128 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica

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1 128 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica Esercizio 5. 6 Èdatol impianto acircuitochiusoinfigura5.8,posto inunpianoorizzontale, nel quale circola acqua a 20 C. Nota la curva caratteristica della pompa, nella forma H= aq 2 + b,oltrealcoefficientedi perdita k nellecurvedell impianto,sichiede di determininare la portata circolante, la prevalenza fornita della pompa e il dislivello di pressione tra il punto A eil punto C. Infine, si chiede di verificare come cambino i valori calcolati qualora la scabrezza omogenea equivalente della condotta aumenti di 10 volte. Dati numerici L AB 3m D 0.04m η 0.75 L BC 3m k 0.2 ε m L CD 3m b 4m L DE 3m a s 2 m 5 Tipologia: correnti in pressione in un circuito chiuso, in presenza di una pompa. Svolgimento Figura 5.8: La portata Q incognita circolante nell anello si ottiene quale intersezione della curva cartteristica della pompa e della curva caratteristica dell impianto, intesa come relazione tra le perdite energetiche in funzione della portata circolante. In altri termini è possibile scrivere j AB L AB + j BC L BC + j CD L CD + j DE L DE +4kQ 2 /(2gA 2 )= H= aq 2 + b equazione che afferma che l energia dissipata dalla corrente nel condotto deve venir fornita dalla pompa. Poiché le caratteristiche geometriche sono costanti in tutti i tronchi, si ha λq 2 2gDA 2 L i +4k Q2 2gA 2 = aq2 + b (5.15) i dove il coefficiente λ è fornito da una opportuna legge di resistenza. Useremo in questo esercizio la approssimante proposta da Jain Swamee, che fornisce valori differenti dalla soluzione numerica della eq.ne di Colebrook White al massimo per pochi punti percentuali. In linea di principio l equazione esplicita di Jain, sostituita nella equazione precedente, fornisce una equazione non lineare nella incognita Q che può riscriversi nella forma

2 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 129 A(Q)Q 2 + C=0 (5.16) ove la dipendenza del coefficiente A dalla portata Q è solo tramite la citata legge di resistenza. Si nota che, se fosse lecita l ipotesi di moto assolutamente turbolento, la soluzione sarebbe immediata, essendo allora λ noto sulla base della sola scabrezza relativa, a prescindere da Q. In generale tuttavia il procedimento di ricerca della soluzione è di tipo iterativo, vista la impossibilità di cercare analiticamente lo zero dell equazione risolvente. Si può partire da un valore di tentativo di λ (ad esempio, il valore di moto assolutamente turbolento, ovvero un valore centrale nel diagramma di Moody), calcolando Q dalla equazione Si procede quindi a calcolare il valore conseguente del numero di Reynolds e, dalla approssimante proposta da Jain, il nuovo valore corretto di λ.il procedimento iterativo ha termine quando si può ingegneristicamente ritenere trascurabile la variazione delle quantità calcolate tra un passo e il successivo. A tale scopo, è opportuno concentrare l attenzione sulla variazione di Q, che è la quantità meglio apprezzabile, fermando la iterazione quando la variazione è di pochi punti percentuali, potendosi allora ritenere l errore commesso comparabile alle incertezze intrinseche del problema. Inizializzando l iterazione da una condizione di moto assolutamente turbolento in corrispondenza della scabrezza relativa ε/d = , il processo iterativo è mostrato nella tabella seguente. n λ ( ) Q(m 3 /s) E (%) U (m/s) Re ( ) U 2 2g (m) J ( ) jl(m) Come si vede, l errore percentuale sulla variazione di portata, E, è già sotto l 1% alla terza iterazione. In tabella si riportano anche i valori del numero di Reynolds, della altezza cinetica e della cadente. In corrispondenza a tale portata le perdite concentrate nelle curve ammontano a m e le perdite distribuite a m. Complessivamente, la pompa fornisce quindi una prevalenza di3.348m, con una potenza prelevata dalla rete di W. Come si nota, il peso delle perdite concentrate nelle curve è significativo (circa il 15%), essendo il caso trattato caratterizzato da un basso rapporto L/D = 300. Qualora si supponesse di trascurare le perdite concentrate (si ripetano i calcoli ponendo k =0), la portata aumenterebbe del 5.8%, mentre le perdite distribuite aumenterebbero del 10.38%, quale conseguenza della dipendenza quadratica da Q. La potenza prelevata dalla rete sarebbe allora di W. Calcoliamo ora la differenza della pressione tra la sezione di mandata A e la sezione C dell impianto. Scrivendo l equazione di bilancio della energia per la corrente, si ha H A λq 2 2gDA 2(L AB+ L BC ) 2k Q2 2gA 2 = H C ovvero, essendo uguali le altezze cinetiche e le quote geodetiche nelle due sezioni, risulta λq 2 p A p C = γ 2gDA 2(L AB+ L BC )+2k Q2 2gA 2 pari a 16387Pa. Si noti che è impossibile con i dati del problema determinare il valore della pressione in un punto dell impianto, ma solo le differenza tra due punti. Sarebbe

3 130 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica Figura 5.9: infatti necessario conoscere la lettura di pressione in un punto, ad esempio mediante un manometro posto in A. Infine, ipotizziamo come recitato nel testo, che la scabrezza aumenti di 10 volte (ε/d = ), quale conseguenza di un deterioramento dell impianto. Dal punto di vista grafico, poichè l aumento di scabrezza agisce sul coefficiente A(Q) ed induce quindi un irripidimento della curva caratteristica della condotta a parità di curva caratteristica della pompa, ci si attende che il nuovo punto di funzionamento pass1 da1a2(si veda Figura 5.9). I calcoli iterativi ripetuti con il nuovo valore sono riportati nella tabella seguente. n λ ( ) Q(m 3 /s) e (%) U (m/s) Re ( ) U 2 2g (m) J ( ) jl(m) Si calcolano di conseguenza anche le perdite concentrate nelle curve (0.321 m), perdite distribuite (3.181 m), la prevalenza della pompa (3.502 m) e la potenza prelevata in rete ( W), oltre alla caduta di pressione tra il punto A in mandata e la progressiva C (p a p c : 17143Pa). Si nota quindi che conseguenza dell aumento di scabrezza è un avvicinamento alla condizione di moto assolutamente turbolento, con una significativa riduzione di portata, un aumento dei dislivelli di pressione tra i diversi punti dell impianto e una riduzione della potenza impressa dalla pompa al liquido. Qualcosa di analogo accade nell apparato circolatorio umano in seguito a patologie come l arteriosclerosi, che causano l occlusione parziale delle arterie colpite e pertanto una diminuzione del rifornimento di sangue degli organi, con contestuale manifestarsi di ipertensione. Esercizio 5. 7 Quale evoluzione dell esercizio precedente, si immagini che nei punti B e D venga effettuata rispettivamente l erogazione e l immissione della portata q pari a 0.001m 3 /s(sivedafigura5.10). Sichiede,incorrispondenzaaidatiinizialidelproblema precedente, di determininare le portate circolanti e di tracciare le linee dei carichi. Svolgimento In linea di principio si danno ora 2 possibilità relative al verso di circolazione delle portate. Posto che nel tratto DEAB la portata fluisce nel verso imposto dalla pompa, nel tratto DCB la portata potrebbe fluire da destra a sinistra o, viceversa, da sinistra a

4 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 131 Figura 5.10: destra. Supponiamo inizialmente che la portata fluisca da sinistra a destra. In questo caso la continuità applicata al nodo D porterebbe a scrivere q= Q DEAB + Q DCB relazione che limita superiormente le due portate Q DEAB e Q DCB, che non possono quindi essere singolarmente superiori a q. Ci si può facilmente allora rendere conto che tale situazione è impossibile. Infatti, se per assurdo fosse Q DEAB = q, la pompa fornirebbe una prevalenza aq 2 +b=3.96m che non può venire dissipata nel tratto DEAB (si vedano i valori di perdita complessiva precedentemente ottenuti in quel tratto per portate ben superiori). Quindi, ci si troverebbe in B con un carico superiore di quello in D e, conseguentemente, vi sarebbe un reflusso da D verso B che è in contraddizione con l assunto di partenza. Il ragionamento fatto vale a maggior ragione per le portate Q DEAB < q, poichè in tal caso aumenta la prevalenza offerta dalla pompa e diminuiscono le perdite nel tratto DEAB. In definitiva la portata Q DCB deve fluire in verso antiorario. Se chiamiamo Q la portata circolante attraverso la pompa nel ramo DE-AB, sulla base dell equazione di bilancio della massa per il nodo D sarà Q q la portata circolante nel ramo BCD da B verso D. Conseguentemente, l equazione di bilancio della energia integrata sulla maglia si scrive aq 2 +b= λ Q 2gDA 2(L AB+L DE )Q 2 + λ Q q 2gDA 2(L BC+L CD )(Q q) 2 +2k Q2 2gA 2+2k(Q q)2 2gA 2 ovvero più sinteticamente nella forma: con i coefficienti dati da A(Q)Q 2 + B(Q)Q+C(Q)=0 (5.17) A(Q)=a λ Q 2gDA 2(L AB+ L DE ) 4k 1 2gA 2 λ Q q 2gDA 2(L BC+ L CD ) B(Q)=2q λ Q q 2gDA 2(L BC+ L CD )+4k q 2gA 2 C(Q)=b q 2 λ Q q 2gDA 2(L BC+ L CD ) 2k q2 2gA 2

5 132 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica Il procedimento risolutivo è del tutto identico a quello precedentemente descritto. Partendo ora da due valori di λ di moto assolutamente turbolento, si procede a calcolare il valore corrispondente dei tre coefficienti A, B e C. Fissato il valore dei coefficienti A, B e C, l equazione risolvente 5.17 ammette due radici per Q, di cui una è però sempre negativa e quindi fisicamente incompatibile con il verso di circolazione imposto dalla pompa. Con il valore di portata così determinato il procedimento viene reiterato fino a convergenza, come mostrato nella tabella seguente. Tabella 5.1: Esempio di tabella. n λ Q λ Q q A(Q) B(Q) C(Q) Tabella 5.2: Esempio di tabella. n Q(m 3 /s) Q q(m 3 /s) j Q ( ) j Q q ( ) jl Q (m) jl Q q (m) La portata Q incognita è dunque pari a m 3 /s, mentre la prevalenza si ottiene dalla curva caratteristica, H = m. La potenza prelevata dalla rete è di W. La linea dei carichi totali e piezometrici si tracciano aprendo il circuito rispetto ad un punto (nel caso, D; si veda Figura 5.11, dove si mostra la differenza rispetto al carico in D, il cui valore assoluto non è dato dal problema). Quale osservazione finale si nota che il ragionamento fatto in merito al verso di circolazione delle portate dipende evidentemente dal particolare valore assunto da q. Risolvendo l equazione seguente è possibile determinare il valore Q = Q DEAB per cui la prevalenza fornita dalla pompa eguaglia esattamente le perdite nel solo tratto DEAB, in modo che H D = H B : a Q 2 + b= λ Q 2gDA 2(L AB+ L DE ) Q 2 +2k Q 2 2gA 2 Tale valore risulta pari a Q= m 3 /s. Se q > Q si avrà H B < H D con conseguente flusso da sinistra verso destra nel tratto DCB.

6 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 133 Figura 5.11: Esercizio 5. 8 Quale ulteriore variante dell esercizio principale, si immagini che in corrispondenza del punto C venga inserito un fascio tubiero costituito da n tubicini di diametro d e di lunghezza l (si veda Figura 5.12). In assenza di ogni variazione di portata e in corrispondenza del valore iniziale di scabrezza, si chiede a parità dei dati geometrici non specificati nella tabella seguente di determinare la portata circolante. Dati numerici Svolgimento l 3m d 0.002m L BC1 1.5m n 1000 L C2D 1.5m Al fine di impostare correttamente la equazione di bilancio dell energia si deve considerare che la portata mantenuta in circolo dalla pompa passa ora attraverso il fascio tubiero, in modo tale che ciascun tubino è ora attraversato da una portata q = Q/n. Complessivamente, quindi detta a l area della sezione retta di ciascun tubino, la perdita in corrispondenza del fascio si può computare come H= λ qq 2 Q2 2gda2l+0.52gA 2 + Q2 2gA 2 dove si è considerato che all imbocco del fascio vada sostanzialmente persa tutta l altezza cinetica della corrente Q e che allo sbocco del fascio si abbia una perdita assimilabile a quella di imbocco a spigolo vivo da serbatoio infinitamente grande. Per quanto riguarda le perdite distribuite, parrà opportuno ipotizzare nel fascio moto laminare, in considerazione dell esiguo diametro dei tubini. In definitiva, la nuova portata Q circolante si ottiene dalla soluzione della equazione λq 2 2gDA 2(L AB+ L BC1 + L C2 D+ L DE )+ 64aν (Q/n) Q2 Q2 l+4k d 2gda2 2gA2+1.52gA 2 = aq2 + b (5.18)

7 134 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica che viene risolta con procedimento iterativo del tutto analogo a quello precedentemente introdotto, pervenendo alla soluzione riportata nella tabella seguente D ε/d Q U Re λ alt.cin. J E Figura 5.12: Si nota che l ipotesi di moto laminare all interno del fascio tubiero risulta soddisfatta. Si osserva che la perdita di carico all interno di detto fascio si ottiene moltiplicando la cadente associata alla corrente fluente in un tubino per la lunghezza di un solo tubino e non per la lunghezza complessiva del fascio, nl. Infatti, l equazione di bilancio della energia per la corrente è scritta con riferimento all unità di peso di fluido, la quale, nel suo percorso circolatorio, attraversa il fascio fluendo in uno solo degli n tubini di cui esso è composto. Esercizio 5. 9 I due serbatoi in figura 5.13 contengono acqua a 20 C, sono di grande estensione e hanno livello del pelo libero costante ed uguale. I serbatoi sono collegati da una condotto sulla quale è presente la pompa di caratteristica H = aq 2 + b. Sulla condotta individuata dal numero 4 è presente una valvola che induce una perdita di k altezze cinetiche, con k assegnato. Supponendo il moto assolutamente turbolento, si chiede di determinare le portate Q fluenti nell impianto in condizioni di moto permanente e di tracciare la linea dei carichi totali e piezometrici. Dati numerici y A 0m L 3 200m a sm 5 y C 0m L 4 300m b 18m L 1 50m D 1,2,3 0.2m k 77 L 2 250m D m ε m Tipologia: problema di verifica in una rete di condotte Svolgimento

8 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 135 Figura 5.13: L aspetto geometrico caratteristico di questo problema è la presenza della condotta individuata dal numero 4. A priori, infatti, potrebbero crearsi perplessità sul possibile verso di flusso della portata in quella condotta, mentre è evidente che la presenza della pompa obbliga la portata nel condotto1afluire verso B. Si deve allora ragionare sul valore che può assumere in tale nodo il carico della corrente. Considerando la conservazione della massa nel nodo è chiaro che il carico in esso può assumere valori solo superiori a quelli dei serbatoi A e C. Se così non fosse, infatti, la portata fluirebbe in B da tutte e tre le condotte che in tale punto convergono. Riconosciuto tale aspetto, è allora evidente che la portata in3fluisce verso C e in4refluisce verso A. Si tratta ora di calcolare tali portate. A tale scopo è utile osservare che il problema è concettualmente assimilabile al problema di tre condotte facenti capo a tre serbatoi di eguale livello e convergenti nel nodo B. La sua risoluzione può dunque condursi con metodologia del tutto simile a quella là delineata. Noto il verso di flusso delle portate, è allora possibile scrivere il seguente sistema di equazioni risolventi: H A 0.5 Q2 1 2gA 2 (L 1 + L 2 ) 1 λ 1 Q 2 1 2gD 1 A 2 + aq 2 1+ b=h B 1 H B kq2 4 λ 4 Q 2 4 2gA 2 L 4 4 2gD 4 A 2 = H=0+ Q gA 2 4 λ 3 Q 2 3 H B L 3 2gD 3 A 2 3 Q 1 = Q 3 + Q 4 = H C =0+ Q2 3 2gA 2 3 (5.19) nel quale, essendo noti i coefficienti di resistenza per ipotesi di moto assolutamente turbolento, le incognite sono le tre portate e il carico nel nodo B. Il carattere non lineare di questo sistema suggerisce una via risolutiva di tipo iterativo, condotta variando il valore del carico in B e determinando, per ciascun valore così fissato la portata circolante di tentativo. La verifica della soluzione così determinata viene effettuata controllando il soddisfacimento della equazione di continuità al nodo B, espressa dalla ultima delle La risoluzione del sistema 5.19 presenta richiede di restringere il campo di variazione di H B, che deve evidentemente essere 0 < H B < b =18m per i ragionamenti pri ma fatti

9 136 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica e poichè H B deve essere minore del carico fornito allo spunto dalla pompa. Considerati i dati geometrici riportati nella tabella seguente D (m) ε (m) ε/d ( ) A m 2 L (m) L/D ( ) λ e riscritte le equazioni (5.19) nella forma: 2g(b H B ) Q 1 = 0.5 A 2 + (L = C 1+ L 2 )λ 1 (b H B ) 1 1 D 1 A 2 2ag 1 2gA Q 4 = 2 4 H B k+ L = C 4 H B 4λ 4 +1 D 4 2gA Q 3 = 2 3H B 1+ L = C3 H B 3λ 3 D 3 Q 1 = Q 3 + Q 4 C 1 = ;C 3 = ;C 4 = ; Partendo da un valore di carico intermedio, H B =9 m, si procede iterativamente con un metodo di bisezione come da tabella seguente. In corrispondenza dell ultima riga, si ottiengono poi i risultati riportati nelle tabelle successive : H B (m) Q 1 m 3 /s Q 3 m 3 /s Q 4 m 3 /s Q 1 Q 3 Q 4 m 3 /s E 07 tratto Q m 3 /s U (m/s) Re( ) λ ( ) U 2 /2g (m) J ( ) JL (m) Re

10 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 137 tratto 1 2 Himbocco= Hsbocco = Hvalvola = Per quanto il numero di Reynolds d attrito non sia maggiore di 70, è possibile verificare sull abaco di Moody che la ipotesi di moto assolutamente turbolento rappresenta una ottima approssimazione dell effettiva situazione di moto. La tipologia presentata è frequente negli impianti di pompaggio poichè essa consente, mediante regolazione della valvola in k, di controllare il valore della portata che viene avviata a valle. Quando la valvola è totalmente chiusa la portata pompata è integralmente avviata a valle mentre quando la valvola è totalmente aperta la portata pompata si redistribuisce nelle due condotte 4 e 3 in ragione della diversa conduttività delle due condotte. Nel caso in esame, a titolo di esempio, la portata che si può così avviare al serbatoio di valle varia tra m 3 /s e m 3 /s. Naturalmente, ciò avviene a prezzo della perdita della potenza γq H BA, dissipata dalla corrente parassita che fluisce in 4. Esercizio I due serbatoi dell impianto in Figura 5.14 hanno superficie libera alla stessaquotaesonocollegati dallacondotta difigura. La portatadi acquaa20 C èmantenuta in circolo dalla pompa di noto rendimento, attraverso la quale fluisce da C verso Dla portata nota Q p. Inipotesi di lunga condotta e di moto assolutamente turbolento, si chiede di determinare la potenza della pompa e di tracciare qualitativamente la linea piezometrica. Dati numerici = L 1 = L 2 300m D 0.15m η 0.75 L 3 = L 4 150m k 0.2 ε m L 5 300m Q p 0.035m 3 /s Figura 5.14: Svolgimento Al fine di determinare la potenza della pompa è necessario calcolare la prevalenza H p della stessa, il che richiede il calcolo di tutte le portate circolanti nell impianto. A tale scopo è in primo luogo necessario individuare il possibile verso di circolazione delle portate

11 138 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica nell impianto, che procede dal valore del carico totale nei nodi C e D. Si osserva allora che il carico non può in tali nodi essere contemporaneamente più alto o più basso del carico H = h A = h B poichè ciò implicherebbe un accumulo o una generazione di massa nella maglia Qualora poi fosse contemporaneamente uguale ad H non si avrebbe circolazione di portata nell impianto. Deve dunque essere (H D < H; H C > H) oppure (H D > H; H C < H). E facile rendersi conto che non può essere vera la prima ipotesi, poichè altrimenti nel nodo C si avrebbe generazione di massa. Deve dunque valere la seconda. Conseguentemente, il verso delle portate è quello evidenziato in Figura 5.15, dove si riporta fin da ora un andamento qualitativo della linea dei carichi. E facile poi rendersi conto che Q 1 = Q 5 (come può apprezzarsi prendendo un volume di controllo che abbracci l intera maglia chiusa 2-3-4) come pure scrivere che Q 1 + Q 2 = Q 3 Q p. Si può ora procedere a scrivere una prima equazione di bilancio energetico per la condotta che unisce il serbatoio A a quello B λ 1 Q 2 1 2gDA 2(L 1+ L 5 )+ λ 3Q 2 3 2gDA 2(L 3+ L 4 )= H p (5.20) ed una seconda relativa alla sola maglia 2-3-4: λ 2 Q 2 2 2gDA 2L 2+ λ 3Q 2 3 2gDA 2(L 3+ L 4 )= H p (5.21) Da queste due equazioni per sostituzione si può allora ottenere una sola equazione nella forma λ 1 Q 2 1 2gDA 2(L 1+ L 5 )= λ 2Q 2 2 2gDA 2L 2 (5.22) dove, stante l ipotesi di moto assolutamente turbolente e le eguali caratteristiche di tutte le condotte del problema, λ 1 = λ 2. Inoltre, utilizzando il legame tra Q 1 e Q 2 fornito dalla continuità, si può riscrivere Q 2 (L 1 + L 5 ) 1 =(Q p Q 1 ) 2 (5.23) L 2 equazione la cui radice positiva fornisce Q 1 = m 3 /s. Si ottiene quindi Q 2 = m 3 /s e, da una delle relazioni precedenti, il valore di H p. = m e il corrispondente valore di potenza prelevata P= γq Hp η =6.210 kw. Esercizio Sia dato l impianto di figura 5.16, costituito da tre condotti alimentati dai serbatoi di livello z i costante, contenenti acqua a20 C. Valendo i dati riportati nella tabella Condotta D L z , , ,0

12 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 139 Figura 5.15: Figura 5.16: si chiede di determinare: Le portate circolanti in corrispondenza della condizione di funzionamento a tubi usati (ε=0.001m) e a valvole completamente aperte; Le portate circolanti in corrispondenza della condizione di funzionamento a tubi nuovi (ε=0.0001m) e a valvole completamente aperte; La perdita da indurre con le tre valvole per ottenere, in corrispondenza della condizione di funzionamento a tubi nuovi, le stessa distribuzione di portate del funzionamento a tubi usati. Tutti i dati sono espressi nel SI. Si tratta di un classico problema di verifica. In primo luogo si osserva che il verso del flusso delle portate incognite è noto con eccezione della condotta che fa capo al serbatoio di livello intermedio, 1. In tale condotta supporremo positiva la portata fluente verso il nodo.

13 140 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica Con tale convenzione, in ipotesi di lunga condotta, il sistema risolvente è dato dalle equazioni seguenti corredate dalle 3 leggi di resistenza valide nei tre rami. H 1 L 1λ 1 2gD 1 Q A 2 1 Q 1 K 1 1 2gA1Q 2 1 Q 1 =H N Q H 2 = H N L 2 J 2 K gA 2 2 Q H 3 L 3 J 3 K = H 2gA 2 N 3 Q 1 Q 2 + Q 3 =0 Si noti che la scrittura della equazione per la condotta 1 tiene automaticamente conto del verso effettivo della portata Q 1. Infatti qualora la portata risulti negativa, l equazione assume la forma: H 1 + L 1λ 1 2gD 1 A 2 Q 2 1+ K 1 1 2gA 2 Q 2 1= H N 1 In definitiva, fissato il livello di chiusura delle valvole (K 1, K 2 e K 3 ), il problema si presenta nelle 7 incognite (Q i, λ i, H N ) ed è quindi determinato dal sistema scritto, completato dalle opportune leggi di resistenza. Come vedremo, tuttavia, non conviene risolvere il sistema in modo accoppiato. Tale risoluzione andrebbe nel caso condotta per via numerica, ad esempio con il metodo di Newton-Raphson. Conviene invece procedere disaccoppiando le tre condotte, dopo aver fissato un valore di tentativo del carico incognito al nodo N. In questo modo, qualora le valvole siano totalmente aperte e valga l ipotesi di lunga condotta, è immediato calcolare J i, λ i e quindi Q i. In corrispondenza di ogni valore di H N si verifica quindi la continuità al nodo, apportando le opportune modifiche al carico in N qualora questa non sia soddisfatta Prima domanda: Condotta L D ε ε/d A K Fissato un valore di carico al nodo di tentativo secondo quanto sopra accennato, nella ipotesi di lunga condotta, si calcola J: J i = H N z i L i Essendo noto D i, dalla Colebrook-White si ricava subito λ i, secondo quanto mostrato nel problema ++. Questo procedimento, viene ripetuto per tutti e tre i rami che costituiscono l impianto, calcolando poi per ognuno la portata fluente mediante l utilizzo della formula di Darcy-Weisbach. Si procede infine a verificare la continuità al nodo, modificando di conseguenza H N fino a convergenza. Un ultima osservazione in merito al valore iniziale di H N. Appare opportuno partire dal valore del carico al serbatoio intermedio. In questo caso, infatti, il bilancio delle portate

14 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 141 iniziali al nodo, nelle quali sarà evidentemente Q 1 =0, ci dirà subito se il valore successivo di H N è da cercare nell intervallo (z 1,z 3 ) piuttosto che (z 2,z 1 ). Si riportano nel seguito alcuni passi del procedimento risolutivo tratteggiato e la soluzione finale. Come si nota, già la prima iterazione mostra che nel ramo 1 la portata procede dal nodo N al serbatoio 1. ε L D ε D A L D 0,2 0,001 0,005 0, ,2 0,001 0,005 0, ,3 0,001 0,0033 0, H N Condotta J λ U Q JL alt. cin. Re , ,0233 0, ,729 0, ,00 0, ,020 0, ,082 0, ,00 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0, ,0133 0, ,305 0, ,00 0, ,0367 0, ,169 0, ,00 0, ,0067 0, ,199 0, ,00 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0, ,0067 0, ,920 0, ,00 0, ,0300 0, ,961 0, ,00 0, ,0133 0, ,699 0, ,00 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0, , , , 129 0, , 00 0, , , , 068 0, , 00 0, ,0100 0, ,470 0, ,00 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0, ,65 1 0,0104 0, ,153 0, ,65 0, ,0338 0, ,081 0, ,65 0, ,0096 0, ,438 0, ,35 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0,0000 Il valore finale del carico al nodo N è quindi125,65 m e le portate sono quelle riportate nelle tre righe corrispondenti Seconda domanda: Il secondo quesito viene risolto in modo analogo al primo, ovviamente si adotta la scabrezza omogenea equivalente ε=0.0001m. Partendo dal carico soluzione sopra determinato si perviene rapidamente alla soluzione, indicata in grassetto. ε L D ε D A L D 0,2 0,001 0,005 0, ,2 0,001 0,005 0, ,3 0,001 0,0033 0,

15 142 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica H N Condotta J λ U Q JL alt. cin. Re 125,65 1 0,0104 0, ,499 0, ,65 0, ,0338 0, ,745 0, ,65 0, ,010 0, ,851 0, ,35 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0, , ,0102 0, ,482 0, ,30 0, ,0335 0, ,735 0, ,30 0, ,0098 0, ,874 0, ,70 0, Q 1 Q 2 + Q 3 0,0000 Come si nota, la diminuzione della scabrezza delle condotte a parità di carico ai serbatoi, implica un aumento della portata circolante ed una diminuzione della pressione al nodo Terza domanda: Come si vede, all inizio della propria vita operativa l impianto consente il deflusso di una portata diversa da quella di progetto, che è stata determinata al termine della verifica a tubi usati. Conseguentemente, per ristabilire le portate al valore desiderato anche nella condizione di tubi nuovi si dovrà operare regolando le valvole presenti sui rami. Il problema è quindi quello di determinare il livello di regolazione di queste valvole, quantificato dal valore assunto dal coefficiente K i. Con le portate (e quindi i numeri di Reynolds) individuate in corrispondenza della situazione di funzionamento a tubi usati, si procede quindi a calcolare il coefficiente di resistenza per ciascun tubo con la scabrezza dei tubi nuovi ( ε = m), calcolando quindi la perdita di carico JL. D ε ε/d L L D 1 0,2 0,0001 0, ,2 0,0001 0, ,2 0,0001 0, Q U Re λ alt.cin. J JL H N 1 0,0362 1, ,0187 0,0677 0,0063 9, ,5 2 0,0654 2, , , , , ,74 3 0,1016 1, ,0168 0, ,0059 8, ,15 A questo punto, si osserva che non è più rispettata la congruenza dei carichi al nodo N, poichè il valore di H N risulta diverso per le tre condotte. La congruenza sarà imposta proprio determinando un opportuno valore delle perdite nelle valvole. La scrittura della equazione dell energia per le tre condotte H 3 L 3 J 3 K 3Q 2 3 2gA 2 3 H 3 L 3 J 3 K3Q2 3 2gA 2 3 = H 1 + L 1 J 1 + K 1Q 2 1 2gA 2 1 = H 2 + L 2 J 2 + K2Q2 2 2gA 2 2 (5.24) evidenzia che non tutte e tre le valvole sono in linea di principio necessarie. Potremmo ad esempio decidere di non mettere la valvola sulla condotta 1 (K 1 =0), lasciando quindi il valore al nodo N al valore di 119, 5 m. Conseguentemente, la perdita di carico H da introdurre sulle condotte 3 e 2 per ristabilire la congruenza energetica al nodo risulta pari a

16 CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE H 0 14,757 11,66 K 0 66, ,7 cui corrisponde la costante K di perdita della valvola sopra riportata, essendo H = KU 2 /2g. Nella figura seguente si riportano le linee dei carichi a parità di portate nelle due condizioni a tubi nuovi ed usati. In modo analogo a quanto mostrato si risolve il caso in cui più di 3 condotte semplici convergono ad un nodo N. Figura 5.17: Con approccio simile si possono anche trattare casi come quello sotto mostrato. Esercizio Nell impiantoinfigura5.18circolaacquaa20 C. Essoècostituitoda uninvasodimontedicapacità V 1 econpeloliberoaquota z M dacuisidiparteunagalleria

17 144 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica Figura 5.18: di 1.95diametro D g, lunghezza L g, e scabrezza di Strickler k sg =84.3 m 1/3 s 1 seguita da due condotte in parallelo, ciascuna delle quali è costituita da due tronchi di lunghezza L 1 e L 2, diametro rispettivamente D 1 e D 2 e scabrezza di Strickler k sc =100 m 1/3 s 1. Ciascuna condotta sbocca in atmosfera con un ugello ben sagomato con asse a quota z V che consente, mediante regolazione di un otturatore, di variare la sua area terminale a. Si chiede di determinare come varia la potenza posseduta dal getto in funzione dell area a dell ugello. Dati numerici V m 3 D g 3.6 m L g 4245 m z M m L m L m z V m D 1 2.3m D m Tipologia: correnti in pressione in un circuito chiuso, in presenza di una pompa. Svolgimento La potenza posseduta dal getto effluente dall ugello potrebbe venir sfruttata da una possibile macchina ad azione. Per tale ragione risulta particolarmente interessante determinarne la sua variazione al variare del grado di apertura dell otturatore. A tale proposito, detta Q la portatta derivata dall invaso di monte, si osserva che la potenza complessiva dei due getti effluenti dagli ugelli è data dall espressione P =2(γ Q 2 H)=γQU2 2g = γ Q 3 2gCca 2 2 essendo C c il coefficiente di contrazione associato al getto uscente dalla luce di area a. La determinazione della potenza P passa quindi attraverso la determinazione della portata Q fluente nell impianto, che può a sua volta ricavarsi dalla equazione di bilancio dell energia meccanica della corrente appplicata alla galleria e ad una delle due condotte, dove si supponga che nelle condotte in parallelo la portata Q si divida in misura eguale z M Q 2 k 2 sga 2 g( Dg 4 )4/3L g (Q/2) 2 ksca (D1 4 )4/3L 1 (Q/2) 2 ksca (D2 4 )4/3L 2= z V + (Q/2)2 2gCc 2a2