Primo parziale di Fisica Generale T (L) INGEGNERIA EDILE (prof. M. Villa) 30/04/2013 Compito A

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1 Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito Eercizi: 1. La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione 3 rt () 3ti ˆ tj ˆ tk ˆ, con r in metri e t in econdi. Calcolare: a) velocità e accelerazione itantanea; b) la velocità vettoriale media fra il tempo t=0 e t= ; c) il raggio di curvatura al tempo t=1.. Un bambino vuole calciare una palla pota ul terreno in modo che uperi un muro alto h=3 m. Supponendo che la velocità iniziale della palla ia di 1 m/, quale deve eere l angolo minino di alita affinché il pallone uperi il muro? Quanto deve ditare il bambino dal muro? 3. Due pei di maa M 1 = 80 kg e M ono collegati tra loro con fili inetenibili, come motrato in figura. I due fili inclinati che otengono M preentano un angolo pari a 30 ripetto a una direzione verticale. Sapendo che tutto il itema i trova in condizioni tatiche, determinare la maa M e la tenione T dei fili. un certo itante la maa M 1 i tacca dal uo filo di otegno. Determinare in quell itante l accelerazione calare di M. M 1 M 4. Un corpo licio di maa M =5 kg, poto u un tavolo, è collegato tramite un filo inclinato di 45, a un altro corpo B di maa m B =M /4 dalla uperficie ruvida. umendo che ul primo corpo agica una forza orizzontale F=1 N come in figura e il econdo corpo preenti un coefficiente di attrito dinamico corpo-tavolo pari a μ d =0,3, trovare l accellerazione comune dei due corpi e la tenione del filo. F B 1. Scrivere le componenti intrineche dell accelerazione e commentarle.. Spiegare il primo principio della meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

2 Eercizi: Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito B 1. Un punto materiale i muove lungo una traiettoria ottopoto all accelerazione ˆ at () ti( t 3) ˆj con a in metri al econdo e t in econdi. Sapendo che al tempo t=0 il corpo i trova in poizione rt ( 0) iˆ ˆ j (m) con velocità vt ( 0) 3iˆ (m/), calcolare la poizione al tempo t=1.. Due treni viaggiano u due binari paralleli in direzioni oppote ripettivamente con velocità v =60 km/h e v B =80 km/h. ll itante dell incrocio fra i due treni dal treno viene lanciato un oggetto con velocità u=0 km/h in direzione perpendicolare alla direzione di viaggio del treno. Calcolare modulo direzione e vero della velocità con cui un viaggiatore ul treno B vede l oggetto lanciato da. 3. Su un corpo licio di maa M = kg, poto u un tavolo, è appoggiato a un altro corpo B di maa m B =M / dalla uperficie ruvida. umendo che ul primo corpo agica una forza F=3 N, come in figura e che il econdo corpo preenti un coefficiente di attrito dinamico corpo-tavolo pari a μ d =0,3, trovare l accellerazione comune dei due corpi. F B 4. Un peo di maa M = 50 kg è otenuto attravero un filo verticale ideale inetenibile che i unice a due fili, anch ei ideali ed inetenibili, uno () inclinato a 30 e l altro (B) inclinato di 45 ripetto a una direzione verticale, come in figura. Sapendo che il peo è in condizioni tatiche, determinare le tenioni di ogni filo nel itema. B 1. Spiegare le condizioni in cui un corpo eteo è in condizioni tatiche. Definire i concetti di problema diretto e problema invero di cinematica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

3 Eercizi: Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito C 1. La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione rt () ti ˆ 3tj ˆ tk 3ˆ, con r in metri e t in econdi. Calcolare: a) velocità e accelerazione itantanea; b) la velocità vettoriale media fra il tempo t=0 e t= ; c) il raggio di curvatura al tempo t=1.. Un automobilita ta viaggiando u una trada rettilinea con una velocità v di m/. Comincia a frenare con accelerazione cotante a=.9 m/ quando paa accanto a un cartello tradale che egnala uno top a D=50 m. Quanto tempo impiega l auto a fermari e a che ditanza dallo top i ferma? Quale dovrebbe eere la decelerazione affinché l auto i fermi allo top? 3. Un peo di maa M = 80 kg è collegato a un filo ideale ed inetenibile, fiato ulla parete e ul offitto di una tanza. Il filo i tende a caua del peo e forma nel primo tratto () un angolo pari a 30 con la direzione orizzontale e nel econdo tratto (B) un angolo pari a 60, empre ripetto alla direzione orizzontale, come in figura. Sapendo che il peo è in condizioni tatiche, determinare le tenioni del filo nei due tratti. B 4. Su un corpo ruvido di maa M =8 kg, poto u un tavolo, è appoggiato un altro corpo B di maa m B =M /. Sul primo corpo agice una forza F=0 N, come in figura e una forza d attrito tra piano e corpo di coefficienti μ =0, e μ d =0,15. La forza data riece a mettere in moto i due corpi? Se i, trovare l accelerazione. Se i toglie il corpo B, il corpo i mette in moto. Con quale accelerazione? F B 1. Illutrare le principali caratteritiche della forza di attrito vicoo.. Dicutere le divere definizioni di metro. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

4 Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito D Eercizi: 1. Due automobili viaggiano lungo una trada rettilinea ad una ditanza D una dall altra con velocità pari a v= 90 km/h. un certo itante l auto davanti frena con accelerazione cotante fino a fermari in un tratto L=50 m. Il guidatore dietro inizia a frenare dopo t=1. Si calcoli: a) l accelerazione della prima auto; b) il valore minino della ditanza D fra le due automobili affinché non i urtino e la econda auto imprime la tea decelerazione.. Un giocatore di freccette lancia in orizzontale una freccetta vero il beraglio puntando al centro O di eo con velocità iniziale v di 10 m/. Sapendo che la freccetta dopo un tempo t=0.3 i conficca ul bordo eterno del beraglio in un punto P lungo la verticale ripetto O calcolare: a) la ditanza OP; b) la ditanza tra il giocatore e il beraglio. Con che angolo dovrebbe lanciare la freccetta per colpire il centro del beraglio? 3. Un corpo licio di maa M =6 kg, poto u un tavolo, è collegato tramite un filo a un altro corpo B di maa m B =M /3 dalla uperficie ruvida. umendo che ul primo corpo agica una forza F=7 N, inclinata di 45 come in figura e che il econdo corpo preenti un coefficiente di attrito dinamico corpo-tavolo pari a μ d =0,, trovare l accellerazione comune dei due corpi e la tenione del filo. F B 4. Due pei, di maa M 1 =10 kg e M ono appoggiati u due piani inclinati ripettivamente di 60 e di 30 e ono uniti da un filo teo paante per una carrucola, come in figura. Sapendo che il itema è in equilibrio tabile, che la maa M 1 non cade grazie al fatto che la uperficie u cui appoggia è ruvida e di coefficiente di attrito μ =0,5, e che l attrito tatico è maimo, determinare la tenione nel filo e la maa il valore di M. M 1 M 1. Dicutere come cambia la velocità di un punto al variare del itema di riferimento.. In quali condizioni una barra può eere in condizioni tatiche? vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

5 Eercizi: Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito E 1. La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione 3 rt () 3ti ˆ tj ˆ tk ˆ, con r in metri e t in econdi. Calcolare: a) velocità e accelerazione itantanea; b) la velocità vettoriale media fra il tempo t=0 e t=4 ; c) il raggio di curvatura al tempo t=.. Due treni viaggiano u due binari paralleli in direzioni oppote ripettivamente con velocità v =50 km/h e v B =90 km/h. ll itante dell incrocio fra i due treni dal treno viene lanciato un oggetto con velocità u=15 km/h in direzione perpendicolare alla direzione di viaggio del treno. Calcolare modulo direzione e vero della velocità con cui un viaggiatore ul treno B vede l oggetto lanciato da. 3. Due pei, di maa M 1 =0 kg e M ono appoggiati u due piani inclinati ripettivamente di 60 e di 30 e ono uniti da un filo teo paante per una carrucola, come in figura. Sapendo che il itema è in equilibrio tabile, che la maa M 1 non ale grazie al fatto che la uperficie u cui appoggia è ruvida e di coefficiente di attrito μ =0,4, e che l attrito tatico è maimo, determinare la tenione nel filo e la maa il valore di M. M 1 M 4. Su un corpo ruvido di maa M =8 kg, poto u un tavolo, è appoggiato un altro corpo B di maa m B =M /. Sul primo corpo agice una forza F=3 N, come in figura e una forza d attrito tra piano e corpo di coefficienti μ =0, e μ d =0,15. La forza data riece a mettere in moto i due corpi? Se i, trovare l accelerazione. Se i toglie il corpo B, il corpo i mette in moto. Con quale accelerazione? F B 1. Scrivere le componenti intrineche dell accelerazione e commentarle.. Spiegare il econdo principio della meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

6 Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito F Eercizi: 1. Un automobilita ta viaggiando u una trada rettilinea con una velocità v di 0 m/. Comincia a frenare con accelerazione cotante a=.5 m/ quando paa accanto a un cartello tradale che egnala uno top a D=50 m. Quanto tempo impiega l auto a fermari e a che ditanza dallo top i ferma? Quale dovrebbe eere la decelerazione affinché l auto i fermi allo top?. Un punto materiale i muove lungo una traiettoria ottopoto all accelerazione ˆ at () ti( t 3) ˆj con a in metri al econdo e t in econdi. Sapendo che al tempo t=0 il corpo i trova in poizione rt ( 0) iˆˆ j (m) con velocità vt ( 0) 3iˆ (m/), calcolare la poizione al tempo t=. 3. Due pei di maa M 1 = 60 kg e M ono collegati tra loro con fili inetenibili, come motrato in figura. I due fili inclinati che otengono M preentano un angolo pari a 30 ripetto a una direzione verticale. Sapendo che tutto il itema i trova in condizioni tatiche, determinare la maa M e la tenione T dei fili. un certo itante la maa M 1 i tacca dal uo filo di otegno. Determinare in quell itante l accelerazione calare di M. M 1 M 4. Un corpo licio di maa M =6 kg, poto u un tavolo, è collegato tramite un filo a un altro corpo B di maa m B =M /3 dalla uperficie ruvida. umendo che ul primo corpo agica una forza F=7 N, inclinata di 45 come in figura e che il econdo corpo preenti un coefficiente di attrito dinamico corpo-tavolo pari a μ d =0,, trovare l accellerazione comune dei due corpi e la tenione del filo. F B 1. Spiegare le condizioni in cui un corpo eteo è in condizioni tatiche. Spiegare la relazione tra le velocità miurate ripetto a due itemi di riferimento in moto arbitrario tra loro. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

7 Eercizi: Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito G 3 1. La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione rt () tiˆt ˆj3tkˆ, con r in metri e t in econdi. Calcolare: a) velocità e accelerazione itantanea; b) la velocità vettoriale media fra il tempo t=0 e t= ; c) il raggio di curvatura al tempo t=1.. Un giocatore di freccette lancia in orizzontale una freccetta vero il beraglio puntando al centro O di eo con velocità iniziale v di 1 m/. Sapendo che la freccetta dopo un tempo t=0.5 i conficca ul bordo eterno del beraglio in un punto P lungo la verticale ripetto O calcolare: a) la ditanza OP; b) la ditanza tra il giocatore e il beraglio. Con che angolo dovrebbe lanciare la freccetta per colpire il centro del beraglio? 3. Un corpo licio di maa M =5 kg, poto u un tavolo, è collegato tramite un filo inclinato di 45, a un altro corpo B di maa m B =M /4 dalla uperficie ruvida. umendo che ul primo corpo agica una forza orizzontale F=1 N come in figura e il econdo corpo preenti un coefficiente di attrito dinamico corpo-tavolo pari a μ d =0,3, trovare l accellerazione comune dei due corpi e la tenione del filo. F B 4. Un peo di maa M = 50 kg è otenuto attravero un filo verticale ideale inetenibile che i unice a due fili, anch ei ideali ed inetenibili, uno () inclinato a 45 e l altro (B) inclinato di 30 ripetto a una direzione verticale, come in figura. Sapendo che il peo è in condizioni tatiche, determinare le tenioni di ogni filo nel itema. B 1. Illutrare le principali caratteritiche della forza di attrito vicoo.. Coa ono le dimenioni di una grandezza fiica? Sono utili? vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

8 Primo parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 30/04/013 Compito H Eercizi: 1. Due automobili viaggiano lungo una trada rettilinea ad una ditanza D una dall altra con velocità pari a v= 108 km/h. un certo itante l auto davanti frena con accelerazione cotante fino a fermari in un tratto L=80 m. Il guidatore dietro inizia a frenare dopo t=. Si calcoli: a) l accelerazione della prima auto; b) il valore minino della ditanza D fra le due automobili affinché non i urtino e la econda auto imprime la tea decelerazione.. Un bambino vuole calciare una palla pota ul terreno in modo che uperi un muro alto h=4 m. Supponendo che la velocità iniziale della palla ia di 18 m/, quale deve eere l angolo minino di alita affinché il pallone uperi il muro? Quanto deve ditare il bambino dal muro? 3. Su un corpo licio di maa M = kg, poto u un tavolo, è appoggiato a un altro corpo B di maa m B =M / dalla uperficie ruvida. umendo che ul primo corpo agica una forza F=3 N, come in figura e che il econdo corpo preenti un coefficiente di attrito dinamico corpo-tavolo pari a μ d =0,3, trovare l accellerazione comune dei due corpi. F B 4. Un corpo di maa M = 5 kg è collegato a un filo ideale ed inetenibile, fiato ulla parete e ul offitto di una tanza. Il filo i tende a caua del peo e forma nel primo tratto () un angolo pari a 30 con la direzione orizzontale e nel econdo tratto (B) un angolo pari a 60, empre ripetto alla direzione orizzontale, come in figura. Sapendo che il peo è in condizioni tatiche, determinare le tenioni del filo nei due tratti. B 1. In quali condizioni un corpo eteo può eere in condizioni tatiche?. Spiegare come è fatto un dinamometro e come funziona. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

9 Secondo critto parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito Eercizi: 1. Dato il campo di forze F(x, y, z) xzî z ĵ (x yz) ˆk determinare: a) le dimenioni fiiche delle cotanti e ; b) e il campo di forze è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale; c) il lavoro fatto dalla forza quando pota il punto di applicazione da R(0,1,-) a S (1,,).. Su un piano orizzontale licio poto ad un altezza h 1 m ripetto al uolo è appoggiata una maa m1 1 kg collegata da una parte ad una molla di maa tracurabile, cotante elatica k 100 N/ m, lunghezza a ripoo nulla, fiata al muro e dall altra ad una corda inetenibile, di maa tracurabile a ua volta attaccata ad una maa m kg pota u un piano inclinato di un angolo 45, cabro ( S 0. e D 0.1) e ad un altezza h 0.5 m (vedi figura), Supponendo la carrucola ideale e di m maa tracurabile e che il itema ia in quiete, determinare: 1 a. l allungamento della molla. m d un certo itante la molla i rompe, determinare: b. l accelerazione del itema; h h c. la velocità con cui m giunge al uolo (ipotizzando che uolo α m 1 i trovi ancora ul piano orizzontale). 3. Calcolare il momento d inerzia di una piatra quadrata di lato L e maa M che, appea per un uo vertice, ruota in un piano parallelo alla ua uperficie. 1. Enunciare e dimotrare il teorema delle forze vive.. Definire il momento d inerzia ed illutrarne le principali caratteritiche. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

10 Secondo critto parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito B Eercizi: 1. Una fera di maa m=1 kg e raggio r (e quindi di momento d inerzia I=mr /5), rotola enza triciare u una uperficie orizzontale licia alla velocità di 5 m/ fino a raggiungere la bae di un piano inclinato di 30. Calcolare: a. l energia cinetica della fera ul piano orizzontale; b. l altezza maima ul piano inclinato raggiunta dalla fera e continua a rotolare enza triciare.. Dato il campo di forze F( x, y, z) ( y xz) i ˆ yxj ˆ x ˆ k determinare: a. le dimenioni fiiche delle cotanti e ; b. e il campo di forze è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale; c. il lavoro fatto dalla forza quando pota il punto di applicazione da R(0,1,) a S (1,-,). 3. Calcolare la poizione del centro di maa di una figura piana di maa M cotituita da un arco di 180 di raggio R. 1. Enunciare e dicutere il teorema di conervazione dell energia meccanica.. Definire il momento angolare e dicutere la ua applicazione in cai concreti. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

11 Eercizi: Secondo critto parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito C 1. Data una forza di energia potenziale,,, trovare: a. l epreione della forza; b. le dimenioni delle cotanti α e β; c. il moto di un punto di maa m laciato in (0,0,3) con velocità nulla.. Un dico pieno omogeneo di maa 10 kg e raggio 50 cm è poato di piatto u un piano orizzontale privo di attrito. La figura motra la viione dall alto dell oggetto. Una corda è arrotolata lungo il bordo eterno del dico e una forza cotante di modulo F=0 N è applicata alla corda. Determinare: a) l accelerazione angolare del cilindro; b) l accelerazione del centro di maa; c) la velocità del centro di maa dopo che il centro del dico ha percoro un tratto di L= 7m. R=50cm 0N 3. Calcolare la poizione del centro di maa di una figura piana di maa M cotituita da 1/6 di dico di raggio R. Introdurre un SdR con origine nel vertice del ettore circolare. 1. Dicutere le equazioni cardinali della dinamica dei itemi.. Dicutere le principali leggi di conervazione in meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

12 Secondo critto parziale di Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito D Eercizi: 1. Data una forza di energia potenziale,,, trovare: a) l epreione della forza; b) le dimenioni delle cotanti α e β; c) il moto di un punto di maa m laciato in (1,,0) con velocità nulla.. Una ruota di raggio R=0 cm è vincolata a ruotare attorno al uo centro fiato rigidamente in un piano verticale. ttorno alla ruota è arrotolata una fune inetenibile di maa tracurabile al cui etremo è legato un peo di maa m=8kg. Il peo cade verticalmente di m in 4 partendo da fermo. Calcolare: a) l accelerazione angolare della ruota; b) il momento d inerzia della ruota. R=0cm m=8kg 3. Calcolare il momento d inerzia di un ata di lunghezza L e maa M che ruota attorno ad un punto poto a ditanza L/3 da un etremo. 1. Spiegare il terzo principio della meccanica.. Dicutere il teorema di Konig per punti materiali. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

13 Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito Eercizi: 1. Una vite cade dal offitto di un vagone di un treno, mentre queto ta percorrendo un tratto rettilineo di binario con una accelerazione a=1,5 m/. Si determini: a) L accelerazione della vite ripetto al treno; b) L accelerazione della vite ripetto al terreno; c) Si decriva la traiettoria della vite ripetto ad un oervatore nel vagone (uare un SdR con origine nella poizione iniziale della vite, ae x nella direzione di moto del vagone e ae y verticale vero l alto).. Dato il campo di forze F(x, y, z) xzî z ĵ (x yz) ˆk determinare: a) le dimenioni fiiche delle cotanti e ; b) e il campo di forze è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale; c) il lavoro fatto dalla forza quando pota il punto di applicazione da R(0,1,-) a S (1,,). 3. Su un piano orizzontale licio poto ad un altezza h 1 m ripetto al uolo è appoggiata una maa m1 1 kg collegata da una parte ad una molla di maa tracurabile, cotante elatica k 100 N/ m, lunghezza a ripoo nulla, fiata al muro e dall altra ad una corda inetenibile, di maa tracurabile a ua volta attaccata ad una maa m kg pota u un piano inclinato di un angolo 45, cabro ( S 0. e D 0.1) e ad un altezza h 0.5 m (vedi figura), Supponendo la carrucola ideale e di maa tracurabile e che il itema ia in quiete, determinare: m 1 a. l allungamento della molla. d un certo itante la molla i rompe, determinare: m b. l accelerazione del itema; h h c. la velocità con cui m giunge al uolo (ipotizzando che m 1 i uolo α trovi ancora ul piano orizzontale). 4. Calcolare il momento d inerzia di una piatra quadrata di lato L e maa M che, appea per un uo vertice, ruota in un piano parallelo alla ua uperficie. 1. Enunciare e dimotrare il teorema delle forze vive.. Definire il momento d inerzia ed illutrarne le principali caratteritiche. 3. Dicutere la relazione tra le accelerazioni di un punto materiale come miurate da due itemi di riferimento in moto relativo. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

14 Eercizi: Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito B 1. La poizione di un punto materiale è r (t) t3 î t ĵ t ˆk con r in metri e t in econdi. 3 Calcolare: a) velocità vettoriale media fra i punti t 1 = 0 e t = ; b) l accelerazione vettoriale media fra gli tei itanti di tempo; c) raggio di curvatura a t = 0.. Una fera di maa m=1 kg e raggio r (e quindi di momento d inerzia I=mr /5), rotola enza triciare u una uperficie orizzontale licia alla velocità di 5 m/ fino a raggiungere la bae di un piano inclinato di 30. Calcolare: a. l energia cinetica della fera ul piano orizzontale; b. l altezza maima ul piano inclinato raggiunta dalla fera e continua a rotolare enza triciare. 3. Dato il campo di forze F( x, y, z) ( y xz) i ˆ yxj ˆ x ˆ k determinare: c. le dimenioni fiiche delle cotanti e ; d. e il campo di forze è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale; e. il lavoro fatto dalla forza quando pota il punto di applicazione da R(0,1,) a S (1,-,). 4. Calcolare la poizione del centro di maa di una figura piana di maa M cotituita da un arco di 180 di raggio R. 1. Enunciare e dicutere il teorema di conervazione dell energia meccanica.. Definire il momento angolare e dicutere la ua applicazione in cai concreti. 3. Dicutere la relazione tra le velocità di un punto materiale come miurate da due itemi di riferimento in moto relativo. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

15 Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito C Eercizi: 1. La poizione di un punto materiale è r (t) t 4 î (t 1) ĵ t ˆk con r in metri e t in econdi. Calcolare: a) velocità e accelerazione itantanea; b) velocità vettoriale media fra i punti t 1 = 0 e t = ; c) raggio di curvatura a t = 0.. Data una forza di energia potenziale,,, trovare: a. l epreione della forza; b. le dimenioni delle cotanti α e β; c. il moto di un punto di maa m laciato in (0,0,3) con velocità nulla. 3. Un dico pieno omogeneo di maa 10 kg e raggio 50 cm è poato di piatto u un piano orizzontale privo di attrito. La figura motra la viione dall alto dell oggetto. Una corda è arrotolata lungo il bordo eterno del dico e una forza cotante di modulo F=0 N è applicata alla corda. Determinare: a) l accelerazione angolare del cilindro; b) l accelerazione del centro di maa; c) la velocità del centro di maa dopo che il centro del dico ha percoro un tratto di L= 7m. R=50cm 0N 4. Calcolare la poizione del centro di maa di una figura piana di maa M cotituita da 1/6 di dico di raggio R. Introdurre un SdR con origine nel vertice del ettore circolare. 1. Illutrare le principali caratteritiche delle forze di attrito.. Dicutere le equazioni cardinali della dinamica dei itemi. 3. Dicutere le principali leggi di conervazione in meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

16 Fiica Generale T (L) (prof. M. Villa) 14/06/013 Compito D Eercizi: 1. Una macchina in moto a velocità v=10 m/ ta percorrendo una curva con raggio di curvatura R= 50 m quando, lo pecchietto retroviore interno all abitacolo, di maa m=00 g, i gancia dal uo upporto e cade. Calcolare: a) L entità di tutte le forze reali ed apparenti applicate ullo pecchietto nel itema di riferimento della macchina; b) accelerazione dello pecchietto al momento del ditacco calcolata ripetto al itema di riferimento della macchina e della trada.. Data una forza di energia potenziale,,, trovare: a) l epreione della forza; b) le dimenioni delle cotanti α e β; c) il moto di un punto di maa m laciato in (1,,0) con velocità nulla. 3. Una ruota di raggio R=0 cm è vincolata a ruotare attorno al uo centro fiato rigidamente in un piano verticale. ttorno alla ruota è arrotolata una fune inetenibile di maa tracurabile al cui etremo è legato un peo di maa m=8kg. Il peo cade verticalmente di m in 4 partendo da fermo. Calcolare: a) l accelerazione angolare della ruota; b) il momento d inerzia della ruota. R=0cm m=8kg 4. Calcolare il momento d inerzia di un ata di lunghezza L e maa M che ruota attorno ad un punto poto a ditanza L/3 da un etremo. 1. In quali condizioni un ata è in condizioni tatiche? Che relazione vi è tra le condizioni della tatica e le equazioni cardinali?. Spiegare il terzo principio della meccanica. 3. Dicutere il teorema di Konig per punti materiali. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

17 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 0/07/013 Compito 1) L energia potenziale di un campo di forze è pari a V( x, y, z) x y. Determinare: a) l epreione della forza; b) le dimenioni fiiche delle cotanti e ; c) le equazioni del moto di un corpo di maa m laciato nel punto R(,0,3) con velocità iniziale pari a (0,0,1) m/, apendo che le cotanti e ono poitive. ) Un punto materiale di maa m 1 =0,1 kg i muove lungo un piano orizzontale licio con velocità v=4 m/. un certo itante il corpo 1 urta elaticamente un econdo punto materiale di maa m =0,5 kg inizialmente fermo. Calcolare le velocità dei due corpi dopo l urto. v 1 m 1 m 3) Un dico di raggio R=0 cm e maa M=5 kg ta ruotando attorno ad un uo ae di immetria con una velocità angolare iniziale =15 rad/. partire dall itante t=0, eo ubice l azione di una forza frenante di modulo F= N applicata tangenzialmente al bordo del dico teo, come in figura. Calcolare: a) l accelerazione angolare; b) la velocità angolare dopo 3 ; c) il lavoro compiuto dalla forza per fermare il dico. R F 1) Enunciare e piegare il ignificato della prima equazione cardinale. ) Enunciare e piegare il teorema di Koenig dell energia cinetica per i corpi rigidi. 3) Enunciare e dimotrare il teorema delle forze vive. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

18 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 0/07/013 Compito B 1) Dato il campo di forze F(x, y, z) (yz y)î (xz x) ĵ xyzˆk determinare: a) le dimenioni fiiche delle cotanti e ; b) e il campo di forze è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale; c) il lavoro fatto dalla forza per potare il punto di applicazione da (1,,-1) a B(1,1,0). ) Un punto materiale di maa m=0,1 kg parte da fermo ulla ommità di un piano inclinato licio da un altezza h= m ripetto a un piano orizzontale. Giunto alla fine del piano, m urta in modo perfettamente anelatico l etremo inferiore di una barra ferma, lunga L=50 cm di maa M=0,8 kg vincolata a ruotare attorno a un ae perpendicolare ad ea paante per il uo etremo uperiore O. Calcolare: a) la velocità con cui il punto urta la barra; b) l angolo maimo a cui arriva la barra. h O max 3) Il itema di pulegge riportato in figura è libero di ruotare attorno a un ae fio orizzontale ed ha un momento d inerzia pari a I= 5kg m, raggio minore R 1 =0 cm e raggio maggiore R =40 cm. Grazie a una maa m 1 =80 kg collegata tramite un filo ideale avvolto ulla ruota interna, il itema olleva una maa m =30 kg collegata tramite un filo avvolto alla ruota eterna. Determinare: a) l accelerazione angolare del itema; b) le tenioni delle funi che tengono appee le mae. R R 1 m m 1 1) Enunciare e piegare il ignificato della econda equazione cardinale. ) Enunciare e piegare il teorema di Huygen-Steiner. 3) Enunciare e dimotrare il teorema di conervazione dell energia meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

19 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 16/07/013 Compito 1) L energia potenziale di un campo di forze è pari a V( x, y, z) y z. Determinare: a) l epreione della forza; b) le dimenioni fiiche delle cotanti e ; c) le equazioni del moto di un corpo di maa m laciato nel punto R(,1,0) con velocità iniziale pari a (1,0,1) m/, apendo che le cotanti e ono poitive. ) Un punto materiale di maa m=5kg è inizialmente attaccato a una molla ideale, di cotante elatica k=100 N/m comprea di una quantità D=40cm, pota u un piano orizzontale licio. un certo itante la molla viene laciata libera di epanderi. Il punto materiale nel uo moto incontra un piano inclinato di =15 cabro con coefficiente di attrito dinamico d =0,. Calcolare: a) la velocità con cui il punto raggiunge il piano inclinato; b) l altezza maima raggiunta dal punto ul piano inclinato; 3) Un ata di lunghezza L=0 cm e maa M=1 kg è vincolata a ruotare in un piano verticale attorno a un ae orizzontale paante a ditanza L/4 dal uo etremo. ll altro etremo B dell ata è attaccato un punto materiale di maa m=0,3 kg. Il itema è inizialmente poto in poizione orizzontale. un certo itante viene laciato libero di muoveri. Calcolare: a) il momento d inerzia del itema: b) l accelerazione angolare del itema; c) la velocità angolare del itema quando ha compiuto una rotazione di 60. 1) Enunciare e piegare il ignificato del terzo principio della dinamica. ) Enunciare e piegare il econdo teorema del centro di maa. 3) Illutrare brevemente le caratteritiche delle forze di attrito di contatto. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

20 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 16/07/013 Compito B 1) Dato il campo di forze F( x, y, z) yziˆ xzj ˆxykˆ determinare: a) le dimenioni fiiche delle cotanti e ; b) per quale condizione u e il campo di forze è conervativo; c) calcolare l energia potenziale nell ipotei che = e =- nelle opportune unità del SI. ) Un punto materiale di maa m=0, kg è inizialmente fermo alla ommità di un piano alto h= m inclinato di =30 che preenta un coefficiente di attrito dinamico di d =0,3. lla fine del piano inclinato il punto i muove lungo un piano orizzontale licio fino ad incontrare una molla di cotante elatica k=80 N/m che comprime completamente. Calcolare: a) la velocità con cui il punto arriva ul piano orizzontale; b) la compreione maima della molla. 3) Un ata di lunghezza L=30 cm e maa M= kg è vincolata a ruotare in un piano verticale attorno a un ae orizzontale paante a ditanza /3 L dal uo etremo. ll altro etremo B dell ata è attaccato un punto materiale di maa m=1.5 kg. Il itema è inizialmente poto in modo da formare un angolo di 45 ripetto alla verticale. un certo itante viene laciato libero di muoveri. Calcolare: a) il momento d inerzia del itema; b) l accelerazione angolare del itema; c) la velocità angolare del itema quando arriva in poizione orizzontale. 1) Enunciare e piegare le condizioni affinché un itema rigido ia in condizioni tatiche. ) Enunciare e piegare il teorema di Koenig per itemi di punti materiali. 3) Illutrare brevemente le caratteritiche della forza elatica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

21 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 04/09/013 Compito 1) L energia potenziale di un campo di forze è pari a V (x, y, z) = αx + β y. Determinare: a) l epreione della forza; b) le dimenioni fiiche delle cotanti α e β; c) le equazioni del moto di un corpo di maa m laciato nel punto (,1,1) con velocità iniziale pari a (3,0,) m/, apendo che le cotanti α e β ono poitive. ) Un cilindro omogeneo di maa M = 3 kg e raggio R = 0 cm rotola enza triciare u un piano cabro con coefficiente di attrito tatico µ S =0,5 inclinato di un angolo di 30. ttorno al cilindro è avvolta una fune inetenibile di maa tracurabile al cui altro etremo è attaccato un corpo puntiforme di maa m = 0,5 kg attravero una carrucola ideale (vedi figura). Calcolare: a) la tenione della fune che collega i due corpi; b) l accelerazione del corpo puntiforme. Se ad un certo itante il filo che lega le due mae i rompe, calcolare l accelerazione del cilindro. 3) Una guida meccanica dipota in un piano verticale è formata da un tratto B orizzontale licio, un tratto BC orizzontale lungo L= m con coefficiente di attrito dinamico µ D =0,3 e un tratto CD pari a una emicirconferenza di raggio R=1 m (vedi figura). Una molla ideale di lunghezza a ripoo pari a B e di cotante elatica K=300 N/m è adagiata ul tratto B e vincolata in. Un corpo puntiforme di maa m= kg comprime la molla di una quantità Δx=0,4 m. d un certo itante la molla viene laciata libera di epanderi. Calcolare: a) la velocità del corpo quando i tacca dalla molla; b) la velocità nel punto C; c) l altezza maima raggiunta dal punto ulla emicirconferenza. 1) Enunciare e piegare il ignificato della econda equazione cardinale della dinamica. ) Enunciare e piegare il teorema delle forze vive. 3) Illutrare brevemente le caratteritiche delle forze fittizie. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle tre domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g = 9,8 m/

22 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 04/09/013 Compito B 1) Dato il campo di forze F(x, y, z) = α yzî + (β yz αxz) ĵ + (β y αxy) ˆk determinare: a) le dimenioni fiiche delle cotanti α e β; b) e il campo di forze è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale; c) il lavoro fatto dalla forza per potare il punto di applicazione da (1,0,3) a B (,3,1). ) Due mae m 1 = kg e m =3 kg ono collegate tra loro da una fune inetenibile di maa tracurabile paante opra una carrucola reale di raggio R=30 cm e maa M= kg (vedi figura). La maa m 1 civola lungo un piano orizzontale licio mentre la maa m è appea verticalmente. Determinare: a) l accelerazione delle mae; b) le tenioni dei fili che reggono le mae. Se ad un certo itante il filo che lega la maa m 1 e la carrucola i rompe, calcolare l accelerazione della maa m. 3) Una guida meccanica dipota in un piano verticale è formata da un tratto B pari a un quarto di circonferenza di raggio R= m, un tratto BC orizzontale lungo L=3 m con coefficiente di attrito dinamico µ D =0,5 e un tratto CD orizzontale licio u cui è appoggiata una molla ideale lunga quanto CD e vincolata in D (vedi figura). Un corpo puntiforme di maa m=1 kg viene laciato andare da fermo dal punto e arriva nel tratto CD comprimendo la molla al maimo di Δx=0, m. Calcolare: a) la velocità del corpo nel punto B; b) la velocità nel punto C; c) la cotante elatica della molla. 1) Enunciare e piegare la prima equazione cardinale della dinamica. ) Enunciare e piegare il primo teorema del centro di maa. 3) Illutrare brevemente le caratteritiche delle forze conervative. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle tre domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g = 9,8 m/

23 Eercizi: Fiica Generale T (L) (Prof. Mauro Villa) 09/01/014 Compito 1) Sia dato il campo di forze F( x, y) [( y x ) iˆxyj ˆ] nel piano (x, y). Determinare: a) nel cao =1,β=3 il lavoro fatto per potare un punto materiale dall origine O(0,0) del itema di riferimento (x, y) al punto (3, 3) lungo un percoro che parte dall origine, i pota lungo l ae x fino al punto (3,0) e poi parallelo all ae y fino al punto (3,3); b) nel cao =1,β=3 il lavoro fatto per potare un punto materiale dall origine O(0,0) del itema di riferimento (x, y) al punto B(3,3) lungo un percoro che parte dall origine, i pota lungo l ae y fino al punto (0,3) e poi parallelo all ae x fino al punto (3,3); c) giutificare il riultato ottenuto. ) Un itema è cotituito da tre ruote omogenee, B e C di peore tracurabile e dipote nello teo piano verticale. Le ruote, vincolate tra loro, poono ruotare intorno ad un comune ae orizzontale paante per i loro centri. I raggi e le mae delle ruote ono ripettivamente r =0.5 m, r B =0.5 m, r C =1 m, m = kg, m B =5 kg e m C =0 kg. Un filo inetenibile di maa tracurabile è avvolto attorno alla ruota (vedi figura). ll etremità del filo è appea una maa m D =1 kg. Tangenzialmente alla ruota C, è inizialmente applicata una forza F diretta vero l altro. Determinare: a) il momento d inerzia del itema compoto dalle tre ruote; b) il modulo della forza F affinché il itema reti in equilibrio. d un certo itante la forza F mette di agire. Determinare: c) l accelerazione angolare con cui ruotano le ruote e l accelerazione con cui cende il corpo D. 3) Su una trada a due corie viaggiano due automobili. L auto viaggia alla velocità cotante di 50 km/h e i trova alla ditanza di km da un cantiere tradale in cui i tanno facendo lavori ulla coria di orpao. La econda automobile B viaggia ull altra coria più indietro a 500 m da con la tea velocità. Supponendo che l autita B poa accelerare di (4km/h)/ e apendo che il limite di velocità è di 90 km/h, può l autita B azzardare il orpao? 1) Enunciare e piegare il ignificato della prima equazione cardinale della dinamica. ) Illutrare le principali caratteritiche della forza d attrito tatico. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere alle tre domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

24 Suggerimenti e impotazione del primo problema: Il teto menziona una forza poizionale, cioè dipendente da (x, y, z), di cui i vuole calcolare il lavoro u due traiettorie che iniziano e finicono dagli tei due punti (O e ), vedi grafico alla fine della pagina. Se la forza foe conervativa, converrebbe calcolare l energia potenziale V e poi fornire per entrambe domande a) e b) lo teo riultato L=V(O)-V() (V nel punto iniziale meno V calcolata nel punto finale). Se la forza non foe conervativa allora occorrerà calcolare il lavoro della forza uando la ua definizione, L F dl, per tutte e due le traiettorie. ( O, ) Soluzione primo problema Calcolando il rotore della forza i trova: iˆ ˆj kˆ rot( F) F ( y y) kˆ y( ) kˆ 0 x y z ( y x ) xy 0 Nelle ipotei del problema in cui β=3 la forza NON è mai conervativa. Occorre quindi riolvere il problema uando la definizione di lavoro. a) Indicato con C il punto (3,0) i ha: L Fdl Fdl Fdl 1 ( O, ) ( OC, ) ( C, ) ( y x ) dx xydy x /3 xy / 9 x 31,5J Dove, nei paaggi intermedi i è aunto cotante la coordinata y nel tratto OC ( y 0) e cotante la coordinata x nel tratto C ( x 3 ); i veda la figura in fondo pagina. b) Indicato con D il punto (0,3) i ha: L Fdl Fdl Fdl ( O, ) ( OD, ) ( D, ) xydy ( y x ) dx xy / ( xy x /3) 0 (3y 9) 18J Dove, nei paaggi intermedi i è aunto cotante la coordinata x nel tratto OD ( x 0 ) e cotante la coordinata y nel tratto D ( y 3); i veda la figura in fondo pagina. c) I due lavori L 1 e L calcolati u traiettorie divere che iniziano e finicono negli tei due punti ono diveri in quanto la forza di partenza non è conervativa. y D(0,3) (3,3) γ γ 1 O C(3,0) x

25 Suggerimenti e impotazione del econdo problema: Il teto richiede di calcolare il momento d inerzia delle tre ruote. Vito che le tre ruote ono olidali e ruotano attorno allo teo ae che paa per il centro delle ruote (coincidente con il centro di maa), il momento d inerzia del itema arà dato dalla omma dei tre momenti d inerzia delle tre ruote. lla ruota più piccola è appeo una maa che genera un momento della forza. Se i vuole che il itema ia in equilibrio, la forza F dovrà fornire un momento della forza vettorialmente oppoto a quello precedente, in modo che tutto il itema ia in condizioni tatiche. Tolta la forza F, tutto il itema (ruote+maa) i mette in movimento a caua del momento della forza peo. Occorrerà prima trovare il momento angolare del itema e poi l accelerazione angolare attravero la econda equazione cardinale. Soluzione econdo problema Il momento d inerzia di una ruota omogenea (dico) che ruota attorno al uo ae di immetria i calcola come: 1 I MR Nel cao in eame i momenti d inerzia dei tre dichi ono da calcolare ripetto a un ae comune alle tre ruote e coincidente con il loro ae di immetria. Si ha quindi: I mr mbrb mcrc 0,5 50, ,7 kg m Sul itema delle tre ruote la forza peo aociata alla maa m D applica un momento delle forze (momento torcente), valutato ripetto all ae di rotazione dei dichi, pari a D rm Dg. Per equilibrare tale momento la forza F, che ha una retta di applicazione con un braccio pari a r C, deve applicare un uguale momento delle forze nella direzione oppota. Vito che quet ultimo vale rf, i trova che F C D F per F rmdg/ rc mdg/ 4,45 N. Per la terza domanda (accelerazione angolare), occorre fruttare la econda equazione cardinale della dinamica. In aenza della forza F, la maa m D applica una forza peo che mette in rotazione il itema delle tre ruote. Indicata con la velocità angolare di rotazione, il corpo D cende con una velocità pari a v r. Il momento angolare P dell intero itema è dato dal contributo delle ruote (Iω) più il contributo della maa D: p rmr mr. Si ha quindi che il momento angolare, in modulo, vale: D D P I m Dr I mdr. Inerendo tutto nella econda equazione cardinale della dinamica dei itemi i ha: dp mdgr,45 D I mr D mgr D 0,9 dt I mdr 10,7 L accelerazione del corpo in caduta arà quindi: a r 0,0573 m/.

26 Suggerimenti e impotazione del terzo problema: Il terzo problema, di cinematica, riguarda chiaramente due moti diveri: uno di tipo rettilineo uniforme e uno prima uniformemente accelerato e poi rettilineo uniforme. L incognita i può eprimere ia dicendo che i deve tabilire chi arriverà prima in proimità del cantiere tradale (approccio temporale) ia chiedendoi e, quando la macchina arriva in proimità del cantiere la macchina B arà davanti o dietro la macchina (approccio paziale). La domanda è di tipo binario (B può o non può azzardare il orpao?) e poono eere uati anche metodi non eatti numericamente (metodi euritici) per trovare la ripota corretta. Soluzione terzo problema Iniziamo diegnano uno chema della ituazione iniziale: B d=500 m D=000 m cantiere Le grandezze del problema ono epree direttamente in forma numerica con unità di miura non uuali e comunque non del tutto coerenti: conviene, come primo pao, aociare alle divere grandezze dei imboli e traformare tutti i valori in unità del SI. vremo coì: D=000 m ditanza della macchina dal cantiere d=500 m ditanza iniziale della macchina B dalla macchina v =50 km/h = 50/3,6 m/ =13,8889 m/ velocità della macchina e velocità iniziale di B (nei paaggi intermedi i tengono più cifre ignificative, con arrotondamento) v max =90 km/h = 90/3,6 m/ =5 m/ maima velocità poibile per la macchina B a = (4 km/h)/ = (4/3,6 m/)/ = 1,1111 m/ accelerazione iniziale della macchina B Primo metodo: rioluzione eatta con l approccio temporale Per arrivare al cantiere la macchina impiega un tempo dato da T =D/v = 144. La macchina B può aumentare la ua velocità fino a 90 km/h. Partendo da 50 km/h e con una accelerazione di 4 km/h/ impiega un tempo pari a T acc =(v max -v )/a= =(90km/h-50km/h)/(4km/h/)=10. In queto tempo il moto è uniformemente accelerato e la macchina percorre uno pazio pari a =a T acc /+v T acc = 194,444 m. Lo pazio rimanente (L=D+d-) può eere percoro alla velocità maima (moto rettilineo uniforme) e queto richiede un tempo T lin =(D+d-)/v max = 9,. Compleivamente la macchina B impiega un tempo totale per arrivare in proimità del cantiere pari a T B =T acc +T lin =10,, in anticipo di T B -T = 41,8889, cioè oltre 40 ripetto alla macchina. L autita di B può quindi effettuare il orpao in piena icurezza. Secondo metodo: rioluzione approimata con l approccio paziale Per arrivare al cantiere la macchina impiega un tempo dato da T =D/v = 144. La macchina B può aumentare la ua velocità fino a 90 km/h. Partendo da 50 km/h e con una accelerazione di 4 km/h/ impiega un tempo pari a T acc =(v max -v )/a = 10. lla velocità maima, la macchina B ha quindi un tempo per uperare la macchina dato da T up =T -T acc =134. In queto tempo la macchina B può percorrere uno pazio pari a =v max T up = 3350 m. nche ignorando lo pazio percoro durante la fae di accelerazione, quando la macchina raggiunge il cantiere, la macchina B i troverà molto più avanti (almeno =850 m) e il orpao arà tato compiuto in tutta icurezza.

27 Domande - Eempi di ripote che hanno raggiunto il maimo punteggio: 1) Enunciare e piegare il ignificato della prima equazione cardinale della dinamica. Studente a) Le equazioni cardinali della dinamica dei itemi decrivono il moto di itemi meccanici complei e premettono di tudiare il comportamento globale del itema. Permettono di trovare le 6 variabili dinamiche indipendenti utili per la decrizione del moto del corpo rigido; 3 riguardano il centro di maa e le altre 3 ono angolari. In breve decrivono: il moto di un punto, il dq moto di due punti, il moto del corpo rigido. La prima equazione cardinale è F EST e decrive dt il moto tralatorio del itema. Studente b) dq EST F dt prima equazione cardinale della dinamica dk 0 EST M dt La prima equazione cardinale della dinamica indica che la derivata della quantità di moto [di un itema] ripetto al tempo è uguale alla forza eterna u un determinato itema. La riultante di un INT itema iolato è uguale a zero ( F 0 ). Per il terzo principio della dinamica nelle equazioni EST INT EST cardinali è preente olo la forza (e il momento) eterna: dq F F F F dt ) Illutrare le principali caratteritiche della forza d attrito tatico. Studente a) [La forza di attrito tatico] è una forza di contatto di entità non nota a priori; non dipende dalla uperficie di contatto [cioè non dipende dall area, ma dal tipo]; quando eite annulla empre la riultante [in condizioni tatiche]. In particolare e non i riece a vincere la forza di attrito tatico maimo, il corpo non i muoverà: FMax SN S Rv, con μs coefficiente di attrito tatico e N forza di carico. Studente b) Se un corpo [appoggiato u un piano orizzontale e] oggetto a una forza di potamento orizzontale non i muove, allora vuol dire che è preente dell attrito tatico. Le caratteritiche della forza d attrito tatico ono: non nota a priori; è una caratteritica delle uperfici (μ S, con 0,01< μ S <1); non dipende dall area di contatto; eite una F attrito tatico maima) oltre alla quale l oggetto inizia a muoveri. Max S (forza di