T min T max Figura 14.10: Relazione tipica tempo minimo di completamento - costo minimo di un progetto valori t ij forniti dalla soluzione del problema di programmazione lineare. Per quel che riguarda il problema di programmazione lineare del PM, è opportuno tenere presente che, data la sua particolarità, per esso esistono algoritmi specifici più efficienti di quello del simplesso. È anche da osservare che il problema formulato può essere risolto più volte, in funzione del parametro T, con opportuni algoritmi che consentono di ridurre al minimo i calcoli necessari (Programmazione Lineare Parametrica); si ottiene una relazione costo complessivo minimo - tempo minimo di completamento che data graficamente da una spezzata del tipo di quella rappresentata in figura Esercizio 1. Un progetto P2 comporta l esecuzione delle 7 attività,,, D, E, F, G, tra cui sussistono le relazioni di precedenza: <,; < D,E; D,E < F;,F < G. ssociamo alle attività i seguenti tempi di esecuzione, espressi in settimane:, 3 settimane;, 2;, 1; D, 4 ; E, 1; F, 2; G. ostruire il diagramma reticolare del progetto. Determinare il tempo minimo di completamento del progetto. Determinare il percorso critico per il progetto P2. Determina i tempi massimi di raggiungimento dei nodi del progetto P2. Determina i tempi di slittamento per le attività del progetto P2. 220